Ettekanne “Funktsioon y=ax2, selle graafik ja omadused. Funktsioonid ja graafikud Ruutfunktsioon ax 2 bx c

Nagu praktika näitab, põhjustavad ruutfunktsiooni omaduste ja graafikute ülesanded tõsiseid raskusi. See on üsna kummaline, sest nad uurivad ruutfunktsiooni 8. klassis ja siis kogu 9. klassi esimese veerandi “piinavad” parabooli omadusi ja koostavad selle graafikuid erinevate parameetrite jaoks.

Selle põhjuseks on asjaolu, et sundides õpilasi paraboole konstrueerima, ei pühenda nad praktiliselt aega graafikute “lugemisele”, st ei harjuta pildilt saadava teabe mõistmist. Ilmselt eeldatakse, et pärast tosina-kahe graafiku koostamist avastab ja sõnastab tark õpilane ise valemis olevate koefitsientide ja graafiku välimuse vahelise seose. Praktikas see ei toimi. Selliseks üldistamiseks on vaja tõsist matemaatilise mini-uurimuse kogemust, mida enamikul üheksanda klassi õpilastel muidugi pole. Vahepeal teeb Riigiinspektsioon ettepaneku määrata koefitsientide märgid graafiku alusel.

Me ei nõua koolilastelt võimatut ja pakume lihtsalt välja ühe selliste probleemide lahendamise algoritmidest.

Niisiis, vormi funktsioon y = ax 2 + bx + c nimetatakse ruutkeskseks, selle graafik on parabool. Nagu nimigi ütleb, on peamine termin kirves 2. See on A ei tohiks olla võrdne nulliga, ülejäänud koefitsiendid ( b Ja Koos) võib olla võrdne nulliga.

Vaatame, kuidas selle koefitsientide märgid mõjutavad parabooli välimust.

Lihtsaim sõltuvus koefitsiendile A. Enamik koolilapsi vastab enesekindlalt: „kui A> 0, siis on parabooli harud suunatud ülespoole ja kui A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

Sel juhul A = 0,5

Ja nüüd selleks A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

Sel juhul A = - 0,5

Koefitsiendi mõju Koos Seda on ka üsna lihtne jälgida. Kujutame ette, et tahame leida funktsiooni väärtuse punktis X= 0. Asendage valemis null:

y = a 0 2 + b 0 + c = c. Selgub, et y = c. See on Koos on parabooli ja y-telje lõikepunkti ordinaat. Tavaliselt on seda punkti graafikult lihtne leida. Ja määrake, kas see on üle nulli või alla selle. See on Koos> 0 või Koos < 0.

Koos > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Koos < 0

y = x 2 + 4x - 3

Vastavalt sellele, kui Koos= 0, siis parabool läbib tingimata alguspunkti:

y = x 2 + 4x

Parameetriga keerulisem b. See, millal me selle leiame, ei sõltu mitte ainult sellest b aga ka alates A. See on parabooli tipp. Selle abstsiss (telje koordinaat X) leitakse valemiga x in = - b/(2a). Seega b = - 2ax tolli. See tähendab, et me toimime järgmiselt: leiame graafikult parabooli tipu, määrame selle abstsissi märgi, see tähendab, et vaatame nullist paremale ( x sisse> 0) või vasakule ( x sisse < 0) она лежит.

See pole aga veel kõik. Samuti peame tähelepanu pöörama koefitsiendi märgile A. See tähendab, et vaadake, kuhu on suunatud parabooli harud. Ja alles pärast seda valemi järgi b = - 2ax tolli määrake märk b.

Vaatame näidet:

Oksad on suunatud ülespoole, mis tähendab A> 0, parabool lõikub teljega juures alla nulli, see tähendab Koos < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x sisse> 0. Niisiis b = - 2ax tolli = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Koos < 0.

Esitlus “Funktsioon y=ax 2, selle graafik ja omadused” on visuaalne abivahend, mis loodi koos õpetaja selgitusega sellel teemal. Selles esitluses käsitletakse üksikasjalikult ruutfunktsiooni, selle omadusi, joonistamise iseärasusi ja füüsikaülesannete lahendamisel kasutatavate meetodite praktilist rakendamist.

See materjal, mis pakub suure selguse, aitab õpetajal tõsta õpetamise tõhusust ja annab võimaluse tunnis aega ratsionaalsemalt jaotada. Animatsiooniefektide, mõistete ja oluliste punktide värvilise esiletõstmise abil koondub õpilaste tähelepanu õpitavale ainele ning saavutatakse definitsioonide ja arutluskäigu parem meeldejätmine ülesannete lahendamisel.

Esitlus algab esitluse pealkirja ja ruutfunktsiooni kontseptsiooni tutvustamisega. Selle teema tähtsust rõhutatakse. Õpilastel palutakse meeles pidada ruutfunktsiooni definitsiooni kui funktsionaalset sõltuvust kujul y=ax 2 +bx+c, milles on sõltumatu muutuja ja arvud, mille a≠0. Eraldi märgitakse slaidil 4 meelde, et selle funktsiooni määratluspiirkond on kogu reaalväärtuste telg. Tavapäraselt tähistatakse seda väidet D(x)=R-ga.

Ruutfunktsiooni näide on selle oluline rakendus füüsikas – ühtlaselt kiirendatud liikumise ajal kulgeva tee sõltuvuse valem. Samal ajal õpivad õpilased füüsikatundides erinevat tüüpi liikumiste valemeid, nii et neil on vaja selliseid probleeme lahendada. Slaidil 5 tuletatakse õpilastele meelde, et kui keha liigub kiirendusega ja aja alguses loetakse läbitud vahemaa ja liikumiskiirus teada, siis sellist liikumist esindav funktsionaalne sõltuvus väljendatakse valemiga S = (at 2)/2+v 0 t+S 0 . Allpool on näide selle valemi muutmisest antud ruutfunktsiooniks, kui kiirenduse väärtused = 8, algkiirus = 3 ja algtee = 18. Sel juhul on funktsioon kujul S=4t 2 +3t+18.

Slaid 6 uurib ruutfunktsiooni y=ax 2 kuju, milles see on esitatud punktis. Kui =1, siis ruutfunktsioon on kujul y=x 2. Tuleb märkida, et selle funktsiooni graafik on parabool.

Esitluse järgmine osa on pühendatud ruutfunktsiooni joonistamisele. Tehakse ettepanek kaaluda funktsiooni y=3x 2 joonistamist. Esiteks näitab tabel funktsiooni väärtuste ja argumendi väärtuste vahelist vastavust. Tuleb märkida, et funktsiooni y=3x 2 konstrueeritud graafiku ja funktsiooni y=x 2 graafiku erinevus seisneb selles, et iga väärtus on kolm korda suurem kui vastav väärtus. See erinevus on tabelivaates hästi jälgitav. Läheduses on graafilises esituses selgelt näha ka parabooli ahenemise erinevus.

Järgmisel slaidil vaadeldakse ruutfunktsiooni y=1/3 x 2 joonistamist. Graafiku koostamiseks peate tabelis märkima funktsiooni väärtused selle mitmes punktis. Märgitakse, et funktsiooni y=1/3 x 2 iga väärtus on 3 korda väiksem kui funktsiooni y=x 2 vastav väärtus. See erinevus on lisaks tabelile selgelt näha ka graafikul. Selle parabool on ordinaattelje suhtes rohkem laienenud kui funktsiooni y=x 2 parabool.

Näited aitavad mõista üldreeglit, mille järgi saab siis lihtsamalt ja kiiremini vastavaid graafikuid koostada. Slaidil 9 on eraldi välja toodud reegel, et ruutfunktsiooni y=ax 2 graafikut saab koostada sõltuvalt koefitsiendi väärtusest graafikut venitades või kitsendades. Kui a>1, siis ulatub graafik x-teljelt teguri võrra. Kui 0

Järeldus funktsioonide y=ax 2 ja y=-ax2 (at ≠0) graafikute sümmeetria kohta abstsisstelje suhtes on slaidil 12 meeldejätmiseks eraldi esile tõstetud ja vastaval graafikul selgelt kuvatud. Järgmisena laiendatakse ruutfunktsiooni y=x 2 graafiku mõistet funktsiooni y=ax 2 üldisemale juhtumile, väites, et sellist graafikut nimetatakse ka parabooliks.

Slaid 14 käsitleb ruutfunktsiooni y=ax 2 omadusi, kui see on positiivne. Tuleb märkida, et selle graafik läbib alguspunkti ja kõik punktid, välja arvatud, asuvad ülemisel pooltasandil. Märgitakse graafiku sümmeetriat ordinaattelje suhtes, täpsustades, et argumendi vastandväärtused vastavad samadele funktsiooniväärtustele. Näidatakse, et selle funktsiooni vähenemise intervall on (-∞;0] ja funktsiooni suurendamine toimub intervallil. Selle funktsiooni väärtused katavad kogu reaaltelje positiivse osa, see on punktis võrdne nulliga ja sellel pole suurimat väärtust.

Slaid 15 kirjeldab funktsiooni y=ax 2 omadusi, kui see on negatiivne. Märgitakse, et selle graafik läbib ka alguspunkti, kuid kõik selle punktid, välja arvatud, asuvad alumisel pooltasandil. Graafik on telje suhtes sümmeetriline ja argumendi vastandväärtused vastavad funktsiooni võrdsetele väärtustele. Funktsioon suureneb intervalliga ja väheneb. Selle funktsiooni väärtused asuvad intervallis, see on punktis võrdne nulliga ja sellel pole minimaalset väärtust.

Võttes kokku vaadeldud tunnused, jõutakse slaidil 16 järeldusele, et parabooli oksad on suunatud allapoole ja ülespoole. Parabool on telje suhtes sümmeetriline ja parabooli tipp asub selle lõikepunktis teljega. Parabooli y=ax 2 tipp on alguspunkt.

Samuti on slaidil 17 kuvatud oluline järeldus parabooliteisenduste kohta. See pakub ruutfunktsiooni graafiku teisendamise võimalusi. Tuleb märkida, et funktsiooni y=ax 2 graafik teisendatakse graafiku sümmeetrilise kuvamise teel telje suhtes. Samuti on võimalik graafikut telje suhtes kokku suruda või venitada.

Viimane slaid teeb üldised järeldused funktsiooni graafiku teisenduste kohta. Esitatakse järeldused, et funktsiooni graafik saadakse sümmeetrilise teisendusega ümber telje. Ja funktsiooni graafik saadakse esialgse graafiku tihendamisel või venitamisel teljelt. Sel juhul täheldatakse tõmbetugevust teljelt juhul, kui. Telge 1/a korda kokku surudes moodustub juhul graafik.

Esitlust “Funktsioon y=ax 2, selle graafik ja omadused” saab õpetaja kasutada visuaalseks abivahendiks algebratunnis. Samuti käsitleb käesolev käsiraamat teemat hästi, andes sellest ainest põhjaliku ülevaate, nii et seda saab pakkuda õpilastele iseseisvaks õppimiseks. See materjal aitab õpetajal ka kaugõppes selgitusi anda.

Vaatleme avaldist kujul ax 2 + bx + c, kus a, b, c on reaalarvud ja a erineb nullist. Seda matemaatilist avaldist tuntakse ruuttrinoomina.

Tuletame meelde, et ax 2 on selle ruuttrinoomi juhtliige ja a on selle juhtiv koefitsient.

Kuid ruuttrinoomil ei ole alati kõiki kolme liiget. Võtame näiteks avaldise 3x 2 + 2x, kus a=3, b=2, c=0.

Liigume ruutfunktsiooni y=ax 2 +in+c juurde, kus a, b, c on suvalised arvud. See funktsioon on ruutfunktsioon, kuna see sisaldab teise astme liiget, st x ruudus.

Näiteks ruutfunktsiooni graafiku koostamine on üsna lihtne, võite kasutada täiusliku ruudu eraldamise meetodit.

Vaatleme näidet funktsiooni y graafiku koostamise kohta -3x 2 - 6x + 1.

Selleks meenub esimene asi, mis meenub skeemi täisruudu eraldamiseks trinoomil -3x 2 - 6x + 1.

Võtame kahe esimese liikme jaoks sulgudest -3. Meil on -3 korda summa x ruudus pluss 2x ja liidetakse 1. Sulgudes ühe liites ja lahutades saame summa ruudu valemi, mille saab ahendada. Saame -3 korrutatuna summa (x+1) ruuduga miinus 1 liidame 1. Sulgude avamisel ja sarnaste terminite liitmisel saame avaldise: -3 korrutatuna summa ruuduga (x+1) liidame 4.

Koostame saadud funktsiooni graafiku, liikudes abikoordinaatide süsteemi, mille alguspunkt on koordinaatidega punktis (-1; 4).

Video joonisel on see süsteem tähistatud punktiirjoontega. Seome funktsiooni y võrdub -3x2 konstrueeritud koordinaatsüsteemiga. Mugavuse huvides võtame kontrollpunktid. Näiteks (0;0), (1;-3), (-1;-3), (2;-12), (-2;-12). Samal ajal jätame need konstrueeritud koordinaatsüsteemis kõrvale. Ehitamise käigus saadud parabool on meile vajalik graafik. Pildil on see punane parabool.

Täieliku ruudu eraldamise meetodit kasutades saame ruutfunktsiooni kujul: y = a*(x+1) 2 + m.

Parabooli y = ax 2 + bx + c graafiku saab hõlpsasti paralleeltõlke abil saada paraboolist y = ax 2. Seda kinnitab teoreem, mida saab tõestada binoomide täiusliku ruudu eraldamisega. Avaldis ax 2 + bx + c muutub pärast järjestikuseid teisendusi avaldiseks kujul: a*(x+l) 2 + m. Joonistame graafiku. Teeme parabooli y = ax 2 paralleelse liikumise, joondades tipu koordinaatidega (-l; m) punktiga. Oluline on see, et x = -l, mis tähendab -b/2a. See tähendab, et see sirgjoon on parabooli telg 2 + bx + c, selle tipp on punktis, mille abstsiss x null võrdub miinus b jagatud 2a-ga ja ordinaat arvutatakse tülika valemi 4ac - b 2 abil. /. Kuid te ei pea seda valemit meeles pidama. Kuna funktsiooni abstsissi väärtuse asendamisel saame ordinaat.

Telje võrrandi, selle harude suuna ja parabooli tipu koordinaatide määramiseks vaatleme järgmist näidet.

Võtame funktsiooni y = -3x 2 - 6x + 1. Olles koostanud parabooli telje võrrandi, saame, et x = -1. Ja see väärtus on parabooli tipu x koordinaat. Jääb üle vaid leida ordinaat. Asendades funktsiooni väärtuse -1, saame 4. Parabooli tipp asub punktis (-1; 4).

Funktsiooni y = -3x 2 - 6x + 1 graafik saadi funktsiooni y = -3x 2 graafiku paralleelülekandel, mis tähendab, et see käitub sarnaselt. Juhtiv koefitsient on negatiivne, seega on oksad suunatud allapoole.

Näeme, et mis tahes funktsiooni kujul y = ax 2 + bx + c on kõige lihtsam küsimus viimane küsimus ehk parabooli harude suund. Kui koefitsient a on positiivne, siis on oksad ülespoole ja kui negatiivsed, siis oksad on allapoole.

Järgmine kõige keerulisem küsimus on esimene küsimus, kuna see nõuab täiendavaid arvutusi.

Ja teine ​​on kõige keerulisem, kuna lisaks arvutustele on vaja ka teadmisi valemitest, mille järgi x on null ja y on null.

Koostame funktsiooni y = 2x 2 - x + 1 graafiku.

Teeme kohe kindlaks, et graafik on parabool, oksad on suunatud ülespoole, kuna juhtiv koefitsient on 2 ja see on positiivne arv. Valemit kasutades leiame, et abstsiss x on null, see on võrdne 1,5-ga. Ordinaadi leidmiseks pidage meeles, et y null on arvutamisel võrdne funktsiooniga 1,5, saame -3,5.

Ülemine - (1,5;-3,5). Telg – x=1,5. Võtame punktid x=0 ja x=3. y=1. Märgime need punktid ära. Kolme teadaoleva punkti põhjal koostame soovitud graafiku.

Funktsiooni ax 2 + bx + c graafiku joonistamiseks vajate:

Leia parabooli tipu koordinaadid ja märgi need joonisele, seejärel joonista parabooli telg;

Oh-teljel võetakse kaks punkti, mis on sümmeetrilised parabooli telje suhtes, leidke nendes punktides funktsiooni väärtus ja märkige need koordinaattasandile;

Ehitage parabool läbi kolme punkti, võite võtta veel paar punkti ja koostada nende põhjal graafiku.

Järgmises näites õpime, kuidas leida segmendis funktsiooni -2x 2 + 8x - 5 suurimaid ja väikseimaid väärtusi.

Algoritmi järgi: a=-2, b=8, mis tähendab, et x null on 2 ja y null on 3, (2;3) on parabooli tipp ja x=2 on telg.

Võtame väärtused x=0 ja x=4 ning leiame nende punktide ordinaadid. See on -5. Koostame parabooli ja määrame, et funktsiooni väikseim väärtus on -5, kui x=0 ja suurim on 3, kui x=2.

Algebra tunnikonspektid 8-klassilisele keskkoolile

Tunni teema: Funktsioon

Tunni eesmärk:

Hariduslik: määratleda vormi ruutfunktsiooni mõiste (võrdle funktsioonide graafikuid ja ), näidata parabooli tipu koordinaatide leidmise valemit (õpetada, kuidas seda valemit praktikas rakendada); arendada oskust määrata graafikult ruutfunktsiooni omadusi (sümmeetriatelje leidmine, parabooli tipu koordinaadid, graafiku lõikepunktide koordinaadid koordinaatide telgedega).

Areng: matemaatilise kõne arendamine, oskus õigesti, järjekindlalt ja ratsionaalselt väljendada oma mõtteid; matemaatilise teksti õige kirjutamise oskuse arendamine, kasutades sümboleid ja märgendeid; analüütilise mõtlemise arendamine; õpilaste kognitiivse tegevuse arendamine läbi materjali analüüsimise, süstematiseerimise ja üldistamise oskuse.

Hariduslik: iseseisvuse, teiste kuulamise oskuse edendamine, kirjaliku matemaatilise kõne täpsuse ja tähelepanu arendamine.

Tunni tüüp: uue materjali õppimine.

Õppemeetodid:

üldistatud reproduktiivne, induktiivne heuristiline.

Nõuded õpilaste teadmistele ja oskustele

teadma, mis on vormi ruutfunktsioon, parabooli tipu koordinaatide leidmise valem; oskama leida parabooli tipu koordinaate, funktsiooni graafiku lõikepunktide koordinaate koordinaatide telgedega ning kasutada funktsiooni graafikut ruutfunktsiooni omaduste määramiseks.

Varustus:

Tunniplaan

Organisatsioonihetk (1-2 min)

Teadmiste värskendamine (10 min)

Uue materjali esitlus (15 min)

Uue materjali konsolideerimine (12 min)

Kokkuvõte (3 min)

Kodutöö (2 min)

Tundide ajal

Aja organiseerimine

Tervitamine, puudujate kontrollimine, vihikute kogumine.

Teadmiste värskendamine

Õpetaja: Tänases tunnis uurime uut teemat: "Funktsioon". Kuid kõigepealt kordame eelnevalt uuritud materjali.

Frontaalne uuring:

Mis on ruutfunktsioon? (Funktsiooni, kus antud reaalarvud on reaalmuutujad, nimetatakse ruutfunktsiooniks.)

Mis on ruutfunktsiooni graafik? (Rugfunktsiooni graafik on parabool.)

Mis on ruutfunktsiooni nullpunktid? (Ruutfunktsiooni nullpunktid on väärtused, mille juures see muutub nulliks.)

Loetlege funktsiooni omadused. (Funktsiooni väärtused on positiivsed ja võrdsed nulliga; funktsiooni graafik on ordinaattelgede suhtes sümmeetriline; at - funktsioon suureneb, at - väheneb.)

Loetlege funktsiooni omadused. (Kui , siis funktsioon võtab positiivsed väärtused , kui , siis funktsioon võtab negatiivsed väärtused , funktsiooni väärtus on ainult 0; parabool on ordinaattelje suhtes sümmeetriline; kui , siis funktsioon suureneb punktis ja väheneb juures , kui , siis funktsioon suureneb juures , väheneb – juures .)

Uue materjali esitlus

Õpetaja: Alustame uue materjali õppimist. Avage märkmikud, kirjutage üles tunni kuupäev ja teema. Pöörake tähelepanu tahvlile.

Tahvlile kirjutamine: Number.

Funktsioon.

Õpetaja: Tahvlil näete kahte funktsioonide graafikut. Esimene graafik ja teine. Proovime neid võrrelda.

Teate funktsiooni omadusi. Nende põhjal ja meie graafikuid võrreldes saame esile tuua funktsiooni omadused.

Niisiis, mis teie arvates määrab parabooli harude suuna?

Õpilased: Mõlema parabooli harude suund sõltub koefitsiendist.

Õpetaja: Täiesti õige. Samuti võite märgata, et mõlemal paraboolil on sümmeetriatelg. Mis on funktsiooni esimesel graafikul sümmeetriatelg?

Õpilased: Parabooli puhul on sümmeetriatelg ordinaattelg.

Õpetaja: See on õige. Mis on parabooli sümmeetriatelg?

Õpilased: Parabooli sümmeetriatelg on sirge, mis läbib parabooli tippu, paralleelselt ordinaatteljega.

Õpetaja: Õige. Seega nimetatakse funktsiooni graafiku sümmeetriatelge sirgeks, mis läbib parabooli tippu, mis on paralleelne ordinaatteljega.

Ja parabooli tipp on koordinaatidega punkt . Need määratakse järgmise valemiga:

Kirjutage valem vihikusse ja ringige see raami sisse.

Tahvlile ja vihikutesse kirjutamine

Parabooli tipu koordinaadid.

Õpetaja: Nüüd, et see oleks selgem, vaatame näidet.

Näide 1: Leidke parabooli tipu koordinaadid .

Lahendus: valemi järgi

Õpetaja: Nagu me juba märkisime, läbib sümmeetriatelg parabooli tippu. Vaata tahvlit. Joonistage see pilt oma märkmikusse.

Kirjutage tahvlile ja vihikutesse:

Õpetaja: Joonisel: - parabooli sümmeetriatelje võrrand tipuga, kus abstsiss on parabooli tipp.

Vaatame näidet.

Näide 2: Määrake funktsiooni graafiku abil parabooli sümmeetriatelje võrrand.

Sümmeetriatelje võrrand on kujul: , mis tähendab, et selle parabooli sümmeetriatelje võrrand on .

Vastus: - sümmeetriatelje võrrand.

Uue materjali konsolideerimine

Õpetaja: Tahvlile on kirjutatud ülesanded, mida tuleb tunnis lahendada.

Juhatuse kanne: nr 609(3), 612(1), 613(3)

Õpetaja: Aga kõigepealt lahendame näite, mis ei ole õpikust pärit. Otsustame juhatuses.

Näide 1: Leidke parabooli tipu koordinaadid

Lahendus: valemi järgi

Vastus: parabooli tipu koordinaadid.

Näide 2: Leidke parabooli lõikepunktide koordinaadid koordinaattelgedega.

Lahendus: 1) Teljega:

Need.

Vastavalt Vieta teoreemile:

Lõikepunktid x-teljega on (1;0) ja (2;0).