Varda piirtingimuste pikivõnked. Pikisuunalised lained

MÄÄRATLUS

Pikisuunaline laine– see on laine, mille levimise käigus nihkuvad keskkonna osakesed laine levimise suunas (joon. 1, a).

Pikilaine tekkepõhjuseks on kokkusurumine/pikendus, st. keskkonna vastupidavus selle mahu muutustele. Vedelikes või gaasides kaasneb sellise deformatsiooniga keskkonna osakeste hõrenemine või tihenemine. Pikilained võivad levida igas keskkonnas – tahkes, vedelas ja gaasilises.

Pikisuunalised lained on näiteks lained elastses varras või helilained gaasides.

Põiklained

MÄÄRATLUS

Põiklaine– see on laine, mille levimise käigus nihkuvad keskkonna osakesed laine levimisega risti olevas suunas (joon. 1, b).

Ristlaine põhjus on ühe keskkonnakihi nihkedeformatsioon teise suhtes. Kui põiklaine levib läbi keskkonna, tekivad ribid ja lohud. Vedelikud ja gaasid, erinevalt tahketest ainetest, ei oma elastsust kihtide nihke suhtes, s.t. ärge seiske kuju muutmise vastu. Seetõttu saavad põiklained levida ainult tahkistes.

Ristlainete näideteks on lained, mis liiguvad mööda venitatud köit või nööri.

Vedeliku pinnal olevad lained ei ole piki- ega põikisuunalised. Kui visata ujuk veepinnale, on näha, et see liigub lainetel õõtsudes ringikujuliselt. Seega on vedeliku pinnal lainel nii põiki- kui ka pikisuunalised komponendid. Vedeliku pinnal võivad tekkida ka eritüüpi lained - nn pinnalained. Need tekivad pindpinevuse toime ja jõu tulemusena.

Näited probleemide lahendamisest

NÄIDE 1

Harjutus	Määrake põiklaine levimise suund, kui ujukil on mingil ajahetkel joonisel näidatud kiiruse suund.
Lahendus	Teeme joonise. Joonistame teatud aja möödudes lainepinna ujuki lähedale, võttes arvesse, et selle aja jooksul vajus ujuk alla, kuna oli hetkel suunatud allapoole. Jätkates joont paremale ja vasakule, näitame laine asukohta ajahetkel . Võrreldes laine asukohta esialgsel ajahetkel (pidev joon) ja ajahetkel (katkendjoon), järeldame, et laine levib vasakule.

Vaatleme ühtlase pikkusega varda, st silindrilise või mõne muu kujuga keha, mille venitamiseks või painutamiseks tuleb rakendada teatud jõudu. Viimane asjaolu eristab ka kõige peenemat varda nöörist, mis teatavasti vabalt paindub.

Selles peatükis rakendame karakteristikute meetodit varda pikivõngete uurimisel ja piirdume ainult selliste vibratsioonide uurimisega, mille puhul piki varda telge liikuvad ristlõiked jäävad tasaseks ja paralleelsed. üksteist (joon. 6). Selline oletus on õigustatud, kui varda põikimõõtmed on selle pikkusega võrreldes väikesed.

Kui varda piki pikitelge veidi venitada või kokku suruda ja seejärel enda juurde jätta, tekivad selles pikisuunalised vibratsioonid. Suuname telje piki varda telge ja eeldame, et puhkeseisundis on varda otsad punktides Laske varda teatud lõigu abstsiss, kui viimane on puhkeolekus. Tähistame selle lõigu nihkega ajahetkel, siis on lõigu nihe abstsissiga võrdne

Siit on selge, et varda suhtelist pikenemist abstsissga x lõikes väljendab tuletis

Kui nüüd eeldada, et varras läbib väikseid võnkumisi, saame selles osas välja arvutada pinge

kus on varda materjali elastsusmoodul, selle ristlõike pindala. Võtame kaasas oleva vardaelemendi

kahe sektsiooni vahel, mille abstsissid on vastavalt võrdsed. Sellele elemendile mõjuvad nendele lõikudele rakendatavad ja piki telge suunatud pingejõud

ja on ka suunatud kaasa . Teisest küljest on elemendi kiirendus võrdne, mille tulemusena saame kirjutada võrdsuse

kus on varda mahutihedus. Panek

ja vähendades saame homogeense varda pikisuunaliste vibratsioonide diferentsiaalvõrrandi

Selle võrrandi kuju näitab, et varda pikisuunalised võnked on lainelised ja pikisuunaliste lainete levimiskiirus a määratakse valemiga (4).

Kui vardale mõjub ka selle ruumalaühiku kohta arvutatud välisjõud, siis saame (3) asemel

See on varda sunnitud pikisuunaliste vibratsioonide võrrand. Nagu dünaamikas üldiselt, ei piisa varda liikumise täielikuks määramiseks ainult liikumisvõrrandist (6). On vaja seada algtingimused, st määrata varda sektsioonide nihked ja nende kiirused algsel ajahetkel

kus ja on antud funktsioonid intervallis (

Lisaks tuleb määrata ridva otste piirtingimused. Näiteks.

Selles jaotises käsitleme homogeense varda pikisuunaliste vibratsioonide probleemi. Varras on silindriline (eriti prismakujuline) keha, mille venitamiseks või kokkusurumiseks tuleb rakendada teatud jõudu. Eeldame, et kõik jõud mõjuvad piki varda telge ja iga varda ristlõige (joonis 23) liigub translatsiooniliselt ainult mööda varda telge.

Tavaliselt on see eeldus õigustatud, kui varda põikimõõtmed on selle pikkusega võrreldes väikesed ja piki varda telge mõjuvad jõud on suhteliselt väikesed. Praktikas tekivad pikisuunalised vibratsioonid kõige sagedamini siis, kui varrast esmalt veidi venitatakse või, vastupidi, surutakse kokku ja jäetakse seejärel omapäi. Sel juhul tekivad selles vabad pikisuunalised vibratsioonid. Tuletame nende võnkumiste võrrandid.

Suuname abstsisstellje mööda varda telge (joon. 23); puhkeseisundis on varda otstel vastavalt abstsissid. - selle abstsiss on puhkeolekus.

Selle lõigu nihet igal ajal t iseloomustab funktsioon, mille leidmiseks peame looma diferentsiaalvõrrandi. Leiame esmalt sektsioonidega piiratud varda lõigu suhtelise pikenemise Kui lõigu abstsiss on puhkeasendis, siis on selle lõigu nihe ajahetkel t, mis on täpne kõrgema järgu lõpmatuseni.

Seetõttu on varda suhteline pikenemine abstsissiga lõigul ajahetkel t võrdne

Eeldades, et seda pikenemist põhjustavad jõud järgivad Hooke'i seadust, leiame lõikele mõjuva tõmbejõu T suuruse:

(5.2)

kus on varda ristlõike pindala ja varda materjali elastsusmoodul (Youngi moodul). Valem (5.2) peaks olema lugejale hästi teada materjalide tugevuse kursusest.

Vastavalt sellele on lõigule mõjuv jõud võrdne

Kuna jõud asendavad varda äravisatud osade mõju, on nende tulemuseks olev jõud võrdne erinevusega

Arvestades varda valitud lõiku materiaalseks punktiks massiga , kus on varda mahutihedus ja rakendades sellele Newtoni teist seadust, loome võrrandi

Lühendades tähistust ja sisestades selle, saame varda vabade pikisuunaliste vibratsioonide diferentsiaalvõrrandi

Kui lisaks eeldada, et vardale rakendub ruumalaühiku kohta arvutatud ja piki varda telge mõjuv välisjõud, siis lisatakse suhte (5 3) paremale poolele liige ja võrrand (5.4) võtab vormi

mis langeb täpselt kokku stringi sundvõnkumiste võrrandiga.

Liigume nüüd edasi ülesande alg- ja piirtingimuste kindlaksmääramise juurde ning vaatleme praktiliselt kõige huvitavamat juhtumit, kui varda üks ots on fikseeritud ja teine ​​vaba.

Vabas otsas on piirtingimusel erinev vorm. Kuna selles otsas välisjõude ei ole, peab ka lõigul mõjuv jõud T olema võrdne nulliga, s.t.

Võnked tekivad seetõttu, et alghetkel oli varras deformeerunud (venitatud või kokku surutud) ja varda punktidele anti teatud algkiirused. Seetõttu peame hetkel teadma varda ristlõigete nihkumist

samuti varda punktide algkiirused

Niisiis viis ühes otsas fikseeritud varda vaba pikisuunalise vibratsiooni probleem, mis tekkis esialgse kokkusurumise või pinge tõttu, võrrandini

algtingimustega

ja piirtingimused

See on viimane tingimus, mis matemaatilisest vaatepunktist eristab vaadeldavat probleemi mõlemas otsas fikseeritud stringi võnkumiste probleemist.

Lahendame Fourier' meetodiga püstitatud ülesande, s.t leiame võrrandile osalahendused, mis vastavad kujule (5.8) piirtingimusi

Kuna lahenduse edasine käik on sarnane juba §-s 3 väljatooduga, siis piirdume vaid lühikeste juhistega. Funktsiooni diferentseerimisel, saadud avaldiste asendamisel (5.6) ja muutujate eraldamisel saame

(Jätame lugejale iseseisvalt kindlaks teha, et piirtingimuste tõttu ei saa parempoolne konstant olla positiivne arv ega null.) Võrrandi üldlahend on kujul

Tulenevalt meie funktsioonile seatud tingimustest

Lahendused, mis ei ole identselt võrdsed nulliga, saadakse ainult siis, kui tingimus on täidetud, st , kus k võib võtta väärtusi

Niisiis, ülesande omaväärtused on arvud

Igal neist on oma funktsioon

Nagu me juba teame, korrutades mis tahes omafunktsiooni suvalise konstandiga, saame võrrandi lahenduse koos seatud piirtingimustega. Lihtne on kontrollida, et andes arvule k negatiivsed väärtused, ei saa me uusi omafunktsioone (näiteks at will annab tulemuseks funktsiooni, mis erineb omafunktsioonist ) ainult märgiga),

Tõestame esmalt, et omafunktsioonid (5.11) on intervallis ortogonaalsed. Tõepoolest, millal

Kui siis

Omafunktsioonide ortogonaalsust on võimalik tõestada ka muul viisil, mitte nende eksplitsiitsetele avaldistele tuginedes, vaid kasutades ainult diferentsiaalvõrrandit ja piirtingimusi. Olgu ja kaks erinevat omaväärtust ning vastavad omafunktsioonid. Definitsiooni järgi vastavad need funktsioonid võrranditele

ja piirtingimused. Korrutame esimese võrrandi teisega ja lahutame ühe teisest.

Varda all peame silmas silindrit П=0х[О, /], mil mina" diamD. Siin D- pindala koordinaattasandil Ox 2 x 3 (joonis 62). Varda materjal on homogeenne ja isotroopne ning härja telg läbib sektsiooni raskuskeskme D. Väliste massijõudude väli f(r, ma)=/(X|, /)e, kus e on Ox-telje ühikvektor. Olgu välispinna jõud silindri külgpinnal võrdsed nulliga, s.o. Ra= 0 sisse dD X

Seejärel järgneb (4.8) jaoks 1=0 võrdsus

Omad vormid X k(j) on mugav normaliseerida, kasutades ruumi normi /^(), kuhu funktsioon kuulub v(s, mina), kuna igal ajahetkel on kineetiline energia funktsionaalne ja on piiratud

Kus S- piirkonna pindala D. Meil on

X*(s) = Jj- sin^-l kiirusruumis I 0 = ji)(s, /): v(s,t)e

Selle tulemusena saame ortonormaalse aluse |l r *(^)| ,

Kus b kuni „- Kroneckeri sümbol: funktsioonid X k *(s), k= 1,2 on loomuliku vibratsiooni normaalsed režiimid ja ω*, k= 1, 2, ..., - lõpmatu arvu vabadusastmetega süsteemi võnkumiste omasagedused.

Kokkuvõtteks märgime, et funktsioon u(s, /) kuulub süsteemi H, = konfiguratsiooniruumi (v(s, t): v(s, t).) e e ^(), u(0, 1) = o(1, /) = 0), kus U^"OO, / ]) on Sobolevi funktsioonide ruum, mis liidetakse koos intervalli esimeste tuletiste ruutudega. Ruum I on potentsiaalse energia funktsionaalse definitsioonipiirkond elastsetest deformatsioonidest

ja sisaldab vaadeldava probleemi üldistatud lahendusi.

Jaotatud parameetritega süsteemide vabavõnked

Lõpmatu arvu vabadusastmetega süsteemide vabavõnkumiste protsessi põhitunnus väljendub omasageduste ja režiimikujude arvu lõpmatuses. Seda seostatakse ka matemaatiliste tunnustega: tavaliste diferentsiaalvõrrandite asemel, mis kirjeldavad lõpliku arvu vabadusastmetega süsteemide võnkumisi, tuleb siin tegeleda osadiferentsiaalvõrranditega. Lisaks algtingimustele, mis määravad algnihked ja -kiirused, on vaja arvestada ka süsteemi fikseerimist iseloomustavate piirtingimustega.

6.1. Varraste pikisuunalised vibratsioonid

Sirge varda pikivõnkumiste analüüsimisel (joon. 67, a) eeldame, et ristlõiked jäävad tasaseks ja varda osakesed ei soorita põikliigutusi, vaid liiguvad ainult pikisuunas.

Lase u - varda praeguse lõigu pikisuunaline liikumine vibratsiooni ajal; see liikumine sõltub lõigu asukohast (koordinaadid x) ja ajast t. Seega on kahe muutuja funktsioon; selle määratlus kujutab endast peamist ülesannet. Lõpmatult lähedase lõigu nihe on võrdne , seega on lõpmata väikese elemendi absoluutpikenemine võrdne (joonis 67, b) ja selle suhteline pikenemine on .

Vastavalt sellele pikisuunaline jõud lõigus koordinaadiga X saab kirjutada kui

,(173)

kus on varda jäikus pinges (surumisel). Jõud N on samuti kahe argumendi – koordinaatide – funktsioon X ja aeg t.

Vaatleme varraselementi, mis paikneb kahe lõpmatult tiheda lõigu vahel (joon. 67, c). Elemendi vasakule küljele rakendatakse jõudu N ja paremale küljele. Kui tähistame varda materjali tihedust, siis on kõnealuse elemendi mass . Seetõttu on liikumisvõrrand projektsioonis teljele X

,

Arvestades(173)ja ​​aktsepteerides A= const, saame

Fourier' meetodit järgides otsime diferentsiaalvõrrandile (175) konkreetset lahendust kujul

,(177)

need. oletame, et liikumine u saab esitada kahe funktsiooni korrutisena, millest üks sõltub ainult argumendist X, ja teine ​​ainult argumendist t. Siis on kahe muutuja funktsiooni u (x, t) defineerimise asemel vaja defineerida kaks funktsiooni X(x) ja T(t), millest kumbki sõltub ainult ühest muutujast.

Asendades (177) väärtusega (174), saame

kus algarvud näitavad diferentseerumise toimimist suhtes x, ja punktide kaupa t. Kirjutame selle võrrandi ümber järgmiselt:

Siin sõltub vasak pool ainult x-st ja parem pool ainult t-st. Et see võrdsus kehtiks identselt (mis tahes x ja t) on vajalik, et iga selle osa oleks võrdne konstandiga, mida tähistame:

; .(178)

See toob kaasa kaks võrrandit:

;.(179)

Esimesel võrrandil on lahendus:

,(180)

mis näitab võnkuvat olemust ja (180) põhjal on selge, et tundmatul suurusel on vabade võnkumiste sageduse tähendus.

Teisel võrrandil (179) on lahendus:

,(181)

vibratsiooni kuju määramine.

Väärtuse määrav sagedusvõrrand koostatakse piirtingimuste abil. See võrrand on alati transtsendentaalne ja sellel on lõpmatu arv juuri. Seega on omasageduste arv lõpmatu ja iga sageduse väärtus vastab oma funktsioonile T n (t), mis on määratud sõltuvusega (180), ja oma funktsioonile Xn (x), mis on määratud sõltuvusega (181). Lahendus (177) on ainult osaline ega anna liikumise täielikku kirjeldust. Terviklahendus saadakse kõigi osalahenduste pealekandmisel:

.

Funktsioonid X n (x) kutsutakse enda funktsioonid probleeme ja kirjeldada oma vibratsioonirežiime. Need ei sõltu algtingimustest ja vastavad ortogonaalsuse tingimusele, mis A=const korral on kujul

, Kui.

Vaatleme mõningaid piirtingimuste võimalusi.

Varda fikseeritud ots(Joon. 68, a). Lõpusõigul peab nihe u olema null; sellest järeldub, et selles jaotises

X=0(182)

Varda vaba ots(joonis 68, b). Lõpusosas pikisuunaline jõud

(183)

peab olema identselt võrdne nulliga, mis on võimalik, kui lõpus X"=0.

Vastupidav varda ots(joonis 68, c).

Liikumisel u otsavarda, tekib elastne toereaktsioon , kus C o on toe jäikus. Võttes arvesse (183) pikisuunalise jõu jaoks, saame piirtingimuse

kui tugi asub varda vasakpoolses otsas (joonis 68, c) ja

kui tugi asub varda paremas otsas (joonis 68, d).

Kontsentreeritud mass varda otsas.

Massi poolt arendatav inertsjõud:

.

Kuna esimese võrrandi (179) kohaselt saab inertsjõu kirjutada kujul . Saame piirtingimuse

,

kui mass on vasakpoolses otsas (joon. 68, d), ja

, (184)

kui mass on ühendatud parema otsaga (joon. 68, e).

Määrame konsoolvarda omasagedused (joon. 68,a").

Vastavalt (182) ja (183) piirtingimustele

X = 0 ja x = 0;

X"=0 at x= .

Asendades need tingimused ükshaaval lahusega (181), saame

Tingimus C0 viib sagedusvõrrandini:

Selle võrrandi juured

(n=1,2,…)

määrake loomulikud sagedused:

(n=1,2,…).(185)

Esimene (madalaim) sagedus n=1 juures:

.

Teine sagedus (n = 2):

Määrame varda omasagedused, mille otsas on mass (joon. 68, f).

Vastavalt (182) ja (184) on meil

X = 0 ja x = 0;

juures x= .

Asendades need tingimused lahendusega (181), saame:

D=0; .

Järelikult on sagedusvõrrand (176) arvesse võttes kuju

.

Siin on parem pool varda massi ja lõppkoormuse massi suhet.

Saadud transtsendentaalse võrrandi lahendamiseks on vaja kasutada mõnda ligikaudset meetodit.

At ja kõige olulisema madalaima juure väärtused on vastavalt 0,32 ja 0,65.

Väikese vahekorra korral on koormusel otsustav mõju ja ligikaudne lahendus annab häid tulemusi

.

Muutuva ristlõikega vardadele, s.o. Аconst jaoks saadakse (173) ja (174) liikumisvõrrand kujul

.

Seda diferentsiaalvõrrandit ei saa lahendada suletud kujul. Seetõttu on sellistel juhtudel vaja omasageduste määramiseks kasutada ligikaudseid meetodeid.

6.2. Võllide väändvõnked

Pidevalt jaotunud massiga võllide (joonis 69, a) väändevõngeid kirjeldatakse võrranditega, mis oma struktuurilt langevad täielikult kokku ülaltoodud varraste pikisuunaliste vibratsioonide võrranditega.

Pöördemoment M abstsissiga sektsioonis X on seotud pöördenurgaga diferentsiaalsõltuvusega, mis on sarnane (173):

Kus Jp-ristlõike polaarne inertsmoment.

Kaugemal asuvas osas dx, on pöördemoment võrdne (joonis 69, b):

Tähistades läbi (kus on võlli materjali tihedus) võlli massi inertsmomendi intensiivsust selle telje suhtes (st inertsmomenti pikkuseühiku kohta), võlli elementaarse lõigu liikumisvõrrandit. saab kirjutada järgmiselt:

,

või sarnane (174):

.

Avaldis (186) asendatakse siin sõnaga Jp=const saame sarnaselt (175):

, (187)

Võrrandi (187) üldlahendusel, nagu ka võrrandil (175), on vorm

,

(188)

Omasagedused ja omafunktsioonid on määratud konkreetsete piirtingimustega.

Otste fikseerimise põhijuhtudel saame sarnaselt pikivõngete korral

a) fikseeritud ots (=0): X=0;

b) vaba ots (M = 0): X" = 0;

V) vastupidavad vasak ots: CoХ=GJpX "(kaasjäikuskoefitsient);

G) vastupidavad parem ots: -CoX=GJpX ";

e) ketas vasakus otsas: (Jo on ketta inertsimoment varda telje suhtes);

e) ketas paremas otsas: .

Kui võll on fikseeritud vasakpoolses otsas (x=0) ja parem ots (x=) on vaba, siis X=0 juures x=0 ja X"=0 juures x=; omasagedused määratakse sarnaselt ( 185):

(n=1,2,…).

Kui vasak ots on fikseeritud ja paremas otsas on ketas, saame transtsendentaalse võrrandi:

.

Kui võlli mõlemad otsad on fikseeritud, on piirtingimusteks x=0 ja x= X=0. Sel juhul saame (188)-st

need.

(n=1,2,…),

siit leiame loomulikud sagedused:

Kui võlli vasak ots on vaba ja paremas otsas on ketas, siis X"=0 x=0;Jo X=GJpX "x= jaoks.

Kasutades (188) leiame

C=0; ,

või transtsendentaalse sageduse võrrand:

.

6.3.Talade painutusvibratsioonid

6.3.1 Põhivõrrand

Materjalide tugevuse kursusest on teada painutustalade erinevused:

kus EJ on painde jäikus; y=y (x, t) - läbipaine; M=M(x, t) - paindemoment; q on jaotatud koormuse intensiivsus.

Kombineerides (189) ja (190), saame

.(191)

Vabade vibratsioonide probleemis on elastse skeleti koormus jaotatud inertsiaaljõud:

kus m on kiire massi intensiivsus (mass pikkuseühiku kohta) ja võrrand (191) saab kuju

.

Konstantse ristlõike erijuhul, kui EJ = const, m = const, on meil:

.(192)

Võrrandi (192) lahendamiseks eeldame, nagu eespool,

y= X ( x)× T ( t ).(193)

Asendades (193) väärtusega (192), jõuame võrrandini:

.

Selle võrdsuse identseks täitmiseks on vajalik, et kõik võrdsuse osad oleksid konstantsed. Tähistades seda konstanti tähega , saame kaks võrrandit:

.(195)

Esimene võrrand näitab, et liikumine on sagedusega võnkuv.

Teine võrrand määrab vibratsiooni kuju. Võrrandi (195) lahendus sisaldab nelja konstanti ja sellel on vorm

Mugav on kasutada A. N. Krylovi pakutud üldlahenduse kirjutamise varianti:

(198)

esindavad A. N. Krylovi funktsioone.

Pöörame tähelepanu sellele, et S=1, T=U=V=0 x=0 juures. Funktsioonid S,T,U,V on omavahel seotud järgmiselt:

Seetõttu kirjutatakse tuletisväljendid (197) kujul

(200)

Vaadeldava klassi ülesannetes on omasageduste arv lõpmatult suur; igaühel neist on oma ajafunktsioon T n ja oma põhifunktsioon X n . Üldlahend saadakse vormi (193) osalahenduste pealesurumisega.

.(201)

Omasageduste ja valemite määramiseks on vaja arvestada piirtingimustega.

6.3.2. Piiritingimused

Iga riba jaoks saate määrata kaks piirtingimust .

Varda vaba ots(Joon. 70, a). Ristjõud Q=EJX""T ja paindemoment M=EJX""T on võrdsed nulliga. Seetõttu on piirtingimustel vorm

X""=0; X"""=0 .(202)

Hingedega toetatud varda ots(joonis 70, b). Läbipaine y=XT ja paindemoment M=EJX""T on võrdne nulliga. Seetõttu on piirtingimused järgmised:

X = 0; X""=0 .(203)

Näpistatud ots(Joon. 70, c). Läbipaine y=XT ja pöördenurk on võrdne nulliga. Piiritingimused:

X = 0; X"=0. (204)

Varda otsas on punktmass(Joon. 70, d). Tema inertsjõud saab kirjutada võrrandi (194) abil järgmiselt: ; see peab olema võrdne nihkejõuga Q=EJX"""T, nii et piirtingimused on kujul

; X""=0 .(205)

Esimesel tingimusel võetakse plussmärk, kui punktkoormus on ühendatud varda vasaku otsaga, ja miinusmärk, kui see on ühendatud varda parema otsaga. Teine tingimus tuleneb paindemomendi puudumisest.

Elastselt toetatud varda ots(Joon. 70, d). Siin on paindemoment null ja põikjõud Q=EJX"""T võrdub tugireaktsiooniga (C o - toe jäikuse koefitsient).

Piiritingimused:

X""=0; (206)

(miinusmärk võetakse, kui elastne tugi on vasakule ja plussmärk, kui see on parem).

6.3.3. Sagedusvõrrand ja omavormid

Piirtingimuste laiendatud registreerimisel saadakse homogeensed võrrandid konstantide C 1, C 2, C 3, C 4 suhtes.

Et need konstandid ei oleks nulliga võrdsed, peab süsteemi koefitsientidest koosnev determinant olema võrdne nulliga; see viib sagedusvõrrandini. Nende operatsioonide käigus selgitatakse C 1, C 2, C 3, C 4 omavahelisi seoseid, st. määratakse loomulikud vibratsioonirežiimid (kuni konstantse tegurini).

Jälgime näidete abil sagedusvõrrandite koostist.

Hingedega otstega tala jaoks on meil vastavalt (203) järgmised piirtingimused: X=0; X""=0, kui x=0 ja x= . Kasutades (197)-(200) saame kahest esimesest tingimusest: C 1 =C 3 =0. Ülejäänud kaks tingimust saab kirjutada kui

Selleks, et C 2 ja C 4 ei oleks nulliga võrdsed, peab determinant olema võrdne nulliga:

.

Seega on sagedusvõrrandil vorm

.

Asendades avaldised T ja U, saame

Kuna , kirjutatakse lõplik sagedusvõrrand järgmiselt:

. (207)

Selle võrrandi juured on:

,(n = 1,2,3,...).

Võttes arvesse (196), saame

.(208)

Liigume edasi oma vormide määratlemise juurde. Ülalpool kirjutatud homogeensetest võrranditest tuleneb järgmine seos konstantide C 2 ja C 4 vahel:

.

Järelikult (197) võtab kuju

Vastavalt (207) on meil

,(209)

kus on uus konstant, mille väärtus jääb ebakindlaks kuni algtingimuste arvessevõtmiseni.

6.3.4. Liikumise määramine algtingimuste põhjal

Kui on vaja määrata alghäirele järgnev liikumine, siis on vaja näidata nii algnihked kui ka algkiirused kiire kõikide punktide jaoks:

(210)

ja kasutada omavormide ortogonaalsuse omadust:

.

Kirjutame üldlahenduse (201) järgmiselt:

.(211)

Kiiruse annab

.(212)

Asendades valemite (211) ja (212) parempoolsete külgede ja vasakpoolsete külgedega eeldatavalt teadaolevad algsed nihked ja kiirused, saame

.

Korrutades need avaldised ja integreerides kogu pikkuses, saame

(213)

Lõpmatud summad paremal pool on ortogonaalsuse omaduse tõttu kadunud. Alates (213) järgige konstantide valemeid ja

(214)

Nüüd tuleb need tulemused asendada lahusega (211).

Rõhutame veel kord, et omavormide skaala valik on ebaoluline. Kui näiteks omakuju (209) avaldises võtame selle asemel kordades suurema väärtuse, siis (214) annab korda väiksemad tulemused; pärast asendamist lahusega (211) need erinevused kompenseerivad üksteist. Sellegipoolest kasutavad nad sageli normaliseeritud omafunktsioone, valides nende skaala nii, et avaldiste (214) nimetajad on võrdsed ühega, mis lihtsustab avaldisi ja .

6.3.5. Konstantse pikisuunalise jõu mõju

Vaatleme juhtumit, mil võnkuvale kiirele mõjub pikisuunaline jõud N, mille suurus võnkeprotsessi käigus ei muutu. Sel juhul muutub staatiline paindevõrrand keerulisemaks ja võtab kuju (eeldusel, et survejõud loetakse positiivseks)

.

Eeldades ja arvestades jäikuse konstanti, saame vabade vibratsioonide võrrandi

.(215)

Me aktsepteerime jätkuvalt vormis konkreetset lahendust.

Seejärel jaguneb võrrand (215) kaheks võrrandiks:

Esimene võrrand väljendab lahenduse võnkuvust, teine ​​määrab võnkumiste kuju ja võimaldab leida ka sagedusi. Kirjutame selle ümber järgmiselt:

(216)

Kus K määratakse valemiga (196) ja

Võrrandi (216) lahendusel on vorm

Vaatleme juhtumit, kui varda mõlemal otsal on hingedega toed. Tingimused vasakpoolses otsas anna . Täidates samu tingimusi õiges otsas, saame

Võrreldes suuruste ja koefitsientidest koosneva determinandi nulliga, jõuame võrrandini

Selle sagedusvõrrandi juured on järgmised:

Seetõttu määratakse võrrandist loomulik sagedus

.

Siit, võttes arvesse (217), leiame

.(219)

Venitamisel sagedus suureneb, kokkusurumisel väheneb. Kui survejõud N läheneb kriitilisele väärtusele, kipub juur nulli.

6.3.6. Aheljõudude mõju

Varem peeti pikisuunalist jõudu antud ja süsteemi nihketest sõltumatuks. Mõne praktilise probleemi korral tekib põikivõnke protsessiga kaasnev pikisuunaline jõud tala painde tõttu ja sellel on toetusreaktsiooni iseloom. Mõelge näiteks talale kahel hingedega ja fikseeritud toel. Kui see paindub, tekivad tugede horisontaalsed reaktsioonid, mille tõttu tala venib; tavaliselt nimetatakse vastavat horisontaalset jõudu keti jõud. Kui tala võngub risti, muutub keti jõud aja jooksul.

Kui hetkel t on tala läbipainded määratud funktsiooniga, siis telje pikenemise saab leida valemiga

.

Leiame vastava aheljõu, kasutades Hooke'i seadust

.

Asendame selle tulemuse pikisuunalise jõu N asemel väärtusega (215) (arvestades märki)

.(220)

Saadud mittelineaarne integrodiferentsiaalne võrrandit lihtsustatakse asendamise abil

,(221)

kus on aja dimensioonita funktsioon, mille maksimumväärtuse saab määrata võrdseks mis tahes arvuga, näiteks ühtsusega; võnkumiste amplituud.

Asendades (221) väärtusega (220), saame tavalise diferentsiaalvõrrandi

,(222)

mille koefitsientidel on järgmised väärtused:

;.

Diferentsiaalvõrrand (222) on mittelineaarne, seetõttu sõltub vabade võnkumiste sagedus nende amplituudist.

Põikvibratsiooni sageduse täpne lahendus on vormis

kus on põikivõnke sagedus, mis on arvutatud ilma ketijõude arvesse võtmata; parandustegur, mis sõltub võnkeamplituudi ja ristlõike pöörlemisraadiuse suhtest; väärtus on toodud teatmekirjanduses.

Kui ristlõike keerdumise amplituud ja raadius on proportsionaalsed, muutub sageduse korrigeerimine oluliseks. Kui näiteks ümarvarda vibratsiooni amplituud on võrdne selle läbimõõduga, siis , ja sagedus on peaaegu kaks korda suurem kui tugede vaba nihke korral.

Juhtum vastab inertsiraadiuse nullväärtusele, kui tala paindejäikus on kaduvalt väike - string. Samas annab valem ebakindlust. Selgitades seda ebakindlust, saame stringi vibratsiooni sageduse valemi

.

See valem kehtib juhul, kui pinge on tasakaaluasendis null. Sageli seatakse stringide võnkumiste probleem muudele eeldustele: arvatakse, et nihked on väikesed ning tõmbejõud on antud ja jääb võnkeprotsessi ajal muutumatuks.

Sel juhul on sageduse valemil vorm

kus N on konstantne tõmbejõud.

6.4. Viskoosse hõõrdumise mõju

Varem eeldati, et varraste materjal on täiesti elastne ja hõõrdumist ei esine. Vaatleme sisehõõrdumise mõju, eeldades, et see on viskoosne; siis pinge ja deformatsiooni seost kirjeldavad seosed

;.(223)

Laske hajutatud parameetritega vardal teha vabu pikisuunalisi vibratsioone. Sel juhul kirjutatakse pikisuunaline jõud vormile

Varraselemendi liikumisvõrrandist saadi seos (174).

Asendades siin (224), jõuame peamise diferentsiaalvõrrandini

,(225)

mis erineb (175)-st teise liikme võrra, mis väljendab viskoossete hõõrdejõudude mõju.

Fourier' meetodit järgides otsime võrrandile (225) lahendust kujul

,(226)

kus funktsioon on ainult koordinaadid x ja funktsioon on ainult aeg t.

Sel juhul peab seeria iga liige täitma ülesande piirtingimused ja kogu summa peab samuti vastama algtingimustele. Asendades (226) väärtusega (225) ja nõudes, et mis tahes arvu võrdsus oleks täidetud r, saame

,(227)

kus algarvud näitavad diferentseerumist koordinaadi suhtes x, ja punktid on diferentseerumine aja t suhtes.

Jagades (227) tootega , jõuame võrdsuseni

,(228)

vasak pool, mis võib sõltuda ainult koordinaadist x, ja õige - ainult ajast t. Võrdsuse (228) identseks täitmiseks on vajalik, et mõlemad osad oleksid võrdsed sama konstandiga, mida tähistame .

Sellest lähtuvalt järgige võrrandeid

(229)

.(230)

Võrrand (229) ei sõltu viskoossuskoefitsiendist K ja eelkõige jääb samaks täiesti elastse süsteemi korral, kui . Seetõttu langevad numbrid täielikult kokku varem leitud numbritega; kuid nagu allpool näidatud, annab see väärtus ainult ligikaudse omasageduse väärtuse. Pange tähele, et omakujud on täiesti sõltumatud varda viskoossetest omadustest, st. vabade summutatud võnkumiste vormid langevad kokku vabade summutamata võnkumiste vormidega.

Liigume nüüd võrrandi (230) juurde, mis kirjeldab summutatud võnkumiste protsessi; selle lahendusel on vorm

.(233)

Avaldis (232) määrab vaibumiskiiruse ja (233) määrab võnkesageduse.

Seega ülesande võrrandi täielik lahendus

.(234)

Püsiv ja alati leitav etteantud algtingimuste alusel. Olgu kõigi varda sektsioonide algnihked ja algkiirused määratud järgmiselt:

;,(235)

kus ja on teada funktsioonid.

Siis on meil vastavalt (211) ja (212) jaoks

korrutades nende võrduste mõlemad pooled ja integreerides kogu varda pikkuses, saame

(236)

Vastavalt omavormide ortogonaalsuse tingimusele muutuvad kõik ülejäänud nende võrrandite parempoolsetele külgedele kuuluvad liikmed nulliks. Nüüd on võrdustest (236) lihtne leida suvalise arvu r jaoks.

Arvestades (232) ja (234), märgime, et mida suurem on vibratsioonirežiimi number, seda kiirem on selle summutus. Lisaks kirjeldavad punktis (234) sisalduvad terminid summutatud võnkumisi, kui on olemas reaalarv. Alates (233) on selge, et see juhtub ainult mõne r algväärtuse korral seni, kuni ebavõrdsus on täidetud

Piisavalt suurte väärtuste puhul r ebavõrdsust (237) rikutakse ja kvantiteet muutub kujuteldavaks. Sel juhul ei kirjelda üldlahenduse (234) vastavad terminid enam summutatud võnkumisi, vaid esindavad aperioodilist summutatud liikumist. Teisisõnu väljendavad vibratsioonid selle sõna tavapärases tähenduses ainult teatud lõplik osa summast (234).

Kõik need kvalitatiivsed järeldused kehtivad mitte ainult pikisuunalise vibratsiooni, vaid ka väände- ja paindevibratsiooni puhul.

6.5. Muutuva ristlõikega varraste vibratsioonid

Juhtudel, kui varda jaotunud mass ja ristlõige on pikisuunalise vibratsiooni võrrandi (175) asemel muutuv, tuleks lähtuda võrrandist.

.(238)

Väändevõnke võrrand (187) tuleb asendada võrrandiga

,(239)

ja põikivõngete võrrand (192) on võrrand

.(240)

Võrrandid (238)-(240) sarnaste asenduste abil ;; saab taandada funktsiooni tavalisteks diferentsiaalvõrranditeks