Vedrupendli maksimaalne kiirus. A

Kehad, mis mõjutavad elastsusjõudu, mille potentsiaalne energia on võrdeline keha tasakaaluasendist nihke ruuduga:

kus k on vedru jäikus.

Vaba mehaanilise vibratsiooni korral muutuvad kineetilised ja potentsiaalsed energiad perioodiliselt. Keha maksimaalsel kõrvalekaldel tasakaaluasendist kaob selle kiirus ja seega ka kineetiline energia. Selles asendis saavutab võnkuva keha potentsiaalne energia maksimaalse väärtuse. Horisontaalse vedru koormuse korral on potentsiaalne energia vedru elastse deformatsiooni energia.

Kui liikuv keha läbib tasakaaluasendi, on selle kiirus maksimaalne. Sel hetkel on sellel maksimaalne kineetiline ja minimaalne potentsiaalne energia. Suurendada kineetiline energia tekib vähenemise tõttu potentsiaalne energia. Edasise liikumisega hakkab potentsiaalne energia suurenema kineetilise energia vms vähenemise tõttu.

Seega toimub harmooniliste võnkumiste ajal kineetilise energia perioodiline muundumine potentsiaalseks energiaks ja vastupidi.

Kui võnkesüsteemis pole hõõrdumist, siis lõpetage mehaaniline energia vabade võnkumiste ajal jääb muutumatuks.

Kevadise kaalu jaoks:

Keha võnkuv liikumine käivitatakse nupu Start abil. Nupp Stop võimaldab teil protsessi igal ajal peatada.

Näitab graafiliselt potentsiaalsete ja kineetilise energia suhet võnkumiste ajal igal ajal. Pange tähele, et sumbumise puudumisel koguenergia võnkesüsteem jääb muutumatuks, potentsiaalne energia saavutab maksimumi keha maksimaalse kõrvalekaldega tasakaaluasendist ja kineetiline energia võtab maksimaalne väärtus kui keha läbib tasakaaluasendi.

(1.7.1)

Kui kuul nihutatakse tasakaaluasendist kauguse x võrra, siis võrdub vedru pikenemine väärtusega Δl 0 + x. Seejärel saab saadud jõud väärtuseks:

Võttes arvesse tasakaalutingimust (1.7.1), saame:

Miinusmärk näitab, et nihe ja jõud on vastassuunalised.

Elastsel jõul f on järgmised omadused:

1. See on võrdeline kuuli nihkega tasakaaluasendist;
2. See on alati suunatud tasakaaluasendisse.

Selleks, et teavitada süsteemi nihkest x, peate tegema vastupidist elastsusjõud töökoht:

See töö pooleli süsteemi potentsiaalse energia reservi loomiseks:

Elastse jõu mõjul liigub pall tasakaaluasendi poole üha suurema kiirusega. Seetõttu süsteemi potentsiaalne energia väheneb, kuid kineetiline energia suureneb (jätame vedru massi tähelepanuta). Pärast tasakaaluasendi saavutamist jätkab pall inertsist liikumist. See on aeglane liikumine ja see peatub, kui kineetiline energia muudetakse täielikult potentsiaalseks energiaks. Siis toimub sama protsess, kui pall sisse liigub vastupidine suund. Kui süsteemis pole hõõrdumist, võngub pall lõputult.

Newtoni teise seaduse võrrand on sel juhul:

Teisendame võrrandi järgmiselt:

Võttes kasutusele tähise, saame lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrand teine ​​järjekord:

Seda on lihtne kontrollida otsese asendamise teel üldine lahendus võrrandil (1.7.8) on järgmine kuju:

kus a on amplituud ja φ on võnke algfaas - konstandid. Seetõttu kõikumine vedru pendel on harmooniline (joonis 1.7.2).

Riis. 1.7.2. Harmooniline võnkumine

Koosinuse perioodilisuse tõttu korduvad võnkesüsteemi erinevad seisundid teatud aja (võnkeperioodi) T järel, mille jooksul võnkefaas saab juurdekasvu 2π. Perioodi saate arvutada võrrandi abil:

millest järeldub:

Võnkumiste arvu ajaühikus nimetatakse sageduseks:

Sagedusühik on sellise võnke sagedus, mille periood on 1 s. Seda seadet nimetatakse 1 Hz.

Alates (1.7.11) järeldub, et:

Seetõttu on ω 0 2π sekundi jooksul sooritatud võnkumiste arv. Suurust ω 0 nimetatakse ringsageduseks või tsükliliseks sageduseks. Kasutades (1.7.12) ja (1.7.13), kirjutame:

Eristades () aja järgi, saame palli kiiruse avaldise:

(1.7.15) järeldub, et ka kiirus muutub harmoonilise seaduse järgi ja suurendab faasinihet ½π võrra. Diferentseerides (1.7.15) saame kiirenduse:

1.7.2. Matemaatika pendel

Matemaatiline pendel nimetatakse idealiseeritud süsteemiks, mis koosneb laiendamatust kaalutu niit, millel on riputatud keha, mille kogu mass on koondunud ühte punkti.

Pendli kõrvalekallet tasakaaluasendist iseloomustab keerme ja vertikaaliga moodustatud nurk φ (joon. 1.7.3).

Riis. 1.7.3. Matemaatika pendel

Kui pendel kaldub tasakaaluasendist kõrvale, pöördemoment, mis kipub pendlit tagasi viima tasakaaluasendisse:

Kirjutame pendli dünaamilise võrrandi pöörlev liikumine, võttes arvesse, et selle inertsimoment on võrdne ml 2:

Selle võrrandi saab taandada järgmisele kujule:

Piirdudes väikeste võnkumiste korral sinφ ≈ φ ja tutvustades tähistust:

võrrandit (1.7.19) saab esitada järgmiselt:

mis vormilt ühtib vedrupendli võnkevõrrandiga. Seetõttu on selle lahendus harmooniline võnkumine:

(1.7.20) järeldub, et võnkumiste tsükliline sagedus matemaatiline pendel sõltub selle pikkusest ja kiirendusest vabalangemine. Kasutades võnkeperioodi () ja (1.7.20) valemit, saame üldtuntud seose:

1.7.3. Füüsiline pendel

Füüsilist pendlit nimetatakse tahke, mis on võimeline ümber võnkuma fikseeritud punkt, mis ei lange kokku inertskeskmega. Tasakaaluasendis paikneb pendli C inertskese C riputuspunkti O all samal vertikaalil (joonis 1.7.4).

Riis. 1.7.4. Füüsiline pendel

Kui pendel kaldub tasakaaluasendist kõrvale nurga φ võrra, tekib pöörlemismoment, mis kipub pendli tagasi tasakaaluasendisse viima:

kus m on pendli mass, l on kaugus riputuspunkti ja pendli inertskeskme vahel.

Kirjutame pendli pöörlemise dünaamika võrrandi, võttes arvesse, et selle inertsimoment on võrdne I-ga:

Väikeste vibratsioonide korral sinφ ≈ φ. Seejärel tutvustame tähistust:

mis kattub vormilt ka vedrupendli võnkevõrrandiga. Võrranditest (1.7.27) ja (1.7.26) järeldub, et väikeste kõrvalekallete korral füüsiline pendel tasakaaluasendist sooritab harmoonilist võnkumist, mille sagedus sõltub pendli massist, inertsmomendist ning pöörlemistelje ja inertskeskme vahelisest kaugusest. Kasutades (1.7.26), saate arvutada võnkeperioodi:

Võrreldes valemeid (1.7.28) ja () saame, et matemaatiline pendel pikkusega:

on sama võnkeperiood kui vaadeldaval füüsilisel pendlil. Kogust (1.7.29) kutsutakse antud pikkus füüsiline pendel. Järelikult on füüsilise pendli vähendatud pikkus matemaatilise pendli pikkus, mille võnkeperiood on võrdne antud füüsikalise pendli võnkeperioodiga.

Nimetatakse punkti sirgjoonel, mis ühendab vedrustuspunkti inertsikeskmega ja mis asub pöörlemisteljest etteantud pikkuse kaugusel. kiigekeskus füüsiline pendel. Steineri teoreemi kohaselt on füüsikalise pendli inertsmoment võrdne:

kus I 0 on inertsimoment inertskeskme suhtes. Asendades (1.7.30) väärtusega (1.7.29), saame:

Järelikult on vähendatud pikkus alati suurem kui kaugus vedrustuspunkti ja pendli inertskeskme vahel, nii et vedrustuspunkt ja pöördekese jäävad piki erinevad küljed inertsi keskpunktist.

1.7.4. Harmooniliste vibratsioonide energia

Harmoonilise vibratsiooni korral toimub võnkekeha kineetilise energia E k ja potentsiaalse energia E p perioodiline vastastikune muundamine, mis on põhjustatud kvaasielastse jõu toimel. Need energiad moodustavad võnkesüsteemi koguenergia E:

Kirjutame välja viimase väljendi

Kuid k = mω 2, seega saame avaldise võnkuva keha koguenergia kohta

Seega on harmoonilise vibratsiooni koguenergia konstantne ja võrdeline vibratsiooni amplituudi ja ringsageduse ruuduga.

1.7.5. Summutatud võnkumised .

Õppides harmoonilised vibratsioonid hõõrde- ja takistusjõud, mis eksisteerivad tõelised süsteemid. Nende jõudude toime muudab oluliselt liikumise olemust, võnkumine muutub tuhmumine.

Kui süsteemis on lisaks kvaasielastsele jõule ka keskkonna takistusjõud (hõõrdejõud), siis saab Newtoni teise seaduse kirjutada järgmiselt:

kus r on hõõrdetegur, mis iseloomustab keskkonna liikumist takistavaid omadusi. Asendame (1.7.34b) väärtusega (1.7.34a):

Selle funktsiooni graafik on näidatud joonisel 1.7.5 täiskõveraga 1 ja katkendjoon 2 näitab amplituudi muutust:

Väga väikese hõõrdumise korral on summutatud võnkeperiood lähedane summutamata perioodile vaba vibratsioon(1.7.35.b)

Määratakse võnkumiste amplituudi vähenemise kiirus sumbumise koefitsient: mida suurem β, seda tugevam on söötme inhibeeriv toime ja seda kiiremini amplituud väheneb. Praktikas iseloomustatakse sageli sumbumise astet logaritmilise summutuse vähenemine, mis tähendab selle all väärtust, mis on võrdne naturaallogaritm kahe järjestikuse võnkeamplituudi suhe, mis on eraldatud võnkeperioodiga võrdse ajaintervalliga:

;

Seetõttu on sumbumiskoefitsient ja logaritmiline dekrement sumbumised on seotud üsna lihtsa seosega:

Tugeva summutamise korral näitab valem (1.7.37), et võnkeperiood on mõtteline suurus. Liikumist sel juhul juba nimetatakse perioodiline. Aperioodilise liikumise graafik on näidatud joonisel fig. 1.7.6. Pidev ja summutatud võnkumised helistas oma või tasuta. Need tekivad esialgse nihke tõttu või algkiirus ja need viiakse läbi puudumisel välismõju algselt kogunenud energia tõttu.

1.7.6. Sunnitud vibratsioonid. Resonants .

Sunnitud võnkumised on need, mis esinevad osalusega süsteemis väline jõud, mis varieerub vastavalt perioodilisele seadusele.

Oletame, et edasi materiaalne punkt lisaks kvaasielastsele jõule ja hõõrdejõule on väline liikumapanev jõud

,

kus F 0 - amplituud; ω - liikumapaneva jõu võnkumiste ringsagedus. Loome diferentsiaalvõrrandi (Newtoni teine ​​seadus):

,

Sundvõnkumise amplituud (1.7.39) on otseselt võrdeline liikumapaneva jõu amplituudiga ja sellel on kompleksne sõltuvus keskkonna summutusteguril ning loomulike ja sunnitud vibratsioonide ringsagedustel. Kui süsteemi jaoks on antud ω 0 ja β, siis amplituud sunnitud võnkumised on mõnel maksimaalne väärtus teatud sagedus sundjõud kutsus kõlama.

Nimetatakse nähtust ennast - maksimaalse amplituudi saavutamist antud ω 0 ja β korral resonants.

Riis. 1.7.7. Resonants

Takistuse puudumisel on sundvõnkumiste amplituud resonantsil lõpmatult suur. Sel juhul alates ω res =ω 0, s.o. resonants süsteemis ilma summutamiseta tekib siis, kui liikumapaneva jõu sagedus langeb kokku omavõnkumiste sagedusega. Sundvõnkumiste amplituudi graafiline sõltuvus liikumapaneva jõu ringsagedusest erinevad tähendused sumbumiskoefitsient on näidatud joonisel fig. 5.

Mehaaniline resonants võib olla nii kasulik kui ka kahjulik. Resonantsi kahjulikud mõjud on peamiselt tingitud hävingust, mida see võib põhjustada. Niisiis, tehnoloogias, võttes arvesse erinevaid vibratsioone, on vaja ette näha võimalikud sündmused resonantstingimustes, vastasel juhul võivad tekkida hävingud ja katastroofid. Kehadel on tavaliselt mitu loomulikku vibratsioonisagedust ja vastavalt ka mitu resonantssagedust.

Kui inimese siseorganite sumbumiskoefitsient ei olnud suur, siis nendes elundites välisvibratsiooni mõjul tekkinud resonantsnähtused või helilained, võib põhjustada traagilisi tagajärgi: elundite rebend, sidemete kahjustus jne. Mõõdukate välismõjude korral selliseid nähtusi praktiliselt ei täheldata, kuna bioloogiliste süsteemide sumbumiskoefitsient on üsna suur. Sellest hoolimata on resonantsnähtused välise mõju all mehaanilised vibratsioonid esineda sisse siseorganid. Ilmselt on see üks infrahelivõngete ja -vibratsioonide negatiivse mõju põhjusi inimkehale.

1.7.7. Isevõnkumised

On ka võnkesüsteeme, mis ise reguleerivad raisatud energia perioodilist täiendamist ja võivad seetõttu pikka aega võnkuda.

Nimetatakse summutamata võnkumisi, mis eksisteerivad mis tahes süsteemis muutuva välismõju puudumisel isevõnkumised ja süsteemid ise - isevõnkuv.

Isevõnkumiste amplituud ja sagedus sõltuvad omadustest isevõnkuvas süsteemis, erinevalt sundvõnkumisest, ei ole need määratud välismõjudega.

Paljudel juhtudel saab isevõnkuvaid süsteeme kujutada kolme põhielemendiga (joonis 1.7.8): 1) võnkesüsteem ise; 2) energiaallikas; 3) võnkesüsteemi enda energiavarustuse regulaator. Võnkusüsteem kanalite kaupa tagasisidet(joonis 6) mõjutab regulaatorit, teavitades regulaatorit selle süsteemi olekust.

Klassikaline näide mehaanilisest isevõnkuvast süsteemist on kell, milles pendel või tasakaal on võnkesüsteem, vedru või tõstetud raskus on energiaallikas ja ankur on allikast tuleva energiavoolu regulaator. võnkesüsteemi.

Paljud bioloogilised süsteemid(süda, kopsud jne) on isevõnkuvad. Elektromagnetilise isevõnkuva süsteemi tüüpiline näide on isevõnkuvate võnkumiste generaatorid.

1.7.8. Ühesuunaliste võnkumiste liitmine

Mõelge kahe samasuunalise ja sama sagedusega harmoonilise võnku lisamisele:

x 1 =a 1 cos(ω 0 t + α 1), x 2 =a 2 cos(ω 0 t + α 2).

Harmoonilise võnkumise saab määrata vektori abil, mille pikkus võrdub võnkumiste amplituudiga ja suund moodustab teatud teljega nurga, mis on võrdne võnkumiste algfaasiga. Kui see vektor pöörleb koos nurkkiirusω 0, siis muutub selle projektsioon valitud teljele vastavalt harmoonilisele seadusele. Selle põhjal valime kindla X-telje ja esitame võnkumised vektorite a 1 ja a 2 abil (joonis 1.7.9).

Jooniselt 1.7.6 järeldub, et

.

Skeeme, kus võnkumisi kujutatakse graafiliselt vektoritena tasapinnal, nimetatakse vektordiagrammideks.

See tuleneb valemist 1.7.40. Mis siis, kui mõlema võnke faaside erinevus on null, tekkiva võnke amplituud on võrdne lisandunud võnkumiste amplituudide summaga. Kui lisandunud võnkumiste faaside erinevus on võrdne, siis on tekkiva võnkumise amplituud võrdne . Kui lisatud võnkumiste sagedused ei ole samad, siis nendele võnkudele vastavad vektorid pöörlevad erineva kiirusega. Sellisel juhul pulseerib saadud vektor suurusjärgus ja pöörleb muutuva kiirusega. Järelikult ei ole liitmise tulemuseks harmooniline võnkumine, vaid kompleksne võnkeprotsess.

1.7.9. Lööb

Vaatleme kahe samasuunalise, sageduselt veidi erineva harmoonilise võnke liitmist. Olgu ühe sagedus ω ja teise ω+∆ω ja ∆ω<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x 1 =a cos ωt, x 2 =a cos(ω+∆ω)t.

Lisades need avaldised ja kasutades koosinuste summa valemit, saame:

Võnkumisi (1.7.41) võib pidada harmooniliseks võnkumiseks sagedusega ω, mille amplituud varieerub vastavalt seadusele. See funktsioon on perioodiline sagedusega, mis on kaks korda suurem kui moodulmärgi all oleva avaldise sagedus, st. sagedusega ∆ω. Seega on amplituudi pulsatsioonisagedus, mida nimetatakse löögisageduseks, võrdne lisatud võnkumiste sageduste erinevusega.

1.7.10. Vastastikku risti asetsevate võnkumiste liitmine (Lissajouse joonised)

Kui materiaalne punkt võngub nii piki x-telge kui ka piki y-telge, siis see liigub mööda teatud kõverjoonelist trajektoori. Olgu võnkesagedus sama ja esimese võnke algfaas võrdne nulliga, siis kirjutame võnkevõrrandid kujul:

Võrrand (1.7.43) on ellipsi võrrand, mille teljed on orienteeritud suvaliselt x ja y koordinaattelgede suhtes. Ellipsi orientatsioon ja selle pooltelgede suurus sõltuvad amplituudidest a ja b ning faaside erinevusest α. Vaatleme mõningaid erijuhtumeid:

(m=0, ±1, ±2, …). Sel juhul on võrrandil vorm

See on ellipsi võrrand, mille teljed langevad kokku koordinaattelgedega ja mille poolteljed on võrdsed amplituudidega (joonis 1.7.12). Kui amplituudid on võrdsed, muutub ellips ringiks.

Joon.1.7.12

Kui vastastikku risti asetsevate võnkumiste sagedused erinevad vähesel määral ∆ω, võib neid käsitleda kui sama sagedusega, kuid aeglaselt muutuva faasierinevuse võnkumisi. Sel juhul saab võnkevõrrandid üles kirjutada

x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

ja avaldist ∆ωt+α tuleks käsitleda faasierinevusena, mis muutub ajas aeglaselt vastavalt lineaarsele seadusele. Saadud liikumine toimub sel juhul mööda aeglaselt muutuvat kõverat, mis saab järjestikku vormi, mis vastab kõikidele faasierinevuse väärtustele vahemikus -π kuni +π.

Kui vastastikku risti asetsevate võnkumiste sagedused ei ole samad, siis on tekkiva liikumise trajektoor üsna keerukate kõverate kuju, nn. Lissajouslikud kujud. Olgu näiteks lisatud võnkumiste sagedused seotud 1-ga : 2 ja faaside erinevus π/2. Siis on vibratsioonivõrranditel kuju

x=a cos ωt, y=b cos.

Aja jooksul, mil punkt suudab liikuda piki x-telge ühest äärmisest asendist teise, jõuab punkt mööda y-telge, olles nullasendist lahkunud, jõuda ühte äärmusse, seejärel teise ja tagasi pöörduda. Kõvera kuju on näidatud joonisel fig. 1.7.13. Sama sagedussuhtega, kuid nulliga võrdse faasierinevuse kõver on näidatud joonisel 1.7.14. Lisatud võnkumiste sageduste suhe on pöördvõrdeline koordinaattelgedega paralleelsete Lissajouse kujundite lõikepunktide arvu suhtega. Järelikult saab Lissajouse kujundite ilmumise järgi määrata lisandunud võnkumiste või tundmatu sageduse sageduste suhte. Kui üks sagedustest on teada.

Joon.1.7.13

Joon.1.7.14

Mida lähemal ühtsusele on võnkesageduste suhet väljendav ratsionaalne murd, seda keerukamad on sellest tulenevad Lissajouse arvud.

1.7.11. Laine levik elastses keskkonnas

Kui elastses (tahkes vedelas või gaasilises) keskkonnas ergastatakse selle osakeste vibratsiooni suvalises kohas, siis osakeste omavahelise vastasmõju tõttu levib see vibratsioon keskkonnas osakeselt osakesele teatud kiirusega v. nimetatakse võnke ruumis levimise protsessi laine.

Meediumi osakesed, milles laine levib, ei tõmbu translatsiooniliikumisse, nad võnguvad ainult oma tasakaaluasendi ümber.

Olenevalt osakeste võnkesuundadest laine levimissuuna suhtes on olemas pikisuunaline ja põiki lained. Pikisuunalises laines võnkuvad keskkonna osakesed mööda laine levikut. Ristlaines võnguvad keskkonna osakesed lainete levimissuunaga risti olevates suundades. Elastsed põiklained võivad tekkida ainult keskkonnas, millel on nihkekindlus. Seetõttu võivad vedelas ja gaasilises keskkonnas tekkida ainult pikisuunalised lained. Tahkes keskkonnas võivad esineda nii piki- kui põiklained.

Joonisel fig. Joonis 1.7.12 näitab osakeste liikumist ristlaine levimisel keskkonnas. Numbrid 1, 2 jne näitavad osakesi, mis jäävad üksteisest maha vahemaa võrra (¼ υT), st. laine läbitud vahemaa veerandi osakeste sooritatud võnkeperioodist. Nulliks võetud hetkel jõudis piki telge vasakult paremale leviv laine osakese 1, mille tulemusena hakkas osake tasakaaluasendist ülespoole nihkuma, tõmmates endaga kaasa järgmised osakesed. Veerandi perioodi möödudes jõuab osake 1 ülemisse tasakaaluasendisse, osake 2. Pärast veel neljandikku perioodi läbib esimene osa tasakaaluasendist, liikudes suunas ülevalt alla, teine ​​osake jõuab ülemisse. asendis ja kolmas osake hakkab tasakaaluasendist ülespoole liikuma. Ajal, mis on võrdne T-ga, lõpetab esimene osake kogu võnketsükli ja on algmomendiga samas liikumisseisundis. Laine ajahetkel T, olles läbinud tee (υT), jõuab osakeseni 5.

Joonisel fig. Joonisel 1.7.13 on kujutatud osakeste liikumist pikilaine levimisel keskkonnas. Kõiki argumente, mis puudutavad osakeste käitumist põiklaines, saab selle juhtumi puhul rakendada, asendades üles- ja allasuunalised nihked nihkega paremale ja vasakule.

Jooniselt on näha, et pikilaine levimisel keskkonnas tekivad vahelduvad kondensatsioonid ja osakeste haruldased (kondensatsioonikohad on joonisel välja toodud punktiirjoontega), liikudes laine levimise suunas kiirus v.

Riis. 1.7.15

Riis. 1.7.16

Joonisel fig. 1.7.15 ja 1.7.16 näitavad osakeste vibratsiooni, mille positsioonid ja tasakaalud asuvad teljel x. Tegelikkuses ei vibreeri mitte ainult piki telge asuvad osakesed x, vaid teatud mahus sisalduv osakeste kogum. Võnkumiste allikatest levides hõlmab laineprotsess üha uusi ruumiosasid, nende punktide geomeetrilist asukohta, kuhu võnkumised ajahetkel t jõuavad, nimetatakse lainefront(või lainefront). Lainefront on pind, mis eraldab juba laineprotsessis osalenud ruumiosa piirkonnast, kus võnkumisi pole veel tekkinud.

Samas faasis võnkuvate punktide geomeetrilist asukohta nimetatakse laine pind . Lainepinda saab tõmmata läbi mis tahes laineprotsessiga kaetud ruumipunkti. Järelikult on lainepindu lõpmatu arv, samas kui igal ajahetkel on ainult üks lainefront. Lainepinnad jäävad liikumatuks (läbivad samas faasis võnkuvate osakeste tasakaaluasendit ). Lainefront liigub kogu aeg.

Lainepinnad võivad olla mis tahes kujuga. Lihtsamal juhul on need tasapinna või kera kujuga. Sellest lähtuvalt nimetatakse lainet nendel juhtudel tasapinnaliseks või sfääriliseks. Tasapinnal on lainepinnad üksteisega paralleelsete tasandite kogum, sfäärilisel lainel - kontsentriliste sfääride kogum.

Riis. 1.7.17

Laske tasapinnal lainel levida piki telge x. Siis kõik sfääri punktid, mille positsioonidel ja tasakaaludel on sama koordinaat x(aga koordinaatide väärtuste erinevus y Ja z), võnkuma samas faasis.

Joonisel fig. 1.7.17 näitab kõverat, mis annab nihke ξ erinevatega punktide tasakaaluasendist x mingil ajahetkel. Seda joonist ei tohiks tajuda laine nähtava kujutisena. Joonisel on kujutatud funktsioonide graafik ξ (x,t) mõne jaoks fikseeritud ajahetk t. Sellist graafikut saab koostada nii piki- kui põiklainete jaoks.

Vahemaa λ, mille ulatuses laine levib lühikese aja jooksul, mis võrdub keskkonna osakeste võnkeperioodiga, nimetatakse lainepikkus. See on ilmne

kus υ on laine kiirus, T on võnkeperiood. Lainepikkust võib defineerida ka 2π-ga faasierinevusega võnkuva keskkonna lähimate punktide vahelise kaugusena (vt joonis 1.7.14)

Asendades T suhtes (1.7.45) kuni 1/ν (ν on võnkesagedus), saame

Selle valemi võib jõuda ka järgmistest kaalutlustest. Ühe sekundi jooksul sooritab laineallikas ν võnkumisi, tekitades keskkonnas iga võnkumisega ühe laine "harja" ja ühe "süvendi". Selleks ajaks, kui allikas lõpetab ν-nda võnke, on esimesel "harjal" aega läbida vahemaa υ. Järelikult peab laine "harjade" ja "süvikute" ν mahtuma pikkusesse υ.

1.7.12. Tasapinnalise laine võrrand

Lainevõrrand on avaldis, mis annab võnkuva osakese nihke selle koordinaatide funktsioonina x, y, z ja aeg t :

ξ = ξ (x, y, z; t)

(tähendab osakese tasakaaluasendi koordinaate). See funktsioon peab olema aja suhtes perioodiline t , ja koordinaatide suhtes x, y, z. . Perioodilisus ajas tuleneb asjaolust, et punktid asuvad üksteisest kaugel λ , võnkuma samamoodi.

Leiame funktsiooni tüübi ξ tasapinnalise laine puhul, eeldades, et võnkumised on oma olemuselt harmoonilised. Lihtsustamise mõttes suuname koordinaatteljed nii, et telg x langes kokku laine levimise suunaga. Siis on lainepinnad teljega risti x ja kuna kõik lainepinna punktid vibreerivad võrdselt, siis nihe ξ sõltub ainult sellest x Ja t:

ξ = ξ (x, t) .

Joon.1.7.18

Laske tasapinnas asuvate punktide vibratsioonil x = 0 (joonis 1.7.18), omama vormi

Leiame suvalisele väärtusele vastava tasandi punktide võnkumise tüübi x . Lennukist tee läbimiseks x=0 sellele tasapinnale jõudmiseks kulub lainel aega ( υ - laine levimise kiirus). Järelikult tasapinnas lebavate osakeste vibratsioonid x , jääb ajas maha τ tasapinnas olevate osakeste vibratsioonist x = 0 , st. hakkab välja nägema

Niisiis, tasapinnalise laine võrrand(piki- ja põikisuunaline), ulatudes telje suunas x , näeb välja selline:

See avaldis määratleb seose aja t vahel ja see koht x , milles faasil on fikseeritud väärtus. Saadud dx/dt väärtus annab kiiruse, millega antud faasiväärtus liigub. Diferentseeriv avaldis (1.7.48), saame

Kahanevas suunas leviva laine võrrand x :

Valemi (1.7.53) tuletamisel eeldasime, et võnkumiste amplituud ei sõltu x . Tasapinnalise laine puhul täheldatakse seda juhul, kui keskkond ei neela laineenergiat. Energiat neelavas keskkonnas levides kahaneb laine intensiivsus võnkeallikast kaugenedes järk-järgult – täheldatakse laine sumbumist. Kogemused näitavad, et homogeenses keskkonnas toimub selline sumbumine vastavalt eksponentsiaalsele seadusele:

Vastavalt tasapinnaline laine võrrand, võttes arvesse sumbumist, on järgmisel kujul:

(1.7.54)

(a 0 - amplituud tasandi punktides x = 0).

Kui koolis toimuvad võnked, illustreeritakse neid kahe lihtsaima näitega: raskus vedrul ja matemaatiline pendel (ehk punktraskus venimatul niidil) gravitatsiooniväljas. Mõlemal juhul täheldatakse võnkumistes olulist seaduspärasust: nende periood ei sõltu amplituudist - vähemalt seni, kuni see amplituud jääb väikeseks -, vaid selle määravad ainult süsteemi mehaanilised omadused.

Nüüd ühendame need kaks näidet ja vaatleme gravitatsiooniväljas venitatavale vedrule riputatud raskuse võnkumisi (joonis 1).

Lihtsuse huvides jätame kolmanda mõõtme tähelepanuta ja eeldame, et see vedrupendel võngub rangelt joonise tasapinnas. Sel juhul võib raskus (mida peetakse ka punktraskuseks) liikuda vertikaaltasapinnas igas suunas, mitte ainult üles-alla või vasakult-paremale, nagu on näidatud joonisel 1. 2. Aga kui piirduda jällegi vaid väikeste kõrvalekalletega tasakaaluasendist, siis horisontaalsed ja vertikaalsed võnkumised toimuvad peaaegu sõltumatult, oma perioodidega Tx Ja T y.

Näib, et kuna need võnkumised on määratud täiesti erinevate jõudude ja süsteemi omadustega, siis võivad nende perioodid olla täiesti suvalised, mitte kuidagi üksteisega seotud. Tuleb välja – ei!

Ülesanne

Tõesta et sellises pendlis on horisontaalvõnkumiste periood alati suurem kui vertikaalsete võnkumiste periood: T x > T y.

Vihje

Probleem võib teid alguses üllatada, kuna tundub, et midagi ei anta, kuid midagi on vaja tõestada. Aga selles pole midagi halba. Kui probleem on sellisel viisil sõnastatud, tähendab see, et saate enda jaoks kasutusele võtta mõned vajalikud tähised, arvutada nendega, mida vajate, ja seejärel jõuda järeldusele, mis on juba ei sõltu nendest väärtustest. Tehke seda selle ülesande jaoks. Võtke võnkeperioodide valemid, mõelge, milliseid suurusi need sisaldavad, ja võrrelge neid kahte perioodi üksteisega jagades.

Lahendus

Massi bobi võnkeperiood m jäigastuval vedrul k ja pikkus L 0 on

.

See valem ei muutu isegi siis, kui raskus riputatakse vaba langemise kiirendusega gravitatsiooniväljas g. Loomulikult nihkub raskuse tasakaaluasend kõrguse Δ võrra allapoole L = mg/k- just sellise vedru pikenemisega kompenseerib elastsusjõud raskusjõu. Kuid vertikaalsete võnkumiste periood selle uue tasakaaluasendi suhtes venitatud vedruga jääb samaks.

Venitatud pendli horisontaalvõnkumiste perioodi väljendatakse raskuskiirendusena g ja tema täis pikkus L = L 0+Δ L:

.

Tänu täiendavale venitamisele gravitatsiooniväljas saame selle teada

See on lahendus.

Järelsõna

Vaatamata näilisele lihtsusele on vedru pendel üsna nähtusterikas süsteem. See on üks lihtsamaid näiteid toredast nähtusest – Fermi resonantsist. See taandub järgmisele: Üldiselt võib öelda, et kui raskust kuidagi tagasi tõmmata ja lahti lasta, siis see võngub nii vertikaalselt kui ka horisontaalselt. Need kahte tüüpi vibratsioonid lihtsalt kattuvad ega sega üksteist. Aga kui vertikaalsete ja horisontaalsete võnkumiste perioodid on omavahel seotud Tx = 2T y, siis hakkavad horisontaalsed ja vertikaalsed vibratsioonid, justkui vastu tahtmist, järk-järgult üksteiseks muutuma, nagu parempoolses animatsioonis. Vibratsioonienergia pumbatakse vertikaalsetelt vibratsioonidelt horisontaalsetele ja vastupidi.

See näeb välja selline: tõmbate raskuse alla ja vabastate selle. Algul võngub ainult üles-alla, siis hakkab juba iseenesest külgsuunas kõikuma, hetkeks muutub võnkumine peaaegu täielikult horisontaalseks ja naaseb siis uuesti vertikaali. Üllataval kombel osutub rangelt vertikaalne võnkumine ebastabiilseks.

Selle tähelepanuväärse efekti ja maagilise suhte selgitus Tx:T y= 2:1, see on kõik. Tähistagem poolt x Ja y raskuse kõrvalekalle tasakaaluasendist (telg yülespoole suunatud). Sellise kõrvalekalde korral suureneb potentsiaalne energia summa võrra

See on täpne valem, see sobib igasuguste kõrvalekallete jaoks, olgu need suured või väikesed. Aga kui x Ja y väike, oluliselt vähem L, siis on avaldis ligikaudu võrdne

pluss muud terminid, mis sisaldavad veelgi suuremaid kõrvalekaldeid. Kogused U y Ja Ux- need on tavalised potentsiaalsed energiad, millest saadakse vertikaalsed ja horisontaalsed vibratsioonid. Ja siin on sinisega esile tõstetud väärtus U xy on spetsiaalne lisand, mis tekitab interaktsiooni nende kõikumiste vahel. Tänu sellele väikesele interaktsioonile mõjutavad vertikaalsed vibratsioonid horisontaalseid vibratsioone ja vastupidi. See muutub täiesti läbipaistvaks, kui teete arvutusi edasi ja kirjutate vibratsiooni võrrandi horisontaalselt ja vertikaalselt:

kus tähistus on sisse viidud

Ilma sinise lisandita oleks meil tavalised sõltumatud vertikaalsed ja horisontaalsed võnkumised koos sagedustega ωy Ja ωx. See lisand mängib rolli sundjõud, raputades lisaks vibratsiooni. Kui sagedused ωy Ja ωx on meelevaldsed, siis see väike jõud ei too kaasa olulist mõju. Aga kui suhe kehtib ωy = 2ωx, tekib resonants: mõlemat tüüpi võnkumiste liikumapanev jõud sisaldab komponenti sama sagedusega kui võnkumine ise. Selle tulemusena kõigutab see jõud aeglaselt, kuid kindlalt üht tüüpi vibratsiooni ja surub teise maha. Nii voolavad horisontaalsed ja vertikaalsed vibratsioonid üksteise sisse.

Täiendavad ilud tekivad, kui me ausalt võtame selle näite puhul arvesse kolmandat dimensiooni. Eeldame, et raskus suudab vedru vertikaalselt kokku suruda ja lahti suruda ning pendeldada kahes horisontaalses suunas. Seejärel, kui resonantstingimus on täidetud, kirjutab kaal ülalt vaadates välja tähekujulise trajektoori, nagu näiteks joonisel fig. 3. See juhtub seetõttu, et võnketasand ei jää paigale, vaid pöörleb – aga mitte sujuvalt, vaid justkui hüpetena. Kui võnkumine toimub küljelt küljele, siis see tasapind enam-vähem püsib ja pöörlemine toimub selle lühikese aja jooksul, mil võnkumine on peaaegu vertikaalne. Kutsume lugejaid ise mõtlema, mis on sellise käitumise põhjused ja mis määrab tasapinna pöördenurga. Ja need, kes soovivad sellesse üsna sügavasse probleemi ülepeakaela sukelduda, võivad vaadata läbi artikli Resonantsi õõtsuva vedru astmeline eelnemine, mis mitte ainult ei anna probleemi üksikasjalikku analüüsi, vaid räägib ka selle ajaloost ja selle probleemi seostest teistega. füüsika harud, eriti aatomifüüsika.

Vedrupendel on võnkesüsteem, mis koosneb materiaalsest punktist massiga m ja vedrust. Vaatleme horisontaalset vedrupendlit (joonis 13.12, a). See koosneb massiivsest korpusest, mis on keskele puuritud ja asetatud horisontaalsele vardale, mida mööda saab hõõrdumiseta libiseda (ideaalne võnkesüsteem). Varras on fikseeritud kahe vertikaalse toe vahele. Korpuse ühes otsas on kinnitatud kaaluta vedru. Selle teine ​​ots on kinnitatud toele, mis kõige lihtsamal juhul on paigal inertsiaalse võrdlusraami suhtes, milles pendel võngub. Alguses vedru ei deformeeru ja keha on tasakaaluasendis C. Kui vedru venitamisel või kokkusurumisel viiakse keha tasakaaluasendist välja, siis hakkab sellele alates mõjuma elastsusjõud. deformeerunud vedru külg, mis on alati suunatud tasakaaluasendi poole. Surume vedru kokku, liigutades keha asendisse A ja vabastame \((\upsilon_0=0).\) Elastsusjõu toimel hakkab see liikuma kiirendatult. Sel juhul mõjub kehale asendis A maksimaalne elastsusjõud, kuna siin on vedru absoluutne pikenemine x m suurim. Seetõttu on selles asendis kiirendus maksimaalne. Kui keha liigub tasakaaluasendi poole, väheneb vedru absoluutne pikenemine ja sellest tulenevalt väheneb ka elastsusjõu poolt antav kiirendus. Aga kuna antud liikumisel toimuv kiirendus on koos kiirusega suunatud, siis pendli kiirus suureneb ja tasakaaluasendis on see maksimaalne. Jõudnud tasakaaluasendisse C, keha ei peatu (kuigi selles asendis vedru ei deformeeru ja elastsusjõud on null), kuid omades kiirust, liigub see vedru venitades inertsi abil edasi. Tekkiv elastsusjõud on nüüd suunatud keha liikumise vastu ja aeglustab seda. Punktis D võrdub keha kiirus nulliga ja kiirendus on maksimaalne, keha peatub hetkeks, misjärel hakkab elastsusjõu mõjul liikuma vastupidises suunas. , tasakaaluasendisse. Olles selle inertsist uuesti läbinud, jõuab keha vedru kokku surudes ja liikumist aeglustades punkti A (kuna hõõrdumine puudub), s.t. lõpetab täieliku hoo. Pärast seda korratakse keha liikumist kirjeldatud järjestuses. Niisiis, vedrupendli vabade võnkumiste põhjused on vedru deformeerumisel tekkiva elastsusjõu mõju ja keha inerts.

Hooke'i seaduse järgi \(~F_x=-kx.\) Newtoni teise seaduse järgi \(~F_x = ma_x.\) Seega \(~ma_x = -kx.\) Seega

\(a_x = -\frac(k)(m)x\) või \(a_x + -\frac(k)(m)x = 0 \) - vedrupendli liikumise dünaamiline võrrand.

Näeme, et kiirendus on otseselt proportsionaalne segunemisega ja on suunatud sellele vastupidiselt. Võrreldes saadud võrrandit harmooniliste võnkumiste võrrandiga \(~a_x + \omega^2 x = 0,\) näeme, et vedrupendel teostab harmoonilisi võnkumisi tsüklilise sagedusega \(\omega = \sqrt \frac(k) (m)\) Kuna \(T = \frac(2 \pi)(\omega),\)

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(m)(k) )\) on vedrupendli võnkeperiood.

Sama valemi abil saate arvutada vertikaalse vedrupendli võnkeperioodi (joonis 13.12. b). Tõepoolest, tasakaaluasendis on vedru gravitatsiooni mõjul juba teatud määral x 0 venitatud, mis on määratud suhtega \(~mg=kx_0.\) Kui pendel nihutatakse tasakaaluasendist O sisse X elastsusjõu projektsioon \(~F"_(ynpx) = -k(x_0 + x)\) ja vastavalt Newtoni teisele seadusele \(~ma_x=-k(x_0+ x) + mg.\) Asendades siin väärtuse \(~kx_0 =mg,\) saame pendli liikumisvõrrandi \(a_x + \frac(k)(m)x = 0,\), mis langeb kokku horisontaalse pendli liikumisvõrrandiga.

Kirjandus

Aksenovitš L. A. Füüsika keskkoolis: teooria. Ülesanded. Testid: Õpik. toetus üldharidust andvatele asutustele. keskkond, haridus / L. A. Aksenovitš, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyhavanne, 2004. - Lk 377-378.

1. Kehale mõjuva elastsusjõu mõju, mis on võrdeline keha x nihkega tasakaaluasendist ja on alati suunatud sellesse asendisse.

2. Võnkuva keha inerts, mille tõttu ta ei peatu tasakaaluasendis (kui elastsusjõud muutub nulliks), vaid jätkab liikumist samas suunas.

Tsüklilise sageduse avaldis on:

kus w on tsükliline sagedus, k on vedru jäikus, m on mass.

See valem näitab, et vabade vibratsioonide sagedus ei sõltu algtingimustest ja on täielikult määratud võnkesüsteemi enda omadustega - antud juhul jäikus k ja mass m.

See väljend määratleb vedrupendli vaba võnkumise periood.

Töö lõpp -

See teema kuulub jaotisesse:

Sõidukiirus keskmine maakiirus hetkekiirus/liikumiskiirus

Punkti kinemaatika on kinemaatika osa, mis uurib materiaalsete punktide liikumise matemaatilist kirjeldamist Kinemaatika põhiülesanne on.. mehaanika põhiülesanne on määrata keha asukoht igal ajahetkel.. mehaaniline. liikumine on keha asukoha muutumine ruumis aja jooksul teiste kehade suhtes.

Kui vajate sellel teemal lisamaterjali või te ei leidnud seda, mida otsisite, soovitame kasutada otsingut meie tööde andmebaasis:

Mida teeme saadud materjaliga:

Kui see materjal oli teile kasulik, saate selle oma sotsiaalvõrgustike lehele salvestada:

Säuts

Kõik selle jaotise teemad:

Elastse laine energia
füüsikalise välja energiavoo tiheduse vektor; arvuliselt võrdne energiaga

Maxwelli seadus molekulide jaotumisest vastavalt soojusliikumise kiirusele
Maxwelli seadust kirjeldab teatud funktsioon f(v), mida nimetatakse molekulaarkiiruse jaotusfunktsiooniks. Kui jagame molekulaarsete kiiruste vahemiku väikesteks intervallideks, mis on võrdsed dv-ga, siis

Kuumus
Soojus on üks kahest tänapäeva teadusele tuntud energiaülekande meetodist – korratu liikumise ülekandumise mõõt. Ülekantud energiahulka nimetatakse soojushulgaks.

Soojusmasinad ja külmutusmasinad. Carnot' tsükkel
Carnot' tsükkel on ideaalne termodünaamiline tsükkel. Carnot soojusmootor töötab