Ratsionaalne ebavõrdsus ja nende süsteem. Murdratsionaalne ebavõrdsus

>>Matemaatika: ratsionaalne ebavõrdsus

Ratsionaalne võrratus ühe muutujaga x on vormi ebavõrdsus - ratsionaalsed avaldised, s.t. algebralised avaldised, mis koosnevad arvudest ja muutujast x, kasutades liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise ja loomuliku astmeni tõstmise tehteid. Muidugi võib muutujat tähistada mis tahes muu tähega, kuid matemaatikas eelistatakse enamasti tähte x.

Ratsionaalvõrratuste lahendamisel kasutatakse kolme reeglit, mis olid sõnastatud eespool §-s 1. Nende reeglite abil teisendatakse antud ratsionaalne ebavõrdsus tavaliselt kujule / (x) > 0, kus / (x) on algebraline. murdosa (või polünoom). Järgmisena lagundage murdu f (x) lugeja ja nimetaja kujul x - a teguriteks (kui see on muidugi võimalik) ja rakendage intervallmeetodit, mida me juba eespool mainisime (vt näidet 3 eelmises). lõik).

Näide 1. Lahendage võrratus (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.

Lahendus. Vaatleme avaldist f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

Punktides 1,-1,2 muutub see 0-ks; Märgime need punktid numbrireale. Arvrida jagatakse näidatud punktidega neljaks intervalliks (joonis 6), millest igaühes säilitab avaldis f (x) konstantse märgi. Selle kontrollimiseks esitame neli argumenti (iga näidatud intervalli jaoks eraldi).

Võtame suvalise punkti x intervallist (2. See punkt asub arvujoonel punktist -1 paremal, punktist 1 paremal ja punktist 2 paremal. See tähendab, et x > -1, x > 1, x > 2 (joonis 7), aga siis x-1>0, x+1>0, x - 2 > 0 ja seega f (x) > 0 (ratsionaalse ebavõrdsuse kolme korrutis). positiivsed arvud). Seega kehtib võrratus f (x) kogu intervallile ) > 0.

Võtame intervallist (1,2) mis tahes punkti x. See punkt asub arvujoonel punktist-1 paremal, punktist 1 paremal, kuid punktist 2 vasakul. See tähendab x > -1, x > 1, aga x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0,x-1>0,x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Võtame intervallist (-1,1) mis tahes punkti x. See punkt asub arvujoonel punktist -1 paremal, punktist 1 vasakul ja punktist 2 vasakul. See tähendab x > -1, kuid x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (kahe negatiivse ja ühe positiivse arvu korrutis). Seega kehtib intervallil (-1,1) võrratus f (x)> 0.

Lõpuks võta avatud kiirest suvaline punkt x (-oo, -1). See punkt asub arvujoonel punktist -1 vasakul, punktist 1 vasakul ja punktist 2 vasakul. See tähendab, et x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Teeme kokkuvõtte. Avaldise f (x) märgid valitud intervallides on sellised, nagu on näidatud joonisel fig. 11. Meid huvitavad need, mille puhul kehtib võrratus f (x) > 0 Kasutades joonisel fig. 11, tuvastame, et ebavõrdsus f (x) > 0 kehtib intervallil (-1, 1) või avatud kiirel
Vastus: -1 < х < 1; х > 2.

Näide 2. Lahendage ebavõrdsus
Lahendus. Nagu eelmises näites, kogume vajaliku teabe jooniselt fig. 11, kuid kahe muudatusega võrreldes näitega 1. Esiteks, kuna meid huvitab, millised x väärtused kehtib võrratus f (x)< 0, нам придется выбрать промежутки Teiseks oleme rahul ka nende punktidega, kus kehtib võrdus f (x) = 0 Need on punktid -1, 1, 2, märgime need joonisel tumedate ringidega ja kaasame vastusesse. Joonisel fig. Joonisel 12 on toodud vastuse geomeetriline mudel, millelt on lihtne liikuda edasi analüütilise tähistuse juurde.
Vastus:
Näide 3. Lahendage ebavõrdsus
Lahendus. Faktoriseerime võrratuse vasakul küljel oleva algebralise murru fx lugeja ja nimetaja. Lugejas on x 2 - x = x(x - 1).

Murru nimetajas sisalduva ruuttrinoomi x 2 - bx ~ 6 arvutamiseks leiame selle juured. Võrrandist x 2 - 5x - 6 = 0 leiame x 1 = -1, x 2 = 6. See tähendab (kasutasime ruuttrinoomi faktooreerimiseks valemit: ax 2 + bx + c = a(x - x 1 - x 2)).
Seega teisendasime antud ebavõrdsuse vormiks

Mõelge väljendile:

Selle murru lugeja muutub punktides 0 ja 1 0-ks ning punktides -1 ja 6 muutub 0-ks. Märgime need punktid arvujoonele (joonis 13). Numbrijoon jagatakse näidatud punktidega viieks intervalliks ja igal intervallil säilib avaldis fх) konstantne märk. Põhjendades samamoodi nagu näites 1, jõuame järeldusele, et avaldise fх) märgid valitud intervallides on sellised, nagu on näidatud joonisel fig. 13. Meid huvitab, kus kehtib võrratus f (x).< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 vastus: -1

Näide 4. Lahendage ebavõrdsus

Lahendus. Ratsionaalsete võrratuste lahendamisel eelistavad nad reeglina jätta ebavõrdsuse paremale poolele ainult arvu 0 Seetõttu teisendame ebavõrdsuse vormiks

Järgmine:

Nagu kogemus näitab, kui ebavõrdsuse parem pool sisaldab ainult arvu 0, on mugavam arutleda, kui vasakul pool on nii lugejal kui ka nimetajal positiivne juhtkoefitsient nimetaja, selles mõttes on murrud kõik korras (juhtkoefitsient, st koefitsient x 2, on võrdne 6-ga – positiivne arv), kuid lugejas - juhtkoefitsient (koefitsient) pole kõik korras x) on võrdne -4 (negatiivne arv -1 ja muutes ebavõrdsuse märgi vastupidiseks, saame ekvivalentse võrratuse).

Korrigeerime algebralise murru lugeja ja nimetaja. Lugejas on kõik lihtne:
Murru nimetajas sisalduva ruuttrinoomi arvutamiseks

(kasutasime taas ruuttrinoomi faktoriseerimise valemit).
Seega oleme taandanud antud ebavõrdsuse vormile

Mõelge väljendile

Selle murru lugeja muutub punktis 0-ks ja nimetaja - punktides Märgime need punktid arvujoonele (joonis 14), mis jagatakse näidatud punktidega neljaks intervalliks ja iga intervalli juures avaldis. f (x) säilitab konstantse märgi (need märgid on näidatud joonisel 14). Meid huvitavad need intervallid, millel ebavõrdsus fx< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

Kõikides vaadeldavates näidetes teisendasime antud võrratuse ekvivalentseks võrratuseks kujul f (x) > 0 või f (x)<0,где
Sel juhul võib tegurite arv murdosa lugejas ja nimetajas olla mis tahes. Seejärel märgiti arvujoonele punktid a, b, c, d. ja määras valitud intervallidel avaldise f (x) märgid. Märkasime, et valitud intervallidest kõige parempoolsetel kehtib ebavõrdsus f (x) > 0 ning seejärel vahelduvad piki intervalli avaldise f (x) märgid (vt joonis 16a). Seda vaheldumist on mugav illustreerida lainelise kõvera abil, mis on tõmmatud paremalt vasakule ja ülalt alla (joonis 166). Nendel intervallidel, kus see kõver (mida mõnikord nimetatakse ka märgikõveraks) asub x-telje kohal, kehtib võrratus f (x) > 0; kus see kõver asub x-telje all, on ebavõrdsus f (x) täidetud< 0.

Näide 5. Lahendage ebavõrdsus

Lahendus. Meil on

(eelmise ebavõrdsuse mõlemad pooled korrutati 6-ga).
Intervallmeetodi kasutamiseks märgi punktid numbrireale (nendes punktides muutub ebavõrdsuse vasakul poolel oleva murru lugejaks null) ja punktid (nendes punktides muutub näidatud murru nimetaja nulliks). Tavaliselt märgitakse punktid skemaatiliselt, võttes arvesse nende ilmumise järjekorda (mis on paremal, mis vasakul) ja pööramata erilist tähelepanu skaala järgimisele. Selge see Arvudega on olukord keerulisem Esimene hinnang näitab, et mõlemad arvud on veidi suuremad kui 2,6, millest ei saa järeldada, kumb näidatud arvudest on suurem ja kumb väiksem. Oletame (juhuslikult), et Siis
Ebavõrdsus osutus õigeks, mis tähendab, et meie oletus leidis kinnitust: tegelikult
Niisiis,

Märgime numbrireale näidatud 5 punkti näidatud järjekorras (joonis 17a). Järjestame väljendusmärgid
saadud intervallidel: kõige parempoolsemal on + märk ja siis märgid vahelduvad (joonis 176). Joonistame märkide kõvera ja tõstame esile (varjutades) need intervallid, millel kehtib meid huvitav võrratus f (x) > 0 (joonis 17c). Võtkem seda lõpuks arvesse me räägime mitterange ebavõrdsuse kohta f (x) > 0, mis tähendab, et meid huvitavad ka need punktid, kus avaldis f (x) kaob. Need on murru f (x) lugeja juured, st. punktid Märgime need joonisel fig. 17c tumedates ringides (ja loomulikult lisatakse vastusesse). Nüüd on siin riis. 17c annab antud võrratuse lahenduste täieliku geomeetrilise mudeli.

Näited:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(\leq0\)

\(\frac(1)(2x)\) \(+\) \(\frac(x)(x+1)\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)

\(\frac(6)(x+1)\) \(>\) \(\frac(x^2-5x)(x+1)\) .

Murdratsionaalvõrratuste lahendamisel kasutatakse intervallmeetodit. Seetõttu, kui allpool toodud algoritm tekitab teile raskusi, vaadake artiklit .

Kuidas lahendada murdosa ratsionaalset ebavõrdsust:

Murdratsionaalvõrratuste lahendamise algoritm.

Näited:



Asetage märgid numbriridade intervallidele. Tuletan teile meelde märkide paigutamise reegleid:

Määrame märgi kõige parempoolsemas intervallis - võtame sellest intervallist arv ja asendame selle X asemel ebavõrdsusega. Pärast seda määrame sulgudes olevad märgid ja nende märkide korrutamise tulemuse;

Näited:




Valige vajalikud intervallid. Kui on olemas eraldi juur, siis märkige see linnukesega, et mitte unustada seda vastusesse lisada (vt näidet allpool).

Näited:


Kirjutage vastusesse esiletõstetud tühikud ja lipuga märgitud juured (kui on).

Näited:
Vastus: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪)