Summa kuubi avamine. Erinevuskuubik ja kuubikute erinevus: lühendatud korrutusvalemite rakendamise reeglid

Lühendatud korrutusvalemid. Koolitus.

Proovige hinnata järgmisi väljendeid sel viisil:

Vastused:

Või kui teate põhiliste kahekohaliste arvude ruute, pidage meeles, kui palju see on? Kas sa mäletad? . Suurepärane! Kuna me jagame ruudu, peame korrutama. Selgub, et.

Pidage meeles, et ruutsumma ja ruutvahe valemid kehtivad mitte ainult arvavaldiste jaoks:

Arvutage ise järgmised avaldised:

Vastused:

Lühendatud korrutusvalemid. Alumine joon.

Teeme veidi kokkuvõtte ja kirjutame summa ja erinevuse ruudu valemid ühele reale:

Nüüd harjutame valemi "kokkupanemist" lagunenud vaatest vaatesse. Seda oskust läheb meil hiljem vaja suurte avaldiste teisendamisel.

Oletame, et meil on järgmine väljend:

Teame, et summa (või vahe) ruut on ühe numbri ruut teise arvu ruut Ja kahekordne nende arvude korrutis.

Selles ülesandes on lihtne näha ühe arvu ruutu - seda. Sellest lähtuvalt on üks sulgudes sisalduvatest numbritest ruutjuur, st

Kuna teine ​​termin sisaldab, tähendab see, et see on vastavalt ühe ja teise arvu topeltkorrutis:

Kus on meie sulgudes sisalduv teine ​​number.

Teine number sulgudes on võrdne.

Kontrollime. peaks olema võrdne. Tõepoolest, see on nii, mis tähendab, et oleme leidnud mõlemad sulgudes olevad numbrid: ja. Jääb kindlaks määrata märk, mis nende vahel seisab. Missugune märk teie arvates seal tuleb?

Õige! Kuna meie lisama Kui toode on kahekordistunud, on numbrite vahel lisamärk. Nüüd kirjutage teisendatud avaldis üles. Kas said hakkama? Peaksite saama järgmise:

Märkus: terminite kohtade muutmine tulemust ei mõjuta (ei ole oluline, kas ja vahele pannakse liitmine või lahutamine).

Ei ole absoluutselt vajalik, et teisendatava avaldise terminid oleksid nii, nagu valemis on kirjutatud. Vaadake seda väljendit: . Proovige see ise teisendada. Juhtus?

Praktika – teisendage järgmised väljendid:

Vastused: Kas said hakkama? Teeme teema korda. Valige allolevate avaldiste hulgast need, mida saab esitada summa või erinevuse ruuduna.

1. - tõestada, et see on samaväärne.

1. - ei saa esitada ruuduna; võiks ette kujutada, kui selle asemel oleks.

Ruudude erinevus

Teine lühendatud korrutamisvalem on ruutude erinevus.

Ruudude vahe ei ole erinevuse ruut!

Kahe arvu ruutude vahe on võrdne nende arvude summa ja nende erinevuse korrutisega:

Kontrollime, kas see valem on õige. Selleks korrutame, nagu tegime summa ja vahe ruudu valemite tuletamisel:

Nii et me just kontrollisime, kas valem on tõepoolest õige. See valem lihtsustab ka keerulisi arvutustoiminguid. Siin on näide:

On vaja arvutada:. Muidugi saame ruudu, siis ruudu ja lahutada, kuid valem muudab selle meie jaoks lihtsamaks:

Juhtus? Võrdleme tulemusi:

Nii nagu summa (erinevuse) ruutu, saab ka ruutude erinevuse valemit kasutada mitte ainult arvude puhul:

Ruudude erinevuse arvutamise teadmine aitab meil muuta keerulisi matemaatilisi avaldisi.

Pane tähele:

Kuna õige avaldise erinevuse ruuduga lahutamisel saame

Olge ettevaatlik ja vaadake, milline konkreetne termin on ruudus! Teema konsolideerimiseks teisendage järgmised väljendid:

Kas sa kirjutasid selle üles? Võrdleme saadud väljendeid:

Nüüd, kui olete summa ruudu ja erinevuse ruudu ning ruutude erinevuse selgeks saanud, proovime lahendada näiteid nende kolme valemi kombinatsiooni kohta.

Elementaaravaldiste teisendamine (ruutsumma, erinevus ruudus, ruutude erinevus)

Oletame, et meile tuuakse näide

Seda väljendit tuleb lihtsustada. Vaata hoolega, mida sa lugejas näed? See on õige, lugeja on täiuslik ruut:

Avaldise lihtsustamisel pidage meeles, et vihje, millisesse suunda lihtsustamisel liikuda, on nimetajas (või lugejas). Meie puhul, kui nimetaja on laiendatud ja rohkem ei saa teha, saame aru, et lugejaks on kas summa ruut või erinevuse ruut. Pärast liitmist saab selgeks, et lugeja on summa ruut.

Proovige järgmised avaldised ise teisendada:

Juhtus? Võrrelge vastuseid ja liikuge edasi!

Summa kuup ja vahe kuup

Summa kuubi ja vahe kuubi valemid tuletatakse samamoodi nagu summa ruut Ja ruudus vahe: sulgude avamine terminite üksteisega korrutamisel.

Kui summa ja vahe ruutu on väga lihtne meelde jätta, siis tekib küsimus: "kuidas kuubikuid meeles pidada?"

Vaadake hoolikalt kahte kirjeldatud valemit, võrreldes sarnaste terminite ruudustamist:

Millist mustrit näete?

1. Kui see on püstitatud ruut meil on ruut esimene päev ja ruut teine; kui kuubikuks tõsta – jah kuubik sama number ja kuubik teine ​​number.

2. Kui see on püstitatud ruut, meil on kahekordistunud arvude korrutis (1. astmeni tõstetud arvud, mis on ühe astme võrra vähem kui see, milleni avaldise tõstame); aastal ehitamise ajal kuubik - kolmekordistunud korrutis, milles üks arvudest on ruudus (mis on samuti 1 astme võrra väiksem astmest, milleni me avaldise tõstame).

3. Ruudutamisel kajastub avatud avaldises sulgudes olev märk topeltkorrutise liitmisel (või lahutamisel) - kui sulgudes on liitmine, siis liidame, kui on lahutamine, siis lahutame; kuubi tõstmisel kehtib reegel: kui meil on summakuup, siis on kõik märgid “+” ja kui meil on vahekuubik, siis märgid vahelduvad: “ ” - “ ” - “ ” - “ “ .

Kõik ülaltoodud, välja arvatud astmete sõltuvus liikmete korrutamisel, on näidatud joonisel.

Kas harjutame? Avage sulud järgmistes väljendites:

Võrrelge saadud väljendeid:

Kuubikute vahe ja summa

Vaatame viimast valemipaari: kuubikute vahe ja summa.

Nagu mäletame, korrutame ruutude erinevuses nende arvude erinevuse ja summa üksteisega. Kuubikute erinevuses ja kuubikute summas on ka kaks sulgu:

1 sulg - arvude vahe (või summa) esimese astmeni (olenevalt sellest, kas paljastame erinevuse või kuubikute summa);

2. sulg on mittetäielik ruut (vaadake tähelepanelikult: kui lahutaksime (või liidaksime) arvude topeltkorrutise, oleks ruut), märk arvude korrutamisel on vastupidine algse avaldise märgile.

Teema tugevdamiseks lahendame mõned näited:

Võrrelge saadud väljendeid:

Koolitus

Vastused:

Teeme kokkuvõtte:

Seal on 7 lühendatud korrutamisvalemit:

EDASIJÕUDNUTE TASE

Lühendatud korrutusvalemid on valemid, mida teades saate vältida mõningaid standardtoiminguid avaldiste lihtsustamisel või polünoomide faktoriseerimisel. Lühendatud korrutusvalemeid tuleb peast teada!

1. Summa ruut kaks avaldist võrdub esimese avaldise ruuduga pluss esimese avaldise kahekordne korrutis ja teine ​​pluss teise avaldise ruut:
2. Ruuduline vahe kaks avaldist võrdub esimese avaldise ruuduga, millest on lahutatud esimese avaldise kahekordne korrutis ja teine ​​pluss teise avaldise ruut:
3. Ruudude erinevus kaks avaldist võrdub nende avaldiste ja nende summa erinevuse korrutisega:
4. Summa kuubik kaks avaldist võrdub esimese avaldise kuubiga pluss esimese avaldise ruudu korrutis ja teine ​​pluss kolmekordne esimese avaldise ruudu korrutis ja teise avaldise kuup pluss teise avaldise kuup:
5. Erinevuskuubik kaks avaldist võrdub esimese avaldise kuubiga, millest on lahutatud esimese avaldise ruudu korrutis ja teine ​​pluss kolmekordne esimese avaldise ruudu korrutis ja teise avaldise ruut miinus teise avaldise kuup:
6. Kuubikute summa kaks avaldist võrdub esimese ja teise avaldise summa ning nende avaldiste erinevuse mittetäieliku ruudu korrutisega:
7. Kuubikute erinevus kaks avaldist võrdub esimese ja teise avaldise erinevuse korrutisega nende avaldiste summa mittetäieliku ruuduga:

Nüüd tõestame kõiki neid valemeid.

Lühendatud korrutusvalemid. Tõestus.

1. .
Avaldise ruudu panemine tähendab selle korrutamist iseendaga:
.

Avame sulud ja anname sarnased:

2. .
Teeme sama: korrutame erinevuse iseenesest, avame sulud ja anname sarnased:
.

3. .
Võtame parempoolse avaldise ja avame sulud:
.

4. .
Kuubikujulist arvu saab esitada nii, et see arv korrutatakse selle ruuduga:

Samamoodi:

Kuubikute vahes märgid vahelduvad.

6. .

.

7. .
Avame paremal küljel olevad sulgud:
.

Lühendatud korrutusvalemite kasutamine näidete lahendamiseks

Näide 1:

Leidke väljendite tähendus:

Lahendus:

1. Kasutame summa ruudu valemit: .
2. Kujutleme seda arvu erinevusena ja kasutame erinevuse ruudu valemit: .

Näide 2:

Leia väljendi tähendus: .

Lahendus:

Kasutades kahe avaldise ruutude erinevuse valemit, saame:

Näide 3:

Lihtsusta väljendit:

Lahendus kahel viisil:

Kasutame valemeid: summa ruut ja erinevuse ruut:

II meetod.

Kasutame kahe avaldise ruutude erinevuse valemit:

NÜÜD SINU SÕNA...

Rääkisin teile kõik, mida tean lühendatud korrutusvalemitest.

Ütle nüüd, kas sa kasutad neid? Kui ei, siis miks mitte?

Kuidas teile see artikkel meeldib?

Võib-olla on teil küsimusi. Või ettepanekuid.

Kirjutage kommentaaridesse. Loeme kõik kommentaarid läbi ja vastame kõigile.

Ja edu teile eksamitel!

Eelmises tunnis käsitlesime faktoriseerimist. Õppisime kahte meetodit: ühisteguri sulgudest välja panemine ja rühmitamine. Selles õppetükis - järgmine võimas meetod: lühendatud korrutusvalemid. Lühidalt - FSU.

Lühendatud korrutusvalemid (summa- ja vaheruut, summa- ja vahekuubik, ruutude vahe, kuubikute summa ja vahe) on äärmiselt vajalikud matemaatika kõigis harudes. Neid kasutatakse avaldiste lihtsustamisel, võrrandite lahendamisel, polünoomide korrutamisel, murdude vähendamisel, integraalide lahendamisel jne. ja nii edasi. Ühesõnaga, nendega tegelemiseks on põhjust. Saate aru, kust need tulevad, miks neid vaja on, kuidas neid meeles pidada ja kuidas neid kasutada.

Kas me saame aru?)

Kust tulevad lühendatud korrutusvalemid?

Võrdused 6 ja 7 ei ole kirjutatud väga tuttaval viisil. See on justkui vastupidine. See on meelega.) Igasugune võrdsus toimib nii vasakult paremale kui ka paremalt vasakule. See kirje teeb selgemaks, kust FSU-d pärinevad.

Need on võetud korrutamisest.) Näiteks:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

See on kõik, ei mingeid teaduslikke nippe. Lihtsalt korrutame sulud ja anname sarnased. Nii see selgub kõik lühendatud korrutusvalemid. Lühendatult korrutamine on sellepärast, et valemites endis sulgude korrutamist ja sarnaste vähendamist pole. Lühendatult.) Tulemus antakse kohe.

FSU-d tuleb peast tunda. Ilma esimese kolmeta ei saa unistada C-st ilma ülejäänuteta, ei saa unistada B-st ega A-st.)

Miks me vajame lühendatud korrutusvalemeid?

Nende valemite õppimiseks või isegi meeldejätmiseks on kaks põhjust. Esimene on see, et valmis vastus vähendab automaatselt vigade arvu. Kuid see pole peamine põhjus. Aga teine...

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Astendamine on korrutamisega tihedalt seotud tehe, mis tuleneb arvu korduvast korrutamisest. Esitame selle valemiga: a1 * a2 * … * an = an.

Näiteks a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Üldiselt kasutatakse eksponentsimist sageli matemaatika ja füüsika erinevates valemites. Sellel funktsioonil on teaduslikum eesmärk kui neljal peamisel funktsioonil: liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine.

Arvu tõstmine astmeni

Arvu tõstmine astmeni ei ole keeruline toiming. See on korrutamisega seotud sarnaselt korrutamise ja liitmise suhtega. Tähistus an on n-nda arvu arvude “a” lühike märge, mis on korrutatud üksteisega.

Kaaluge eksponentsimist lihtsaimate näidete abil, liikudes edasi keerukate näidete juurde.

Näiteks 42. 42 = 4 * 4 = 16. Neli ruutu (teise astmeni) võrdub kuueteistkümnega. Kui te ei mõista korrutamist 4 * 4, lugege meie artiklit korrutamise kohta.

Vaatame teist näidet: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Viis kuubikut (kolmanda astmeni) võrdub saja kahekümne viiega.

Teine näide: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Üheksa kuubikut võrdub seitsesada kakskümmend üheksa.

Astendamisvalemid

Et õigesti tõsta astmeni, peate meeles pidama ja teadma allpool toodud valemeid. Selles pole midagi ekstra loomulikku, peaasi, et mõistaksite olemust ja siis ei jää need mitte ainult meelde, vaid tunduvad ka lihtsad.

Monoomili tõstmine astmeks

Mis on monoom? See on mis tahes koguses arvude ja muutujate korrutis. Näiteks kaks on monoom. Ja see artikkel puudutab just selliste monomialide võimude tõstmist.

Astendamisvalemeid kasutades pole monoomi astenduse arvutamine keeruline.

Näiteks, (3x^2y^3)^2= 3^2*x^2*2*y^(3*2) = 9x^4y^6; Kui tõstate monomiaali astmeni, tõstetakse iga monoomi komponent astmeks.

Tõstates muutuja, millel on juba võimsus, astmeks, võimsused korrutatakse. Näiteks (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Tõstmine negatiivse võimsuseni

Negatiivne aste on arvu pöördväärtus. Mis on vastastikune arv? Mis tahes arvu X pöördarvuks on 1/X. See on X-1 = 1/X. See on negatiivse astme olemus.

Vaatleme näidet (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Miks nii? Kuna kraadis on miinus, kanname selle avaldise lihtsalt nimetajasse ja tõstame selle seejärel kolmandasse astmesse. Lihtne kas pole?

Tõstmine murdarvuni

Alustuseks vaatleme probleemi konkreetse näitega. 43/2. Mida tähendab aste 3/2? 3 – lugeja, tähendab numbri (antud juhul 4) kuubiks tõstmist. Arv 2 on nimetaja, see on arvu teise juure eraldamine (antud juhul 4).

Siis saame ruutjuure 43 = 2^3 = 8. Vastus: 8.

Seega võib murdarvu nimetaja olla kas 3 või 4 ja kuni lõpmatuseni mis tahes arv ning see arv määrab antud arvust võetud ruutjuure astme. Loomulikult ei saa nimetaja olla null.

Juure tõstmine võimuks

Kui juur on tõstetud kraadini, mis on võrdne juure enda astmega, on vastuseks radikaalne avaldis. Näiteks (√x)2 = x. Ja nii on igal juhul juure aste ja juure tõstmise aste võrdsed.

Kui (√x)^4. Seejärel (√x)^4=x^2. Lahenduse kontrollimiseks teisendame avaldise murdarvuga avaldisesse. Kuna juur on ruut, on nimetaja 2. Ja kui juur tõsta neljanda astmeni, siis on lugejaks 4. Saame 4/2=2. Vastus: x = 2.

Igal juhul on parim võimalus avaldis lihtsalt teisendada murdarvuga avaldisesse. Kui murdosa ei tühista, siis see on vastus, eeldusel, et antud arvu juur pole isoleeritud.

Kompleksarvu tõstmine astmeni

Mis on kompleksarv? Kompleksarv on avaldis, mille valem on a + b * i; a, b on reaalarvud. i on arv, mis ruudustamisel annab arvu -1.

Vaatame näidet. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Registreeruge kursusele "Kiirendada peast aritmeetikat, MITTE peast aritmeetikat", et õppida kiiresti ja õigesti liitma, lahutama, korrutama, jagama, ruutarvud ja isegi juurima. 30 päeva jooksul saate teada, kuidas kasutada lihtsaid nippe aritmeetiliste toimingute lihtsustamiseks. Iga õppetund sisaldab uusi võtteid, selgeid näiteid ja kasulikke ülesandeid.

Astendamine võrgus

Meie kalkulaatori abil saate arvutada arvu tõstmise astmeni:

Astendamine 7. klass

Koolilapsed hakkavad võimule tõusma alles seitsmendas klassis.

Astendamine on korrutamisega tihedalt seotud tehe, mis tuleneb arvu korduvast korrutamisest. Esitame selle valemiga: a1 * a2 * … * an=an.

Näiteks, a = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Näited lahenduseks:

Astendamise esitlus

Seitsmenda klassi õpilastele mõeldud esitlus võimudele tõstmisest. Ettekanne võib selgitada mõningaid ebaselgeid punkte, kuid need punktid ei saa tõenäoliselt tänu meie artiklile selgeks.

Alumine joon

Oleme vaadanud ainult jäämäe tippu, et matemaatikast paremini aru saada - registreeruge meie kursusele: Peastarvutamise kiirendamine - MITTE peastarvutamine.

Kursusel ei õpi mitte ainult kümneid tehnikaid lihtsustatud ja kiireks korrutamiseks, liitmiseks, korrutamiseks, jagamiseks ja protsentide arvutamiseks, vaid harjutad neid ka spetsiaalsetes ülesannetes ja õppemängudes! Ka peastarvutamine nõuab palju tähelepanu ja keskendumist, mida huvitavate ülesannete lahendamisel aktiivselt treenitakse.

Praktikas kasutatakse väga sageli lühendatud väljendivalemeid, mistõttu on soovitatav need kõik pähe õppida. Kuni selle hetkeni teenib see meid truult, mille soovitame välja printida ja alati silme ees hoida:

Esimesed neli valemit koostatud lühendatud korrutusvalemite tabelist võimaldavad teil kahe avaldise summa või erinevuse ruut- ja kuubikuks teha. Viies on mõeldud kahe avaldise vahe ja summa lühiajaliseks korrutamiseks. Ja kuuendat ja seitsmendat valemit kasutatakse kahe avaldise a ja b summa korrutamiseks nende erinevuse mittetäieliku ruuduga (nii nimetatakse avaldist kujul a 2 −a b+b 2) ja kahe erinevusega. avaldised a ja b vastavalt nende summa mittetäieliku ruuduga (a 2 + a·b+b 2 ).

Eraldi tasub märkida, et iga võrdus tabelis on identiteet. See seletab, miks lühendatud korrutusvalemeid nimetatakse ka lühendatud korrutusidentiteetideks.

Näidete lahendamisel, eriti kui polünoom on faktoriseeritud, kasutatakse FSU-d sageli kujul, mille vasak ja parem külg on vahetatud:

Tabeli kolmel viimasel identiteedil on oma nimed. Nimetatakse valemit a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b). ruutude erinevuse valem, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - kuubikute summa valem, A a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - kuubikute erinevuse valem. Pange tähele, et me ei nimetanud eelmisest tabelist vastavaid valemeid koos ümberkorraldatud osadega.

Täiendavad valemid

Ei teeks paha lisada lühendatud korrutusvalemite tabelisse veel paar identiteeti.

Lühendatud korrutusvalemite (FSU) rakendusvaldkonnad ja näited

Lühendatud korrutusvalemite (fsu) põhieesmärk on seletatav nende nimega, see tähendab, et see seisneb avaldiste lühiajalises korrutamises. Kuid FSU rakendusala on palju laiem ega piirdu lühikese korrutamisega. Loetleme peamised suunad.

Kahtlemata leiti lühendatud korrutusvalemi keskne rakendus avaldiste identsete teisenduste sooritamisel. Kõige sagedamini kasutatakse neid valemeid protsessis väljendite lihtsustamine.

Näide.

Lihtsusta avaldist 9·y−(1+3·y) 2 .

Lahendus.

Selles avaldises võib ruudustamist teostada lühendatult 9 a−(1+3 a) 2 =9 a−(1 2 +2 1 3 a+(3 a) 2). Jääb vaid avada sulgud ja tuua sarnased terminid: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y-1-6·y-9·y 2 =3·y-1-9·y 2.

Kolm tegurit, millest igaüks on võrdne x. (\displaystyle x.) Seda aritmeetilist toimingut nimetatakse "kuubiks" ja selle tulemus on tähistatud x 3 (\displaystyle x^(3)):

x 3 = x ⋅ x ⋅ x (\displaystyle x^(3)=x\cdot x\cdot x)

Kuubiku puhul on pöördtehte võtta kuubijuur. Kolmanda astme geomeetriline nimi " kuubik" on tingitud asjaolust, et iidsed matemaatikud pidasid kuubikute väärtusi kuuparvud, spetsiaalset tüüpi lokkis numbrid (vt allpool), kuna numbri kuubik x (\displaystyle x) võrdne kuubi mahuga, mille serva pikkus on võrdne x (\displaystyle x).

Kuubikute jada

, , , , , 125, 216, 343, 512, 729, , 1331, , 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…

Esimeste kuubikute summa n (\displaystyle n) Positiivsed naturaalarvud arvutatakse järgmise valemiga:

∑ i = 1 n i 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 = (n (n + 1) 2) 2 (\kuvastiil \summa _(i=1)^(n)i^(3 )=1^(3)+2^(3)+3^(3)+\ldots +n^(3)=\left((\frac (n(n+1))(2))\right) ^(2))

Valemi tuletamine

Kuubikute summa valemi saab tuletada korrutustabeli ja aritmeetilise progressiooni summa valemi abil. Võttes meetodi illustratsiooniks kahte 5×5 korrutustabelit, viime läbi arutluskäigu n×n suuruste tabelite puhul.

Korrutustabel ja arvukuubikud × 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 4 6 8 10 3 3 6 9 12 15 4 4 8 12 16 20 5 5 10 15 20 25

Korrutustabelid ja aritmeetiline progressioon × 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 4 6 8 10 3 3 6 9 12 15 4 4 8 12 16 20 5 5 10 15 20 25

Esimese tabeli k-nda (k=1,2,...) valitud ala arvude summa:

k 2 + 2 k ∑ l = 1 k − 1 l = k 2 + 2 k k (k − 1) 2 = k 3 (\displaystyle k^(2)+2k\sum _(l=1)^(k- 1)l=k^(2)+2k(\frac (k(k-1))(2))=k^(3))

Ja teise tabeli k-nda (k=1,2,...) valitud ala arvude summa, mis esindab aritmeetilist progressiooni:

k ∑ l = 1 n l = k n (n + 1) 2 (\displaystyle k\sum _(l=1)^(n)l=k(\frac (n(n+1))(2)))

Esimese tabeli kõigi valitud alade liitmisel saame sama arvu, mis teise tabeli kõigi valitud alade summeerimisel:

∑ k = 1 n k 3 = ∑ k = 1 n k n (n + 1) 2 = n (n + 1) 2 ∑ k = 1 n k = (n (n + 1) 2) 2 (\kuvastiil \summa _(k) =1)^(n)k^(3)=\summa _(k=1)^(n)k(\frac (n(n+1))(2))=(\frac (n(n+1) ))(2))\summa _(k=1)^(n)k=\vasak((\frac (n(n+1))(2))\parem)^(2))

Mõned omadused

• Kümnendmärgistuses võib kuup lõppeda mis tahes numbriga (erinevalt ruudust)
• Kümnendmärgistuses võivad kuubi kaks viimast numbrit olla 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28 , 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 96 , 71, 72 , 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Kuubi eelviimase numbri sõltuvus numbrist viimast saab esitada järgmises tabelis:

Kuubikud kujundarvudena

"Kuuparv" Q n = n 3 (\displaystyle Q_(n)=n^(3)) ajalooliselt vaadeldakse ruumikujuliste numbrite tüübina. Seda saab esitada järjestikuste kolmnurksete numbrite ruutude erinevusena T n (\displaystyle T_(n)):

Q n = (T n) 2 − (T n − 1) 2, n ⩾ 2 (\displaystyle Q_(n)=(T_(n))^(2)-(T_(n-1))^(2 ),n\geqslant 2) Q 1 + Q 2 + Q 3 + ⋯ + Q n = (T n) 2 (\displaystyle Q_(1)+Q_(2)+Q_(3)+\dots +Q_(n)=(T_(n) )^(2))

Kahe kõrvuti asetseva kuuparvu erinevus on tsentreeritud kuusnurkne arv.

Kuuparvu väljendamine tetraeedrilisena Π n (3) (\displaystyle \Pi _(n)^((3))).