Funktsionaalsete seeriate võrgulaiendus. Maclaurini seeria laiendamine näidete abil

“Leia funktsiooni f(x) Maclaurini rea laiendus” – just nii kõlab kõrgema matemaatika ülesanne, millega osad õpilased hakkama saavad, aga teised ei tule näidetega toime. Seeria volituste laiendamiseks on mitu võimalust. Siin kirjeldame funktsioonide laiendamist Maclaurini seeriaks. Funktsiooni jadana väljatöötamisel tuleb osata tuletisinstrumente hästi arvutada.

Näide 4.7 Laiendage funktsiooni x astmetes

Arvutused: Funktsiooni laiendamise teostame Maclaurini valemi järgi. Esmalt laiendame funktsiooni nimetaja jadaks

Lõpuks korrutage laiendus lugejaga.
Esimene liige on funktsiooni väärtus nulliga f (0) = 1/3.
Leiame esimese ja kõrgema järgu funktsiooni tuletised f (x) ja nende tuletiste väärtuse punktis x=0




Järgmisena kirjutame tuletisinstrumentide väärtuse muutumise mustri põhjal 0 juures n-nda tuletise valemi

Niisiis, me esindame nimetajat Maclaurini seeria laienduse kujul

Korrutame lugejaga ja saame funktsiooni soovitud laienduse reas x astmetes

Nagu näete, pole siin midagi keerulist.
Kõik võtmepunktid põhinevad võimel arvutada tuletisi ja üldistada kõrgema järgu tuletise väärtus kiiresti nulliga. Järgmised näited aitavad teil õppida, kuidas funktsiooni kiiresti järjestada.

Näide 4.10 Leia funktsiooni Maclaurini seeria laiendus

Arvutused: Nagu arvata võis, paneme koosinuse lugejasse järjestikku. Selleks saab kasutada lõpmata väikeste suuruste valemeid või tuletada koosinuse laienduse tuletistega. Selle tulemusena jõuame järgmise jadani x astmetes

Nagu näete, on meil minimaalselt arvutusi ja seeria laiendamise kompaktne esitus.

Näide 4.16 Laiendage funktsiooni x astmetes:
7/(12-x-x^2)
Arvutused: Seda tüüpi näidete puhul on vaja murdosa laiendada lihtmurdude summa kaudu.
Me ei näita praegu, kuidas seda teha, kuid määramatute koefitsientide abil jõuame murdude summani.
Järgmisena kirjutame nimetajad eksponentsiaalsel kujul

Jääb veel termineid Maclaurini valemi abil laiendada. Summeerides terminid "x" samade astmetega, koostame valemi reas oleva funktsiooni laiendamise üldliikme jaoks



Seeriale ülemineku viimast osa alguses on keeruline rakendada, kuna paaris- ja paaritute indeksite (kraadide) valemeid on keeruline kombineerida, kuid harjutades saate sellega paremini hakkama.

Näide 4.18 Leia funktsiooni Maclaurini seeria laiendus

Arvutused: leiame selle funktsiooni tuletise:

Laiendame funktsiooni ühe McLareni valemi abil seeriaks:

Summeerime seeria terminite kaupa, tuginedes asjaolule, et mõlemad on absoluutselt identsed. Olles integreerinud terve jada termini haaval, saame funktsiooni laiendamise jadaks astmetes x

Laienduse kahe viimase rea vahel toimub üleminek, mis võtab alguses palju aega. Seeria valemi üldistamine pole kõigi jaoks lihtne, seega ärge muretsege, et te ei saa kena ja kompaktset valemit.

Näide 4.28 Leidke funktsiooni Maclaurini seeria laiendus:

Kirjutame logaritmi järgmiselt

Maclaurini valemit kasutades laiendame logaritmi funktsiooni x astmetes

Lõplik keerdkäik on esmapilgul keeruline, kuid märkide vaheldumisel saate alati midagi sarnast. Sisestustund teemal ajastamise funktsioonid järjest on läbi. Teisi sama huvitavaid lagunemisskeeme käsitletakse üksikasjalikult järgmistes materjalides.

Kõrgema matemaatika üliõpilased peaksid teadma, et meile antud jadade konvergentsi intervalli kuuluva teatud astmerea summa osutub pidevaks ja piiramatu arv kordi diferentseeritud funktsiooniks. Tekib küsimus: kas saab öelda, et antud suvaline funktsioon f(x) on teatud astmerea summa? See tähendab, millistel tingimustel saab funktsiooni f(x) esitada astmereaga? Selle küsimuse tähtsus seisneb selles, et funktsiooni f(x) on võimalik ligikaudu asendada astmerea paari esimese liikme summaga, see tähendab polünoomiga. See funktsiooni asendamine üsna lihtsa avaldisega - polünoomiga - on mugav ka teatud ülesannete lahendamisel, nimelt: integraalide lahendamisel, arvutamisel jne.

On tõestatud, et teatud funktsiooni f(x) korral, milles on võimalik arvutada tuletisi kuni (n+1) järkuni, kaasa arvatud viimane, (α - R; x 0 + R) ) mingi punkt x = α, on tõsi, et valem:

See valem on oma nime saanud kuulsa teadlase Brooke Taylori järgi. Eelmisest saadud seeriat nimetatakse Maclaurini seeriaks:

Reegel, mis võimaldab Maclaurini seerias laiendada:

R n (x) -> 0 n juures -> lõpmatus. Kui selline on olemas, peab selles sisalduv funktsioon f(x) ühtima Maclaurini rea summaga.

Vaatleme nüüd Maclaurini seeriat üksikute funktsioonide jaoks.

1. Seega esimene on f(x) = e x. Loomulikult on sellisel funktsioonil oma omaduste järgi väga erineva järgu tuletised ja f (k) (x) = e x , kus k on võrdne kõigiga. Saame f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Eelneva põhjal näeb seeria e x välja selline:

2. Maclaurini jada funktsiooni f(x) = sin x jaoks. Teeme kohe selgeks, et kõigi tundmatute funktsioonil on tuletised, lisaks f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), kus k on võrdne mis tahes naturaalarvuga See tähendab, et pärast lihtsate arvutuste tegemist saame jõuda järeldus, et seeria f(x) = sin x näeb välja järgmine:

3. Nüüd proovime vaadelda funktsiooni f(x) = cos x. Kõigi tundmatute jaoks on sellel tuletised suvalises järjekorras ja |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|