Slough'i lahendamine Gaussi meetodi näidete abil. Gaussi meetod (tundmatute järjestikune kõrvaldamine)

See veebikalkulaator leiab Gaussi meetodi abil lahenduse lineaarvõrrandisüsteemile (SLE). Esitatakse üksikasjalik lahendus. Arvutamiseks valige muutujate arv ja võrrandite arv. Seejärel sisestage andmed lahtritesse ja klõpsake nuppu "Arvuta".

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

Numbri esitus:

Täisarvud ja/või harilikud murrud
Täisarvud ja/või kümnendkohad

Kohtade arv pärast kümnendkoha eraldajat

×

Hoiatus

Kas kustutada kõik lahtrid?

Sule Kustuta

Andmete sisestamise juhised. Arvud sisestatakse täisarvudena (näited: 487, 5, -7623 jne), kümnendkohtadena (nt 67., 102,54 jne) või murdudena. Murd tuleb sisestada kujul a/b, kus a ja b (b>0) on täis- või kümnendarvud. Näited 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 jne.

Gaussi meetod

Gaussi meetod on meetod üleminekuks algsest lineaarvõrrandisüsteemist (kasutades samaväärseid teisendusi) süsteemile, mida on lihtsam lahendada kui algset süsteemi.

Lineaarvõrrandisüsteemi samaväärsed teisendused on:

• kahe võrrandi vahetamine süsteemis,
• korrutades süsteemi mis tahes võrrandi nullist erineva reaalarvuga,
• ühele võrrandile lisades teise võrrandi, mis on korrutatud suvalise arvuga.

Mõelge lineaarsete võrrandite süsteemile:

(1)

Kirjutame süsteemi (1) maatriksi kujul:

Ax=b

(2)

(3)

A- nimetatakse süsteemi koefitsientide maatriksiks, b- piirangute parem pool, x− leiduvate muutujate vektor. Laske järjestada ( A)=lk.

Ekvivalentteisendused ei muuda süsteemi koefitsiendimaatriksi ja laiendatud maatriksi auastet. Samaväärsete teisenduste korral ei muutu ka süsteemi lahenduste hulk. Gaussi meetodi olemus on koefitsientide maatriksi vähendamine A diagonaaliks või astmeliseks.

Koostame süsteemi laiendatud maatriksi:

Järgmises etapis lähtestame kõik elemendi all oleva veeru 2 elemendid. Kui see element on null, vahetatakse see rida selle rea all oleva reaga, mille teises veerus on nullist erinev element. Järgmisena lähtestage juhtelemendi all oleva 2. veeru kõik elemendid a 22. Selleks lisage read 3, ... m stringiga 2, mis on korrutatud -ga a 32 /a 22 , ..., −a m2/ a 22 vastavalt. Protseduuri jätkates saame diagonaalse või astmelise kujuga maatriksi. Olgu saadud laiendatud maatriksil järgmine kuju:

(7)

Sest helinA=helin(A|b), siis lahenduste hulk (7) on ( n-p)− sort. Seega n-p tundmatuid saab suvaliselt valida. Ülejäänud tundmatud süsteemist (7) arvutatakse järgmiselt. Viimasest võrrandist, mida väljendame x p läbi ülejäänud muutujad ja sisestada eelmistesse avaldistesse. Järgmisena väljendame eelviimasest võrrandist x p−1 läbi ülejäänud muutujad ja sisestada eelmistesse avaldistesse jne. Vaatame Gaussi meetodit konkreetsete näidete abil.

Näited lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisest Gaussi meetodil

Näide 1. Leidke Gaussi meetodi abil lineaarvõrrandisüsteemi üldine lahendus:

Tähistagem poolt a ij elemendid i-th rida ja j veerus.

aüksteist . Selleks lisage read 2,3 reaga 1, korrutatuna vastavalt -2/3, -1/2:

Maatrikssalvestuse tüüp: Ax=b, Kus

Tähistagem poolt a ij elemendid i-th rida ja j veerus.

Jätame välja elemendi all oleva maatriksi 1. veeru elemendid aüksteist . Selleks lisage read 2,3 reaga 1, korrutatuna vastavalt -1/5, -6/5:

Jagame maatriksi iga rea ​​vastava juhtelemendiga (kui juhtiv element on olemas):

Kus x 3 , x

Asendades ülemised avaldised alumistega, saame lahenduse.

Seejärel saab vektorlahendust esitada järgmiselt:

Kus x 3 , x 4 on suvalised reaalarvud.

Kahte lineaarvõrrandi süsteemi nimetatakse ekvivalentseteks, kui nende kõigi lahendite hulk langeb kokku.

Võrrandisüsteemi elementaarsed teisendused on järgmised:

1. Triviaalvõrrandite süsteemist kustutamine, s.t. need, mille kõik koefitsiendid on võrdsed nulliga;
2. mis tahes võrrandi korrutamine nullist erineva arvuga;
3. Lisades mis tahes i-ndale võrrandile mis tahes j-nda võrrandi, mis on korrutatud mis tahes arvuga.

Muutujat x i nimetatakse vabaks, kui see muutuja pole lubatud, kuid lubatud on kogu võrrandisüsteem.

Teoreem. Elementaarsed teisendused muudavad võrrandisüsteemi samaväärseks.

Gaussi meetodi mõte on teisendada algne võrrandisüsteem ja saada samaväärne lahendatud või samaväärne ebajärjekindel süsteem.

Niisiis, Gaussi meetod koosneb järgmistest sammudest:

1. Vaatame esimest võrrandit. Valime esimese nullist erineva koefitsiendi ja jagame sellega kogu võrrandi. Saame võrrandi, millesse mingi muutuja x i siseneb koefitsiendiga 1;
2. Lahutame selle võrrandi kõigist teistest, korrutades selle selliste arvudega, et muutuja x i koefitsiendid ülejäänud võrrandites nullitakse. Saame süsteemi, mis on lahendatud muutuja x i suhtes ja samaväärne algse süsteemiga;
3. Kui tekivad triviaalsed võrrandid (harva, aga juhtub; näiteks 0 = 0), kriipsutame need süsteemist välja. Selle tulemusena on võrrandeid üks vähem;
4. Kordame eelmisi samme mitte rohkem kui n korda, kus n on võrrandite arv süsteemis. Iga kord valime töötlemiseks uue muutuja. Kui tekivad ebajärjekindlad võrrandid (näiteks 0 = 8), on süsteem ebajärjekindel.

Selle tulemusena saame mõne sammu järel kas lahendatud süsteemi (võimalik, et vabade muutujatega) või ebajärjekindla süsteemi. Lubatud süsteemid jagunevad kaheks juhuks:

1. Muutujate arv on võrdne võrrandite arvuga. See tähendab, et süsteem on määratletud;
2. Muutujate arv on suurem kui võrrandite arv. Kogume kõik paremal olevad vabad muutujad - saame lubatud muutujate valemid. Need valemid on vastuses kirjas.

See on kõik! Lineaarvõrrandi süsteem lahendatud! See on üsna lihtne algoritm ja selle valdamiseks ei pea te ühendust võtma kõrgema matemaatika juhendajaga. Vaatame näidet:

Ülesanne. Lahendage võrrandisüsteem:

Sammude kirjeldus:

1. Lahutage esimene võrrand teisest ja kolmandast - saame lubatud muutuja x 1;
2. Korrutame teise võrrandi (-1) ja jagame kolmanda võrrandiga (-3) - saame kaks võrrandit, millesse muutuja x 2 siseneb koefitsiendiga 1;
3. Lisame teise võrrandi esimesele ja lahutame kolmandast. Saame lubatud muutuja x 2 ;
4. Lõpuks lahutame esimesest kolmanda võrrandi - saame lubatud muutuja x 3;
5. Oleme saanud kinnitatud süsteemi, kirjutage vastus üles.

Lineaarvõrrandi samaaegse süsteemi üldlahendus on uus, algse samaväärne süsteem, milles kõik lubatud muutujad on väljendatud vabadena.

Millal võib vaja minna üldist lahendust? Kui peate tegema vähem samme kui k (k on võrrandite arv). Kuid põhjused, miks protsess mõnel etapil l lõpeb< k , может быть две:

1. Pärast l-ndat sammu saime süsteemi, mis ei sisalda võrrandit arvuga (l + 1). Tegelikult on see hea, sest... volitatud süsteem on ikka kätte saadud – isegi paar sammu varem.
2. Pärast l-ndat sammu saime võrrandi, milles kõik muutujate koefitsiendid on võrdsed nulliga ja vaba koefitsient erineb nullist. See on vastuoluline võrrand ja seetõttu on süsteem ebajärjekindel.

Oluline on mõista, et ebajärjekindla võrrandi tekkimine Gaussi meetodi abil on piisavaks aluseks ebakõla tekkeks. Samas märgime, et l-nda sammu tulemusena ei saa jääda triviaalseid võrrandeid - kõik need kriipsutatakse läbi.

Sammude kirjeldus:

1. Lahutage teisest esimene võrrand, mis on korrutatud 4-ga. Esimese võrrandi liidame ka kolmandale - saame lubatud muutuja x 1;
2. Lahutage teisest kolmas võrrand, korrutatud 2-ga - saame vastuolulise võrrandi 0 = −5.

Seega on süsteem ebajärjekindel, kuna on avastatud vastuoluline võrrand.

Ülesanne. Uurige ühilduvust ja leidke süsteemile üldine lahendus:

Sammude kirjeldus:

1. Lahutame esimese võrrandi teisest (pärast kahega korrutamist) ja kolmandast - saame lubatud muutuja x 1;
2. Lahutage teine ​​võrrand kolmandast. Kuna kõik nendes võrrandites olevad koefitsiendid on samad, muutub kolmas võrrand triviaalseks. Samal ajal korrutage teine ​​võrrand arvuga (−1);
3. Lahutage esimesest võrrandist teine ​​- saame lubatud muutuja x 2. Ka kogu võrrandisüsteem on nüüd lahendatud;
4. Kuna muutujad x 3 ja x 4 on vabad, nihutame need lubatud muutujate väljendamiseks paremale. See on vastus.

Seega on süsteem järjekindel ja määramatu, kuna on kaks lubatud muutujat (x 1 ja x 2) ja kaks vaba (x 3 ja x 4).

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Gaussi meetodil. Oletame, et peame leidma süsteemile lahenduse n lineaarvõrrandid n tundmatud muutujad
mille põhimaatriksi determinant erineb nullist.

Gaussi meetodi olemus koosneb tundmatute muutujate järjestikusest kõrvaldamisest: esmalt elimineerimine x 1 süsteemi kõigist võrranditest alates teisest on veelgi välja jäetud x 2 kõigist võrranditest, alustades kolmandast ja nii edasi, kuni viimasesse võrrandisse jääb ainult tundmatu muutuja x n. Seda süsteemivõrrandite teisendamise protsessi tundmatute muutujate järjestikuseks kõrvaldamiseks nimetatakse otsene Gaussi meetod. Pärast Gaussi meetodi edasiliikumise lõpetamist leiame viimasest võrrandist x n, kasutades seda väärtust eelviimasest võrrandist, mille me arvutame xn-1 ja nii edasi, alates esimesest leitud võrrandist x 1. Tundmatute muutujate arvutamise protsessi süsteemi viimaselt võrrandilt esimesele liikumisel nimetatakse Gaussi meetodi pöördvõrdeline.

Kirjeldame lühidalt tundmatute muutujate kõrvaldamise algoritmi.

Eeldame, et , kuna me saame selle alati saavutada süsteemi võrrandite ümberkorraldamisega. Kõrvaldage tundmatu muutuja x 1 süsteemi kõikidest võrranditest, alustades teisest. Selleks liidame süsteemi teisele võrrandile esimese, korrutatuna , kolmandale võrrandile esimese, korrutatuna arvuga , ja nii edasi. nth võrrandile lisame esimese, korrutatuna . Võrrandisüsteem pärast selliseid teisendusi võtab kuju

kus ja .

Kui väljendaksime, jõuaksime sama tulemuseni x 1 läbi teiste tundmatute muutujate süsteemi esimeses võrrandis ja saadud avaldis asendati kõigi teiste võrranditega. Nii et muutuja x 1 kõigist võrranditest välja jäetud, alates teisest.

Järgmisena jätkame sarnaselt, kuid ainult osaga saadud süsteemist, mis on joonisel märgitud

Selleks lisame süsteemi kolmandale võrrandile teise, mis on korrutatud , neljandale võrrandile lisame teise, korrutatuna arvuga ja nii edasi. nth võrrandile lisame teise, korrutatuna . Võrrandisüsteem pärast selliseid teisendusi võtab kuju

kus ja . Nii et muutuja x 2 jäetakse välja kõigist võrranditest alates kolmandast.

Järgmisena jätkame tundmatu kõrvaldamisega x 3, toimime sel juhul sarnaselt joonisel märgitud süsteemiosaga

Seega jätkame Gaussi meetodi otsest edenemist, kuni süsteem võtab kuju

Sellest hetkest alustame Gaussi meetodi vastupidist: arvutame x n viimasest võrrandist as, kasutades saadud väärtust x n leiame xn-1 eelviimasest võrrandist ja nii edasi, leiame x 1 esimesest võrrandist.

Näide.

Lahendage lineaarvõrrandisüsteem Gaussi meetod.

Suurim matemaatik Carl Friedrich Gauss kõhkles pikka aega, valides filosoofia ja matemaatika vahel. Võib-olla just see mõtteviis võimaldas tal teha maailmateaduses nii märgatava "pärandi". Eelkõige luues "Gaussi meetodi" ...

Peaaegu 4 aastat käsitlesid sellel saidil artiklid kooliharidust, peamiselt filosoofia, laste teadvusesse juurutatud (väär)mõistmise põhimõtete vaatenurgast. Tulemas on aeg täpsemaks, näideteks ja meetoditeks... Usun, et just nii lähenetakse tuttavatele, segadustele ja oluline eluvaldkonnad annavad paremaid tulemusi.

Meie, inimesed, on loodud nii, et ükskõik kui palju me räägime abstraktne mõtlemine, Aga mõistmine Alati juhtub näidete kaudu. Kui näiteid pole, siis pole võimalik põhimõtetest aru saada... Nii nagu mäetippu ei saa muidu kui terve nõlva jalamilt läbi kõndides.

Sama kooliga: praegu elavad lood Sellest ei piisa, et peame seda instinktiivselt paigaks, kus lapsi mõistma õpetatakse.

Näiteks Gaussi meetodi õpetamine...

Gaussi meetod 5-klassilises koolis

Teen kohe broneeringu: Gaussi meetodil on näiteks lahendamisel palju laiem rakendus lineaarvõrrandisüsteemid. See, millest räägime, toimub 5. klassis. See alanud, olles aru saanud millest, on palju lihtsam mõista „täpsematest valikutest”. Selles artiklis me räägime Gaussi meetod (meetod) rea summa leidmiseks

Siin on näide, mille tõi koolist mu noorim poeg, kes käib Moskva gümnaasiumi 5. klassis.

Gaussi meetodi koolidemonstratsioon

Matemaatikaõpetaja, kes kasutas interaktiivset tahvlit (kaasaegsed õppemeetodid), näitas lastele väikese Gaussi ettekannet “meetodi loomise” ajaloost.

Kooliõpetaja piitsutas väikest Karli (aegunud meetod, tänapäeval koolides ei kasutata), sest ta

numbrite 1–100 järjestikuse liitmise asemel leidke nende summa märganud et aritmeetilise progressiooni servadest võrdse vahekaugusega arvupaarid annavad kokku sama arvu. näiteks 100 ja 1, 99 ja 2. Olles selliste paaride arvu kokku lugenud, lahendas väike Gauss peaaegu hetkega õpetaja pakutud ülesande. Mille eest ta üllatunud avalikkuse ees hukati. Et teised heiduks mõtlemast.

Mida väike Gauss tegi? arenenud numbritaju? Märkas mõni funktsioon konstantse sammuga arvurida (aritmeetiline progressioon). JA täpselt see tegi temast hiljem suure teadlase, oskab märgata, millel tunne, mõistmise instinkt.

Seetõttu on matemaatika väärtuslik, arendav võime nähaüldiselt eriti - abstraktne mõtlemine. Seetõttu enamik lapsevanemaid ja tööandjaid peavad matemaatikat instinktiivselt oluliseks distsipliiniks ...

«Siis on vaja matemaatikat õppida, sest see paneb mõtted korda.
M.V.Lomonosov".

Tulevaste geeniuste varrastega piitsutajate järgijad muutsid meetodi aga millekski vastupidiseks. Nagu mu juhendaja 35 aastat tagasi ütles: "Küsimus on õpitud." Või nagu mu noorim poeg eile Gaussi meetodi kohta ütles: "Võib-olla ei tasu sellest suurt teadust teha, ah?"

“Teadlaste” loovuse tagajärjed on nähtavad praeguse koolimatemaatika tasemes, selle õpetamise tasemes ja enamuse arusaamises “Teaduste kuningannast”.

Jätkame siiski...

Gaussi meetodi selgitamise meetodid 5-klassilises koolis

Moskva gümnaasiumi matemaatikaõpetaja Vilenkini järgi Gaussi meetodit selgitades muutis ülesande keeruliseks.

Mis siis, kui aritmeetilise progressiooni vahe (samm) ei ole mitte üks, vaid teine ​​arv? Näiteks 20.

Probleem, mille ta esitas viiendale klassile:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Enne gümnaasiumimeetodiga tutvumist heitkem pilk internetti: kuidas kooliõpetajad ja matemaatikaõpetajad seda teevad?..

Gaussi meetod: selgitus nr 1

Tuntud juhendaja oma YOUTUBE kanalil põhjendab järgmist:

"Kirjutame numbrid 1 kuni 100 järgmiselt:

esmalt arvude jada 1-st 50-ni ja rangelt selle all veel üks numbririda vahemikus 50-100, kuid vastupidises järjekorras"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Pange tähele: iga ülemise ja alumise rea numbripaari summa on sama ja võrdub 101-ga! Loendame paaride arvu, see on 50 ja korrutame ühe paari summa paaride arvuga! Voila: vastus on valmis!"

"Kui te ei saanud aru, ärge ärrituge!" kordas õpetaja selgituse ajal kolm korda. "Sa võtad selle meetodi 9. klassis kasutusele!"

Gaussi meetod: selgitus nr 2

Teine, vähem tuntud juhendaja (vaatamiste arvu järgi otsustades) läheneb teaduslikumale lähenemisele, pakkudes välja 5-punktilise lahendusalgoritmi, mis tuleb täita järjest.

Asjatundmatute jaoks on 5 üks Fibonacci numbritest, mida traditsiooniliselt peetakse maagiliseks. 5-astmeline meetod on alati teaduslikum kui näiteks 6-astmeline meetod. ...Ja see on vaevalt õnnetus, tõenäoliselt on autor Fibonacci teooria varjatud toetaja

Antud aritmeetiline progressioon: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Algoritm seeria arvude summa leidmiseks Gaussi meetodil:

1. samm: kirjutage antud numbrijada vastupidises järjekorras, täpselt esimese all.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

2. samm: arvutage vertikaalsetes ridades asuvate numbripaaride summa: 260.

3. samm: loendage, kui palju selliseid paare on arvuseerias. Selleks lahutage arvuseeria maksimaalsest arvust miinimum ja jagage sammu suurusega: (256 - 4) / 6 = 42.

Samal ajal peate meeles pidama pluss üks reegel : saadud jagatisele peame lisama ühe: muidu saame tulemuse, mis on paaride tegelikust arvust ühe võrra väiksem: 42 + 1 = 43.

4. samm: korrutage ühe numbripaari summa paaride arvuga: 260 x 43 = 11 180

5. samm: kuna oleme summa välja arvutanud numbripaare, siis tuleks saadud summa jagada kahega: 11 180 / 2 = 5590.

See on aritmeetilise progressiooni nõutav summa 4-st 256-ni erinevusega 6!

Gaussi meetod: selgitus Moskva gümnaasiumi 5. klassis

Seeria summa leidmise probleemi lahendamiseks toimige järgmiselt.

20+40+60+ ... +460+480+500

Moskva gümnaasiumi 5. klassis Vilenkini õpik (minu poja järgi).

Pärast esitluse näitamist näitas matemaatikaõpetaja paar näidet Gaussi meetodil ja andis klassile ülesande leida arvude summa reas sammuga 20.

See nõudis järgmist:

Samm 1: kirjutage kindlasti kõik seeria numbrid vihikusse üles 20 kuni 500 (20 kaupa).

2. samm: kirjutage üles järjestikused terminid - numbripaarid: esimene viimasega, teine ​​eelviimasega jne. ja arvutada nende summad.

3. samm: arvutage "summade summa" ja leidke kogu seeria summa.

Nagu näete, on see kompaktsem ja tõhusam tehnika: number 3 on samuti Fibonacci jada liige

Minu kommentaarid Gaussi meetodi kooliversiooni kohta

Suur matemaatik oleks kindlasti valinud filosoofia, kui ta oleks ette näinud, milliseks tema "meetodi" järgijad muudavad saksa keele õpetaja, kes Karli varrastega piitsutas. Ta oleks näinud "õpetajate" sümboolikat, dialektilist spiraali ja surematut rumalust, püüdes mõõta elava matemaatilise mõtte harmooniat arusaamatuse algebraga ....

Muide: kas teadsid. et meie haridussüsteemi juured on 18. ja 19. sajandi saksa koolkonnas?

Kuid Gauss valis matemaatika.

Mis on tema meetodi olemus?

IN lihtsustamine. IN jälgides ja haarates lihtsad numbrimustrid. IN kuiva kooli aritmeetika muutmine huvitav ja põnev tegevus , aktiveerides ajus soovi jätkata, mitte blokeerima kalli vaimse tegevuse.

Kas aritmeetilise progressiooni arvude summa arvutamiseks on võimalik kasutada ühte antud "Gaussi meetodi modifikatsioonidest" koheselt? “Algoritmide” järgi väldiks väike Karl laksu andmist, arendaks vastumeelsust matemaatika vastu ja suruks eos maha oma loomingulised impulsid.

Miks soovitas juhendaja viienda klassi õpilastel nii järjekindlalt meetodi “mitte mõistmist karta”, veendes neid, et nad lahendavad “sellised” probleemid juba 9. klassis? Psühholoogiliselt kirjaoskamatu tegevus. See oli hea samm ära märkida: "Näeme juba 5. klassis saab lahendage ülesandeid, mille saate lõpule alles 4 aasta pärast! Kui suurepärane mees sa oled!”

Gaussi meetodi kasutamiseks piisab 3. tasemest, kui tavalised lapsed juba oskavad 2-3 kohalisi arve liita, korrutada ja jagada. Probleemid tekivad sellest, et täiskasvanud õpetajad, kes on “kontaktist väljas” ei suuda seletada lihtsamaid asju normaalses inimkeeles, matemaatikast rääkimata... Nad ei suuda äratada inimestes huvi matemaatika vastu ja heidutada täielikult isegi neid, kes on “ võimeline."

Või nagu mu poeg kommenteeris: "teha sellest suure teaduse."

Kuidas (üldjuhul) saate teada, millist numbrit peaksite meetodil nr 1 numbrite kirjet “laiendama”?

Mida teha, kui sarja liikmete arv osutub kummaline?

Miks muuta „Reegel pluss 1” millekski, mida laps saaks lihtsalt õppida isegi esimeses klassis, kui mul oleks tekkinud “numbritaju” ja ei mäletanud"lugeda kümneni"?

Ja lõpuks: kuhu on kadunud ZERO, geniaalne leiutis, mis on rohkem kui 2000 aastat vana ja mille kasutamist tänapäeva matemaatikaõpetajad väldivad?!

Gaussi meetod, minu selgitused

Seletasime naisega seda “meetodit” oma lapsele, tundub, juba enne kooli...

Lihtsus keerukuse asemel või küsimuste ja vastuste mäng

"Vaata, siin on numbrid 1-st 100-ni. Mida sa näed?"

Asi pole selles, mida laps täpselt näeb. Trikk on panna ta vaatama.

"Kuidas saate neid kokku panna?" Poeg mõistis, et selliseid küsimusi ei esitata "niisama" ja tuleb vaadata küsimust "kuidagi teistmoodi, teisiti, kui ta tavaliselt teeb"

Pole tähtis, kui laps näeb lahendust kohe, see on ebatõenäoline. On oluline, et ta lakkas kartmast vaadata või nagu ma ütlen: "teisaldas ülesande". See on mõistmise tee algus

"Kumb on lihtsam: näiteks 5 ja 6 või 5 ja 95 lisamine?" Juhtiv küsimus... Aga igasugune koolitus taandub inimese “vastuse” suunamisele – igal talle vastuvõetaval viisil.

Selles etapis võivad juba tekkida oletused, kuidas arvutustes "kokku hoida".

Kõik, mida me tegime, oli vihje: "frontaalne, lineaarne" loendusmeetod pole ainus võimalik. Kui laps saab selle õigeks, mõtleb ta hiljem välja palju selliseid meetodeid, sest see on huvitav!!! Ja ta väldib kindlasti matemaatika "arusaamatust" ega tunne sellest vastikust. Ta sai võidu!

Kui laps avastas et sajani jõudvate arvupaaride liitmine on siis käkitegu "aritmeetiline progressioon erinevusega 1"- lapse jaoks üsna kõle ja ebahuvitav asi - äkki leidis talle elu . Kord tekkis kaosest ja see tekitab alati entusiasmi: nii me oleme tehtud!

Küsimus, millele vastata: miks peaks pärast lapse saadud taipamist taas ajama kuivade algoritmide raamidesse, mis on sel juhul ka funktsionaalselt kasutud?!

Milleks sundida rumalaid ümberkirjutusi? järjekorranumbrid vihikusse: et isegi võimekatel poleks ainsatki võimalust aru saada? Statistiliselt muidugi, aga massiharidus on suunatud “statistikale”...

Kuhu kadus null?

Ja ometi on 100-ni kokkuvõtvate numbrite lisamine mõistusele palju vastuvõetavam kui 101-ni kokku pannes...

"Gaussi kooli meetod" nõuab täpselt seda: meeletult voltima progressi keskpunktist võrdsel kaugusel olevad arvupaarid, Hoolimata kõigest.

Aga kui sa vaatad?

Siiski on null inimkonna suurim leiutis, mis on rohkem kui 2000 aastat vana. Ja matemaatikaõpetajad ignoreerivad teda jätkuvalt.

Palju lihtsam on teisendada arvude jada, mis algab 1-ga, jadaks, mis algab 0-ga. Summa ju ei muutu? Peate lõpetama "õpikutes mõtlemise" ja hakkama otsima... Ja vaadake, et paarid summaga 101 saab täielikult asendada paaridega, mille summa on 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Kuidas kaotada pluss 1 reegel?

Ausalt öeldes kuulsin sellisest reeglist esimest korda sellelt YouTube'i juhendajalt...

Mida ma ikkagi teen, kui mul on vaja määrata sarja liikmete arv?

Vaatan järjestust:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

ja kui olete täiesti väsinud, liikuge edasi lihtsama rea ​​juurde:

1, 2, 3, 4, 5

ja ma mõtlen: kui lahutate 5-st ühe, saate 4, aga ma olen täiesti selge ma näen 5 numbrit! Seetõttu peate ühe lisama! Põhikoolis välja töötatud arvutaju viitab: isegi kui seeria liikmeid on terve Google'i arv (10 kuni saja astmeni), jääb muster samaks.

Mis kuradi reeglid on?...

Et paari-kolme aasta pärast saaksite täita kogu oma otsaesise ja kukla vahelise ruumi ja lõpetada mõtlemise? Kuidas teenida oma leiba ja võid? Liigume ju ühtlastes ridades digimajanduse ajastusse!

Veel Gaussi koolimeetodist: "miks teha sellest teadust?..."

Ega asjata postitasin ekraanipildi oma poja märkmikust...

"Mis klassis juhtus?"

“Noh, ma lugesin kohe, tõstsin käe, aga ta ei küsinud. Seetõttu hakkasin ma siis, kui teised lugesid, vene keeles kodutöid tegema, et mitte raisata aega (? ??), kutsus ta mind juhatusse, ütlesin vastuse.

"See on õige, näidake mulle, kuidas sa selle lahendasid," ütles õpetaja. Ma näitasin seda. Ta ütles: "Vale, peate arvestama nii, nagu ma näitasin!"

"Hea, et ta ei pannud mulle omal moel märkmikku "lahenduse kulgu" kirjutama?..

Matemaatikaõpetaja peamine kuritegu

Vaevalt pärast see juhtum Carl Gauss tundis suurt austust oma kooli matemaatikaõpetaja vastu. Aga kui ta teaks, kuidas selle õpetaja järgijad moonutab meetodi olemust... ta möirgaks nördimusest ja saavutaks Maailma Intellektuaalomandi Organisatsiooni WIPO kaudu oma hea nime kasutamise keelu kooliõpikutes!..

Milles koolikäsitluse peamine viga? Või nagu ma ütlen, koolimatemaatikaõpetajate kuritegu laste vastu?

Arusaamatuse algoritm

Millega tegelevad koolimetoodikud, kellest valdav enamus ei oska mõelda?

Nad loovad meetodeid ja algoritme (vt.). See kaitsereaktsioon, mis kaitseb õpetajaid kriitika eest (“Kõik tehakse vastavalt...”) ja lapsi mõistmise eest. Ja seega – soovist kritiseerida õpetajaid!(Teine tuletis bürokraatlikust "tarkusest", probleemi teaduslik lähenemine). Inimene, kes tähendusest aru ei saa, süüdistab pigem oma arusaamatust, mitte koolisüsteemi rumalust.

See juhtub nii: vanemad süüdistavad oma lapsi ja õpetajad... teevad sama lastega, kes "ei saa matemaatikast aru!"

Kas sa oled tark?

Mida tegi väike Karl?

Täiesti ebatraditsiooniline lähenemine valemile. See on Tema lähenemise olemus. See põhiline, mida koolis õpetama peaks, on mõelda mitte õpikutega, vaid oma peaga. Muidugi on olemas ka instrumentaalne komponent, mida saab kasutada... otsides lihtsamad ja tõhusamad loendusmeetodid.

Gaussi meetod Vilenkini järgi

Koolis õpetatakse, et Gaussi meetod on

paarides leida arvude summa, mis on võrdsel kaugusel arvurea servadest, kindlasti alustades servadest!

leida selliste paaride arv jne.

Mida, kui seeria elementide arv on paaritu, nagu mu pojale määratud probleemis?..

"Saak" on antud juhul see sa peaksid leidma seeriast "lisa" numbri ja lisage see paaride summale. Meie näites on see arv 260.

Kuidas tuvastada? Kõigi numbripaaride kopeerimine vihikusse!(Seetõttu pani õpetaja lapsed tegema seda rumalat tööd, püüdes Gaussi meetodil "loovust" õpetada... Ja seepärast on selline "meetod" suurte andmeridade puhul praktiliselt rakendamatu ja see on põhjus, miks see on mitte Gaussi meetod.)

Natuke loovust koolirutiini...

Poeg käitus teisiti.

Esiteks märkis ta, et lihtsam on korrutada arvu 500, mitte 520

(20 + 500, 40 + 480 ...).

Seejärel arvutas ta välja: sammude arv osutus paarituks: 500 / 20 = 25.

Seejärel lisas ta seeria algusesse NULLi (kuigi oli võimalik seeria viimane tähtaeg ära jätta, mis tagaks ka pariteedi) ja lisas numbrid, mis andsid kokku 500

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 sammu on 13 paari "viiesaja": 13 x 500 = 6500.

Kui jätsime seeria viimase liikme kõrvale, siis on paare 12, kuid me ei tohiks unustada arvutuste tulemusele lisada "visatud" viissada. Siis: (12 x 500) + 500 = 6500!

Pole raske, eks?

Kuid praktikas muutub see veelgi lihtsamaks, mis võimaldab teil venekeelseks kaugseireks eraldada 2–3 minutit, ülejäänud "loevad". Lisaks on selles säilinud meetodi etappide arv: 5, mis ei võimalda lähenemist kritiseerida ebateaduslikkuse pärast.

Ilmselgelt on see meetod meetodi stiilis lihtsam, kiirem ja universaalsem. Aga... õpetaja mitte ainult ei kiitnud, vaid sundis mind selle “õigesti” ümber kirjutama (vt ekraanipilti). See tähendab, et ta tegi meeleheitliku katse lämmatada loomingulist impulssi ja võimet mõista matemaatikat juurtes! Ilmselt selleks, et teda hiljem juhendajaks palgata... Ta ründas valet inimest...

Kõik, mida ma nii pikalt ja tüütult kirjeldasin, saab normaalsele lapsele ära seletatud maksimaalselt poole tunniga. Koos näidetega.

Ja nii, et ta seda kunagi ei unusta.

Ja saab olema samm mõistmise poole...mitte ainult matemaatikud.

Tunnistage: mitu korda olete oma elus Gaussi meetodit kasutades lisanud? Ja ma pole kunagi teinud!

Aga mõistmise instinkt, mis koolis matemaatiliste meetodite õppimise käigus areneb (või kustub)... Oh!.. See on tõesti asendamatu asi!

Eriti universaalse digitaliseerimise ajastul, kuhu oleme partei ja valitsuse rangel juhtimisel vaikselt sisenenud.

Paar sõna õpetajate kaitseks...

On ebaõiglane ja vale panna kogu vastutus sellise õpetamisstiili eest ainult kooliõpetajatele. Süsteem toimib.

Mõnedõpetajad mõistavad toimuva absurdsust, aga mida teha? Haridusseadus, liidumaa haridusstandardid, meetodid, tunniplaanid... Kõik tuleb teha “vastavalt ja alusel” ning kõik peab olema dokumenteeritud. Astu kõrvale – seisis vallandamise järjekorras. Ärgem olgem silmakirjatsejad: Moskva õpetajate palgad on väga head... Kui teid vallandatakse, kuhu minna?

Seetõttu see sait mitte hariduse kohta. Ta on umbes individuaalne haridus, ainus võimalik viis massist välja pääseda Z põlvkond ...

Alates 16.-18. sajandi algusest on matemaatikud hakanud intensiivselt uurima funktsioone, tänu millele on meie elus nii mõndagi muutunud. Arvutitehnoloogiat lihtsalt ei eksisteeriks ilma nende teadmisteta. Keeruliste ülesannete, lineaarvõrrandite ja funktsioonide lahendamiseks on loodud erinevaid mõisteid, teoreeme ja lahendustehnikaid. Üks selliseid universaalseid ja ratsionaalseid meetodeid ja tehnikaid lineaarvõrrandite ja nende süsteemide lahendamiseks oli Gaussi meetod. Maatriksid, nende auaste, determinant – kõike saab arvutada ilma keerulisi tehteid kasutamata.

Mis on SLAU

Matemaatikas on mõiste SLAE – lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem. Milline ta on? See on m võrrandite kogum nõutava n tundmatu kogusega, mida tavaliselt tähistatakse kui x, y, z või x 1, x 2 ... x n või muid sümboleid. Antud süsteemi lahendamine Gaussi meetodi abil tähendab kõigi tundmatute tundmatute leidmist. Kui süsteemis on sama arv tundmatuid ja võrrandeid, siis nimetatakse seda n-ndat järku süsteemiks.

Kõige populaarsemad meetodid SLAE-de lahendamiseks

Keskhariduse õppeasutustes uuritakse erinevaid meetodeid selliste süsteemide lahendamiseks. Enamasti on need lihtsad võrrandid, mis koosnevad kahest tundmatust, nii et mis tahes olemasolev meetod neile vastuse leidmiseks ei võta palju aega. See võib olla nagu asendusmeetod, kui ühest võrrandist tuletatakse teine ​​ja asendatakse see algse võrrandiga. Või termini haaval lahutamise ja liitmise meetod. Kuid Gaussi meetodit peetakse kõige lihtsamaks ja universaalsemaks. See võimaldab lahendada võrrandeid mis tahes arvu tundmatutega. Miks peetakse seda konkreetset tehnikat ratsionaalseks? See on lihtne. Maatriksmeetodi puhul on hea see, et see ei nõua mittevajalike sümbolite mitu korda tundmatuteks ümberkirjutamist, piisab koefitsientide aritmeetilisest operatsioonist – ja saadki usaldusväärse tulemuse.

Kus SLAE-sid praktikas kasutatakse?

SLAE-de lahenduseks on funktsioonide graafikute sirgete lõikepunktid. Meie kõrgtehnoloogilisel arvutiajastul peavad mängude ja muude programmide arendamisega tihedalt seotud inimesed teadma, kuidas selliseid süsteeme lahendada, mida need kujutavad ja kuidas saadud tulemuse õigsust kontrollida. Kõige sagedamini töötavad programmeerijad välja spetsiaalsed lineaaralgebra kalkulaatoriprogrammid, mis sisaldavad ka lineaarvõrrandisüsteemi. Gaussi meetod võimaldab arvutada kõik olemasolevad lahendused. Kasutatakse ka muid lihtsustatud valemeid ja tehnikaid.

SLAU ühilduvuskriteerium

Sellist süsteemi saab lahendada ainult siis, kui see on ühilduv. Selguse huvides esitame SLAE kujul Ax=b. Sellel on lahendus, kui rang(A) võrdub rang(A,b). Sel juhul on (A,b) laiendatud vormimaatriks, mille saab maatriksist A vabade terminitega ümber kirjutades. Selgub, et lineaarvõrrandite lahendamine Gaussi meetodi abil on üsna lihtne.

Võib-olla pole mõned sümbolid täiesti selged, mistõttu on vaja kõike näite abil käsitleda. Oletame, et on olemas süsteem: x+y=1; 2x-3a = 6. See koosneb ainult kahest võrrandist, milles on 2 tundmatut. Süsteemil on lahendus ainult siis, kui selle maatriksi aste on võrdne laiendatud maatriksi auastmega. Mis on auaste? See on süsteemi sõltumatute ridade arv. Meie puhul on maatriksi auaste 2. Maatriks A koosneb tundmatute lähedal asuvatest koefitsientidest ja laiendatud maatriksisse mahuvad ka märgi “=” taga asuvad koefitsiendid.

Miks saab SLAE-sid esitada maatriksi kujul?

Tuginedes tõestatud Kronecker-Capelli teoreemile vastavale ühilduvuskriteeriumile, saab lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi esitada maatrikskujul. Kasutades Gaussi kaskaadi meetodit, saate lahendada maatriksi ja saada ühe usaldusväärse vastuse kogu süsteemi kohta. Kui tavalise maatriksi auaste on võrdne selle laiendatud maatriksi auastmega, kuid on väiksem kui tundmatute arv, siis on süsteemil lõpmatu arv vastuseid.

Maatriksiteisendused

Enne maatriksite lahendamise juurde asumist peate teadma, milliseid toiminguid saab nende elementidega teha. On mitmeid elementaarseid teisendusi:

• Süsteemi maatrikskujul ümber kirjutades ja seda lahendades saate kõik seeria elemendid korrutada sama koefitsiendiga.
• Maatriksi kanooniliseks muutmiseks saate vahetada kaks paralleelset rida. Kanooniline vorm tähendab, et kõik maatriksi elemendid, mis asuvad piki põhidiagonaali, muutuvad ühtedeks ja ülejäänud nullideks.
• Maatriksi paralleelsete ridade vastavaid elemente saab omavahel liita.

Jordani-Gaussi meetod

Lineaarsete homogeensete ja mittehomogeensete võrrandite süsteemide Gaussi meetodil lahendamise põhiolemus on tundmatute järkjärguline kõrvaldamine. Oletame, et meil on kahe võrrandi süsteem, milles on kaks tundmatut. Nende leidmiseks peate kontrollima süsteemi ühilduvust. Võrrand lahendatakse väga lihtsalt Gaussi meetodi abil. Iga tundmatu lähedal asuvad koefitsiendid on vaja maatriksi kujul üles kirjutada. Süsteemi lahendamiseks peate välja kirjutama laiendatud maatriksi. Kui ühes võrrandis on vähem tundmatuid, siis tuleb puuduva elemendi asemele panna “0”. Maatriksile rakendatakse kõiki teadaolevaid teisendusmeetodeid: korrutamist, arvuga jagamist, seeria vastavate elementide omavahelist liitmist ja muud. Selgub, et igas reas on vaja jätta üks muutuja väärtusega “1”, ülejäänud tuleks vähendada nullini. Täpsemaks mõistmiseks on vaja käsitleda Gaussi meetodit näidetega.

Lihtne näide 2x2 süsteemi lahendamisest

Alustuseks võtame lihtsa algebralise võrrandisüsteemi, milles on 2 tundmatut.

Kirjutame selle ümber laiendatud maatriksiks.

Selle lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks on vaja ainult kahte tehtet. Peame viima maatriksi kanoonilisele kujule, nii et põhidiagonaalis oleks neid. Niisiis, maatriksvormilt süsteemi tagasi liikudes saame võrrandid: 1x+0y=b1 ja 0x+1y=b2, kus b1 ja b2 on saadud vastused lahendusprotsessis.

1. Esimene toiming laiendatud maatriksi lahendamisel on järgmine: esimene rida tuleb korrutada -7-ga ja lisada teisele reale vastavad elemendid, et teises võrrandis vabaneda ühest tundmatust.
2. Kuna võrrandite lahendamine Gaussi meetodil hõlmab maatriksi taandamist kanoonilisele kujule, siis on vaja teha samad toimingud esimese võrrandiga ja eemaldada teine ​​muutuja. Selleks lahutame esimesest teise rea ja saame vajaliku vastuse - SLAE lahenduse. Või nagu joonisel näidatud, korrutame teise rea koefitsiendiga -1 ja lisame teise rea elemendid esimesele reale. See on sama.

Nagu näeme, lahendati meie süsteem Jordani-Gaussi meetodil. Kirjutame selle ümber nõutud kujul: x=-5, y=7.

Näide 3x3 SLAE lahendusest

Oletame, et meil on keerulisem lineaarvõrrandisüsteem. Gaussi meetod võimaldab välja arvutada vastuse ka kõige segasema näiva süsteemi puhul. Seetõttu võib arvutusmetoodikasse süvenemiseks liikuda edasi keerukama näite juurde, kus on kolm tundmatut.

Nagu eelmises näites, kirjutame süsteemi ümber laiendatud maatriksi kujul ja hakkame viima selle kanoonilisele kujule.

Selle süsteemi lahendamiseks peate tegema palju rohkem toiminguid kui eelmises näites.

1. Kõigepealt peate tegema esimese veeru ühe ühikuelemendi ja ülejäänud nullid. Selleks korrutage esimene võrrand -1-ga ja lisage sellele teine ​​võrrand. Oluline on meeles pidada, et kirjutame esimese rea ümber selle algsel kujul ja teise muudetud kujul.
2. Järgmisena eemaldame selle sama esimese tundmatu kolmandast võrrandist. Selleks korrutage esimese rea elemendid -2-ga ja lisage need kolmandale reale. Nüüd kirjutatakse esimene ja teine ​​rida ümber nende algsel kujul ja kolmas - muudatustega. Nagu tulemusest näha, saime esimese maatriksi põhidiagonaali algusesse ja ülejäänud nullid. Veel paar sammu ja võrrandisüsteem Gaussi meetodil on usaldusväärselt lahendatud.
3. Nüüd peate tegema toiminguid ridade teiste elementidega. Kolmanda ja neljanda toimingu saab ühendada üheks. Peame teise ja kolmanda rea ​​jagama -1-ga, et vabaneda diagonaalil olevatest miinustest. Kolmanda rea ​​oleme juba viinud vajalikule vormile.
4. Järgmisena toome teise rea kanoonilisele vormile. Selleks korrutame kolmanda rea ​​elemendid -3-ga ja liidame need maatriksi teisele reale. Tulemusest on selge, et ka teine ​​rida taandatakse meile vajalikule kujule. Jääb teha veel paar toimingut ja eemaldada esimesest reast tundmatute koefitsiendid.
5. Rea teisest elemendist 0 saamiseks tuleb kolmas rida korrutada -3-ga ja lisada see esimesele reale.
6. Järgmine otsustav samm on teise rea vajalike elementide lisamine esimesse ritta. Nii saame maatriksi kanoonilise vormi ja vastavalt ka vastuse.

Nagu näete, on võrrandite lahendamine Gaussi meetodi abil üsna lihtne.

Näide 4x4 võrrandisüsteemi lahendamisest

Mõningaid keerukamaid võrrandisüsteeme saab lahendada Gaussi meetodil arvutiprogrammide abil. Olemasolevatesse tühjadesse lahtritesse on vaja sisestada tundmatute koefitsiendid ja programm ise arvutab samm-sammult vajaliku tulemuse, kirjeldades üksikasjalikult iga toimingut.

Allpool kirjeldatakse samm-sammult juhiseid sellise näite lahendamiseks.

Esimeses etapis sisestatakse tühjadesse lahtritesse vabad koefitsiendid ja tundmatute arvud. Seega saame sama laiendatud maatriksi, mille kirjutame käsitsi.

Ja laiendatud maatriksi kanoonilisele kujule viimiseks tehakse kõik vajalikud aritmeetilised toimingud. Tuleb mõista, et võrrandisüsteemi vastus ei ole alati täisarvud. Mõnikord võib lahendus olla murdarvudest.

Lahenduse õigsuse kontrollimine

Jordan-Gaussi meetod näeb ette tulemuse õigsuse kontrollimise. Selleks, et teada saada, kas koefitsiendid on õigesti arvutatud, peate lihtsalt asendama tulemuse algse võrrandisüsteemiga. Võrrandi vasak pool peab ühtima võrdusmärgi taga oleva parema poolega. Kui vastused ei ühti, peate süsteemi ümber arvutama või proovima sellele rakendada mõnda teist teile teadaolevat SLAE-de lahendamise meetodit, näiteks asendamist või terminite kaupa lahutamist ja liitmist. Matemaatika on ju teadus, millel on tohutult palju erinevaid lahendusviise. Kuid pidage meeles: tulemus peaks olema alati sama, olenemata sellest, millist lahendusmeetodit kasutasite.

Gaussi meetod: levinumad vead SLAE-de lahendamisel

Lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamisel ilmnevad kõige sagedamini vead, näiteks koefitsientide ebaõige ülekandmine maatriksvormi. On süsteeme, kus ühest võrrandist puuduvad mõned tundmatud, siis võivad need andmete ülekandmisel laiendatud maatriksisse kaduda. Selle tulemusena ei pruugi selle süsteemi lahendamisel tulemus vastata tegelikule.

Teine suur viga võib olla lõpptulemuse vale väljakirjutamine. On vaja selgelt mõista, et esimene koefitsient vastab esimesele süsteemist tundmatule, teine ​​- teisele ja nii edasi.

Gaussi meetod kirjeldab üksikasjalikult lineaarvõrrandite lahendamist. Tänu sellele on vajalike toimingute tegemine ja õige tulemuse leidmine lihtne. Lisaks on see universaalne tööriist usaldusväärse vastuse leidmiseks mis tahes keerukusega võrranditele. Võib-olla seetõttu kasutatakse seda nii sageli SLAE-de lahendamisel.