Võrrandite lahendamine lihtsa iteratsiooniga excel. Kasutatud kirjandusallikate loetelu

Excelis on lai valik tööriistu erinevat tüüpi võrrandite lahendamiseks erinevate meetodite abil.

Vaatame mõningaid näiteid lahendustest.

Võrrandite lahendamine Exceli parameetrite valimise meetodil

Tööriista Parameter Seek kasutatakse olukorras, kus tulemus on teada, aga argumendid teadmata. Excel valib väärtusi, kuni arvutus annab soovitud summa.

Käsu tee: "Andmed" - "Töö andmetega" - "Mis juhtuks, kui analüüs" - "Parameetrite valik".

Vaatleme näiteks ruutvõrrandi x 2 + 3x + 2 = 0 lahendust. Exceli abil juure leidmise järjekord:

Programm kasutab parameetri valimiseks tsüklilist protsessi. Iteratsioonide arvu ja vea muutmiseks peate minema Exceli valikute juurde. Vahekaardil "Valemid" määrake maksimaalne iteratsioonide arv, suhteline viga. Märkige ruut "Luba iteratiivsed arvutused".

Kuidas Excelis maatriksmeetodil võrrandisüsteemi lahendada

Võrrandisüsteem on antud:

Saadakse võrrandi juured.

Võrrandisüsteemi lahendamine Crameri meetodil Excelis

Võtame võrrandisüsteemi eelmisest näitest:

Nende lahendamiseks Crameri meetodil arvutame maatriksite determinandid, mis saadakse maatriksis A ühe veeru asendamisel veergmaatriksiga B.

Determinantide arvutamiseks kasutame funktsiooni MOPRED. Argumendiks on vastava maatriksiga vahemik.

Arvutame ka maatriksi A determinandi (massiivi - maatriksi A vahemik).

Süsteemi determinant on suurem kui 0 – lahenduse saab leida Crameri valemiga (D x / |A|).

X 1 arvutamiseks: \u003d U2 / $ U $ 1, kus U2 - D1. X 2 arvutamiseks: =U3/$U$1. Jne. Leiame võrrandite juured:

Võrrandisüsteemide lahendamine Gaussi meetodil Excelis

Näiteks võtame lihtsaima võrrandisüsteemi:

3a + 2c - 5c = -1
2a - c - 3c = 13
a + 2b - c \u003d 9

Koefitsiendid kirjutame maatriksisse A. Vabad liikmed - maatriksisse B.

Selguse huvides tõstame täites esile tasuta liikmed. Kui maatriksi A esimene lahter on 0, peate read vahetama nii, et oleks mõni muu väärtus kui 0.

Näited võrrandite lahendamisest iteratsiooni teel Excelis

Arvutused töövihikus tuleb seadistada järgmiselt:

Seda tehakse "Exceli suvandite" vahekaardil "Valemid". Leiame võrrandi x - x 3 + 1 = 0 (a = 1, b = 2) juure iteratsiooni teel, kasutades tsüklilisi viiteid. Valem:

X n+1 \u003d X n - F (X n) / M, n \u003d 0, 1, 2, ....

M on moodultuletise maksimaalne väärtus. M leidmiseks teeme arvutused:

f' (1) = -2 * f' (2) = -11.

Saadud väärtus on väiksem kui 0. Seetõttu on funktsioon vastupidise märgiga: f (x) \u003d -x + x 3 - 1. M \u003d 11.

Lahtrisse A3 sisestage väärtus: a = 1. Täpsus – kolm kohta pärast koma. Kõrvallahtris (B3) oleva x hetkeväärtuse arvutamiseks sisestage valem: =IF(B3=0;A3;B3-(-B3+POWER(B3;3)-1/11)).

Lahtris C3 juhime f (x) väärtust, kasutades valemit =B3-POWER(B3;3)+1.

Võrrandi juur on 1,179. Sisestage lahtrisse A3 väärtus 2. Saame sama tulemuse:

Antud intervallil on ainult üks juur.

Võrrandite juurte leidmine

Graafiline viis juurte leidmiseks on funktsiooni f (x) joonistamine segmendile. Funktsiooni graafiku lõikepunkt abstsissteljega annab võrrandi juure ligikaudse väärtuse.

Sel viisil leitud juurte ligikaudsed väärtused võimaldavad välja tuua segmendid, millel on vajadusel võimalik juuri täpsustada.

Pidevate funktsioonide f(x) arvutuste abil juurte leidmisel lähtutakse järgmistest kaalutlustest:

- kui funktsioonil on lõigu otstes erinevad märgid, siis on x-telje punktide a ja b vahel paaritu arv juuri;

- kui funktsioonil on intervalli otstes samad märgid, siis a ja b vahel on paarisarv juuri või pole neid üldse;

- kui lõigu otstes on funktsioonil erinevad märgid ja kas esimene tuletis või teine tuletis sellel lõigul märke ei muuda, siis on võrrandil lõigul üks juur.

Leia lõigul [–2,2] kõik võrrandi x 5 –4x–2=0 reaaljuured. Loome arvutustabeli.

Tabel 1

Tabel 2 näitab arvutustulemusi.

tabel 2

Samamoodi leitakse lahendus intervallidele [-2,-1], [-1,0].

Võrrandi juurte täpsustamine

Režiimi "Otsi lahendusi" kasutamine

Eespool toodud võrrandi puhul tuleks kõik võrrandi x 5 –4x–2=0 juured selgitada veaga E = 0,001.

Intervalli [-2,-1] juurte selgitamiseks koostame tabeli.

Tabel 3

Käivitame menüüst "Tööriistad" režiimi "Otsi lahendust". Käivitage režiimikäsud. Kuvamisrežiim kuvab leitud juured. Samamoodi täpsustame teiste intervallide juuri.

Võrrandi juurte täpsustamine

Režiimi "Iteratsioonid" kasutamine

Lihtsal iteratsioonimeetodil on kaks režiimi "Käsitsi" ja "Automaatne". Režiimi "Iteratsioonid" käivitamiseks menüüs "Tööriistad" avage vahekaart "Parameetrid". Järgmised on režiimi käsud. Vahekaardil Arvutused saate valida automaatse või käsitsi režiimi.

Võrrandisüsteemide lahendamine

Võrrandisüsteemide lahendamine Excelis toimub pöördmaatriksite meetodil. Lahendage võrrandisüsteem:

Loome arvutustabeli.

Tabel 4

A	B	C	D	E
Võrrandisüsteemi lahendus.

	kirves=b

Esialgne maatriks A		Parem pool b
-8
		-3
		-2		-2

Pöördmaatriks (1/A)		Lahendusvektor x=(1/A)/b
=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)		=MITME(A11:C13,E6:E8)
=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)		=MITME(A11:C13,E6:E8)
=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)		=MITME(A11:C13,E6:E8)

Funktsioon MIN tagastab väärtuste massiivi, mis sisestatakse korraga tervesse lahtrite veergu.

Tabelis 5 on esitatud arvutustulemused.

Tabel 5

A	B	C	D	E
Võrrandisüsteemi lahendus.

	kirves=b

Esialgne maatriks A		Parem pool b
-8
		-3
		-2		-2

Pöördmaatriks (1/A)		Lahendusvektor x=(1/A)/b
-0,149	0,054	-0,230
0,054	0,162	-0,189
-0,122	0,135	-0,824

Kasutatud kirjandusallikate loetelu

1. Turchak L.I. Arvmeetodite alused: Proc. toetus ülikoolidele / toim. V.V. Štšennikov.–M.: Nauka, 1987.–320lk.

2. Bundy B. Optimeerimismeetodid. Sissejuhatav kursus.–M.: Raadio ja side, 1988.–128s.

3. Evseev A.M., Nikolaeva L.S. Keemiliste tasakaalude matemaatiline modelleerimine.–M.: Izd-vo Mosk. un-ta, 1988.–192lk.

4. Bezdenezhnykh A.A. Tehnilised meetodid reaktsioonikiiruse võrrandite koostamiseks ja kineetiliste konstantide arvutamiseks.–L.: Keemia, 1973.–256lk.

5. Stepanova N.F., Erlykina M.E., Filippov G.G. Lineaaralgebra meetodid füüsikalises keemias.–M.: Izd-vo Mosk. un-ta, 1976.–359lk.

6. Bahvalov N.S. jt. Numbrilised meetodid ülesannetes ja harjutustes: Proc. käsiraamat ülikoolidele / Bakhvalov N.S., Lapin A.V., Chizhonkov E.V. - M.: Kõrgem. kool., 2000.-190. - (Kõrgem matemaatika / Sadovnichiy V.A.)

7. Arvutusmatemaatika rakendamine keemilises ja füüsikalises kineetikas, toim. L.S. Polak, M.: Nauka, 1969, 279 lk.

8. Arvutuste algoritmiseerimine keemiatehnoloogias B.A. Židkov, A.G. Cooper

9. Arvutusmeetodid keemiainseneridele. H. Rosenbrock, S. Lugu

10. Orvis V.D. Excel teadlastele, inseneridele ja üliõpilastele. - Kiiev: juunior, 1999.

11. Yu.Yu. Tarasevitš Arvulised meetodid Mathcade'is - Astrahani Riiklik Pedagoogikaülikool: Astrahan, 2000.

Näide 3.1 . Leia lahendus lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemile (3.1) Jacobi meetodi abil.

Antud süsteemi puhul saab kasutada iteratiivseid meetodeid, kuna tingimus "diagonaalkoefitsientide ülekaal", mis tagab nende meetodite lähenemise.

Jacobi meetodi projekteerimisskeem on näidatud joonisel (3.1).

Tooge süsteem (3.1). tavavaatele:

, (3.2)

või maatriksi kujul

, (3.3)

Joon.3.1.

Et määrata etteantud täpsuse saavutamiseks vajalike iteratsioonide arv e, ja veerus on kasulik süsteemi ligikaudne lahendus H installida Tingimuslik vorming. Sellise vormindamise tulemus on nähtav joonisel 3.1. Veeru lahtrid H, mille väärtused vastavad tingimusele (3.4), on varjutatud.

(3.4)

Tulemusi analüüsides võtame neljanda iteratsiooni esialgse süsteemi ligikaudse lahendusena etteantud täpsusega e=0,1,

need. x 1=10216; x 2= 2,0225, x 3= 0,9912

Väärtuse muutmine e lahtris H5 on võimalik saada algse süsteemi uus ligikaudne lahendus uue täpsusega.

Analüüsige iteratiivse protsessi konvergentsi, joonistades SLAE lahenduse iga komponendi muutused sõltuvalt iteratsiooni arvust.

Selleks valige lahtriplokk A10:D20 ja kasutades Diagrammi viisard, koostage graafikud, mis kajastavad iteratiivse protsessi konvergentsi, joonis 3.2.

Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem lahendatakse sarnaselt Seideli meetodiga.

Labor nr 4

Teema. Arvulised meetodid piirtingimustega lineaarsete tavadiferentsiaalvõrrandite lahendamiseks. Piiratud erinevuse meetod

Harjutus. Lahendage piirväärtuste ülesanne lõplike erinevuste meetodil, konstrueerides kaks lähendust (kaks iteratsiooni) sammuga h ja sammuga h/2.

Analüüsige tulemusi. Ülesande valikud on toodud lisas 4.

Töökäsk

1. Ehitage käsitsi piiriväärtuse probleemi (lõpliku erinevuse SLAE) lõpliku erinevuse lähendamine sammuga h , antud valik.

2. Lõpliku erinevuse meetodit kasutades vormi sisse excel astme lineaarsete algebraliste lõplike diferentsivõrrandite süsteem h segmendi jaotus . Kirjutage see SLAE raamatu töölehel. excel. Projekteerimisskeem on näidatud joonisel 4.1.

3. Lahendage saadud SLAE pühkimismeetodil.

4. Kontrollige SLAE lahenduse õigsust lisandmooduli abil Excel Otsi lahendus.

5. Vähendage ruudustiku sammu 2 korda ja lahendage probleem uuesti. Esitage tulemused graafiliselt.

6. Võrrelge oma tulemusi. Tehke järeldus konto jätkamise või lõpetamise vajaduse kohta.

Piirväärtusprobleemi lahendamine Microsoft Exceli arvutustabelite abil.

Näide 4.1. Lõpliku erinevuse meetodi kasutamine piiriväärtuse probleemile lahenduse leidmiseks , y(1)=1, y’(2)=0,5 segmendil xО sammuga h=0,2 ja sammuga h=0,1. Võrrelge tulemusi ja tehke järeldus konto jätkamise või lõpetamise vajaduse kohta.

Sammu h=0,2 arvutusskeem on näidatud joonisel 4.1.

Saadud lahendus (ruudustiku funktsioon) Y {1.000, 1.245, 1.474, 1.673, 1.829, 1.930}, X (1; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2) veergudes L ja B võib võtta esialgse ülesande esimese iteratsioonina (esimese lähendusena).

Leidmise eest teine iteratsioon tee ruudustik kaks korda paksemaks (n=10, samm h=0,1) ja korrake ülaltoodud algoritmi.

Seda saab teha raamatu samal või teisel lehel. excel. Lahendus (teine lähendus) on näidatud joonisel 4.2.

Võrrelge saadud ligikaudseid lahendusi. Selguse huvides saate koostada nende kahe lähenduse (kaks ruudustiku funktsiooni) graafikud, Joon.4.3.

Piirväärtusülesande ligikaudsete lahenduste graafikute koostamise protseduur

1. Koostage graafik ülesande lahendamiseks erinevuste ruudustiku jaoks sammuga h=0,2 (n=5).

2. Aktiveerige juba koostatud diagramm ja valige käsk menüü Diagramm\Lisa andmed

3. Aknas Uued andmed sisestage andmed x i , y i erinevuste ruudustiku jaoks sammuga h/2 (n=10).

4. Aknas Spetsiaalne sisestus märkige ruudud väljadel:

Ø uued read,

Nagu esitatud andmetest nähtub, erinevad piirväärtuse ülesande kaks ligikaudset lahendust (kaks ruudustiku funktsiooni) üksteisest mitte rohkem kui 5%. Seetõttu võtame teise iteratsiooni esialgse ülesande ligikaudse lahendusena, s.t.

Y{1, 1.124, 1.246, 1.364, 1.478, 1.584, 1.683, 1.772, 1.849, 1.914, 1.964}

Labor nr 5

Üldharidusministeerium

Venemaa Föderatsioon

Uurali Riiklik Tehnikaülikool-UPI

filiaal Krasnoturinskis

Arvutitehnika osakond

Kursuse töö

Numbriliste meetoditega

Lineaarvõrrandite lahendamine lihtsa iteratsiooni teel

kasutades Microsoft Excelit

Juhataja Kuzmina N.V.

Üliõpilane Nigmatzyanov T.R.

Rühm M-177T

Teema: "Antud täpsusega võrrandi F(x)=0 juure leidmine intervallilt lihtsa iteratsiooni meetodil."

Testjuhtum: 0,25-x+sinx=0

Ülesande tingimused: intervallil antud funktsiooni F(x) jaoks leida võrrandi F(x)=0 juur lihtsa iteratsiooni teel.

Juur arvutatakse kaks korda (kasutades automaatset ja käsitsi arvutamist).

Pakkuge ette antud intervalliga funktsiooni graafiku konstrueerimine.

Sissejuhatus 4

1. Teoreetiline osa 5

2. Töö edenemise kirjeldus 7

3. Sisend- ja väljundandmed 8

Järeldus 9

Lisa 10

Viited 12

Sissejuhatus.

Selle töö käigus pean tutvuma erinevate võrrandi lahendamise meetoditega ja leidma mittelineaarse võrrandi 0,25-x + sin (x) \u003d 0 juure numbrilise meetodiga - lihtsa iteratsiooni meetodiga. Juure leidmise õigsuse kontrollimiseks on vaja võrrand graafiliselt lahendada, leida ligikaudne väärtus ja võrrelda seda saadud tulemusega.

1. Teoreetiline osa.

Lihtne iteratsioonimeetod.

Iteratiivne protsess seisneb esialgse lähenduse x0 (võrrandi juur) järjestikuses täpsustamises. Iga sellist sammu nimetatakse iteratsiooniks.

Selle meetodi kasutamiseks kirjutatakse algne mittelineaarne võrrand järgmiselt: x=j(x), st. x paistab silma; j(х) on pidev ja diferentseeruv intervallil (a; c). Tavaliselt saab seda teha mitmel viisil:

Näiteks:

arcsin(2x+1)-x2 =0 (f(x)=0)

1. meetod.

arcsin(2x+1)=x2

sin(artsin(2x+1))=sin(x2)

x=0,5(sinx 2–1) (x=j(x))

2. meetod.

x=x+artsin(2x+1)-x2 (x=j(x))

3. meetod.

x 2 = arcsin(2x+1)

x= (x=j(x)), märk võetakse sõltuvalt intervallist [a;b].

Teisendus peab olema selline, et ½j(x)<1½ для всех принадлежащих интервалу .В таком случае процесс итерации сходится.

Olgu juure x \u003d c 0 esialgne lähendus teada. Asendades selle väärtuse võrrandi x \u003d j (x) paremale poole, saame juure uue lähenduse: c \u003d j (c 0) . x), saame väärtuste jada

c n = j(c n-1) n = 1,2,3,…

Iteratsiooniprotsessi tuleks jätkata, kuni kahe järjestikuse lähenduse korral on täidetud järgmine tingimus: ½c n -c n -1 ½

Programmeerimiskeeli kasutades saab võrrandeid lahendada numbriliselt, kuid Excel võimaldab selle ülesandega lihtsamalt hakkama saada.

Excel rakendab lihtsat iteratsioonimeetodit kahel viisil: käsitsi arvutamise ja automaatse täppisjuhtimisega.

y y=x

j (alates 0)

s 0 s 2 s 4 s 6 s 8 juur s 9 s 7 s 5 s 3 s 1

Riis. Iteratiivne protsessigraafik

2. Töö edenemise kirjeldus.

1. Käivitas ME.

2. Ehitasin funktsiooni y=x ja y=0,25+sin(x) graafiku 0,1 sammuga lõigule, mida nimetatakse leheks "Graafik".

3. Vali meeskond Teenindus ® Valikud.
Avas vahekaardi Arvutamine .
Režiim sisse lülitatud Käsitsi .
Märkeruut on keelatud Ümberarvestus enne salvestamist . Määras välja väärtuse Piirake iteratsioonide arvu võrdub 1, suhteline viga on 0,001.

4. Lahtrisse A1 sisestati rida "Võrrandi x \u003d 0,25 + sin (x) lahendamine lihtsa iteratsiooni meetodil."

5. Sisestati lahtrisse A3 tekst “Algväärtus”, lahtrisse A4 tekst “Algne lipp”, lahtrisse B3 väärtus 0,5, lahtrisse B4 sõna TRUE.

6. Määrati lahtritele B3 ja B4 nimed "algusväärtus" ja "algus".
Lahter B6 kontrollib, kas tõene on võrdne lahtri "begin" väärtusega. 0,25 + siinus x Lahtris B7 arvutatakse lahtri B6 siinus 0,25 ja seega korraldatakse tsükliline viide.

7. Lahtrisse A6 sisestati y=x ja lahtrisse A7 y=0,25+sin(x). Lahtrisse B6 valem:
=IF(algus,algusväärtus,B7).
Lahtris B7 valemis: y=0,25+sin(B6).

8. Sisestage lahtrisse A9 sõna Error.

9. Lahtrisse B9 sisestasin valemi: \u003d B7-B6.

10. Kasutades käsku Format-Cells (tab Number ) teisendas lahtri B9 kahe kümnendkohaga eksponentsiaalsesse vormingusse.

11. Seejärel korraldasin iteratsioonide arvu lugemiseks teise tsüklilise lingi. Lahtrisse A11 sisestasin teksti “Iteratsioonide arv”.

12. Lahtrisse B11 sisestasin valemi: \u003d IF (algus; 0; B12 + 1).

13. Lahtrisse B12 sisestati =B11.

14. Arvutamiseks seadke tabeli kursor lahtrisse B4 ja vajutage ülesande lahendamise alustamiseks klahvi F9 (Calculate).

15. Muutis algse lipu väärtuseks FALSE ja vajutas uuesti F9. Iga kord, kui vajutada F9, sooritatakse üks iteratsioon ja arvutatakse järgmine ligikaudne x väärtus.

16. Vajutage klahvi F9, kuni x väärtus saavutas nõutava täpsuse.
Automaatse arvutusega:

17. Liiguti teisele lehele.

18. Kordasin punkte 4 kuni 7, ainult lahtrisse B4 sisestasin väärtuse FALSE.

19. Valis meeskonna Teenindus ® Valikud (tab Arvutamine ).Määrake välja väärtus Piirake iteratsioonide arvu võrdne 100-ga, suhteline viga 0,0000001. Automaatselt .