Pall 4-mõõtmelises ruumis. 4D-pööramine ja sfääri pakkimine
|
|||||||||||||||||||||
|
1904. aastal tegi Henri Poincaré ettepaneku, et iga kolmemõõtmelise objekti, millel on teatud 3-sfääri omadused, saab muuta 3-sfääriks. Selle hüpoteesi tõestamiseks kulus 99 aastat. (Hoiatus: kolmemõõtmeline kera ei ole see, mida te arvate.) Vene matemaatik Grigory Perelman tõestas Poincaré saja-aastase oletuse ja koostas kolmemõõtmeliste ruumide kujundite kataloogi.
Poincaré pakkus välja, et 3-sfääriline on ainulaadne ja ühelgi teisel kompaktsel 3-kollektoril (mittekompaktsed kollektorid on lõpmatud või neil on servad. Allpool käsitletakse ainult kompaktseid kollektoreid) pole omadusi, mis muudavad selle nii lihtsaks. Keerulisematel 3-kollektoritel on piirid, mis seisavad püsti nagu telliskivisein, või mitu ühendust teatud alade vahel, näiteks metsarada, mis hargneb ja siis uuesti liitub. Iga kolmemõõtmelise objekti, millel on 3-sfääri omadused, saab selleks ise teisendada, nii et topoloogidele tundub see lihtsalt selle koopiana. Perelmani tõestus võimaldab meil vastata ka kolmandale küsimusele ja klassifitseerida kõik olemasolevad 3-kollektorid.
3-sfääri kujutlemiseks on teil vaja piisavalt kujutlusvõimet. Õnneks on sellel palju ühist 2-sfääriga, mille tüüpiline näide on ümmarguse õhupalli kumm: see on kahemõõtmeline, kuna mis tahes punkti sellel on määratletud ainult kahe koordinaadiga - laius- ja pikkuskraad. Kui uurite sellest üsna väikest ala võimsa suurendusklaasi all, tundub see olevat tükk tasast lehte. Õhupallil roomavale pisikesele putukale tundub see tasase pinnana. Kuid kui booger liigub sirgjooneliselt piisavalt kaua, naaseb ta lõpuks oma lähtepunkti. Samamoodi tajuksime meie universumi suurust 3-sfääri "tavalise" kolmemõõtmelise ruumina. Kui me lendaksime suvalises suunas piisavalt kaugele, lendaksime lõpuks sellest ümber ja jõuaksime tagasi oma alguspunkti.
Nagu võis arvata, nimetatakse n-mõõtmelist sfääri n-sfääriks. Näiteks 1-sfäär on kõigile tuttav: see on lihtsalt ring.
Matemaatikud, kes tõestavad teoreeme kõrgema mõõtmega ruumide kohta, ei pea uuritavat objekti ette kujutama: nad tegelevad abstraktsete omadustega, juhindudes intuitsioonidest, mis põhinevad vähemate mõõtmetega analoogiatel (sellist analoogiat tuleb käsitleda ettevaatlikult ja mitte võtta sõna-sõnalt). Vaatleme ka 3-sfääri, mis põhineb väiksemate mõõtmetega objektide omadustel.
1. Alustuseks vaatame ringi ja seda ümbritsevat ringi. Matemaatikute jaoks on ring kahemõõtmeline pall ja ring ühemõõtmeline kera. Lisaks on mis tahes suurusega pall täidetud objekt, mis meenutab arbuusi, ja kera on selle pind, rohkem nagu õhupall. Ringjoon on ühemõõtmeline, kuna sellel oleva punkti asukohta saab määrata ühe numbriga.
2. Kahest ringist saame konstrueerida kahemõõtmelise sfääri, muutes ühe neist põhjapoolkeraks ja teise lõunapoolkeraks. Jääb vaid need kokku liimida ja 2-kera on valmis.
3. Kujutage ette sipelgat, kes roomab põhjapooluselt mööda suurt ringi, mille moodustavad algmeridiaan ja 180. meridiaan (vasakul). Kui kaardistada tema tee kahele algsele ringile (paremal), näeme, et putukas liigub sirgjooneliselt (1) põhjaringi (a) servani, siis ületab piiri, tabab vastavat punkti lõunaringi ja jätkab sirge (2 ja 3) järgimist. Siis jõuab sipelgas uuesti servani (b), ületab selle ja leiab end taas põhjaringilt, tormades alguspunkti - põhjapooluse (4) poole. Pange tähele, et 2-sfääril ümber maailma reisides on liikumissuund ühelt ringilt teisele liikudes vastupidine.
4. Mõelge nüüd meie 2-kerale ja selles sisalduvale ruumalale (ruumiline pall) ning tehke nendega samamoodi nagu ringi ja ringiga: võtke kuuli kaks koopiat ja liimige nende piirid kokku. On võimatu ja pole vaja selgelt näidata, kuidas pallid moonutatakse neljas mõõtmes ja muutuvad poolkerade analoogiks. Piisab teadmisest, et pindadel olevad vastavad punktid, s.o. 2-sfäärid on omavahel ühendatud samamoodi nagu ringide puhul. Kahe palli ühendamise tulemuseks on 3-sfääriline - neljamõõtmelise kuuli pind. (Nelja mõõtme korral, kus eksisteerivad 3-kera ja 4-pall, on objekti pind kolmemõõtmeline.) Nimetagem üht palli põhjapoolkeraks ja teist lõunapoolkeraks. Analoogiliselt ringidega asuvad postid nüüd pallide keskpunktides.
5. Kujutage ette, et kõnealused pallid on suured tühjad alad. Oletame, et astronaut läheb põhjapooluselt raketiga teele. Aja jooksul jõuab see ekvaatorini (1), mis on nüüd põhjapalli ümbritsev kera. Seda ületades siseneb rakett lõunapoolkerale ja liigub sirgjooneliselt läbi oma keskpunkti – lõunapooluse – ekvaatori vastasküljele (2 ja 3). Seal toimub taas üleminek põhjapoolkerale ning rändur naaseb põhjapoolusele, s.o. alguspunkti (4). See on stsenaarium ümbermaailmareisile 4-mõõtmelise palli pinnal! Vaadeldav kolmemõõtmeline sfäär on Poincaré oletuses viidatud ruum. Võib-olla on meie universum täpselt 3-sfääriline.
Arutluskäiku saab laiendada viie mõõtmeni ja konstrueerida 4-sfääri, kuid seda on äärmiselt raske ette kujutada. Kui liimida kaks n-kuuli piki neid ümbritsevaid (n-1)-sfääri, saad n-kuuli, mis piirab (n+1)-kuuli.
Möödus pool sajandit, enne kui Poincaré oletuse asi käima läks. 60ndatel XX sajand matemaatikud on tõestanud sarnaseid väiteid viie või enama mõõtmega sfääride kohta. Igal juhul on n-sfäär tõepoolest ainus ja lihtsaim n-kollektor. Kummalisel kombel osutus mitmemõõtmeliste sfääride jaoks tulemuste saamine lihtsamaks kui 3- ja 4-sfääride puhul. Tõestus nelja mõõtme kohta ilmus 1982. aastal. Ja ainult Poincaré algne oletus 3-sfääri kohta jäi kinnitamata.
Otsustav samm astuti 2002. aasta novembris, mil matemaatika instituudi Peterburi filiaali matemaatik Grigory Perelman. Steklov, saatis artikli veebisaidile www.arxiv.org, kus füüsikud ja matemaatikud üle kogu maailma arutavad oma teadustegevuse tulemusi. Topoloogid mõistsid kohe seost Vene teadlase töö ja Poincaré oletuse vahel, kuigi autor seda otseselt ei maininud.
Tegelikult lahendab Perelmani tõestus, mille õigsust pole veel keegi suutnud kahtluse alla seada, palju laiemat küsimust kui Poincaré oletus ise. William P. Thurstoni Cornelli ülikoolist välja pakutud geometriseerimisprotseduur võimaldab 3-sfääril põhineva 3-kollektori täielikku klassifitseerimist, mis on ainulaadne oma üleva lihtsuse poolest. Kui Poincaré oletus oleks vale, s.t. Kui oleks palju nii lihtsaid ruume kui kera, siis muutuks 3-kollektorite klassifikatsioon millekski lõpmatult keerulisemaks. Tänu Perelmanile ja Thurstonile on meil täielik kataloog kõigist matemaatiliselt võimalikest kolmemõõtmelise ruumi vormidest, mida meie universum võiks võtta (kui arvestada ainult ruumi ilma ajata).
Poincaré oletuse ja Perelmani tõestuse paremaks mõistmiseks peaksite topoloogiat lähemalt uurima. Selles matemaatikaharus ei oma tähtsust eseme kuju, nagu oleks see valmistatud taignast, mida saab igal viisil venitada, kokku suruda ja painutada. Miks peaksime mõtlema kujuteldavast taignast tehtud asjadele või ruumidele? Fakt on see, et objekti täpne kuju - kõigi selle punktide vaheline kaugus - viitab struktuuri tasemele, mida nimetatakse geomeetriaks. Objekti testiga uurides tuvastavad topoloogid selle põhiomadused, mis ei sõltu geomeetrilisest struktuurist. Topoloogia õppimine on nagu inimestel kõige levinumate joonte otsimine, vaadates "plastiliinset meest", kellest saab iga konkreetne isik.
Populaarses kirjanduses on sageli hakitud väide, et topoloogilisest vaatenurgast ei erine tass sõõrikust. Fakt on see, et taignatopsist saab sõõriku lihtsalt materjali purustades, s.t. midagi pimestamata või auke tegemata. Seevastu pallist sõõriku tegemiseks tuleb kindlasti teha sinna auk või rullida see silindriks ja voolida otsad, nii et pall pole üldse sõõrik.
Topoloogid on enim huvitatud sfääri- ja sõõrikupinnast. Seetõttu tuleks tahkete kehade asemel ette kujutada õhupalle. Nende topoloogia on siiski erinev, kuna sfäärilist õhupalli ei saa muuta rõngakujuliseks, mida nimetatakse toruks. Esiteks otsustasid teadlased välja selgitada, kui palju erineva topoloogiaga objekte eksisteerib ja kuidas neid iseloomustada. 2-kollektorite puhul, mida me nimetasime pindadeks, on vastus elegantne ja lihtne: kõik määrab “aukude” või, mis on sama, käepidemete arv. 19. sajandi lõpuks. Matemaatikud leidsid, kuidas pindu klassifitseerida, ja leidsid, et kõige lihtsam neist on kera. Loomulikult hakkasid topoloogid mõtlema 3-kollektori peale: kas 3-sfäär on oma lihtsuses ainulaadne? Vastuse otsimise sajandipikkune ajalugu on täis eksitusi ja vigaseid tõendeid.
Henri Poincaré käsitles seda küsimust põhjalikult. Ta oli üks kahest võimsaimast matemaatikust 20. sajandi alguses. (teine oli David Gilbert). Teda nimetati viimaseks universalistiks – ta töötas edukalt nii puhta kui ka rakendusmatemaatika kõikides valdkondades. Lisaks andis Poincaré tohutu panuse taevamehaanika, elektromagnetismi teooria arendamisse, aga ka teadusfilosoofiasse, mille kohta ta kirjutas mitu populaarset raamatut.
Poincarést sai algebralise topoloogia rajaja ja ta sõnastas selle meetodeid kasutades 1900. aastal objekti topoloogilise tunnuse, mida nimetatakse homotoopiaks. Kollektori homotoopia kindlaksmääramiseks peate sellesse vaimselt kastma suletud ahela. Seejärel peaksite välja selgitama, kas silmust on alati võimalik kollektori sees liigutades teatud punktini kokku tõmmata. Toruse puhul on vastus eitav: kui asetate toru ümbermõõdule aasa, ei saa te seda punktini pingutada, sest sõõriku "auk" jääb teele. Homotoopia on erinevate teede arv, mis võivad takistada ahela kokkutõmbumist.
N-sfääril saab iga silmuse, isegi keeruliselt keerutatud, alati lahti harutada ja kokku tõmmata. (Silmusel lastakse endast läbi minna.) Poincaré oletas, et 3-sfäär on ainuke 3-kollektor, millel saab mistahes ahelat punktini kokku tõmmata. Kahjuks ei suutnud ta kunagi tõestada oma oletust, mis hiljem sai tuntuks kui Poincaré oletus.
Perelmani 3-kollektori analüüs on tihedalt seotud geometriseerimisprotseduuriga. Geomeetria käsitleb esemete ja kollektorite tegelikku kuju, mitte enam taignast, vaid keraamikast. Näiteks tass ja sõõrik on geomeetriliselt erinevad, kuna nende pinnad on erineva kõverusega. Väidetavalt on tass ja sõõrik kaks näidet topoloogilisest torust, millele on antud erinevad geomeetrilised kujundid.
Et mõista, miks Perelman geometriseerimist kasutas, kaaluge 2-kollektorite klassifikatsiooni. Igale topoloogilisele pinnale on määratud ainulaadne geomeetria, mille kumerus on jaotatud ühtlaselt üle kollektori. Näiteks sfääri jaoks on see täiesti sfääriline pind. Topoloogilise sfääri teine võimalik geomeetria on muna, kuid selle kumerus ei jaotu kõikjal ühtlaselt: terav ots on kumeram kui tömp.
2-kollektorid moodustavad kolm geomeetrilist tüüpi. Sfääri iseloomustab positiivne kumerus. Geomeetriline torus on tasane ja sellel on nullkõverus. Kõik teised kahe või enama "auguga" 2-kollektorid on negatiivse kumerusega. Need vastavad sadulaga sarnasele pinnale, mis kõverdub ees ja taga ülespoole ning vasakule ja paremale allapoole. Poincaré töötas välja selle 2-kollektori geomeetrilise klassifikatsiooni (geometriseerimise) koos Paul Koebe ja Felix Kleiniga, kelle järgi on Kleini pudel oma nime saanud.
On loomulik soov rakendada sarnast meetodit 3-kollektoritele. Kas igaühele neist on võimalik leida unikaalne konfiguratsioon, kus kumerus jaotuks ühtlaselt kogu sordi ulatuses?
Selgus, et 3-kollektorid on palju keerukamad kui nende kahemõõtmelised kollektorid ja enamikule neist ei saa määrata homogeenset geomeetriat. Need tuleks jagada osadeks, mis vastavad ühele kaheksast kanoonilisest geomeetriast. See protseduur meenutab arvu lagundamist algteguriteks.
Kuidas saab kollektorit geometriseerida ja anda sellele kõikjal ühtlase kumeruse? Peate võtma suvalise geomeetria erinevate eendite ja süvenditega ning seejärel siluma kõik ebakorrapärasused. 90ndate alguses. XX sajand Hamilton alustas 3-kollektori analüüsimist Ricci vooluvõrrandi abil, mis sai nime matemaatik Gregorio Ricci-Curbastro järgi. Mõnevõrra sarnaneb see soojusjuhtivuse võrrandiga, mis kirjeldab ebaühtlaselt kuumutatud kehas voolavaid soojusvooge, kuni selle temperatuur muutub kõikjal ühesuguseks. Samamoodi määrab Ricci vooluvõrrand kollektori kõveruse muutuse, mis viib kõigi väljaulatuvate osade ja süvendite joondamiseni. Näiteks kui alustate munaga, muutub see järk-järgult kerakujuliseks.
Perelman lisas Ricci vooluvõrrandisse uue termini. See muudatus ei kõrvaldanud omapära probleemi, kuid võimaldas teha palju põhjalikumat analüüsi. Üks vene teadlane on näidanud, et hantlikujulise kollektoriga saab teha “kirurgilist” operatsiooni: lõigata õhuke toru mõlemalt poolt tekkivast ahenemisest ja sulgeda kuulidest väljaulatuvad lahtised torud sfääriliste korkidega. Seejärel peaksite jätkama "käitatava" kollektori muutmist vastavalt Ricci vooluvõrrandile ja rakendama ülaltoodud protseduuri kõigi tekkivate kitsenduste puhul. Perelman näitas ka, et sigarikujulised tunnused ei saa ilmneda. Seega saab iga 3-kollektori taandada homogeense geomeetriaga osade komplektiks.
Kui Ricci voolu ja "operatsiooni" rakendatakse kõigile võimalikele 3-kollektoritele, taandub ükskõik milline neist, kui see on sama lihtne kui 3-sfäär (teisisõnu, mida iseloomustab sama homotoopia), tingimata sama homogeense geomeetriaga. as ja 3-sfääriline. See tähendab topoloogilisest vaatepunktist, et kõnealune kollektor on 3-sfääriline. Seega on 3-sfäär ainulaadne.
Perelmani artiklite väärtus ei seisne mitte ainult Poincaré oletuse tõestamises, vaid ka uutes analüüsimeetodites. Teadlased üle maailma kasutavad juba praegu oma töös Vene matemaatiku saadud tulemusi ja rakendavad tema väljatöötatud meetodeid teistes valdkondades. Selgus, et Ricci voolu seostatakse nn renormaliseerimisrühmaga, mis määrab, kuidas interaktsioonide tugevus muutub sõltuvalt osakeste põrkeenergiast. Näiteks madala energia korral iseloomustab elektromagnetilise interaktsiooni tugevust arv 0,0073 (ligikaudu 1/137). Kui aga kaks elektroni peaaegu valguse kiirusel kokku põrkuvad, läheneb jõud 0,0078-le. Füüsikaliste jõudude muutumist kirjeldav matemaatika on väga sarnane matemaatikaga, mis kirjeldab kollektorite geometriseerimist.
Kokkupõrkeenergia suurendamine võrdub jõu uurimisega väiksematel vahemaadel. Seetõttu on renormaliseerimisrühm sarnane muutuva suurendusteguriga mikroskoobiga, mis võimaldab uurida protsessi erinevatel detailsustasemetel. Samuti on Ricci vool mikroskoop kollektorite vaatamiseks. Ühel suurendusel nähtavad eendid ja süvendid kaovad teisel. On tõenäoline, et Plancki pikkuse skaalal (umbes 10–35 m) näeb ruum, kus me elame, keeruka topoloogilise struktuuriga vahtplastina. Lisaks on Ricci vooluvõrrandiga tihedalt seotud üldrelatiivsusteooria võrrandid, mis kirjeldavad gravitatsiooni omadusi ja Universumi suurstruktuuri. Paradoksaalsel kombel pärineb Hamiltoni kasutatud väljendile lisatud termin Perelman stringiteooriast, mis väidetavalt on gravitatsiooni kvantteooria. Võimalik, et vene matemaatiku artiklitest leiavad teadlased palju rohkem kasulikku teavet mitte ainult abstraktsete 3-kollektorite, vaid ka ruumi kohta, kus me elame.
Mõni aeg tagasi ilmus eeltrüki veebisaidil arXiv.org kaks artiklit, mis olid pühendatud pallide kõige tihedama pakkimise probleemile mõõtmetega 8 ja 24 ruumides. Seni olid sarnased tulemused teada ainult mõõtmete 1, 2 ja 3 puhul (ja siin pole kõik nii lihtne, aga sellest allpool). Läbimurre – ja me räägime tõelisest revolutsioonilisest läbimurdest – sai võimalikuks tänu Ukraina päritolu matemaatiku Marina Vjazovskaja tööle, kes praegu töötab Saksamaal. Sellest saavutusest räägime kümnes novellis.
1.
16. sajandil elas Inglismaal kuulus õukonnategelane ja poeet Sir Walter Raleigh. Ta oli kuulus ennekõike selle poolest, et viskas kord oma kalli mantli kuninganna ette lompi, et Tema Majesteet tal jalgu ära ei määriks. Kuid mitte sellepärast pole ta meile huvitav.
Sir Walter Raleigh’l oli kirg – ta armastas röövida Hispaania laevu ja otsida El Doradot. Ja siis ühel päeval nägi Raleigh laeval hunnikut virnastatud kahurikuule. Ja ma mõtlesin (see juhtus Briti õukondlastega), nad ütlevad, et oleks tore, kui oleks võimalik teada saada, mitu südamikku hunnikus on ilma neid lugemata. Selliste teadmiste kasu, eriti kui teile meeldib Hispaania laevastikku rüüstata, on ilmne.
Walter Raleigh
Raleigh ise ei olnud matemaatikas väga hea, mistõttu määras ta selle ülesande oma assistendile Thomas Herriotile. Ta oli omakorda tugev matemaatikas (Harriott, muide, on märkide “>” ja “<» для сравнения численных величин), поэтому довольно быстро решил эту задачу. Но Хэрриот был хорошим математиком, поэтому он задался вопросом: а как лучше всего укладывать ядра? Сам он немного подумал, но решить задачу не смог.
Kommentaaride saamiseks pöördus ta oma aja kuulsa matemaatiku Johannes Kepleri poole, kes oli tol ajal Tycho Brahe assistent. Kepler ei andnud vastust, kuid probleem jäi talle meelde. 1611. aastal avaldas ta väikese brošüüri, milles käsitles nelja küsimust: miks mesilastel on kuusnurksed kärjed, miks on lille kroonlehed kõige sagedamini rühmitatud viiekaupa ( Kepler ilmselt ainult mõtlesRosaceae - u. N+1), miks on granaaditerad dodekaeedrite kujulised (ehkki ebakorrapärased) ja miks lõpuks on lumehelvestel kuusnurkne kuju.
Johannes Kepler
Brošüür oli mõeldud kingituseks, nii et see oli pigem filosoofiline ja meelelahutuslik lugemine kui tõeline teaduslik teos. Kepler seostas vastuse esimesele küsimusele kahe tingimusega – rakkude vahel ei tohiks olla tühimikke ning rakkude pindalade summa peaks olema minimaalne. Autor sidus teise küsimuse Fibonacci numbritega ja vestlus lumehelvestest ajendas Keplerit rääkima aatomi sümmeetriatest.
Kolmas küsimus tekitas hüpoteesi, et kuusnurkne tihe pakend(see on alloleval pildil) on kõige tihedam (mis tähendab, et see matemaatilises mõttes on ka allpool). Muidugi ei pidanud Kepler vajalikuks Harriotile viidata. Seetõttu nimetatakse seda väidet Kepleri hüpoteesiks. Stigleri seadus – tuntud ka kui Arnoldi põhimõte – toimib.
Jah, 7 aastat pärast selle brošüüri avaldamist lõigati Sir Walter Raleighi pea maha. Sellel polnud aga midagi pistmist tiheda pakkimise probleemiga.
2.
Kaasaegsete standardite kohaselt ei olnud Harrioti lahendatud probleem keeruline. Seetõttu analüüsime seda üksikasjalikumalt. Ja samal ajal saame paremini aru, kuidas kuusnurkne tihendus töötab.
Niisiis, peamine tingimus on see, et tuumade hunnik ei veereks rullimise ajal välja. Niisiis, paneme tuumad tekile ritta. Järgmises reas asetame tuumad nii, et pallid asetseksid esimese rea kerade vahedesse. Kui esimeses reas on n palli, siis teises reas on n - 1 (sest pallide vahel on üks vähem tühikuid kui pallid ise). Järgmisel real on üks südamik vähem. Ja nii edasi, kuni saame sellise kolmnurga (kui vaatate paigutust ülalt):
Need, kes mäletavad, mis on aritmeetiline progressioon, võib kergesti välja arvutada, et kui esimeses reas oli n kuuli, siis sellises kolmnurgas on kokku n(n + 1)/2 kuuli. Ülalt vaadates on kuulide vahel mugavad sooned. Siia paneme teise kihi pallid. Tulemuseks on kolmnurk, mis on korraldatud nagu esimene, ainult ühe palliga vähem küljel. See tähendab, et lisasime hunnikusse n(n - 1)/2 palli.
Jätkame kihtide lisamist, kuni saame ühe palli kihi. Saime kolmnurkse tuumade püramiidi. Et teada saada, kui palju südamikke kokku on, tuleb iga kihi tuumade arv kokku liita. Kui esimesel kihil oli külg n, siis saame n kihti, mis kokku annab n(n + 1)(n + 2)/6. Uudishimulik lugeja märkab, et see on täpselt binoomkoefitsient C 3 n + 2. See kombinatoorne kokkusattumus pole põhjuseta, kuid me ei hakka sellesse süvenema.
Muide, lisaks sellele ülesandele suutis Herriot määrata ligikaudu, kui suure osa tuumad piisavalt suures mahutis hõivavad, kui võtta viimase kuju kuubikuna. Selgus, et murdosa on π/(3√2) ≈ 0,74048.
3.
Mida see sõna tähendab kõige tihedam probleemi avalduses? Raleigh, Harriot ja Kepler ise ei andnud sellele täpset vastust. See tähendas mõnes mõistlikus mõttes kõige tihedamat. See sõnastus ei sobi aga matemaatika jaoks. Seda on vaja selgitada.
Lähme kõigepealt ühe dimensiooni alla ja vaatame, kuidas kõik lennukis toimib. Kahemõõtmelise juhtumi puhul muutub probleem järgmiseks: anda tasapinnale lõpmatu hulk ringjooni, mis ei ristu sisemuses (aga võib-olla puudutavad - see tähendab, et neil on ühine punkt piiril). Joonistame ruudu. Arvutame välja ruudu sisse langevate ringitükkide pindalade summa. Võtame selle summa suhte ruudu pindalaga ja suurendame ruudu külge, vaadates suhte muutust.
Saame funktsiooni f(a), Kus a- väljaku pool. Kui meil veab, siis see toimib kasvuga argument läheneb asümptootiliselt teatud arvule. Seda arvu nimetatakse antud pakendi tiheduseks. On oluline, et funktsioon ise saaks mingil hetkel anda tihedusest suurema väärtuse. Tõepoolest, kui ruut on väike, siis mahub see täielikult ringi ja teatud suhe on 1. Kuid meid huvitab keskmine tihedus, see tähendab mitteametlikult öeldes "piisavalt suure küljega ruudu jaoks. ”
Kõigi selliste tiheduste hulgast võib leida maksimumi. Just seda ja ka seda rakendavat pakendit nimetatakse kõige tihedamaks.
"Lähim pakend ei pruugi olla ainus (asümptootilises mõttes). 3-mõõtmelises ruumis on lõpmatu arv tihedaid pakendeid ja Kepler teadis seda, ”ütleb Oleg Musin Texase ülikoolist Brownsville'is.
Pärast seda, kui oleme määratlenud lähima pakkimise mõiste, on lihtne mõista, et sellist määratlust saab hõlpsasti laiendada suvalise mõõtmega n ruumile. Tõepoolest, asendagem ringid vastava mõõtmega kuulidega, see tähendab punktide kogumiga, mille kaugus fikseeritud punktini (mida nimetatakse keskpunktiks) ei ületa teatud väärtust, mida nimetatakse kuuli raadiuseks. Korraldame need jälle nii, et parimal juhul puudutavad need kaks ja halvimal juhul pole neil üldse ühist punkti. Defineerime sama funktsiooni nagu eelmisel juhul, võttes n-mõõtmelise kuubi ruumala ja vastavate n-mõõtmeliste kuulide ruumalade summa.
4.
Seega saame aru, et Kepleri hüpotees on probleem kolmemõõtmeliste kuulide kõige tihedama pakkimise kohta kolmemõõtmelises ruumis. Aga lennukiga (kuna me sellega alustasime)? Või isegi sirgjoonelt? Sirgega on kõik lihtne: pall sirgjoonel on segment. Sirge saab täielikult katta identsete otstes lõikuvate segmentidega. Sellise katvuse korral funktsioon f(a) on konstantne ja võrdne 1-ga.
Lennukis osutus kõik mõnevõrra keerulisemaks. Niisiis, alustame punktide komplektiga lennukis. Ütleme, et see punktide hulk moodustab võre, kui leiame vektorite v ja w paari nii, et kõik punktid saadakse kujul N*v + M*w, kus N ja M on täisarvud. Sarnaselt saab võre määratleda suvaliselt suurte mõõtmetega ruumis – selleks on vaja lihtsalt rohkem vektoreid.
Võred on olulised mitmel põhjusel (näiteks võrekohad on koht, kus aatomid eelistavad paikneda tahkete materjalide puhul), kuid matemaatikute jaoks on need head, kuna nendega on väga mugav töötada. Seetõttu eristatakse kõigist pakettidest eraldi klass, milles kuulide keskpunktid asuvad võre sõlmedes. Kui piirduda selle juhtumiga, siis on tasapinnal vaid viit tüüpi võreid. Neist kõige tihedama pakkimise toodab selline, mille punktid on paigutatud korrapäraste kuusnurkade tippudesse – nagu mesilaste kärjed või grafeeni aatomid. Seda fakti tõestas Lagrange 1773. aastal. Täpsemalt: Lagrange’i ei huvitanud tihedad pakkimised, vaid ruutvormid. Juba XX sai selgeks, et tema tulemustest vormide kohta järgneb kahemõõtmeliste võre pakkimistiheduse tulemus.
“Aastal 1831 kirjutas Ludwig Sieber raamatu kolmeosaliste ruutvormide kohta. See raamat esitas oletuse, mis on samaväärne Kepleri oletusega võrepakendite kohta. Sieber ise suutis tõestada vaid oma hüpoteesi nõrka vormi ja seda suure hulga näidete jaoks testida. Selle raamatu arvustas suur Carl Friedrich Gauss. Selles ülevaates pakub Gauss tõeliselt hämmastavat tõendit, mis mahub 40 reale. See, nagu me praegu ütleme, “olümpiaadi” tõestus on keskkooliõpilasele arusaadav. Paljud matemaatikud on püüdnud leida Gaussi tõestuse varjatud tähendust, kuid seni pole see kellelgi õnnestunud,” ütleb Oleg Musin.
Mis aga juhtub, kui me võrgutingimusest loobume? Siin osutub kõik mõnevõrra keerulisemaks. Esimese täieõigusliku katse selle juhtumiga tegeleda tegi Norra matemaatik Axel Thue. Kui vaatate Wikipedias Thue'le pühendatud lehte, ei leia te seal midagi tihedast pakendist. See on arusaadav – Thu avaldas kaks teost, mis meenutasid rohkem esseesid kui tavalisi matemaatilisi töid, milles, nagu talle tundus, lahendas ta täielikult tiheda pakkimise probleemi. Ainus probleem oli see, et keegi peale Thue enda ei olnud tema arutluskäigus veendunud.
Laszlo Fejes Toth
Danzer, Ludwig / Wikimedia Commons
Lõpuks lahendas ülesande Ungari matemaatik Laszlo Fejes Toth 1940. aastal. Muide, selgus, et ringide paigutus tasapinnal, mis realiseerib kõige tihedama pakkimise, on ainus.
5.
Tiheda pakkimisprobleemiga on tihedalt seotud kontaktnumbri probleem. Vaatame uuesti lennukis ringi. Mitu sama raadiusega ringi saab selle ümber asetada nii, et need kõik puudutaksid keskmist? Vastus on kuus. Tõepoolest, vaatame kahte naaberringi, mis puudutavad meie keskmist ringi. Vaatame kaugust keskringi keskpunktist nende kahe keskpunktini. See on võrdne 2R, Kus R- ringi raadius. Külgnevate ringide keskpunktide vaheline kaugus ei ületa 2R. Arvutades koosinusteoreemi abil keskringi keskpunkti nurga, leiame, et see ei ole väiksem kui 60 kraadi. Kõigi kesknurkade summa peaks andma 360 kraadi, mis tähendab, et selliseid nurki ei saa olla rohkem kui 6 ja me teame kuue nurgaga ringide asukohta.
Saadud numbrit nimetatakse lennuki kontaktnumbriks. Sarnase küsimuse võib esitada mis tahes mõõtmetega ruumide kohta. Laske lahenduse lihtsus lennukis lugejat eksitada - kontaktnumbrite probleem, kui see on lihtsam kui tiheda pakkimise probleem, pole palju lihtsam. Kuid selles suunas on tegelikult saavutatud rohkem tulemusi.
Kolmemõõtmelise ruumi puhul sai kontaktnumber 1694. aastal avaliku vaidluse objektiks Isaac Newtoni enda ja James Gregory vahel. Esimene arvas, et kontaktnumber peaks olema 12 ja teine - et 13. Asi on selles, et 12 palli ümber keskse pole keeruline paigutada - selliste kuulide keskpunktid asuvad tavalise ikosaeedri tippudes (ta on neid täpselt 12). Aga need pallid ei puutu kokku! Esmapilgul tundub, et neid saab liigutada nii, et veel üks, 13. pall, mahub läbi. See on peaaegu tõsi: kui pallid liigutatakse üksteisest veidi eemale, ei jääks nende keskpunktide ja keskpunkti vaheline kaugus. 2R, aga kokku 2,06R, siis mahub juba 13 palli ära. Kuid pallide puudutamisel eksis Gregory – seda fakti tõestasid van der Waarden ja Schutte 1953. aastal.
4. mõõtme puhul lahendas selle probleemi 2003. aastal Oleg Musin. Seal selgus, et kontaktnumber on 24.
6.
Lisaks nendele mõõtmetele 1, 2, 3 ja 4 on kontaktnumbrid teada ka mõõtmete 8 ja 24 puhul. Miks just need mõõdud? Fakt on see, et nende jaoks on väga huvitavad võred, mida nimetatakse E8 ja Leachi võreks.
Niisiis, oleme juba teada saanud, mis on võre. Matemaatika jaoks on võre oluline omadus selle sümmeetria. Sümmeetria all mõistame loomulikult mitte subjektiivseid aistinguid (ja kes kujutaks seda võre mõõtmetega ette, näiteks neli?), vaid ruumi erinevat tüüpi liikumiste arvu, mis selle võre endasse tõlgivad. Selgitame näitega.
Võtame sama kuusnurkse võre, mis teostab tasapinna lähima pakkimise. On lihtne mõista, et võre teiseneb iseendaks, kui seda nihutada definitsioonis olnud vektoritega v ja w. Kuid lisaks saab võre pöörata ümber kuusnurga keskpunkti. Ja selliseid pööreid on 6: 0, 60, 120, 180, 240, 300 kraadi. Lisaks saab võre kuvada sümmeetriliselt komposiitkuusnurga mis tahes sümmeetriatelje suhtes. Väike harjutus näitab, et vahetusi arvestamata saame 12 teisendust. Teistes võredes on selliseid teisendusi vähem, seega ütleme, et need on vähem sümmeetrilised.
Niisiis, E8 ja Leachi võre on uskumatult sümmeetrilised võred. E8 asub 8-mõõtmelises ruumis. Selle võre leiutasid 1877. aastal vene matemaatikud Korkin ja Zolotarev. See koosneb vektoritest, mille kõik koordinaadid on täisarvud ja nende summa on paarisarv. Sellises võres, miinus nihked, on 696 729 600 teisendust. Lichi võrk eksisteerib kahekümne neljamõõtmelises ruumis. See koosneb täisarvuliste koordinaatidega vektoritest ja tingimusest – koordinaatide summa, millest on lahutatud kõik koordinaadid, mis on korrutatud 4-ga, jagatakse 8-ga. Sellel on lihtsalt kolossaalne arv sümmeetriaid – 8 315 553 613 086 720 000 tükki.
Niisiis puudutavad 8- ja 24-mõõtmelises ruumis nende samade võre tippudes asuvad kuulid vastavalt 240 ja 19650 palli. Üllataval kombel on just need kontaktnumbrid (vt punkt 5) vastava mõõtmega ruumide jaoks.
7.
Nüüd pöördume tagasi kolmemõõtmelise juhtumi ja Kepleri hüpoteesi juurde (sama, millest me alguses rääkisime). See ülesanne osutus eelkäijatest kordades raskemaks.
Alustame sellest, et kuusnurkse tihedusega sama tihedusega täidiseid on lõpmatult palju. Hakkasime seda välja panema, alustades kuusnurkse võre sõlmedesse paigutatud kuulidest. Kuid saate seda teha ka teisiti: näiteks voldige pallid esimesel tasandil ruudukujuliseks, see tähendab nii, et kuulide tipud asuksid juba ruudukujulise võre sõlmedes. Sel juhul puudutab iga pall nelja naabrit. Teine kiht, nagu ka kuusnurkse puhul, asetatakse peale esimese kihi kuulide vahedesse. Seda pakendit nimetatakse näokeskne kuuppakend. See, muide, on ainuke kõige tihedam võrega pakend kosmoses.
Esmapilgul tundub, et see pakend peaks kehvem olema, sest esimese kihi nelja palli vahed on palju suuremad (tundub nagu) kui kuusnurkse tiheda pakkimise vahed. Aga kui paneme teise rea, vajuvad pallid – just seetõttu, et vahed on suuremad – sügavamale. Selle tulemusena, nagu selgub, on tihedus sama, mis varem. Tegelikult on nipp muidugi selles, et selline pakett saadakse, kui vaadata kuusnurkset teise nurga alt.
Selgub, et kolmemõõtmelises ruumis pole nii ilusaid unikaalseid võreid nagu näiteks tasapinnal kuusnurkne või 8-mõõtmelises ruumis E8. Esmapilgul jääb täiesti ebaselgeks, kuidas kolmemõõtmelises ruumis kõige tihedamat pakki otsida.
8.
Kepleri hüpoteesi lahendus sündis mitmes etapis.
Esiteks, seesama ungarlane Fejes Tóth, kes lahendas mittetasapinnalises tiheda pakkimise probleemi, esitas järgmise hüpoteesi: selleks, et mõista, kas pakkimine on lähedal või mitte, piisab, kui arvestada lõplike pallide kogumitega. Nagu saime teada, siis erinevalt lennukist, kui keskpall puudutab 12 naabrit, on nende vahel tühimikud. Seetõttu tegi Fejes Toth ettepaneku uurida keskpallist, selle naabritest ja naabrite naabritest koosnevaid klastreid.
Asi on selles, et see oletus tehti eelmise sajandi 60ndatel. Ja sellise klastri mahu minimeerimise probleem on sisuliselt mittelineaarne optimeerimisülesanne ligikaudu 150 muutuja funktsiooni jaoks (igal kuulil on keskpunkt, see on määratud kolme koordinaadiga). Jämedalt öeldes peab selline funktsioon mingitel lisatingimustel leidma miinimumi. Ühest küljest on ülesanne muutunud lõplikuks, kuid teisest küljest on see inimese jaoks arvutuslikust seisukohast täiesti ületamatu. Kuid Fejes Toth ei olnud ärritunud ja ütles, et peagi on arvutitel vajalik arvutusvõimsus. Nad aitavad.
Fejes Thothi hüpotees meeldis matemaatikutele väga ja nad hakkasid selles suunas aktiivselt tegutsema. 90ndate alguseks hakkasid kolmemõõtmelises ruumis kerade maksimaalse pakkimistiheduse hinnangud järk-järgult vähenema. Mõte seisnes selles, et mingil hetkel oleks hinnang võrdne näokeskse kuuppakendi tihedusega ja seega saaks Kepleri hüpotees tõestatud. Selle aja jooksul avaldas matemaatik Thomas Hales oma esimesed pakenditeemalised artiklid. Oma tööks valis ta objekti nimega Delaunay tähed (Nõukogude matemaatiku Boris Delaunay järgi). See oli julge samm – tol hetkel oli selliste objektide tõhusus pakendiprobleemi uurimisel küsitav.
Pärast vaid 8-aastast rasket tööd, 1998. aastal, lõpetas Hales Kepleri hüpoteesi tõestamise. Ta taandas tõestuse erinevate struktuuride, näiteks Delaunay tähtede, piiratud kombinatoorsele otsingule. Iga sellise kombinatoorse struktuuri puhul oli vaja tihedust maksimeerida. Kuna arvuti töötab tavaliselt ainult täisarvudega (lihtsalt seetõttu, et matemaatikas on arvud enamasti lõpmatud murrud), ehitas Delaunay igal juhul automaatselt ülalt ligikaudse, kasutades sümboolseid ratsionaalseid arvutusi (ratsionaalarvud ju, kui te neid ei teisenda kümnendmurdudeni, vaid paar täisarvu). Selle lähendusega sai ta ülalt hinnangu maksimaalse tiheduse kohta. Selle tulemusena osutusid kõik hinnangud väiksemaks kui näokeskse kuuppakendiga antud.
Paljusid matemaatikuid ajas aga segadusse olukord, kus lähenduse koostamiseks ehitati arvuti. Tõestamaks, et tal ei olnud tõestuse arvutiosas vigu, alustas Hales vormistamist ja kontrollimist, kuigi ka arvuti abil. See küllaltki suure rahvusvahelise meeskonnaga tehtud töö sai valmis 2014. aasta augustis. Tõestuses vigu ei leitud.
9.
Mõõtmetele 8 ja 24 mõeldud tõendid ei vaja arvutit ja on mõnevõrra lihtsamad. Mõni aeg tagasi saadi väga head hinnangud, et hinnata nendes mõõtmetes maksimaalset pakkimistihedust. Seda tegid matemaatikud Kohn ja Elkies 2003. aastal. Muide, selle hinnangu (nimetatakse ka Kohn-Elkiesi piiriks) leidis Tulast pärit vene matemaatik Dmitri Gorbatšov paar aastat enne Kohni ja Elkiesi endid. Selle teose avaldas ta aga vene keeles ja ajakirjas Tula. Kon ja Elkies ei teadnud sellest teosest ja kui neile teatati, viitasid nad muuseas sellele.
"Kohn-Elkiesi piir tekkis Jean-Frederic Delsarte ja meie suurepäraste matemaatikute Grigory Kabatyansky ja Vladimir Levenshteini töö põhjal. Kabatjanski ja Levenshteini saadud pallide pakkimistiheduse asümptootiline (ruumimõõtme poolest) hinnang n-mõõtmelises ruumis on "seisnud" alates 1978. aastast. Muide, just Levenshtein ja iseseisvalt ameeriklased Odlyzhko ja Sloan lahendasid 1979. aastal mõõtmetega 8 ja 24 kontaktnumbrite probleemi. Nad kasutasid otse Delsarte-Kabatyansky-Levenshteini meetodit,” räägib Oleg Musin.
Kohni ja Elkiesi hinnangud on tegelikult kõigi pakendite puhul õiged, kuid mõõtmetes 8 ja 24 annavad need väga hea ligikaudse hinnangu. Näiteks matemaatikute hinnang on vaid umbes 0,0001 protsenti suurem kui E8 tihedus kaheksamõõtmelises ruumis. Seetõttu tekkis ülesanne seda hinnangut parandada - tundub, et lahendus on juba lähedal. Veelgi enam, 2012. aastal taotles (ja võitis) toetust Dünastia Fondilt sama Dmitri Gorbatšov. Taotluses märkis ta selgesõnaliselt, et kavatseb tõestada E8 pakkimistihedust kaheksamõõtmelises ruumis.
Nad ütlevad, et Gorbatšovi ajendas sellist julget avaldust tegema teine matemaatik Andrei Bondarenko, kes oli sisuliselt mentor, üks Marina Vjazovskaja teaduslikest juhendajatest, kes lahendas 8-mõõtmelise ruumi ülesande (ja oli kaasautor, 24-mõõtmeline ruum). Bondarenkot tänab ta oma läbimurdelise töö lõpus. Seega ei õnnestunud Bondarenkol ja Gorbatšovil, aga Vjazovskajal küll. Miks?
Marina Vjazovskaja
Berliini Humboldti ülikool
Kohn-Elkiesi hinnang seob pakkimistiheduse mõne funktsiooni omadusega sobivast komplektist. Jämedalt öeldes koostatakse iga sellise funktsiooni jaoks hinnang. See tähendab, et peamine ülesanne on leida sobiv funktsioon, et saadud hinnang osutuks meile vajalikuks. Niisiis on Vyazovskaja ehitamise põhikomponent modulaarsed vormid. Oleme neid juba maininud seoses Fermat' viimase teoreemi tõestusega, mille jaoks. See on üsna sümmeetriline objekt, mis esineb pidevalt erinevates matemaatikaharudes. Just see tööriistakomplekt võimaldas meil soovitud funktsiooni leida.
24-mõõtmelises ruumis saadi hinnang samamoodi. Sellel teosel on rohkem autoreid, kuid see põhineb Vjazovskaja samal saavutusel (kuigi loomulikult veidi kohandatuna). Muide, töö tõestas veel üht tähelepanuväärset tõsiasja: Leachi võre realiseerib ainsa perioodilise lähima pakkimise. See tähendab, et kõigi teiste perioodiliste pakettide tihedus on sellest väiksem. Sarnane tulemus perioodiliste pakkimiste puhul võib Oleg Musini sõnul kehtida ka mõõtmete 4 ja 8 puhul.
10.
Rakenduse seisukohalt on suuremõõtmelistes ruumides tiheda pakkimise probleem eelkõige optimaalse veaparandusliku kodeerimise probleem.
Kujutagem ette, et Alice ja Bob üritavad raadiosignaale kasutades suhelda. Alice ütleb, et saadab Bobile signaali, mis koosneb 24 erinevast sagedusest. Bob mõõdab iga sageduse amplituudi. Selle tulemusena on tal 24 amplituudiga komplekt. Loomulikult määratlevad nad punkti 24-mõõtmelises ruumis – lõppude lõpuks on neid 24. Bob ja Alice võtavad näiteks Dahli sõnaraamatu ja määravad igale sõnale oma 24 amplituudiga komplekti. Selgub, et oleme Dahli sõnastikust sõnad punktidega kodeerinud 24-mõõtmelises ruumis.
Ideaalses maailmas pole midagi muud vaja. Kuid tegelikud andmekanalid lisavad müra, mis tähendab, et Bob võib dekodeerimise ajal saada amplituudikomplekti, mis ei vasta ühelegi sõnale. Kuid siis saab ta vaadata dešifreeritud versioonile kõige lähedasemat sõna. Kui see on olemas, tähendab see tõenäoliselt seda. Selleks, et seda alati teha saaks, on vajalik, et ruumi punktid asuksid üksteisest võimalikult kaugel. See tähendab, et kui näiteks müratase on selline, et tekib moonutus, mis nihutab tulemust mitte rohkem kui ühe pikkuse vektori võrra, siis peavad kaks koodipunkti asuma täpselt vähemalt kahe kaugusel. Siis on Bobi tulemus isegi moonutuste korral alati lähedane ühele sõnale – sellele, mida on vaja.
Samal ajal ei taha ma ka väga palju sõnu paisutada - meil on üsna piiratud vahemik, milles saame teavet edastada. Näiteks on imelik (ja mitte eriti tõhus), kui Alice ja Bob hakkavad röntgenikiirguse piirkonnas suhtlema. Seetõttu peaks ideaaljuhul külgnevate koodisõnade vaheline kaugus olema täpselt kaks. Ja see tähendab, et sõnad asuvad raadiusega 1 kuulide tippudes, tihedalt pakitud 24-mõõtmelisse ruumi.
Kui ma olin esimese kursuse tudeng, tekkis mul ühe klassikaaslasega tuline vaidlus. Ta ütles, et neljamõõtmelist kuupi ei saa ühelgi kujul kujutada, kuid ma kinnitasin, et seda saab kujutada üsna selgelt. Siis tegin isegi kirjaklambritest meie kolmemõõtmelisele ruumile hüperkuubi projektsiooni... Aga räägime kõigest järjekorras.
Mis on hüperkuubik ja neljamõõtmeline ruum
Meie tavapärasel ruumil on kolm mõõdet. Geomeetrilisest vaatenurgast tähendab see, et selles saab märkida kolm üksteisega risti olevat joont. See tähendab, et iga joone jaoks leiate teise rea, mis on risti esimesega, ja paari jaoks võite leida kolmanda rea, mis on risti esimese kahega. Neljandat joont, mis oleks risti olemasoleva kolmega, ei ole enam võimalik leida.
Neljamõõtmeline ruum erineb meie omast ainult selle poolest, et sellel on veel üks lisasuund. Kui teil on juba kolm üksteisega risti asetsevat joont, võite leida neljanda, nii et see on kõigi kolmega risti.
Hüperkuubik see on lihtsalt kuubik neljamõõtmelises ruumis.
Kas on võimalik ette kujutada neljamõõtmelist ruumi ja hüperkuubi?
See küsimus on sarnane küsimusega: "Kas on võimalik ette kujutada viimast õhtusööki, vaadates Leonardo da Vinci (1452-1519) samanimelist maali (1495-1498)?"
Ühest küljest te muidugi ei kujuta ette seda, mida Jeesus nägi (ta istub näoga vaataja poole), eriti kuna te ei tunne akna taga aia lõhna ega maitse laual olevat toitu, ei kuule linde. laulmine... Täielikku pilti tol õhtul toimunust ei saa, aga ei saa öelda, et midagi uut ei õpiks ja pilt ei paku huvi.
Hüperkuubi küsimusega on olukord sarnane. Seda on võimatu täielikult ette kujutada, kuid saate lähemale mõistmisele, mis see on.
Hüperkuubi ehitamine
0-mõõtmeline kuup
Alustame algusest – 0-mõõtmelise kuubikuga. See kuubik sisaldab 0 vastastikku risti olevat tahku, see tähendab, et see on lihtsalt punkt.
1-mõõtmeline kuubik
Ühemõõtmelises ruumis on meil ainult üks suund. Liigutame punkti selles suunas ja saame segmendi.
See on ühemõõtmeline kuubik.
2-mõõtmeline kuubik
Meil on teine mõõde, nihutame oma ühemõõtmelist kuupi (segmenti) teise mõõtme suunas ja saame ruudu.
See on kuup kahemõõtmelises ruumis.
3-mõõtmeline kuubik
Kolmanda mõõtme tulekuga teeme sama: liigutame ruutu ja saame tavalise kolmemõõtmelise kuubiku.
4-mõõtmeline kuup (hüperkuubik)
Nüüd on meil neljas mõõde. See tähendab, et meie käsutuses on suund, mis on risti kõigi kolme eelmisega. Kasutame seda täpselt samamoodi. Neljamõõtmeline kuubik näeb välja selline.
Kahemõõtmelisel ekraanitasandil ei saa loomulikult kujutada kolme- ja neljamõõtmelisi kuubikuid. See, mida ma joonistasin, on projektsioonid. Prognoosidest räägime veidi hiljem, aga praegu paar paljalt fakti ja arvu.
Tipude, servade, tahkude arv
Pange tähele, et hüperkuubiku nägu on meie tavaline kolmemõõtmeline kuup. Kui vaatate tähelepanelikult hüperkuubi joonist, võite tegelikult leida kaheksa kuubikut.
Neljamõõtmelise ruumi elaniku projektsioonid ja nägemus
Paar sõna nägemisest
Me elame kolmemõõtmelises maailmas, kuid näeme seda kahemõõtmelisena. See on tingitud asjaolust, et meie silmade võrkkest asub tasapinnal, millel on ainult kaks mõõdet. Seetõttu suudame tajuda kahemõõtmelisi pilte ja leida need tegelikkusega sarnaseks.
(Loomulikult saab silm tänu majutusele hinnata kaugust objektini, kuid see on meie silmadesse ehitatud optikaga seotud kõrvalmõju.)
Neljamõõtmelise ruumi elaniku silmadel peab olema kolmemõõtmeline võrkkest. Selline olend näeb kohe kogu kolmemõõtmelist figuuri: kõiki selle nägusid ja sisemust. (Samamoodi näeme kahemõõtmelist figuuri, kõiki selle nägusid ja sisemust.)
Seega ei suuda me oma nägemisorganite abil neljamõõtmelist kuupi tajuda nii, nagu seda tajuks neljamõõtmelise ruumi elanik. Kahjuks. Jääb üle vaid loota oma vaimusilmale ja kujutlusvõimele, millel pole õnneks füüsilisi piiranguid.
Hüperkuubi tasapinnal kujutamisel olen aga lihtsalt sunnitud tegema selle projektsiooni kahemõõtmelisse ruumi. Võtke seda asjaolu jooniste uurimisel arvesse.
Servade ristumiskohad
Hüperkuubi servad loomulikult ei ristu. Ristmikud on näha ainult joonistel. See ei tohiks aga üllatusena tulla, sest piltidel ristuvad ka tavalise kuubiku servad.
Serva pikkused
Väärib märkimist, et neljamõõtmelise kuubi kõik tahud ja servad on võrdsed. Joonisel osutuvad need ebavõrdseks ainult seetõttu, et asuvad vaatesuuna suhtes erinevate nurkade all. Küll aga on võimalik hüperkuubi pöörata nii, et kõik projektsioonid oleksid ühepikkused.
Muide, sellel joonisel on selgelt näha kaheksa kuubikut, mis on hüperkuubi näod.
Hüperkuubik on seest tühi
Raske uskuda, kuid hüperkuubi piiravate kuubikute vahel on ruumi (neljamõõtmelise ruumi fragment).
Et seda paremini mõista, vaatame tavalise kolmemõõtmelise kuubi kahemõõtmelist projektsiooni (tegin selle teadlikult mõnevõrra skemaatiliselt).
Kas saate selle järgi arvata, et kuubi sees on ruumi? Jah, aga ainult oma kujutlusvõimet kasutades. Silm seda ruumi ei näe.
See juhtub seetõttu, et kolmandas mõõtmes asuvad servad (mida ei saa tasapinnalisel joonisel kujutada) on nüüdseks muutunud joonise tasapinnas asuvateks segmentideks. Need ei anna enam helitugevust.
Kuubi ruumi piiravad ruudud kattusid üksteisega. Kuid võib ette kujutada, et algkujul (kolmemõõtmeline kuubik) asusid need ruudud eri tasapindadel, mitte aga üksteise peal samal tasapinnal, nagu juhtus joonisel.
Hüperkuubikuga on olukord täpselt sama. Hüperkuubi kuubikud-tahud tegelikult ei kattu, nagu meile projektsioonil tundub, vaid paiknevad neljamõõtmelises ruumis.
Pühkib
Seega näeb neljamõõtmelise ruumi elanik kolmemõõtmelist objekti korraga igast küljest. Kas me näeme kolmemõõtmelist kuupi korraga igast küljest? Silmaga - ei. Kuid inimesed on välja mõelnud mooduse, kuidas tasapinnalisel joonisel korraga kujutada kolmemõõtmelise kuubi kõiki tahke. Sellist pilti nimetatakse skaneerimiseks.
Kolmemõõtmelise kuubi arendamine
Ilmselt teavad kõik, kuidas moodustub kolmemõõtmelise kuubi areng. Seda protsessi näidatakse animatsioonis.
Selguse huvides muudetakse kuubikute servade servad poolläbipaistvaks.
Tuleb märkida, et me suudame seda kahemõõtmelist pilti tajuda ainult tänu oma kujutlusvõimele. Kui vaatleme lahtirullumise faase puhtalt kahemõõtmelisest vaatenurgast, tundub protsess kummaline ja üldse mitte selge.
Tundub, et esmalt tekivad järk-järgult moonutatud ruutude piirjooned ja seejärel hiilivad need paika, võttes samal ajal vajaliku kuju.
Kui vaadata lahtivoltitavat kuupi selle ühe tahu suunas (sellest vaatenurgast näeb kuubik välja nagu ruut), siis on lahtivoltimise kujunemise protsess veelgi ebaselgem. Kõik näeb välja nagu algsest ruudust (mitte lahtivolditud kuubist) välja hiilivad ruudud.
Aga mitte visuaalne ainult skannida silma.
Kuidas mõista 4-mõõtmelist ruumi?
Tänu oma kujutlusvõimele saate sellest palju teavet ammutada.
Neljamõõtmelise kuubi väljatöötamine
Hüperkuubi lahtivoltimise animeeritud protsessi on lihtsalt võimatu vähemalt mõnevõrra visuaalseks muuta. Kuid seda protsessi võib ette kujutada. (Selleks peate seda vaatama läbi neljamõõtmelise olendi silmade.)
Skaneerimine näeb välja selline.
Siin on näha kõik kaheksa hüperkuubi piiravat kuupi.
Servad, mis peaksid kokkuvoldimisel joonduma, on värvitud samade värvidega. Näod, mille puhul paarid pole nähtavad, jäetakse halliks. Pärast voltimist peaks ülemise kuubi ülemine külg olema joondatud alumise kuubi alumise servaga. (Kolmemõõtmelise kuubi lahtivoltimine tõmbub kokku sarnaselt.)
Pange tähele, et pärast keerdumist puutuvad kaheksa kuubi kõik pinnad kokku, sulgedes hüperkuubi. Ja lõpetuseks, voltimise protsessi ette kujutades ärge unustage, et voltimisel ei toimu mitte kuubikute kattumine, vaid nende mähkimine ümber teatud (hüperkuubilise) neljamõõtmelise ala.
Salvador Dali (1904-1989) kujutas ristilöömist korduvalt ja paljudel tema maalidel on ristid. Maal “Ristilöömine” (1954) kasutab hüperkuubiku skaneerimist.
Aegruum ja eukleidiline neljamõõtmeline ruum
Loodan, et suutsite hüperkuubi ette kujutada. Kuid kas teil on õnnestunud jõuda lähemale mõistmisele, kuidas toimib neljamõõtmeline aegruum, milles me elame? Kahjuks mitte päris.
Siin oli juttu eukleidilisest neljamõõtmelisest ruumist, kuid aegruumil on hoopis teised omadused. Eelkõige jäävad segmendid mis tahes pöörete ajal alati ajatelje suhtes kaldu, kas alla 45 kraadise nurga või üle 45 kraadise nurga all.
Pühendasin rea märkmeid aegruumi omadustele.
Kujutise kolmemõõtmelisus
Maailm on kolmemõõtmeline. Selle pilt on kahemõõtmeline. Maali ja nüüd ka fotograafia oluline ülesanne on anda edasi ruumi kolmemõõtmelisust. Roomlased valdasid juba mõnda tehnikat, seejärel unustati need ja hakati koos renessansiga naasma klassikalise maalikunsti juurde.
Peamine tehnika kolmemõõtmelise ruumi loomiseks maalikunstis on perspektiiv. Vaatajast eemalduvad raudteerööpad on visuaalselt kitsad. Värvimisel saab siinid füüsiliselt kitsendada. Pildistamisel tekib perspektiiv automaatselt: kaamera pildistab rööpaid nii kitsalt, kui silm neid näeb. Kuid ärge laske sellel peaaegu sulgeda: see ei näe enam välja perspektiiv, vaid kummaline kuju; Rööbaste, tänavakülgede ja jõe kallaste vahel peab olema märgatav vahe.
Oluline on mõista, et lineaarne perspektiiv on maailma kõige primitiivsem ja realistlikum viis.
Postituse navigeerimine
Pole juhus, et selle välimus on seotud teatrimaastikuga (Florensky, “Tagurpidi perspektiiv”). Väikese sügavusega teatristseeni edasiandmise konventsionaalsus ja lihtsus sobib väga hästi pildistamiseks, millel puudub maalikunstis saadaolevate tehnikate mitmekesisus.
On perspektiive, mis on palju huvitavamad kui lineaarne. Hiina meistrite töödes on hõljuv perspektiiv, mil esemeid kujutatakse korraga nii alt, ülalt kui eest. See ei olnud ebakompetentsete kunstnike tehniline viga: selle tehnika legendaarne autor Guo Xi kirjutas, et selline väljapanek võimaldab realiseerida maailma tervikuna. Sarnane on ka vene ikoonimaali tehnika, kus vaataja näeb tegelase nägu ja selga korraga. Huvitav ikoonimaali tehnika, mida leiti ka Lääne-Euroopa kunstnike seas, oli pöördperspektiiv, kus kauged objektid, vastupidi, on suuremad kui lähedased, rõhutades tähtsust. Alles meie päevil on kindlaks tehtud, et selline perspektiiv on õige: erinevalt kaugetest objektidest tajutakse lähipilti tegelikult vastupidises perspektiivis (Rauschenbach). Photoshopi abil saate taustaobjekte suurendades saavutada vastupidise perspektiivi. Fotograafia seadustega harjunud vaatajale tundub selline pilt kummaline.
Hoone nurga sisestamine karkassi, millest seinad lahknevad mõlemas suunas, loob isomeetrilise perspektiivi sarnase. Aju saab aru, et seinad on täisnurga all ja korraldab ülejäänud pildi vastavalt sellele. See vaatenurk on dünaamilisem kui eesmine ja lähivõtte jaoks loomulikum. Lihtsalt sisestage raami objektide ja lähedalasuvate hoonete otsanurgad.
Laienduse tõttu on isomeetriline perspektiiv suur, mis sobib klassikalise portree jaoks harva. Lineaarne perspektiiv annab ahenemise tõttu paremini edasi väiksemaid emotsioone.
Pildistamisetapis on fotograafil perspektiivi rõhutamiseks kasutada mitmeid tööriistu. Kaugusesse ulatuvad võrdse laiusega objektid (rajad, tänavad, veerud, vaod) näitavad oma ahenemise ja isegi lihtsalt eemaldumisega vaatajale ruumi kolmemõõtmelisust. Efekt on tugevam, kui pildistate perspektiivmoonutuste suurendamiseks madala nurga alt. Maastikupildistamiseks sellest piisab, kuid sisepildistamiseks mõeldud madala pildisügavusega on efekt vaevumärgatav. Seda saab järeltöötluses veidi täiustada, kitsendades pildi ülaosa (Transform Perspective). Kuid isegi maastikul võib liialdatud perspektiiv huvitav tunduda.
Sügavus võib pildi tähenduses olla ilmne: hooneid eraldab tänav või jõgi. Diagonaal rõhutab kolmemõõtmelisust; näiteks sild üle jõe.
Taustal olevad objektid, mille suurus on vaatajale teada, määravad skaala ja moodustavad vastavalt perspektiivi. Maastikufotograafias võib selleks objektiks olla auto, kuid portreefotograafias proovige oma jalga (kaamerast eemale) painutada tooli all, et see näiks väiksemana, jäädes nähtavaks. Saate seda jalga isegi järeltöötluses veidi väiksemaks muuta.
Ornament annab perspektiivi, vähendades visuaalselt elemente. Näiteks võib tuua suured plaadid põrandal, märgistavad jooned teel.
On olemas tehnika, mida nimetatakse hüpertrofeerunud esiplaaniks. Ebaproportsionaalselt suur, loob pildile sügavuse. Võrreldes esiplaani ja mudeli skaalat, jõuab silm järeldusele, et mudel on palju kaugemal, kui tundub. Liialdus peaks jääma peeneks, et pilti ei tajutaks veana. See tehnika ei tööta ainult järeltöötlusel, vaid ka pildistamisel: moonutage proportsioone pildistades 35 või 50 mm objektiiviga. Lainurkobjektiiviga pildistamine venitab ruumi, suurendades proportsioone rikkudes selle kolmemõõtmelisust. Efekt on tugevam, kui pildistate modelli lähedalt, kuid hoiduge grotesksetest proportsioonidest: hoonest suuremat inimest saavad kujutada vaid religioossete piltide autorid.
Ristmik töötab suurepäraselt. Kui õun katab osaliselt pirni, siis aju ei eksi: õun on pirni ees. Mudel katab osaliselt mööbli, luues seeläbi interjööri sügavust.
Sügavust annab pildile ka heledate ja tumedate laikude vaheldumine. Aju teab kogemusest, et lähedalasuvad objektid on valgustatud ligikaudu võrdselt, mistõttu tõlgendab ta erinevalt valgustatud objekte erinevatel kaugustel asuvatena. Selle efekti saavutamiseks vahelduvad laigud perspektiivtelje suunas – sügavale pildi sisse, mitte risti. Näiteks kaamerast eemal lamavat modelli pildistamisel tumedas kaadris asetage esiletõstmised tuharate ja jalgade lähedusse. Järeltöötluses saate alasid heledamaks/tumedamaks muuta.
Üha tumedamaks muutuvate objektide järjestus väheneb. Aktiivsel joonel objekte järk-järgult varjutades saate peene vaatenurga. Samamoodi annab sügavust edasi valguse nõrgenemine: heida valgusriba üle mööbli või põrandale.
Kolmemõõtmelise pildi saab mitte ainult valguse, vaid ka värvikontrastsuse tõttu. Seda tehnikat teadsid flaami maalikunstnikud, kes asetasid oma natüürmortidele erksad värvilised laigud. Punane granaatõun ja kollane sidrun kõrvuti näevad ruumilised välja isegi tasase esivalgustuse korral. Need paistavad eriti hästi silma lillade viinamarjade taustal: soe värv külmal taustal. Erksavärvilised pinnad tulevad pimedusest hästi välja ka nõrga valgusega, nagu natüürmortidele omane. Värvikontrast töötab paremini põhivärvidega: punane, kollane, sinine, mitte varjundid.
Mustal taustal tuleb kollane ette, sinine peidab end tagasi. Valgel taustal on see vastupidi. Värviküllastus suurendab seda efekti. Miks see juhtub? Kollane värv ei ole kunagi tume, mistõttu aju keeldub uskumast, et kollast eset saab sukeldada tumedale taustale, mitte valgustada. Sinine, vastupidi, on tume.
Järeltöötluse perspektiivi täiustamine taandub atmosfääri tajumise simuleerimisele: kaugemal asuvad objektid tunduvad heledamad, hägusemad ning kontrastsus heleduse, küllastuse ja tooni osas on vähenenud.
Lisaks pikkadele vahemaadele tunduvad atmosfääriefektid loomulikud hommikuses udus, udus või suitsuses baaris. Arvestage ilmaga: pilves päeval või hämaras ei pruugi esiplaanil ja taustal olla olulist erinevust.
Tugevaim tegur on heleduse kontrastsus. Seadetes on see tavaline kontrast. Vähendage kaugemate objektide kontrasti, suurendage esiplaani kontrasti – ja pilt muutub kumeraks. Me ei räägi esiplaani ja tausta kontrastist, vaid tausta kontrastist, mis peaks olema esiplaani kontrastist madalam. See meetod sobib mitte ainult maastike ja žanrifotograafia jaoks, vaid ka stuudioportreede tegemiseks: suurendage näo esiosa kontrasti, vähendage kontrasti juustel, põsesarnadel ja riietel. Portreefiltrid teevad midagi sarnast, muutes modelli naha häguseks ning muutes silmad ja huuled karmiks.
Kontrastsuse reguleerimine on lihtsaim viis 3D-pildi järeltöötluseks. Erinevalt teistest protsessidest ei märka vaataja peaaegu mingeid muutusi, mis võimaldavad säilitada maksimaalse loomulikkuse.
Hägustamine sarnaneb kontrasti vähendamisega, kuid need on erinevad protsessid. Pilt võib olla madala kontrastsusega, jäädes samas teravaks. Piiratud teravussügavuse tõttu jääb kaugete objektide hägustamine fotograafias kõige populaarsemaks kolmemõõtmelisuse edasiandmise viisiks ning seda saab hõlpsasti täiustada kaugete objektide hägustamisega järeltöötluses. Seetõttu tuleks taustale asetada vähem detaile – aju ei oota kaugelt eristatavaid objekte. Samal ajal vastab kontrasti vähendamine paremini loomulikule tajule: kauged mäed on nähtavad madala kontrastsusega ja mitte hägused, sest maastikku skaneerides on silm pidevalt ümber fokusseeritud ja teravussügavuse probleem on talle võõras. Tausta hägustamise abil saate samal ajal esiplaani teravdada. Lisaks saate esiplaanil pildijooni täiustada (kõrgpääsfilter või selgus). Just esiplaani kõrge teravus seletab kvaliteetsete objektiivide pildi iseloomulikku ebatasasust. Ettevaatust: kolmemõõtmelisuse mõningase suurendamise huvides võite muuta pildi liiga jäigaks.
Kaugemale paistavad heledamad objektid. See on tingitud asjaolust, et looduses näeme kaugeid objekte läbi valgust hajutava õhu paksuse; kauged mäed tunduvad heledad. Maastikufotograafias tuleks seetõttu olla ettevaatlik valgusobjektide paigutamisel esiplaanile.
Helendage kaugeid objekte. Mida kaugemal nad on, seda enam sulanduvad nad taeva heleduse ja tooniga. Pange tähele, et horisontaalsed objektid (maa, meri) on paremini valgustatud kui vertikaalsed (seinad, puud), seega ärge viimaste valgustamisega üle pingutage. Igal juhul peaksid objektid jääma taevast märgatavalt heledamaks.
Noh, kui märkate, et kõrvalehoidmine on veel üks viis tausta heleduse kontrasti vähendamiseks. Mõjuefekti suurendamiseks tumendage esiplaani veidi.
Näib, et interjööris on kõik vastupidi. Kui tänaval on silm harjunud, et kaugus on hele, siis ruumis koondub valgus sageli inimesele ja interjöör on pimedusse sukeldatud; aju on harjunud esiplaani valgustusega, mitte taustavalgustusega.
Madala stseenisügavusega sisepiltidel paistab erinevalt maastikupiltidest valgustatud mudel tumedast taustast välja. Kuid on ka vastupidine tegur: 99% oma evolutsioonist jälgis inimene perspektiivi avatud aladel ja ruumide tulekuga polnud ajul veel aega ümberstruktureerida. Vermeer eelistas oma portreede jaoks heledat tausta ja tema portreed on tõesti silmapaistvad. Fotograafias soovitatav vertikaalse tausta valgustamine mitte ainult ei eralda mudelit sellest, vaid annab tausta heledamaks muutes pildile kerge kolmemõõtmelisuse. Siin seisame silmitsi tõsiasjaga, et aju analüüsib objektide asukohta mitme teguri järgi ja need võivad olla vastuolulised.
Huvitav näeb välja stuudiovalgustus, milles heledad laigud asuvad mudeli kaamerast kaugemal asuvatel aladel. Näiteks tõstetakse esile rind, mis on kaamerast kõige kaugemal.
Kaugemate objektide värviküllastuse vähendamine: meid eraldava õhu paksuse tõttu on kauged mäed peaaegu monokroomse tasemeni küllastunud ja kaetud sinise uduga. Esiplaani küllastust saab suurendada.
Kuna kollane on hele ning sinine ja punane on tumedad, on värvikontrast ka heleduse kontrast.
Kaugema tausta desatureerimisel ärge laske sellel vaateväljast kaduda. Sageli, vastupidi, peate selle paljastamiseks suurendama tausta küllastumist. See on olulisem kui kolmemõõtmelisus.
Paljud 3D-fotograafia nõuanded keskenduvad temperatuuri kontrastile. Tegelikult on see efekt väga nõrk ja heleduse kontrasti tõttu kergesti katkestatav. Lisaks on temperatuurikontrast tüütu ja märgatav.
Väga kaugel asuvad objektid näivad jahedamat värvi, kuna õhk neelab sooja oranži valguse. Pildistades rannas modelli, mille taustal on silmapiiril laevad, alanda järeltöötluses kauge mere ja laevade värvitemperatuuri. Sinisest merest kerkib välja punases ujumistrikoos modell, sinakast hämarusest tänavavalgusti kollases valguses modell.
See on eraldi toonimise olemus: muudame mudeli soojemaks, tausta jahedamaks. Aju mõistab, et samas tasapinnas ei ole erinevaid värvitemperatuure, ja tajub sellist kolmemõõtmelist pilti, mille puhul mudel ulatub taustast välja. Poolitatud toonimine lisab maastikele sügavust: muutke esiplaan soojemaks, taust jahedamaks.
Oluline erand eraldi toonimisel: päikesetõusul ja -loojangul pole kauge taust sugugi külm, vaid soe, kollaste ja punakasoranžide toonidega. Ilmselge lahendus – kasutada valget modelli lillas ujumistrikoo sees – ei tööta, sest päikeseloojanguvalgus annab sooja varjundi ka modelli kehale.
Teeme kokkuvõtte: et anda fotole atmosfääriefektidest lähtuv kolmemõõtmelisus, on vaja esiplaani ja tausta vastandada. Põhikontrast põhineb tavapärasel kontrastil: esiplaan on suure kontrastiga, taust on madala kontrastsusega. Teine kontrast on teravuse poolest: esiplaan on terav, taust on udune. Kolmas kontrast on kerguse poolest: esiplaan on tume, taust hele. Neljas kontrast on küllastuse poolest: esiplaani värvid on küllastunud, taustavärvid on küllastumata. Viies kontrast on temperatuuris: esiplaan on soe, taust külm.
Loetletud tegurid on sageli mitmesuunalised. Kollane on sinisest heledam ja heledad objektid paistavad tumedatest kaugemal. Loomulik oleks eeldada, et kollane taandub ja sinine läheneb vaatajale. Tegelikult on see vastupidi: külmalt taustalt tuleb soe värv. See tähendab, et värv osutub tugevamaks teguriks kui heledus. Mis järele mõeldes pole üllatav: kollane ja punane on selgelt eristatavad vaid lähedalt ja vaataja ei oota neid kaugelt kohata.
Alumine rida: hoidke taust madala kontrastsusega, pestud, hele, küllastumata, sinakas. Ja olge valmis selleks, et filmide liialdatud 3D-ga harjunud vaataja leiab, et teie loodud kolmemõõtmelisus on vaevumärgatav või puudub.
Portreefotograafia puhul on parem tugineda end tõestanud chiaroscuro efektile – valguse ja varju mängule modelli näol, mis muudab pildi üsna kumeraks. Žanrifotograafias annab perspektiiv kõige märgatavama kolmemõõtmelise efekti. Natüürmortis on peamiseks teguriks objektide ristumiskoht (kattuvus).
Ära lase end potentsiaalsetest inimestest meelitada; see on lihtsalt taust esipinnale, millel teie pilt lehvib. Kaasaegses maalikunstis, mis on kaugel realismist, ei peeta perspektiivi kõrgelt au sees.
Laadige alla kogu raamat: pdfepubazw3mobifb2litContents
NELJAMÕÕTMELISE PALLI GEOMEETRILINE KUJUTUS.
Jegorov Nester Aleksandrovitš
IMI NEFU algebra ja geomeetria osakonna IV kursuse üliõpilane, Vene Föderatsioon, Jakutsk
E- mail: egrvnester@ mail. ru
Popov Oleg Nikolajevitš
teaduslik juhendaja, Ph.D. tehnika. Teadused, dotsent IMI NEFU, Venemaa Föderatsioon, Jakutsk
See artikkel esitab neljamõõtmelise palli kujutise neljamõõtmelises ruumis, kasutades selle kolmemõõtmelisi sektsioone. Neljamõõtmelises ruumis objektide tajumisega kaasnevate raskuste selgitamiseks kasutatakse meetodit, mis põhineb väiksemate mõõtmetega ruumide arvestamisel. Selle lähenemisviisi asjakohasus seisneb selles, et see võimaldab meil mõista neljamõõtmelise ruumi geomeetriliste kujutiste struktuuri ning aitab kaasa ka ruumilise ja abstraktse mõtlemise arendamisele. See töö pakub huvi gümnasistidele, matemaatika- ja loodusteaduste teaduskondade üliõpilastele, aga ka matemaatikaõpetajatele. See esitatakse visuaalsel meetodil, ilma valemeid kasutamata, ainult kooli geomeetria kursuse põhjal.
Teadus- ja populaarkirjanduses, meedias mainitakse sageli mitmemõõtmelisi ruume ja objekte. Meie universumi mitmemõõtmelisuse kohta on erinevaid teooriaid. Geomeetriliste objektide kujutamine visuaalsel kujul on inimloomus. Seetõttu proovivad paljud, kuuldes fraasi "neljamõõtmeline pall", seda kohe oma kujutlusvõimes visualiseerida. Me kujutame hästi ette kahemõõtmelist palli (see on tasapinnal asetsev ring), kolmemõõtmeline pall on objekt, mida meie elus sageli kohtab. Kuid neljamõõtmelisel juhul ei saa me oma kujutluses kuidagi konstrueerida neljamõõtmelise kuuli geomeetrilist kujutist. See on tingitud neljanda dimensiooni tekkimisest, mis on meile kättesaamatu.
Meie töö eesmärk on kujundada lugejale intuitiivselt arusaadav idee neljamõõtmelise palli geomeetrilisest kujutisest. See ei kasuta rangeid määratlusi ega matemaatilisi valemeid. Kõiki kasutatud mõisteid ja termineid mõistetakse ainult intuitiivselt. Kogu materjal on esitatud populaarsel kujul.
Töö asjakohasus seisneb selles, et see võimaldab mõista neljamõõtmelise ruumi geomeetriliste kujutiste struktuuri ning aitab kaasa ka ruumilise ja abstraktse mõtlemise arendamisele ning pakub huvi keskkooliõpilastele, teaduskondade üliõpilastele. matemaatika- ja loodusainete ning matemaatikaõpetajad.
Joonis 1. a) Sirge neljamõõtmelises ruumis lõikub kolmemõõtmelise kuuliga ainult ühes sisepunktis; b) Tasapinnal olev sirge lõikub kahemõõtmelise kuuliga piki lõiku; c) Ruumis paiknev sirgjoon lõikub kahemõõtmelise kuuliga ainult ühes punktis
Neljamõõtmeline ruum on mingil määral ebatavaline ruum. Teame, et kolmemõõtmelises ruumis lõikub sirgjoon piki lõiku piiratud kolmemõõtmelise kumera ruumalaga (näiteks kuuliga). Erandiks on see, kui sirgjoon puudutab antud objekti. Neljamõõtmelises ruumis võib kõik juhtuda erinevalt. Sirge võib kolmemõõtmelise palli "torgata" otse läbi, tabades ümbritsevat häirimata ainult ühte sisepunkti (joonis 1, a)). See võimaldab 4D-inimesel (kui ta oli olemas) võtta kotist kõik meie asjad ilma seda avamata või lõikamata, mis tundub väga ebatavaline ja seletamatu. Selle mõistmiseks vaatleme kahemõõtmelist ruumi (kahemõõtmeline ruum on kolmemõõtmelisse ruumi põimitud tasapind). Tasapinnal olev sirgjoon lõikab tasapinnal asuvat ringi piki lõiku ja väljaspool tasapinda asuv sirge ruumis lõikub ringi ainult ühes punktis (joonis 1, b, c)).
Et kotist puuduvate asjade episood oleks arusaadavam, joonistagem tahvlile kahemõõtmeline inimene, joonistagem tema neerud, neerukivi. Seejärel võtame kaltsu pihku ja pühime ettevaatlikult, ilma kahemõõtmelise inimese neere puudutamata, kivi maha (joon. 2). Nüüd võime end õnnitleda selle üle, et äsja tegime edukalt ilma sisselõikeid kasutamata neerukivi eemaldamise operatsiooni ja et meie patsient on terve. See, mis on kahemõõtmelisele kirurgile üle jõu, osutub tavalise kolmemõõtmelise inimese jaoks lihtsaks asjaks.
Joonis 2. Kivide eemaldamine kahemõõtmelisest neerust kolmemõõtmelise arsti poolt ilma reservideta
Lisaks kasutame seda madalamale mõõtmele üleminekuga seotud tehnikat, et selgitada raskusi, mis on seotud neljamõõtmelises ruumis asuvate objektide tajumisega. Kahemõõtmelise inimese tajumisraskused, kui ta püüab mõista kolmemõõtmelist maailma, on sarnased meie omaga neljamõõtmelise ruumi tajumisel, kuna neid ühendab mõlemal juhul uue ligipääsmatu dimensiooni ilmumine.
Kaks kolmemõõtmelist ruumi võivad ristuda või olla paralleelsed neljamõõtmelises ruumis. Vaatleme juhtumit, kui need ristuvad.
Joonis 3. Kaks kolmemõõtmelist ruumi lõikuvad neljamõõtmelises ruumis piki tasapinda.
Kui kaks tasapinda x ja y lõikuvad piki sirget l (joonis 4), siis ruumilised ruumid P ja Q ristuvad piki tasapinda α (joonis 3). Kahemõõtmelise inimese jaoks on sirgjoon l (kui see on läbipaistmatu) sein, mis jagab tema maailma kaheks osaks. Ja pooltasandid y 1 ja y 2 pole tema jaoks olemas, kuna need on kolmandas dimensioonis, talle kättesaamatud. Kolmemõõtmelise inimese jaoks on selline sein, mis jagab kogu ruumi kaheks osaks, tasapinnaks α (joonis 3).
Järgmiseks vaatleme kahte ristuvat tasapinda x ja y, millest ühte mööda veereb kahemõõtmeline kuul (joonis 4). Pange tähele, et kahemõõtmeline inimene näeb y-tasandilt ainult joont l, kuna see asub tema x-ruumis. Pooltasapinnad y 1 ja y 2 on talle nähtamatud, seega näeb x-tasandil asuv kahemõõtmeline inimene punkti (lame pall puudutas joont), mis seejärel lõheneb (pall ületas joone). Veelgi enam, kui pall liigub, erinevad punktid, kuni tasapindade ristumisjoon langeb kokku palli läbimõõduga, siis toimub kõik vastupidises järjekorras.
Joonis 4. Kahemõõtmeline inimene näeb ainult ringi kokkupuutepunkti selle tasapinnaga
Nüüd pole raske mõista, mida me kolmemõõtmelises ruumis P olles näeme juhul, kui Q-s asuva jalgpalluri jala poolt välja lastud pall läbib meie ruumi. Kõigepealt α tasapinnal. ilmub punkt, mis muutub koheselt järk-järgult kasvavaks ringiks, mis on α-tasandi ja palli ristumiskoht. Saavutanud maksimumi, raadiusega, mis on võrdne jalgpallipalli raadiusega, hakkab see järk-järgult vähenema, kuni taandub tagasi punktiks ja kaob vaateväljast (joonis 5). Mida me näeme, kui jalgpallur ise pallile järele jookseb, jätame lugeja ette kujutada. Kujutagem lõbu pärast ette, mis juhtub, kui jalgpallur mõnel uskumatul kombel ruumis Q olles kogemata meie ruumiks P pöördub (vt joonis 6).
Joonis 5. Vaade dünaamikas vaatleja ruumi läbivast pallist
Joonis 6. Jalgpalluri välimus ruumis P kosmosest K
Kahemõõtmelises versioonis on lihtne ette kujutada kahte paralleelset tasapinda. Kolmemõõtmelist ruumi saab kujutada paralleelsete "kokkukleepunud" tasandite lõpmatu kogumina. Selle idee saab, kui vaadata kaardipakki, kus iga kaart on seotud lennuki või raamatuga, kus lennukite rolli mängivad selle raamatu lehed.
Neljamõõtmeline ruum esindab ka “kokku kleepunud”, kuid juba kolmemõõtmeliste paralleelruumide kogumit. Proovige oma kujutluses ette kujutada kahte paralleelset (kokkukleepuvat), st üksteisele väga lähedal asuvat kolmemõõtmelist ruumi. Sul ei õnnestu. Ruumid, mida tahame oma kujutluses ette kujutada, hakkavad kas ristuma või ei taha üksteisest eemale tõugates läheneda. Mõelgem välja oma ebaõnnestumise põhjus. Selleks analüüsime, kuidas x-tasandil elav kahemõõtmeline inimene püüab ette kujutada kahte paralleelset tasapinda y ja z üksteisele väga lähedal. Kuna kahemõõtmelisel inimesel pole kolmandat mõõdet h (joonis 7a)), on ta sunnitud need oma ruumi paigutama, kuigi tegelikkuses asuvad need risti (või mingi nurga all) ja lõikuvad x-tasandiga ( joon. 7b)). Nüüd saab kohe selgeks, mis on meie ebaõnnestumise põhjus. Püüame paigutada kaks kolmemõõtmelist ruumi ühte kolmemõõtmelisse ruumi, milles me oleme (joonis 7c)), kui need peaksid ulatuma piki neljandat dimensiooni, mis on meile kättesaamatu. On selge, et nad ei saa kokku jääda.
Pange tähele, et kolmemõõtmelist ruumi saab kujutada jäljena, mille tasapind jätab selle liikumise tulemusena antud suunas (joonis 8).
Joonis 7. a) Kahemõõtmeline inimene püüab ette kujutada kahte paralleelset tasapinda; b) paralleelsete tasandite tegelik asukoht; c) Püüame panna kaks kolmemõõtmelist ruumi ühte kolmemõõtmelisse ruumi
Joonis 8. Tasapinna liikumisel saadud kolmemõõtmeline ruum
Nüüd, nagu varemgi, vaatleme ruume P ja Q, mis lõikuvad piki tasapinda α (joonis 9a)). Iga tühiku saab saada, kui liigutada tasapinda α vastavalt koordinaattelgede x ja t suundadele. Järgmiseks joonestame tasapinna β ruumis P tasapinnaga α paralleelselt väga lähedale. Ilmselgelt ei asu β ruumis Q. Hakkame neid tasapindu liigutama suunas t nii, et igal hetkel t oleksid liikuvad tasandid paralleelsed ja lähestikku. Siis on ruum Q ja ruum Q β, mis saadakse vastavalt tasandite α ja β liikumisel, paralleelsed ja asuvad üksteisest väga lähedal (kaugusel, mis võrdub tasandite α ja β vahelise kaugusega , piki x mõõdet). Siis võivad kaks ruumilist keha, näiteks kaks kuuli, mis asuvad täiesti erinevates, kuid paralleelsetes ruumides Q ja Q β üksteise lähedal, osutuda väga lähestikku (“kokku kleepunud”) (joonis 9b)).
Joonis 9. a) Tasapind β läigest P on α-tasandi lähedal ja paralleelne ega asu ruumis K ; b) Tasapindade hulgad, mis on saadud tasandite α ja β liikumisel suunas t , moodustavad üksteise lähedal paralleelsed ruumid K Ja Q β Nendes ruumides asuvad kujutatud pallid on kõikides punktides üksteise lähedal ("kleepuvad" pallid)
Kogu neljamõõtmelist ruumi võib käsitleda paralleelsete, väga tihedalt asetsevate ("kokkukleepunud") kolmemõõtmeliste ruumide kogumina. Kui võtta aega neljanda dimensioonina, siis inimese liikumine ajamasinas vastab üleminekule ühest paralleelruumist teise. Sellisel juhul, erinevalt ristuvatest ruumidest, kui me näeme ainult ristlõiget objektist, mis liigub läbi teise ruumi, ületades meie oma, ilmub ootamatult meie ette ajamasin, milles istub inimene, mis lahustub minevik või tulevik olenevalt selle liikumissuunast.
Seega: saime aru, et kolmemõõtmelised ruumid lõikuvad piki tasapinda; neljamõõtmelist ruumi saab kujutada "kokku kleepunud" paralleelsete kolmemõõtmeliste ruumide kogumina; sai idee paralleelsetes ruumides asuvate kolmemõõtmeliste kehade "kokkukleepimisest".
Mis on neljamõõtmeline pall? Sellele küsimusele vastamiseks analüüsime, kuidas meie tavaline kolmemõõtmeline pall on kahemõõtmelise inimese vaatenurgast üles ehitatud. Muidugi ei näe ta kogu palli tema vaateväljas on ainult kahemõõtmeline sfäär – ring, mis piirneb kahemõõtmelise ringiga ja on kahemõõtmelise inimese maailma ristumiskoht palliga; (mis on ringi sees, pole talle nähtav. joon. 10 a)). Paralleelruumidesse liikumisel ring kitseneb, kuni see degenereerub punktiks (joonis 10 b)).
Joonis 10. a) Kahemõõtmeline inimene näeb ainult osa ringist, mis piirneb tasapinna ja palli lõikepunktiga; b) Kui inimene liigub paralleelsetele tasapindadele, degenereerub ring järk-järgult punktiks
Neljamõõtmelise palli puhul on inimese vaateväli piiratud ruumiga, milles ta asub. Analoogia põhjal võime eeldada, et ta näeb palliga piirnevat sfääri, mis on selle kolmemõõtmelise ruumi ristumiskoht neljamõõtmelise kuuliga. Paralleelruumidesse liikumisel väheneb ka sfääri raadius, kuni see degenereerub punktiks (joonis 11 a)). Nüüd proovime üksikasjalikumalt mõista, milliseid palle me näeme ja kuidas need moodustavad neljamõõtmelise palli.
Vaatleme ruumilist kuuli 2 (joonis 11 b)) ja selle lõikeid paralleelsete tasanditega. Nende paralleelsete tasandite kogusumma moodustab kolmemõõtmelise ruumi mõõtmetega y, z, t, milles soovitud pall 2 asub, kõik need tasapinnad moodustavad oma x-suunalise liikumisega “kleepuvad” kolmemõõtmelised ruumid . Just nendes ruumides paiknevad ruumilised kuulid (vt pall 1), mida vaatleme (ülalkirjeldatud) paralleelruumidesse ülemineku ajal (joonis 11a)). Nende pallide kombinatsioon moodustab neljamõõtmelise palli. Seega on neljamõõtmeline pall kõikides punktides kokkukleepuvate, mõõtmetelt vähenevate kuulide kogum, mis moodustab neljamõõtmelise palli geomeetrilise kujutise. Kuid me ei näe palli terviklikku pilti, kuna me ei näe väljaspool oma ruumi.
Joonis 11. a) Paralleelsetesse ruumidesse üleminekul inimesele nähtavad pallid, mille suurus väheneb; b) Neljamõõtmeline pall on kahanevate "ühendatud" kuulide kogum, mis on neljamõõtmelise kuuli lõigud ruumiga paralleelsete kolmemõõtmeliste ruumide kaupa. P
Vaatame neljamõõtmelist palli erinevatest külgedest. Vaatleja, kes asub kolmemõõtmelises ruumis P mõõtmetega y, z, t ja vaatab suunas t, näeb kuuli (joon. 12), mis koosneb neljamõõtmelise kuuli moodustavatest kuulide osadest (joonis 11 see on pall 2).
Ruumis Q asuv vaatleja, kes vaatab x-suunas, näeb samuti ruumilist kuuli (joonis 12). Seega näevad ruumides P ja Q asuvad vaatlejad sama pilti – kolmemõõtmelist palli. Nende vaadeldavad pallid on aga erinevad geomeetrilised objektid, mis asuvad erinevates ruumides ja ristuvad piki kahemõõtmelist ringi.
Joonis 12. Lõikuvates ruumides asuvad vaatlejad P Ja K näha kolmemõõtmelist palli. Kuid tegelikkuses jälgivad nad erinevaid palle, mis ristuvad mööda teed
Kahjuks, nagu eespool märgitud, on meie vaateväli piiratud kolmemõõtmelise ruumiga, mistõttu me ei saa näha neljamõõtmelisi pilte tervikuna. Briti matemaatik C. Hinton (1853-1907) töötas aga välja spetsiaalse meetodi geomeetriliste kujundite mudelite konstrueerimiseks neljamõõtmelises ruumis nende kolmemõõtmelistest lõigetest. Seda meetodit kirjeldatakse üksikasjalikult kahes tema monograafias. Hinton väitis, et mitmeaastase töö tulemusena, mis põhines sellel erimeetodil, õppis ta geomeetrilisi kujutisi neljamõõtmelises ruumis vaimselt kujutama. Samuti uskus ta, et inimene, kes seda meetodit piisavalt hästi valdab, saab neljamõõtmelisest ruumist intuitiivse arusaama.
Viited:
1.Hinton Charles H. A New Era of Thought, orig. 1888, kordustrükk 1900, Swan Sonnenschein & Co. Ltd., London – lk. 240.
Pihkva ja Pihkva oblasti ajalugu
4D-pööramine ja sfääri pakkimine
Tähtsamate keemiliste elementide ja ühendite hinnang