Elastsuse teooria loengud. Elastsuse teooria alused

Elastsuse ja plastilisuse teooria kui iseseisva mehaanikaharu loomisele eelnesid 17. ja 18. sajandi teadlaste tööd isegi 17. sajandi alguses. G. Galileo (1564-1642) tegi katse lahendada tala venitamise ja painutamise probleeme. Ta oli üks esimesi, kes püüdis arvutusi rakendada tsiviilehituse probleemide lahendamisel.

Õhukeste elastsete varraste painutamise teooriat uurisid sellised silmapaistvad teadlased nagu E. Mariotte, J. Bernoulli Sr., S.O. Coulombi, L. Euleri ja elastsusteooria kujunemist teadusena võib seostada R. Guni, T. Jungi, J.L. Lagrange, S. Germain.

Robert Hooke (1635-1703) pani aluse elastsete kehade mehaanikale, avaldades 1678. r. töö, milles ta kirjeldas enda kehtestatud koormuse ja tõmbedeformatsiooni proportsionaalsuse seadust. Thomas Young (1773-1829) 19. sajandi alguses. võttis kasutusele pinge- ja surveelastsusmooduli mõiste. Samuti tegi ta vahet tõmbe- või survedeformatsiooni ja nihkedeformatsiooni vahel. Samast ajast pärinevad Joseph Louis Lagrange'i (1736-1813) ja Sophie Germaini (1776-1831) tööd. Nad leidsid lahenduse elastsete plaatide painde ja vibratsiooni probleemile. Seejärel täiustasid plaatide teooriat S. Poisson ja 781-1840 ning L. Navier (1785-1836).

Niisiis, 18. sajandi lõpuks ja 19. sajandi alguseks. pandi alus materjalide tugevusele ja loodi pinnas elastsusteooria tekkeks. Tehnoloogia kiire areng tekitas matemaatikale tohutult palju praktilisi probleeme, mis tõi kaasa teooria kiire arengu. Üks paljudest olulistest probleemidest oli elastsete materjalide omaduste uurimise probleem. Selle probleemi lahendus võimaldas sügavamalt ja täielikumalt uurida sisejõude ja deformatsioone, mis tekivad elastses kehas välisjõudude mõjul.

Matemaatilise elastsusteooria tekkekuupäevaks tuleks pidada aastat 1821, mil ilmus L. Navieri teos, milles formuleeriti põhivõrrandid.

Elastsusteooria probleemide lahendamise suured matemaatilised raskused äratasid paljude 19. sajandi silmapaistvate matemaatikute tähelepanu: Lame, Clapeyron, Poisson jt. Elastsusteooriat arendati edasi prantsuse matemaatiku O. Cauchy töödes ( 1789-1857), kes võttis kasutusele deformatsiooni ja pinge mõiste, lihtsustades seeläbi üldvõrrandite tuletamist.

1828. aastal jõudis matemaatilise elastsusteooria põhiaparaat oma lõpule tol ajal instituudis õpetanud prantsuse teadlaste ja inseneride G. Lame'i (1795-1870) ja B. Clapeyroni (1799-1864) töödes. raudteeinseneride kohta Peterburis. Nende ühine töö pakkus üldvõrrandite rakendamist praktiliste ülesannete lahendamisel.

Paljude elastsusteooria probleemide lahendus sai võimalikuks pärast seda, kui prantsuse mehaanik B. Saint-Venant (1797-1886) esitas oma nime kandva põhimõtte ja pakkus välja tõhusa meetodi elastsusteooria probleemide lahendamiseks. Kuulsa inglise teadlase A. Love'i (1863-1940) sõnul seisneb tema teene ka selles, et ta seostas talade väände- ja paindeprobleemid üldteooriaga.

Kui prantsuse matemaatikud tegelesid peamiselt üldiste teooriaprobleemidega, siis vene teadlased andsid suure panuse tugevusteaduse arengusse, lahendades palju pakilisi praktilisi probleeme. Aastatel 1828–1860 õpetas silmapaistev teadlane M. V. Ostrogradski (1801–1861) Peterburi tehnikaülikoolides matemaatikat ja mehaanikat. Tema uurimused elastses keskkonnas tekkivate vibratsioonide kohta olid olulised elastsuse teooria arendamiseks. Ostrogradsky koolitas välja teadlaste ja inseneride galaktika. Nende hulgas tuleks nimetada D. I. Žuravskit (1821-1891), kes töötas Peterburi-Moskva raudtee ehitamisel mitte ainult uued sildade projektid, vaid ka sillafermide arvutamise teooria ning tuletas ka valemi. tangentsiaalsete pingete jaoks paindetalas.

A. V. Gadolin (1828-1892) rakendas Lame’i probleemi paksuseinalise toru teljesümmeetrilise deformatsiooni kohta suurtükiväe relvatorudes tekkivate pingete uurimisel, olles üks esimesi, kes rakendas elastsusteooriat konkreetsele inseneriprobleemile.

Teiste 19. sajandi lõpul lahendatud probleemide hulgas väärib märkimist Kh S. Golovini (1844-1904) tööd, kes teostas elastsusteooria meetoditega kõvera tala täpse arvutuse, mis võimaldas. määrata ligikaudsete lahenduste täpsusaste.

Suur tunnustus jõuteaduse arendamise eest kuulub V. L. Kirpitševile (1845-1913). Tal õnnestus oluliselt lihtsustada erinevaid meetodeid staatiliselt määramatute struktuuride arvutamiseks. Ta oli esimene, kes rakendas optilist meetodit pingete eksperimentaalsel määramisel ja lõi sarnasusmeetodi.

Nõukogude teadust iseloomustavad tihe seos ehituspraktikaga, terviklikkus ja analüüsisügavus. I. G. Bubnov (1872-1919) töötas välja uue ligikaudse meetodi diferentsiaalvõrrandite integreerimiseks, mille töötas suurepäraselt välja B. G. Galerkin (1871-1945). Praegu kasutatakse laialdaselt Bubnov-Galerkini variatsioonimeetodit. Nende teadlaste töödel plaatide painutamise teoorias on suur tähtsus. Galerkini uurimistööd jätkates sai P.F. Papkovitš (1887-1946).

Meetodi tasapinnalise ülesande lahendamiseks elastsusteoorias, mis põhineb kompleksmuutuja funktsioonide teooria rakendamisel, pakkus välja G.V. Kolosov (1867-1936). Seejärel töötas selle meetodi välja ja üldistas N.I. Muskhelishvili (1891-1976). A.N. lahendas mitmeid probleeme varraste ja plaatide stabiilsuse, varraste ja ketaste vibratsiooni ning elastsete kehade löögi ja kokkusurumise teooriaga. Dinnik (1876-1950). L.S. töödel on suur praktiline tähtsus. Leibenzon (1879-1951) pikkade keerdvarraste elastse tasakaalu stabiilsuse kohta, sfääriliste ja silindriliste kestade stabiilsuse kohta. Suure praktilise tähtsusega on V. Z. Vlasovi (1906-1958) põhitööd õhukeseseinaliste ruumiliste varraste, volditud süsteemide ja kestade üldteooriast.

Plastilisuse teooria ajalugu on lühem. Esimese matemaatilise plastilisuse teooria lõi Saint-Venant 19. sajandi 70ndatel. prantsuse inseneri G. Tresca katsete põhjal. 20. sajandi alguses. R. Mises tegeles plastilisuse probleemidega. G. Genki, L. Prandtl, T. Karman. Alates 20. sajandi 30. aastatest on plastilisuse teooria pälvinud suure ringi väljapaistvate välisteadlaste (A. Nadai, R. Hill, V. Prager, F. Hodge, D. Drucker jt) tähelepanu. Nõukogude teadlaste plastilisuse teooriat käsitlevad tööd on laialt tuntud. Sokolovsky, A. Yu. Ishlinsky, G.A. Smirnova-Aljajeva, L. M. Kachanova. Põhilise panuse plastilisuse deformatsiooniteooria loomisse andis A.A. Iljušin. A.A. Gvozdev töötas välja teooria plaatide ja kestade arvutamiseks, mis põhinevad hävitavatel koormustel. Selle teooria töötas edukalt välja A.R. Ržanitsõn.

Roomamise teooria kui deformeeritava keha mehaanika haru kujunes suhteliselt hiljuti. Esimesed uuringud selles valdkonnas pärinevad 20. sajandi 20. aastatest. Nende üldise olemuse määrab asjaolu, et roomamise probleem oli energeetikas suure tähtsusega ning insenerid olid sunnitud otsima lihtsaid ja kiiresti sihile viivaid meetodeid praktiliste probleemide lahendamiseks. Roomamise teooria loomisel on suur roll neil autoritel, kes andsid olulise panuse kaasaegse plastilisuse teooria loomisesse. siit ka paljude ideede ja käsitluste ühisosa. Meie riigis kuulusid esimesed roomamise mehaanilise teooria tööd N.M. Beljajev (1943), K.D. Mirtov (1946), esimesed uurimused N. N., Yu.N. Rabotnova.

Elastsus-viskoossete kehade valdkonna uuringud viidi läbi A.Yu töödes. Ishlinsky, A.N. Gerasimova, A.R. Rzhanitsyna, Yu.N. Rabotnova. Selle teooria rakendamine vananevatele materjalidele, peamiselt betoonile, on antud N.X. töödes. Harutyunyan, A.A. Gvozdeva, G. N. Maslova. A.A. juhitud uurimisrühmad on läbi viinud suure hulga polümeermaterjalide roomamise uuringuid. Iljušina, A.K. Malmeister, M.I. Rozovski, G.N. Savina.

Nõukogude riik pöörab teadusele suurt tähelepanu. Teadusinstituutide organiseeritus ja suurte teadlaste kollektiivide osalemine aktuaalsete probleemide väljatöötamisel võimaldas tõsta nõukogude teadust kõrgemale tasemele.

Lühikeses ülevaates ei saa pikemalt peatuda kõigi elastsuse ja plastilisuse teooria väljatöötamisele kaasa aidanud teadlaste töödel. Need, kes soovivad selle teaduse arengu ajalooga üksikasjalikult tutvuda, võivad tutvuda N.I. õpikuga. Bezukhov, kus antakse üksikasjalik analüüs elastsuse ja plastilisuse teooria arengu peamistest etappidest ning ulatuslik bibliograafia.

1.1.Põhihüpoteesid, põhimõtted ja definitsioonid

Stressiteooria kui kontiinummehaanika haru põhineb mitmetel hüpoteesidel, millest peamisi tuleks nimetada järjepidevuse ja loomuliku (tausta) pingeseisundi hüpoteesiks.

Järjepidevuse hüpoteesi kohaselt võetakse kõik kehad täiesti pidevateks nii enne koormuse rakendamist (enne deformatsiooni) kui ka pärast selle mõju. Sel juhul jääb mis tahes kehamaht tahkeks (pidevaks), kaasa arvatud elementaarruumala ehk lõpmatult väike. Sellega seoses peetakse keha deformatsioone koordinaatide pidevaks funktsiooniks, kui keha materjal deformeerub, ilma et sellesse tekiks pragusid või katkendlikke volte.

Loomuliku pingeseisundi hüpotees eeldab kehas algse (tausta)pingetaseme olemasolu, mida tavaliselt võetakse nullina, ning väliskoormusest põhjustatud tegelikke pingeid loetakse loomulikust tasemest kõrgemateks pingekasvudeks.

Lisaks ülalnimetatud põhihüpoteesidele on pingeteoorias omaks võetud ka mitmed aluspõhimõtted, mille hulgas on eelkõige vaja mainida kehade ideaalset elastsust, sfäärilist isotroopsust, täiuslikku homogeensust ja lineaarne seos pingete ja deformatsioonide vahel.

Ideaalne elastsus on deformatsioonile allutatud materjalide võime taastada oma esialgne kuju (suurus ja maht) pärast väliskoormuse (välise mõju) eemaldamist. Peaaegu kõigil kivimitel ja enamikul ehitusmaterjalidel on teatav elastsus, need hõlmavad nii vedelikke kui gaase.

Sfääriline isotroopia eeldab materjalide samu omadusi koormuse kõigis suundades, selle antipood on anisotroopia, see tähendab omaduste erinevust erinevates suundades (mõned kristallid, puit jne). Samas ei tohiks segi ajada sfäärilise isotroopia ja homogeensuse mõisteid: näiteks puidu homogeenset struktuuri iseloomustab anisotroopia – puu tugevuse erinevus piki ja risti kiude. Elastseid, isotroopseid ja homogeenseid materjale iseloomustab pingete ja deformatsioonide lineaarne seos, mida kirjeldab Hooke’i seadus, millest on juttu õpiku vastavas osas.

Pingeteooria (ja muu hulgas deformatsiooni) põhiprintsiibiks on isetasakaalustatud väliskoormuste lokaalse toime põhimõte – Saint-Venanti printsiip. Selle põhimõtte kohaselt põhjustab kehale mis tahes punktis (joones) rakendatud tasakaalustatud jõudude süsteem materjalis pinget, mis näiteks eksponentsiaalseaduse kohaselt väheneb kiiresti koormuse rakendamise kohast kaugusega. Sellise tegevuse näiteks oleks paberi lõikamine kääridega, mis deformeerib (lõikab) lõpmatult väikese osa lehe (joone) osa, samas kui ülejäänud paberilehte ei häirita, st tekib lokaalne deformatsioon. Saint-Venanti printsiibi rakendamine aitab lihtsustada matemaatilisi arvutusi käibemaksu arvutamise ülesannete lahendamisel, asendades etteantud, matemaatiliselt raskesti kirjeldatava koormuse lihtsama, kuid samaväärsega.

Rääkides stressiteooria uurimisobjektist, on vaja anda pinge enda definitsioon, mida mõistetakse kui sisejõudude mõõtu kehas, selle teatud lõigu piires, jaotatud üle vaadeldava lõigu ja välise koormuse vastu võitlemine. Sel juhul nimetatakse ristalale ja sellega risti mõjuvaid pingeid normaalseks; vastavalt sellele on selle alaga paralleelsed või seda puudutavad pinged tangentsiaalsed.

Pingeteooria käsitlemist lihtsustab järgmiste eelduste kasutuselevõtt, mis praktiliselt ei vähenda saadud lahenduste täpsust:

Suhtelised pikenemised (lühenemised) ja suhtelised nihked (nihkenurgad) on palju väiksemad kui ühtsus;

Keha punktide nihked selle deformatsioonil on väikesed võrreldes keha lineaarmõõtmetega;

Sektsioonide pöördenurgad kere paindedeformatsiooni ajal on samuti ühtsusega võrreldes väga väikesed ja nende ruudud on suhteliste lineaarsete ja nurkdeformatsioonide väärtustega võrreldes tühised.

Elastsusteooria ALUSED

Elastsusteooria AKSÜMMETRILISED PROBLEEMID

Elastsusteooria ALUSED

Põhisätted, eeldused ja tähistused Elementaarrööptahuka ja elementaartetraeedri tasakaaluvõrrandid. Normaal- ja nihkepinged piki kaldplatvormi

Põhipingete ja suurimate tangentsiaalsete pingete määramine punktis. Rõhud piki oktaeedrilisi alasid Nihkete mõiste. Deformatsioonide ja nihkete vahelised sõltuvused. Sugulane

lineaarne deformatsioon suvalises suunas. Deformatsiooni ühilduvuse võrrandid. Hooke'i seadus isotroopse keha jaoks Tasapinnaülesanne ristkülikukujulistes koordinaatides Tasapinnaülesanne polaarkoordinaatides

Elastsusteooria ülesannete võimalikud lahendused. Nihkete ja pingete probleemide lahendused Temperatuurivälja olemasolu. Lühikokkuvõtted jaotisest LIHTSALT TELGELISED ÜLESANDED Silindriliste koordinaatide võrrandid Silindriliste koordinaatide võrrandid (järg)

Paksuseinalise kerakujulise anuma deformatsioon Tasapinnale mõjuv kontsentreeritud jõud

Elastse poolruumi laadimise erijuhud: ühtlane koormus ringi pindalale, ringi pindala üle "poolkera" laadimine, absoluutselt jäiga palli elastseks poolkeraks surumise pöördprobleem. ruumi. Pallide elastse kokkuvarisemise probleem PAKSUSEINAGA TORUD

Üldine informatsioon. Toruelemendi tasakaaluvõrrand Ühele ahelale rõhu all olevate pingete uurimine. Tugevustingimused elastse deformatsiooni ajal Komposiittorude pinged. Mitmekihiliste torude arvutamise kontseptsioon Arvutuste näited

PLAADID, MEMBRAANID Põhimõisted ja hüpoteesid

Plaadi kõvera keskpinna diferentsiaalvõrrand ristkülikukujulistes koordinaatides Plaadi silindriline ja sfääriline painutamine

Paindemomendid ümarplaadi telgsümmeetrilisel painutamisel. Ringplaadi kõvera keskpinna diferentsiaalvõrrand. Piirtingimused ringplaatides. Suurimad pinged ja läbipainded. Tugevuse tingimused. Temperatuuripinged plaatides

Membraanides olevate jõudude määramine. Aheljõud ja pinged. Ümarmembraanide painde ja pingete ligikaudne määramine Näited arvutustest Näited arvutustest (jätkub)

1.1 Põhialused, eeldused ja tähistused

Elastsuse teooria eesmärk on analüütiliselt uurida elastse keha pinge-deformatsiooni seisundit. Resistentsuse eelduste abil saadud lahendusi saab kontrollida elastsusteooria abil

materjalidest ja nende lahenduste rakenduspiirid on kehtestatud. Mõnikord viidatakse elastsusteooria lõikudele, milles, nagu ka materjalide tugevuse puhul, käsitletakse detaili sobivuse küsimust, kuid kasutades üsna keerulist matemaatilist aparaati (plaatide, kestade, massiivide arvutamine), nimetatakse nn. rakendatud elastsuse teooria.

Selles peatükis kirjeldatakse matemaatilise lineaarse elastsusteooria põhimõisteid. Matemaatika rakendamine füüsikaliste nähtuste kirjeldamisel nõuab nende skeemitamist. Matemaatilises elastsusteoorias lahendatakse ülesandeid võimalikult väheste eeldustega, mis raskendab lahendamiseks kasutatavaid matemaatilisi võtteid. Lineaarne elastsuse teooria eeldab pinge- ja deformatsioonikomponentide vahelise lineaarse seose olemasolu. Paljude materjalide (kumm, teatud tüüpi malm) puhul ei saa sellist sõltuvust aktsepteerida isegi väikeste deformatsioonide korral: σ - ε diagrammil elastsuse vahemikus on sama piirjoon nii koormamisel kui ka mahalaadimisel, kuid mõlemal juhul see on kõverjooneline. Selliste materjalide uurimisel on vaja kasutada mittelineaarse elastsuse teooria sõltuvusi.

IN Matemaatiline lineaarne elastsuse teooria põhineb järgmistel eeldustel:

1. Keskkonna järjepidevusest (järjepidevusest). Sel juhul aine aatomistruktuur või olemasolu tühimikke ei võeta arvesse.

2. Loomulikust olekust, mille alusel ei võeta arvesse keha esialgset pingestatud (deformeerunud) seisundit, mis tekkis enne jõu mõjude rakendamist, s.t eeldatakse, et keha koormamise hetkel on deformatsioonid ja pinged mis tahes punktis on võrdsed nulliga. Algpingete olemasolul kehtib see eeldus, kui tekkivatele pingetele (alguse ja mõjudest tulenevate pingete summa) saab rakendada ainult lineaarse elastsusteooria sõltuvusi.

3. Homogeensusest, mille põhjal eeldatakse, et keha koostis on kõikides punktides ühesugune. Kui metallide puhul see eeldus suuri vigu ei anna, siis betooni puhul võib see väikeste mahtude puhul kaasa tuua olulisi vigu.

4. Sfäärilise isotroopia kohta, mille põhjal arvatakse, et Materjali mehaanilised omadused on igas suunas ühesugused. Metallkristallidel seda omadust ei ole, kuid metalli kui terviku puhul, mis koosneb suurest hulgast väikestest kristallidest, võime eeldada, et see hüpotees kehtib. Materjalide jaoks, millel on eri suundades erinevad mehaanilised omadused, nagu näiteks lamineeritud plastid, on välja töötatud ortotroopsete ja anisotroopsete materjalide elastsuse teooria.

5. Ideaalsel elastsusel, mille alusel eeldatakse deformatsiooni täielikku kadumist pärast koormuse eemaldamist. Teatavasti toimub reaalsetes kehades mistahes koormuse korral jääkdeformatsioon. Seetõttu oletus

6. Deformatsioonide komponentide lineaarsest seosest ja pinged.

7. Deformatsioonide väiksusest, mille põhjal eeldatakse, et suhtelised lineaarsed ja nurkdeformatsioonid on ühtsusega võrreldes väikesed. Selliste materjalide nagu kumm või selliste elementide jaoks nagu spiraalvedrud on välja töötatud suurte elastsete deformatsioonide teooria.

Elastsusteooria ülesannete lahendamisel kasutame teoreemi lahenduse unikaalsuse kohta: kui antud välispinna- ja mahujõud on tasakaalus, vastavad need ühele pingete ja nihete süsteemile. Väide lahenduse unikaalsuse kohta kehtib ainult siis, kui kehtib eeldus keha loomuliku oleku kohta (muidu on võimalik lõpmatu arv lahendusi) ning eeldus deformatsioonide ja välisjõudude vahelise lineaarse seose kohta.

Elastsusteooria ülesannete lahendamisel kasutatakse sageli Saint-Venanti põhimõtet: Kui elastse keha väikesele alale rakendatavad välisjõud asendatakse staatiliselt samaväärse jõudude süsteemiga, mis mõjuvad samale alale (millel on sama põhivektor ja sama põhimoment), põhjustab see asendamine ainult muutuse kohalikud deformatsioonid.

Punktides, mis on väliskoormuse rakendamise kohtadest piisavalt kaugel, sõltuvad pinged nende rakendamise meetodist vähe. Koormus, mis materjalide vastupidavuse käigus väljendati skemaatiliselt Saint-Venant'i printsiibi alusel jõu või kontsentreeritud momendi kujul, kujutab tegelikult normaal- ja tangentsiaalseid pingeid, mis jagunevad ühel või teisel viisil teatud alale. keha pinnalt. Sel juhul võib sama jõud või jõudude paar vastata erinevatele pingejaotustele. Lähtudes Saint-Venanti printsiibist, võime eeldada, et jõudude muutus keha pinna lõigul ei avalda peaaegu mingit mõju pingetele punktides, mis asuvad nende jõudude rakendamise kohast piisavalt kaugel (võrreldes koormatud sektsiooni lineaarsed mõõtmed).

Uuritava ala asukoht, mis on valitud kehas (joonis 1), määratakse normaalse N suunakoosinuste järgi ala suhtes valitud ristkülikukujuliste koordinaattelgede x, y ja z süsteemis.

Kui P on punktis A eraldatud elementaaralale mõjuvate sisejõudude resultant, siis kogupinge p N selles punktis piki normaalse N-ga ala defineeritakse suhte piiriks

järgmine vorm:

.

Vektori p N saab ruumis lagundada kolmeks üksteisega risti olevaks komponendiks.

2. Komponendid σ N , τ N s ja τ N t alaga normaalsetes suundades (normaalpinge) ja kaks vastastikku risti asetsevat telge s ja t (joon. 1,b), mis asuvad koha tasapinnas (tangentsiaalne). rõhutab). Vastavalt joonisele 1, b

Kui keha lõik või ala on paralleelne ühe koordinaattasandiga, näiteks y0z (joonis 2), siis on selle ala normaal kolmas koordinaattelg x ja pingekomponendid tähistatakse σ x, τ xy ja τ xz.

Tavaline pinge on positiivne, kui see on tõmbejõud ja negatiivne, kui see on surveline. Nihkepinge märk määratakse järgmise reegli abil: kui positiivne (tõmbe) normaalpinge piki ala annab positiivse projektsiooni, siis tangentsiaalne

pinge piki sama ala loetakse positiivseks tingimusel, et see annab ka positiivse projektsiooni vastavale teljele; kui tõmbenormaalpinge annab negatiivse projektsiooni, siis positiivne nihkepinge peaks andma ka negatiivse projektsiooni vastavale teljele.

Joonisel fig. Näiteks joonisel 3 on kõik pingekomponendid, mis toimivad piki koordinaattasanditega ühtivaid elementaarse rööptahuka tahkusid, positiivsed.

Pingeseisundi määramiseks elastse keha punktis on vaja teada kogupinget p N kolmel seda punkti läbiva vastastikku risti asetseva ala ulatuses. Kuna iga kogupinge saab lagundada kolmeks komponendiks, määratakse pingeseisund, kui on teada üheksa pingekomponenti. Neid komponente saab kirjutada maatriksina

,

nimetatakse pingetensori komponentide maatriksiks punktis.

Maatriksi iga horisontaaljoon sisaldab kolme pingekomponenti, mis mõjutavad ühte piirkonda, kuna esimesed ikoonid (tavalise nimi) on samad. Tensori iga vertikaalne veerg sisaldab kolme sama teljega paralleelset pinget, kuna nende teised ikoonid (selle paralleeltelje nimi, millega pinge mõjub) on samad.

1.2 Elementaarrööptahuka tasakaaluvõrrandid

ja elementaarne tetraeeder

Valime pingestatud elastse keha uuritavas punktis A (koordinaatidega x, y ja z) kolme üksteisega risti asetseva tasandipaari abil elementaarrööptahuka servamõõtmetega dx, dy ja dz (joonis 2). Mööda iga kolme punktiga A külgnevat vastastikku risti asetsevat tahku (kõige lähemal koordinaattasanditele) toimib kolm pingekomponenti - normaal- ja kaks tangentsiaalset. Eeldame, et punktiga A külgnevatel tahkudel on need positiivsed.

Punkti A läbivalt pinnalt paralleelsele pinnale liikumisel pinged muutuvad ja saavad juurdekasvu. Näiteks kui piki punkti A läbivat CAD-pinda on pingekomponendid σ x = f 1 (x,y,z), τ xy =f 2 (x,y,z,), τ xz =f 3 (x) , y, z,), siis piki paralleelset tahku, ainult ühe koordinaadi x suurenemise tõttu ühelt küljelt teisele liikumisel

pingekomponendid Pingeid on võimalik määrata elementaarse rööptahuka kõikidel külgedel, nagu on näidatud joonisel fig. 3.

Lisaks elementaarse rööptahuka tahkudele rakendatavatele pingetele mõjuvad sellele mahujõud: raskusjõud, inertsiaaljõud. Tähistame nende jõudude projektsioone ruumalaühiku kohta koordinaattelgedel X, Y ja Z. Kui võrdsustame nulliga kõigi normaal-, tangentsiaal- ja mahujõudude projektsioonide summa x-teljel,

toimides elementaarsele rööptahukale, siis pärast korrutise dxdydz võrra vähendamist saame võrrandi

.

Olles koostanud sarnased võrrandid jõudude projektsioonide jaoks y- ja z-telgedele, kirjutame Cauchy abil saadud elementaarse rööptahuka tasakaalu jaoks kolm diferentsiaalvõrrandit,

Kui rööptahuka mõõtmed vähendatakse nullini, muutub see punktiks ning σ ja τ tähistavad pingekomponente piki kolme üksteisega risti asetsevat ala, mis läbivad punkti A.

Kui võrdsustame nulliga kõigi elementaarsele rööptahukale mõjuvate jõudude momentide summa x-telje suhtes c, mis on paralleelne x-teljega ja läbib selle raskuskeskme, saame võrrandi

või võttes arvesse asjaolu, et kõrgemat järku võrrandi teine ​​ja neljas liige on teistega võrreldes väikesed, pärast taandamist dxdydz võrra

τ yz - τ zy = 0 või τ yz = τ zy.

Olles koostanud sarnased momentide võrrandid kesktelgede y c ja z c suhtes, saame kolm võrrandit tangentsiaalsete pingete paaristumise seaduse jaoks

τ xy = τ yx, τ yx = τ xy, τ zx = τ xz. (1.3)

See seadus on sõnastatud järgmiselt: piki vastastikku risti asetsevaid alasid mõjuvad tangentsiaalsed pinged, mis on suunatud risti alade lõikejoonega, on suuruselt võrdsed ja märgilt identsed.

Seega on T σ tensormaatriksi üheksast pingekomponendist kuus omavahel paarikaupa võrdsed ja pingeseisundi määramiseks punktis piisab, kui leida ainult järgmised kuus pingekomponenti:

.

Kuid koostatud tasakaalutingimused andsid meile ainult kolm võrrandit (1.2), millest kuut tundmatut ei leia. Seega on pingeseisundi määramise otsene probleem punktis üldjuhul staatiliselt määramatu. Selle staatilise määramatuse paljastamiseks on vaja täiendavaid geomeetrilisi ja füüsilisi sõltuvusi.

Lõikame punktis A elementaarrööptahu, mille pind on kallutatud; olgu selle tasapinna normaalsel N suunakoosinused l, m ja n Saadud geomeetriline kujund (joonis 4) on kolmnurkse alusega püramiid - elementaartetraeedr. Eeldame, et punkt A ühtib koordinaatide alguspunktiga ja tetraeedri kolm üksteisega risti olevat tahku ühtivad koordinaattasanditega.

Arvesse võetakse pingekomponente, mis toimivad piki tetraeedri tahke

positiivne. Need on näidatud joonisel fig. 4. Tähistame , ja BCD tetraeedri kaldpinda mõjuva kogupinge p N projektsioonid telgedel x, y ja z. Tähistame kaldpinna BCD pindala kui dF. Siis on näo pindala АВС dFп, näo pindala ACD - dFl ja näo pindala АДВ - dFт.

Loome tetraeedri jaoks tasakaaluvõrrandi, projitseerides kõik piki selle tahkusid mõjuvad jõud x-teljele; kehajõu projektsioon ei sisaldu projektsioonivõrrandis, seega

kuna see esindab suuremat väiksuse suurust võrreldes pindjõudude projektsioonidega:

Olles koostanud võrrandid tetraeedrile mõjuvate jõudude projektsiooniks y- ja z-teljel, saame veel kaks sarnast võrrandit. Selle tulemusena saame elementaarse tetraeedri jaoks kolm tasakaaluvõrrandit

Jagame suvalise kujuga ruumikeha vastastikku risti asetsevate tasandite xOy, yOz ja xOz süsteemiga (joonis 5) mitmeks elementaarseks rööptahukaks. Samal ajal moodustuvad keha pinnal elementaarsed elemendid.

tetraeedrid (pinna kõverjoonelised lõigud on nende väiksuse tõttu asendatavad tasapindadega). Sel juhul p N tähistab koormust pinnale ja võrrandid (1.4) seovad selle koormuse kehas olevate pingetega σ ja τ, st need esindavad elastsusteooria ülesande piirtingimusi. Nende võrranditega määratud tingimusi nimetatakse tingimused pinnal.

Tuleb märkida, et elastsuse teoorias esindavad väliskoormusi normaalsed ja tangentsiaalsed pinged, mis rakendatakse vastavalt mõnele seadusele keha pinnaga kokku langevatele aladele.

1.3 Normaal- ja nihkepinged piki kaldus nõlva

saidile

Vaatleme elementaartetraeedrit ABCD, mille kolm tahku on paralleelsed koordinaattasanditega ja normaalne N neljanda tahu külge moodustab nurgad koordinaattelgedega, mille koosinused on võrdsed l, m ja n-ga (joonis 6). ). Eeldame, et koordinaattasanditel paiknevatel aladel mõjuvad normaal- ja tangentsiaalsed pingekomponendid on antud, ning määrame pinged BCD alale. Valime uue ristkülikukujuliste koordinaattelgede x 1, y 1 ja z 1 süsteemi, nii et x 1 telg langeb kokku normaalse N-ga,

Elastsusteooria põhiülesanne on pinge-deformatsiooni seisundi määramine vastavalt keha etteantud koormuse ja kinnituse tingimustele.

Pinge-deformatsiooni olek määratakse, kui on leitud pingetensori () ja nihkevektori komponendid, üheksa funktsiooni.

Elastsusteooria põhivõrrandid

Nende üheksa funktsiooni leidmiseks peate üles kirjutama elastsusteooria põhivõrrandid või:

Diferentsiaal Cauchies

kus on Cauchy deformatsiooni lineaarse osa tensori komponendid;

Radiaalnihke tuletistensori komponendid.

Diferentsiaaltasakaalu võrrandid

kus on pingetensori komponendid; - kehajõu projektsioon j-teljele.

Hooke'i seadus lineaarselt elastse isotroopse keha jaoks

kus on Lame konstandid; isotroopse keha jaoks. Siin on normaalsed ja nihkepinged; vastavalt deformatsioonid ja nihkenurgad.

Ülaltoodud võrrandid peavad rahuldama Saint-Venant'i sõltuvusi

Elastsusteoorias on ülesanne lahendatud, kui kõik põhivõrrandid on täidetud.

Elastsusteooria probleemide tüübid

Keha pinnal peavad olema täidetud piirtingimused ja olenevalt piirtingimuste tüübist eristatakse elastsuse teoorias kolme tüüpi probleeme.

Esimene tüüp. Jõud on antud keha pinnale. Piiritingimused

Teine tüüp. Probleemid, mille puhul nihkumine on määratud keha pinnal. Piiritingimused

Kolmas tüüp. Elastsusteooria segaprobleemid. Jõud on määratud kehapinna osale ja nihe on määratud kehapinna osale. Piiritingimused

Elastsusteooria otsesed ja pöördprobleemid

Otsesteks probleemideks nimetatakse ülesandeid, mille puhul on keha pinnale määratud jõud või nihked ning keha sees on vaja leida pinge-deformatsiooni olek ja see, mis pinnal ei ole määratud. Kui keha sees on ette nähtud pinged, deformatsioonid, nihked jne ja peate kindlaks määrama, mis pole keha sees, aga ka nihked ja pinged keha pinnal (st leida põhjused, mis neid põhjustasid). pinge-pingeseisund)), siis nimetatakse selliseid probleeme pöördvõrdeliseks.

Nihkete elastsuse teooria võrrandid (Lame'i võrrandid)

Nihkete elastsusteooria võrrandite määramiseks kirjutame: diferentsiaaltasakaalu võrrandid (18) Hooke'i seadus lineaarselt elastse isotroopse keha jaoks (19)

Kui võtta arvesse, et deformatsioonid väljenduvad nihketes (17), kirjutame:

Samuti tuleks meeles pidada, et nihkenurk on seotud nihkega järgmise seosega (17):

Asendades avaldise (22) esimese võrrandi (19) võrrandiga, saame, et normaalpinged

Pange tähele, et sel juhul itz kirjutamine ei tähenda summeerimist üle i.

Asendades avaldise (23) teise võrrandi (19) võrrandisse, saame, et nihkepinged

Kirjutame tasakaaluvõrrandid (18) laiendatud kujul, kui j = 1

Asendades võrrandis (26) normaal- (24) ja tangentsiaalpingete (25) avaldised, saame

kus l on Lame'i konstant, mille määrab avaldis:

Asendame avaldise (28) võrrandiga (27) ja kirjutame,

kus on määratud avaldisega (22) või laiendatud kujul

Jagame avaldise (29) G-ga ja lisame sarnased terminid ning saame esimese Lame'i võrrandi:

kus on Laplace'i operaator (harmooniline operaator), mis on määratletud kui

Samamoodi saate:

Võrrandid (30) ja (32) saab kirjutada järgmiselt:

Võrrandid (33) või (30) ja (32) on Lamé võrrandid. Kui mahujõud on null või konstantsed, siis

Pealegi ei tähenda tähistus sel juhul liitmist i kohal. Siin

või võttes arvesse (31)

Asendades (22) väärtusega (34) ja teostades teisendusi, saame

ja järelikult

kus on funktsioon, mis seda võrdsust rahuldab. Kui

seetõttu on f harmooniline funktsioon. See tähendab, et ka mahuline deformatsioon on harmooniline funktsioon.

Eeldades, et eelmine eeldus on tõene, võtame harmoonilise operaatori Lame'i võrrandi i-ndalt realt

Kui ruumalajõud on null või konstantsed, on nihkekomponendid biharmoonilised funktsioonid.

Tuntakse erinevaid vorme biharmooniliste funktsioonide esitamiseks harmooniliste kaudu (mis rahuldab Lamé võrrandeid).

kus k = 1,2,3. enamgi veel

Võib näidata, et selline nihkete esitamine harmoonilise funktsiooni kaudu muudab Lame'i võrrandi (33) identiteediks. Neid nimetatakse sageli Popkovitši-Grodski tingimusteks. Neli harmoonilist funktsiooni pole vajalikud, sest φ0 saab nullida.

Elastsuse teooria– kontiinummehaanika haru, mis uurib kehade nihkeid, deformatsioone ja pingeid puhkeolekus või koormuse mõjul liikumisel. Selle teooria eesmärk on tuletada matemaatilised võrrandid, mille lahendamine võimaldab vastata järgmistele küsimustele: millised on selle konkreetse keha deformatsioonid, kui talle rakendatakse teadaolevates kohtades etteantud suurusjärgu koormus? Milline saab olema pinge kehas? Küsimus, kas keha kukub kokku või talub neid koormusi, on tihedalt seotud elastsuse teooriaga, kuid rangelt võttes ei kuulu selle teooria valdkonda.

Võimalike näidete arv on piiramatu – alustades deformatsioonide ja pingete määramisest tugedel lamavas ja jõududega koormatud talas kuni samade väärtuste arvutamiseni lennuki, laeva, allveelaeva konstruktsioonis, vankrirattas, soomuses. mürsu tabamisel, mäeahelikus aditi läbimisel, kõrghoone raamides jne. Siinkohal tuleb teha hoiatus: õhukeseseinalistest elementidest koosnevad struktuurid arvutatakse lihtsustatud teooriate abil loogiliselt elastsusteooria alusel; selliste teooriate hulka kuuluvad: materjalide koormuskindluse teooria (kuulus “vastupidavusmaterjal”), mille ülesandeks on peamiselt varraste ja talade arvutamine; ehitusmehaanika – varrassüsteemide arvutamine (näiteks sillad); ja lõpuks, kestade teooria on oma olemuselt iseseisev ja väga kõrgelt arenenud teadusvaldkond deformatsioonide ja pingete kohta, mille uurimisobjektiks on olulisemad konstruktsioonielemendid – õhukeseseinalised kestad – silindrilised, koonilised, sfäärilised ja millel on keerulisemad kujundid. Seetõttu käsitletakse elastsuse teoorias tavaliselt kehasid, mille olulised mõõtmed ei erine liiga palju. Seega vaadeldakse etteantud kujuga elastset keha, millele mõjuvad teadaolevad jõud.

Elastsusteooria põhimõisted on väikestele aladele mõjuvad pinged, mida saab mõtteliselt joonistada kehasse läbi antud punkti M, punkti väikese ümbruse deformatsioonid M ja punkti enda liigutamine M. Täpsemalt tuuakse sisse pingetensorid s ij, väikese deformatsiooni tensor e ij ja nihkevektor u i.

Lühitähistus s ij, kus indeksid i, j väärtusi 1, 2, 3 tuleks mõista kui maatriksit järgmisel kujul:

Tensori e lühikest tähistust tuleks mõista sarnaselt ij.

Kui keha füüsiline punkt M deformatsiooni tõttu võttis see ruumis uue positsiooni M´, siis nihkevektor on vektor komponentidega ( u x u y u z), või lühidalt u i. Väikeste deformatsioonide teoorias komponendid u i ja e i peetakse väikesteks kogusteks (rangelt võttes lõpmata väikesteks). Tensori komponendid e ij ja vektor u ij on seotud Cauchy valemitega, millel on vorm:

On selge, et e xy= e yx ja üldiselt e ij= e ji, seega on deformatsioonitensor definitsiooni järgi sümmeetriline.

Kui elastne keha on välisjõudude mõjul tasakaalus (st kõigi tema punktide kiirused on nulliga), siis on tasakaalus ka iga kehaosa, mida saab temast vaimselt isoleerida. Kehast paistab silma väike (rangelt võttes lõpmata väike) ristkülikukujuline rööptahukas, mille servad on paralleelsed Descartes'i süsteemi koordinaattasanditega. Oxyz(joonis 1).

Rööptahuka servadel olgu pikkused dx, dy, dz vastavalt (siin, nagu tavaliselt dx on diferentsiaal x, jne.). Pingeteooria kohaselt mõjuvad pingetensori komponendid rööptahuka külgedele, mida tähistatakse:

äärel OADG:s xx, s xy, s xz

äärel OABC:s yx, s yy, s yz

äärel DABE:s zx, s zy, s zz

sel juhul samade indeksitega komponendid (näiteks s xx) tegutseda näoga risti ja erinevate indeksidega - saidi tasapinnal.

Vastaskülgedel on pingetensori samade komponentide väärtused veidi erinevad, see on tingitud asjaolust, et need on koordinaatide funktsioonid ja muutuvad punktist punkti (alati, välja arvatud teadaolevatel lihtsamatel juhtudel) ja muutuse väiksus on seotud rööptahuka väikeste mõõtmetega, seega võime eeldada, et kui see on piiril OABC rakendatakse pinget s yy, siis äärel GDEF rakendatakse pinget s yy+ds yy ja väike väärtus ds yy just selle väiksuse tõttu saab seda määrata Taylori seeria laienduse abil:

(siin kasutatakse osatuletisi, kuna pingetensori komponendid sõltuvad x, y, z).

Samamoodi saab kõigi tahkude pingeid väljendada s-i kaudu ij ja ds ij. Järgmisena peate pingetelt jõududele üleminekuks korrutama pinge suuruse selle ala pindalaga, millele see mõjub (näiteks s yy+ds yy korrutada dx dz). Kui kõik rööptahukale mõjuvad jõud on määratud, on võimalik, nagu staatikas tehakse, keha tasakaaluvõrrandi üles kirjutada, samas kui kõigis põhivektori võrrandites jäävad alles vaid tuletistega liikmed, kuna pinged ise tühistavad üksteist ja tegureid dx dy dz vähenevad ja selle tulemusena

Samamoodi saadakse tasakaaluvõrrandid, mis väljendavad kõigi rööptahukale mõjuvate jõudude põhimomendi võrdsust nulliga, mis taandatakse järgmisele kujule:

Need võrdsused tähendavad, et pingetensor on sümmeetriline tensor. Seega 6 tundmatu komponendi s ij on kolm tasakaaluvõrrandit, s.t. staatika võrranditest ei piisa ülesande lahendamiseks. Väljapääs on pingete s väljendamine ij deformatsioonide kaudu e ij kasutades Hooke'i seaduse võrrandeid ja seejärel deformatsiooni e ij väljendada liigutuste kaudu u i kasutades Cauchy valemeid ja asendage tulemus tasakaaluvõrranditega. See loob kolm diferentsiaaltasakaaluvõrrandit kolme tundmatu funktsiooni jaoks u x u y u z, st. tundmatute arv võrdub võrrandite arvuga. Neid võrrandeid nimetatakse Lamé võrranditeks

massijõude (kaal jne) ei võeta arvesse

D – Laplace'i operaator, see tähendab

Nüüd peate seadma keha pinnale piirtingimused;

Nende tingimuste peamised tüübid on järgmised:

1. Keha S 1 pinna teadaoleval osal on määratud nihked, s.o. nihkevektor on võrdne teadaoleva vektoriga koos komponentidega ( f x; f y; f z ):

u x = f(xyz)

u y= f(xyz)

u z = f(xyz)

(f x, f y, f z– teadaolevad koordinaatfunktsioonid)

2. Ülejäänud pinnal S Määratud on 2 pinnajõudu. See tähendab, et pingejaotus keha sees on selline, et pinge väärtused pinna vahetus läheduses ja piirväärtuses pinnal igas elementaarpiirkonnas tekitavad pingevektori, mis on võrdne teadaoleva välise koormusvektoriga. komponendid ( F x ;Fy ; Fz) pinnajõud. Matemaatiliselt on see kirjutatud nii: kui punktis A pinnal, on selle pinna ühiknormaalvektoril komponendid n x, n a, n z siis siinkohal peavad võrdused olema rahuldatud (tundmatute) komponentide s suhtes ij: e ij, siis kolme tundmatu jaoks saame kuus võrrandit ehk ülemääratletud süsteemi. Sellel süsteemil on lahendus ainult siis, kui e-ga seotud lisatingimused on täidetud ij. Need tingimused on ühilduvusvõrrandid.

Neid võrrandeid nimetatakse sageli pidevuse tingimusteks, mis tähendab, et need tagavad keha pidevuse pärast deformatsiooni. See väljend on kujundlik, kuid ebatäpne: need tingimused tagavad pideva nihkevälja olemasolu, kui võtta deformatsioonide (või pingete) komponendid tundmatuteks. Nende tingimuste täitmata jätmine ei too kaasa järjepidevuse rikkumist, vaid probleemile lahenduse puudumist.

Seega annab elastsusteooria diferentsiaalvõrrandid ja piirtingimused, mis võimaldavad sõnastada piirväärtusülesandeid, mille lahendamine annab täieliku informatsiooni pingete, deformatsioonide ja nihkete jaotusest vaadeldavates kehades. Meetodid selliste probleemide lahendamiseks on väga keerulised ja parima tulemuse annab analüütiliste meetodite kombineerimine arvulistega, kasutades võimsaid arvuteid.

Vladimir Kuznetsov

Peatükkides 4-6 tuletati elastsusteooria põhivõrrandid, millega kehtestati pingete ja deformatsioonide muutumise seadused keha suvalise punkti läheduses, samuti pingeid deformatsioonidega ja deformatsioone nihketega seostavad seosed. Esitame elastsusteooria täieliku võrrandisüsteemi Descartes'i koordinaatides.

Navieri tasakaaluvõrrandid:

Cauchy suhted:

Hooke'i seadus (otses ja pöördkujul):

Tuletame teile seda siinkohal meelde e = e x + e y + e z - suhteline mahuline deformatsioon ja vastavalt tangentsiaalsete pingete paaristumise seadusele Xj. = Tj; ja vastavalt y~ = ^ 7. Punktis (16.3a) sisalduvad Lame'i konstandid määratakse valemitega (6.13).

Ülaltoodud süsteemist on selge, et see sisaldab 15 diferentsiaal- ja algebralist võrrandit, mis sisaldavad 15 tundmatut funktsiooni (6 pingetensori komponenti, 6 deformatsioonitensori komponenti ja 3 nihkevektori komponenti).

Täieliku võrrandisüsteemi keerukuse tõttu on võimatu leida üldist lahendust, mis kehtiks kõigi praktikas esinevate elastsusteooria probleemide jaoks.

Võrrandite arvu vähendamiseks on erinevaid võimalusi, kui näiteks võtta tundmatute funktsioonidena ainult pingeid või nihkeid.

Kui elastsusteooria ülesande lahendamisel jätame nihked vaatluse alt välja, siis saame Cauchy seoste (16.2) asemel saada deformatsioonitensori komponente ühendavad võrrandid. Eristame deformatsiooni g x, määratletud esimese võrrandiga (16.2), kaks korda y, deformatsioon g y - kaks korda x-is ja lisa saadud avaldised. Selle tulemusena saame

Sulgudes olev avaldis vastavalt (16.2) määrab nurkdeformatsiooni y. Seega saab viimase võrdsuse kirjutada kujule

Samamoodi võime saada veel kaks võrdsust, mis koos viimase seosega moodustavad esimese rühma Saint-Venant deformatsiooni ühilduvuse võrrandid:

Iga võrdus (16.4) loob seose ühe tasapinna deformatsioonide vahel. Cauchy seostest saab ka ühilduvustingimusi, mis seostavad deformatsioone erinevates tasandites. Eristagem nurkdeformatsioonide avaldisi (16.2) järgmiselt: y - vastavalt z y – poolt X;

Autor y; Liidame kaks esimest võrdsust ja lahutame kolmanda. Selle tulemusena saame

Diferentseerides seda võrdsust y-ga ja võttes arvesse seda,

jõuame järgmise seoseni:

Kasutades ringikujulist asendust, saame veel kaks võrdsust, mis koos viimase seosega moodustavad Saint-Venanti deformatsioonide ühilduvuse teise võrrandite rühma:

Deformatsiooni ühilduvuse võrrandeid nimetatakse ka tingimusteks järjepidevus või järjepidevus. Need terminid iseloomustavad asjaolu, et keha jääb deformeerituna tahkeks. Kui kujutada ette üksikutest elementidest koosnevat keha ja võtta deformatsioonid ex, y suvaliste funktsioonidena, siis deformeerunud olekus pole võimalik nendest elementidest tahket keha kokku panna. Kui tingimused (16.4), (16.5) on täidetud, on üksikute elementide piiride nihked sellised, et keha jääb tahkeks ka deformeerunud olekus.

Seega on elastsusteooria ülesannete lahendamisel üks viise tundmatute arvu vähendamiseks jätta nihked arvestamisest välja. Seejärel sisaldab täielik võrrandisüsteem Cauchy seoste asemel Saint-Venanti deformatsioonide ühilduvusvõrrandeid.

Arvestades elastsusteooria terviklikku võrrandisüsteemi, tuleks tähelepanu pöörata asjaolule, et see praktiliselt ei sisalda keha pinge-pingeseisundit määravaid tegureid. Selliste tegurite hulka kuuluvad keha kuju ja suurus, selle kinnitamise meetodid, kehale mõjuvad koormused, välja arvatud mahujõud X, Y, Z.

Seega kehtestab elastsusteooria täielik võrrandisüsteem ainult pingete, deformatsioonide ja nihkete üldised mustrid elastsetes kehades. Konkreetsele probleemile saab lahenduse, kui on täpsustatud keha koormustingimused. See on antud piirtingimustes, mis eristavad üht elastsusteooria probleemi teisest.

Matemaatilisest küljest on selge ka see, et diferentsiaalvõrrandisüsteemi üldlahendus sisaldab suvalisi funktsioone ja konstante, mis tuleb määrata piirtingimustest.