Sirgete ja kõverate võrrandid tasapinnal. Sirge võrrand

Sirge omadused eukleidilises geomeetrias.

Läbi mis tahes punkti saab tõmmata lõpmatu arvu sirgeid.

Kahe mittekattuvad punkti kaudu saab tõmmata ühe sirge.

Tasapinna kaks lahknevat sirget kas lõikuvad ühes punktis või on

paralleelne (järgneb eelmisest).

Kolmemõõtmelises ruumis on kahe joone suhtelise asukoha jaoks kolm võimalust:

• jooned ristuvad;

• sirged on paralleelsed;

• sirgjooned ristuvad.

Otse rida— esimest järku algebraline kõver: sirgjoon Descartes'i koordinaatsüsteemis

on antud tasapinnal esimese astme võrrandiga (lineaarvõrrand).

Sirge üldvõrrand.

Definitsioon. Mis tahes tasapinna sirget saab määrata esimest järku võrrandiga

Ax + Wu + C = 0,

ja pidev A, B ei ole samal ajal võrdsed nulliga. Seda esimest järku võrrandit nimetatakse üldine

sirgjoone võrrand. Sõltuvalt konstantide väärtustest A, B Ja KOOS Võimalikud on järgmised erijuhud:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- alguspunkti läbib sirgjoon

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0)- teljega paralleelne sirgjoon Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- teljega paralleelne sirgjoon OU

. B = C = 0, A ≠0- sirgjoon langeb kokku teljega OU

. A = C = 0, B ≠0- sirgjoon langeb kokku teljega Oh

Sirge võrrandit saab esitada erineval kujul, olenevalt mis tahes etteantust

esialgsed tingimused.

Punktist ja normaalvektorist lähtuva sirge võrrand.

Definitsioon. Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis vektor komponentidega (A, B)

võrrandiga antud sirgega risti

Ax + Wu + C = 0.

Näide. Leidke punkti läbiva sirge võrrand A(1, 2) vektoriga risti (3, -1).

Lahendus. Kui A = 3 ja B = -1, koostame sirgjoone võrrandi: 3x - y + C = 0. Koefitsiendi C leidmiseks

Asendame antud punkti A koordinaadid saadud avaldisesse Saame: 3 - 2 + C = 0, seega

C = -1. Kokku: nõutav võrrand: 3x - y - 1 = 0.

Kaht punkti läbiva sirge võrrand.

Olgu ruumis antud kaks punkti M 1 (x 1, y 1, z 1) Ja M2 (x 2, y 2, z 2), Siis sirge võrrand,

läbides neid punkte:

Kui mõni nimetajatest on null, tuleb vastav lugeja määrata nulliga. Peal

tasapinnal on ülaltoodud sirgjoone võrrand lihtsustatud:

Kui x 1 ≠ x 2 Ja x = x 1, Kui x 1 = x 2 .

Murd = k helistas kalle sirge.

Näide. Leidke punkte A(1, 2) ja B(3, 4) läbiva sirge võrrand.

Lahendus. Rakendades ülaltoodud valemit, saame:

Sirge võrrand punkti ja kalde abil.

Kui sirge üldvõrrand Ax + Wu + C = 0 viia selleni:

ja määrata , siis nimetatakse saadud võrrandit

sirge võrrand kaldega k.

Punkti ja suunavektori sirge võrrand.

Analoogiliselt punktiga, mis võtab arvesse normaalvektorit läbiva sirge võrrandit, saate ülesande sisestada

punkti läbiv sirge ja sirge suunav vektor.

Definitsioon. Iga nullist erinev vektor (α 1 , α 2), mille komponendid vastavad tingimusele

Aα 1 + Bα 2 = 0 helistas sirge suunav vektor.

Ax + Wu + C = 0.

Näide. Leidke sirge võrrand suunavektoriga (1, -1) ja läbib punkti A(1, 2).

Lahendus. Otsime soovitud rea võrrandit kujul: Ax + By + C = 0. Definitsiooni järgi,

koefitsiendid peavad vastama järgmistele tingimustele:

1 * A + (-1) * B = 0, st. A = B.

Siis on sirgjoone võrrandil järgmine kuju: Ax + Ay + C = 0, või x + y + C / A = 0.

juures x = 1, y = 2 saame C/A = -3, st. nõutav võrrand:

x + y - 3 = 0

Segmentides sirgjoone võrrand.

Kui sirge Ах + Ву + С = 0 С≠0 üldvõrrandis, siis -С-ga jagades saame:

või kus

Koefitsientide geomeetriline tähendus on see, et koefitsient a on lõikepunkti koordinaat

teljega sirge Oh, A b- sirge ja telje lõikepunkti koordinaat OU.

Näide. Sirge üldvõrrand on antud x - y + 1 = 0. Leidke selle sirge võrrand segmentides.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Sirge normaalvõrrand.

Kui võrrandi mõlemad pooled Ax + Wu + C = 0 arvuga jagada mida nimetatakse

normaliseeriv tegur, siis saame

xcosφ + ysinφ - p = 0 -sirge normaalvõrrand.

Normaliseeriva teguri märk ± tuleb valida nii, et μ*C< 0.

R- risti pikkus, mis on langenud lähtepunktist sirgele,

A φ - nurk, mille see risti moodustab telje positiivse suunaga Oh.

Näide. Antud on sirge üldvõrrand 12x - 5a - 65 = 0. Nõutav erinevat tüüpi võrrandite kirjutamiseks

see sirgjoon.

Selle sirge võrrand segmentides:

Selle sirge võrrand kaldega: (jaga 5-ga)

Sirge võrrand:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Tuleb märkida, et mitte iga sirget ei saa esitada võrrandiga segmentides, näiteks sirged,

paralleelselt telgedega või läbides alguspunkti.

Tasapinna sirgjoonte vaheline nurk.

Definitsioon. Kui on antud kaks rida y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, siis nende joonte vaheline teravnurk

määratletakse kui

Kaks sirget on paralleelsed, kui k 1 = k 2. Kaks joont on risti

Kui k 1 = -1/ k 2 .

Teoreem.

Otsene Ax + Wu + C = 0 Ja A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralleelselt, kui koefitsiendid on proportsionaalsed

A1 = λA, B1 = λB. Kui ka С 1 = λС, siis jooned langevad kokku. Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid

on leitud nende sirgete võrrandisüsteemi lahendusena.

Antud punkti läbiva sirge võrrand, mis on antud sirgega risti.

Definitsioon. Punkti läbiv sirge M 1 (x 1, y 1) ja joonega risti y = kx + b

mida esindab võrrand:

Kaugus punktist jooneni.

Teoreem. Kui punkt antakse M(x 0, y 0), siis kaugus sirgeni Ax + Wu + C = 0 defineeritud kui:

Tõestus. Olgu punkt M 1 (x 1, y 1)- punktist langenud risti alus M antud jaoks

otsene. Siis punktide vaheline kaugus M Ja M 1:

(1)

Koordinaadid x 1 Ja kell 1 võib leida võrrandisüsteemi lahendusena:

Süsteemi teine ​​võrrand on antud punkti M 0 risti läbiva sirge võrrand

antud sirge. Kui teisendame süsteemi esimese võrrandi vormiks:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 järgi + C = 0,

siis lahendades saame:

Asendades need avaldised võrrandisse (1), leiame:

Teoreem on tõestatud.

Antud punkti kindlas suunas läbiva sirge võrrand. Kaht antud punkti läbiva sirge võrrand. Nurk kahe sirge vahel. Kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimus. Kahe sirge lõikepunkti määramine

Näited probleemidest koos lahendustega

Leidke kahte punkti (-1, 2) ja (2, 1) läbiva sirge võrrand.

Lahendus.

Vastavalt Eq.

sellesse uskudes x 1 = -1, y 1 = 2, x 2 = 2, y 2 = 1 (pole vahet, millist punkti peetakse esimeseks ja millist teiseks), saame

pärast lihtsustusi saame lõpliku nõutava võrrandi kujul

x + 3y - 5 = 0.

Kolmnurga küljed on antud võrranditega: (AB ) 2 x + 4 y + 1 = 0, (A.C. ) x - y + 2 = 0, (B.C. ) 3 x + 4 y -12 = 0. Leidke kolmnurga tippude koordinaadid.

Lahendus.

Tipu koordinaadid A leiame, lahendades külgede võrranditest koosneva süsteemi AB Ja A.C.:

Lahendame kahe tundmatuga lineaarvõrrandi süsteemi elementaaralgebrast tuntud meetoditega ja saame

Tipp A on koordinaadid

Tipu koordinaadid B leiame poolte võrrandisüsteemi lahendades AB Ja B.C.:

saame vastu.

Tipu koordinaadid C saame külgede võrrandisüsteemi lahendamisel B.C. Ja A.C.:

Tipp C on koordinaadid.

A (2, 5) paralleelselt joonega 3x - 4 y + 15 = 0.

Lahendus.

Tõestame, et kui kaks sirget on paralleelsed, siis saab nende võrrandeid alati esitada nii, et need erinevad ainult oma vabade liikmete poolest. Tõepoolest, kahe sirge paralleelsuse tingimusest järeldub, et.

Tähistame tähisega t nende suhete üldine väärtus. Siis

ja sellest järeldub, et

A 1 = A 2 t, B 1 = B 2 t. (1)

Kui kaks rida

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ja

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

on paralleelsed, on täidetud tingimused (1) ja asendades esimese neist võrranditest A 1 ja B 1 vastavalt valemitele (1), saame

A 2 tx + B 2 ty + C 1 = 0,

või jagades võrrandi mõlemad pooled , saame

Saadud võrrandi võrdlemine teise sirge võrrandiga A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, märgime, et need võrrandid erinevad ainult vaba liikme poolest; Seega oleme tõestanud, mida on vaja. Nüüd alustame probleemi lahendamisega. Kirjutame soovitud sirge võrrandi nii, et see erineks antud sirge võrrandist ainult vaba liikme võrra: võtame sellest võrrandist soovitud võrrandi kaks esimest liiget ja tähistame selle võrrandit. vaba tähtaeg poolt C. Seejärel kirjutatakse vormile nõutav võrrand

3x - 4y + C = 0, (3)

ja tuleb kindlaks määrata C.

Võrrandis (3) väärtuse andmine C kõik võimalikud reaalväärtused, saame antud sirgega paralleelsete sirgete hulga. Seega on võrrand (3) võrrand mitte ühest sirgest, vaid tervest sirgete perekonnast, mis on paralleelsed antud sirgega 3 x - 4y+ 15 = 0. Sellest joonte perekonnast peaksime valima selle, mis läbib punkti A(2, 5).

Kui sirge läbib punkti, peavad selle punkti koordinaadid vastama sirge võrrandile. Ja seetõttu me otsustame C, kui punktis (3) asendame praeguste koordinaatide asemel x Ja y punkti koordinaadid A, st. x = 2, y= 5. Saame ja C = 14.

Leitud väärtus C asendage (3) ja nõutav võrrand kirjutatakse järgmiselt:

3x - 4y + 14 = 0.

Sama probleemi saab lahendada ka muul viisil. Kuna paralleelsete sirgete nurkkoefitsiendid on üksteisega võrdsed ja antud sirge korral 3 x - 4y+ 15 = 0 kalle, siis on ka soovitud sirge kalle võrdne.

Nüüd kasutame võrrandit y - y 1 = k(x - x 1) hunnik sirgeid jooni. Punkt A(2, 5), mida sirge läbib, on meile teada ja seetõttu asendatakse see sirgjoonte pliiatsi võrrandiga y - y 1 = k(x - x 1) väärtused, saame

või pärast lihtsustusi 3 x - 4y+ 14 = 0, st sama, mis enne.

Leidke punkti läbivate sirgete võrrandidA (3, 4) 60-kraadise nurga all sirge 2 suhtesx + 3 y + 6 = 0.

Lahendus.

Ülesande lahendamiseks peame määrama joonte I ja II nurkkoefitsiendid (vt joonist). Tähistame neid koefitsiente vastavalt tähisega k 1 ja k 2 ja selle joone nurgakoefitsient on läbi k. On ilmne, et.

Lähtudes kahe sirge vahelise nurga definitsioonist, järgin antud sirge ja sirge vahelise nurga määramisel valemis murru lugejas

lahutage selle sirge kalle, kuna seda tuleb punkti ümber pöörata vastupäeva C kuni see langeb kokku sirgjoonega I.

Seda arvestades saame

II sirge ja antud sirge vahelise nurga määramisel tuleks sama murru lugejas lahutada II sirge nurkkoefitsient, s.o. k 2, kuna joont II tuleks pöörata punkti ümber vastupäeva B kuni see langeb kokku selle reaga:

Leidke punkti läbiva sirge võrrandA (5, -1) risti joonega 3x - 7 y + 14 = 0.

Lahendus.

Kui kaks rida

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

on risti, siis võrdsus

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0,

või mis on sama,

A 1 A 2 = -B 1 B 2 ,

ja sellest järeldub, et

Nende väljendite üldist tähendust tähistame tähisega t.

Siis järgneb sellest

A 2 = B 1 t, B 2 = -A 1 t.

Nende väärtuste asendamine A 2 ja B 2 ja teise rea võrrandi saame

B 1 tx - A 1 ty + C 2 = 0.

või jagades t võrdsuse mõlemad pooled on meil olemas

Saadud võrrandi võrdlemine esimese sirge võrrandiga

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

märkame, et nende koefitsiendid juures x Ja y on kohad vahetanud ning märk esimese ja teise termini vahel on muutunud vastupidiseks, kuid vabad terminid on erinevad.

Alustame nüüd probleemi lahendamisega. Soovides kirjutada joonega 3 risti oleva sirge võrrandi x - 7y+ 14 = 0, lähtudes ülaltoodud järeldusest, toimime järgmiselt: vahetame koefitsiendid vastu x Ja y ja asendage nendevaheline miinusmärk plussmärgiga ning tähistage vaba terminit tähega C. Saame 7 x + 3y + C= 0. See võrrand on joonega 3 risti olevate joonte perekonna võrrand x - 7y+ 14 = 0. Defineeri C tingimusest, et soovitud sirge läbib punkti A(5, -1). On teada, et kui sirge läbib punkti, siis peavad selle punkti koordinaadid rahuldama sirge võrrandit. Asendades 5 viimase võrrandi asemel x ja selle asemel -1 y, saame

See on tähendus C Asendage viimane võrrand ja saate

7x + 3y - 32 = 0.

Lahendame sama probleemi erineval viisil, kasutades selleks sirgjoonte pliiatsi võrrandit

y - y 1 = k(x - x 1).

Selle joone kalle on 3 x - 7y + 14 = 0

siis sellega risti oleva sirge nurgategur,

Asendades sirgjoonte pliiatsi võrrandi , ja selle asemel x 1 ja y 1 selle punkti koordinaadid A(5, -1), leidke või 3 y + 3 = -7x+ 35 ja lõpuks 7 x + 3y- 32 = 0, st sama, mis varem.

Võrrandid kurve on palju majandusalast kirjandust lugedes osutame mõnele neist kõveratest.

Ükskõiksuse kõver - kõver, mis näitab kahe toote erinevaid kombinatsioone, millel on tarbija jaoks sama väärtus või kasulikkus.

Tarbija eelarve kõver - kõver, mis näitab kahe kauba koguste erinevaid kombinatsioone, mida tarbija saab oma raha sissetuleku teatud tasemel osta.

Tootmisvõimaluste kõver - kõver, mis näitab kahe kauba või teenuse erinevaid kombinatsioone, mida on võimalik toota täistööhõive ja täistoodangu tingimustes pideva ressursside varude ja pideva tehnoloogiaga majanduses.

Investeeringute nõudluse kõver - kõver, mis näitab intressimäära dünaamikat ja investeeringute mahtu erinevate intressimäärade juures.

Phillipsi kõver- kõver, mis näitab stabiilse seose olemasolu töötuse määra ja inflatsioonimäära vahel.

Lafferi kõver- kõver, mis näitab maksumäärade ja maksutulude vahelist seost, identifitseerides maksumäära, mille juures maksutulud saavutavad maksimumi.

Juba lihtne terminite loetelu näitab, kui oluline on majandusteadlaste jaoks võimalus koostada graafikuid ja analüüsida kõverate võrrandeid, näiteks sirgeid ja teist järku kõveraid – ring, ellips, hüperbool, parabool. Lisaks tuleb suure klassi ülesannete lahendamisel valida tasapinnal mingi kõveraga piiratud ala, mille võrrandid on antud Enamasti formuleeritakse need ülesanded järgmiselt: leida antud ressursside jaoks parim tootmisplaan. Ressursside määramine toimub tavaliselt võrratuste kujul, mille võrrandid on antud. Seetõttu peame otsima võrratussüsteemi võrranditega määratud piirkonnas teatud funktsiooni poolt võetud suurimaid või väikseimaid väärtusi.

Analüütilises geomeetrias joon lennukis on määratletud kui punktide kogum, mille koordinaadid vastavad võrrandile F(x,y)=0. Sel juhul tuleb funktsioonile F seada piirangud, et ühelt poolt oleks sellel võrrandil lõpmatu hulk lahendeid ja teisest küljest, et see lahenduste hulk ei täidaks “tasapinna tükki .” Oluline joonte klass on need, mille puhul funktsioon F(x,y) on polünoom kahes muutujas, mille puhul nimetatakse võrrandiga F(x,y)=0 defineeritud sirget. algebraline. Esimese astme võrrandiga määratletud algebralised jooned on sirged. Teise astme võrrand, millel on lõpmatu arv lahendeid, määratleb ellipsi, hüperbooli, parabooli või sirge, mis jaguneb kaheks sirgeks.

Olgu tasapinnal määratud ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem. Tasapinna sirge saab määrata ühe võrrandiga:

10 . Sirge üldvõrrand

Ax + By + C = 0. (2.1)

Vektor n(A,B) on sirgega ortogonaalne, arvud A ja B ei ole korraga võrdsed nulliga.

20 . Sirge ja kalde võrrand

y - y o = k (x - x o), (2.2)

kus k on sirge kalle, st k = tg a , kus a - nurga suurus, mille moodustab sirge teljega Ox, M (x o, y o) - mingi sirge juurde kuuluv punkt.

Võrrand (2.2) on kujul y = kx + b, kui M (0, b) on sirge ja Oy telje lõikepunkt.

kolmkümmend . Sirge võrrand segmentides

x/a + y/b = 1, (2.3)

kus a ja b on koordinaattelgedel sirgjoonega ära lõigatud segmentide väärtused.

4 0 . Kaht antud punkti läbiva sirge võrrand on A(x 1, y 1) ja B(x 2, y 2):

. (2.4)

50 . Antud vektoriga paralleelset punkti A(x 1, y 1) läbiva sirge võrrand a(m, n)

. (2.5)

6 0 . Sirge normaalvõrrand

rn o - p = 0, (2,6)

Kus r- selle sirge suvalise punkti M(x, y) raadius, n o on ühikvektor, mis on selle sirgega risti ja on suunatud alguspunktist sirgele; p on kaugus lähtepunktist sirgjooneni.

Koordinaatide kujul olev normaal on kujul:

x cos a + y sin a - p = 0,

kus a - nurga suurus, mille moodustab sirgjoon Ox-teljega.

Punkti A(x 1, y 1) keskpunktiga joonte pliiatsi võrrand on järgmine:

y-y 1 = l (x-x 1),

kus l - tala parameeter. Kui tala on defineeritud kahe ristuva sirgega A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, siis on selle võrrand järgmine:

l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2) = 0,

kus l ja m - kiire parameetrid, mis ei muutu samal ajal 0-ks.

Sirgete y = kx + b ja y = k 1 x + b 1 vaheline nurk saadakse valemiga:

tg j = .

Võrdsus 1 + k 1 k = 0 on sirgete perpendikulaarsuse vajalik ja piisav tingimus.

Selleks, et kaks võrrandit

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2.7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)

sama sirge korral on vajalik ja piisav, et nende koefitsiendid oleksid proportsionaalsed:

A 1 /A 2 = B 1 / B 2 = C 1 / C 2.

Võrrandid (2.7), (2.8) määratlevad kaks erinevat paralleelset sirget, kui A 1 /A 2 = B 1 /B 2 ja B 1 /B 2¹ C1/C2; sirged lõikuvad, kui A 1 /A 2¹B 1 / B 2 .

Kaugus d punktist M o (x o, y o) sirgjooneni on punktist M o sirgele tõmmatud risti pikkus. Kui sirge on antud normaalvõrrandiga, siis d =ê r O n o - r ê , Kus r o - punkti M o raadiuse vektor või koordinaatide kujul d =ê x o cos a + y o sin a - р ê .

Teist järku kõvera üldvõrrandil on vorm

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y +a = 0.

Eeldatakse, et võrrandi koefitsientide a 11, a 12, a 22 hulgas on nullist erinevad ühed.

Ringjoone võrrand, mille keskpunkt on punktis C(a, b) ja raadius on võrdne R:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = R2. (2.9)

Ellipson punktide asukoht, mille kauguste summa kahest antud punktist F 1 ja F 2 (fookused) on konstantne väärtus, mis võrdub 2a.

Ellipsi kanooniline (lihtsaim) võrrand

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

Võrrandiga (2.10) antud ellips on koordinaatide telgede suhtes sümmeetriline. Valikud a Ja b kutsutakse telje võllid ellips.

Olgu a>b, siis fookused F 1 ja F 2 asuvad Ox-teljel kaugel
c= päritolust. Suhe c/a = e < 1 называется ekstsentrilisus ellips. Kaugused ellipsi punktist M(x, y) selle fookustesse (fookusraadiuse vektorid) määratakse valemitega:

r 1 = a - e x, r 2 = a + e x.

Kui a< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 = b + e x, r 2 = b - e x.

Kui a = b, siis on ellips ring, mille keskpunkt on raadiuse alguspunktis a.

Hüperboolon punktide asukoht, mille kauguste erinevus kahest antud punktist F 1 ja F 2 (fookused) on absoluutväärtuses võrdne antud arvuga 2a.

Kanooniline hüperbooli võrrand

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

Võrrandiga (2.11) antud hüperbool on sümmeetriline koordinaattelgede suhtes. See lõikub Ox-teljega punktides A (a,0) ja A (-a,0) – hüperbooli tippudes ning ei lõiku Oy teljega. Parameeter a helistas tõeline pooltelg, b -kujuteldav pooltelg. Parameeter c= on kaugus fookusest lähtepunktini. Suhe c/a = e >1 kutsutakse ekstsentrilisus hüperbool. Sirged, mille võrrandid on y =± b/a x nimetatakse asümptoodid hüperbool. Kaugused hüperbooli punktist M(x,y) selle fookustesse (fookusraadiuse vektorid) määratakse valemitega:

r 1 = ê e x - a ê , r 2 = ê e x + a ê .

Hüperbool, mille jaoks kutsutakse a = b võrdkülgsed, selle võrrand x 2 - y 2 = a 2 ja asümptootide võrrand y =± x. Hüperboolid x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 ja
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 nimetatakse konjugeeritud.

Paraboolon antud punktist (fookusest) ja antud sirgest (suunast) võrdselt kaugel olevate punktide asukoht.

Parabooli kanoonilisel võrrandil on kaks vormi:

1) y 2 = 2рx - parabool on sümmeetriline Hrja telje suhtes.

2) x 2 = 2рy - parabool on sümmeetriline Oy telje suhtes.

Mõlemal juhul paikneb algpunktis p>0 ja parabooli tipp ehk sümmeetriateljel asuv punkt.

Parabool, mille võrrandil y 2 = 2рx on fookus F(р/2,0) ja suund x = - р/2, sellel oleva punkti M(x,y) fookusraadiuse vektor on r = x+ р/ 2.

Parabool, mille võrrandil x 2 =2рy on fookus F(0, р/2) ja suund y = - р/2; parabooli punkti M(x,y) fookusraadiuse vektor on võrdne r = y + p/2.

Võrrand F(x, y) = 0 määrab sirge, mis jagab tasapinna kaheks või enamaks osaks. Mõnes neist osadest on ebavõrdsus F(x, y) täidetud<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Teisisõnu, joon
F(x, y)=0 eraldab tasandi osa, kus F(x, y)>0, tasandi osast, kus F(x, y)<0.

Sirge, mille võrrand on Ax+By+C = 0, jagab tasandi kaheks pooltasandiks. Praktikas selleks, et teada saada, millises pooltasandis on meil Ax+By+C<0, а в какой Ax+By+C>0, kasutatakse kontrollpunkti meetodit. Selleks võtke kontrollpunkt (loomulikult mitte sirgel, mille võrrand on Ax+By+C = 0) ja kontrollige, mis märk on avaldisel Ax+By+C selles punktis. Samal märgil on näidatud avaldis kogu pooltasandil, kus asub kontrollpunkt. Teisel pooltasandil on Ax+By+C vastupidine märk.

Samamoodi lahendatakse mittelineaarsed võrratused kahe tundmatuga.

Lahendame näiteks võrratuse x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. Selle saab ümber kirjutada kujul (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.

Võrrand (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 määratleb ringi, mille keskpunkt on punktis C(2,-3) ja raadius on 5. Ringjoon jagab tasapinna kaheks osaks – sisemiseks ja välised. Et teada saada, millisele neist see ebavõrdsus kehtib, võtke sisepiirkonnas kontrollpunkt, näiteks meie ringi keskpunkt C(2,-3). Asendades punkti C koordinaadid võrratuse vasakpoolsesse külge, saame negatiivse arvu -25. See tähendab, et kõikides punktides, mis asuvad ringi sees, on ebavõrdsus
x 2 -4x+y 2 +6a-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Näide 1.5.Kirjutage üles punkti A(3,1) läbivate ja sirgele 2x+3y-1 = 0 45o nurga all kallutatud sirgete võrrandid.

Lahendus.Otsime kujul y=kx+b. Kuna sirge läbib punkti A, siis rahuldavad selle koordinaadid sirge võrrandit, s.t. 1=3k+b,Þ b = 1-3k. Sirgete vahelise nurga suurus
y= k 1 x+b 1 ja y= kx+b määratakse valemiga tg j = . Kuna algse sirge 2x+3y-1=0 nurgakoefitsient k 1 on võrdne - 2/3 ja nurk j = 45 o, siis on meil võrrand k määramiseks:

(2/3 + k)/(1 - 2/3 k) = 1 või (2/3 + k)/(1 - 2/3 k) = -1.

Meil on kaks k väärtust: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Leides b vastavad väärtused valemiga b=1-3k, saame kaks soovitud sirget, mille võrrandid on: x - 5y + 2 = 0 ja
5x + y - 16 = 0.

Näide 1.6. Millise parameetri väärtusega t kas sirged, mille võrrandid 3tx-8y+1 = 0 ja (1+t)x-2ty = 0 on paralleelsed?

Lahendus.Üldvõrranditega määratletud sirged on paralleelsed, kui koefitsiendid x Ja y on proportsionaalsed, s.t. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Lahendades saadud võrrandi, leiame t: t 1 = 2, t 2 = -2/3.

Näide 1.7. Leidke kahe ringi ühise akordi võrrand:
x 2 +y 2 =10 ja x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.

Lahendus.Leiame selleks ringide lõikepunktid, lahendame võrrandisüsteemi:

.

Esimese võrrandi lahendamisel leiame väärtused x 1 = 3, x 2 = 1. Teisest võrrandist - vastavad väärtused y: y 1 = 1, y 2 = 3. Nüüd saame üldise kõõlu võrrandi, teades kahte sellele reale kuuluvat punkti A(3,1) ja B(1,3): (y-1)/(3 -1) = (x-3)/(1-3) või y+ x - 4 = 0.

Näide 1.8. Kuidas paiknevad tasapinnal punktid, mille koordinaadid vastavad tingimustele (x-3) 2 + (y-3) 2< 8, x >y?

Lahendus.Süsteemi esimene ebavõrdsus määrab ringi sisemuse, ilma piirita, s.t. ring, mille keskpunkt on punktis (3,3) ja raadius . Teine võrratus määratleb pooltasandi, mille määrab sirge, mille võrrand on x = y, ja kuna ebavõrdsus on range, siis sirge enda punktid ei kuulu pooltasandisse ja kõik punktid, mis jäävad selle sirge alla, kuuluvad poollennuk. Kuna me otsime punkte, mis rahuldavad mõlemat ebavõrdsust, on otsitav ala poolringi sisemus.

Näide 1.9.Arvutage ruudu külje pikkus, mis on kantud ellipsisse, mille võrrand on x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.

Lahendus.Lase M(s, s)- ruudu tipp, mis asub esimesel veerandil. Siis on ruudu külg võrdne 2-ga Koos. Sest punkt M kuulub ellipsi alla, selle koordinaadid rahuldavad ellipsi võrrandit c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, kust
c = ab/ ; See tähendab, et ruudu külg on 2ab/.

Näide 1.10.Hüperbooli y = asümptootide võrrandi tundmine± 0,5 x ja üks selle punktidest M(12, 3), moodustavad hüperbooli võrrandi.

Lahendus.Kirjutame hüperbooli kanoonilise võrrandi: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Hüperbooli asümptoodid on antud võrranditega y =± 0,5 x, mis tähendab b/a = 1/2, kust a=2b. Kuna M on hüperboolpunkt, siis selle koordinaadid rahuldavad hüperbooli võrrandit, s.t. 144/a 2 - 27/b 2 = 1. Arvestades, et a = 2b, leiame b: b 2 =9Þ b = 3 ja a = 6. Siis on hüperbooli võrrand x 2 /36 - y 2 /9 = 1.

Näide 1.11.Arvutage parameetriga parabooli sisse kirjutatud korrapärase kolmnurga ABC külje pikkus R, eeldades, et punkt A langeb kokku parabooli tipuga.

Lahendus.Parabooli kanooniline võrrand parameetriga R on kujul y 2 = 2рx, selle tipp langeb kokku alguspunktiga ja parabool on sümmeetriline abstsisstelje suhtes. Kuna sirge AB moodustab Ox-teljega 30 o nurga, on sirgjoone võrrand järgmine: y = x. suur hulk graafikuid

Seetõttu saame punkti B koordinaadid leida, lahendades võrrandisüsteemi y 2 = 2рx, y = x, millest x = 6р, y = 2р. See tähendab, et punktide A(0,0) ja B(6р,2р) vaheline kaugus on võrdne 4р-ga.

Punkti K(x 0 ; y 0) läbiv sirge y = kx + a paralleelne sirge leitakse valemiga:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Kus k on sirge kalle.

Alternatiivne valem:
Punkti M 1 (x 1 ; y 1) läbiv sirge Ax+By+C=0 paralleelne sirge esitatakse võrrandiga

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0. (2)

Näide nr 1. Kirjutage võrrand sirge jaoks, mis läbib punkti M 0 (-2,1) ja samal ajal:
a) paralleelselt sirgega 2x+3y -7 = 0;
b) risti sirgjoonega 2x+3a -7 = 0.
Lahendus . Esitame kaldega võrrandit kujul y = kx + a. Selleks liigutage kõik väärtused, välja arvatud y, paremale: 3y = -2x + 7 . Seejärel jagage parem pool koefitsiendiga 3. Saame: y = -2/3x + 7/3
Leiame võrrandi NK, mis läbib punkti K(-2;1), mis on paralleelne sirgega y = -2 / 3 x + 7 / 3
Asendades x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1, saame:
y-1 = -2/3 (x-(-2))
või
y = -2/3 x -1/3 või 3a + 2x +1 = 0

Näide nr 2. Kirjutage joonega 2x + 5y = 0 paralleelse sirge võrrand, mis moodustab koos koordinaattelgedega kolmnurga, mille pindala on 5.
Lahendus . Kuna sirged on paralleelsed, on soovitud sirge võrrand 2x + 5y + C = 0. Täisnurkse kolmnurga pindala, kus a ja b on selle jalad. Leiame soovitud sirge lõikepunktid koordinaattelgedega:
;
.
Niisiis, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Asendame selle ala valemiga: . Saame kaks lahendit: 2x + 5y + 10 = 0 ja 2x + 5y – 10 = 0.

Näide nr 3. Kirjutage võrrand sirgele, mis läbib punkti (-2; 5) ja on paralleelne sirgega 5x-7y-4=0.
Lahendus. Seda sirget saab esitada võrrandiga y = 5/7 x – 4/7 (siin a = 5/7). Soovitud sirge võrrand on y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), s.o. 7(y-5)=5(x+2) või 5x-7y+45=0.

Näide nr 4. Olles lahendanud näite 3 (A=5, B=-7) valemi (2) abil, leiame 5(x+2)-7(y-5)=0.

Näide nr 5. Kirjutage võrrand sirgele, mis läbib punkti (-2;5) ja on paralleelne sirgega 7x+10=0.
Lahendus. Siin A=7, B=0. Valem (2) annab 7(x+2)=0, st. x+2=0. Valem (1) ei ole rakendatav, kuna seda võrrandit ei saa lahendada y suhtes (see sirgjoon on paralleelne ordinaatteljega).