Matemaatika tund. Teema: "Funktsioon y=sin x, selle omadused ja graafik"

Selles õppetükis vaatleme üksikasjalikult funktsiooni y = sin x, selle põhiomadusi ja graafikut. Tunni alguses anname koordinaatringil trigonomeetrilise funktsiooni y = sin t definitsiooni ning vaatleme funktsiooni graafikut ringil ja sirgel. Näitame graafikul selle funktsiooni perioodilisust ja vaatleme funktsiooni põhiomadusi. Tunni lõpus lahendame funktsiooni ja selle omaduste graafiku abil mitmeid lihtsaid ülesandeid.

Teema: Trigonomeetrilised funktsioonid

Õppetund: Funktsioon y=sinx, selle põhiomadused ja graafik

Funktsiooni kaalumisel on oluline seostada iga argumendi väärtus ühe funktsiooni väärtusega. See kirjavahetuse seadus ja seda nimetatakse funktsiooniks.

Määratleme vastavusseaduse .

Iga reaalarv vastab ühikringi ühele punktile. Punktil on üks ordinaat, mida nimetatakse arvu siinuseks (joonis 1).

Iga argumendi väärtus on seotud ühe funktsiooni väärtusega.

Siinuse definitsioonist tulenevad ilmsed omadused.

Joonis näitab seda sest on ühikringjoone punkti ordinaat.

Vaatleme funktsiooni graafikut. Tuletagem meelde argumendi geomeetrilist tõlgendust. Argumendiks on kesknurk, mõõdetuna radiaanides. Piki telge joonistame reaalarvud või nurgad radiaanides, piki telge funktsiooni vastavad väärtused.

Näiteks ühikringi nurk vastab graafiku punktile (joonis 2)

Oleme saanud funktsiooni graafiku piirkonnas, kuid teades siinuse perioodi, saame kujutada funktsiooni graafikut kogu definitsioonipiirkonna ulatuses (joonis 3).

Funktsiooni põhiperiood on See tähendab, et graafikut saab saada segmendi kohta ja seejärel jätkata kogu määratluspiirkonna ulatuses.

Mõelge funktsiooni omadustele:

1) Määratluse ulatus:

2) Väärtuste vahemik:

3) paaritu funktsioon:

4) Väikseim positiivne periood:

5) Graafiku ja abstsisstelje lõikepunktide koordinaadid:

6) Graafiku ja ordinaattelje lõikepunkti koordinaadid:

7) Intervallid, mille jooksul funktsioon võtab positiivseid väärtusi:

8) Intervallid, mille jooksul funktsioon võtab negatiivseid väärtusi:

9) intervallide suurendamine:

10) Vähenevad intervallid:

11) Miinimumpunktid:

12) Minimaalsed funktsioonid:

13) Maksimaalsed punktid:

14) Maksimaalsed funktsioonid:

Vaatasime funktsiooni ja selle graafiku omadusi. Omadusi kasutatakse probleemide lahendamisel korduvalt.

Bibliograafia

1. Algebra ja analüüsi algus, hinne 10 (kahes osas). Õpik üldharidusasutustele (profiilitasand), toim. A. G. Mordkovitš. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra ja analüüsi algus, hinne 10 (kahes osas). Probleemiraamat haridusasutustele (profiilitasand), toim. A. G. Mordkovitš. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra ja matemaatiline analüüs 10. klassile (õpik matemaatika süvaõppega koolide ja klasside õpilastele - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitski M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Algebra ja matemaatilise analüüsi süvaõpe.-M.: Haridus, 1997.

5. Matemaatika ülesannete kogumik kõrgkoolidesse sisseastujatele (toimetanud M.I. Skanavi - M.: Kõrgkool, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraline simulaator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleemid algebra ja analüüsi põhimõtete kohta (käsiraamat üldharidusasutuste 10.–11. klassi õpilastele - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Ülesannete kogumik algebra ja analüüsi põhimõtete kohta: õpik. toetus 10-11 klassile. sügavusega uurinud Matemaatika.-M.: Haridus, 2006.

Kodutöö

Algebra ja analüüsi algus, hinne 10 (kahes osas). Probleemiraamat haridusasutustele (profiilitasand), toim.

A. G. Mordkovitš. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Täiendavad veebiressursid

3. Haridusportaal eksamiteks valmistumiseks ().

Saime teada, et trigonomeetriliste funktsioonide käitumine ja funktsioonid y = sin x eriti, tervel arvureal (või argumendi kõigi väärtuste jaoks X) on täielikult määratud selle käitumisega intervallis 0 < X < π / 2 .

Seetõttu joonistame kõigepealt funktsiooni y = sin x täpselt selles intervallis.

Teeme järgmise oma funktsiooni väärtuste tabeli;

Märkides koordinaattasandile vastavad punktid ja ühendades need sujuva joonega, saame joonisel kujutatud kõvera

Saadud kõvera saab koostada ka geomeetriliselt, ilma funktsiooni väärtuste tabelit koostamata y = sin x .

1. Jaga 1 raadiusega ringi esimene veerand 8 võrdseks osaks Ringi jaotuspunktide ordinaadid on vastavate nurkade siinused.

2. Ringjoone esimene veerand vastab nurkadele 0 kuni π / 2 . Seetõttu teljel X Võtame segmendi ja jagame selle 8 võrdseks osaks.

3. Joonistame telgedega paralleelsed sirged X, ja jagamispunktidest konstrueerime perpendikulaarid, kuni need ristuvad horisontaalsete joontega.

4. Ühendage ristumiskohad sujuva joonega.

Vaatame nüüd intervalli π / 2 < X < π .
Iga argumendi väärtus X sellest intervallist saab esitada kui

x = π / 2 + φ

Kus 0 < φ < π / 2 . Reduktsioonivalemite järgi

patt ( π / 2 + φ ) = cos φ = patt ( π / 2 - φ ).

Telje punktid X abstsissidega π / 2 + φ Ja π / 2 - φ telje punkti suhtes sümmeetrilised X abstsissiga π / 2 , ja siinused nendes punktides on samad. See võimaldab meil saada funktsiooni graafiku y = sin x intervallil [ π / 2 , π ], kuvades lihtsalt sümmeetriliselt selle funktsiooni graafiku intervallis sirgjoone suhtes X = π / 2 .

Nüüd vara kasutuses paaritu paarsusfunktsioon y = sin x,

patt (- X) = - patt X,

seda funktsiooni on lihtne joonistada intervallisse [- π , 0].

Funktsioon y = sin x on perioodiline perioodiga 2π ;. Seetõttu piisab selle funktsiooni kogu graafiku koostamiseks, kui jätkata joonisel näidatud kõverat perioodiliselt punktiga vasakule ja paremale. 2π .

Saadud kõverat nimetatakse sinusoid . See on funktsiooni graafik y = sin x.

Joonis illustreerib hästi kõiki funktsiooni omadusi y = sin x , mida oleme varem tõestanud. Meenutagem neid omadusi.

1) Funktsioon y = sin x määratletud kõigi väärtuste jaoks X , seega on selle domeen kõigi reaalarvude hulk.

2) Funktsioon y = sin x piiratud. Kõik väärtused, mida see aktsepteerib, on vahemikus -1 kuni 1, sealhulgas need kaks numbrit. Järelikult määrab selle funktsiooni variatsioonivahemiku võrratus -1 < juures < 1. Millal X = π / 2 + 2k π funktsioon võtab suurimad väärtused 1 ja x = - π / 2 + 2k π - väikseimad väärtused on võrdsed -1.

3) Funktsioon y = sin x on paaritu (siinuslaine on alguspunkti suhtes sümmeetriline).

4) Funktsioon y = sin x perioodiline perioodiga 2 π .

5) 2n intervalliga π < x < π + 2n π (n on mis tahes täisarv) see on positiivne ja intervallides π + 2k π < X < 2π + 2k π (k on suvaline täisarv) see on negatiivne. Kui x = k π funktsioon läheb nulli. Seetõttu on need argumendi x väärtused (0; ± π ; ±2 π ; ...) nimetatakse funktsiooni nullideks y = sin x

6) intervallidega - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funktsiooni y = patt x suureneb monotoonselt ja intervallidega π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π see väheneb monotoonselt.

Peaksite pöörama erilist tähelepanu funktsiooni käitumisele y = sin x punkti lähedal X = 0 .

Näiteks sin 0,012 ≈ 0,012; sin(-0,05) ≈ -0,05;

sin 2° = patt π 2 / 180 = patt π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Siiski tuleb märkida, et mis tahes x väärtuste puhul

| patt x| < | x | . (1)

Tõepoolest, olgu joonisel näidatud ringi raadius võrdne 1-ga,
a / AOB = X.

Siis pattu x= AC. Aga AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Selle kaare pikkus on ilmselt võrdne X, kuna ringi raadius on 1. Seega 0 juures< X < π / 2

sin x< х.

Seega funktsiooni veidruse tõttu y = sin x on lihtne näidata, et kui - π / 2 < X < 0

| patt x| < | x | .

Lõpuks, millal x = 0

| sin x | = | x |.

Seega | X | < π / 2 ebavõrdsus (1) on tõestatud. Tegelikult kehtib see ebavõrdsus ka | x | > π / 2 tänu sellele, et | patt X | < 1, a π / 2 > 1

Harjutused

1.Vastavalt funktsiooni graafikule y = sin x määrake: a) sin 2; b) patt 4; c) patt (-3).

2.Vastavalt funktsioonigraafikule y = sin x määrata, milline number intervallist
[ - π / 2 , π / 2 ] siinus on võrdne: a) 0,6; b) -0,8.

3. Funktsiooni graafiku järgi y = sin x määrake, millistel arvudel on siinus,
võrdne 1/2-ga.

4. Leia ligikaudne (tabeleid kasutamata): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) sin (-2°30").

X y O Ühik trigonomeetriline ring

3 =180 3,14 rad R R О Р М R Vaatleme ringi raadiusega R. Konstrueeri MOP: МР = R 1 radiaan МОР väärtus on võrdne 1 radiaaniga МР =1rad МОР 57 17= 1rad Radiaan nurga mõõt

4 Ringjoone ümbermõõt on väljendatud valemiga C=2 R, kus R on ringi raadius. 3, Ringi, mille raadius võrdub 1-ga, nimetatakse... Punktideks M, P, K, N - nimetame neid sõlmepunktideks. Märgime punktid A, B, C. Ühikringi pikkust on mugav mõõta radiaanides. Kui R=1, siis C=2 rad! Nimetus radiaanid jäetakse tavaliselt välja. y x K R S V A Poolringjoone kaare pikkus võrdub rad. M N rad – veerand ümbermõõdust rad – kolmveerand ümbermõõdust Umbes 1 ühik Radiaan nurga mõõt uk-märk uk-margin-small-right"> 5 Kraadimõõt Radiaanimõõt0 Seega saab määrata nii punkti pöördenurga väärtuse kui ka ühikulise ringi kaare suuruse: I veerand II veerand III veerand IV veerand O kraadimõõt radiaanis Nurga radiaanmõõt 0 2 I veerand II kvartal III veerand IV kvartal O 2

6 "Keerake" ring nagu niit lahti koordinaatkiirele, mille alguspunkt on 0. Teeme vastavuse arvjoonel olevate reaalarvude hulga ja ühikringi punktide vahel. Seda “lahti keeramist” võib lõputult jätkata. 3.14 0 Graafiku joonistamine x y=sin x

13 Graafikute teisendus Funktsioon Teisendus 1 y= f (x) + mParalleelne ülekanne piki OY telge m ühiku võrra 2 y= f (x – n) Paralleelne ülekanne piki OX telge n ühiku võrra 3 y=A f (x) Venitamine piki OY-telge OX-telje suhtes A korda 4 y= f (k x) Kokkusurumine piki OX-telge OY-telje suhtes k korda 5 y= – f (x) Sümmeetriline peegeldus OX-telje suhtes 6 y= f (– x) Sümmeetriline peegeldus OY-telje suhtes y =f(x)

20 Koostame graafiku funktsioonist y= 3 sin(2x+ /3)–2 Ehitusetapid: 1. y= sin x – siinus 3. y= sin(2x+ /3) – liigu /3 ühikut vasakule 4. y= 3 sin( 2x+ /3) – venitus 3 korda mööda Oy telge 2. y= sin 2x – kokkusurumine 2 korda mööda Ox telge 5. y= 3 sin(2x+ /3)–2 – ülekanne 2 võrra ühikud alla

26 Graafikute teisendus Funktsioon Teisendus 1 y=sin(kx) Kokkusurumine piki OX-telge OY-telje suhtes k korda 2 y=sin(x–m) Paralleeltransport piki OX-telge m ühiku võrra 3 y=A sin x Venitamine piki OY-telge suhteline OX-telg ühikutes A korda 4 y=sin x+nparalleelne translatsioon piki OY-telge n ühiku võrra 5 y= – sin x Sümmeetriline peegeldus OX-telje suhtes 6 y= sin (–x) Sümmeetriline peegeldus OY telg y = Asin(kx–n )+m
28 1. Funktsioon y=sin x eksisteerib kõigi x reaalväärtuste korral ja selle graafik on pidev joon (ilma katkestusteta), s.o. funktsioon on pidev. 2.Funktsioon y=sin x on paaritu, selle graafik on sümmeetriline alguspunkti suhtes. 3.Suurim ja väikseim väärtus. Funktsiooni sinx kõik võimalikud väärtused on piiratud võrratusega -1 sinx 1 ja 4. Funktsiooni nullpunktid (funktsiooni graafiku lõikepunktid abstsissteljega): sinx=0, kui x= n. (n Z) Funktsiooni y=sinx mõned omadused sin x= – 1, kui sin x=1, kui

Tund ja ettekanne teemal: "Funktsioon y=sin(x). Definitsioonid ja omadused"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove! Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.

Käsiraamatud ja simulaatorid veebipoes Integral 10. klassile alates 1C
Lahendame ülesandeid geomeetrias. Interaktiivsed ehitusülesanded 7.-10. klassile
Tarkvarakeskkond "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Mida me uurime:

• Funktsiooni Y=sin(X) omadused.
• Funktsioonide graafik.
• Kuidas koostada graafikut ja selle skaala.
• Näited.

Siinuse omadused. Y=sin(X)

Poisid, oleme juba tutvunud numbrilise argumendi trigonomeetriliste funktsioonidega. Kas sa mäletad neid?

Vaatame lähemalt funktsiooni Y=sin(X)

Kirjutame üles selle funktsiooni mõned omadused:
1) Määratluspiirkond on reaalarvude hulk.
2) Funktsioon on paaritu. Meenutagem paaritu funktsiooni määratlust. Funktsiooni nimetatakse paarituks, kui võrdus kehtib: y(-x)=-y(x). Nagu mäletame kummitusvalemitest: sin(-x)=-sin(x). Definitsioon on täidetud, mis tähendab, et Y=sin(X) on paaritu funktsioon.
3) Funktsioon Y=sin(X) suureneb lõigul ja väheneb lõigul [π/2; π]. Kui liigume mööda esimest kvartalit (vastupäeva), siis ordinaat tõuseb ja teisest kvartalist läbi liikudes väheneb.

4) Funktsioon Y=sin(X) on piiratud alt ja ülalt. See omadus tuleneb asjaolust, et
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Funktsiooni väikseim väärtus on -1 (at x = - π/2+ πk). Funktsiooni suurim väärtus on 1 (at x = π/2+ πk).

Kasutame omadusi 1-5 funktsiooni Y=sin(X) joonistamiseks. Koostame oma graafiku järjestikku, rakendades oma omadusi. Alustame segmendi graafiku koostamist.

Erilist tähelepanu tuleks pöörata skaalale. Ordinaatteljel on mugavam võtta ühikuline segment, mis on võrdne 2 lahtriga, ja abstsissteljele on mugavam võtta ühikuline segment (kaks lahtrit), mis on võrdne π/3-ga (vt joonist).

Siinusfunktsiooni x joonistamine, y=sin(x)

Arvutame oma segmendi funktsiooni väärtused:

Koostame oma punktide abil graafiku, võttes arvesse kolmandat omadust.

Kummitusvalemite teisendustabel

Kasutame teist omadust, mis ütleb, et meie funktsioon on paaritu, mis tähendab, et seda saab peegeldada sümmeetriliselt lähtekoha suhtes:

Teame, et sin(x+ 2π) = sin(x). See tähendab, et intervallil [- π; π] graafik näeb välja sama, mis lõigul [π; 3π] või või [-3π; - π] ja nii edasi. Meil tuleb vaid eelmisel joonisel olev graafik kogu x-telje ulatuses hoolikalt ümber joonistada.

Funktsiooni Y=sin(X) graafikut nimetatakse sinusoidiks.

Kirjutame konstrueeritud graafiku järgi veel mõned omadused:
6) Funktsioon Y=sin(X) kasvab igal lõigul kujul: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k on täisarv ja väheneb vormi mis tahes segmendil: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – täisarv.
7) Funktsioon Y=sin(X) on pidev funktsioon. Vaatame funktsiooni graafikut ja veendume, et meie funktsioonil pole katkestusi, see tähendab järjepidevust.
8) Väärtuste vahemik: segment [- 1; 1]. See on selgelt näha ka funktsiooni graafikult.
9) Funktsioon Y=sin(X) - perioodiline funktsioon. Vaatame uuesti graafikut ja näeme, et funktsioon võtab teatud ajavahemike järel samu väärtusi.

Siinuse probleemide näited

1. Lahendage võrrand sin(x)= x-π

Lahendus: koostame funktsioonist 2 graafikut: y=sin(x) ja y=x-π (vt joonist).
Meie graafikud lõikuvad ühes punktis A(π;0), see on vastus: x = π

2. Joonistage funktsioon y=sin(π/6+x)-1

Lahendus: soovitud graafik saadakse funktsiooni y=sin(x) graafiku π/6 ühiku võrra vasakule ja 1 ühiku võrra allapoole liigutades.

Lahendus: koostame funktsiooni graafiku ja vaatleme meie lõiku [π/2; 5π/4].
Funktsiooni graafik näitab, et suurimad ja väikseimad väärtused saavutatakse lõigu otstes, vastavalt punktides π/2 ja 5π/4.
Vastus: sin(π/2) = 1 – suurim väärtus, sin(5π/4) = väikseim väärtus.

Siinuse ülesanded iseseisvaks lahendamiseks

• Lahenda võrrand: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Joonistage funktsioon y=sin(π/3+x)-2
• Joonistage funktsioon y=sin(-2π/3+x)+1
• Leia lõigul funktsiooni y=sin(x) suurim ja väikseim väärtus
• Leia funktsiooni y=sin(x) suurim ja väikseim väärtus intervallil [- π/3; 5π/6]

, Konkurss "Esitlus tunni jaoks"

Tunni esitlus

Tagasi edasi

Tähelepanu! Slaidide eelvaated on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada kõiki esitluse funktsioone. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.

Raud roostetab ilma kasutust leidmata,
seisev vesi mädaneb või külmub külma käes,
ja inimese mõistus, mis ei leia endale mingit kasutust, viriseb.
Leonardo da Vinci

Kasutatud tehnoloogiad: probleemõpe, kriitiline mõtlemine, kommunikatiivne suhtlemine.

Eesmärgid:

• Kognitiivse õppimishuvi arendamine.
• Funktsiooni y = sin x omaduste uurimine.
• Praktiliste oskuste kujundamine funktsiooni y = sin x graafiku koostamisel uuritud teoreetilise materjali põhjal.

Ülesanded:

1. Kasutage olemasolevat teadmiste potentsiaali funktsiooni y = sin x omaduste kohta konkreetsetes olukordades.

2. Rakendage teadlikku seoste loomist funktsiooni y = sin x analüütiliste ja geomeetriliste mudelite vahel.

Arendada initsiatiivi, teatud tahet ja huvi lahenduse leidmiseks; võime teha otsuseid, mitte peatuda ja oma seisukohta kaitsta.

Edendada õpilastes kognitiivset aktiivsust, vastutustunnet, üksteise austamist, vastastikust mõistmist, vastastikust tuge ja enesekindlust; suhtluskultuur.

Tundide ajal

1. etapp. Algteadmiste värskendamine, uue materjali õppimise motiveerimine

"Õppetundi sisenedes."

Tahvlile on kirjutatud 3 väidet:

1. Trigonomeetrilisel võrrandil sin t = a on alati lahendid.
2. Paaritu funktsiooni graafiku saab koostada sümmeetriateisendusega Oy telje ümber.
3. Trigonomeetrilise funktsiooni saab joonistada ühe peamise poollaine abil.

Õpilased arutavad paarides: kas väited on tõesed? (1 minut). Seejärel sisestatakse esialgse arutelu tulemused (jah, ei) tabelisse veerus "Enne".

Õpetaja seab tunni eesmärgid ja eesmärgid.

2. Teadmiste uuendamine (frontaalselt trigonomeetrilise ringi mudelil).

Oleme juba tutvunud funktsiooniga s = sin t.

1) Milliseid väärtusi saab muutuja t võtta? Mis on selle funktsiooni ulatus?

2) Millises intervallis sisalduvad avaldise sin t väärtused? Leidke funktsiooni s = sin t suurim ja väikseim väärtus.

3) Lahendage võrrand sin t = 0.

4) Mis juhtub punkti ordinaadiga, kui see liigub mööda esimest veerandit? (ordinaat suureneb). Mis juhtub punkti ordinaadiga, kui see teisel veerandajal liigub? (ordinaat järk-järgult väheneb). Kuidas on see seotud funktsiooni monotoonsusega? (funktsioon s = sin t kasvab lõigul ja väheneb lõigul ).

5) Kirjutame funktsiooni s = sin t meile tuttaval kujul y = sin x (konstrueerime selle tavalises xOy koordinaatsüsteemis) ja koostame selle funktsiooni väärtuste tabeli.

X	0
juures	0			1			0

2. etapp. Taju, arusaamine, esmane kinnistamine, tahtmatu meeldejätmine

4. etapp. Teadmiste ja tegevusmeetodite esmane süstematiseerimine, nende ülekandmine ja rakendamine uutes olukordades

6. Nr 10.18 (b,c)

5. etapp. Lõplik kontroll, parandus, hindamine ja enesehindamine

7. Naaske väidete juurde (tunni algus), arutlege trigonomeetrilise funktsiooni y = sin x omaduste abil ja täitke tabelis veerg “Pärast”.

8. D/z: punkt 10, nr 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)