Harmoonilise võnke võrrandis on u um. Harmoonilise vibratsiooni võrrand

Harmooniline võnkumine on mingi suuruse perioodilise muutumise nähtus, mille puhul sõltuvus argumendist on siinus- või koosinusfunktsiooni iseloomuga. Näiteks kogus, mis ajas muutub harmooniliselt järgmiselt:

kus x on muutuva suuruse väärtus, t on aeg, ülejäänud parameetrid on konstantsed: A on võnkumiste amplituud, ω on võnkumiste tsükliline sagedus, on võnkumiste täisfaas, on võnke algfaas võnkumisi.

Üldistatud harmooniline võnkumine diferentsiaalkujul

(Selle diferentsiaalvõrrandi mis tahes mittetriviaalne lahendus on harmooniline võnkumine tsüklilise sagedusega)

Vibratsiooni tüübid

Vabavõnkumised toimuvad süsteemi sisejõudude mõjul pärast seda, kui süsteem on tasakaalust välja viidud. Et vabavõnkumised oleksid harmoonilised, on vajalik, et võnkesüsteem oleks lineaarne (kirjeldatud lineaarsete liikumisvõrranditega) ja selles ei tohiks toimuda energia hajumist (viimane põhjustaks sumbumist).

Sundvõnkumised tehakse välise perioodilise jõu mõjul. Et need oleksid harmoonilised, piisab, kui võnkesüsteem on lineaarne (kirjeldatakse lineaarsete liikumisvõrranditega) ja välisjõud ise muutub aja jooksul harmoonilise võnkumisena (st et selle jõu sõltuvus ajast on sinusoidaalne) .

Harmoonilise vibratsiooni võrrand

Võrrand (1)

annab kõikuva väärtuse S sõltuvuse ajast t; see on vabade harmooniliste võnkumiste võrrand selgesõnalisel kujul. Kuid võnkumiste võrrandit mõistetakse tavaliselt selle võrrandi erineva kirjena diferentsiaalkujul. Kindluse mõttes võtame võrrandi (1) kujul

Eristage seda aja järgi kaks korda:

On näha, et kehtib järgmine seos:

mida nimetatakse vabade harmooniliste võnkumiste võrrandiks (diferentsiaalkujul). Võrrand (1) on diferentsiaalvõrrandi (2) lahendus. Kuna võrrand (2) on teist järku diferentsiaalvõrrand, on täieliku lahendi saamiseks (st võrrandis (1) sisalduvate konstantide A ja   määramiseks) vajalikud kaks algtingimust; näiteks võnkesüsteemi asukoht ja kiirus t = 0 juures.

Matemaatiline pendel on ostsillaator, mis on mehaaniline süsteem, mis koosneb materiaalsest punktist, mis paikneb kaaluta mittevenival niidil või kaaluta vardal ühtlases gravitatsioonijõudude väljas. l pikkusega l matemaatilise pendli väikeste omavõnkumiste periood, mis on liikumatult rippunud ühtlases gravitatsiooniväljas vaba langemise kiirendusega g, on võrdne

ja ei sõltu pendli amplituudist ja massist.

Füüsikaline pendel on ostsillaator, mis on jäik keha, mis võngub mis tahes jõudude väljas punkti ümber, mis ei ole selle keha massikese, või fikseeritud telje ümber, mis on jõudude suunaga risti ja ei läbi selle keha massikese.

Algfaasi valik võimaldab harmooniliste võnkumiste kirjeldamisel minna siinusfunktsioonilt koosinusfunktsioonile:

Üldistatud harmooniline võnkumine diferentsiaalkujul:

Harmoonilise seaduse järgi vabade vibratsioonide esinemiseks on vajalik, et keha tasakaaluasendisse tagasi viima kalduv jõud oleks võrdeline keha nihkega tasakaaluasendist ja oleks suunatud nihkele vastupidises suunas. :

kus on võnkuva keha mass.

Nimetatakse füüsikalist süsteemi, milles võivad eksisteerida harmoonilised võnkumised harmooniline ostsillaator, ja harmooniliste võnkumiste võrrand on harmoonilise ostsillaatori võrrand.

1.2. Vibratsiooni lisamine

Pole haruldane, et süsteem osaleb samaaegselt kahes või enamas sõltumatus võnkes. Nendel juhtudel moodustub kompleksne võnkuv liikumine, mis tekib üksteisele võnkumiste pealekandmisel (lisamisel). Ilmselgelt võivad võnkumiste liitmise juhtumid olla väga erinevad. Need ei sõltu ainult lisandunud võnkumiste arvust, vaid ka võnkeparameetritest, nende sagedustest, faasidest, amplituudidest, suundadest. Kõiki võimalikke erinevaid võnkumiste liitmise juhtumeid pole võimalik läbi vaadata, seetõttu piirdume vaid üksikute näidetega.

Ühte sirget pidi suunatud harmooniliste võnkumiste liitmine

Mõelge sama perioodi võrdselt suunatud, kuid algfaasi ja amplituudi poolest erinevate võnkumiste lisamisele. Lisatud võnkumiste võrrandid on antud järgmisel kujul:

kus ja on nihked; ja on amplituudid; ja on lisatud võnkumiste algfaasid.

Joonis 2.

Tekkiva võnke amplituudi on mugav määrata vektordiagrammi abil (joonis 2), millele on kantud nurkade ja telje suhtes amplituudide ja summeeritud võnkumiste vektorid ning rööpkülikureegli järgi amplituudivektor saadakse koguvõnkumine.

Kui pöörata vektorite süsteemi (parallelogramm) ühtlaselt ja projitseerida vektorid teljele , siis nende projektsioonid teostavad harmoonilisi võnkumisi vastavalt etteantud võrranditele. Vektorite vastastikune paigutus , ja jääb samal ajal muutumatuks, seega on ka saadud vektori projektsiooni võnkuv liikumine harmooniline.

See tähendab järeldust, et kogu liikumine on harmooniline võnkumine, millel on etteantud tsükliline sagedus. Määratleme amplituudmooduli A sellest tulenev kõikumine. Nurga sisse (rööpküliku vastasnurkade võrdsusest).

Seega

siit: .

Koosinusteoreemi järgi

Saadud võnkumise algfaas määratakse järgmiselt:

Faasi ja amplituudi seosed võimaldavad leida tekkiva liikumise amplituudi ja algfaasi ning koostada selle võrrandi: .

lööb

Vaatleme juhtumit , kui kahe liidetud võnke sagedused erinevad üksteisest vähe ning olgu amplituudid samad ja algfaasid , s.o.

Lisame need võrrandid analüütiliselt:

Muutkem

Riis. 3.

Kuna see muutub aeglaselt, ei saa väärtust nimetada amplituudiks selle sõna täies tähenduses (amplituud on konstantne väärtus). Tavapäraselt võib seda väärtust nimetada muutuvaks amplituudiks. Selliste kõikumiste graafik on näidatud joonisel 3. Lisatud võnkumistel on samad amplituudid, kuid erinevad perioodid, samas kui perioodid ja erinevad üksteisest veidi. Selliste võnkumiste lisamisel täheldatakse lööke. Löökide arvu sekundis määrab lisatud võnkumiste sageduste erinevus, s.o.

Lööke on võimalik jälgida kahe hääletushargi kõlamisel, kui sagedused ja vibratsioonid on üksteise lähedal.

Vastastikku risti asetsevate vibratsioonide liitmine

Olgu materiaalne punkt samaaegselt osaline kahes harmoonilises võnkes, mis toimuvad samade perioodidega kahes üksteisega risti olevas suunas. Ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi saab seostada nende suundadega, asetades lähtepunkti punkti tasakaaluasendisse. Tähistame punkti C nihkumist mööda telge ja vastavalt läbi ja . (joonis 4).

Vaatleme mitmeid erijuhtumeid.

1). Võnkumiste algfaasid on samad

Valime pöördloenduse alguse momendi selliselt, et mõlema võnke algfaasid on võrdsed nulliga. Seejärel saab nihkeid piki telge väljendada võrranditega:

Jagades need võrdsused liikmeks, saame punkti C trajektoori võrrandid:
või .

Järelikult võngub punkt C kahe vastastikku risti asetseva võnke liitmise tulemusena piki alguspunkti läbivat sirge lõiku (joonis 4).

Riis. 4.

2). Algfaasi erinevus on :

Sel juhul on võnkevõrrandid järgmisel kujul:

Punktide trajektoori võrrand:

Järelikult punkt C võngub piki sirge lõiku, mis läbib alguspunkti, kuid asub teistes kvadrantides kui esimesel juhul. Amplituud A saadud kõikumised mõlemal vaadeldaval juhul on võrdne:

3). Algfaasi erinevus on .

Võnkuvõrranditel on järgmine kuju:

Jagage esimene võrrand arvuga ja teine ​​järgmisega:

Me paneme mõlemad võrdused ruutu ja liidame. Võnkepunkti liikumise trajektoori jaoks saame järgmise võrrandi:

Võnkumispunkt C liigub mööda ellipsi pooltelgedega ja . Võrdsete amplituudide korral on kogu liikumise trajektoor ring. Üldjuhul puhul , kuid mitmekordne, st. , vastastikku risti asetsevate võnkumiste liitmisel liigub võnkepunkt mööda kõveraid, mida nimetatakse Lissajouse kujunditeks.

Lissajouslikud kujud

Lissajouse figuurid- suletud trajektoorid, mis on tõmmatud punktiga, mis sooritab samaaegselt kahte harmoonilist võnkumist kahes üksteisega risti olevas suunas.

Esmakordselt uuris seda prantsuse teadlane Jules Antoine Lissajous. Kujundite kuju sõltub mõlema võnke perioodide (sageduste), faaside ja amplituudide vahelisest suhtest(joonis 5).

Joonis 5.

Lihtsamal mõlema perioodi võrdsuse korral on kujunditeks ellipsid, mis faasierinevuse või taandarenguga joonelõikudeks ning faasierinevuse ja amplituudide võrdsuse korral muutuvad ringiks. Kui mõlema võnke perioodid ei lange täpselt kokku, siis faasierinevus muutub kogu aeg, mille tulemusena ellips kogu aeg deformeerub. Lissajouse näitajaid ei täheldata oluliselt erinevatel perioodidel. Kui aga perioodid on seotud täisarvudena, siis pärast ajavahemikku, mis on võrdne mõlema perioodi vähima kordsega, naaseb liikuv punkt uuesti samasse kohta - saadakse keerulisema kujuga Lissajous-kujud.
Lissajouse figuurid mahuvad ristkülikusse, mille keskpunkt ühtib koordinaatide alguspunktiga ning küljed on paralleelsed koordinaatide telgedega ning paiknevad mõlemal pool neid võnkeamplituudidega võrdsetel kaugustel (joonis 6).

« Füüsika – 11. klass

Kiirendus on koordinaadi teine ​​tuletis aja suhtes.

Punkti hetkkiirus on punkti koordinaadi tuletis aja suhtes.
Punkti kiirendus on selle kiiruse tuletis aja suhtes või koordinaadi teine ​​tuletis aja suhtes.
Seetõttu saab pendli liikumisvõrrandi kirjutada järgmiselt:

kus x" on koordinaadi teine ​​tuletis aja suhtes.

Vabade vibratsioonidega koordinaat X muutub ajas nii, et koordinaadi teine ​​tuletis aja suhtes on võrdeline koordinaadi endaga ja sellele vastandmärgiga.

Harmoonilised vibratsioonid

Matemaatikast: siinuse ja koosinuse teised tuletised nende argumendis on võrdelised funktsioonide endiga, võetud vastupidise märgiga, ja ühelgi teisel funktsioonil pole seda omadust.
Sellepärast:
Vabavõnkumisi sooritava keha koordinaat muutub ajas vastavalt siinuse või koosinuse seadusele.

Füüsikalise suuruse perioodilisi, ajast sõltuvaid muutusi, mis toimuvad siinuse või koosinuse seaduse järgi, nimetatakse harmoonilised vibratsioonid.

Võnkumise amplituud

Amplituud harmoonilisi võnkumisi nimetatakse keha suurima tasakaaluasendist nihke mooduliks.

Amplituudi määravad algtingimused, õigemini kehale antav energia.

Keha koordinaatide ja aja graafik on koosinuslaine.

x = x m cos ω 0 t

Seejärel pendli vabavõnkumisi kirjeldav liikumisvõrrand:

Harmooniliste võnkumiste periood ja sagedus.

Vibratsiooni ajal korratakse keha liigutusi perioodiliselt.
Nimetatakse ajavahemikku T, mille jooksul süsteem lõpetab ühe täieliku võnketsükli võnkeperiood.

Võnkesagedus on võnkumiste arv ajaühikus.
Kui ajas T toimub üks võnkumine, siis võnkumiste arv sekundis

Rahvusvahelises mõõtühikute süsteemis (SI) nimetatakse sagedusühikut hertsi(Hz) saksa füüsiku G. Hertzi auks.

2π s võnkumiste arv on:

ω 0 väärtus on tsükliline (või ringikujuline) võnkesagedus.
Pärast ajavahemikku, mis võrdub ühe perioodiga, korratakse võnkumisi.

Vabade vibratsioonide sagedust nimetatakse loomulik sagedus võnkesüsteem.
Sageli nimetatakse tsüklilist sagedust lühiduse huvides lihtsalt sageduseks.

Vabavõnkumiste sageduse ja perioodi sõltuvus süsteemi omadustest.

1.vedrupendli jaoks

Vedrupendli loomulik võnkesagedus on võrdne:

See on seda suurem, mida suurem on vedru k jäikus, ja mida väiksem, seda suurem on kehamass m.
Jäik vedru annab kehale suurema kiirenduse, muudab keha kiirust kiiremini ja mida massiivsem on keha, seda aeglasemalt muudab see jõu mõjul kiirust.

Võnkeperiood on:

Vedrupendli võnkeperiood ei sõltu võnke amplituudist.

2.keermependli jaoks

Matemaatilise pendli võnkumiste loomulik sagedus keerme vertikaalsuunast kõrvalekaldumise väikeste nurkade korral sõltub pendli pikkusest ja vabalangemise kiirendusest:

Nende võnkumiste periood on

Hõõgniidi pendli võnkeperiood väikeste läbipaindenurkade korral ei sõltu võnkeamplituudist.

Võnkeperiood pikeneb koos pendli pikkusega. See ei sõltu pendli massist.

Mida väiksem g, seda pikem on pendli võnkeperiood ja sellest tulenevalt ka aeglasemalt pendliga kell töötab. Seega jääb vardal oleva raskuse kujul oleva pendliga kell ööpäevaga maha ligi 3 s võrra, kui tõsta see keldrist Moskva ülikooli ülemisele korrusele (kõrgus 200 m). Ja see on tingitud ainult vabalangemise kiirenduse vähenemisest kõrgusega.

§ 6. MEHAANILISED VÕNKEDPõhivalemid

Harmoonilise vibratsiooni võrrand

Kus X - võnkepunkti nihkumine tasakaaluasendist; t- aeg; A,ω, φ- vastavalt amplituud, nurksagedus, võnkumiste algfaas; - võnkumiste faas hetkel t.

Nurkvõnkesagedus

kus ν ja T on võnkumiste sagedus ja periood.

harmoonilisi võnkumisi tekitava punkti kiirus,

Harmooniline kiirendus

Amplituud A saadud võnkumine, mis saadakse kahe sama sagedusega võnku liitmisel ühel sirgel, määratakse valemiga

Kus a 1 Ja A 2 - võnkekomponentide amplituudid; φ 1 ja φ 2 - nende algfaasid.

Tekkiva võnke algfaasi φ saab leida valemist

Löökide sagedus, mis tuleneb kahe sama sirge võnkumise liitmisest erinevate, kuid lähedase väärtusega sagedustega ν 1 ja ν 2,

Kahes üksteisega risti asetsevas võnkes amplituudiga A 1 ja A 2 ning algfaasidega φ 1 ja φ 2 osaleva punkti trajektoori võrrand,

Kui võnkekomponentide algfaasid φ 1 ja φ 2 on samad, siis saab trajektoori võrrand kuju

st punkt liigub sirgjooneliselt.

Kui faaside erinevus on , võtab võrrand kuju

st punkt liigub mööda ellipsi.

Materiaalse punkti harmooniliste vibratsioonide diferentsiaalvõrrand

, või , kus m on punkti mass; k- kvaasielastse jõu koefitsient ( k=Tω 2).

harmoonilisi võnkumisi tekitava materiaalse punkti koguenergia,

Vedrule riputatud keha võnkeperiood (vedrupendel),

Kus m- kehamass; k- vedru jäikus. Valem kehtib elastsete vibratsioonide korral, mis jäävad Hooke'i seaduse täitmise piiridesse (väikese vedru massiga võrreldes keha massiga).

Matemaatilise pendli võnkeperiood

Kus l- pendli pikkus; g- gravitatsiooni kiirendus. Füüsikalise pendli võnkeperiood

Kus J- võnkuva keha inertsimoment telje suhtes

kõikumised; A- pendli massikeskme kaugus võnketeljest;

Füüsilise pendli vähendatud pikkus.

Ülaltoodud valemid on täpsed lõpmata väikeste amplituudide korral. Lõplike amplituudide korral annavad need valemid ainult ligikaudsed tulemused. Amplituudidel, mis ei ole suuremad kui perioodi väärtuse viga, ei ületa 1%.

Elastsel niidil riputatud keha väändevibratsiooni periood,

Kus J- keha inertsimoment elastse keermega kokku langeva telje suhtes; k- elastse keerme jäikus, mis on võrdne niidi keerdumisel tekkiva elastsusmomendi ja keerme keerdumise nurga suhtega.

Summutatud võnkumiste diferentsiaalvõrrand , või ,

Kus r- takistustegur; δ - summutustegur: ;ω 0 - vibratsiooni loomulik nurksagedus *

Summutatud võnkevõrrand

Kus A(t)- summutatud võnkumiste amplituud hetkel t;ω on nende nurksagedus.

Summutatud võnkumiste nurksagedus

О Summutatud võnkumiste amplituudi sõltuvus ajast

I

Kus A 0 - võnkumiste amplituud hetkel t=0.

Logaritmilise võnkumise vähenemine

Kus A(t) Ja A(t+T)- kahe järjestikuse võnke amplituudid, mis on ajaliselt üksteisest perioodiga eraldatud.

Sundvõngete diferentsiaalvõrrand

kus on võnkuvale materiaalsele punktile mõjuv perioodiline väline jõud, mis põhjustab sundvõnkumisi; F 0 - selle amplituudi väärtus;

Sundvibratsiooni amplituud

Resonantssagedus ja resonantsamplituud Ja

Näited probleemide lahendamisest

Näide 1 Punkt võngub vastavalt seadusele x(t)=, Kus A=2 vt Algfaasi φ määramine, kui

x(0) = cm ja X , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента t=0.

Lahendus. Kasutame liikumisvõrrandit ja väljendame nihet hetkel t=0 kuni algfaasini:

Siit leiame algfaasi:

* Varem antud harmooniliste võnkumiste valemites tähistati sama väärtust lihtsalt ω-ga (ilma indeksita 0).

Asendage antud väärtused sellesse avaldisesse x(0) ja V:φ= = . Argumendi väärtus rahuldatakse kahe nurga väärtusega:

Et otsustada, milline nurga φ väärtustest vastab ka tingimusele, leiame kõigepealt:

Asendades selle avaldise väärtuse t=0 ja vaheldumisi algfaaside väärtused ja leiame

T ok nagu alati A>0 ja ω>0, siis rahuldab tingimust ainult algfaasi esimene väärtus. Seega soovitud algfaas

Leitud φ väärtuse põhjal koostame vektordiagrammi (joonis 6.1). Näide 2 Materjali punkt massiga T\u003d 5 g teostab harmoonilisi võnkumisi sagedusega ν =0,5 Hz. Võnkumise amplituud A=3 cm Määrake: 1) kiirus υ punktid ajal, mil nihe x== 1,5 cm; 2) punktile mõjuv maksimaalne jõud F max; 3) Joon. 6,1 koguenergiat E võnkepunkt.

ja saame kiiruse valemi, võttes nihke esmakordse tuletise:

Kiiruse väljendamiseks nihkena tuleb aeg valemitest (1) ja (2) välja jätta. Selleks paneme mõlemad võrrandid ruutu, jagame esimesega A 2 , teine ​​A 2 ω 2 ja lisage:

, või

υ viimase võrrandi lahendamine , leida

Pärast selle valemi järgi arvutusi saame

Plussmärk vastab juhule, kui kiiruse suund langeb kokku telje positiivse suunaga X, miinusmärk - kui kiiruse suund langeb kokku telje negatiivse suunaga X.

Nihke harmoonilise võnkumise ajal saab lisaks võrrandile (1) määrata ka võrrandiga

Korrates sama lahendit selle võrrandiga, saame sama vastuse.

2. Punktile mõjuva jõu leiame Newtoni teise seaduse järgi:

Kus A - punkti kiirendus, mille saame kiiruse ajatuletise võtmisega:

Asendades kiirenduse avaldise valemiga (3), saame

Siit ka jõu maksimaalne väärtus

Asendades selle võrrandi väärtused π, ν, T Ja A, leida

3. Võnkepunkti koguenergia on mis tahes ajahetke kohta arvutatud kineetilise ja potentsiaalse energia summa.

Lihtsaim viis koguenergia arvutamiseks on hetkel, mil kineetiline energia saavutab maksimaalse väärtuse. Sel hetkel on potentsiaalne energia null. Seega kogu energia E võnkepunkt on võrdne maksimaalse kineetilise energiaga

Maksimaalse kiiruse määrame valemist (2), seades: . Asendades kiirusavaldise valemiga (4), leiame

Asendades koguste väärtused sellesse valemisse ja tehes arvutusi, saame

või mcJ.

Näide 3 Peenikese varda otstes l= 1 m ja kaal m 3 =400 g väikesed pallid tugevdatakse massidega m 1 = 200 g Ja m 2 = 300 g. Varras võngub ümber horisontaaltelje, sellega risti

dikulaarne varras ja läbib selle keskosa (punkt O joonisel 6.2). Määratlege periood T varda tekitatud vibratsioon.

Lahendus. Füüsikalise pendli, mis on kuulidega varras, võnkeperioodi määrab seos

Kus J- T - selle mass; l KOOS - kaugus pendli massikeskmest teljeni.

Selle pendli inertsmoment on võrdne kuulide inertsmomentide summaga J 1 ja J 2 ja varras J 3:

Võttes pallid materiaalsete punktidena, väljendame nende inertsimomente:

Kuna telg läbib varda keskosa, siis selle inertsimoment selle telje suhtes J 3 = =. Saadud avaldiste asendamine J 1 , J 2 Ja J 3 valemisse (2) leiame füüsikalise pendli koguinertsimomendi:

Selle valemi abil arvutusi tehes leiame

Riis. 6.2 Pendli mass koosneb kuulide massist ja varda massist:

Kaugus l KOOS leiame pendli massikeskme võnketeljelt, lähtudes järgmistest kaalutlustest. Kui telg X suunake mööda varda ja joondage alguspunkt punktiga KOHTA, seejärel soovitud vahemaa l on võrdne pendli massikeskme koordinaadiga, s.o.

Koguste väärtuste asendamine m 1 , m 2 , m, l ja arvutusi tehes leiame

Olles teinud arvutused valemi (1) järgi, saame füüsikalise pendli võnkeperioodi:

Näide 4 Füüsiline pendel on varras pikkusega l= 1 m ja kaal 3 T 1 Koos kinnitatud selle ühe otsa külge läbimõõdu ja massiga rõngaga T 1 . Horisontaaltelg Oz

pendel läbib varda keskosa sellega risti (joon. 6.3). Määratlege periood T sellise pendli võnkumised.

Lahendus. Füüsikalise pendli võnkeperiood määratakse valemiga

(1)

Kus J- pendli inertsmoment võnketelje suhtes; T - selle mass; l C - kaugus pendli massikeskmest võnketeljeni.

Pendli inertsmoment on võrdne varda inertsmomentide summaga J 1 ja vits J 2:

(2).

Varda inertsmoment vardaga risti oleva telje suhtes, mis läbib selle massikeskme, määratakse valemiga . Sel juhul t= 3T 1 ja

Rõnga inertsimomendi leiame Steineri teoreemi abil , Kus J- inertsimoment suvalise telje suhtes; J 0 - inertsimoment antud teljega paralleelset massikeskmet läbiva telje suhtes; A - määratud telgede vaheline kaugus. Rakendades selle valemi rõngale, saame

Väljendite asendamine J 1 ja J 2 valemisse (2) leiame pendli inertsmomendi pöörlemistelje suhtes:

Kaugus l KOOS pendli teljest selle massikeskmeni on

Avaldiste asendamine valemiga (1). J, l c ja pendli mass , leiame selle võnkeperioodi:

Pärast selle valemiga arvutamist saame T\u003d 2,17 s.

Näide 5 Lisatakse kaks samasuunalist võnkumist, mida väljendatakse võrranditega ; X 2 = =, kus A 1 = 1 cm, A 2 \u003d 2 cm, s, s, ω \u003d \u003d. 1. Määrake võnke komponentide algfaasid φ 1 ja φ 2

bani. 2. Leidke amplituud A ja tekkiva võnkumise algfaas φ. Kirjutage saadud võnkumise võrrand.

Lahendus. 1. Harmoonilise võnke võrrandil on vorm

Teisendame ülesande tingimuses antud võrrandid samale kujule:

Avaldiste (2) võrdlusest võrdsusega (1) leiame esimese ja teise võnke algfaasid:

Hea meel ja rõõmus.

2. Amplituudi määramiseks A tekkivast kõikumisest on mugav kasutada joonisel esitatud vektordiagrammi riis. 6.4. Koosinusteoreemi järgi saame

kus on võnkekomponentide faaside erinevus.. Kuna , siis asendades leitud väärtused φ 2 ja φ 1 saame rad.

Asendage väärtused A 1 , A 2 ja valemisse (3) ning sooritage arvutused:

A= 2,65 cm.

Saadud võnkumise algfaasi φ puutuja saab määrata otse joonistelt fig. 6.4: , kust algfaas

Harmoonilised võnked on võnked, mille puhul füüsikaline suurus muutub ajas harmoonilise (siinus-, koosinus-) seaduse järgi. Harmoonilise võnkumise võrrandi saab kirjutada järgmiselt:
X(t) = A∙cos(ω t+φ )
või
X(t) = A∙sin(ω t+φ )

X - kõrvalekalle tasakaaluasendist ajahetkel t
A - võnkeamplituud, A mõõde on sama, mis X mõõde
ω - tsükliline sagedus, rad/s (radiaani sekundis)
φ - algfaas, rad
t - aeg, s
T - võnkeperiood, s
f - võnkesagedus, Hz (Hertz)
π – konstant ligikaudu 3,14, 2π=6,28

Võnkeperiood, sagedus hertsides ja tsükliline sagedus on omavahel seotud.
ω=2πf, T=2π/ω, f=1/T, f=ω/2π
Nende suhete meeldejätmiseks peate mõistma järgmist.
Kõik parameetrid ω, f, T määravad teised üheselt. Võnkumiste kirjeldamiseks piisab ühe neist parameetritest.

Periood T on ühe kõikumise aeg, seda on mugav kasutada kõikumiste graafikute joonistamiseks.
Tsükliline sagedus ω - kasutatakse võnkevõrrandite kirjutamiseks, võimaldab teha matemaatilisi arvutusi.
Sagedus f - võnkumiste arv ajaühikus, kasutatakse kõikjal. Hertsides mõõdame sagedust, millele raadiod on häälestatud, samuti mobiiltelefonide leviala. Muusikariistade häälestamisel mõõdetakse keelpillide vibratsiooni sagedust hertsides.

Avaldist (ωt+φ) nimetatakse võnkefaasiks ja φ väärtust algfaasiks, kuna see on võrdne võnkefaasiga hetkel t=0.

Siinus- ja koosinusfunktsioonid kirjeldavad täisnurkse kolmnurga külgede suhteid. Seetõttu ei mõista paljud, kuidas need funktsioonid harmooniliste võnkudega seotud on. Seda seost näitab ühtlaselt pöörlev vektor. Ühtlaselt pöörleva vektori projektsioon tekitab harmoonilisi võnkumisi.
Alloleval pildil on näide kolmest harmoonilisest võnkumisest. Sageduselt võrdne, kuid faasilt ja amplituudilt erinev.