Kompleksarvude tõstmine astmeteks. Kompleksarvude tõstmine 3 kompleksarvu astmeteks

Alustame oma lemmikväljakuga.

Näide 9

Keeruline arv ruut

Siin saab minna kahel viisil, esimene võimalus on kirjutada aste ümber tegurite korrutiseks ja korrutada arvud vastavalt polünoomide korrutamise reeglile.

Teine meetod on lühendatud korrutamise jaoks tuntud koolivalemi kasutamine:

Kompleksarvu jaoks on lihtne tuletada oma lühendatud korrutusvalem:

Sarnase valemi saab tuletada nii vahe ruudu kui ka summa ja vahe kuubi jaoks. Kuid need valemid on keerukamate analüüsiprobleemide jaoks asjakohasemad. Mis siis, kui teil on vaja tõsta kompleksarv näiteks 5., 10. või 100. astmeni? On selge, et sellist trikki on algebralises vormis peaaegu võimatu sooritada, mõelge, kuidas sellist näidet lahendada?

Ja siin tuleb appi kompleksarvu trigonomeetriline vorm ja nn Moivre'i valem: Kui kompleksarv on esitatud trigonomeetrilisel kujul, siis selle tõstmisel loomuliku astmeni kehtib järgmine valem:

See on lihtsalt ennekuulmatu.

Näide 10

Kui on antud kompleksarv, leia.

Mida on vaja teha? Kõigepealt peate seda numbrit esitama trigonomeetrilisel kujul. Tähelepanelikud lugejad on märganud, et näites 8 oleme seda juba teinud:

Seejärel vastavalt Moivre valemile:

Jumal hoidku, te ei pea kalkulaatoriga lootma, kuid enamikul juhtudel tuleks nurka lihtsustada. Kuidas lihtsustada? Piltlikult öeldes tuleb vabaneda tarbetutest pööretest. Üks pööre on radiaan ehk 360 kraadi. Uurime, mitu pööret meil vaidluses on. Mugavuse huvides muudame murdosa õigeks:, misjärel on selgelt näha, et saate ühe pöörde vähendada:. Loodan, et kõik saavad aru, et see on sama nurk.

Seega kirjutatakse lõplik vastus järgmiselt:

Astendamisprobleemi omaette variatsioon on puhtalt imaginaarsete arvude astendamine.

Näide 12

Tõsta kompleksarvud astmeteks

Ka siin on kõik lihtne, peamine on meeles pidada kuulsat võrdsust.

Kui kujuteldav ühik tõstetakse ühtlase astmeni, on lahendustehnika järgmine:

Kui kujuteldav ühik tõstetakse paaritu astmeni, siis “näputame ära” ühe “ja”, saades paarisastme:

Kui on miinus (või mis tahes tegelik koefitsient), tuleb see kõigepealt eraldada:

Kompleksarvudest juurte eraldamine. Keeruliste juurtega ruutvõrrand

Vaatame näidet:

Kas juurt ei saa välja tõmmata? Kui me räägime reaalarvudest, siis see on tõesti võimatu. Kompleksarvude juure on võimalik eraldada! Täpsemalt, kaks juur:

Kas leitud juured on tõesti võrrandi lahendus? Kontrollime:

Mida oli vaja kontrollida.

Sageli kasutatakse lühendatud tähistust, mis on kirjutatud ühele reale “sama kammi” alla: .

Neid juuri nimetatakse ka konjugeerida kompleksseid juuri.

Ma arvan, et kõik saavad aru, kuidas negatiivsetest arvudest ruutjuure eraldada: ,,, jne. Kõikidel juhtudel selgub kaks konjugeerida kompleksseid juuri.

Kalkulaatori kasutamine

Avaldise hindamiseks peate sisestama hinnatava stringi. Numbrite sisestamisel on täis- ja murdosa eraldajaks punkt. Võite kasutada sulgusid. Tehted kompleksarvudega on korrutamine (*), jagamine (/), liitmine (+), lahutamine (-), astendamine (^) jt. Kompleksarvude kirjutamiseks saate kasutada eksponentsiaalseid ja algebralisi vorme. Sisestage kujuteldav ühik i on võimalik ka ilma korrutusmärgita, korrutusmärk on vajalik näiteks sulgude vahele või arvu ja konstandi vahele. Kasutada võib ka konstante: arv π sisestatakse pi, astendajana e, peavad indikaatori kõik avaldised olema ümbritsetud sulgudega.

Näidisrida arvutamiseks: (4,5+i12)*(3,2i-2,5)/e^(i1,25*pi), mis vastab avaldisele \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]

Kalkulaator saab kasutada konstante, matemaatilisi funktsioone, lisatoiminguid ja keerukamaid avaldisi, mida saate nende funktsioonidega tutvuda selle saidi kalkulaatorite kasutamise üldreeglite lehel.

Sait on loomisel, mõned lehed ei pruugi olla saadaval.

Uudised

07.07.2016
Lisatud on kalkulaator mittelineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks: .

30.06.2016
Saidil on responsiivne disain, lehti kuvatakse piisavalt nii suurtel monitoridel kui ka mobiilseadmetes.

Sponsor

RGROnline.ru – kiire lahendus elektroonikatöödeks võrgus.

Alustame oma lemmikväljakuga.

Näide 9

Keeruline arv ruut

Siin saab minna kahel viisil, esimene võimalus on kirjutada aste ümber tegurite korrutiseks ja korrutada arvud vastavalt polünoomide korrutamise reeglile.

Teine meetod on lühendatud korrutamise jaoks tuntud koolivalemi kasutamine:

Kompleksarvu jaoks on lihtne tuletada oma lühendatud korrutusvalem:

Sarnase valemi saab tuletada nii vahe ruudu kui ka summa ja vahe kuubi jaoks. Kuid need valemid on keerukamate analüüsiprobleemide jaoks asjakohasemad. Mis siis, kui teil on vaja tõsta kompleksarv näiteks 5., 10. või 100. astmeni? On selge, et sellist trikki on algebralises vormis peaaegu võimatu sooritada, mõelge, kuidas sellist näidet lahendada?

Ja siin tuleb appi kompleksarvu trigonomeetriline vorm ja nn Moivre'i valem: Kui kompleksarv on esitatud trigonomeetrilisel kujul, siis selle tõstmisel loomuliku astmeni kehtib järgmine valem:

See on lihtsalt ennekuulmatu.

Näide 10

Kui on antud kompleksarv, leia.

Mida on vaja teha? Kõigepealt peate seda numbrit esitama trigonomeetrilisel kujul. Tähelepanelikud lugejad on märganud, et näites 8 oleme seda juba teinud:

Seejärel vastavalt Moivre valemile:

Jumal hoidku, te ei pea kalkulaatoriga lootma, kuid enamikul juhtudel tuleks nurka lihtsustada. Kuidas lihtsustada? Piltlikult öeldes tuleb vabaneda tarbetutest pööretest. Üks pööre on radiaan ehk 360 kraadi. Uurime, mitu pööret meil vaidluses on. Mugavuse huvides muudame murdosa õigeks:, misjärel on selgelt näha, et saate ühe pöörde vähendada:. Loodan, et kõik saavad aru, et see on sama nurk.

Seega kirjutatakse lõplik vastus järgmiselt:

Astendamisprobleemi omaette variatsioon on puhtalt imaginaarsete arvude astendamine.

Näide 12

Tõsta kompleksarvud astmeteks

Ka siin on kõik lihtne, peamine on meeles pidada kuulsat võrdsust.

Kui kujuteldav ühik tõstetakse ühtlase astmeni, on lahendustehnika järgmine:

Kui kujuteldav ühik tõstetakse paaritu astmeni, siis “näputame ära” ühe “ja”, saades paarisastme:

Kui on miinus (või mis tahes tegelik koefitsient), tuleb see kõigepealt eraldada:

Kompleksarvudest juurte eraldamine. Keeruliste juurtega ruutvõrrand

Vaatame näidet:

Kas juurt ei saa välja tõmmata? Kui me räägime reaalarvudest, siis see on tõesti võimatu. Kompleksarvude juure on võimalik eraldada! Täpsemalt, kaks juur:

Kas leitud juured on tõesti võrrandi lahendus? Kontrollime:

Mida oli vaja kontrollida.

Sageli kasutatakse lühendatud tähistust, mis on kirjutatud ühele reale “sama kammi” alla: .

Neid juuri nimetatakse ka konjugeerida kompleksseid juuri.

Ma arvan, et kõik saavad aru, kuidas negatiivsetest arvudest ruutjuure eraldada: ,,, jne. Kõikidel juhtudel selgub kaks konjugeerida kompleksseid juuri.

Näide 13

Lahenda ruutvõrrand

Arvutame diskriminandi:

Diskriminant on negatiivne ja võrrandil pole reaalarvudes lahendust. Kuid juure saab lahutada kompleksarvudest!

Kasutades tuntud koolkonna valemeid, saame kaks juurt: – konjugeeritud kompleksjuured

Seega on võrrandil kaks konjugeeritud kompleksjuurt:,

Nüüd saate lahendada mis tahes ruutvõrrandi!

Ja üldiselt on igal võrrandil n-nda astme polünoomiga võrdsed juured, millest mõned võivad olla keerulised.

Lihtne näide iseseisvaks lahendamiseks:

Näide 14

Leidke võrrandi juured ja arvutage ruutbinoom.

Faktoriseerimine toimub jällegi kooli standardvalemi järgi.