Stereomeetria on geomeetria haru, mis uurib kujundeid, mis ei asu samal tasapinnal. Üks stereomeetria uurimisobjekte on prismad. Artiklis määratleme prisma geomeetrilisest vaatenurgast ja loetleme lühidalt ka sellele iseloomulikud omadused.

Geomeetriline kujund

Prisma definitsioon geomeetrias on järgmine: see on ruumikujund, mis koosneb kahest identsest n-nurgast, mis paiknevad paralleelsel tasapinnal ja on omavahel tippude kaudu ühendatud.

Prisma saamine pole keeruline. Kujutagem ette, et on kaks identset n-nurka, kus n on külgede või tippude arv. Asetame need nii, et need oleksid üksteisega paralleelsed. Pärast seda tuleks ühe hulknurga tipud ühendada teise hulknurga vastavate tippudega. Saadud joonis koosneb kahest n-nurksest küljest, mida nimetatakse alusteks, ja n-st nelinurksest küljest, mis üldiselt on rööpkülikukujulised. Rööpkülikute hulk moodustab joonise külgpinna.

Kõnealuse kujundi geomeetriliseks saamiseks on veel üks viis. Seega, kui võtame n-nurga ja kanname selle teisele tasapinnale, kasutades võrdse pikkusega paralleelseid segmente, siis saame uues tasapinnas esialgse hulknurga. Nii hulknurgad kui ka kõik nende tippudest tõmmatud paralleelsed lõigud moodustavad prisma.

Ülaltoodud pilt näitab seda, kuna selle alused on kolmnurgad.

Figuuri moodustavad elemendid

Eespool oli antud prisma definitsioon, millest selgub, et figuuri põhielementideks on selle servad ehk küljed, mis piiravad prisma kõiki sisepunkte välisruumist. Kõnealuse kujundi mis tahes nägu kuulub ühte kahest tüübist:

• külgmine;
• põhjustel.

Külgtükke on n ja need on rööpkülikud või nende teatud tüübid (ristkülikud, ruudud). Üldiselt erinevad külgpinnad üksteisest. Alusel on ainult kaks tahku, need on n-kujulised ja on üksteisega võrdsed. Seega on igal prismal n+2 külge.

Figuuri iseloomustavad lisaks külgedele ka selle tipud. Need tähistavad punkte, kus kolm nägu puudutavad samaaegselt. Veelgi enam, kaks kolmest näost kuuluvad alati külgpinnale ja üks alusele. Seega pole prismas spetsiaalselt eraldatud ühte tippu, kuna näiteks püramiidis on need kõik võrdsed. Joonise tippude arv on 2*n (n tükki iga aluse kohta).

Lõpuks on prisma kolmas oluline element selle ribid. Need on teatud pikkusega segmendid, mis moodustuvad figuuri külgede ristumise tulemusena. Sarnaselt nägudele on ka servadel kahte tüüpi:

• või moodustavad ainult küljed;
• või tekivad rööpküliku ja n-nurga aluse külje ristumiskohas.

Servade arv võrdub seega 3*n ja 2*n neist kuulub nimetatud tüüpidest teise.

Prismade tüübid

Prismade klassifitseerimiseks on mitu võimalust. Kuid need kõik põhinevad kahel joonise tunnusel:

• n-süsinikaluse tüübi kohta;
• küljel tüüp.

Kõigepealt pöördume teise tunnuse poole ja anname sirgjoone definitsiooni. Kui vähemalt üks külg on üldine rööpkülik, nimetatakse kujundit kaldus või kaldus. Kui kõik rööpkülikud on ristkülikud või ruudud, on prisma sirge.

Definitsiooni võib anda ka veidi teisiti: sirge kujund on prisma, mille külgservad ja tahud on risti alustega. Joonisel on kaks nelinurkset kujundit. Vasak on sirge, parem on kaldu.

Liigume nüüd edasi klassifikatsiooni juurde vastavalt alustel lebava n-goni tüübile. Sellel võivad olla samad küljed ja nurgad või erinevad. Esimesel juhul nimetatakse hulknurka regulaarseks. Kui kõnealune kujund sisaldab oma põhjas võrdsete külgede ja nurkadega hulknurka ja on sirge, nimetatakse seda korrapäraseks. Selle määratluse kohaselt võib korrapärase prisma põhjas olla võrdkülgne kolmnurk, ruut, korrapärane viisnurk või kuusnurk jne. Loetletud tavaarvud on toodud joonisel.

Prismade lineaarsed parameetrid

Kõnealuste kujundite suuruste kirjeldamiseks kasutatakse järgmisi parameetreid:

• kõrgus;
• aluse küljed;
• külgmiste ribide pikkus;
• mahudiagonaalid;
• külgede ja aluste diagonaalid.

Tavaprismade puhul on kõik need suurused omavahel seotud. Näiteks külgribide pikkused on samad ja võrdsed kõrgusega. Konkreetse n-nurkse korrapärase joonise jaoks on olemas valemid, mis võimaldavad teil määrata kõik ülejäänud mis tahes kahe lineaarse parameetri abil.

Figuuri pind

Kui viidata ülaltoodud prisma definitsioonile, siis pole raske aru saada, mida kujutab joonise pind. Pind on kõigi nägude pindala. Sirge prisma jaoks arvutatakse see järgmise valemiga:

S = 2*S o + P o *h

kus S o on aluse pindala, P o on n-nurga ümbermõõt aluses, h on kõrgus (aluste vaheline kaugus).

Joonise maht

Lisaks harjutamiseks kasutatavale pinnale on oluline teada prisma ruumala. Seda saab määrata järgmise valemi abil:

See avaldis kehtib absoluutselt igat tüüpi prismade kohta, kaasa arvatud need, mis on kaldu ja moodustavad ebakorrapärased hulknurgad.

Õigete puhul on see funktsioon aluse külje pikkusest ja figuuri kõrgusest. Vastava n-nurkse prisma jaoks on V valemil kindel vorm.

Stereomeetria kursuse kooli õppekavas alustatakse kolmemõõtmeliste kujundite uurimist tavaliselt lihtsa geomeetrilise kehaga - prisma hulktahukast. Selle aluste rolli täidavad 2 võrdset hulknurka, mis asuvad paralleelsel tasapinnal. Erijuhtum on tavaline nelinurkne prisma. Selle alused on 2 identset korrapärast nelinurka, mille küljed on risti ja millel on rööpküliku kuju (või ristkülikukujuline, kui prisma ei ole kaldu).

Kuidas prisma välja näeb?

Tavaline nelinurkne prisma on kuusnurk, mille alused on 2 ruutu ja külgpinnad on kujutatud ristkülikutega. Selle geomeetrilise kujundi teine ​​nimi on sirge rööptahukas.

Allpool on näidatud nelinurkse prisma joonis.

Pildil ka näha kõige olulisemad elemendid, mis moodustavad geomeetrilise keha. Need sisaldavad:

Mõnikord võib geomeetriaülesannetes kohata lõigu mõistet. Määratlus kõlab järgmiselt: lõik on kõik lõiketasandisse kuuluvad mahulise keha punktid. Lõige võib olla risti (lõikab joonise servi 90 kraadise nurga all). Ristkülikukujulise prisma puhul arvestatakse ka diagonaallõiget (maksimaalne konstrueeritavate sektsioonide arv on 2), mis läbib 2 serva ja aluse diagonaale.

Kui lõige on joonistatud nii, et lõiketasand ei ole paralleelne ei aluste ega külgpindadega, on tulemuseks kärbitud prisma.

Redutseeritud prismaelementide leidmiseks kasutatakse erinevaid seoseid ja valemeid. Mõned neist on teada planimeetria kursusest (näiteks prisma aluse pindala leidmiseks piisab, kui meeles pidada ruudu pindala valemit).

Pindala ja maht

Prisma ruumala määramiseks valemi abil peate teadma selle aluse pindala ja kõrgust:

V = Sbas h

Kuna tavalise tetraeedrilise prisma alus on küljega ruut a, Valemi saate kirjutada täpsemal kujul:

V = a²·h

Kui me räägime kuubist - tavalisest võrdse pikkuse, laiuse ja kõrgusega prismast, arvutatakse maht järgmiselt:

Prisma külgpinna leidmise mõistmiseks peate ette kujutama selle arengut.

Jooniselt on näha, et külgpind koosneb 4 võrdsest ristkülikust. Selle pindala arvutatakse aluse perimeetri ja joonise kõrguse korrutisena:

Sside = Posn h

Võttes arvesse, et ruudu ümbermõõt on võrdne P = 4a, valem on järgmisel kujul:

Sside = 4a h

Kuubiku jaoks:

Sside = 4a²

Prisma kogupindala arvutamiseks peate külgpinnale lisama 2 aluspinda:

Täis = Sside + 2Smain

Nelinurkse korrapärase prisma suhtes näeb valem välja järgmine:

Kokku = 4a h + 2a²

Kuubi pindala jaoks:

Täis = 6a²

Teades ruumala või pindala, saate arvutada geomeetrilise keha üksikud elemendid.

Prisma elementide leidmine

Sageli esineb probleeme, mille puhul on antud maht või teada külgpinna väärtus, kus on vaja määrata aluse külje pikkus või kõrgus. Sellistel juhtudel saab valemeid tuletada:

• põhja külje pikkus: a = Sside / 4h = √(V / h);
• kõrgus või külgribi pikkus: h = külg / 4a = V / a²;
• baaspindala: Sbas = V/h;
• külgne näopiirkond: Külg gr = külg / 4.

Et määrata, kui suur pindala on diagonaalil, peate teadma diagonaali pikkust ja joonise kõrgust. Ruudu jaoks d = a√2. Seetõttu:

Sdiag = ah√2

Prisma diagonaali arvutamiseks kasutage valemit:

dprize = √(2a² + h²)

Et mõista, kuidas antud seoseid rakendada, saab harjutada ja lahendada mitmeid lihtsaid ülesandeid.

Näited probleemidest koos lahendustega

Siin on mõned matemaatika riigilõpueksamite ülesanded.

1. harjutus.

Liiv valatakse tavalise nelinurkse prisma kujuga kasti. Selle nivoo kõrgus on 10 cm. Milline on liivatase, kui viia see sama kujuga, kuid kaks korda pikema põhjaga anumasse?

Seda tuleks põhjendada järgmiselt. Liiva kogus esimeses ja teises konteineris ei muutunud, st selle maht neis on sama. Võite tähistada aluse pikkust a. Sel juhul on esimese kasti aine maht:

V₁ = ha² = 10a²

Teise kasti puhul on aluse pikkus 2a, kuid liivataseme kõrgus pole teada:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Kuna V1 = V2, saame võrdsustada väljendeid:

10a² = 4ha²

Pärast võrrandi mõlema poole vähendamist a² võrra saame:

Selle tulemusena saab uus liivatase h = 10/4 = 2,5 cm.

2. ülesanne.

ABCDA₁B₁C₁D₁ on õige prisma. On teada, et BD = AB₁ = 6√2. Leidke keha kogupindala.

Et oleks lihtsam mõista, millised elemendid on teada, võite joonistada joonise.

Kuna me räägime tavalisest prismast, siis võime järeldada, et põhjas on ruut diagonaaliga 6√2. Külgkülje diagonaal on sama suur, seetõttu on ka külgpind alusega võrdne ruudu kuju. Selgub, et kõik kolm mõõdet – pikkus, laius ja kõrgus – on võrdsed. Võime järeldada, et ABCDA₁B₁C₁D₁ on kuubik.

Mis tahes serva pikkus määratakse teadaoleva diagonaali kaudu:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Kogupindala leitakse kuubi valemi abil:

Täis = 6a² = 6 6² = 216

3. ülesanne.

Ruum on renoveerimisel. On teada, et selle põrand on ruudu kujuga, mille pindala on 9 m². Ruumi kõrgus on 2,5 m Mis on kõige madalam hind ruumi tapetseerimiseks, kui 1 m² maksab 50 rubla?

Kuna põrand ja lagi on ruudukujulised ehk korrapärased nelinurgad ning selle seinad on horisontaalsete pindadega risti, siis võib järeldada, et tegemist on korrapärase prismaga. On vaja kindlaks määrata selle külgpinna pindala.

Ruumi pikkus on a = √9 = 3 m.

Ala kaetakse tapeediga Külg = 4 3 2,5 = 30 m².

Selle ruumi tapeedi maksumus on madalaim 50·30 = 1500 rubla

Seega piisab ristkülikukujulise prismaga seotud ülesannete lahendamiseks ruudu ja ristküliku pindala ja ümbermõõdu arvutamise oskusest, samuti ruumala ja pindala leidmise valemite tundmisest.

Kuidas leida kuubi pindala

Polyhedra

Stereomeetria peamine uurimisobjekt on ruumilised kehad. Keha kujutab teatud pinnaga piiratud ruumi osa.

Polühedron on keha, mille pind koosneb lõplikust arvust tasapinnalistest hulknurkadest. Hulktahukat nimetatakse kumeraks, kui see asub oma pinnal oleva iga tasapinnalise hulknurga tasapinna ühel küljel. Sellise tasandi ja hulktahuka pinna ühisosa nimetatakse serv. Kumera hulktahuka tahud on lamedad kumerad hulknurgad. Nägude külgi nimetatakse hulktahuka servad, ja tipud on hulktahuka tipud.

Näiteks kuubik koosneb kuuest ruudust, mis on selle tahud. Sellel on 12 serva (ruutude küljed) ja 8 tippu (ruutude tipud).

Lihtsamad hulktahukad on prismad ja püramiidid, mida uurime edasi.

Prisma

Prisma definitsioon ja omadused

Prisma on hulktahukas, mis koosneb kahest lamedast hulknurgast, mis asuvad paralleelsetes tasandites, mis on kombineeritud paralleelse translatsiooniga, ja kõigist nende hulknurkade vastavaid punkte ühendavatest lõikudest. Hulknurki nimetatakse prisma alused, ja hulknurkade vastavaid tippe ühendavad segmendid on prisma külgmised servad.

Prisma kõrgus nimetatakse kauguseks selle aluste tasapindade vahel (). Nimetatakse lõiku, mis ühendab prisma kahte tippu, mis ei kuulu samasse tahku prisma diagonaal(). Prismat nimetatakse n-süsinik, kui selle alus sisaldab n-nurka.

Igal prismal on järgmised omadused, mis tulenevad sellest, et prisma alused ühendatakse paralleeltõlke abil:

1. Prisma alused on võrdsed.

2. Prisma külgmised servad on paralleelsed ja võrdsed.

Prisma pind koosneb alustest ja külgmine pind. Prisma külgpind koosneb rööpkülikutest (see tuleneb prisma omadustest). Prisma külgpinna pindala on külgpindade pindalade summa.

Sirge prisma

Prismat nimetatakse otse, kui selle külgmised servad on alustega risti. Muidu nimetatakse prismat kaldu.

Parempoolse prisma küljed on ristkülikud. Sirge prisma kõrgus on võrdne selle külgpindadega.

Täisprisma pind nimetatakse külgpinna ja aluste pindalade summaks.

Õige prismaga nimetatakse täisprismaks, mille põhjas on korrapärane hulknurk.

Teoreem 13.1. Sirge prisma külgpinna pindala on võrdne prisma perimeetri ja kõrguse korrutisega (või, mis on sama, külgserva võrra).

Tõestus. Täisprisma külgmised tahud on ristkülikud, mille alusteks on prisma alustel olevate hulknurkade küljed ja kõrgusteks prisma külgmised servad. Siis definitsiooni järgi on külgpindala:

,

kus on sirge prisma aluse ümbermõõt.

Parallelepiped

Kui rööpkülikud asuvad prisma alustel, siis nimetatakse seda rööptahukas. Rööptahuka kõik tahud on rööpkülikukujulised. Sel juhul on rööptahuka vastasküljed paralleelsed ja võrdsed.

Teoreem 13.2. Rööptahuka diagonaalid lõikuvad ühes punktis ja jagatakse lõikepunktiga pooleks.

Tõestus. Mõelge näiteks kahele suvalisele diagonaalile ja . Sest rööptahuka tahud on rööpkülikukujulised, siis ja , mis tähendab, et vastavalt To on kaks sirget paralleelselt kolmandaga. Lisaks tähendab see, et sirgjooned ja asuvad samal tasapinnal (tasapinnal). See tasapind lõikab paralleelseid tasapindu ja mööda paralleelseid jooni ja . Seega on nelinurk rööpkülik ja rööpküliku omaduse järgi lõikuvad selle diagonaalid ja jagatakse pooleks lõikepunktiga, mida oli vaja tõestada.

Nimetatakse parempoolset rööptahukat, mille alus on ristkülik ristkülikukujuline rööptahukas. Ristkülikukujulise rööptahuka kõik tahud on ristkülikud. Ristkülikukujulise rööptahuka mitteparalleelsete servade pikkusi nimetatakse selle lineaarseteks mõõtmeteks (mõõtmeteks). Selliseid suurusi on kolm (laius, kõrgus, pikkus).

Teoreem 13.3. Ristkülikukujulise rööptahuka puhul võrdub iga diagonaali ruut selle kolme mõõtme ruutude summaga (tõestatud Pythagorase T kahekordse rakendamisega).

Nimetatakse ristkülikukujulist rööptahukat, mille kõik servad on võrdsed kuubik.

Ülesanded

13.1 Mitu diagonaali sellel on? n- süsinikuprisma

13.2 Kaldkujulises kolmnurkprismas on külgservade vahelised kaugused 37, 13 ja 40. Leia kaugus suurema külgserva ja vastaskülgserva vahel.

13.3 Tasapind tõmmatakse läbi korrapärase kolmnurkse prisma alumise aluse külje, mis lõikab külgpindu piki segmente, mille vahel on nurk. Leidke selle tasandi kaldenurk prisma aluse suhtes.

Definitsioon.

See on kuusnurk, mille alused on kaks võrdset ruutu ja külgpinnad on võrdsed ristkülikud

Külgribi- on kahe külgneva külgpinna ühine külg

Prisma kõrgus- see on segment, mis on risti prisma alustega

Prisma diagonaal- segment, mis ühendab kahte aluste tippu, mis ei kuulu samasse tahku

Diagonaaltasand- tasapind, mis läbib prisma diagonaali ja selle külgservi

Diagonaalne lõige- prisma ja diagonaaltasandi ristumiskoha piirid. Korrapärase nelinurkse prisma diagonaalristlõige on ristkülik

Ristlõige (ristlõige)- see on prisma ja selle külgmiste servadega risti tõmmatud tasapinna ristumiskoht

Korrapärase nelinurkse prisma elemendid

Joonisel on kaks tavalist nelinurkset prismat, mis on tähistatud vastavate tähtedega:

• Alused ABCD ja A 1 B 1 C 1 D 1 on üksteisega võrdsed ja paralleelsed
• Külgpinnad AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C ja CC 1 D 1 D, millest igaüks on ristkülik
• Külgpind – prisma kõigi külgpindade pindalade summa
• Kogupind - kõigi aluste ja külgpindade pindalade summa (külgpinna ja aluste pindalade summa)
• Külgmised ribid AA 1, BB 1, CC 1 ja DD 1.
• Diagonaal B 1 D
• Aluse diagonaal BD
• Diagonaallõige BB 1 D 1 D
• Ristlõige A 2 B 2 C 2 D 2.

Korrapärase nelinurkse prisma omadused

• Alused on kaks võrdset ruutu
• Alused on üksteisega paralleelsed
• Külgpinnad on ristkülikud
• Külgmised servad on üksteisega võrdsed
• Külgpinnad on alustega risti
• Külgmised ribid on üksteisega paralleelsed ja võrdsed
• Ristlõige risti kõigi külgribidega ja paralleelne alustega
• Ristlõike nurgad - sirged
• Korrapärase nelinurkse prisma diagonaalristlõige on ristkülik
• Alustega paralleelne risti (ristlõige).

Tavalise nelinurkse prisma valemid

Juhised probleemide lahendamiseks

Probleemide lahendamisel teemal " korrapärane nelinurkne prisma" tähendab, et:

Õige prisma- prisma, mille põhjas asetseb korrapärane hulknurk ja külgservad on risti aluse tasanditega. See tähendab, et tavaline nelinurkne prisma asub oma põhjas ruut. (vt tavalise nelinurkse prisma omadusi ülalt) Märge. See on osa geomeetriaprobleemidega tunnist (lõike stereomeetria – prisma). Siin on probleemid, mida on raske lahendada. Kui teil on vaja lahendada geomeetria ülesanne, mida siin pole, kirjutage sellest foorumisse. Ruutjuure eraldamise toimingu tähistamiseks ülesannete lahendamisel kasutatakse sümbolit√ .

Ülesanne.

Tavalises nelinurkses prismas on aluse pindala 144 cm 2 ja kõrgus 14 cm. Leia prisma diagonaal ja kogupind.

Lahendus.
Korrapärane nelinurk on ruut.
Sellest lähtuvalt on aluse külg võrdne

√144 = 12 cm.
Alates sellest, kus tavalise ristkülikukujulise prisma aluse diagonaal on võrdne
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Korrapärase prisma diagonaal moodustab prisma aluse diagonaali ja kõrgusega täisnurkse kolmnurga. Vastavalt Pythagorase teoreemile on antud korrapärase nelinurkse prisma diagonaal võrdne:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Vastus: 22 cm

Ülesanne

Määrake korrapärase nelinurkse prisma kogupind, kui selle diagonaal on 5 cm ja külgpinna diagonaal on 4 cm.

Lahendus.
Kuna tavalise nelinurkse prisma alus on ruut, leiame Pythagorase teoreemi abil aluse külje (tähistatud kui a):

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Külgpinna kõrgus (tähistatud kui h) on siis võrdne:

H2 + 12,5 = 42
h 2 + 12,5 = 16
h2 = 3,5
h = √3,5

Kogupindala on võrdne külgpinna ja kahekordse põhipinna summaga

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Vastus: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.