Fikseeritud telje suhtes ("teljeline inertsimoment") nimetatakse väärtuseks J a võrdne kõigi masside korrutistega n süsteemi materiaalsed punktid nende telje vahelise kauguse ruutudesse:

• m i- kaal i- punkt,
• r i- kaugus i-th punkt teljele.

Aksiaalne inertsimoment keha J a on keha inertsi mõõt pöörleval liikumisel ümber telje, nii nagu keha mass on selle inertsi mõõt translatsioonilises liikumises.

Kui keha on homogeenne, see tähendab, et selle tihedus on kõikjal ühesugune, siis

Huygensi-Steineri teoreem

Inertsimoment Tahke keha suurus mis tahes telje suhtes ei sõltu mitte ainult keha massist, kujust ja suurusest, vaid ka keha asendist selle telje suhtes. Steineri teoreemi (Huygensi-Steineri teoreemi) kohaselt inertsimoment keha J suvalise telje suhtes on võrdne summaga inertsimoment see keha Jc vaadeldava teljega paralleelset keha massikeskpunkti läbiva telje ja kehamassi korrutise suhtes m ruutmeetri vahemaa kohta d telgede vahel:

kus on keha kogumass.

Näiteks varda inertsimoment selle otsa läbiva telje suhtes on:

Mõnede kehade aksiaalsed inertsmomendid

Inertsi hetked mõne pöörlemistelje suhtes lihtsaima kujuga homogeensed kehad

Keha	Kirjeldus	Telje asend a	Inertsimoment J a
	Materjali massipunkt m	Kauguses r punktist, fikseeritud
	Õõnes õhukeseseinaline raadiusega silinder või rõngas r ja massid m	Silindri telg
	Tahke silindri või ketta raadius r ja massid m	Silindri telg
	Õõnes paksuseinaline massisilinder m välise raadiusega r2 ja sisemine raadius r1	Silindri telg
	Tugev silindri pikkus l, raadius r ja massid m
	Õõnes õhukese seinaga silindri (rõnga) pikkus l, raadius r ja massid m	Telg on silindriga risti ja läbib selle massikeskme
	Sirge peenikese varda pikkus l ja massid m	Telg on vardaga risti ja läbib selle massikeskme
	Sirge peenikese varda pikkus l ja massid m	Telg on vardaga risti ja läbib selle otsa
	Õhukese seinaga raadiusega kera r ja massid m	Telg läbib sfääri keskpunkti
	palli raadius r ja massid m	Telg läbib palli keskpunkti
	Koonuse raadius r ja massid m	koonuse telg
	Võrdhaarne kolmnurk kõrgusega h, alus a ja kaal m	Telg on risti kolmnurga tasapinnaga ja läbib tippu
	Täisnurkne kolmnurk küljega a ja kaal m	Telg on risti kolmnurga tasapinnaga ja läbib massikeskme
	Küljega ruut a ja kaal m	Telg on risti ruudu tasapinnaga ja läbib massikeskme

Valemite tuletamine

Õhukese seinaga silinder (rõngas, rõngas)

Valemi tuletamine

Keha inertsmoment on võrdne selle koostisosade inertsimomentide summaga. Õhukese seinaga silindri jagamine massiga elementideks dm ja inertsimomendid DJ i. Siis

Kuna õhukese seinaga silindri kõik elemendid on pöörlemisteljest samal kaugusel, teisendatakse valem (1) kujule

Paksuseinaline silinder (rõngas, rõngas)

Valemi tuletamine

Olgu välise raadiusega homogeenne rõngas R, sisemine raadius R 1, paks h ja tihedus ρ. Murrame selle paksusega õhukesteks rõngasteks dr. Õhukese raadiusega rõnga mass ja inertsimoment r saab

Integraalina leiame paksu rõnga inertsmomendi

Kuna rõnga maht ja mass on võrdsed

saame rõnga inertsmomendi lõpliku valemi

Homogeenne ketas (tahke silinder)

Valemi tuletamine

Arvestades silindrit (ketast) rõngana, mille siseraadius on null ( R 1 = 0), saame silindri (ketta) inertsmomendi valemi:

tahke koonus

Valemi tuletamine

Jagage koonus õhukesteks paksusteks ketasteks dh, risti koonuse teljega. Sellise ketta raadius on

kus R on koonuse aluse raadius, H on koonuse kõrgus, h on kaugus koonuse tipust kettani. Sellise ketta mass ja inertsimoment on

Integreerimine, saame

Tugev ühtlane pall

Valemi tuletamine

Jagage pall õhukesteks ketasteks dh, risti pöörlemisteljega. Sellise ketta raadius, mis asub kõrgusel h sfääri keskpunktist leiame valemiga

Sellise ketta mass ja inertsimoment on

Sfääri inertsmomendi leiame integreerides:

õhukese seinaga kera

Valemi tuletamine

Tuletamiseks kasutame homogeense raadiusega kuuli inertsmomendi valemit R:

Arvutame välja, kui palju muutub kuuli inertsimoment, kui konstantse tiheduse ρ juures suureneb kuuli raadius lõpmata väikese väärtuse võrra dr.

Õhuke varras (telg läbib keskpunkti)

Valemi tuletamine

Jagage varras väikesteks pikkusega tükkideks dr. Sellise fragmendi mass ja inertsimoment on

Integreerimine, saame

Peenike varras (telg läbib otsa)

Valemi tuletamine

Pöördtelje liigutamisel varda keskelt selle otsani liigub varda raskuskese telje suhtes vahemaa võrra l/2. Steineri teoreemi kohaselt on uus inertsimoment võrdne

Planeetide ja nende satelliitide mõõtmeteta inertsimomendid

Planeetide ja nende satelliitide siseehituse uurimisel on suur tähtsus nende mõõtmeteta inertsimomentidel. Raadiusega keha mõõtmeteta inertsimoment r ja massid m on võrdne selle inertsmomendi suhtega pöörlemistelje ümber sama massiga materjali punkti inertsmomendi suhtega fikseeritud pöörlemistelje suhtes, mis asub kaugusel r(võrdne härra 2). See väärtus peegeldab massi jaotust sügavuses. Üks selle mõõtmise meetodeid planeetidel ja satelliitidel on määrata kindlaks määratud planeedi või satelliidi ümber lendava AMS-i edastatava raadiosignaali Doppleri nihe. Õhukeseseinalise sfääri puhul on mõõtmeteta inertsimoment 2/3 (~0,67), homogeense kuuli puhul - 0,4 ja üldiselt, mida väiksem, seda suurem on keha mass selle keskele. Näiteks Kuu dimensioonideta inertsimoment on 0,4 lähedal (võrdub 0,391-ga), seega eeldatakse, et see on suhteliselt homogeenne, selle tihedus muutub sügavusega vähe. Maa mõõtmeteta inertsimoment on väiksem kui homogeensel kuulil (võrdne 0,335-ga), mis on argument selles tiheda tuuma olemasolu poolt.

tsentrifugaalne inertsimoment

Keha tsentrifugaalsed inertsmomendid ristkülikukujulise ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi telgede suhtes on järgmised suurused:

kus x, y ja z- keha väikese elemendi koordinaadid mahuga dV, tihedus ρ ja kaal dm.

OX-telge nimetatakse keha inertsi põhitelg kui tsentrifugaal-inertsmomendid Jxy ja Jxz on korraga null. Läbi iga keha punkti saab tõmmata kolm peamist inertstelge. Need teljed on üksteisega risti. Keha inertsimomendid suvalises punktis tõmmatud kolme peamise inertstelje suhtes O kehasid nimetatakse keha peamised inertsimomendid.

Keha massikeset läbivaid peamisi inertsitelge nimetatakse keha peamised kesksed inertsteljed, ja nende telgede inertsimomendid on selle peamised kesksed inertsimomendid. Homogeense keha sümmeetriatelg on alati selle üks peamisi keskseid inertstelge.

Geomeetriline inertsimoment

Geomeetriline inertsimoment – ​​vaate lõigu geomeetriline tunnus

kus on kaugus keskteljest mis tahes elementaarpiirkonnani neutraaltelje suhtes.

Geomeetriline inertsimoment ei ole seotud materjali liikumisega, see peegeldab ainult lõigu jäikuse astet. Seda kasutatakse pöörlemisraadiuse, tala läbipainde, talade sektsioonide valiku, sammaste jne arvutamiseks.

SI mõõtühik on m 4 . Ehitusarvutustes, kirjanduses ja eelkõige valtsmetalli sortimentides on see märgitud cm 4-ga.

Sellest väljendatakse sektsiooni moodul:

.

Mõne kujundi geomeetrilised inertsimomendid
Ristküliku kõrgus ja laius:
Ristkülikukujuline kastiosa kõrguse ja laiusega piki väliskontuure ja piki sisemist ja vastavalt
Ringi läbimõõt

Keskne inertsimoment

Keskne inertsimoment(või inertsimoment punkti O suhtes) on suurus

Keskset inertsimomenti saab väljendada peamiste aksiaalsete või tsentrifugaalsete inertsimomentide kaudu: .

Inertsi tensor ja inertsi ellipsoid

Keha inertsmomenti massikeskpunkti läbiva suvalise telje suhtes, mille suund on antud ühikvektoriga, võib esitada ruutliku (bilineaarse) kujul:

(1),

kus on inertsi tensor. Inertsi tensormaatriks on sümmeetriline, mõõtmetega ja koosneb tsentrifugaalmomendi komponentidest:

,
.

Valides sobiva koordinaatsüsteemi, saab inertstensori maatriksi taandada diagonaalkujule. Selleks peate lahendama tensormaatriksi omaväärtuse probleemi:
,
kus on ortogonaalne üleminekumaatriks inertsi tensori enda baasile. Iseenesest on koordinaatteljed suunatud piki inertstensori peatelge ja kattuvad ka inertsitensori ellipsoidi peamiste pooltelgedega. Suurused on peamised inertsimomendid. Avaldis (1) on oma koordinaatsüsteemis järgmisel kujul:

,

kust võrrand pärineb

Sageli kuuleme väljendeid: "see on inertne", "liikuvad inertsiga", "inertsimoment". Ülekantud tähenduses võib sõna "inerts" tõlgendada kui algatusvõime ja tegutsemisvõime puudumist. Meid huvitab otsene tähendus.

Mis on inerts

Definitsiooni järgi inerts füüsikas on see kehade võime välisjõudude puudumisel säilitada puhke- või liikumisseisundit.

Kui inertsi mõistega on kõik intuitiivsel tasandil selge, siis inertsimoment- eraldi teema. Nõus, on raske meeles ette kujutada, mis see on. Sellest artiklist saate teada, kuidas lahendada selle teema põhiprobleeme "Inertsimoment".

Inertsmomendi määramine

Kooli õppekavast on teada, et mass on keha inertsi mõõt. Kui lükkame kahte erineva massiga vankrit, siis raskemat on raskem peatada. See tähendab, et mida suurem on mass, seda suurem on keha liikumise muutmiseks vajalik väline mõju. Arvestatud viitab translatsioonilisele liikumisele, kui näites olev käru liigub sirgjooneliselt.

Analoogiliselt massi ja translatsioonilise liikumisega on inertsimoment keha inertsuse mõõt ümber telje pöörleva liikumise ajal.

Inertsimoment– skalaarne füüsikaline suurus, keha inertsi mõõt ümber telje pöörlemisel. Tähistatakse tähega J ja süsteemis SI mõõdetuna kilogrammides, korrutatuna ruutmeetriga.

Kuidas arvutada inertsimomenti? Füüsikas on olemas üldvalem, mille abil arvutatakse iga keha inertsimoment. Kui keha lõhutakse lõpmatult väikesteks massitükikesteks dm , siis on inertsimoment võrdne nende elementaarmasside ja pöörlemistelje vahelise kauguse korrutise summaga.

See on inertsmomendi üldvalem füüsikas. Materiaalse massipunkti jaoks m , mis pöörleb eemal ümber telje r sellest lähtudes on see valem järgmine:

Steineri teoreem

Millest sõltub inertsimoment? Massist, pöörlemistelje asukohast, keha kujust ja suurusest.

Huygensi-Steineri teoreem on väga oluline teoreem, mida sageli kasutatakse probleemide lahendamisel.

Muideks! Meie lugejatele on nüüd 10% allahindlus

Huygensi-Steineri teoreem ütleb:

Keha inertsmoment suvalise telje ümber on võrdne keha inertsmomendi summaga suvalise teljega paralleelset massikeskpunkti läbiva telje suhtes ja keha massi korrutisega telje ruuduga. telgede vaheline kaugus.

Neile, kes ei soovi inertsmomendi leidmise probleemide lahendamisel pidevalt integreerida, on siin joonis, mis näitab mõnede probleemides sageli esinevate homogeensete kehade inertsimomente:

Näide inertsmomendi leidmise ülesande lahendamisest

Vaatleme kahte näidet. Esimene ülesanne on leida inertsimoment. Teiseks ülesandeks on kasutada Huygensi-Steineri teoreemi.

Ülesanne 1. Leidke homogeense ketta inertsimoment massiga m ja raadiusega R. Pöörlemistelg läbib ketta keskpunkti.

Lahendus:

Jagame ketta lõpmata õhukesteks rõngasteks, mille raadius varieerub 0 enne R ja kaaluge ühte sellist sõrmust. Olgu selle raadius r ja mass dm. Siis rõnga inertsimoment:

Rõnga massi võib esitada järgmiselt:

Siin dz on rõnga kõrgus. Asendage mass inertsmomendi valemiga ja integreerige:

Tulemuseks oli absoluutse õhukese ketta või silindri inertsmomendi valem.

Ülesanne 2. Olgu jälle ketas massiga m ja raadiusega R. Nüüd tuleb leida ketta inertsimoment telje suhtes, mis läbib ühe raadiuse keskpunkti.

Lahendus:

Ketta inertsimoment massikeskpunkti läbiva telje suhtes on teada eelmisest ülesandest. Rakendame Steineri teoreemi ja leiame:

Muide, meie blogist leiate muid kasulikke materjale füüsika ja.

Loodame, et leiate artiklist midagi kasulikku. Kui inertsi tensori arvutamisel on raskusi, ärge unustage õpilasteenust. Meie eksperdid annavad nõu igas küsimuses ja aitavad probleemi mõne minutiga lahendada.

Rakendus. Inertsimoment ja selle arvutamine.

Laske jäigal kehal ümber Z-telje pöörlema ​​(joonis 6). Seda saab kujutada ajas muutumatute erinevate materiaalsete punktide m i süsteemina, millest igaüks liigub mööda raadiusega ringi r i mis asub Z-teljega risti asetseval tasapinnal.Kõigi materiaalsete punktide nurkkiirused on ühesugused. Keha inertsmoment Z-telje suhtes on väärtus:

kus - eraldiseisva materjali punkti inertsimoment OZ-telje ümber. Definitsioonist järeldub, et inertsmoment on lisandi kogus, st eraldi osadest koosneva keha inertsimoment on võrdne osade inertsimomentide summaga.

Joonis 6

Ilmselgelt [ I] = kg × m 2. Inertsmomendi mõiste tähtsust väljendatakse kolmes valemis:

; ; .

Esimene neist väljendab ümber fikseeritud telje Z pöörleva keha nurkmomenti (seda valemit on kasulik võrrelda keha impulsi avaldisega P = mV c, kus Vc on massikeskme kiirus). Teist valemit nimetatakse keha pöörleva liikumise dünaamika põhivõrrandiks ümber fikseeritud telje, st teisisõnu Newtoni teiseks seaduseks pöörleva liikumise kohta (võrdle massikeskme liikumisseadusega: ). Kolmas valem väljendab ümber fikseeritud telje pöörleva keha kineetilist energiat (võrdle osakese kineetilise energia avaldisega ). Valemite võrdlemine võimaldab järeldada, et inertsmoment pöörleval liikumisel mängib massiga sarnast rolli selles mõttes, et mida suurem on keha inertsmoment, seda väiksema nurkkiirenduse see omandab, kui kõik muud tegurid on võrdsed ( keha on piltlikult öeldes keerulisem keerutada). Tegelikkuses on inertsmomentide arvutamine taandatud kolmikintegraali arvutamiseks ja seda saab teostada ainult piiratud arvu sümmeetriliste kehade ja ainult sümmeetriatelgede jaoks. Telgede arv, mille ümber keha saab pöörata, on lõpmata suur. Kõigi telgede hulgast paistab silma üks, mis läbib imelist kehapunkti - raskuskese (punkt, mille liikumise kirjeldamiseks piisab, kui kujutada ette, et kogu süsteemi mass on koondunud massikeskmesse ja sellele punktile rakendub jõud, mis võrdub kõigi jõudude summaga). Kuid massikeskpunkti läbivaid telgi on ka lõpmatult palju. Selgub, et iga suvalise kujuga jäiga keha jaoks on kolm üksteisega risti olevat telge C x, C y, C z, kutsus vaba pöörlemise teljed , millel on tähelepanuväärne omadus: kui keha keerata ümber mõne nendest telgedest ja visata üles, siis keha järgneval liikumisel jääb telg iseendaga paralleelseks, s.t. ei kuku. Ümber ühegi teise telje keeramisel seda omadust ei ole. Tüüpiliste kehade inertsmomentide väärtus näidatud telgede suhtes on toodud allpool. Kui telg läbib massikeskpunkti, kuid teeb telgedega nurgad a, b, g C x, C y, C z vastavalt on inertsmoment sellise telje suhtes võrdne

I c = I cx cos 2 a + I cy cos 2 b + I cz cos 2 g (*)

Mõelge lühidalt kõige lihtsamate kehade inertsmomendi arvutamisele.

1.Pika õhukese homogeense varda inertsimoment varda massikeskpunkti läbiva ja sellega risti oleva telje suhtes.

Lase t - varda mass, l - selle pikkus.

,

Indeks" Koos» inertsi hetkel I c tähendab, et see on inertsimoment telje suhtes, mis läbib massikeskpunkti (keha sümmeetriakese), C(0,0,0).

2. Õhukese ristkülikukujulise plaadi inertsimoment.

; ;

3. Ristkülikukujulise rööptahuka inertsmoment.

, t. C(0,0,0)

4. Õhukese rõnga inertsimoment.

;

, t. C(0,0,0)

5. Õhukese ketta inertsimoment.

Sümmeetria tõttu

; ;

6. Tahke silindri inertsmoment.

;

Sümmeetria tõttu:

7. Tahke kuuli inertsimoment.

, t. C(0,0,0)

8. Tahke koonuse inertsimoment.

, t C(0,0,0)

kus R on aluse raadius, h on koonuse kõrgus.

Tuletame meelde, et cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1. Lõpuks, kui telg O ei läbi massikeset, siis saab keha inertsmomendi arvutada Huygensi Steineri teoreemi abil.

I o \u003d I c + md 2, (**)

kus ma o on keha inertsimoment suvalise telje suhtes, On- inertsimoment sellega paralleelse telje suhtes, mis läbib massikeskme,
m- kehamass, d- telgede vaheline kaugus.

Standardkujuliste kehade inertsmomentide arvutamise protseduur suvalise telje suhtes on järgmine.

Mõelge nüüd probleemile inertsmomendi määramine erinevaid kehasid. Kindral inertsmomendi leidmise valem objektil z-telje suhtes on vorm

Teisisõnu, peate liitma kõik massid, korrutades igaüks neist kauguse teljest ruuduga (x 2 i + y 2 i). Pange tähele, et see kehtib isegi kolmemõõtmelise keha kohta, kuigi vahemaa on selline "kahemõõtmeline välimus". Enamasti piirdume siiski kahemõõtmeliste kehadega.

Vaatleme lihtsa näitena varda, mis pöörleb ümber selle otsa läbiva telje, mis on sellega risti (joonis 19.3). Nüüd peame liitma kõik massid, mis on korrutatud kauguse x ruutudega (sel juhul on kõik y nullid). Summa all pean ma muidugi silmas integraali x 2, mis on korrutatud massi "elementidega". Kui jagada varda tükkideks pikkusega dx, siis on vastav massielement võrdeline dx-ga ja kui dx oleks kogu varda pikkus, siis oleks selle mass võrdne M-ga.

Inertsmomendi mõõde on alati võrdne massi ja pikkuse ruuduga, seega ainus oluline väärtus, mille oleme arvutanud, on tegur 1/3.

Ja kui suur on inertsimoment I, kui pöörlemistelg läbib varda keskosa? Selle leidmiseks peame jällegi võtma integraali, kuid juba vahemikus -1/2L kuni +1/2L. Pange tähele selle juhtumi üht omadust. Sellist keskpunkti läbiva teljega varda võib pidada kaheks otsa läbiva teljega vardaks, millest kummagi mass on M/2 ja pikkus L/2. Kahe sellise varda inertsmomendid on üksteisega võrdsed ja arvutatakse valemiga (19.5). Seetõttu on kogu varda inertsmoment

Seega on ritva keskelt palju lihtsam keerata kui otsast.

Võib muidugi jätkata ka teiste meid huvitavate kehade inertsmomentide arvutamist. Kuid kuna sellised arvutused nõuavad integraalide arvutamisel palju kogemusi (mis on iseenesest väga oluline), siis ei paku need meile sellistena vähe huvi. Siiski on siin mõned väga huvitavad ja kasulikud teoreemid. Las olla keha ja me tahame seda teada inertsmoment mõne telje suhtes. See tähendab, et me tahame selle telje ümber pöörlemisel leida selle inertsi. Kui liigutame keha selle massikeset toetava varda abil nii, et see ümber telje pöörlemisel ei pöörduks (sel juhul ei mõju sellele inertsjõud, mistõttu keha ei pöördu, kui me seda liigutama hakkame) , siis selle pööramiseks on vaja täpselt samasugust jõudu, kui kogu mass oleks koondunud massikeskmesse ja inertsimoment oleks lihtsalt võrdne I 1 = MR 2 c.m. , kus R c.m on kaugus massikeskmest pöörlemisteljeni. See valem on aga loomulikult vale. See ei anna kehale õiget inertsimomenti. Tegelikkuses ju keerates kere pöörleb. Mitte ainult massikese ei pöörle (mis annaks väärtuse I 1), vaid ka keha ise peab pöörlema ​​massikeskme suhtes. Seega tuleb inertsmomendile I 1 lisada I c - inertsimoment massikeskme suhtes. Õige vastus on, et inertsmoment mis tahes telje suhtes on

Seda teoreemi nimetatakse paralleeltelje translatsiooniteoreemiks. Seda tõestatakse väga lihtsalt. Inertsmoment mis tahes telje suhtes on võrdne masside summaga, mis on korrutatud x ja y ruutude summaga, st I \u003d Σm i (x 2 i + y 2 i). Nüüd keskendume x-ile, kuid sama võib öelda ka y kohta. Olgu x-koordinaat antud konkreetse punkti kaugus lähtepunktist; vaatame aga, kuidas asjad muutuvad, kui mõõta kaugust x` massikeskmest, mitte x lähtepunktist. Et teada saada, peame kirjutama
x i = x` i + X c.m.
Selle avaldise ruudustamiseks leiame
x 2 i = x` 2 i + 2X cm. x`i + X 2 cm.

Mis juhtub, kui korrutate selle m i-ga ja liidate kogu r-ga? Võttes konstandid välja summeerimismärgist, leiame

I x = Σm i x` 2 i + 2X c.m. Σm i x` i + X2 c.m. Σm i

Kolmandat summat on lihtne arvutada; see on lihtsalt MX 2 ts.m. . Teine liige koosneb kahest faktorist, millest üks on Σm i x`i ; see on võrdne massikeskme x`-koordinaadiga. Kuid see peab olema null, sest x` mõõdetakse massikeskmest ja selles koordinaatsüsteemis on kõigi osakeste keskmine asukoht nende massiga kaalutuna null. Esimene liige on ilmselgelt osa x-ist alates I c. Seega jõuame valemini (19.7).

Kontrollime valemit (19.7) ühe näitega. Kontrollime lihtsalt, kas see on ridva jaoks rakendatav. Oleme juba leidnud, et varda inertsmoment selle otsa suhtes peab olema võrdne ML 2 /3. Ja varda massikese on loomulikult L/2 kaugusel. Seega peaksime saama, et ML 2 /3=ML 2 /12+M(L/2) 2 . Kuna neljandik + üks kaheteistkümnendik = üks kolmandik, siis me ei teinud ühtegi prohmakat.

Muide, inertsmomendi (19,5) leidmiseks pole integraali üldse vaja arvutada. Võib lihtsalt eeldada, et see on võrdne ML 2 väärtusega, mis on korrutatud mingi tundmatu koefitsiendiga γ. Pärast seda saab kasutada kahe poole arutluskäiku ja saada inertsmomendi (19,6) koefitsiendiks 1/4γ. Kasutades nüüd paralleeltelje translatsiooniteoreemi, tõestame, et γ=1/4γ + 1/4, kust γ=1/3. Alati võib leida mõne ümbersõidu!

Paralleeltelje teoreemi rakendamisel on oluline meeles pidada, et I-telg peab olema paralleelne teljega, mille ümber inertsmomenti tahame arvutada.

Tasub ehk mainida veel üht omadust, mis mõne kehatüübi inertsmomendi leidmisel sageli vägagi kasulik on. See koosneb järgmisest: kui meil on tasapinnaline kujund ja kolmik koordinaattelge, mille alguspunkt asub sellel tasapinnal ja z-telg on suunatud sellega risti, siis on selle kujundi inertsimoment z-telje suhtes võrdne x ja y telgede inertsimomentide summale . Seda tõestatakse üsna lihtsalt. Märka seda

Näiteks homogeense ristkülikukujulise plaadi inertsimoment, mille mass on M, laius ω ja pikkus L temaga risti oleva ja selle keskpunkti läbiva telje ümber, on lihtsalt

kuna inertsmoment plaadi tasapinnas paikneva ja selle pikkusega paralleelse telje suhtes on võrdne Mω 2 /12, st täpselt sama, mis varda pikkusega ω, ja inertsimoment plaadi teise telje suhtes. sama tasapind on võrdne ML 2 / 12-ga, sama mis varda pikkusega L.

Niisiis, loetleme antud telje suhtes inertsmomendi omadused, mida me nimetame z-teljeks:

1. Inertsimoment on

2. Kui objekt koosneb mitmest osast ja igaühe inertsmoment on teada, siis on kogu inertsimoment võrdne nende osade inertsimomentide summaga.
3. Inertsmoment mis tahes antud telje suhtes on võrdne inertsmomendiga massikeskpunkti läbiva paralleeltelje suhtes, millele lisandub kogumassi korrutis selle telje ja massikeskpunkti vahelise kauguse ruuduga.
4. Lameda kujundi inertsimoment tema tasapinnaga risti oleva telje suhtes on võrdne inertsmomentide summaga mis tahes kahe teise, joonise tasapinnas paikneva ja ristteljega ristuva telje suhtes.

Tabelis. 19.1 on näidatud mõnede ühtlase massitihedusega elementaarkujude inertsmomendid ja tabelis. 19.2 - mõne kujundi inertsmomendid, mida saab tabelist. 19.1 kasutades ülalloetletud omadusi.

Keha inertsmoment telje ja punkti suhtes. Materiaalse punkti inertsimoment telje ümber on võrdne punkti massi ja punkti kauguse telje ruudu korrutisega. Et leida keha (aine pideva jaotusega) inertsmomenti telje suhtes, on vaja see mõtteliselt jagada nii väikesteks elementideks, et igaühte neist saaks lugeda lõpmata väikese massi materiaalseks punktiks. dm =  dV. Siis on keha inertsmoment telje suhtes võrdne keha ruumala integraaliga:

kus r- elementide kaugus dm teljele.

Keha inertsmomendi arvutamine telje suhtes on sageli lihtsustatud, kui see on eelnevalt arvutatud inertsimoment punkti suhtes . See arvutatakse valemiga (1):

(2)

kus r- elementide kaugus dm valitud punktini (mille suhtes  ). Olgu see punkt koordinaatsüsteemi alguspunkt X, Y, Z(Joonis 1). Elementide kauguse ruudud dm telgede koordineerimiseks X, Y, Z ja päritoluga on vastavalt võrdsed y 2 + z 2 , z 2 + x 2 , x 2 + y 2 , x 2 + y 2 + z 2 . Keha inertsmomendid telgede suhtes X, Y, Z ja päritolu suhtes

Nendest suhetest järeldub, et

Sellel viisil, keha inertsmomentide summa mis tahes kolme vastastikku risti läbiva telje suhtes, mis läbivad ühte punkti, on võrdne kahekordse keha inertsmomendiga selle punkti suhtes.

Õhukese rõnga inertsimoment. Kõik sõrmuse elemendid dm(joonis 2) on samal kaugusel rõnga raadiusega R, sümmeetriateljest (Y-telg) ja selle keskpunktist. Rõnga inertsimoment Y-telje suhtes

(4)

Õhukese ketta inertsimoment. Laske õhuke homogeenne massiketas m kontsentrilise auguga (joonis 3) on sisemise ja välimise raadiusega R 1 ja R 2 . Jagame mõtteliselt ketta õhukesteks raadiusega rõngasteks r, paksus dr. Sellise rõnga inertsimoment telje suhtes Y(Joonis 3, see on joonisega risti ja pole näidatud), vastavalt punktile (4):

Ketta inertsmoment:

(6)

Eelkõige sisse seadmine (6) R 1 = 0, R 2 = R, saame valemi õhukese pideva homogeense ketta inertsmomendi arvutamiseks oma telje ümber:

Ketta inertsimoment oma sümmeetriatelje suhtes ei sõltu ketta paksusest. Seetõttu saab valemite (6) ja (7) abil arvutada vastavate silindrite inertsmomente nende sümmeetriatelgede suhtes.

Õhukese ketta inertsmoment selle keskpunkti suhtes arvutatakse samuti valemiga (6),  = J y , ja inertsimomendid telgede suhtes X ja Z on üksteisega võrdsed J x = J z. Seetõttu vastavalt punktile (3): 2 J x + J y = 2 J y , J x = J y /2, või

(8)

silindri inertsmoment. Olgu seal õõnes sümmeetriline massisilinder m, pikkus h, mille sisemine ja välimine raadius on võrdsed R 1 ja R 2 . Leidke selle inertsimoment telje suhtes Z, mis on tõmmatud läbi silindri teljega risti oleva massikeskme (joonis 4). Selleks jagage see mõtteliselt lõpmata väikese paksusega ketasteks dy. Üks neist ketastest, kaalub dm = mdy/ h asub eemal y koordinaatide päritolust, mis on näidatud joonisel fig. 4. Selle inertsimoment telje suhtes Z, kooskõlas punktiga (8) ja Huygensi – Steineri teoreemiga

Kogu silindri inertsmoment

Silindri inertsimoment telje suhtes Z (pendli pöörlemistelg) leiame Huygensi-Steineri teoreemi abil

kus d on kaugus silindri massikeskmest teljeni Z . Viites 16 on see inertsimoment tähistatud kui J c

(11)

VÄHEM RUUTU MEETOD

Eksperimentaalsete punktide joonistamine ja neile “silma järgi” graafiku joonistamine, samuti punktide abstsissi ja ordinaatide määramine graafikult ei ole väga täpne. Seda saab suurendada analüütilise meetodi abil. Graafiku koostamise matemaatiline reegel on valida parameetrite "a" ja "b" sellised väärtused vormi lineaarses seoses y = kirves + b nii et hälvete ruudu summa  juures i (Joonis 5) kõigist graafiku joone katsepunktidest oli väikseim ( vähima ruudu meetod"), st. nii et väärtus

(1)