Arvutage võrgus kolmnurga pindala. Kuidas arvutada kolmnurga pindala

Juhised

1. Kahe jala puhul S = a * b/2, a, b – jalad,

Teine pindala arvutamise võimalus kasutab kotangentide asemel teadaolevate nurkade siinusi. Selles versioonis ruut on võrdne teadaoleva külje pikkuse ruuduga, mis on korrutatud iga nurga siinustega ja jagatud nende nurkade topeltsiinusega: S = A*A*sin(α)*sin(β)/(2 *sin(α + β)). Näiteks sama kolmnurga jaoks, mille teadaolev külg on 15 cm ja mis külgneb sellega nurgad 40° ja 60° juures näeb pindala arvutamine välja selline: (15*15*sin(40)*sin(60))/(2*sin(40+60)) = 225*0,74511316*(-0,304810621) /( 2*(-0,506365641)) = -51,1016411/-1,01273128 = 50,4592305 ruutsentimeetrit.

Kolmnurga pindala arvutamise versioon hõlmab nurki. Pindala võrdub teadaoleva külje pikkuse ruuduga, mis on korrutatud iga nurga puutujatega ja jagatud nende nurkade puutujate kahekordse summaga: S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β) ). Näiteks eelmistes etappides kasutatud kolmnurga jaoks, mille külg on 15 cm ja külgneb nurgad 40° ja 60° juures näeb pindala arvutamine välja järgmine: (15*15*tg(40)*tg(60))/(2*(tg(40)+tg(60)) = (225*( -1,11721493 )*0,320040389)/(2*(-1,11721493+0,320040389)) = -80,4496277/-1,59434908 = 50,4592305 ruutsentimeetrit.

Kolmnurk on lihtsaim hulknurk, millel on kolm tippu ja kolm külge. Kolmnurka, mille üks nurk on täisnurk, nimetatakse täisnurkseks kolmnurgaks. Täisnurksete kolmnurkade puhul kehtivad kõik üldkolmnurkade valemid. Neid saab aga muuta, võttes arvesse täisnurga omadusi.

Juhised

Põhiline ala leidmiseks kolmnurk läbi aluse järgmiselt: S = 1/2 * b * h, kus b on külg kolmnurk ja h – kolmnurk. Kõrgus kolmnurk on tipust tõmmatud risti kolmnurk reale, mis sisaldab vastupidist. Ristkülikukujuliseks kolmnurk kõrgus k b ühtib jalaga a. Nii saate pindala arvutamise valemi kolmnurk nurgaga: S = 1/2 * a * b.

Kaaluge. Olgu ristkülikukujuline a = 3, b = 4. Siis S = 1/2 * 3 * 4 = 6. Arvutage ruut sama kolmnurk, kuid nüüd olgu teada ainult üks pool, b = 4. Ja nurk α, tan α = 3/4 on samuti teada. Seejärel väljendage trigonomeetrilise funktsiooni puutuja α avaldises jalg a: tg α = a/b => a = b * tan α. Ristküliku pindala arvutamiseks asendage see väärtus valemis kolmnurk ja saame: S = 1/2 * a * b = 1/2 *b^2 * tan α = 1/2 * 16 * 3/4 ​​= 6.

Erijuhtumina kaaluge võrdhaarse ristküliku pindala arvutamist kolmnurk. Võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, mille kaks külge on üksteisega võrdsed. Ristküliku puhul kolmnurk selgub a = b. Kirjutage selle juhtumi jaoks üles Pythagorase teoreem: c^2 = a^2 + b^2 = 2 * a^2. Järgmisena asendage see väärtus pindala arvutamise valemis järgmiselt: S = 1/2 * a * b = 1/2 * a^2 = 1/2 * (c^2 / 2) = c^2 / 4 .

Kui sissekirjutatud ringjoone r ja ümberringi R raadiused on teada, siis ruut ristkülikukujuline kolmnurk arvutatakse valemiga S = r^2 + 2 * r * R. Olgu kolmnurga sisse kirjutatud ringjoone raadius r = 1, piiritletud ringi raadius kolmnurk ring R = 5/2. Siis S = 1 + 2 * 1 * 5/2 = 6.

Video teemal

Kasulikud nõuanded

Täisnurkse kolmnurga ümber piiratud ringjoone raadius võrdub poolega hüpotenuusist: R = c / 2. Täisnurksesse kolmnurka kirjutatud ringi raadius leitakse valemiga r = (a + b – c) / 2.

See on üks lihtsamaid geomeetrilisi kujundeid, millel kolm paari paarikaupa ühendavat segmenti piiravad osa tasapinnast. Kolmnurga mõnede parameetrite (külgede pikkused, nurgad, sissekirjutatud või piiritletud ringide raadiused, kõrgus jne) tundmine erinevates kombinatsioonides võimaldab arvutada selle piiratud tasandi lõigu pindala.

Juhised

Kui kolmnurga kahe külje (A ja B) pikkused ja nende nurga suurus (γ) on teada, siis on kolmnurga pindala (S) võrdne poolega kolmnurga külgede ja külje pikkuste korrutisest. teadaoleva nurga siinus: S=A∗B∗sin(γ)/2.

Kui suvalise kolmnurga kõigi kolme külje (A, B ja C) pikkused on teada, siis selle pindala (S) arvutamiseks on mugavam kasutusele võtta lisamuutuja - poolperimeeter (p). See muutuja arvutatakse poolena kõigi külgede pikkuste summast: p=(A+B+C)/2. Seda muutujat saab defineerida kui ruutjuurt selle muutuja poolperimeetri korrutisest ja külgede pikkusest: S=√(p∗(p-A)∗(p-B)∗(p-C)).

Kui lisaks kõikide külgede (A, B ja C) pikkustele on teada ka suvalise kolmnurga lähedalt piiritletud ringi raadiuse (R) pikkus, siis saab hakkama ka ilma poolperimeetrita – pindala. (S) on võrdne ringi kõikide külgede pikkuste ja neljakordse raadiuse korrutisega: S=A ∗B∗C/(4∗R).

Kui kolmnurga kõigi nurkade (α, β ja γ) väärtused ja selle ühe külje pikkus (A) on teada, on pindala (S) võrdne kolmnurga korrutisega. teadaoleva külje pikkuse ruut kahe sellega külgneva nurga siinuste ja vastassuunalise ühe nurga topeltsiinusega: S=A²∗sin(β)∗sin(γ)/(2∗sin(α)).

Kui suvalise kolmnurga kõigi nurkade väärtused (α, β ja γ) ning piiritletud ringi raadius (R) on teada, on pindala (S) võrdne raadiuse kahekordse ruuduga ja kõikide nurkade siinused: S=2∗R²∗sin(α)∗ sin(β)∗sin(γ).

Video teemal

Kolmnurga ruumala leidmine on tõesti mittetriviaalne ülesanne. Fakt on see, et kolmnurk on kahemõõtmeline kujund, st. see asub täielikult ühel tasapinnal, mis tähendab, et sellel lihtsalt pole helitugevust. Muidugi ei leia midagi, mida poleks olemas. Kuid ärgem andkem alla! Võime nõustuda järgmise eeldusega: kahemõõtmelise kujundi ruumala on selle pindala. Otsime kolmnurga pindala.

Sul läheb vaja

• paberileht, pliiats, joonlaud, kalkulaator

Juhised

Joonistage joonlaua ja pliiatsi abil paberile. Kolmnurka hoolikalt uurides saate veenduda, et sellel pole tõesti kolmnurka, kuna see on joonistatud tasapinnale. Märgistage kolmnurga küljed: olgu üks külg külg "a", teine ​​külg "b" ja kolmas külg "c". Märgistage kolmnurga tipud tähtedega "A", "B" ja "C".

Mõõtke joonlauaga kolmnurga mis tahes külg ja kirjutage tulemus üles. Pärast seda taastage risti mõõdetud küljega selle vastas olevast tipust, selline rist on kolmnurga kõrgus. Joonisel kujutatud juhul taastatakse risti "h" tipust "A" olevale küljele "c". Mõõtke saadud kõrgus joonlauaga ja kirjutage mõõtmistulemus.

Täpse risti taastamine võib olla keeruline. Sel juhul peaksite kasutama teist valemit. Mõõtke joonlauaga kolmnurga kõik küljed. Pärast seda arvutage kolmnurga "p" poolperimeeter, lisades saadud külgede pikkused ja jagades nende summa pooleks. Kui teie käsutuses on poolperimeetri väärtus, saate kasutada Heroni valemit. Selleks tuleb võtta ruutjuur järgmisest: p(p-a)(p-b)(p-c).

Olete saanud kolmnurga vajaliku pindala. Kolmnurga ruumala leidmise probleem ei ole lahendatud, kuid nagu eespool mainitud, ruumala mitte. Võite leida mahu, mis on kolmemõõtmelises maailmas sisuliselt kolmnurk. Kui kujutame ette, et meie algsest kolmnurgast on saanud kolmemõõtmeline püramiid, siis on sellise püramiidi ruumala selle aluse pikkuse ja sellest tuleneva kolmnurga pindala korrutis.

Pange tähele

Mida hoolikamalt mõõdate, seda täpsemad on teie arvutused.

Allikad:

• Kalkulaator “Kõik kõigele” – võrdlusväärtuste portaal
• kolmnurga maht

Internetist leiate üle 10 valemi kolmnurga pindala arvutamiseks. Paljusid neist kasutatakse kolmnurga teadaolevate külgede ja nurkadega seotud probleemide lahendamisel. Siiski on mitmeid keerulisi näiteid, kus vastavalt määramise tingimustele on teada ainult kolmnurga üks külg ja nurgad või piiritletud või sisse kirjutatud ringi raadius ja veel üks tunnus. Sellistel juhtudel ei saa lihtsat valemit rakendada.

Allpool toodud valemid võimaldavad teil lahendada 95 protsenti probleemidest, mille puhul peate leidma kolmnurga pindala.
Jätkame ühisala valemite kaalumisega.
Kaaluge alloleval joonisel näidatud kolmnurka

Joonisel ja allpool valemites tutvustatakse kõigi selle tunnuste klassikalisi tähistusi.
a,b,c – kolmnurga küljed,
R – piiritletud ringi raadius,
r – sisse kirjutatud ringi raadius,
h[b],h[a],h[c] – külgede a,b,c järgi joonistatud kõrgused.
alfa, beeta, hamma – tippude lähedased nurgad.

Kolmnurga pindala põhivalemid

1. Pindala on võrdne poolega kolmnurga külje ja sellele küljele langetatud kõrguse korrutisest. Valemite keeles saab selle definitsiooni kirjutada järgmiselt

Seega, kui külg ja kõrgus on teada, leiab iga õpilane ala üles.
Muide, sellest valemist võib tuletada ühe kasuliku kõrgustevahelise seose

2. Kui võtta arvesse, et kolmnurga kõrgust läbi külgneva külje väljendatakse sõltuvusega

Siis järgnevad esimesele pindalavalemile teised sama tüüpi

Vaadake hoolikalt valemeid - neid on lihtne meeles pidada, kuna töö hõlmab kahte külge ja nende vahelist nurka. Kui tähistame õigesti kolmnurga küljed ja nurgad (nagu ülaltoodud joonisel), saame kaks külge a, b ja nurk on ühendatud kolmandaga Koos (hamma).

3. Kolmnurga nurkade puhul on seos tõene

Sõltuvus võimaldab teil arvutustes kasutada kolmnurga pindala jaoks järgmisi valemeid:

Selle sõltuvuse näited on äärmiselt haruldased, kuid peate meeles pidama, et selline valem on olemas.

4. Kui külg ja kaks külgnevat nurka on teada, siis leitakse pindala valemiga

5. Pindala valem külgnevate nurkade külg- ja kotangensina on järgmine

Indeksite ümberkorraldamisega saate teiste osapoolte jaoks sõltuvusi.

6. Allolevat pindalavalemit kasutatakse ülesannetes, kui kolmnurga tipud on tasapinnal määratud koordinaatidega. Sel juhul on pindala võrdne poolega mooduli determinandist.

7. Heroni valem kasutatakse näidetes kolmnurga teadaolevate külgedega.
Kõigepealt leidke kolmnurga poolperimeeter

Ja seejärel määrake ala valemi abil

või

Seda kasutatakse üsna sageli kalkulaatoriprogrammide koodides.

8. Kui kolmnurga kõik kõrgused on teada, siis määratakse pindala valemiga

Kalkulaatoriga on keeruline arvutada, kuid MathCad, Mathematica, Maple paketis on pindala “aeg kaks”.

9. Järgmised valemid kasutavad sissekirjutatud ja piiritletud ringide teadaolevaid raadiusi.

Eelkõige, kui kolmnurga raadius ja küljed või ümbermõõt on teada, arvutatakse pindala valemi järgi

10. Näidetes, kus on antud piiritletud ringi küljed ja raadius või läbimõõt, leitakse pindala valemiga

11. Järgmine valem määrab kolmnurga pindala kolmnurga külje ja nurkade järgi.

Ja lõpuks - erijuhud:
Täisnurkse kolmnurga pindala mille jalad a ja b on võrdsed poolega nende korrutisest

Võrdkülgse (korrapärase) kolmnurga pindala valem=

= üks neljandik külje ruudu ja kolme juure korrutisest.

Kolmnurk on geomeetriline kujund, mis koosneb kolmest sirgjoonest, mis ühenduvad punktides, mis ei asu samal sirgel. Joonte ühenduspunktid on kolmnurga tipud, mis on tähistatud ladina tähtedega (näiteks A, B, C). Kolmnurga ühendavaid sirgeid nimetatakse lõikudeks, mida tavaliselt tähistatakse ka ladina tähtedega. Eristatakse järgmist tüüpi kolmnurki:

• Ristkülikukujuline.
• nüri.
• Äge nurgeline.
• Mitmekülgne.
• Võrdkülgne.
• Võrdhaarsed.

Üldvalemid kolmnurga pindala arvutamiseks

Kolmnurga pindala valem, mis põhineb pikkusel ja kõrgusel

S = a*h/2,
kus a on selle kolmnurga külje pikkus, mille pindala on vaja leida, h on aluse kõrguse pikkus.

Heroni valem

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
kus √ on ruutjuur, p on kolmnurga poolperimeeter, a,b,c on kolmnurga mõlema külje pikkus. Kolmnurga poolperimeetrit saab arvutada valemiga p=(a+b+c)/2.

Kolmnurga pindala valem, mis põhineb lõigu nurgal ja pikkusel

S = (a*b*sin(α))/2,
kus b,c on kolmnurga külgede pikkus, sin(α) on kahe külje vahelise nurga siinus.

Kolmnurga pindala valem, millel on sisse kirjutatud ringi raadius ja kolm külge

S=p*r,
kus p on selle kolmnurga poolperimeeter, mille pindala tuleb leida, r on sellesse kolmnurka kantud ringi raadius.

Kolmnurga pindala valem, mis põhineb kolmel küljel ja selle ümber piiratud ringi raadiusel

S= (a*b*c)/4*R,
kus a,b,c on kolmnurga mõlema külje pikkus, R on kolmnurga ümber oleva ringi raadius.

Kolmnurga pindala valem, kasutades punktide Descartes'i koordinaate

Punktide ristkoordinaadid on koordinaadid xOy süsteemis, kus x on abstsiss, y on ordinaat. Descartes'i koordinaatsüsteem xOy tasapinnal on vastastikku risti asetsevad arvteljed Ox ja Oy, millel on ühine alguspunktis O. Kui selle tasapinna punktide koordinaadid on antud kujul A(x1, y1), B(x2, y2 ) ja C(x3, y3 ), siis saate kolmnurga pindala arvutada järgmise valemi abil, mis saadakse kahe vektori vektorkorrutisest.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
kus || tähistab moodulit.

Kuidas leida täisnurkse kolmnurga pindala

Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on 90 kraadi. Kolmnurgal võib olla ainult üks selline nurk.

Valem täisnurkse kolmnurga kahe külje pindala jaoks

S = a*b/2,
kus a,b on jalgade pikkus. Jalad on täisnurgaga külgnevad küljed.

Täisnurkse kolmnurga pindala valem hüpotenuusil ja teravnurgal

S = a*b*sin(α)/2,
kus a, b on kolmnurga jalad ja sin(α) on nurga siinus, mille all sirged a, b ristuvad.

Täisnurkse kolmnurga pindala valem külje ja vastasnurga põhjal

S = a*b/2*tg(β),
kus a, b on kolmnurga jalad, tan(β) on nurga puutuja, mille all jalad a, b on ühendatud.

Kuidas arvutada võrdhaarse kolmnurga pindala

Võrdhaarne kolmnurk on selline, millel on kaks võrdset külge. Neid külgi nimetatakse külgedeks ja teine ​​külg on alus. Võrdhaarse kolmnurga pindala arvutamiseks võite kasutada ühte järgmistest valemitest.

Võrdhaarse kolmnurga pindala arvutamise põhivalem

S=h*c/2,
kus c on kolmnurga alus, h on selle kolmnurga kõrgus, mis on langetatud alusele.

Võrdhaarse kolmnurga valem külje ja aluse põhjal

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
kus c on kolmnurga alus, a on võrdhaarse kolmnurga ühe külje suurus.

Kuidas leida võrdkülgse kolmnurga pindala

Võrdkülgne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik küljed on võrdsed. Võrdkülgse kolmnurga pindala arvutamiseks võite kasutada järgmist valemit:
S = (√3*a*a)/4,
kus a on võrdkülgse kolmnurga külje pikkus.

Ülaltoodud valemid võimaldavad teil arvutada kolmnurga vajaliku pindala. Oluline on meeles pidada, et kolmnurkade pindala arvutamiseks peate arvestama kolmnurga tüüpi ja olemasolevate andmetega, mida saab arvutamiseks kasutada.

Nagu te oma kooli geomeetria õppekavast mäletate, on kolmnurk kujund, mis on moodustatud kolmest lõigust, mis on ühendatud kolme punktiga, mis ei asu samal sirgel. Kolmnurk moodustab kolm nurka, sellest ka joonise nimi. Määratlus võib olla erinev. Kolmnurka võib nimetada ka kolme nurgaga hulknurgaks, ka vastus on õige. Kolmnurgad jagatakse vastavalt võrdsete külgede arvule ja nurkade suurusele joonistel. Seega eristatakse kolmnurki võrdhaarsete, võrdkülgsete ja skaalana, samuti ristkülikukujuliste, teravate ja nürikujulistena.

Kolmnurga pindala arvutamiseks on palju valemeid. Valige, kuidas leida kolmnurga pindala, st. Millist valemit kasutada, on teie otsustada. Kuid väärib märkimist ainult mõned tähistused, mida kasutatakse paljudes kolmnurga pindala arvutamise valemites. Niisiis, pidage meeles:

S on kolmnurga pindala,

a, b, c on kolmnurga küljed,

h on kolmnurga kõrgus,

R on piiritletud ringi raadius,

p on poolperimeeter.

Siin on põhilised tähistused, mis võivad olla teile kasulikud, kui olete oma geomeetriakursuse täielikult unustanud. Allpool on kolmnurga tundmatu ja salapärase ala arvutamiseks kõige arusaadavad ja lihtsamad võimalused. See pole keeruline ja on kasulik nii teie majapidamisvajaduste jaoks kui ka teie laste abistamiseks. Pidagem meeles, kuidas kolmnurga pindala võimalikult lihtsalt arvutada:

Meie puhul on kolmnurga pindala: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 ruutcm. Pidage meeles, et pindala mõõdetakse ruutsentimeetrites (ruutmeetrites).

Täisnurkne kolmnurk ja selle pindala.

Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on võrdne 90 kraadiga (seega nimetatakse seda parempoolseks). Täisnurga moodustavad kaks risti asetsevat sirget (kolmnurga puhul kaks risti asetsevat lõiku). Täisnurkses kolmnurgas saab olla ainult üks täisnurk, sest... mis tahes kolmnurga kõigi nurkade summa on 180 kraadi. Selgub, et ülejäänud 90 kraadi peaksid jagama veel 2 nurka, näiteks 70 ja 20, 45 ja 45 jne. Niisiis, mäletate peamist, jääb üle vaid välja selgitada, kuidas leida täisnurkse kolmnurga pindala. Kujutagem ette, et meie ees on selline täisnurkne kolmnurk ja me peame leidma selle pindala S.

1. Lihtsaim viis täisnurkse kolmnurga pindala määramiseks arvutatakse järgmise valemi abil:

Meie puhul on täisnurkse kolmnurga pindala: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 ruutcm.

Põhimõtteliselt pole enam vaja kolmnurga pindala muul viisil kontrollida, sest Ainult see on kasulik ja aitab igapäevaelus. Kuid on ka võimalusi kolmnurga pindala mõõtmiseks teravnurkade kaudu.

2. Teiste arvutusmeetodite jaoks peab teil olema koosinuste, siinuste ja puutujate tabel. Otsustage ise, siin on mõned võimalused täisnurkse kolmnurga pindala arvutamiseks, mida saab veel kasutada:

Otsustasime kasutada esimest valemit ja mõningate pisiplekkidega (joonistasime vihikusse ja kasutasime vana joonlauda ja nurgamõõturit), kuid saime õige arvutuse:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Saime järgmised tulemused: 3,6=3,7, kuid lahtrite nihkumist arvesse võttes võime selle nüansi andeks anda.

Võrdhaarne kolmnurk ja selle pindala.

Kui seisate silmitsi võrdhaarse kolmnurga valemi arvutamise ülesandega, on lihtsaim viis kasutada kolmnurga pindala põhivalemit ja seda, mida peetakse klassikaliseks.

Kuid kõigepealt, enne võrdhaarse kolmnurga pindala leidmist, uurime välja, milline kujund see on. Võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, mille kaks külge on ühepikkused. Neid kahte külge nimetatakse külgmiseks, kolmandaks aluseks. Ärge ajage segi võrdhaarset kolmnurka võrdkülgse kolmnurgaga, s.t. korrapärane kolmnurk, mille kõik kolm külge on võrdsed. Sellises kolmnurgas ei ole erilisi kalduvusi nurkadele, õigemini nende suurusele. Võrdhaarse kolmnurga aluse nurgad on aga võrdsed, kuid erinevad võrdsete külgede vahelisest nurgast. Niisiis, teate juba esimest ja peamist valemit, jääb üle välja selgitada, millised muud valemid võrdhaarse kolmnurga pindala määramiseks on teada.

Kolmnurk on kõigile tuttav kujund. Ja seda hoolimata selle vormide rikkalikust mitmekesisusest. Ristkülikukujuline, võrdkülgne, terav, võrdhaarne, nürikujuline. Igaüks neist on mõnes mõttes erinev. Kuid igaühe jaoks peate välja selgitama kolmnurga pindala.

Kõigile kolmnurkadele ühised valemid, mis kasutavad külgede või kõrguste pikkusi

Neis vastu võetud nimetused: küljed - a, b, c; kõrgused vastavatel külgedel a, n sisse, n koos.

1. Kolmnurga pindala arvutatakse ½, külje ja sellest lahutatud kõrguse korrutisena. S = ½ * a * n a. Ülejäänud kahe külje valemid tuleks kirjutada sarnaselt.

2. Heroni valem, milles esineb poolperimeeter (tavaliselt tähistatakse seda väikese tähega p, erinevalt täisperimeetrist). Poolperimeeter tuleb arvutada järgmiselt: liida kokku kõik küljed ja jaga need 2-ga. Poolperimeetri valem on: p = (a+b+c) / 2. Seejärel võrdub ​​joonis näeb välja selline: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Kui te ei soovi poolperimeetrit kasutada, on kasulik valem, mis sisaldab ainult külgede pikkusi: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). See on küll veidi pikem kui eelmine, kuid aitab sellest, kui oled unustanud, kuidas poolperimeetrit leida.

Üldvalemid, mis hõlmavad kolmnurga nurki

Valemite lugemiseks vajalikud tähistused: α, β, γ - nurgad. Need asuvad vastavalt vastaskülgedel a, b, c.

1. Selle järgi on pool kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse korrutisest võrdne kolmnurga pindalaga. See tähendab: S = ½ a * b * sin γ. Ülejäänud kahe juhtumi valemid tuleks kirjutada sarnaselt.

2. Kolmnurga pindala saab arvutada ühe külje ja kolme teadaoleva nurga järgi. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. On olemas ka valem, millel on üks teadaolev külg ja kaks külgnevat nurka. See näeb välja selline: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Kaks viimast valemit ei ole kõige lihtsamad. Neid on üsna raske meeles pidada.

Üldvalemid olukorra jaoks, kui on teada sissekirjutatud või piiritletud ringide raadiused

Lisatähistused: r, R - raadiused. Esimest kasutatakse sisse kirjutatud ringi raadiuse jaoks. Teine on kirjeldatud jaoks.

1. Esimene valem, mille abil arvutatakse kolmnurga pindala, on seotud poolperimeetriga. S = r * r. Teine viis selle kirjutamiseks on: S = ½ r * (a + b + c).

2. Teisel juhul peate korrutama kolmnurga kõik küljed ja jagama need neljakordse piiritletud ringi raadiusega. Sõnasõnalises avaldises näeb see välja järgmine: S = (a * b * c) / (4R).

3. Kolmas olukord võimaldab teil teha külgi teadmata, kuid teil on vaja kõigi kolme nurga väärtusi. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Erijuhtum: täisnurkne kolmnurk

See on kõige lihtsam olukord, kuna nõutav on ainult mõlema jala pikkus. Neid tähistatakse ladina tähtedega a ja b. Täisnurkse kolmnurga pindala on võrdne poolega sellele lisatud ristküliku pindalast.

Matemaatiliselt näeb see välja järgmine: S = ½ a * b. Seda on kõige lihtsam meeles pidada. Kuna see näeb välja nagu ristküliku pindala valem, kuvatakse ainult murdosa, mis näitab poolt.

Erijuhtum: võrdhaarne kolmnurk

Kuna sellel on kaks võrdset külge, näivad mõned selle ala valemid mõnevõrra lihtsustatud. Näiteks Heroni valem, mis arvutab võrdhaarse kolmnurga pindala, on järgmisel kujul:

S = ½ tolli √((a + ½ tolli)*(a - ½ tolli)).

Kui muudate selle, muutub see lühemaks. Sel juhul kirjutatakse Heroni valem võrdhaarse kolmnurga jaoks järgmiselt:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

Pindala valem tundub mõnevõrra lihtsam kui suvalise kolmnurga puhul, kui küljed ja nendevaheline nurk on teada. S = ½ a 2 * sin β.

Erijuhtum: võrdkülgne kolmnurk

Tavaliselt on probleemide puhul teada, mis pool sellega seotud on või saab selle kuidagi teada. Siis on sellise kolmnurga pindala leidmise valem järgmine:

S = (a 2 √3) / 4.

Probleemid ala leidmisega, kui kolmnurk on kujutatud ruudulisel paberil

Lihtsaim olukord on siis, kui joonistatakse täisnurkne kolmnurk nii, et selle jalad langevad kokku paberi joontega. Siis peate lihtsalt loendama jalgadesse mahtuvate rakkude arvu. Seejärel korrutage need ja jagage kahega.

Kui kolmnurk on terav või nüri, tuleb see tõmmata ristkülikuks. Siis on saadud joonisel 3 kolmnurka. Üks on probleemis antud. Ja ülejäänud kaks on abi- ja ristkülikukujulised. Kahe viimase pindalad tuleb määrata ülalkirjeldatud meetodil. Seejärel arvutage ristküliku pindala ja lahutage sellest abipindade jaoks arvutatud väärtus. Kolmnurga pindala määratakse.

Olukord, kus kolmnurga ükski külg ei lange kokku paberi joontega, osutub palju keerulisemaks. Seejärel tuleb see kirjutada ristkülikusse, nii et algkujundi tipud jääksid selle külgedele. Sel juhul on kolm täisnurkset abikolmnurka.

Näide probleemist, kasutades Heroni valemit

Seisund. Mõnel kolmnurgal on teada küljed. Need on võrdsed 3, 5 ja 6 cm Peate välja selgitama selle pindala.

Nüüd saate ülaltoodud valemi abil arvutada kolmnurga pindala. Ruutjuure all on nelja arvu korrutis: 7, 4, 2 ja 1. See tähendab, et pindala on √(4 * 14) = 2 √(14).

Kui suuremat täpsust pole vaja, võite võtta ruutjuure 14-st. See võrdub 3,74-ga. Siis on ala 7.48.

Vastus. S = 2 √14 cm 2 või 7,48 cm 2.

Näidisülesanne täisnurkse kolmnurgaga

Seisund. Täisnurkse kolmnurga üks jalg on 31 cm suurem kui teine ​​Kui kolmnurga pindala on 180 cm 2, peate välja selgitama nende pikkused.
Lahendus. Peame lahendama kahe võrrandi süsteemi. Esimene on seotud piirkonnaga. Teine on jalgade suhtega, mis on antud ülesandes.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Esiteks tuleb "a" väärtus asendada esimeses võrrandis. Selgub: 180 = ½ (in + 31) * tolli. On ainult üks teadmata kogus, seega on seda lihtne lahendada. Pärast sulgude avamist saadakse ruutvõrrand: 2 + 31 360 = 0. See annab kaks väärtust "in" jaoks: 9 ja - 40. Teine arv ei sobi vastuseks, kuna külje pikkus on kolmnurga väärtus ei saa olla negatiivne.

Jääb üle arvutada teine ​​jalg: saadud arvule lisada 31. Selgub, et ülesandes otsitakse neid koguseid.

Vastus. Kolmnurga jalad on 9 ja 40 cm.

Kolmnurga pindala, külje ja nurga kaudu külje leidmise ülesanne

Seisund. Teatud kolmnurga pindala on 60 cm 2. On vaja arvutada üks selle külgedest, kui teine ​​külg on 15 cm ja nende vaheline nurk on 30º.

Lahendus. Aktsepteeritud tähise alusel on soovitud külg “a”, teadaolev külg “b”, antud nurk “γ”. Seejärel saab pindala valemi ümber kirjutada järgmiselt:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Siin on 30 kraadi siinus 0,5.

Pärast teisendusi osutub "a" võrdseks 60 / (0,5 * 0,5 * 15). See on 16.

Vastus. Nõutav külg on 16 cm.

Ülesanne täisnurksesse kolmnurka kantud ruudu kohta

Seisund. 24 cm küljega ruudu tipp langeb kokku kolmnurga täisnurgaga. Ülejäänud kaks asuvad külgedel. Kolmas kuulub hüpotenuusile. Ühe jala pikkus on 42 cm Mis on täisnurkse kolmnurga pindala?

Lahendus. Mõelge kahele täisnurksele kolmnurgale. Esimene on ülesandes määratud. Teine põhineb algse kolmnurga teadaoleval jalal. Need on sarnased, kuna neil on ühine nurk ja need on moodustatud paralleelsete joontega.

Siis on nende jalgade suhted võrdsed. Väiksema kolmnurga jalad on võrdsed 24 cm (ruudu külg) ja 18 cm (antud jalaga 42 cm lahutage ruudu külg 24 cm). Suure kolmnurga vastavad jalad on 42 cm ja x cm. Kolmnurga pindala arvutamiseks on vaja seda "x".

18/42 = 24/x, see tähendab x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Siis võrdub pindala 56 ja 42 korrutisega, mis on jagatud kahega, see tähendab 1176 cm 2.

Vastus. Vajalik pindala on 1176 cm2.