Meelelahutuslik matemaatika. Keskmine väärtus

Aritmeetiline keskmine on arvude summa jagatud samade arvude arvuga. Ja aritmeetilise keskmise leidmine on väga lihtne.

Nagu definitsioonist järeldub, peame võtma numbrid, liitma need ja jagama nende arvuga.

Toome näite: meile on antud arvud 1, 3, 5, 7 ja me peame leidma nende arvude aritmeetilise keskmise.

• esmalt lisa need numbrid (1+3+5+7) ja saad 16
• Peame saadud tulemuse jagama 4-ga (kogus): 16/4 ja saama tulemuseks 4.

Seega on arvude 1, 3, 5 ja 7 aritmeetiline keskmine 4.

Aritmeetiline keskmine - antud näitajate keskmine väärtus.

See leitakse, jagades kõigi näitajate summa nende arvuga.

Näiteks mul on 5 õuna kaaluga 200, 250, 180, 220 ja 230 grammi.

Leiame 1 õuna keskmise kaalu järgmiselt:

• otsime kõigi õunte kogumassi (kõikide näitajate summa) - see on 1080 grammi,
• jagage kogumass õunte arvuga 1080:5 = 216 grammi. See on aritmeetiline keskmine.

See on statistikas kõige sagedamini kasutatav näitaja.

Aritmeetiline keskmine on arvud, mis liidetakse kokku ja jagatakse nende arvuga, saadud vastuseks on aritmeetiline keskmine.

Näiteks: Katya pani hoiupõrsasse 50 rubla, Maxim 100 rubla ja Saša pani hoiupõrsasse 150 rubla. 50 + 100 + 150 = 300 rubla hoiupõrsas, nüüd jagame selle summa kolmega (raha panevad kolm inimest). Seega 300: 3 = 100 rubla. Need 100 rubla on aritmeetiliselt keskmine, igaüks neist pange hoiupõrsasse.

Seal on selline lihtne näide: üks inimene sööb liha, teine ​​inimene sööb kapsast ja aritmeetiliselt keskmiselt söövad nad mõlemad kapsarulle.

Keskmist palka arvestatakse samamoodi...

Aritmeetiline keskmine on kõigi väärtuste summa ja jagatud nende arvuga.

Näiteks numbrid 2, 3, 5, 6. Peate need lisama 2+ 3+ 5 + 6 = 16

Jagame 16 4-ga ja saame vastuseks 4.

4 on nende arvude aritmeetiline keskmine.

Mitme arvu aritmeetiline keskmine on nende arvude summa jagatud nende arvuga.

x keskmine aritmeetiline keskmine

S arvude summa

n arvude arv.

Näiteks peame leidma arvude 3, 4, 5 ja 6 aritmeetilise keskmise.

Selleks peame need liitma ja jagama saadud summa 4-ga:

(3 + 4 + 5 + 6) : 4 = 18: 4 = 4,5.

Mäletan, et tegin matemaatikas lõpueksami

Nii et seal oli vaja leida aritmeetiline keskmine.

Hea, et lahked inimesed soovitasid, mida teha, muidu oleks jama.

Näiteks on meil 4 numbrit.

Liitke numbrid ja jagage nende arvuga (antud juhul 4)

Näiteks numbrid 2,6,1,1. Lisage 2+6+1+1 ja jagage 4-ga = 2,5

Nagu näete, pole midagi keerulist. Seega on aritmeetiline keskmine kõigi arvude keskmine.

Teame seda koolist. Igaüks, kellel oli hea matemaatikaõpetaja, mäletas seda lihtsat tegevust esimest korda.

Aritmeetilise keskmise leidmisel peate liitma kõik saadaolevad arvud ja jagama nende arvuga.

Näiteks ostsin poest 1 kg õunu, 2 kg banaane, 3 kg apelsine ja 1 kg kiivi. Mitu kilogrammi puuvilju ma keskmiselt ostsin?

7/4 = 1,8 kilogrammi. Sellest saab aritmeetiline keskmine.

Aritmeetiline keskmine on keskmine arv mitme arvu vahel.

Näiteks numbrite 2 ja 4 vahel on keskmine arv 3.

Aritmeetilise keskmise leidmise valem on järgmine:

Peate kõik numbrid kokku liitma ja jagama nende arvudega:

Näiteks on meil 3 numbrit: 2, 5 ja 8.

Aritmeetilise keskmise leidmine:

X=(2+5+8)/3=15/3=5

Aritmeetilise keskmise kasutusala on üsna lai.

Näiteks teades lõigu kahe punkti koordinaate, saate leida selle lõigu keskkoha koordinaadid.

Näiteks lõigu koordinaadid: (X1,Y1,Z1)-(X2,Y2,Z2).

Tähistame selle lõigu keskpunkti koordinaatidega X3,Y3,Z3.

Leiame iga koordinaadi keskpunkti eraldi:

Aritmeetiline keskmine on antud...

Need. Meil on lihtsalt palju erineva pikkusega pulkasid ja tahame teada nende keskmist väärtust.

On loogiline, et selleks viime need kokku, saades pika pulga, ja jagame selle seejärel vajalikuks arvuks osadeks.

Siit tuleb aritmeetiline keskmine...

Valem tuletatakse nii: Sa=(S(1)+..S(n))/n..

Aritmeetikat peetakse matemaatika kõige elementaarsemaks haruks ja see uurib lihtsaid tehteid arvudega. Seetõttu on ka aritmeetiline keskmine väga lihtne leida. Alustame määratlusega. Aritmeetiline keskmine on väärtus, mis näitab, milline arv on pärast mitut järjestikust sama tüüpi tehtet tõele kõige lähemal. Näiteks sada meetrit joostes näitab inimene iga kord erinevat aega, kuid keskmine väärtus jääb näiteks 12 sekundi piiresse. Sel viisil aritmeetilise keskmise leidmine taandub teatud seeria (võistluste tulemused) kõigi arvude järjestikusele summeerimisele ja selle summa jagamisele nende võistluste (katsete, numbrite) arvuga. Valemi kujul näeb see välja järgmine:

Sarif = (Х1+Х2+..+Хn)/n

Matemaatikuna huvitavad mind selleteemalised küsimused.

Alustan probleemi ajaloost. Keskmiste väärtuste peale on mõelnud iidsetest aegadest peale. Aritmeetiline keskmine, geomeetriline keskmine, harmooniline keskmine. Need kontseptsioonid pakkusid välja Vana-Kreekas Pythagoreanid.

Ja nüüd küsimus, mis meid huvitab. Mida mõeldakse all mitme arvu aritmeetiline keskmine:

Niisiis, arvude aritmeetilise keskmise leidmiseks peate liitma kõik arvud ja jagama saadud summa liikmete arvuga.

Valem on:

Näide. Leidke arvude 100, 175, 325 aritmeetiline keskmine.

Kasutame kolme arvu aritmeetilise keskmise leidmiseks valemit (see tähendab, et n asemel on 3; peate liitma kõik 3 arvu ja jagama saadud summa nende arvuga, st 3-ga). Meil on: x=(100+175+325)/3=600/3=200.

Kolm last läksid metsa marju korjama. Vanem tütar leidis 18 marja, keskmine - 15 ja noorem vend - 3 marja (vt joon. 1). Nad tõid marjad emale, kes otsustas marjad võrdselt ära jagada. Mitu marju sai iga laps?

Riis. 1. Probleemi illustratsioon

Lahendus

(Yag.) - lapsed kogusid kõike

2) Jagage marjade koguarv laste arvuga:

(Yag.) läks igale lapsele

Vastus: Iga laps saab 12 marja.

Ülesandes 1 on vastuses saadud arv aritmeetiline keskmine.

Aritmeetiline keskmine mitu arvu on nende arvude summa jagamise jagatis nende arvuga.

Näide 1

Meil on kaks arvu: 10 ja 12. Leidke nende aritmeetiline keskmine.

Lahendus

1) Määrame nende arvude summa: .

2) Nende arvude arv on 2, seega on nende arvude aritmeetiline keskmine võrdne: .

Vastus: Arvude 10 ja 12 aritmeetiline keskmine on arv 11.

Näide 2

Meil on viis arvu: 1, 2, 3, 4 ja 5. Leidke nende aritmeetiline keskmine.

Lahendus

1) Nende arvude summa on võrdne: .

2) Definitsiooni järgi on aritmeetiline keskmine arvude summa jagamise jagatis nende arvuga. Meil on viis arvu, nii et aritmeetiline keskmine on:

Vastus: numbrite tingimuse andmete aritmeetiline keskmine on 3.

Lisaks sellele, et seda küsitakse tundides pidevalt leida, on aritmeetilise keskmise leidmine igapäevaelus väga kasulik. Oletame näiteks, et tahame Kreekasse puhkama minna. Sobiva riietuse valimiseks vaatame, mis temperatuur siin riigis hetkel on. Üldist ilmapilti me aga teada ei saa. Seetõttu on vaja välja selgitada näiteks Kreeka õhutemperatuur nädalaks ja leida nende temperatuuride aritmeetiline keskmine.

Näide 3

Temperatuur Kreekas nädala jooksul: esmaspäev - ; teisipäev - ; kolmapäev - ; neljapäeval - ; reede - ; laupäeval - ; Pühapäeval -. Arvutage nädala keskmine temperatuur.

Lahendus

1) Arvutame temperatuuride summa: .

2) Jagage saadud summa päevade arvuga: .

Vastus: Nädala keskmine temperatuur on u.

Aritmeetilise keskmise leidmise oskust võib vaja minna ka jalgpallimeeskonna mängijate keskmise vanuse määramiseks, st selleks, et teha kindlaks, kas meeskond on kogenud või mitte. Kõigi mängijate vanused tuleb kokku võtta ja jagada nende arvuga.

Probleem 2

Kaupmees müüs õunu. Alguses müüs ta neid hinnaga 85 rubla 1 kg kohta. Nii et ta müüs 12 kg. Seejärel alandas ta hinda 65 rubla peale ja müüs ülejäänud 4 kg õunu maha. Mis oli õunte keskmine hind?

Lahendus

1) Arvutame välja, kui palju kaupmees kokku teenis. Ta müüs 12 kilogrammi hinnaga 85 rubla 1 kg kohta: (hõõruda).

Ta müüs 4 kilogrammi hinnaga 65 rubla 1 kg kohta: (rubla).

Seetõttu on teenitud raha kogusumma võrdne: (rub.).

2) Müüdud õunte kogumass on võrdne: .

3) Jagage saadud rahasumma müüdud õunte kogumassiga ja saage 1 kg õunte keskmine hind: (rubla).

Vastus: 1 kg müüdud õunte keskmine hind on 80 rubla.

Aritmeetiline keskmine aitab hinnata andmeid tervikuna, võtmata iga väärtust eraldi.

Siiski ei ole alati võimalik kasutada aritmeetilise keskmise mõistet.

Näide 4

Laskur tulistas märklauda kaks lasku (vt joon. 2): esimesel korral tabas ta meetri kõrgusest märklauast ja teisel korral meetri võrra allapoole. Aritmeetiline keskmine näitab, et ta tabas täpselt keskele, kuigi eksis mõlemal korral.

Riis. 2. Illustratsioon näiteks

Selles õppetükis õppisime tundma aritmeetilise keskmise mõistet. Õppisime selle mõiste määratlust, õppisime arvutama mitme arvu aritmeetilist keskmist. Õppisime ka selle kontseptsiooni praktilist rakendamist.

1. N.Ya. Vilenkin. Matemaatika: õpik. 5. klassi jaoks. Üldharidus uchr. - Toim. 17. - M.: Mnemosyne, 2005.
)
2. Igoril oli kaasas 45 rubla, Andreyl 28 ja Denisel 17 rubla.
3. Kogu oma raha eest ostsid nad 3 kinopiletit. Kui palju üks pilet maksis?

Kõige tavalisem keskmise tüüp on aritmeetiline keskmine.

Lihtne aritmeetiline keskmine

Lihtne aritmeetiline keskmine on keskmine liige, mille määramisel jaotatakse antud atribuudi kogumaht andmetes võrdselt kõigi antud üldkogumisse kuuluvate üksuste vahel. Seega on keskmine aastane toodang töötaja kohta toodangu kogus, mida iga töötaja toodaks, kui kogu toodangumaht oleks organisatsiooni kõigi töötajate vahel võrdselt jaotatud. Aritmeetiline keskmine lihtväärtus arvutatakse järgmise valemi abil:

Lihtne aritmeetiline keskmine— võrdne tunnuse individuaalsete väärtuste summa ja koondtunnuste arvu suhtega

Leidke keskmine palk
Lahendus: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 tuhat rubla.

Aritmeetiline keskmine kaalutud

Kui andmehulga maht on suur ja esindab jaotusrida, siis arvutatakse kaalutud aritmeetiline keskmine. Nii määratakse toodanguühiku kaalutud keskmine hind: toodangu kogumaksumus (selle koguse toodete summa toodanguühiku hinnaga) jagatakse toodangu kogukogusega.

Kujutagem seda ette järgmise valemi kujul:

Kaalutud aritmeetiline keskmine— võrdne suhtega (tunnuse väärtuse ja selle tunnuse kordumise sageduse korrutis) ja (kõikide tunnuste sageduste summaga). Seda kasutatakse uuritava üldkogumi variantide esinemisel ebavõrdne arv kordi.

Keskmise palga saab, jagades kogupalga töötajate koguarvuga:

Vastus: 3,35 tuhat rubla.

Intervallide jadade aritmeetiline keskmine

Intervalli variatsioonirea aritmeetilise keskmise arvutamisel määrake esmalt iga intervalli keskmine ülemise ja alumise piiri poolsummana ning seejärel kogu seeria keskmine. Avatud intervallide puhul määrab alumise või ülemise intervalli väärtuse nendega külgnevate intervallide suurus.

Intervalli seeriatest arvutatud keskmised on ligikaudsed.

Näide 3. Määrake õhtuste õpilaste keskmine vanus.

Intervalli seeriatest arvutatud keskmised on ligikaudsed. Nende lähendamise aste sõltub sellest, mil määral läheneb populatsiooniüksuste tegelik jaotus intervalli sees ühtlasele jaotusele.

Keskmiste arvutamisel saab kaaludena kasutada mitte ainult absoluutseid, vaid ka suhtelisi väärtusi (sagedust):

Aritmeetilisel keskmisel on mitmeid omadusi, mis paljastavad selle olemuse täielikumalt ja lihtsustavad arvutusi:

1. Keskmise korrutis sageduste summaga on alati võrdne variandi korrutiste summaga sageduste kaupa, s.o.

2. Erinevate suuruste summa aritmeetiline keskmine on võrdne nende suuruste aritmeetiliste keskmiste summaga:

3. Karakteristiku üksikute väärtuste keskmisest kõrvalekallete algebraline summa on null:

4. Optsioonide ruutude kõrvalekallete summa keskmisest on väiksem kui ruudu hälvete summa mis tahes muust suvalisest väärtusest, s.o.

Aritmeetilise keskmise ja geomeetrilise keskmise teema on matemaatika programmis 6.-7.klassile. Kuna lõik on üsna hästi arusaadav, läheb see kiiresti üle ja õppeaasta lõpuks on õpilastel see meelest läinud. Kuid ühtse riigieksami ja ka rahvusvaheliste SAT-eksamite sooritamiseks on vaja teadmisi põhistatistikast. Ja igapäevaeluks ei tee arenenud analüütiline mõtlemine kunagi paha.

Kuidas arvutada arvude aritmeetilist ja geomeetrilist keskmist

Oletame, et on arvude jada: 11, 4 ja 3. Aritmeetiline keskmine on kõigi arvude summa jagatud antud arvude arvuga. See tähendab, et numbrite 11, 4, 3 puhul on vastuseks 6. Kuidas saada 6?

Lahendus: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Nimetaja peab sisaldama arvu, mis on võrdne arvude arvuga, mille keskmine on vaja leida. Summa jagub 3-ga, kuna liikmeid on kolm.

Nüüd peame välja mõtlema geomeetrilise keskmise. Oletame, et on arvude jada: 4, 2 ja 8.

Arvude geomeetriline keskmine on kõigi antud arvude korrutis, mis asub juure all astmega, mis on võrdne antud arvude arvuga. See tähendab, et arvude 4, 2 ja 8 puhul on vastus 4. Nii. selgus:

Lahendus: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Mõlema variandi puhul saime terved vastused, kuna näitena võeti spetsiaalsed numbrid. Seda ei juhtu alati. Enamikul juhtudel tuleb vastus ümardada või jätta juure. Näiteks arvude 11, 7 ja 20 aritmeetiline keskmine on ≈ 12,67 ja geomeetriline keskmine on ∛1540. Ja numbrite 6 ja 5 puhul on vastused vastavalt 5,5 ja √30.

Kas võib juhtuda, et aritmeetiline keskmine saab võrdseks geomeetrilise keskmisega?

Muidugi saab. Kuid ainult kahel juhul. Kui on arvude jada, mis koosneb ainult kas ühtedest või nullidest. Tähelepanuväärne on ka see, et vastus ei sõltu nende arvust.

Tõestus ühikutega: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmeetiline keskmine).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geomeetriline keskmine).

Tõestus nullidega: (0 + 0) / 2=0 (aritmeetiline keskmine).

√(0 × 0) = 0 (geomeetriline keskmine).

Muud võimalust ei ole ega saagi olla.

Näide 2. Esmaspäeval tuli inglise keele kursustele 15 inimest, teisipäeval 12, neljapäeval 11, reedel 7, laupäeval 14 ja pühapäeval 8 inimest.
Lahendus: Leiame aritmeetilise keskmise:

Näide 3. Võidusõitja sõitis kaks tundi kiirusega 120 km/h ja tund aega 90 km/h. Leia auto keskmine kiirus võistluse ajal.
Lahendus: Leiame autode kiiruste aritmeetilise keskmise iga sõidutunni kohta:

Näide 4. 3 arvu aritmeetiline keskmine on 6 ja 7 muu arvu aritmeetiline keskmine on 3. Mis on nende kümne arvu aritmeetiline keskmine?
Lahendus: Kuna 3 arvu aritmeetiline keskmine on 6, on nende summa 6 3 = 18, samamoodi on ülejäänud 7 arvu summa 7 3 = 21.
See tähendab, et kõigi 10 arvu summa on 18 + 21 = 39 ja aritmeetiline keskmine on võrdne