Hetke märk. Paarimoment kui vektor

1. Lähenevate jõudude tasapinnaline süsteem

Lähenevate jõudude süsteem on sees tasakaal, kui selle liikmete projektsioonide algebralised summad mõlemale koordinaatteljele on võrdsed nulliga.

Jõu projektsioon teljele.

Telg nimetatakse sirgeks, millele on määratud kindel suund. Vektori projektsioon teljele on skalaarsuurus.

Vektori projektsioon loetakse positiivseks (+), kui suund algusest lõpuni ühtib telje positiivse suunaga. Vektorprojektsioon loetakse negatiivseks (-), kui suund projektsiooni algusest selle lõpuni on vastupidine telje positiivsele suunale.

Kui jõud langeb kokku telje positiivse suunaga, kuid nurk on nüri, siis on jõu projektsioon teljele negatiivne.

Seega on jõu projektsioon koordinaatteljele võrdne jõumooduli ja jõuvektori ja telje positiivse suuna vahelise nurga koosinuse või siinuse korrutisega.

Tasapinnal xOy paiknevat jõudu saab projitseerida kahele koordinaatteljele Ox ja Oy:

; ; .

Vektorsumma projekteerimine teljele.

Nende jõudude geomeetriline summa või resultant

määratud jõuhulknurga sulgemisküljega: ,

Kus p – arv vektorite termineid.

Seega on vektori summa või resultandi projektsioon mis tahes teljele võrdne vektorite summade projektsioonide algebralise summaga samale teljele.

2. Paar jõudu

Jõupaari projektsioonide summa x-teljel ja y-teljel on võrdne nulliga, seetõttu pole jõudude paaril resultanti. Sellest hoolimata on keha paari jõu mõjul tasakaalus.

Määratakse kindlaks jõupaari võime tekitada pöörlemist paar hetke, võrdne jõu ja jõudude toimejoonte vahelise lühima vahemaa korrutisega. Tähistagem paarisuhte hetke M ja lühim vahemaa jõudude vahel A, siis hetke absoluutväärtus:

Lühimat vahemaad jõudude toimejoonte vahel nimetatakse - paari õlg, seega võime seda öelda Paari jõumomendi absoluutväärtus on võrdne ühe jõu ja selle õla korrutisega.

Jõupaari momenti saab näidata kaarekujulise noolega, mis näitab pöörlemissuunda.

Kahte jõupaari peetakse samaväärseks juhul, kui pärast ühe paari asendamist teisega ei muutu keha mehaaniline seisund, s.t. keha liikumine ei muutu ega selle tasakaal ei ole häiritud.

Jõupaari mõju jäigale kehale ei sõltu selle asukohast tasapinnas. Seega saab jõudude paari oma toimetasandil üle kanda mis tahes asendisse.

Teine jõudude paari omadus, mis on paaride liitmise aluseks:

− ilma keha seisundit häirimata saad muuta jõumooduleid ja paari õlavarre vastavalt oma soovile, kui paarilise hetk jääb muutumatuks.

Definitsiooni järgi on jõudude paarid samaväärsed, st. annavad sama efekti, kui nende momendid on võrdsed.

Kui uue paari jõudude ja haru väärtusi muutes säilitame nende momentide M 1 = M 2 või F 1 a = F 2 b võrdsuse, siis keha olek ei häiri sellise asendusega.

Sarnaselt paari jõududega saab neid lisada. Paari, mis asendab nende paaride tegevust, nimetatakse tulemuseks. Jõupaari toime on täielikult määratud selle pöörlemismomendi ja -suunaga. Sellest lähtuvalt toimub paaride liitmine nende momentide algebralise liitmise teel, s.o. saadud paari moment on võrdne komponentpaaride momentide algebralise summaga.

Saadud paari hetk määratakse järgmise valemiga:

M = M1 + M2+. .. + M lk.=

M і ,

Kui päripäeva pöörlevate paaride momendid loetakse positiivseteks ja vastupäeva pöörlevate paaride momendid negatiivseteks. Lähtudes ülaltoodud paaride liitmise reeglist, kehtestatakse samas tasapinnas asuvate paaride süsteemi tasakaalutingimus, nimelt: selleks, et paaride süsteem oleks tasakaalus, on vajalik ja piisav, et saadud paari moment oleks võrdne nulliga või et paaride momentide algebraline summa oleks võrdne nulliga:

Jõumoment punkti ja telje suhtes.

Jõumoment punkti suhtes määratakse jõu mooduli ja punktist jõu toimejoonele tõmmatud risti pikkuse korrutisega.

Keha fikseerimisel punktis O jõud

kipub seda selle punkti ümber pöörama. Punkti O, mille kohta hetk võetakse, nimetatakse hetke keskpunkt, ja risti pikkus a – õlg hetkekeskme suhtes.

jõumoment

O suhtes määratakse õla jõu korrutis: .

Momenti peetakse positiivseks, kui jõud kipub keha pöörlema ​​päripäeva ja negatiivseks vastupäeva. Paari hetke ja jõumomendi vahel on üks oluline erinevus. Jõupaari momendi arvväärtus ja suund ei sõltu selle paari asukohast tasapinnas. Jõumomendi väärtus ja suund (märk) sõltuvad selle punkti asukohast, mille suhtes moment määratakse. Seetõttu tuleb jõumomendi määramiseks telje suhtes projitseerida jõud risti olevale tasapinnale teljele ja leida jõu projektsioonimoment telje ja selle tasandi lõikepunkti suhtes.

3. Kinetostaatiline meetod

Kujutagem ette materiaalset punkti massiga m, mis liigub kiirendusega a mõne aktiiv- ja reaktiivjõudude süsteemi mõjul, mille resultant on võrdne F-ga.

Kasutame üht meile tuntud valemit (dünaamika põhivõrrandit), et kirjutada liikumisvõrrandid tasakaaluvõrrandite kujul (kinetostaatiline meetod):

Kirjutame selle võrrandi ümber järgmiselt:

Avaldist tähistatakse K in ja seda nimetatakse inertsijõuks:

Inertsiaaljõud on vektor, mis võrdub punkti massi ja selle kiirenduse korrutisega ning on suunatud kiirendusele vastupidises suunas.

Seda võrdsust, mis on prantsuse teadlase D'Alemberti (1717-1783) nime kandva printsiibi matemaatiline väljendus, võib pidada materiaalse punkti tasakaaluvõrrandiks. Tuleb rõhutada, et tulemuseks olev võrdsus, ehkki seda nimetatakse tasakaaluvõrrandiks, on tegelikult materiaalse punkti modifitseeritud liikumisvõrrand.

D'Alemberti põhimõte on sõnastatud järgmiselt: materiaalsele punktile mõjuvad aktiiv- ja reaktiivjõud koos inertsiaalsete jõududega moodustavad vastastikku tasakaalustatud jõudude süsteemi, mis rahuldab kõik tasakaalutingimused.

Tuleb meeles pidada, et inertsjõud rakendub vaadeldavale ainelisele punktile tinglikult, kuid kiirendust põhjustava ühenduse jaoks on see teatud mõttes reaalne. Omades inertsi omadust, kipub iga keha hoidma oma kiirust suuruses ja suunas muutumatuna, mille tulemusel ta mõjub ühendusele, põhjustades kiirenduse inertsjõuga võrdse jõuga. Näitena inertsiaalsete jõudude toimest võib tuua hoorataste hävimise juhtumeid, kui need saavutavad kriitilise nurkkiiruse. Igas pöörlevas kehas toimivad inertsiaalsed jõud, kuna selle keha igal osakesel on kiirendus ja naaberosakesed on selle jaoks ühendused. Pange tähele, et keha kaal on jõud, millega keha Maa raskusjõu tõttu mõjub toele (või vedrustusele), mis hoiab seda vaba langemise eest. Kui keha ja tugi on liikumatud, siis on keha kaal võrdne selle raskusjõuga.

4. Jõumoment punkti ümber

Kaaluge mutrit, mis pingutatakse teatud pikkusega mutrivõtmega, rakendades mutrivõtme otsa lihasjõudu. Kui võtta mutrivõtit mitu korda kauem, saab sama jõuga mutrit palju tugevamaks pingutada. Sellest järeldub, et samal jõul võib olla erinev pöörlemismõju. Jõu pöörlemist iseloomustab jõumoment.

Punkti suhtes kehtiva jõumomendi mõiste tõi mehaanikasse itaalia renessansiajastu teadlane ja kunstnik Leonardo da Vinci (1452-1519).

Jõumoment punkti suhtes on jõu mooduli ja selle õla korrutis:

M 0 (¥) = RI.

Punkti, mille ümber hetk võetakse, nimetatakse hetke keskpunktiks. Jõu õlg punkti suhtes on lühim kaugus hetke keskpunktist jõu toimejooneni.

Vaata: Seda artiklit on vaadatud 24572 korda

Pdf Vali keel... Vene Ukraina Inglise

Lühiülevaade

Pärast keele valimist laaditakse ülalt alla kogu materjal

Ülevaade

Kehade mis tahes kinemaatilist olekut, millel on punkt või pöörlemistelg, saab kirjeldada jõumomendiga, mis iseloomustab jõu pöörlevat mõju.

Jõumoment keskpunkti ümber- see on raadiuse vektorkorrutis - jõu rakenduspunkti vektor jõuvektori poolt.

Võimu õlg- lühim kaugus keskpunktist jõu toimejooneni (keskmest risti jõu toimejoonega).

Vektor on suunatud vektori korrutisreegli järgi: jõu moment keskpunkti (punkti) kui vektori suhtes on suunatud risti tasapinnaga, millel jõud ja kese paiknevad, nii et selle otsast on näha. et jõud üritab pöörata keha ümber keskpunkti vastupäeva.

Jõumomendi mõõtühik seal on 1

Jõumoment tasapinna keskpunkti suhtes- algebraline suurus, mis võrdub õla jõumooduli korrutisega sama keskpunkti suhtes, võttes arvesse märki.

Jõumomendi märk sõltub suunast, milles jõud üritab ümber keskpunkti pöörata:

• vastupäeva -„−” (negatiivne)
• päripäeva -„+” (positiivne);

Jõumomendi omadused keskpunkti suhtes (punkt).

1. Jõumomendi moodul punkti suhtes on võrdne vektoritele konstrueeritud kolmnurga kahekordse pindalaga.
2. Jõu hetk punkti suhtes ei muutu, kui jõud liigub mööda selle toimejoont, kuna jõu haru jääb muutumatuks.
3. Jõumoment keskpunkti (punkti) suhtes on võrdne nulliga, kui:

• jõud on null F = 0;
• jõuõlg h = 0, s.o. jõu toimejoon läbib keskpunkti.

Varignoni teoreem (resultandi momendi kohta).

Konvergentsete jõudude resultatiivse tasapinnalise süsteemi moment mis tahes keskpunkti suhtes on võrdne süsteemi komponentjõudude momentide algebralise summaga sama keskpunkti suhtes.

Jõupaari teooria

Kahe paralleelse, samas suunas suunatud jõu liitmine.

Kahe ühes suunas suunatud paralleelse jõu süsteemi resultant on mooduli poolest võrdne komponentjõudude moodulite summaga, on nendega paralleelne ja suunatud samas suunas.

Tulemuse toimejoon kulgeb komponentide rakenduspunktide vahel nendest punktidest kaugustel pöördvõrdeliselt jõududega

Kahe erinevas suunas suunatud paralleelse jõu liitmine (erineva suurusega jõudude puhul)

Kahe paralleelse, erineva suurusega, vastassuunalise jõu resultant on nendega paralleelne ja suunatud suurema jõu suunas ning on suuruselt võrdne komponentjõudude erinevusega.

Tulemuse toimejoon läbib väljaspool segmenti (suurema jõu poolel), mis ühendab nende rakenduspunkte, ja on nendest jõududega pöördvõrdelise vahemaa kaugusel.

Paar jõudu- absoluutselt jäigale kehale rakendatud kahe paralleelse jõu süsteem, mille suurus on võrdne ja vastupidise suunaga.

Jõupaari võimendus- paari jõudude toimejoonte vaheline kaugus, s.o. ühe paari jõu mõjujoone suvalisest punktist teise jõu mõjujoonele tõmmatud risti pikkus.

Paari jõu toimetasand- see on tasapind, millel paiknevad paari jõudude toimejooned.
Jõupaari toime taandatakse pöörlevale liikumisele, mille määrab paari hetk.

Paari hetk nimetatakse vektoriks, millel on järgmised omadused:

• see on paari tasapinnaga risti;
• suunatud suunas, kust paari sooritatav pöörlemine on nähtav vastupäeva;
• selle moodul on võrdne paari ühe jõu ja paari õla mooduli korrutisega, võttes arvesse märki

Paari jõu hetke märk:

• "+" - vastupäeva pöörlemine
• „-„ - päripäeva pöörlemine

Jõupaari moment on võrdne paari ühe jõu ja paari õla mooduli korrutisega.

Paarihetk on vaba vektor - selle jaoks pole määratud ei rakenduspunkti ega tegevussuunda, need võivad olla meelevaldsed.

Jõupaari momendi omadus: paari jõumoment on võrdne ühe jõu momendiga teise jõu rakenduspunkti suhtes.

Paarijõu teoreemid

Teoreem 1. Jõupaaril ei ole resultanti, s.t. Jõupaari ei saa asendada ühe jõuga.

Teoreem 2. Jõupaar ei ole tasakaalustatud jõudude süsteem.

Tagajärg: absoluutselt jäigale kehale mõjuv jõudude paar püüab seda pöörata.

Teoreem 3. Paari jõudude momentide summa suvalise ruumikeskme (punkti) suhtes on konstantne suurus ja esindab selle paari vektormomenti.

Teoreem 4. Paari moodustavate jõudude momentide summa paari toimetasandi suvalise keskpunkti suhtes ei sõltu keskpunktist ja on võrdne paari haru jõu korrutisega. , võttes arvesse märki, s.o. abielupaari hetk.

5. teoreem – paaride samaväärsuse kohta. Jõupaarid, mille momendid on arvuliselt ja märgiliselt võrdsed, on ekvivalentsed. Need. jõudude paari saab asendada või tasakaalustada ainult teise samaväärse jõudude paariga.

6. teoreem räägib jõudude paari tasakaalust. Jõupaar moodustab tasakaalustatud jõudude süsteemi siis ja ainult siis, kui paari hetk on null.

Teoreem 7 - jõudude paari liikumise võimaluste kohta selle toimetasandis. Jõupaar, mis saadakse paari liigutamisel selle toimetasandil mis tahes kohta, on võrdne etteantud paariga.

8. teoreem käsitleb jõupaaride liitmist tasapinnal. Paari moment, mis on ekvivalentne etteantud paaride süsteemiga tasapinnas, on võrdne moodustavate paaride momentide algebralise summaga. Need. Jõupaaride lisamiseks tuleb lisada nende hetked.

Jõupaaride süsteemi tasakaalu tingimused.

Tasapinnas olevad jõupaarid on tasakaalus, kui nende momentide algebraline summa on võrdne nulliga.

Keel: vene, ukraina

Otsaratta arvutusnäide
Näide hammasratta arvutamisest. Teostatud on materjali valik, lubatud pingete arvutamine, kontakti ja paindetugevuse arvestus.

Näide tala paindeülesande lahendamisest
Näites konstrueeriti põikjõudude ja paindemomentide skeemid, leiti ohtlik lõik ja valiti I-tala. Probleem analüüsis diferentsiaalsõltuvusi kasutades diagrammide konstrueerimist ja viidi läbi tala erinevate ristlõigete võrdlev analüüs.

Näide võlli väändeprobleemi lahendamisest
Ülesandeks on terasvõlli tugevuse katsetamine etteantud läbimõõdu, materjali ja lubatud pinge juures. Lahenduse käigus konstrueeritakse pöördemomentide, nihkepingete ja pöördenurkade diagrammid. Võlli enda kaalu ei võeta arvesse

Näide varda pinge-surveprobleemi lahendamisest
Ülesandeks on terasvarda tugevuse katsetamine etteantud lubatud pingete juures. Lahenduse käigus konstrueeritakse pikijõudude, normaalpingete ja nihkete diagrammid. Varda enda raskust ei arvestata

Kineetilise energia jäävuse teoreemi rakendamine
Näide ülesande lahendamisest mehaanilise süsteemi kineetilise energia jäävuse teoreemi abil

Punkti kiiruse ja kiirenduse määramine etteantud liikumisvõrrandite abil
Näide ülesande lahendamisest punkti kiiruse ja kiirenduse määramiseks etteantud liikumisvõrrandite abil

Jäiga keha punktide kiiruste ja kiirenduste määramine tasapinnalise paralleelse liikumise ajal
Näide ülesande lahendamisest jäiga keha punktide kiiruste ja kiirenduste määramiseks tasapinnalise paralleelse liikumise ajal

Paari algebralise momendi mõistet on mugav kasutada, kui kõik paarid asuvad samal tasapinnal. Kujutage nüüd ette, et peame arvestama paaridega, mille tegevustasandid üksteise suhtes asuvad ruumis. Sel juhul võetakse kasutusele paari vektormomendi mõiste. Analoogiliselt jõu vektormomendiga keskpunkti suhtes peaks paari vektormoment määrama:

selle paari toimetasand;

paari pöörlemissuund sellel tasapinnal;

paari hetke numbriline väärtus.

Seega peab selle vektori moodul suvaliselt valitud skaalal väljendama paari momendi arvulist väärtust ja selle vektori suund peab määrama tasandi risti suuna

paari tegevused. Tavaline on suunata paari vektorimpulss selle tasapinnaga risti selles suunas, nii et paari otsast vaadates,

vaata seda paari kere vastupäeva pööramas (joonis 25).

Lähtudes asjaolust, et paari toime kehale ei sõltu tema asukohast tema toimetasandis, ei oma paari vektormomendi rakenduspunkt tähtsust. Tavaliselt peetakse seda punkti antud paari jõudude rakenduspunkte ühendava segmendi keskpunktiks.

Paaride lisamine Paari tasakaalu tingimused

Teoreem samas tasapinnas olevate paaride liitmise kohta. Samal tasapinnal asuvate paaride süsteem on samaväärne ühe paariga, mis asub samas tasapinnas

tasapind ja mille moment on võrdne paaride liikmete momentide algebralise summaga.

Tõestus: laske kolmel momendiga paaril kehale mõjuda ,
,
(Joonis 26, A). Paariekvivalentsusteoreemi alusel saame need paarid asendada kolme paariga
,
,
millel on ühine õlg ja samad punktid:
,
,
(Joonis 26, b). Lisades eraldi punktides rakendatud jõud Ja , jõuame asja juurde jõudu , ja punktis jõudu , mille moodul on võrdne (joonis 26, V).

Selle tulemusena asendub kogu paaride süsteem ühe paariga
hetkega. Juhtumi puhul alates " » hetkedega paarid ,
, …
, asendub süsteem hetkega ühe paariga
.
Kui paarid asuvad ruumis, siis saame liikuda vektorvõrdsuse juurde
,
,
.

. Projekteerides selle vektori võrdsuse Descartes'i koordinaatsüsteemi teljele, saame: Siit saame paaride süsteemi tasakaalutingimuse
.

et paaride süsteem oleks tasakaalus, on vajalik ja piisav, et saadud paari moment oleks võrdne nulliga Geomeetrilise tasakaalu tingimus
.

: suvalise paaride süsteemi tasakaalu jaoks on vajalik ja piisav, et saadud paari vektormoment oleks võrdne nulliga :
Analüütiline tasakaalutingimus
,
,
. (7)

või projektsioonide kaudu teljel

Teema 5. Jõude süsteemi toomine keskmesse Laske süsteemil "

» samas tasapinnas asuvad jõud. M Teame, kuidas neid liita, kui nad ristuvad ühes punktis või on paralleelsed. Kui aga need jõud paiknevad tasapinnas suvaliselt, siis tekib vajadus viia need jõud mingisse keskpunkti. Näidakem seda protseduuri jõu viimiseks antud keskmesse ühe jõu näitel. Teoreem.

Iga antud jõud on sama suur suurus ja suund sama jõuga, kuid seda rakendatakse keha teises punktis ja mõnele paarile. Arvestades võimu kohas A(Joonis 27, ). See jõud tuleb viia suvaliselt valitud keskusesse ja nii, et keha seisund ei muutuks. Kandideeri punktis
Ja
kaks vastandlikku jõudu kohas b, on suuruselt võrdne jõuga Ja
moodustada paar. Seetõttu see jõud saab asendada võrdse jõuga
, mida rakendatakse keha mis tahes punktis, ja paar
hetkega
, mida oli vaja tõestada (joonis 27, V).

Tõestatud teoreemist saame, et seda jõudu saab endaga paralleelselt üle kanda mis tahes punkti kehad koos vastava paari lisamisega. Seetõttu paar
helistas lisatud . Kinnitatud paari momendi moodul on võrdne
. Teisest küljest töö
tähistab jõumomenti suhteliselt uus redutseerimiskeskus :
.Seega
, lisatud paari hetk
võrdne jõumomendiga kinnitatud vanas keskuses suhteliselt uus keskus .

Tasapinnalise jõudude süsteemi toomine etteantud keskpunkti. Valamise erijuhud

Laske kehale mõjuda suvaline jõudude süsteem ,, …,, mis asub samas tasapinnas (joonis 28, A). Võtame sellel tasapinnal suvalise punkti , mida me kutsume tuues keskus, ja kasutades ülaltoodud teoreemi, viime kõik jõud keskmesse (Joonis 28, b).

Selle tulemusena kesklinnas saame koonduvate jõudude süsteemi ja momentidega jõudude paaride süsteemi:
,
, …,
. Ühinevate jõudude süsteemi saab asendada ühe jõuga , kinnitatud keskele , samas
.
.

Samamoodi saab paari liitmise teoreemi järgi kõik paarid asendada ühe paariga, mis asub samas tasapinnas. Selle paari hetk on võrdne Suurusjärk , mis võrdub süsteemi kõigi jõudude geomeetrilise summaga, nimetatakse süsteemi põhivektor
helistas . Suurus .

süsteemi põhimoment keskpunkti suhtes Selle tulemusena leidsime, et kui suvaline tasapinnaline jõudude süsteem tuuakse suvalisesse keskpunkti , saame kaks vektorit:
- süsteemi põhivektor ja .

- süsteemi põhimoment keskpunkti suhtes Siinkohal tuleb märkida, et süsteemi põhivektor ei sõltu redutseerimiskeskusest, kuna kõik jõud kanduvad paralleelselt iseendaga ja
süsteemi põhipunkt

sõltub adduktsiooni keskpunktist, sest kui adduktsiooni keskpunkt muutub, muutuvad jõudude õlad.

Mõelgem nüüd, millistele lihtsaimatele vormidele saab tasapinnalise jõudude süsteemi taandada.

Vaatleme kahte juhtumit.
,
A) . Sel juhul vahetatakse süsteem kohe välja tulemuseks .

, mis sel juhul võrdub süsteemi põhivektoriga ja läbib punkti )
,
b . Sel juhul vahetatakse süsteem kohe välja. Sel juhul vahetatakse välja ka süsteem , mis on samuti võrdne süsteemi põhivektoriga, kuid ei läbi punkti , ja läbi punkti . Näitame, et see on tõesti nii, ja määrame punkti asukoha . Olgu redutseerimise tulemusena saadud põhivektori
ja põhipunkt keskuse suhtes A(Joonis 29, Ja
, ja me valime need jõud nii, et meil on järgmised võrdsused:
,
keskuse suhtes b). Siis viskame jõud ära Ja tasakaalustatuna leiame, et süsteem asendatakse resultantiga
, kuid läbides punkti keskuse suhtes V). Punkti asend määrab seos
.

Varignoni teoreem resultandi momendi kohta

Resultantse jõudude süsteemi moment tasandi mis tahes punkti suhtes on võrdne komponentjõudude momentide algebralise summaga sama punkti suhtes.

Vaatleme punktis tasast koonduvat jõudude süsteemi (Joonis 30, A).

ab c

Asendagem see jõudude süsteem samasse punkti rakenduva resultantjõuga (joonis 30, b). Määrame selle resultandi momendi punkti suhtes (Joonis 30, V, lamades teljel ). Laiendame tulemust komponentideks (Joonis 30, V Ja
, millest igaüks määratakse: ,. Määrates nende projektsioonide momendi punkti suhtes ), saame sellest aru , sest Aületab punkti . Siis . Analoogiliselt võttes arvesse iga jõudu (joonis 30, ), saame, et igaühe hetk punkti suhtes määratakse nende jõudude teljele projitseerimise hetke järgi

. (8)

punkti suhtes, st. . Seda arvestades saame

Paari jõuga on süsteem kahest võrdse suurusega, paralleelsest ja eri suundades suunatud jõust. Vaatleme jõudude süsteemi

(R; B"),

paari moodustamine.

Jõupaar põhjustab keha pöörlemise ja selle mõju kehale mõõdetakse hetkega. Paari sisenevad jõud ei ole tasakaalus, kuna need rakenduvad kahele punktile (joonis 4.1). Nende mõju kehale ei saa asendada ühe jõuga (tulem).

Jõupaari moment on arvuliselt võrdne jõumooduli ja jõudude toimejoonte vahelise kauguse korrutisega

(paari õlg). 0.

Momenti loetakse positiivseks, kui paar pöörab keha päripäeva (joonis 4.1(b)): M(F;F") = Fa; M >

Paari jõudude toimejooni läbivat tasapinda nimetatakse paari toimetasand.

Paaride omadused

(ilma tõenditeta):

1. Jõupaari saab liigutada oma toimetasandis.

2. Paaride samaväärsus.

Kaks paari, mille momendid on võrdsed (joon. 4.2), on samaväärsed (nende mõju kehale on sarnane).

3. Jõupaaride liitmine. Jõupaaride süsteemi saab asendada resultantpaariga.

Tulemuspaari moment võrdub süsteemi moodustavate paaride momentide algebralise summaga (joonis 4.3):

4. Paaride tasakaal.

Paaride tasakaalu jaoks on vajalik ja piisav, et süsteemi paaride momentide algebraline summa võrdub nulliga:

Töö lõpp -

See teema kuulub jaotisesse:

Kui vajate sellel teemal lisamaterjali või te ei leidnud seda, mida otsisite, soovitame kasutada otsingut meie tööde andmebaasis:

Mida teeme saadud materjaliga:

Kui see materjal oli teile kasulik, saate selle oma sotsiaalvõrgustike lehele salvestada:

Säuts

Kõik selle jaotise teemad:

Teoreetilise mehaanika probleemid
Teoreetiline mehaanika on teadus, mis käsitleb tahkete ainete mehaanilist liikumist ja nende vastasmõju. Mehaanilise liikumise all mõistetakse keha liikumist ruumis ja ajas alates

Kolmas aksioom
Keha mehaanilist seisundit häirimata saate lisada või eemaldada tasakaalustatud jõudude süsteemi (nulliga võrdväärse jõudude süsteemi kõrvalejätmise põhimõte) (joonis 1.3).

P = P2 P = P.
Järeldus teisele ja kolmandale aksioomile

Tahkele kehale mõjuvat jõudu saab liigutada mööda tema toimejoont (joonis 1.6).
Seosed ja seoste reaktsioonid

Vaba jäiga keha puhul kehtivad kõik staatika seadused ja teoreemid.
Kõik kehad jagunevad vabadeks ja seotud.

Vabad kehad on kehad, mille liikumine ei ole piiratud.
Kõva varras

Diagrammidel on vardad kujutatud jämeda pideva joonena (joonis 1.9).
Varras saab

Fikseeritud liigend
Kinnituspunkti ei saa liigutada. Varras saab vabalt ümber hinge telje pöörata. Sellise toe reaktsioon läbib liigendtelge, kuid

Lähenevate jõudude tasapinnaline süsteem
Jõusüsteemi, mille toimejooned ristuvad ühes punktis, nimetatakse koonduvaks (joonis 2.1).

Ühinevate jõudude tulemus
Kahe lõikuva jõu resultant saab määrata rööpküliku või jõudude kolmnurga (4. aksioom) abil (vt 2.2).

Tasapinnalise koonduvate jõudude süsteemi tasakaalutingimus
Kui jõudude süsteem on tasakaalus, peab resultant olema võrdne nulliga, seetõttu peab geomeetrilises konstruktsioonis viimase vektori lõpp ühtima esimese algusega.

Kui
Tasakaaluülesannete lahendamine geomeetrilise meetodi abil

Geomeetrilist meetodit on mugav kasutada, kui süsteemis on kolm jõudu. Tasakaaluülesannete lahendamisel pidage keha absoluutselt tahkeks (tahkeks).
Resultandi suurus on võrdne jõudude süsteemi vektorite vektori (geomeetrilise) summaga. Määrame tulemuse geomeetriliselt. Valime koordinaatsüsteemi, määrame kõigi ülesannete projektsioonid

Ühinevad jõud analüütilisel kujul
Lähtudes sellest, et resultant on null, saame: Tingimus

Jõumoment punkti ümber
Jõud, mis ei läbi keha kinnituskohta, põhjustab keha pöörlemise punkti suhtes, mistõttu sellise jõu mõju kehale hinnatakse hetkeks.

Jõu rel.
Poinsot' teoreem jõudude paralleelse ülekande kohta

Jõu saab üle kanda paralleelselt selle toimejoonega, sel juhul on vaja lisada jõudude paar, mille moment on võrdne jõu mooduli ja jõu ülekandumise kauguse korrutisega.
Jaotatud jõud

Suvalise jõudude süsteemi toimejooned ei ristu ühes punktis, seetõttu tuleks keha seisundi hindamiseks sellist süsteemi lihtsustada. Selleks viiakse kõik süsteemi jõud suvaliselt üheks
Võrdluspunkti mõju

Võrdluspunkt valitakse meelevaldselt. Kui võrdluspunkti asukoht muutub, siis põhivektori väärtus ei muutu.
Peamise momendi suurus reduktsioonipunkti liigutamisel muutub,

Lameda jõu süsteem
1. Tasakaalus on süsteemi põhivektor null.

Põhivektori analüütiline määramine viib järeldusele:
Koormuste tüübid

Kasutusmeetodi järgi jaotatakse koormused kontsentreeritud ja hajutatud. Kui tegelik koormuse ülekandmine toimub tühiselt väikesel alal (punktis), nimetatakse koormust kontsentreerituks
Jõumoment telje ümber

Jõumoment telje suhtes on võrdne jõu projektsioonimomendiga teljega risti olevale tasapinnale telje ja tasapinna lõikepunkti suhtes (joonis 7.1 a).
MOO

Vektor ruumis
Ruumis projitseeritakse jõuvektor kolmele üksteisega risti olevale koordinaatteljele. Vektori projektsioonid moodustavad ristkülikukujulise rööptahuka servad, jõuvektor ühtib diagonaaliga (joon. 7.2

Ruumiline koonduv jõudude süsteem
(lamedad figuurid) Väga sageli on vaja määrata erinevate lamedate kehade ja keeruka kujuga geomeetriliste lamedate kujundite raskuskese. Lamedate kehade kohta võime kirjutada: V =

Tasapinnaliste kujundite raskuskeskme koordinaatide määramine
Märkus. Sümmeetrilise kujundi raskuskese asub sümmeetriateljel.

Varda raskuskese asub kõrguse keskel. Lihtsate geomeetriliste kujundite raskuskeskmete asukohad võivad
Punkti kinemaatika

Omada ettekujutust ruumist, ajast, trajektoorist, teest, kiirusest ja kiirendusest. Oskab määrata punkti liikumist (looduslik ja koordinaat).
Tea tähistusi

Läbitud vahemaa
Teekonda mõõdetakse mööda trajektoori sõidusuunas. Nimetus - S, mõõtühikud - meetrid.

Punkti liikumise võrrand: võrrandi defineerimine
Sõidukiirus

Vektorsuurust, mis praegu iseloomustab liikumiskiirust ja -suunda mööda trajektoori, nimetatakse kiiruseks.
Kiirus on vektor, mis on igal hetkel suunatud

Punkti kiirendus
Vektorsuurust, mis iseloomustab kiiruse muutumise kiirust suurusjärgus ja suunas, nimetatakse punkti kiirenduseks.

Punkti kiirus punktist M1 liikumisel
Ühtlane liikumine

Ühtlane liikumine on liikumine konstantsel kiirusel: v = const.
Sirgjooneliseks ühtlaseks liikumiseks (joonis 10.1 a)

Võrdselt vahelduv liikumine
Sama muutuv liikumine on liikumine pideva tangentsiaalse kiirendusega: at = const.

Sirgjooneliseks ühtlaseks liikumiseks
Edasi liikumine

Tasapinnalise koonduvate jõudude süsteemi tasakaalutingimus
Translatsioon on jäiga keha liikumine, mille korral kehal mis tahes sirgjoon liikumise ajal jääb paralleelseks selle algasendiga (joon. 11.1, 11.2).

Kell
Keeruline liikumine on liikumine, mille saab jagada mitmeks lihtsaks. Lihtsaid liigutusi peetakse translatiivseteks ja pöörlevateks.

Arvestada punktide keerulist liikumist
Jäiga keha tasapinnaline paralleelne liikumine

Jäiga keha tasapinnalist paralleelset ehk tasast liikumist nimetatakse nii, et kõik keha punktid liiguvad paralleelselt mõne fikseeritud punktiga vaadeldavas võrdlussüsteemis
Translatsioon ja rotatsioon

Tasapinnaline paralleelne liikumine jaguneb kaheks liikumiseks: translatsiooniliseks teatud poolusega ja pöörlevaks liikumiseks selle pooluse suhtes.
Määramiseks kasutatakse lagunemist

Kiiruskeskus
Keha mis tahes punkti kiirust saab määrata hetkelise kiiruskeskme abil. Sel juhul kujutatakse keerulist liikumist pöörlemiste ahelana erinevate keskuste ümber.

Ülesanne
Dünaamika aksioomid

Dünaamikaseadused üldistavad arvukate katsete ja vaatluste tulemusi. Dünaamikaseadused, mida tavaliselt peetakse aksioomideks, sõnastas Newton, kuid ka esimene ja neljas seadus.
Hõõrdumise mõiste. Hõõrdumise tüübid

Hõõrdumine on takistus, mis tekib siis, kui üks kare keha liigub üle teise pinna. Kui kehad libisevad, tekib libisemishõõrdumine ja nende veeremisel tekib veerehõõrdumine. Looduse tugi
Veerehõõrdumine

Veeretakistus on seotud pinnase ja ratta vastastikuse deformatsiooniga ning on oluliselt väiksem kui libisemishõõrdumine.
Tavaliselt peetakse pinnast pehmemaks kui ratas, siis on pinnas peamiselt deformeerunud ja

Tasapinnalise koonduvate jõudude süsteemi tasakaalutingimus
Tasuta ja tasuta punktid

Materiaalset punkti, mille liikumist ruumis ei piira mingid seosed, nimetatakse vabaks. Ülesanded lahendatakse dünaamika põhiseaduse abil.
Materjal siis

Inertsi jõud
Inerts on võime hoida oma olekut muutumatuna, see on kõigi materiaalsete kehade sisemine omadus.

Inertsjõud on jõud, mis tekib kehade kiirendamisel või pidurdamisel
Aktiivsed jõud: liikumapanev jõud, hõõrdejõud, gravitatsioon. Reaktsioon toes R. Rakendame inertsiaaljõu kiirendusele vastupidises suunas. D'Alemberti põhimõtte järgi platvormil mõjuvate jõudude süsteem

Tõhusus
Iga masin ja mehhanism kulutab tööd tehes osa oma energiast kahjulike takistuste ületamiseks.

Seega teeb masin (mehhanism) lisaks kasulikule tööle ka lisatööd.
Momendi muutumise teoreem

Materiaalse punkti impulss on vektorsuurus, mis on võrdne punkti massi ja selle kiiruse mv korrutisega.
Impulsi vektor langeb kokku

Kineetilise energia muutumise teoreem
Energia on keha võime teha mehaanilist tööd.

Mehaanilisel energial on kaks vormi: potentsiaalne energia ehk positsioonienergia ja kineetiline energia.
Materiaalsete punktide süsteemi dünaamika alused

Koostoimejõududega ühendatud materiaalsete punktide kogumit nimetatakse mehaaniliseks süsteemiks.
Mehaanikas käsitletakse mistahes materiaalset keha

Pöörleva keha dünaamika põhivõrrand
Laske jäigal kehal välisjõudude mõjul nurkkiirusega ümber Oz-telje pöörlema

Pinged
Lõikemeetod võimaldab määrata lõigul sisejõuteguri väärtust, kuid ei võimalda kehtestada sisejõudude jaotusseadust lõigul. Et hinnata n tugevust

Sisemised jõutegurid, pinged. Diagrammide koostamine
Omada ettekujutust pikisuunalistest jõududest ja normaalpingetest ristlõigetes.

Teadma pikijõudude ja normaalpingete diagrammide koostamise reegleid, jaotusseadust
Pikisuunalised jõud

Vaatleme tala, mis on koormatud piki selle telge välisjõududega. Tala kinnitatakse seina sisse (kinnitus “kinnitus”) (joon. 20.2a).
Jagame tala laadimisaladeks.

Laadimisala koos
Lamedate sektsioonide geomeetrilised omadused

Omama ettekujutust aksiaalsete, tsentrifugaalsete ja polaarsete inertsimomentide, peamiste kesktelgede ja peamiste kesksete inertsimomentide füüsikalisest tähendusest ja määramise protseduurist.
Lõigu polaarne inertsmoment teatud punkti (pooluse) suhtes on elementaarpindade korrutised, mis on võetud kogu ala ulatuses nende kauguse ruuduga punktist:

Lihtsamate lõikude inertsimomendid
Ristküliku aksiaalsed inertsmomendid (joon. 25.2) Kujutage otse ette

Ringjoone polaarne inertsmoment
Ringjoone jaoks arvutage esmalt polaarne inertsmoment, seejärel aksiaalsed. Kujutleme ringi lõpmata õhukeste rõngaste kogumina (joon. 25.3).

Väändedeformatsioon
Ümmarguse tala väändumine tekib siis, kui see on koormatud jõudude paaridega, mille momendid on pikiteljega risti asetsevates tasandites. Sel juhul on tala generatriksid painutatud ja pööratud läbi nurga γ,

Hüpoteesid torsiooni kohta
1. Lamedate lõigete hüpotees on täidetud: tala tasane ja pikiteljega risti olev ristlõige jääb pärast deformatsiooni tasaseks ja risti pikiteljega.

Sisemised jõutegurid väände ajal
Torsioon on koormus, mille korral tala ristlõikes ilmneb ainult üks sisejõutegur - pöördemoment.

Välised koormused on samuti kaks
Pöördemomendi diagrammid

Pöördemomendid võivad piki tala telge varieeruda. Pärast sektsioonide momentide väärtuste määramist koostame pöördemomentide graafiku piki tala telge.
Väändepinge

Joonistame tala pinnale piki- ja põikijoonte ruudustiku ja arvestame pinnale pärast joonist fig. 27.1a deformatsioon (joon. 27.1a). Pop
Maksimaalsed väändepinged

Pingete määramise valemist ja tangentsiaalsete pingete jaotumise diagrammist väände ajal on selgelt näha, et pinnal tekivad maksimaalsed pinged.
Määrame maksimaalse pinge

Tugevuse arvutuste tüübid
Tugevusarvutusi on kahte tüüpi: 1. Projekteerimisarvutus - määratakse tala (võlli) läbimõõt ohtlikus sektsioonis:

Kell
Jäikuse arvutamine

Jäikuse arvutamisel määratakse deformatsioon ja võrreldakse seda lubatavaga. Vaatleme ümmarguse tala deformatsiooni välise jõudude paari toimel momendiga t (joon. 27.4).
Painutamine on koormuse liik, mille puhul tala ristlõikes ilmneb sisemise jõu tegur – paindemoment. Puit töötab

Sisejõutegurid painutamisel
Lõike põikjõud loetakse positiivseks, kui see kipub seda pöörama

Diferentsiaalsõltuvused otsese põiki painutamise korral
Nihkejõudude ja paindemomentide diagrammide koostamine on oluliselt lihtsustatud, kasutades paindemomendi, nihkejõu ja ühtlase intensiivsuse vahelisi erinevusi

Lõikemeetodi kasutamine Saadud avaldist saab üldistada
Põikjõud vaadeldaval lõigul on võrdne kõigi talale kuni vaadeldava lõiguni mõjuvate jõudude algebralise summaga: Q = ΣFi Kuna me räägime

Koostoimejõududega ühendatud materiaalsete punktide kogumit nimetatakse mehaaniliseks süsteemiks.
Vaatleme kontsentreeritud jõuga F koormatud tala painutamist paremale (joonis 33.1).

Stressiseisund teatud punktis
Punkti pingeseisundit iseloomustavad normaal- ja tangentsiaalsed pinged, mis tekivad kõigil antud punkti läbivatel aladel (lõikudel). Tavaliselt piisab, kui määrata näiteks

Kompleksse deformeerunud oleku mõiste
Punkti läbivate eri suundades ja eri tasanditel esinevate deformatsioonide kogum määrab deformatsiooni oleku selles punktis.

Kompleksne deformatsioon
Ümartala arvutamine väändega painutamiseks

Painde ja väände mõjul ümartala arvutamisel (joonis 34.3) on vaja arvestada normaal- ja tangentsiaalseid pingeid, kuna mõlemal juhul tekivad maksimaalsed pinge väärtused
Stabiilse ja ebastabiilse tasakaalu mõiste

Suhteliselt lühikesed ja massiivsed vardad on mõeldud kokkusurumiseks, kuna need purunevad hävimise või jääkdeformatsioonide tagajärjel. Pikad väikese ristlõikega vardad tegutsemiseks
Stabiilsuse arvutamine

Stabiilsuse arvutus seisneb lubatud survejõu ja sellega võrreldes mõjuva jõu määramises:
Arvutamine Euleri valemi abil

Kriitilise jõu määramise probleemi lahendas matemaatiliselt L. Euler aastal 1744. Mõlemalt poolt hingedega kinnitatud varda puhul (joon. 36.2) on Euleri valem kujul
Kriitilised pinged

Kriitiline pinge on kriitilisele jõule vastav survepinge.
Survejõust tingitud pinge määratakse valemiga

Jõupaar (või lihtsalt paar) on kahe paralleelse jõu kombinatsioon, mille suurus on võrdne, vastassuunaline ja rakendatakse keha erinevatesse punktidesse (joonis 30). Märgistame jõudude paari sümboliga . Neid jõude nimetatakse paarisjõududeks; tasapinda, milles jõud asuvad, nimetatakse paari toimetasandiks.

Lühimat vahemaad paari jõudude toimejoonte vahel nimetatakse paari õlaks (segmendi AB pikkus h joonisel fig.

30). Kuna jõude saab liigutada mööda nende toimejooni, siis järgnevalt kujutame paari jõudu rakendatuna paari käe otstele.

Samuti kasutame paari jaoks lihtsamat tähistust kujul, mis ei sisalda jõudude rakenduspunktide tähistusi.

Jõupaar iseloomustab kehadevahelise vastasmõju eritüüpi, mida ei saa väljendada ühe jõuga. Seetõttu vaadeldakse staatikas koos jõududega eraldi ka jõudude paare nende spetsiifiliste omadustega, liitmisreeglite ja tasakaalutingimustega.

Esialgu määratletakse jõudude paar nelja vektori abil (joonis 31.) - paari jõudude kaks vektorit ja nende rakenduspunktide kaks raadiusvektorit. Võtame hetkede O keskpunktiks mõne ruumipunkti ja arvutame paari jõudude momendid selle keskpunkti suhtes

Siis saab eelmist väidet väljendada sellisel kujul: jõudude paari saab täpsustada paari jõudude ja nende jõudude momentide vektoritega suvalise keskpunkti O suhtes. Nüüd esitame küsimuse: kas see on võimalik täpsustada jõudude paari teistmoodi, eelistatavalt väiksema arvu määravate elementide abil?

Paari jõuvektorite geomeetriline summa on alati null, seega ei saa seda kasutada paari iseloomustamiseks. Arvutame paari jõudude momentide summa punkti O suhtes:

Saadud tulemuse puhul väärivad tähelepanu kaks asjaolu.

1. Kui paari jõuvektorite summa on alati null, siis paari jõudude momentide summa on nullist erinev.

2. Paari jõudude momentide summa ei sõltu momentide keskpunkti valikust - punkti O valikust sõltuvad vektorid langesid vajaliku summa jaoks lõppavaldisest välja.

Seega osutub paari jõudude momentide summa sõltuvaks ainult paari enda elementidest - paari toimetasandist, jõudude moodulist ja paari õlast. See soovitab seda väärtust kasutada jõudude paari tunnusena. Järgnevalt nimetatakse paari jõudude momentide summat selle paari momendiks. Kuna paari hetk ei sõltu momentide keskpunkti valikust, on tegemist vaba vektoriga - seda saab rakendada jäiga keha mis tahes punktis, millele see jõudude paar mõjub.

Nii et küsimusele, kas jõudude paari on võimalik lihtsamalt täpsustada, saadi jaatav vastus: jõudude paari saab iseloomustada vaid ühe vektori - paari momendi - määramisega. Jõupaari moment on vaba vektor, mis on võrdne jõudude paari momentide geomeetrilise summaga suvaliselt valitud ruumipunkti O suhtes.

Siinkohal tuleb märkida, et ülaltoodud kaalutlused on oma olemuselt pigem sugestiivsed ega kujuta endast äsja sõnastatud järelduse ranget tõestust. Staatikas on aga hulk teoreeme, milles tehtud järeldusele antakse range põhjendus. Neid teoreeme võib leida terviklikest teoreetilise mehaanika õpikutest.

Kasutades ära meelevaldsust punkti O valimisel paarimomendi määramisel, võime jõuda hetke arvutamise lihtsama meetodini. Võtame momentide keskpunktiks jõu rakenduspunkti -F (punkt B joonisel 31). Siis saab kirjutada

Siinkohal on arvestatud, et kuna jõud -F läbib punkti B. Kui momentide keskpunktiks võtta punkt A, kus rakendub jõud F, siis jõumoment F muutub nulliks ja saame

See toob kaasa veel ühe paarimomendi arvutamise reegli: jõudude paari moment on võrdne paari ühe jõu momendiga teise jõu rakenduspunkti suhtes.

Seega taandub paarimomendi määramine punkti suhtes jõumomendi arvutamisele ja konstrueerimisele, sarnaselt varem käsitletule (vt lk 12).

Selle tulemusel jõuame järgmisele järeldusele: jõudude paari hetk on vektor, mis on arvuliselt võrdne paari jõudude mooduli korrutisega paari õla abil ja mis on suunatud risti jõudude toimetasandiga. paar selles suunas, kust nähakse paari "pöörlemist" vastupäeva (kinnitusreegel); Paari momendi rakenduspunktiks võib võtta mis tahes kehapunkti.

Paari algebraline moment on paari jõudude ja paari õla mooduli korrutis, mis võetakse plussmärgiga, kui paar “pöörleb” oma tasapinda vastupäeva, ja miinusmärgiga, kui vastupidi.

Joonisel fig. Joonisel 32 on kujutatud jõudude paari, mis toimivad raadiusega R ketta tasapinnal, mis on paigaldatud risti pöörlemisteljega. Paari õlg on võrdne ketta läbimõõduga, paari momendi moodul on võrdne

Paari moment on suunatud ketta tasapinnaga risti ja seda saab rakendada ketta mis tahes punktis.

Joonisel fig. 33 kujutab sarnast juhtumit, kuid kujutatud tasapinnalise projektsioonina. Siin on paari () jõud suunatud joonise tasapinnaga risti (märk tähistab suunatud vektoreid, märk lugejast eemale). Paari momendi moodul on võrdne , on ketta tasapinnaga risti ja asub joonise tasapinnal (täpsemalt saab selle endaga paralleelselt üle kanda joonise tasapinnale).

Veel kaks näidet paarimomendi konstrueerimisest on toodud joonisel fig. 34. Kujutatud paaride momendimoodulitel on järgmised väärtused:

Paaride hetkevektoritel on projektsioonid:

Jõupaari omadused

1. Saate muuta paari jõudude suurust ja võimendust, jättes muutumatuks hetke suuruse ja paari jõudude "pöörlemise" suuna.

2. Jõupaari saab liigutada vastavalt soovile oma toimetasandis.

3. Jõupaari saab liigutada endaga paralleelselt suvalises tasapinnas, mis on alati seotud kehaga, millele see rakendatakse.

Nendes omadustes loetletud toimingud ei muuda paari momendi suurust ega suunda ning on seetõttu paari samaväärsed teisendused.

Eespool toodud näidetes rääkisime momendi konstrueerimisest paari antud elementide - toimetasandi, jõudude ja paari õla - põhjal. Võite püstitada ka pöördprobleemi – konstrueerida selle momendi põhjal jõudude paar. Olgu vaja konstrueerida jõudude paar lähtuvalt selle momendist M (joon. 35, a). Selleks konstrueerime momendi toimejoonega risti oleva tasapinna P (joon. 35, b). See tasapind toimib paari tegevustasandina. Sellele tasapinnale asetame kaks jõudu