Формула среднего значения для определенного интеграла. Определённый интеграл и методы его вычисления

\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx= -\int\limits_{b}^{a}f(x)\,dx\,.

Это определение естественно, так как при изменении направления промежутка интегрирования все разности \Delta x_k=x_{k+1}-x_k меняют знак, а тогда меняют знаки и суммы Дарбу и, тем самым, разделяющее их число, т.е. интеграл.

Так как при a=b все \Delta x_k обращаются в нуль, то положим

\int\limits_{b}^{a}f(x)\,dx=0.

Мы получили два определения понятия определенного интеграла: как разности значений первообразной и как разделяющего числа для сумм Дарбу. Эти определения в наиболее важных случаях приводят к одному и тому же результату:

Теорема 2. Если функция y=f(x) ограничена на отрезке и имеет на нем первообразную y=F(x) , причем существует единственное число, разделяющее нижние и верхние суммы Дарбу, то это число равно F(b)-F(a) .

Доказательство. Мы доказали выше, что число F(a)-F(b) разделяет множества \{s_P\} и \{S_P\} . Так как по условию разделяющее число однозначно определено, то оно совпадает с F(b)-F(a) .

Начиная с этого момента мы будем применять обозначение \textstyle{\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx} лишь для единственного числа, разделяющего множества \{s_P\} и \{S_P\} . Из доказанной теоремы следует, что при этом не возникает противоречия с тем пониманием этого обозначения, которым мы пользовались выше.

Свойства нижних и верхних сумм Дарбу

Для того чтобы данное ранее определение интеграла имело смысл, надо доказать, что множество верхних сумм Дарбу действительно расположено справа от множества нижних сумм Дарбу.

Лемма 1. Для каждого разбиения P соответствующая нижняя сумма Дарбу не превосходит верхней суммы Дарбу, s_P\leqslant S_P .

Доказательство. Рассмотрим некоторое разбиение P отрезка :

a=x_0"

Очевидно, что для любого k и для любого выбранного разбиения P выполняется неравенство s_P\leqslant S_P . Следовательно, m_k\cdot\Delta x_k\leqslant M_k\cdot\Delta x_k , и потому

s_P= \sum_{k=0}^{n-1}(m_k\cdot\Delta x_k)\leqslant \sum_{k=0}^{n-1}(M_k\cdot\Delta x_k)=S_P.

Неравенство (4) справедливо лишь для фиксированного разбиения P . Поэтому пока еще нельзя утверждать, что нижняя сумма Дарбу одного разбиения не может превзойти верхнюю сумму Дарбу другого разбиения. Для доказательства этого утверждения нам понадобится следующая лемма:

Лемма 2. От добавления новой точки деления нижняя сумма Дарбу не может уменьшиться, а верхняя сумма не может увеличиться.

Доказательство. Выберем некоторое разбиение P отрезка и добавим к нему новую точку деления {x^{\ast}} . Обозначим новое разбиение P^{\ast} . Разбиение P^{\ast} является измельчением разбиения P , т.е. каждая точка разбиения P является, одновременно и точкой разбиения P^{\ast} .

Пусть точка {x^{\ast}} попала на отрезок \colon\, x_k. Рассмотрим два образовавшихся отрезка и и обозначим соответствующие им точные нижние границы значений функции через m_{k}^{\ast} и m_{k}^{\ast\ast} , а точные верхние границы через M_{k}^{\ast} и M_{k}^{\ast\ast} .

Слагаемому m_k(x_{k+1}-m_{k}) первоначальной нижней суммы Дарбу в новой нижней сумме Дарбу соответствуют два слагаемых:

m_{k}^{\ast}(x^{\ast}-x_k)+ m_{k}^{\ast\ast}(x_{k+1}-x^{\ast}).

При этом m_k\leqslant m_{k}^{\ast} и m_k\leqslant m_{k}^{\ast\ast} , так как m_k - точная нижняя граница значений функции f(x) на всем отрезке , а m_{k}^{\ast} и m_{k}^{\ast\ast} лишь на его частях и соответственно.

Оценим снизу сумму полученных слагаемых:

\begin{aligned} m_{k}^{\ast}\bigl(x^{\ast}-x_{k}\bigr)+ m_{k}^{\ast\ast}\bigl(x_{k+1}-x^{\ast}\bigr) \geqslant & \,\,m_k \bigl(x^{\ast}-x_k)+m_k(x_{k+1}-x^{\ast}\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x^{\ast}-x_k+x_{k+1}-x^{\ast}\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x_{k+1}-x_k\bigr).\end{aligned}

Так как остальные слагаемые и в старой и в новой нижних суммах Дарбу остались неизменными, то нижняя сумма Дарбу от добавления новой точки деления не уменьшилась, s_P\leqslant S_P .

Доказанное утверждение остается справедливым и при добавлении любого конечного числа точек к разбиению P .

Аналогично доказывается утверждение о верхней сумме Дарбу: S_{P^{\ast}}\leqslant S_{P} .

Перейдем к сравнению сумм Дарбу для любых двух разбиений.

Лемма 3. Ни одна нижняя сумма Дарбу не превосходит любой верхней суммы Дарбу (хотя бы отвечающей другому разбиению отрезка ).

Доказательство. Рассмотрим два произвольных разбиения P_1 и P_2 отрезка и образуем третье разбиение P_3 , состоящее из всех точек разбиений P_1 и P_2 . Таким образом, разбиение P_3 является измельчением как разбиения P_1 , так и разбиения P_2 (рис. 7).

Обозначим нижние и верхние суммы Дарбу для этих разбиений соответственно s_1,~S_1.~s_2,~S_2 и докажем, что s_1\leqslant S_2 .

Так как P_3 - измельчение разбиения P_1 , то s_1\leqslant s_3 . Далее, s_3\leqslant S_3 , поскольку суммы s_3 и S_3 соответствуют одному и тому же разбиению. Наконец, S_3\leqslant S_2 , так как P_3 является измельчением разбиения P_2 .

Таким образом, s_1\leqslant s_3\leqslant S_3\leqslant S_2 , т.е. s_1\leqslant S_2 , что и требовалось доказать.

Из леммы 3 следует, что числовое множество X=\{s_P\} нижних сумм Дарбу лежит левее числового множества Y=\{S_P\} верхних сумм Дарбу.

В силу теоремы о существовании разделяющего числа для двух числовых множеств1, найдется хотя бы одно число /, разделяющее множества X и Y , т.е. такое, что для любого разбиения отрезка выполняется двойное неравенство:

s_P= \sum_{k=0}^{n-1}\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr) \leqslant I\leqslant \sum_{k=0}^{n-1}\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)=S_P.

Если это число единственно, то \textstyle{I= \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx} .

Приведем пример, показывающий, что такое число I , вообще говоря, не является однозначно определенным. Напомним, что функцией Дирихле называют функцию y=D(x) на отрезке , определяемую равенствами:

D(x)= \begin{cases}0,& \text{if}~~ x~~\text{is irrational number};\\1,& \text{if}~~ x~~ \text{is rational number}.\end{cases}

Какой бы отрезок мы ни взяли, на нем найдутся и рациональные, и иррациональные точки, т.е. и точки, где D(x)=0 , и точки, где D(x)=1 . Поэтому для любого разбиения отрезка все значения m_k равны нулю, а все значения M_k равны единице. Но тогда все нижние суммы Дарбу \textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr)} равны нулю, а все верхние суммы Дарбу \textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)} равны единице,

Теорема . Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b ], где a < b , и для всех x ∈ выполняется неравенство

С помощью неравенств из теоремы можно оценить определенный интеграл, т.е. указать границы, между которыми заключено его значение. Эти неравенства выражают оценку определенного интеграла.

Теорема [Теорема о среднем] . Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b ] и для всех x ∈ выполняются неравенства m ≤ f(x) ≤ M , то

где m ≤ μ ≤ M .

Замечание . В случае, когда функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b ], равенство из теоремы принимает вид

где c ∈ . Число μ=f(c) , определяемое данной формулой, называется средним значением функции f(x) на отрезке [a, b ]. Это равенство имеет следующий геометрический смысл : площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией y=f(x) (f(x) ≤ 0 ), равна площади прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной ординате некоторой точки этой линии.

Существование первообразной для непрерывной функции

Сначала введем понятие интеграла с переменным верхним пределом.

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b ]. Тогда, каково бы ни было число x из [a, b ], функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b ]. Поэтому на отрезке [a, b ] определена функция

которую называют интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема . Если подынтегральная функция непрерывна на отрезке [a, b ], то производная определенного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела, то есть

Следствие . Определенный интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных для непрерывной подынтегральной функции. Другими словами, для любой непрерывной на промежутке функции существует первообразная.

Замечание 1 . Отметим, что если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b ], то интеграл с переменным верхним пределом представляет собой непрерывную на этом отрезке функцию от верхнего предела. Действительно, из св.2 и теоремы о среднем имеем

Замечание 2 . Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования используется при определении многих новых функций, например, . Эти функции не являются элементарными; как уже отмечалось, первообразные указанных подынтегральных функций не выражаются через элементарные функции.

Основные правила интегрирования

Формула Ньютона--Лейбница

Поскольку любые две первообразные функции f(x) отличаются на постоянную, то согласно предыдущей теореме можно утверждать, что любая первообразная Φ(x) непрерывной на сегменте [a, b ] функции f(x) имеет вид

где C - некоторая постоянная.

Полагая в этой формуле x=a и x=b , используя св.1 определенных интегралов, найдем

Из этих равенств вытекает соотношение

которое называется формулой Ньютона-Лейбница .

Таким образом доказали следующую теорему:

Теорема . Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной для верхнего и нижнего предела интегрирования.

Формулу Ньютона-Лейбница можно переписать в виде

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема . Если

• функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b ];
• отрезок [a, b ] является множеством значений функции φ(t) , определенной на отрезке α ≤ t ≤ β и имеющей на нем непрерывную производную;
• φ(α)=a , φ(β)=b

то справедлива формула

Формула интегрирования по частям

Теорема . Если функции u=u(x) , v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b ], то справедлива формула

Прикладное значение теоремы о среднем заключается в возможности получения качественной оценки значения определенного интеграла без его вычисления. Формулируем : если функция непрерывна на интервале , то внутри этого интервала найдется такая точка , что .

Эта формула вполне пригодна для прикидочной оценки интеграла от сложной или громоздкой функции. Единственным моментом, который делает формулу приближенной , является необходимость самостоятельного выбора точки . Если принять наиболее простой путь - середину интервала интегрирования (как предлагается в ряде учебников), то ошибка может быть весьма значительной. Для получения более точного результата рекомендуем провести расчет в следующей последовательности:

Построить график функции на интервале ;

Провести верхнюю границу прямоугольника таким образом, чтобы отсекаемые части графика функции были примерно равны по площади (именно так показано на вышеприведенном рисунке - два криволинейных треугольника практически одинаковы);

Определить из рисунка ;

Воспользоваться теоремой о среднем.

В качестве примера вычислим простой интеграл :

Точное значение ;

Для середины интервала получим и приближенное значение , т.е. явно неточный результат;

Построив график с проведением верхней стороны прямоугольника в соответствии с рекомендациями, получим , откуда и приближенное значение . Вполне удовлетворительный результат, погрешность составляет 0,75%.

Формула трапеций

Точность расчетов с помощью теоремы о среднем существенно зависит, как было показано, от визуального назначения по графику точки . Действительно, выбрав, в том же примере, точки или , можно получить другие значения интеграла, причем погрешность может и увеличиться. Субъективные факторы, масштаб графика и качество рисования сильно влияют на результат. Это неприемлемо в ответственных расчетах, поэтому теорема о среднем применяется только для быстрой качественной оценки интеграла.

В этом разделе рассмотрим один из самых популярных способов приближенного интегрирования - формулу трапеций . Основная идея построения этой формулы исходит из того, что кривую можно приближенно заменить ломаной линией, как показано на рисунке.

Примем, для определенности (и в соответствии с рисунком), что интервал интегрирования разбит на равные (это необязательно, но очень удобно) части. Длина каждой из этих частей вычисляется по формуле и называется шагом . Абсциссы точек разбиения, если задано , определятся по формуле , где . По известным абсциссам легко вычислить ординаты . Таким образом,

Это и есть формула трапеций для случая . Отметим, что первое слагаемое в скобках является полусуммой начальной и конечной ординат, к которой прибавляются все промежуточные ординаты. Для произвольного числа разбиений интервала интегрирования общая формула трапеций имеет вид:квадратурных формул : прямоугольников, Симпсона, Гаусса и т.д. Они строятся на той же идее представления криволинейной трапеции элементарными площадями различной формы, поэтому, после освоения формулы трапеций, разобраться в аналогичных формулах не составит особого труда. Многие формулы не так просты, как формула трапеций, но позволяют получить результат высокой точности при малом числе разбиений .

С помощью формулы трапеций (или аналогичных) можно вычислять, с нужной на практике точностью, как "неберущиеся" интегралы, так и интегралы от сложных или громоздких функций.

Метод трапеций

Основная статья: Метод трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке:

Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:

где

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины :

где

Погрешность формулы трапеций:

где

Метод Симпсона.

Подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным полиномом второй степениP(x) – параболой, проходящей через три узла, например, как показано на рисунке ((1) – функция, (2) ­– полином).

Рассмотрим два шага интегрирования (h = const = x i+1 – x i ), то есть три узла x 0 , x 1 , x 2 , через которые проведем параболу, воспользовавшись уравнением Ньютона:

Пусть z = x - x 0 ,
тогда

Теперь, воспользовавшись полученным соотношением, сосчитаем интеграл по данному интервалу:

.
Для равномерной сетки и четного числа шагов n формула Симпсона принимает вид:

Здесь , а в предположении непрерывности четвертой производной подынтегральной функции.

[править]Увеличение точности

Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.

Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.

При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для аналитических функций для любого численного метода.

Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге.

Применение правила Рунге

править]Оценка точности вычисления определённого интеграла

Интеграл вычисляется по выбранной формуле (прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона) при числе шагов, равном n, а затем при числе шагов, равном 2n. Погрешность вычисления значения интеграла при числе шагов, равном 2n, определяется по формуле Рунге:
, для формул прямоугольников и трапеций , а для формулы Симпсона .
Таким образом, интеграл вычисляется для последовательных значений числа шагов , где n 0 - начальное число шагов. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения N будет выполнено условие , где ε - заданная точность.

Особенности поведения погрешности.

Казалось бы, зачем анализировать разные методы интегрирования, если мы можем достичь высокой точности, просто уменьшая величину шага интегрирования. Однако рассмотрим график поведения апостериорной погрешности R результатов численного расчета в зависимост и от числа n разбиений интервала (то есть при шаг . На участке (1) погрешность уменьшается в связи с уменьшением шага h. Но на участке (2) начинает доминировать вычислительная погрешность, накапливающаяся в результате многочисленных арифметических действий. Таким образом, для каждого метода существует своя R min , которая зависит от многих факторов, но прежде всего от априорного значения погрешности метода R .

Уточняющая формула Ромберга.

Метод Ромберга заключается в последовательном уточнении значения интеграла при кратном увеличении числа разбиений. В качестве базовой может быть взята формула трапеций с равномерным шагом h .
Обозначим интеграл с числом разбиений n = 1 как .
Уменьшив шаг в два раза, получим .
Если последовательно уменьшать шаг в 2 n раз, получим рекуррентное соотношение для расчета .

Теорема о среднем . Если f(x) непрерывна на отрезке , то существует точка , такая что. Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда. Числозаключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка, такая что. Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: еслинепрерывна на отрезке , то существует точкатакая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием и высотой f(c) (на рисунке выделен цветом).

7. Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.

Рассмотрим функцию f (x), интегрируемую по Риману на отрезке . Раз она интегрируема на , то она также интегрируема на ∀x ∈ . Тогда при каждом x ∈ имеет смысл выражение , и при каждом x оно равно некоторому числу.

Таким образом, каждому x ∈ поставлено в соответствие некоторое число ,

т.е. на задана функция:

(3.1)

Определение:

Функция F (x), заданная в (3.1), а также само выражение называется

интегралом с переменным верхним пределом. Она определена на всем отрезке

интегрируемости функции f (x).

Условие: f (t) непрерывна на , а функция F (x) задана формулой (3.1).

Утверждение: Функция F(x) дифференцируема на , причем F (x) = f (x).

(В точке a она дифференцируема справа, а в точке b – слева.)

Доказательство:

Поскольку для функции одной переменной F (x) дифференцируемость равносильна существованию производной во всех точках (в точке a справа, а в точке b – слева), то мы найдем производную F (x). Рассмотрим разность

Таким образом,

при этом точка ξ лежит на отрезке (или если ∆x < 0).

Теперь вспомним, что производная функции F(x) в заданной точке x ∈ равна пределу разностного отношения: . Из равенства имеем:

,

Устремляя теперь ∆x → 0, в левой части данного равенства получим F’(x), a в правой

Вспомним определение непрерывности функции f (t) в точке x:

Пусть x1 в этом определении равен ξ. Поскольку ξ ∈ (ξ ∈ ), а

∆x → 0, то |x − ξ| → 0, и по определению непрерывности, f (ξ) → f (x). Отсюда имеем:

F’(x) = f (x).

Следствие:

Условие: f (x) непрерывна на .

Утверждение: Любая первообразная функции f (x) имеет вид

где C ∈ R – некоторая константа.

Доказательство. По теореме 3.1 функция является первообразной для f(x). Предположим, что G(x) – другая первообразная f (x). Тогда G’(x) = f(x) и для функции F(x) − G(x) имеем: (F (x) + G(x))’ = F’(x)−G’(x) = f (x)−f(x) ≡ 0. Значит, производная функции F (x)−G(x)

равна нулю, следовательно, эта функция есть постоянная: F(x) − G(x) = const.

8. Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла.

Теорема:

Условие: f(t) непрерывна на , а F(x) ее любая первообразная.

Утверждение:

Доказательство: Рассмотрим некоторую первообразную F (x) функции f (x). По Следствию из Теоремы «О дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом» (см. предыдущий вопрос) она имеет вид . Отсюда

=> c = F (a ) , и

Перенесем F(a) в последнем равенстве в левую часть, переобозначим переменную интегрирования снова через x и получим формулу Ньютона – Лейбница: