ક્રમ અને પ્રગતિ. સંખ્યાત્મક ક્રમ

વિડા y= f(x), xઓ એન, જ્યાં એનપ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ (અથવા કુદરતી દલીલનું કાર્ય), સૂચવવામાં આવે છે y=f(n) અથવા y 1 ,y 2 ,…, y n,…. મૂલ્યો y 1 ,y 2 ,y 3 ,… અનુક્રમે પ્રથમ, બીજા, ત્રીજા, ... ક્રમના સભ્યો કહેવાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, કાર્ય માટે y= n 2 લખી શકાય છે:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

સિક્વન્સ સેટ કરવા માટેની પદ્ધતિઓ.સિક્વન્સને વિવિધ રીતે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે, જેમાંથી ત્રણ ખાસ કરીને મહત્વપૂર્ણ છે: વિશ્લેષણાત્મક, વર્ણનાત્મક અને આવર્તક.

1. જો તેનું સૂત્ર આપવામાં આવે તો ક્રમ વિશ્લેષણાત્મક રીતે આપવામાં આવે છે n-મો સભ્ય:

y n=f(n).

ઉદાહરણ. y n= 2n- 1 – બેકી સંખ્યાઓનો ક્રમ: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. વર્ણનાત્મક સંખ્યાત્મક ક્રમને સ્પષ્ટ કરવાની રીત એ છે કે તે સમજાવે છે કે ક્રમ કયા ઘટકોમાંથી બનેલો છે.

ઉદાહરણ 1. "ક્રમના તમામ સભ્યો 1 સમાન છે." આનો અર્થ એ છે કે આપણે સ્થિર ક્રમ 1, 1, 1, …, 1, …. વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ.

ઉદાહરણ 2. "ક્રમમાં ચડતા ક્રમમાં તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે." આમ, ક્રમ 2, 3, 5, 7, 11, … આપેલ છે. આ ઉદાહરણમાં ક્રમનો ઉલ્લેખ કરવાની આ રીત સાથે, અનુક્રમનું 1000મું તત્વ શું છે, તેનો જવાબ આપવો મુશ્કેલ છે.

3. ક્રમને સ્પષ્ટ કરવાની વારંવારની રીત એ છે કે એક નિયમ સૂચવવામાં આવે છે જે વ્યક્તિને ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. nક્રમનો -મો સભ્ય, જો તેના અગાઉના સભ્યો જાણીતા હોય. રિકરન્ટ મેથડ નામ લેટિન શબ્દ પરથી આવે છે પુનરાવર્તિત- પાછા આવી જાઓ. મોટેભાગે, આવા કિસ્સાઓમાં, એક સૂત્ર સૂચવવામાં આવે છે જે વ્યક્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે nપાછલા સભ્યો દ્વારા ક્રમનો મી સભ્ય, અને ક્રમના 1-2 પ્રારંભિક સભ્યોનો ઉલ્લેખ કરો.

ઉદાહરણ 1 y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 જો n = 2, 3, 4,….

અહીં y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

તે જોઈ શકાય છે કે આ ઉદાહરણમાં મેળવેલ ક્રમને વિશ્લેષણાત્મક રીતે પણ સ્પષ્ટ કરી શકાય છે: y n= 4n- 1.

ઉદાહરણ 2 y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 જો n = 3, 4,….

અહીં: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

આ ઉદાહરણમાં બનાવેલ ક્રમનો ગણિતમાં ખાસ અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે કારણ કે તેમાં સંખ્યાબંધ રસપ્રદ ગુણધર્મો અને એપ્લિકેશન્સ છે. 13મી સદીના ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી પછી - તેને ફિબોનાકી ક્રમ કહેવામાં આવે છે. ફિબોનાકી ક્રમને પુનરાવર્તિત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવું ખૂબ જ સરળ છે, પરંતુ વિશ્લેષણાત્મક રીતે તે ખૂબ મુશ્કેલ છે. nફિબોનાકી નંબર નીચે આપેલા સૂત્ર દ્વારા તેની ક્રમાંકિત સંખ્યાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત થાય છે.

પ્રથમ નજરમાં, માટે સૂત્ર nફિબોનાકી નંબર અસ્પષ્ટ લાગે છે, કારણ કે સૂત્ર કે જે એકલા કુદરતી સંખ્યાઓનો ક્રમ સ્પષ્ટ કરે છે તેમાં વર્ગમૂળ હોય છે, પરંતુ તમે પ્રથમ થોડા માટે આ સૂત્રની માન્યતા "મેન્યુઅલી" ચકાસી શકો છો. n.

સંખ્યાત્મક ક્રમના ગુણધર્મો.

સંખ્યાત્મક ક્રમ એ સંખ્યાત્મક કાર્યનો વિશેષ કેસ છે, તેથી ક્રમ માટે સંખ્યાબંધ કાર્યોના ગુણધર્મો પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા . અનુગામી ( y n} જો તેની દરેક શરતો (પ્રથમ સિવાય) પાછલા એક કરતા વધારે હોય તો તેને વધારો કહેવામાં આવે છે:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

વ્યાખ્યા.ક્રમ ( y n} જો તેની દરેક શરતો (પ્રથમ સિવાય) પાછલા એક કરતા ઓછી હોય તો તેને ઘટાડવું કહેવામાં આવે છે:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

વધતા અને ઘટતા સિક્વન્સ એક સામાન્ય શબ્દ દ્વારા એક થાય છે - મોનોટોનિક સિક્વન્સ.

ઉદાહરણ 1 y 1 = 1; y n= n 2 એ વધતો ક્રમ છે.

આમ, નીચેનું પ્રમેય સાચું છે (એક અંકગણિતની પ્રગતિની લાક્ષણિકતા). સંખ્યાત્મક ક્રમ એ અંકગણિત છે જો અને માત્ર જો તેના દરેક સભ્ય, પ્રથમ (અને મર્યાદિત ક્રમના કિસ્સામાં છેલ્લો) સિવાય, અગાઉના અને અનુગામી સભ્યોના અંકગણિત સરેરાશ સમાન હોય.

ઉદાહરણ. કયા મૂલ્ય પર xનંબર 3 x + 2, 5x- 4 અને 11 x+ 12 એક મર્યાદિત અંકગણિત પ્રગતિ બનાવે છે?

લાક્ષણિક ગુણધર્મ અનુસાર, આપેલ અભિવ્યક્તિઓ સંબંધને સંતોષવા જ જોઈએ

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

આ સમીકરણ ઉકેલવાથી મળે છે x= –5,5. આ મૂલ્ય સાથે xઆપેલ અભિવ્યક્તિઓ 3 x + 2, 5x- 4 અને 11 x+ 12 લે છે, અનુક્રમે, મૂલ્યો -14.5, –31,5, –48,5. આ એક અંકગણિત પ્રગતિ છે, તેનો તફાવત -17 છે.

ભૌમિતિક પ્રગતિ.

સંખ્યાત્મક ક્રમ, જેનાં તમામ સભ્યો બિનશૂન્ય છે અને જેમાંથી દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ થાય છે, તે જ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરીને અગાઉના સભ્ય પાસેથી મેળવવામાં આવે છે. q, ને ભૌમિતિક પ્રગતિ અને સંખ્યા કહેવાય છે q- ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ.

આમ, ભૌમિતિક પ્રગતિ એ સંખ્યાત્મક ક્રમ છે ( b n) સંબંધો દ્વારા વારંવાર આપવામાં આવે છે

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(bઅને q-આપેલ નંબરો, b ≠ 0, q ≠ 0).

ઉદાહરણ 1. 2, 6, 18, 54, ... - ભૌમિતિક પ્રગતિમાં વધારો b = 2, q = 3.

ઉદાહરણ 2. 2, -2, 2, -2, ... – ભૌમિતિક પ્રગતિ b= 2,q= –1.

ઉદાહરણ 3. 8, 8, 8, 8, … – ભૌમિતિક પ્રગતિ b= 8, q= 1.

ભૌમિતિક પ્રગતિ એ વધતો ક્રમ છે જો b 1 > 0, q> 1, અને ઘટાડો જો b 1 > 0, 0 ક્વિ

ભૌમિતિક પ્રગતિના સ્પષ્ટ ગુણધર્મોમાંની એક એ છે કે જો કોઈ ક્રમ ભૌમિતિક પ્રગતિ હોય, તો ચોરસનો ક્રમ, એટલે કે.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… એ ભૌમિતિક પ્રગતિ છે જેની પ્રથમ મુદત બરાબર છે b 1 2 , અને છેદ છે q 2 .

ફોર્મ્યુલા n-ભૌમિતિક પ્રગતિનો મી શબ્દ સ્વરૂપ ધરાવે છે

b n= b 1 q n– 1 .

તમે મર્યાદિત ભૌમિતિક પ્રગતિના શબ્દોના સરવાળા માટે સૂત્ર મેળવી શકો છો.

એક મર્યાદિત ભૌમિતિક પ્રગતિ થવા દો

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

દો એસ એન -તેના સભ્યોનો સરવાળો, એટલે કે.

એસ એન= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

તે સ્વીકારવામાં આવે છે qનંબર 1. નક્કી કરવા માટે એસ એનએક કૃત્રિમ યુક્તિ લાગુ કરવામાં આવે છે: અભિવ્યક્તિના કેટલાક ભૌમિતિક પરિવર્તનો કરવામાં આવે છે S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = એસ એન+ b n q– b 1 .

આ રીતે, S n q= એસ એન +b n q – b 1 અને તેથી

આ સાથે સૂત્ર છે ભૌમિતિક પ્રગતિના સભ્યોજ્યારે કેસ માટે q≠ 1.

મુ q= 1 સૂત્ર અલગથી મેળવી શકાતું નથી, તે સ્પષ્ટ છે કે આ કિસ્સામાં એસ એન= a 1 n.

તેને ભૌમિતિક પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે કારણ કે તેમાં દરેક પદ, પ્રથમ સિવાય, અગાઉના અને અનુગામી પદોના ભૌમિતિક સરેરાશ સમાન છે. ખરેખર, ત્યારથી

b n = b n- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

પરિણામે, b n 2= b n– 1 bn+ 1 અને નીચેનું પ્રમેય સાચું છે (ભૌમિતિક પ્રગતિની લાક્ષણિક મિલકત):

સંખ્યાત્મક ક્રમ એ ભૌમિતિક પ્રગતિ છે જો અને માત્ર જો તેના દરેક પદનો વર્ગ, પ્રથમ (અને મર્યાદિત ક્રમના કિસ્સામાં છેલ્લો) સિવાય, અગાઉના અને અનુગામી પદોના ગુણાંક સમાન હોય.

ક્રમ મર્યાદા.

એક ક્રમ રહેવા દો ( c n} = {1/n}. આ ક્રમને હાર્મોનિક કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તેના દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ થાય છે, તે અગાઉના અને પછીના સભ્યો વચ્ચેનો હાર્મોનિક સરેરાશ છે. સંખ્યાઓનો ભૌમિતિક સરેરાશ aઅને bએક નંબર છે

નહિંતર, ક્રમને ડાયવર્જન્ટ કહેવામાં આવે છે.

આ વ્યાખ્યાના આધારે, કોઈ, ઉદાહરણ તરીકે, મર્યાદાના અસ્તિત્વને સાબિત કરી શકે છે A=0હાર્મોનિક ક્રમ માટે ( c n} = {1/n). ચાલો ε ને મનસ્વી રીતે નાની ધન સંખ્યા છે. અમે તફાવત ધ્યાનમાં લઈએ છીએ

શું એવું છે એનતે દરેક માટે n≥ એનઅસમાનતા 1 /N? તરીકે લેવામાં આવે તો એનકરતાં મોટી કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા 1/ε , પછી બધા માટે n ≥ Nઅસમાનતા 1 /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

ચોક્કસ ક્રમ માટે મર્યાદાના અસ્તિત્વને સાબિત કરવું ક્યારેક ખૂબ મુશ્કેલ છે. સૌથી સામાન્ય સિક્વન્સનો સારી રીતે અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે અને સંદર્ભ પુસ્તકોમાં સૂચિબદ્ધ છે. એવા મહત્વના પ્રમેય છે જે પહેલાથી અભ્યાસ કરેલ સિક્વન્સના આધારે આપેલ ક્રમની મર્યાદા હોય છે (અને તેની ગણતરી પણ કરે છે) એવું તારણ કાઢવાનું શક્ય બનાવે છે.

પ્રમેય 1. જો કોઈ ક્રમની મર્યાદા હોય, તો તે બાઉન્ડેડ છે.

પ્રમેય 2. જો કોઈ ક્રમ એકવિધ અને બાઉન્ડેડ હોય, તો તેની મર્યાદા હોય છે.

પ્રમેય 3. જો ક્રમ ( એક એન} મર્યાદા છે એ, પછી સિક્વન્સ ( ca n}, {એક એન+ c) અને (| એક એન|} મર્યાદા છે cA, એ +c, |એ| અનુક્રમે (અહીં cએક મનસ્વી સંખ્યા છે).

પ્રમેય 4. જો ક્રમ ( એક એન} અને ( b n) ની સમાન મર્યાદા છે એઅને બી પા એન + qb n)ની મર્યાદા છે PA+ qB.

પ્રમેય 5. જો ક્રમ ( એક એન) અને ( b n) ની સમાન મર્યાદા છે એઅને બીઅનુક્રમે, પછી ક્રમ ( a n b n)ની મર્યાદા છે એબી.

પ્રમેય 6. જો ક્રમ ( એક એન} અને ( b n) ની સમાન મર્યાદા છે એઅને બીઅનુક્રમે, અને વધુમાં b n ≠ 0 અને B≠ 0, પછી ક્રમ ( a n / b n)ની મર્યાદા છે A/B.

અન્ના ચુગૈનોવા

અમે નક્કી કરવાનું શરૂ કરીએ તે પહેલાં અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યાઓ, સંખ્યા ક્રમ શું છે તે ધ્યાનમાં લો, કારણ કે અંકગણિત પ્રગતિ એ સંખ્યા ક્રમનો વિશેષ કેસ છે.

સંખ્યાત્મક ક્રમ એ સંખ્યાત્મક સમૂહ છે, જેમાંના દરેક તત્વનો પોતાનો સીરીયલ નંબર હોય છે.. આ સમૂહના તત્વોને ક્રમના સભ્યો કહેવામાં આવે છે. ક્રમ તત્વની ક્રમાંકિત સંખ્યા અનુક્રમણિકા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે:

ક્રમનું પ્રથમ તત્વ;

ક્રમનું પાંચમું તત્વ;

- ક્રમનું "nth" તત્વ, એટલે કે. નંબર n પર "કતારમાં ઊભું" તત્વ.

ક્રમ તત્વના મૂલ્ય અને તેની ક્રમાંકિત સંખ્યા વચ્ચે નિર્ભરતા છે. તેથી, આપણે ક્રમને ફંક્શન તરીકે ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ જેની દલીલ એ ક્રમના તત્વની ક્રમાંકિત સંખ્યા છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો એવું કહી શકાય ક્રમ એ કુદરતી દલીલનું કાર્ય છે:

ક્રમ ત્રણ રીતે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે:

1 . ક્રમ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.આ કિસ્સામાં, અમે ક્રમના દરેક સભ્યનું મૂલ્ય ફક્ત સેટ કરીએ છીએ.

ઉદાહરણ તરીકે, કોઈએ વ્યક્તિગત સમય વ્યવસ્થાપન કરવાનું નક્કી કર્યું, અને તેની સાથે પ્રારંભ કરવા માટે, તે ગણતરી કરવા માટે કે તે અઠવાડિયા દરમિયાન VKontakte પર કેટલો સમય વિતાવે છે. કોષ્ટકમાં સમય લખવાથી, તેને સાત ઘટકોનો ક્રમ મળશે:

કોષ્ટકની પ્રથમ લાઇનમાં અઠવાડિયાના દિવસની સંખ્યા છે, બીજી - મિનિટમાં સમય. આપણે જોઈએ છીએ કે, એટલે કે, સોમવારે કોઈએ VKontakte પર 125 મિનિટ વિતાવી, એટલે કે, ગુરુવારે - 248 મિનિટ, અને, એટલે કે, શુક્રવારે, માત્ર 15.

2 . ક્રમ nth સભ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

આ કિસ્સામાં, તેની સંખ્યા પર ક્રમ તત્વના મૂલ્યની અવલંબન સીધી સૂત્ર તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો, પછી

આપેલ સંખ્યા સાથે ક્રમ ઘટકનું મૂલ્ય શોધવા માટે, અમે તત્વ નંબરને nમા સભ્ય માટે સૂત્રમાં બદલીએ છીએ.

જો દલીલની કિંમત જાણીતી હોય તો આપણે ફંક્શનની કિંમત શોધવાની જરૂર હોય તો આપણે તે જ કરીએ છીએ. અમે ફંક્શનના સમીકરણમાં તેના બદલે દલીલના મૂલ્યને બદલીએ છીએ:

જો, ઉદાહરણ તરીકે, , પછી

ફરી એકવાર, હું નોંધ કરું છું કે અનુક્રમમાં, મનસ્વી આંકડાકીય કાર્યથી વિપરીત, ફક્ત કુદરતી સંખ્યા જ દલીલ હોઈ શકે છે.

3 . અનુક્રમ એક સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે જે અગાઉના સભ્યોના મૂલ્ય પર સંખ્યા n સાથે અનુક્રમના સભ્યની કિંમતની નિર્ભરતાને વ્યક્ત કરે છે. આ કિસ્સામાં, તેના મૂલ્યને શોધવા માટે ફક્ત ક્રમ સભ્યની સંખ્યા જાણવી આપણા માટે પૂરતું નથી. આપણે ક્રમના પ્રથમ સભ્ય અથવા પ્રથમ થોડા સભ્યોનો ઉલ્લેખ કરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ક્રમને ધ્યાનમાં લો ,

આપણે ક્રમના સભ્યોની કિંમતો શોધી શકીએ છીએ ક્રમ, ત્રીજાથી શરૂ કરીને:

એટલે કે, દરેક વખતે ક્રમના nમા સભ્યની કિંમત શોધવા માટે, આપણે પાછલા બે પર પાછા આવીએ છીએ. ક્રમની આ રીત કહેવાય છે આવર્તક, લેટિન શબ્દમાંથી પુનરાવર્તિત- પાછા આવી જાઓ.

હવે આપણે અંકગણિત પ્રગતિને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. અંકગણિત પ્રગતિ એ સંખ્યાત્મક ક્રમનો એક સરળ વિશિષ્ટ કેસ છે.

અંકગણિત પ્રગતિ તેને સંખ્યાત્મક ક્રમ કહેવામાં આવે છે, જેમાંથી દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ થાય છે, તે જ સંખ્યા સાથે ઉમેરવામાં આવતા પહેલાના સમાન હોય છે.

નંબર પર બોલાવવામાં આવે છે અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત. અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત હકારાત્મક, નકારાત્મક અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે.

જો શીર્ષક ==(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} વધારો.

ઉદાહરણ તરીકે, 2; 5; આઠ; અગિયાર;...

જો , તો અંકગણિત પ્રગતિનો દરેક શબ્દ પાછલા એક કરતા ઓછો છે, અને પ્રગતિ છે ક્ષીણ થઈ જવું.

ઉદાહરણ તરીકે, 2; -એક; -ચાર; -7;...

જો , તો પ્રગતિના તમામ સભ્યો સમાન સંખ્યા સમાન છે, અને પ્રગતિ છે સ્થિર.

ઉદાહરણ તરીકે, 2;2;2;2;...

અંકગણિત પ્રગતિની મુખ્ય મિલકત:

ચાલો ચિત્ર જોઈએ.

તે આપણે જોઈએ છીએ

, અને તે જ સમયે

આ બે સમાનતાઓ ઉમેરીને, આપણને મળે છે:

.

સમીકરણની બંને બાજુઓને 2 વડે વિભાજીત કરો:

તેથી, અંકગણિત પ્રગતિના દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, બે પડોશી રાશિઓના અંકગણિત સરેરાશ સમાન છે:

વધુમાં, ત્યારથી

, અને તે જ સમયે

, પછી

, અને તેથી

શીર્ષક="(!LANG:k>l સાથે શરૂ થતા અંકગણિત પ્રગતિના દરેક સભ્ય">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

મી સભ્ય સૂત્ર.

આપણે જોઈએ છીએ કે અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યો માટે, નીચેના સંબંધો ધરાવે છે:

અને છેલ્લે

અમે મળી nમી મુદતનું સૂત્ર.

મહત્વપૂર્ણ!અંકગણિત પ્રગતિના કોઈપણ સભ્યને અને ની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે. પ્રથમ પદ અને અંકગણિત પ્રગતિના તફાવતને જાણીને, તમે તેના કોઈપણ સભ્યોને શોધી શકો છો.

અંકગણિત પ્રગતિના n સભ્યોનો સરવાળો.

મનસ્વી અંકગણિત પ્રગતિમાં, આત્યંતિક રાશિઓથી સમાન અંતરે આવેલા શબ્દોનો સરવાળો એકબીજા સાથે સમાન હોય છે:

n સભ્યો સાથે અંકગણિતની પ્રગતિનો વિચાર કરો. ચાલો આ પ્રગતિના n સભ્યોનો સરવાળો બરાબર કરીએ.

પ્રગતિની શરતોને પહેલા સંખ્યાઓના ચડતા ક્રમમાં અને પછી ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવો:

ચાલો તેને જોડીએ:

દરેક કૌંસમાં સરવાળો છે, જોડીની સંખ્યા n છે.

અમને મળે છે:

તેથી, અંકગણિત પ્રગતિના n સભ્યોનો સરવાળો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

ધ્યાનમાં લો અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યાઓ ઉકેલવા.

1 . ક્રમ nમા સભ્યના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: . સાબિત કરો કે આ ક્રમ એક અંકગણિત પ્રગતિ છે.

ચાલો સાબિત કરીએ કે અનુક્રમના બે સંલગ્ન સભ્યો વચ્ચેનો તફાવત સમાન સંખ્યા જેટલો છે.

અમે મેળવ્યું છે કે અનુક્રમના બે સંલગ્ન સભ્યોનો તફાવત તેમની સંખ્યા પર આધાર રાખતો નથી અને તે સ્થિર છે. તેથી, વ્યાખ્યા દ્વારા, આ ક્રમ એક અંકગણિત પ્રગતિ છે.

2 . એક અંકગણિત પ્રગતિ આપેલ -31; -27;...

a) પ્રગતિની 31 શરતો શોધો.

b) આ પ્રગતિમાં નંબર 41 સામેલ છે કે કેમ તે નક્કી કરો.

a)આપણે જોઈએ છીએ કે;

ચાલો આપણી પ્રગતિ માટે nમી મુદત માટેનું સૂત્ર લખીએ.

સામાન્ય રીતે

અમારા કિસ્સામાં , એટલા માટે

જો દરેક કુદરતી સંખ્યા n વાસ્તવિક સંખ્યા સાથે મેળ કરો એક એન , પછી તેઓ કહે છે કે આપેલ છે સંખ્યા ક્રમ :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , એક એન , . . . .

તેથી, સંખ્યાત્મક ક્રમ એ કુદરતી દલીલનું કાર્ય છે.

નંબર a 1 કહેવાય છે ક્રમનો પ્રથમ સભ્ય , નંબર a 2 — ક્રમનો બીજો સભ્ય , નંબર a 3 — ત્રીજું અને તેથી વધુ. નંબર એક એન કહેવાય છે ક્રમનો nમો સભ્ય , અને કુદરતી સંખ્યા n — તેનો નંબર .

બે પડોશી સભ્યો તરફથી એક એન અને એક એન +1 સભ્ય ક્રમ એક એન +1 કહેવાય છે અનુગામી ( તરફ એક એન ), એ એક એન — અગાઉના ( તરફ એક એન +1 ).

ક્રમનો ઉલ્લેખ કરવા માટે, તમારે એક પદ્ધતિનો ઉલ્લેખ કરવો આવશ્યક છે જે તમને કોઈપણ નંબર સાથે ક્રમ સભ્ય શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે.

ઘણીવાર ક્રમ સાથે આપવામાં આવે છે nમી મુદતના સૂત્રો , એટલે કે, એક સૂત્ર જે તમને તેની સંખ્યા દ્વારા ક્રમ સભ્યને નિર્ધારિત કરવાની મંજૂરી આપે છે.

દાખ્લા તરીકે,

ધન બેકી સંખ્યાઓનો ક્રમ સૂત્ર દ્વારા આપી શકાય છે

એક એન= 2n- 1,

અને વૈકલ્પિક ક્રમ 1 અને -1 - સૂત્ર

b n = (-1)n +1 . ◄

ક્રમ નક્કી કરી શકાય છે આવર્તક સૂત્ર, એટલે કે, એક સૂત્ર કે જે અનુક્રમના કોઈપણ સભ્યને વ્યક્ત કરે છે, કેટલાકથી શરૂ કરીને, અગાઉના (એક અથવા વધુ) સભ્યો દ્વારા.

દાખ્લા તરીકે,

જો a 1 = 1 , એ એક એન +1 = એક એન + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

જો a 1= 1, a 2 = 1, એક એન +2 = એક એન + એક એન +1 , પછી સંખ્યાત્મક ક્રમના પ્રથમ સાત સભ્યો નીચે પ્રમાણે સેટ કરવામાં આવ્યા છે:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

સિક્વન્સ હોઈ શકે છે અંતિમ અને અનંત .

ક્રમ કહેવાય છે અંતિમ જો તેના સભ્યોની સંખ્યા મર્યાદિત હોય. ક્રમ કહેવાય છે અનંત જો તેમાં અસંખ્ય સભ્યો હોય.

દાખ્લા તરીકે,

બે-અંકની કુદરતી સંખ્યાઓનો ક્રમ:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

અંતિમ

પ્રાઇમ નંબર ક્રમ:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

અનંત ◄

ક્રમ કહેવાય છે વધારો , જો તેના દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, પાછલા એક કરતા વધારે હોય.

ક્રમ કહેવાય છે ક્ષીણ થઈ જવું , જો તેના દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, પાછલા એક કરતા ઓછા હોય.

દાખ્લા તરીકે,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . એક ચડતો ક્રમ છે;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . ઉતરતો ક્રમ છે. ◄

એક ક્રમ કે જેના તત્વો વધતી સંખ્યા સાથે ઘટતા નથી, અથવા તેનાથી વિપરીત, વધતા નથી, તેને કહેવામાં આવે છે એકવિધ ક્રમ .

મોનોટોનિક સિક્વન્સ, ખાસ કરીને, સિક્વન્સ વધી રહી છે અને સિક્વન્સ ઘટી રહી છે.

અંકગણિત પ્રગતિ

અંકગણિત પ્રગતિ એક ક્રમ કહેવામાં આવે છે, જેનો દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, અગાઉના એક સમાન હોય છે, જેમાં સમાન સંખ્યા ઉમેરવામાં આવે છે.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , એક એન, . . .

જો કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા માટે અંકગણિત પ્રગતિ છે n શરત પૂરી થાય છે:

એક એન +1 = એક એન + ડી,

જ્યાં ડી - અમુક સંખ્યા.

આમ, આપેલ અંકગણિત પ્રગતિના આગલા અને પાછલા સભ્યો વચ્ચેનો તફાવત હંમેશા સ્થિર રહે છે:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = એક એન +1 - એક એન = ડી.

નંબર ડી કહેવાય છે અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત.

અંકગણિત પ્રગતિ સુયોજિત કરવા માટે, તે તેના પ્રથમ પદ અને તફાવતને સ્પષ્ટ કરવા માટે પૂરતું છે.

દાખ્લા તરીકે,

જો a 1 = 3, ડી = 4 , પછી ક્રમની પ્રથમ પાંચ શરતો નીચે મુજબ જોવા મળે છે:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + ડી = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + ડી= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + ડી= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + ડી= 15 + 4 = 19. ◄

પ્રથમ પદ સાથે અંકગણિત પ્રગતિ માટે a 1 અને તફાવત ડી તેણીના n

એક એન = a 1 + (n- 1)ડી.

દાખ્લા તરીકે,

અંકગણિતની પ્રગતિનો ત્રીસમો શબ્દ શોધો

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, ડી = 3,

એ 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)ડી,

એક એન= a 1 + (n- 1)ડી,

એક એન +1 = a 1 + એનડી,

પછી દેખીતી રીતે

એક એન=	a n-1 + a n+1
	2

અંકગણિત પ્રગતિના દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, અગાઉના અને પછીના સભ્યોના અંકગણિત સરેરાશ સમાન છે.

સંખ્યાઓ a, b અને c અમુક અંકગણિત પ્રગતિના સળંગ સભ્યો છે જો અને માત્ર જો તેમાંથી એક અન્ય બેના અંકગણિત સરેરાશ સમાન હોય.

દાખ્લા તરીકે,

એક એન = 2n- 7 , એક અંકગણિત પ્રગતિ છે.

ચાલો ઉપરના નિવેદનનો ઉપયોગ કરીએ. અમારી પાસે:

એક એન = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

પરિણામે,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = એક એન,
2		2

◄

તેની નોંધ લો n અંકગણિત પ્રગતિનો -મો સભ્ય માત્ર દ્વારા જ શોધી શકાય છે a 1 , પણ કોઈપણ અગાઉના a k

એક એન = a k + (n- k)ડી.

દાખ્લા તરીકે,

માટે a 5 લખી શકાય છે

a 5 = a 1 + 4ડી,

a 5 = a 2 + 3ડી,

a 5 = a 3 + 2ડી,

a 5 = a 4 + ડી. ◄

એક એન = એક n-k + kd,

એક એન = a n+k - kd,

પછી દેખીતી રીતે

એક એન=	a n-k + એ n+k
	2

અંકગણિત પ્રગતિના કોઈપણ સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, આ અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યોના સરવાળાના અડધા સરવાળો જેટલો તેમાંથી સમાન અંતરે છે.

વધુમાં, કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિ માટે, સમાનતા સાચી છે:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

દાખ્લા તરીકે,

અંકગણિત પ્રગતિમાં

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7ડી= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, કારણ કે

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

એસ એન= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ એક એન,

પ્રથમ n અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યો શબ્દોની સંખ્યા દ્વારા આત્યંતિક પદોના અડધા સરવાળાના ગુણાંક સમાન છે:

આમાંથી, ખાસ કરીને, તે અનુસરે છે કે જો શરતોનો સરવાળો કરવો જરૂરી છે

a k, a k +1 , . . . , એક એન,

પછી પાછલું સૂત્ર તેની રચના જાળવી રાખે છે:

દાખ્લા તરીકે,

અંકગણિત પ્રગતિમાં 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

એસ 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = એસ 10 - એસ 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

જો અંકગણિતની પ્રગતિ આપવામાં આવે છે, તો જથ્થાઓ a 1 , એક એન, ડી, nઅનેએસ n બે સૂત્રો દ્વારા જોડાયેલા:

તેથી, જો આમાંથી ત્રણ જથ્થાના મૂલ્યો આપવામાં આવે છે, તો પછી અન્ય બે જથ્થાના અનુરૂપ મૂલ્યો બે અજાણ્યા સાથેના બે સમીકરણોની સિસ્ટમમાં સંયુક્ત આ સૂત્રોમાંથી નક્કી કરવામાં આવે છે.

અંકગણિત પ્રગતિ એ એકવિધ ક્રમ છે. જેમાં:

• જો ડી > 0 , પછી તે વધી રહ્યું છે;
• જો ડી < 0 , પછી તે ઘટી રહ્યું છે;
• જો ડી = 0 , પછી ક્રમ સ્થિર રહેશે.

ભૌમિતિક પ્રગતિ

ભૌમિતિક પ્રગતિ એક ક્રમ કહેવામાં આવે છે, જેનો દરેક શબ્દ, બીજાથી શરૂ કરીને, અગાઉના એક સમાન હોય છે, સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

જો કોઈ કુદરતી સંખ્યા માટે હોય તો તે ભૌમિતિક પ્રગતિ છે n શરત પૂરી થાય છે:

b n +1 = b n · q,

જ્યાં q ≠ 0 - અમુક સંખ્યા.

આમ, આ ભૌમિતિક પ્રગતિના આગલા પદનો પાછલા એક સાથેનો ગુણોત્તર એક સ્થિર સંખ્યા છે:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

નંબર q કહેવાય છે ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ.

ભૌમિતિક પ્રગતિ સુયોજિત કરવા માટે, તે તેના પ્રથમ પદ અને છેદને સ્પષ્ટ કરવા માટે પૂરતું છે.

દાખ્લા તરીકે,

જો b 1 = 1, q = -3 , પછી ક્રમની પ્રથમ પાંચ શરતો નીચે મુજબ જોવા મળે છે:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 અને છેદ q તેણીના n -મો શબ્દ સૂત્ર દ્વારા શોધી શકાય છે:

b n = b 1 · q n -1 .

દાખ્લા તરીકે,

ભૌમિતિક પ્રગતિની સાતમી અવધિ શોધો 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

પછી દેખીતી રીતે

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

ભૌમિતિક પ્રગતિના દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, અગાઉના અને પછીના સભ્યોના ભૌમિતિક સરેરાશ (પ્રમાણસર) સમાન છે.

વાતચીત પણ સાચી હોવાથી, નીચેનું વિધાન ધરાવે છે:

સંખ્યાઓ a, b અને c એ અમુક ભૌમિતિક પ્રગતિના સળંગ સભ્યો છે જો અને માત્ર જો તેમાંથી એકનો વર્ગ અન્ય બેના ગુણાંક જેટલો હોય, એટલે કે, સંખ્યાઓમાંથી એક અન્ય બેનો ભૌમિતિક સરેરાશ હોય.

દાખ્લા તરીકે,

ચાલો સાબિત કરીએ કે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવેલ ક્રમ b n= -3 2 n , ભૌમિતિક પ્રગતિ છે. ચાલો ઉપરના નિવેદનનો ઉપયોગ કરીએ. અમારી પાસે:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

પરિણામે,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

જે જરૂરી નિવેદનને સાબિત કરે છે. ◄

તેની નોંધ લો n ભૌમિતિક પ્રગતિનો મી શબ્દ માત્ર દ્વારા જ શોધી શકાતો નથી b 1 , પણ કોઈપણ અગાઉની મુદત b k , જેના માટે તે સૂત્રનો ઉપયોગ કરવા માટે પૂરતું છે

b n = b k · q n - k.

દાખ્લા તરીકે,

માટે b 5 લખી શકાય છે

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

પછી દેખીતી રીતે

b n 2 = b n - k· b n + k

ભૌમિતિક પ્રગતિના કોઈપણ સભ્યનો વર્ગ, બીજાથી શરૂ થાય છે, તે આ પ્રગતિના સભ્યોના ગુણાંક જેટલો છે.

વધુમાં, કોઈપણ ભૌમિતિક પ્રગતિ માટે, સમાનતા સાચી છે:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

દાખ્લા તરીકે,

ઘાતાંકીય રીતે

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , કારણ કે

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

એસ એન= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

પ્રથમ n છેદ સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિના સભ્યો q ≠ 0 સૂત્ર દ્વારા ગણતરી:

અને ક્યારે q = 1 - સૂત્ર અનુસાર

એસ એન= n.b 1

નોંધ કરો કે જો આપણે શરતોનો સરવાળો કરવાની જરૂર હોય

b k, b k +1 , . . . , b n,

પછી સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે:

એસ એન- એસ.કે -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

દાખ્લા તરીકે,

ઘાતાંકીય રીતે 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

એસ 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = એસ 10 - એસ 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

જો ભૌમિતિક પ્રગતિ આપવામાં આવે છે, તો જથ્થાઓ b 1 , b n, q, nઅને એસ એન બે સૂત્રો દ્વારા જોડાયેલા:

તેથી, જો આમાંથી કોઈપણ ત્રણ જથ્થાના મૂલ્યો આપવામાં આવે છે, તો પછી અન્ય બે જથ્થાના અનુરૂપ મૂલ્યો આ સૂત્રોમાંથી બે અજાણ્યા સમીકરણોની સિસ્ટમમાં જોડવામાં આવે છે.

પ્રથમ પદ સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિ માટે b 1 અને છેદ q નીચેના થાય છે એકવિધતા ગુણધર્મો :

• જો નીચેની શરતોમાંથી એક પૂરી થાય તો પ્રગતિ વધી રહી છે:

b 1 > 0 અને q> 1;

b 1 < 0 અને 0 < q< 1;

• જો નીચેની શરતોમાંથી એક પૂરી થાય તો પ્રગતિ ઘટી રહી છે:

b 1 > 0 અને 0 < q< 1;

b 1 < 0 અને q> 1.

જો q< 0 , પછી ભૌમિતિક પ્રગતિ સાઇન-વૈકલ્પિક છે: તેના એકી-સંખ્યાવાળા પદો તેના પ્રથમ પદ જેવા જ ચિહ્ન ધરાવે છે, અને સમ-સંખ્યાવાળા પદો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે વૈકલ્પિક ભૌમિતિક પ્રગતિ એકવિધ નથી.

પ્રથમ ઉત્પાદન n ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતો સૂત્ર દ્વારા ગણતરી કરી શકાય છે:

પી એન= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

દાખ્લા તરીકે,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

ભૌમિતિક પ્રગતિમાં અનંતપણે ઘટાડો

ભૌમિતિક પ્રગતિમાં અનંતપણે ઘટાડો એક અનંત ભૌમિતિક પ્રગતિ કહેવાય છે જેનો છેદ મોડ્યુલસ તેનાથી ઓછો છે 1 , તે જ

|q| < 1 .

નોંધ કરો કે અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ એ ઘટતો ક્રમ હોઈ શકે નહીં. આ કેસમાં બંધબેસે છે

1 < q< 0 .

આવા છેદ સાથે, ક્રમ સાઇન-વૈકલ્પિક છે. દાખ્લા તરીકે,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો જે નંબરનો સરવાળો પ્રથમ છે તેને નામ આપો n સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે પ્રગતિની શરતો n . આ સંખ્યા હંમેશા મર્યાદિત હોય છે અને સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે

એસ= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

દાખ્લા તરીકે,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિ વચ્ચેનો સંબંધ

અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિ નજીકથી સંબંધિત છે. ચાલો ફક્ત બે ઉદાહરણોનો વિચાર કરીએ.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . ડી , પછી

b એ 1 , b એ 2 , b એ 3 , . . . b ડી .

દાખ્લા તરીકે,

1, 3, 5, . . . - તફાવત સાથે અંકગણિત પ્રગતિ 2 અને

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . છેદ સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિ છે 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . છેદ સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિ છે q , પછી

લોગ a b 1, લોગ a b 2, લોગ a b 3, . . . - તફાવત સાથે અંકગણિત પ્રગતિ લોગ એq .

દાખ્લા તરીકે,

2, 12, 72, . . . છેદ સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિ છે 6 અને

એલજી 2, એલજી 12, એલજી 72, . . . - તફાવત સાથે અંકગણિત પ્રગતિ એલજી 6 . ◄

સંખ્યાત્મક સિક્વન્સ

અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિ

જો દરેક કુદરતી સંખ્યા nમેળ ખાતી સંખ્યા એક્સn, પછી તેઓ કહે છે કે સંખ્યાત્મક ક્રમ એક્સ 1, એક્સ 2, …, એક્સn, ….

નંબર સિક્વન્સ નોટેશન {એક્સ n } .

તે જ સમયે, સંખ્યાઓ એક્સ 1, એક્સ 2, …, એક્સn, … ને બોલાવ્યા હતા ક્રમ સભ્યો .

સંખ્યાત્મક ક્રમનો ઉલ્લેખ કરવાની મૂળભૂત રીતો

1. સૌથી અનુકૂળ રીતોમાંની એક ક્રમ સેટ કરવાનો છે તેના સામાન્ય શબ્દનું સૂત્ર : એક્સn = f(n), n Î એન.

દાખ્લા તરીકે, એક્સn = n 2 + 2n+ 3 એક્સ 1 = 6, એક્સ 2 = 11, એક્સ 3 = 18, એક્સ 4 = 27, …

2. ડાયરેક્ટ ટ્રાન્સફર પ્રથમ સભ્યોની મર્યાદિત સંખ્યા.

ઉદાહરણ તરીકે, https://pandia.ru/text/80/155/images/image002_9.gif" width="87" height="46 src=">

3. આવર્તક સંબંધ , એટલે કે, અગાઉના એક અથવા વધુ સભ્યો દ્વારા n-પદને વ્યક્ત કરતું સૂત્ર.

દાખ્લા તરીકે, ફિબોનાકી નજીકસંખ્યાઓનો ક્રમ કહેવાય છે

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., જે પુનરાવર્તિત રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે:

એક્સ 1 = 1, એક્સ 2 = 1, એક્સn+1 = xn + xn–1 (n = 2, 3, 4, …).

સિક્વન્સ પર અંકગણિત કામગીરી

1. સરવાળો (તફાવત) સિક્વન્સ ( an) અને ( bn cn } = { એક ± bn}.

2. કામક્રમ ( an) અને ( bn) ને ક્રમ કહેવામાં આવે છે ( cn } = { એક× bn}.

3. ખાનગીક્રમ ( an) અને ( bn }, bn¹ 0, ક્રમ કહેવાય છે ( cn } = { એક×/ bn}.

સંખ્યાત્મક ક્રમના ગુણધર્મો

1. ક્રમ ( એક્સn) કહેવાય છે ઉપરથી બંધાયેલ એમ nઅસમાનતા એક્સn £ એમ.

2. ક્રમ ( એક્સn) કહેવાય છે નીચેથી બંધાયેલજો ત્યાં આવી વાસ્તવિક સંખ્યા છે m, જે તમામ કુદરતી મૂલ્યો માટે છે nઅસમાનતા એક્સn ³ m.

3. ક્રમ ( એક્સn) કહેવાય છે વધારો nઅસમાનતા એક્સn < એક્સn+1.

4. ક્રમ ( એક્સn) કહેવાય છે ક્ષીણ થઈ જવું, જો તમામ કુદરતી મૂલ્યો માટે nઅસમાનતા એક્સn > એક્સn+1.

5. ક્રમ ( એક્સn) કહેવાય છે બિન-વધતું, જો તમામ કુદરતી મૂલ્યો માટે nઅસમાનતા એક્સn ³ એક્સn+1.

6. ક્રમ ( એક્સn) કહેવાય છે બિન-ઘટતું, જો તમામ કુદરતી મૂલ્યો માટે nઅસમાનતા એક્સn £ એક્સn+1.

વધતો, ઘટતો, ન વધતો, ન ઘટતો ક્રમ કહેવાય છે. એકવિધક્રમ, જ્યારે વધતા અને ઘટતા - સખત એકવિધ.

એકવિધતા માટેના ક્રમના અભ્યાસમાં વપરાતી મુખ્ય તકનીકો

1. વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને.

a) અભ્યાસ કરેલ ક્રમ માટે ( એક્સn) તફાવત છે

એક્સn – એક્સn+1, અને પછી તે જાણવા મળે છે કે શું આ તફાવત કોઈપણ માટે સતત સંકેત જાળવી રાખે છે n Î એન, અને જો એમ હોય, તો કયું. આના આધારે, ક્રમની એકવિધતા (નોનમોનોટોનિસિટી) વિશે નિષ્કર્ષ કાઢવામાં આવે છે.

b) સતત-ચિન્હ સિક્વન્સ માટે ( એક્સn) તમે સંબંધ બનાવી શકો છો એક્સn+1/એક્સnઅને તેની એક સાથે સરખામણી કરો.

જો બધા માટે આ સંબંધ nએક કરતા વધારે છે, પછી સખત હકારાત્મક ક્રમ માટે, તેના વધારા વિશે અને સખત નકારાત્મક માટે, તેના ઘટાડા વિશે નિષ્કર્ષ કાઢવામાં આવે છે.

જો બધા માટે આ સંબંધ nએક કરતાં ઓછું નથી, તો પછી સખત હકારાત્મક ક્રમ માટે તે તારણ પર આવે છે કે તે ઘટતું નથી, અને સખત નકારાત્મક માટે, અનુક્રમે, બિન-વધવા વિશે.

જો કેટલાક નંબરો પર આ સંબંધ nએક કરતાં વધુ અને અન્ય સંખ્યાઓ સાથે nએક કરતાં ઓછું હોય, તો આ ક્રમની નોનમોનોટોનિક પ્રકૃતિ સૂચવે છે.

2. વાસ્તવિક દલીલના કાર્યમાં સંક્રમણ.

એકવિધતા માટે સંખ્યાત્મક ક્રમની તપાસ કરવી જરૂરી છે

an = f(n), n Î એન.

ચાલો વાસ્તવિક દલીલના કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ એક્સ:

f(એક્સ) = a(એક્સ), એક્સ³ 1,

અને તેને એકવિધતા માટે તપાસો.

જો ફંક્શન વિચારણા હેઠળના અંતરાલ પર અલગ હોય, તો આપણે તેનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ અને ચિહ્નનું પરીક્ષણ કરીએ છીએ.

જો વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે, તો કાર્ય વધી રહ્યું છે.

જો વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે, તો કાર્ય ઘટે છે.

દલીલના કુદરતી મૂલ્યો પર પાછા ફરતા, અમે આ પરિણામોને મૂળ ક્રમ સુધી લંબાવીએ છીએ.

નંબર aકહેવાય છે ક્રમ મર્યાદા એક્સn, જો કોઈ મનસ્વી રીતે નાની ધન સંખ્યા e માટે આવી કુદરતી સંખ્યા હોય એનતે બધી સંખ્યાઓ માટે n > એનઅસમાનતા | xn – a | < e.

સરવાળાની ગણતરી n ક્રમના પ્રથમ સભ્યો

1. અનુક્રમના સામાન્ય પદને બે કે તેથી વધુ અભિવ્યક્તિઓના તફાવત તરીકે એવી રીતે રજૂ કરવું કે જ્યારે અવેજીમાં, મોટા ભાગના મધ્યવર્તી પદો ઘટાડવામાં આવે છે, અને સરવાળો નોંધપાત્ર રીતે સરળ બને છે.

2. ક્રમના પ્રથમ પદોના સરવાળા શોધવા માટે પહેલાથી અસ્તિત્વમાં રહેલા સૂત્રોને તપાસવા અને સાબિત કરવા માટે, ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

3. ક્રમ સાથેની કેટલીક સમસ્યાઓ અંકગણિત અથવા ભૌમિતિક પ્રગતિની સમસ્યાઓમાં ઘટાડી શકાય છે.

અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિ

અંકગણિત પ્રગતિ	ભૌમિતિક પ્રગતિ
વ્યાખ્યા એક્સn }, nÎ એન, તેને અંકગણિત પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે, જો તેના દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, અગાઉના એક સમાન હોય, આપેલ ક્રમ માટે સમાન સંખ્યા સ્થિર સાથે ઉમેરવામાં આવે. ડી, એટલે કે an+1 = એક + ડી, જ્યાં ડી- પ્રગતિ તફાવત, anસામાન્ય શબ્દ છે ( nમી સભ્ય)	વ્યાખ્યા સંખ્યાત્મક ક્રમ ( એક્સn }, nÎ એન, તેને ભૌમિતિક પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે જો તેના દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, અગાઉના એક સમાન હોય, આપેલ ક્રમ માટે સમાન સ્થિરાંક દ્વારા સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે. q, એટલે કે bn+1 = bn × q, b 1 ¹ 0, q ¹ 0, જ્યાં q- પ્રગતિનો છેદ, bnસામાન્ય શબ્દ છે ( nમી સભ્ય)
મોનોટોન જો ડી> 0, પછી પ્રગતિ વધી રહી છે. જો ડી < 0, то прогрессия убывающая.	મોનોટોન જો b 1 > 0, q> 1 અથવા b 1 < 0, 0 < q < 1, то прогрессия возрастающая. જો b 1 < 0, q> 1 અથવા b 1 > 0, 0 < q < 1, то прогрессия убывающая. જો q < 0, то прогрессия немонотонная
સામાન્ય શબ્દ સૂત્ર an = a 1 + ડી×( n – 1) જો £1 k £ n- 1, પછી an = એક + ડી×( n – k)	સામાન્ય શબ્દ સૂત્ર bn = b 1× qn – 1 જો £1 k £ n- 1, પછી bn = bk × qn –k
લાક્ષણિક મિલકત જો £1 k £ n- 1, પછી	લાક્ષણિક મિલકત જો £1 k £ n- 1, પછી
મિલકત એક + છું = એક + al, જો n + m = k + l	મિલકત bn × bm = bk × bl, જો n + m = k + l
પ્રથમનો સરવાળો n સભ્યો sn = a 1 + a 2 + … + એક અથવા	સરવાળો sn = b 1 + b 2 + … + bn જો q¹ 1, પછી. જો q= 1, પછી sn = b 1× n. જો | q| < 1 и n® ¥, પછી
પ્રગતિ પર કામગીરી 1. જો ( an) અને ( bn) અંકગણિત પ્રગતિ, પછી ક્રમ { એક ± bn) પણ એક અંકગણિત પ્રગતિ છે. 2. જો અંકગણિત પ્રગતિના તમામ સભ્યો ( an) સમાન વાસ્તવિક સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો k, પછી પરિણામી ક્રમ પણ એક અંકગણિત પ્રગતિ હશે, જેનો તફાવત તે મુજબ બદલાશે kએકવાર	પ્રગતિ પર કામગીરી જો ( an) અને ( bn) છેદ સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિ q 1 અને qઅનુક્રમે 2, પછી ક્રમ છે: 1) {એક× bn q 1× q 2; 2) {એક/bn) એ છેદ સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિ પણ છે q 1/q 2; 3) {|એક|) એ છેદ | સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિ પણ છે q 1|

પ્રગતિ પર સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની મૂળભૂત પદ્ધતિઓ

1. સૌથી સામાન્ય ઉકેલ પદ્ધતિઓમાંની એક અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યાઓ એ હકીકતમાં સમાવે છે કે સમસ્યાની સ્થિતિમાં સામેલ પ્રગતિના તમામ સભ્યો પ્રગતિના તફાવત દ્વારા વ્યક્ત થાય છે. ડી a ડીઅને a 1.

2. વ્યાપક અને પ્રમાણભૂત ઉકેલ પદ્ધતિ ગણવામાં આવે છે ભૌમિતિક પ્રગતિમાં સમસ્યાઓ , જ્યારે સમસ્યાની સ્થિતિમાં દેખાતા ભૌમિતિક પ્રગતિના તમામ સભ્યો પ્રગતિના છેદ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે qઅને તેના સભ્યોમાંથી કોઈપણ એક, મોટેભાગે પ્રથમ b 1. સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓના આધારે, અજાણ્યાઓ સાથેની સિસ્ટમનું સંકલન અને ઉકેલ લાવવામાં આવે છે qઅને b 1.

સમસ્યા હલ કરવાના નમૂનાઓ

કાર્ય 1 .

એક ક્રમ આપ્યો એક્સn = 4n(n 2 + 1) – (6n 2+1). રકમ શોધો snપ્રથમ nઆ ક્રમના સભ્યો.

ઉકેલ. ચાલો ક્રમના સામાન્ય સભ્ય માટે અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરીએ:

એક્સn = 4n(n 2 + 1) – (6n 2 + 1) = 4n 3 + 4n – 6n 2 – 1 = n 4 – n 4 + 4n 3 – 6n 2 + 4n – 1 =

= n 4 – (n 4 – 4n 3 + 6n 2 – 4n+ 1) = n 4 – (n – 1)4.

sn = x 1 + x 2 + x 3 + … + xn = (14 – 04) + (24 – 14) + (34 – 24) + … + (n 4 – (n – 1)4) = n 4.

કાર્ય 2 .

એક ક્રમ આપ્યો an = 3n+ 2..gif" width="429" height="45">.

અહીંથી, એ(3n + 5) +બી(3n + 2) = 1,

(3એ + 3બી)n + (5એ + 2બી) = 1.

n.

n 1 | 3એ + 3બી = 0,

n0 | 5 એ + 2બી = 1.

પરંતુ = 1/3, એટી = –1/3.

આમ, https://pandia.ru/text/80/155/images/image012_2.gif" width="197" height="45">.gif" width="113" height="45">.gif" width="39" height="41 src="> an. શું 1980 નંબર આ ક્રમનો સભ્ય છે? જો હા, તો તેનો નંબર નક્કી કરો.

ઉકેલ. ચાલો પ્રથમ લખીએ nઆ ક્રમના સભ્યો:

a 1 = 2, , https://pandia.ru/text/80/155/images/image021.gif" width="63" height="41">.gif" width="108" height="41"> .gif" width="93" height="41">.

ચાલો આ સમાનતાને ગુણાકાર કરીએ:

a 1a 2a 3a 4a 5…એક-2એક-1એક = a 1a 2a 3a 4a 5…એક-2એક-1.

અહીંથી, એક = n(n + 1).

પછી, 1980 = n(n+ 1) n 2 + n– 1980 = 0 Û n = –45 < 0, n= 44 ઓ એન.

જવાબ:હા, n = 44.

કાર્ય 4 .

રકમ શોધો એસ = a 1 + a 2 + a 3 + … + anસંખ્યાઓ a 1, a 2, a 3, …,an, જે કોઈપણ કુદરતી માટે nસમાનતાને સંતોષો sn = a 1 + 2a 2 + 3a 3 + … + nan = .

ઉકેલ. એસ 1 = a 1 = 2/3.

માટે n > 1, નાન = sn – sn–1 = – https://pandia.ru/text/80/155/images/image029_0.gif" width="216" height="48 src=">.

અહીંથી, =https://pandia.ru/text/80/155/images/image032.gif" width="244" height="44">,

પરંતુ(n + 1)(n + 2) + bn(n + 2) + સીએન(n + 1) = 1

(એ + બી + સી)n 2 + (3એ + 2બી + સી)n + 2એ = 1,

અનુરૂપ શક્તિઓ પર ગુણાંકની સમાનતા કરો n.

n 2 | એ + બી + સી= 0,

n 1 | 3એ + 2બી+ સી = 0,

n0 | 2 એ = 1.

પરિણામી સિસ્ટમ ઉકેલવા, અમે મેળવીએ છીએ પરંતુ = 1/2, એટી= –1, C = 1/2.

તેથી, https://pandia.ru/text/80/155/images/image034.gif" width="139" height="45 src=">.gif" width="73" height="41">,

ક્યાં, , n > 1,

એસ¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image040_0.gif" width="233" height="45 src=">=.

એસ¢¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image043_0.gif" width="257" height="45 src=">=.

એસ = a 1 + a 2 + a 3 + … + an = a 1 +=

=a 1 +https://pandia.ru/text/80/155/images/image047_0.gif" width="72" height="41 src=">= =

કાર્ય 5 .

ક્રમનો સૌથી મોટો સભ્ય શોધો .

ઉકેલ. ચાલો મૂકીએ bn = –n 2 + 8n – 7 = 9 – (n – 4)2, .

સંખ્યાત્મક ક્રમનો ખ્યાલ

વ્યાખ્યા 2

વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર સંખ્યાઓની કુદરતી શ્રેણીના મેપિંગને સંખ્યાત્મક ક્રમ કહેવામાં આવશે: $f:N→R$

સંખ્યાત્મક ક્રમ નીચે પ્રમાણે સૂચવવામાં આવે છે:

$(p_k )=(p_1,p_2,…,p_k,…)$

જ્યાં $p_1,p_2,…,p_k,…$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.

નંબર સિક્વન્સનો ઉલ્લેખ કરવાની ત્રણ અલગ અલગ રીતો છે. ચાલો તેમનું વર્ણન કરીએ.

વિશ્લેષણાત્મક.

આ પદ્ધતિમાં, ક્રમ એક સૂત્રના રૂપમાં આપવામાં આવે છે, જેની મદદથી તમે આ ક્રમના કોઈપણ સભ્યને શોધી શકો છો, ચલને બદલે કુદરતી સંખ્યાઓ બદલીને.

આવર્તક.

ક્રમનો ઉલ્લેખ કરવાની આ રીત નીચે મુજબ છે: આપેલ ક્રમના પ્રથમ (અથવા પ્રથમ થોડા) સભ્યો આપવામાં આવે છે, અને પછી એક સૂત્ર જે તેના કોઈપણ સભ્યને અગાઉના સભ્ય અથવા અગાઉના સભ્યો સાથે સંબંધિત કરે છે.

મૌખિક.

આ પદ્ધતિ સાથે, સંખ્યાત્મક ક્રમને કોઈપણ સૂત્રો રજૂ કર્યા વિના સરળ રીતે વર્ણવવામાં આવે છે.

અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિના આંકડાકીય ક્રમના બે વિશેષ કિસ્સાઓ છે.

અંકગણિત પ્રગતિ

વ્યાખ્યા 3

અંકગણિત પ્રગતિએક ક્રમ કહેવામાં આવે છે, જેનું મૌખિક રીતે નીચે પ્રમાણે વર્ણન કરવામાં આવે છે: પ્રથમ નંબર આપવામાં આવે છે. દરેક અનુગામી એક પૂર્વનિર્ધારિત ચોક્કસ સંખ્યા $d$ સાથે અગાઉના એકના સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

આ વ્યાખ્યામાં, આપેલ પૂર્વનિયુક્ત સંખ્યાને અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત કહેવામાં આવશે.

$p_1,p_(k+1)=p_k+d.$

ટિપ્પણી 1

નોંધ કરો કે અંકગણિત પ્રગતિનો વિશેષ કેસ એ સતત પ્રગતિ છે, જેમાં પ્રગતિનો તફાવત શૂન્ય જેટલો છે.

અંકગણિતની પ્રગતિ સૂચવવા માટે, નીચેના પ્રતીક તેની શરૂઆતમાં પ્રદર્શિત થાય છે:

$p_k=p_1+(k-1)d$

$S_k=\frac((p_1+p_k)k)(2)$ અથવા $S_k=\frac((2p_1+(k-1)d)k)(2) $

અંકગણિત પ્રગતિમાં કહેવાતા લાક્ષણિક ગુણધર્મ હોય છે, જે સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે:

$p_k=\frac(p_(k-1)+p_(k+1))(2)$

ભૌમિતિક પ્રગતિ

વ્યાખ્યા 4

ભૌમિતિક પ્રગતિએક ક્રમ કહેવામાં આવે છે, જેનું મૌખિક રીતે નીચે પ્રમાણે વર્ણન કરવામાં આવે છે: શૂન્યની બરાબર ન હોય તેવી પ્રથમ સંખ્યા આપવામાં આવી છે. દરેક અનુગામી આપેલ ચોક્કસ બિન-શૂન્ય નંબર $q$ સાથે અગાઉના એકના ઉત્પાદન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

આ વ્યાખ્યામાં, આપેલ પૂર્વનિર્ધારિત સંખ્યાને ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ કહેવામાં આવશે.

દેખીતી રીતે, આપણે આ ક્રમને આ રીતે વારંવાર લખી શકીએ છીએ:

$p_1≠0,p_(k+1)=p_k q,q≠0$.

ટિપ્પણી 2

નોંધ કરો કે ભૌમિતિક પ્રગતિનો વિશેષ કેસ એ સતત પ્રગતિ છે, જેમાં પ્રગતિનો છેદ એક સમાન છે.

અંકગણિતની પ્રગતિ સૂચવવા માટે, નીચેના પ્રતીક તેની શરૂઆતમાં પ્રદર્શિત થાય છે:

આ ક્રમ માટે પુનરાવૃત્તિ સંબંધમાંથી, પ્રથમ શબ્દના સંદર્ભમાં કોઈપણ શબ્દ શોધવા માટેનું સૂત્ર મેળવવું સરળ છે:

$p_k=p_1 q^((k-1))$

પ્રથમ શબ્દોનો સરવાળો $k$ સૂત્ર દ્વારા શોધી શકાય છે

$S_k=\frac(p_k q-p_1)(q-1)$ અથવા $S_k=\frac(p_1 (q^k-1))(q-1)$

તે ભૌમિતિક છે.

દેખીતી રીતે, આ ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ સમાન છે

$q=\frac(9)(3)=3$

પછી, અંકગણિત પ્રગતિના સરવાળા માટેના બીજા સૂત્ર મુજબ, આપણને મળે છે:

$S_5=\frac(3\cdot (3^5-1))(3-1)=363$