આ લેખ બે પ્રશ્નોના જવાબ છે: "શું છે" અને "કેવી રીતે શોધવું પ્લેન પરના બિંદુના પ્રક્ષેપણના કોઓર્ડિનેટ્સ"? પ્રથમ, પ્રક્ષેપણ અને તેના પ્રકારો વિશે જરૂરી માહિતી આપવામાં આવે છે. આગળ, પ્લેન પરના બિંદુના પ્રક્ષેપણની વ્યાખ્યા આપવામાં આવે છે અને ગ્રાફિક ચિત્ર આપવામાં આવે છે. તે પછી, પ્લેન પરના બિંદુના પ્રક્ષેપણના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે એક પદ્ધતિ પ્રાપ્ત થઈ. નિષ્કર્ષમાં, ઉદાહરણોના ઉકેલોનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે જેમાં આપેલ પ્લેન પર આપેલ બિંદુના પ્રક્ષેપણના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરવામાં આવે છે.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

પ્રોજેક્શન, પ્રોજેક્શનના પ્રકારો - જરૂરી માહિતી.

અવકાશી આકૃતિઓનો અભ્યાસ કરતી વખતે, ચિત્રમાં તેમની છબીઓનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે. અવકાશી આકૃતિનું ચિત્ર એ કહેવાતું છે પ્રક્ષેપણપ્લેન માટે આ આંકડો. પ્લેન પર અવકાશી આકૃતિની છબી બનાવવાની પ્રક્રિયા ચોક્કસ નિયમો અનુસાર થાય છે. તેથી પ્લેન પર અવકાશી આકૃતિની છબી બનાવવાની પ્રક્રિયા, નિયમોના સમૂહ સાથે, જેના દ્વારા આ પ્રક્રિયા હાથ ધરવામાં આવે છે, કહેવામાં આવે છે. પ્રક્ષેપણઆ પ્લેન પરના આંકડા. જે વિમાનમાં છબી બાંધવામાં આવી છે તેને કહેવામાં આવે છે પ્રક્ષેપણ વિમાન.

નિયમો કે જેના દ્વારા પ્રક્ષેપણ હાથ ધરવામાં આવે છે તેના પર આધાર રાખીને, ત્યાં છે કેન્દ્રીયઅને સમાંતર પ્રક્ષેપણ. અમે વિગતોમાં જઈશું નહીં, કારણ કે તે આ લેખના અવકાશની બહાર છે.

ભૂમિતિમાં, સમાંતર પ્રક્ષેપણના વિશિષ્ટ કેસનો મુખ્યત્વે ઉપયોગ થાય છે - લંબ પ્રક્ષેપણ, જેને પણ કહેવામાં આવે છે ઓર્થોગોનલ. આ પ્રકારના પ્રક્ષેપણના નામમાં, "કાટખૂણે" વિશેષણ ઘણીવાર અવગણવામાં આવે છે. એટલે કે, જ્યારે ભૂમિતિમાં તેઓ પ્લેન પર આકૃતિના પ્રક્ષેપણ વિશે વાત કરે છે, ત્યારે તેનો સામાન્ય રીતે અર્થ એવો થાય છે કે આ પ્રક્ષેપણ લંબરૂપ પ્રક્ષેપણનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવ્યું હતું (જ્યાં સુધી અન્યથા ઉલ્લેખિત ન હોય, અલબત્ત).

એ નોંધવું જોઇએ કે પ્લેન પર આકૃતિનું પ્રક્ષેપણ એ પ્રક્ષેપણ પ્લેન પર આ આકૃતિના તમામ બિંદુઓના અંદાજોનો સમૂહ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ચોક્કસ આકૃતિનું પ્રક્ષેપણ મેળવવા માટે, પ્લેન પર આ આંકડોના બિંદુઓના અંદાજો શોધવા માટે સક્ષમ હોવું જરૂરી છે. લેખનો આગળનો ફકરો ફક્ત બતાવે છે કે પ્લેન પરના બિંદુનું પ્રક્ષેપણ કેવી રીતે શોધવું.

પ્લેન પર બિંદુનું પ્રક્ષેપણ - વ્યાખ્યા અને ચિત્ર.

અમે ફરી એક વાર ભારપૂર્વક જણાવીએ છીએ કે અમે પ્લેન પરના બિંદુના લંબ પ્રક્ષેપણ વિશે વાત કરીશું.

ચાલો એવા બાંધકામો કરીએ જે આપણને પ્લેન પરના બિંદુના પ્રક્ષેપણને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં મદદ કરશે.

ચાલો ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં આપણને એક બિંદુ M 1 અને એક સમતલ આપવામાં આવે છે. ચાલો બિંદુ M 1 દ્વારા એક સીધી રેખા દોરીએ, જે સમતલને લંબરૂપ છે. જો બિંદુ M 1 સમતલમાં રહેતું નથી, તો પછી આપણે રેખા a ના આંતરછેદ બિંદુ અને પ્લેનને H 1 તરીકે સૂચિત કરીએ છીએ. આમ, બાંધકામ દ્વારા, બિંદુ H 1 એ બિંદુ M 1 થી પ્લેન પર નાખવામાં આવેલ કાટખૂણેનો આધાર છે.

વ્યાખ્યા.

પ્લેન પર બિંદુ M 1 નું પ્રક્ષેપણબિંદુ M 1 પોતે છે, જો , અથવા બિંદુ H 1, જો .

નીચેની વ્યાખ્યા પ્લેન પરના બિંદુના પ્રક્ષેપણની આ વ્યાખ્યાની સમકક્ષ છે.

વ્યાખ્યા.

પ્લેન પર બિંદુનું પ્રક્ષેપણ- આ કાં તો બિંદુ પોતે જ છે, જો તે આપેલ પ્લેનમાં આવેલું છે, અથવા લંબનો આધાર આ બિંદુથી આપેલ પ્લેનમાં નીચે આવ્યો છે.

નીચેના ચિત્રમાં, બિંદુ H 1 એ પ્લેન પર બિંદુ M 1 નું પ્રક્ષેપણ છે; બિંદુ M 2 પ્લેનમાં આવેલું છે, તેથી M 2 એ પ્લેનમાં M 2 બિંદુનું જ પ્રક્ષેપણ છે.

પ્લેન પરના બિંદુના પ્રક્ષેપણના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા - ઉદાહરણો ઉકેલવા.

Oxyz ને ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં રજૂ કરવા દો, એક બિંદુ અને વિમાન. ચાલો આપણી જાતને કાર્ય સેટ કરીએ: પ્લેન પર બિંદુ M 1 ના પ્રક્ષેપણના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવા.

સમતલ પર બિંદુના પ્રક્ષેપણની વ્યાખ્યામાંથી સમસ્યાનું નિરાકરણ તાર્કિક રીતે અનુસરે છે.

H 1 તરીકે પ્લેન પર બિંદુ M 1 ના પ્રક્ષેપણને દર્શાવો. વ્યાખ્યા મુજબ, પ્લેન પરના બિંદુનું પ્રક્ષેપણ, H 1 એ આપેલ પ્લેનનું આંતરછેદ બિંદુ છે અને પ્લેન પર લંબરૂપ M 1 બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે. આમ, પ્લેન પર બિંદુ M 1 ના પ્રક્ષેપણના ઇચ્છિત કોઓર્ડિનેટ્સ એ રેખા a અને પ્લેનના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ છે.

આથી, બિંદુના પ્રક્ષેપણ કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે પ્લેનમાં તમને જરૂર છે:

ચાલો ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ.

બિંદુના પ્રક્ષેપણ કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો પ્લેન માટે .

નિર્ણય.

સમસ્યાની સ્થિતિમાં, અમને ફોર્મના પ્લેનનું સામાન્ય સમીકરણ આપવામાં આવે છે , તેથી તેને કમ્પાઈલ કરવાની જરૂર નથી.

ચાલો સીધી રેખા a ના પ્રમાણભૂત સમીકરણો લખીએ, જે આપેલ સમતલના લંબરૂપ બિંદુ M 1માંથી પસાર થાય છે. આ કરવા માટે, અમે સીધી રેખા a ના નિર્દેશન વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવીએ છીએ. લીટી a આપેલ પ્લેન પર લંબ હોવાથી, લીટી a ની દિશા વેક્ટર એ પ્લેનનું સામાન્ય વેક્ટર છે . એટલે કે, - સીધી રેખા a નું નિર્દેશન વેક્ટર . હવે આપણે બિંદુમાંથી પસાર થતી અવકાશમાં સીધી રેખાના પ્રમાણભૂત સમીકરણો લખી શકીએ છીએ અને દિશા વેક્ટર ધરાવે છે :
.

પ્લેન પરના બિંદુના પ્રક્ષેપણના જરૂરી કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવવા માટે, તે રેખાના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવાનું રહે છે. અને વિમાન . આ કરવા માટે, સીધી રેખાના પ્રામાણિક સમીકરણોમાંથી, આપણે બે આંતરછેદવાળા વિમાનોના સમીકરણો તરફ જઈએ છીએ, અમે સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ છીએ. અને તેનો ઉકેલ શોધો. અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ:

તેથી બિંદુનું પ્રક્ષેપણ પ્લેન માટે કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે.

જવાબ:

ઉદાહરણ.

ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં એક લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલી Oxyz માં, બિંદુઓ અને . પ્લેન ABC પર બિંદુ M 1 ના પ્રક્ષેપણના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો.

નિર્ણય.

ચાલો પહેલા આપેલા ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા પ્લેનનું સમીકરણ લખીએ:

પરંતુ ચાલો વૈકલ્પિક અભિગમ જોઈએ.

ચાલો સીધી રેખા a ના પેરામેટ્રિક સમીકરણો મેળવીએ, જે બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને પ્લેન ABC ને લંબ છે. પ્લેનના સામાન્ય વેક્ટરમાં કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે, તેથી વેક્ટર રેખા a ની દિશા વેક્ટર છે. હવે આપણે અવકાશમાં સીધી રેખાના પેરામેટ્રિક સમીકરણો લખી શકીએ છીએ, કારણ કે આપણે સીધી રેખા પરના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણીએ છીએ ( ) અને તેના દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ ( ):

તે રેખાના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવાનું બાકી છે અને વિમાનો. આ કરવા માટે, અમે પ્લેનના સમીકરણમાં બદલીએ છીએ:
.

હવે પેરામેટ્રિક સમીકરણો દ્વારા x , y અને z ચલોની કિંમતોની અહીંથી ગણતરી કરો :
.

આમ, ABC પ્લેન પર બિંદુ M 1 ના પ્રક્ષેપણમાં સંકલન છે.

જવાબ:

નિષ્કર્ષમાં, ચાલો કોઓર્ડિનેટ પ્લેન અને પ્લેન્સની સમાંતર કોઓર્ડિનેટ પ્લેન્સ પરના અમુક બિંદુના પ્રક્ષેપણના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાની ચર્ચા કરીએ.

બિંદુ અંદાજો કોઓર્ડિનેટ પ્લેન માટે Oxy , Oxz અને Oyz એ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુઓ છે અને અનુરૂપ. અને બિંદુના અંદાજો પ્લેનમાં અને , જે અનુક્રમે Oxy, Oxz અને Oyz કોઓર્ડિનેટ પ્લેન્સની સમાંતર છે, તે કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુઓ છે. અને .

ચાલો બતાવીએ કે આ પરિણામો કેવી રીતે પ્રાપ્ત થયા.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો બિંદુનું પ્રક્ષેપણ શોધીએ પ્લેન પર (અન્ય કેસો આના જેવા જ છે).

આ પ્લેન કોઓર્ડિનેટ પ્લેન Oyzની સમાંતર છે અને તેનું સામાન્ય વેક્ટર છે. વેક્ટર એ Oyz પ્લેન પર લંબરૂપ રેખાની દિશા વેક્ટર છે. પછી આપેલ પ્લેન પર લંબરૂપ M 1 બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાના પેરામેટ્રિક સમીકરણો ફોર્મ ધરાવે છે.

રેખા અને વિમાનના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો. આ કરવા માટે, પ્રથમ આપણે સમાનતાના સમીકરણમાં બદલીએ છીએ: , અને બિંદુના પ્રક્ષેપણ

બગરોવ યા.એસ., નિકોલસ્કી એસ.એમ. ઉચ્ચ ગણિત. વોલ્યુમ એક: લીનિયર બીજગણિત અને વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના તત્વો.

Ilyin V.A., Poznyak E.G. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ.

એક બિંદુ, ગાણિતિક ખ્યાલ તરીકે, કોઈ પરિમાણો નથી. દેખીતી રીતે, જો પ્રક્ષેપણનો પદાર્થ શૂન્ય-પરિમાણીય પદાર્થ હોય, તો તેના પ્રક્ષેપણ વિશે વાત કરવી અર્થહીન છે.

Fig.9 Fig.10

એક બિંદુ હેઠળ ભૂમિતિમાં, રેખીય પરિમાણો ધરાવતી ભૌતિક વસ્તુ લેવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. પરંપરાગત રીતે, અનંત નાના ત્રિજ્યાવાળા બોલને બિંદુ તરીકે લઈ શકાય છે. બિંદુના ખ્યાલના આ અર્થઘટન સાથે, આપણે તેના અંદાજો વિશે વાત કરી શકીએ છીએ.

બિંદુના ઓર્થોગોનલ અંદાજો બાંધતી વખતે, ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણની પ્રથમ અપ્રિય ગુણધર્મ દ્વારા માર્ગદર્શન મેળવવું જોઈએ: બિંદુનું ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ એ એક બિંદુ છે.

અવકાશમાં બિંદુની સ્થિતિ ત્રણ કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: X, Y, Z,પ્રક્ષેપણ વિમાનોમાંથી બિંદુ દૂર કરવામાં આવે છે તે અંતર દર્શાવે છે. આ અંતરોને નિર્ધારિત કરવા માટે, પ્રક્ષેપણ વિમાનો સાથે આ રેખાઓના મીટિંગ બિંદુઓને નિર્ધારિત કરવા અને અનુરૂપ મૂલ્યોને માપવા માટે તે પૂરતું છે, જે અનુક્રમે એબ્સીસાના મૂલ્યોને સૂચવશે. એક્સ, ઓર્ડિનેટ કરે છે વાયઅને appliques ઝેડપોઈન્ટ (ફિગ. 10).

બિંદુનું પ્રક્ષેપણ એ બિંદુથી અનુરૂપ પ્રક્ષેપણ સમતલ પર પડતા કાટખૂણેનો આધાર છે. આડું પ્રક્ષેપણપોઈન્ટ aઅંદાજોના આડી સમતલ પરના બિંદુના લંબચોરસ પ્રક્ષેપણને કૉલ કરો, આગળનો પ્રક્ષેપણ a /- અનુક્રમે અનુમાનોના આગળના પ્લેન પર અને પ્રોફાઇલ a // -પ્રોફાઇલ પ્રોજેક્શન પ્લેન પર.

પ્રત્યક્ષ Aa, Aa /અને આએ //પ્રોજેક્ટિંગ લાઇન કહેવામાં આવે છે. તે જ સમયે, ડાયરેક્ટ આહ,પ્રોજેક્ટિંગ બિંદુ પરંતુઅંદાજોના આડી પ્લેન પર, કહેવાય છે આડી પ્રક્ષેપણ રેખા, Аa /અને આએ //- અનુક્રમે: આગળઅને પ્રોફાઇલ-પ્રોજેક્ટિંગ સીધી રેખાઓ.

એક બિંદુમાંથી પસાર થતી બે પ્રક્ષેપણ રેખાઓ પરંતુપ્લેનને વ્યાખ્યાયિત કરો, જેને કહેવામાં આવે છે પ્રોજેક્ટિંગ

અવકાશી લેઆઉટને કન્વર્ટ કરતી વખતે, બિંદુના આગળના પ્રક્ષેપણ A - a /પ્લેન સાથે જોડાયેલા તરીકે સ્થાને રહે છે જે માનવામાં આવતા પરિવર્તન હેઠળ તેની સ્થિતિને બદલતું નથી. આડું પ્રક્ષેપણ - aઆડી પ્રક્ષેપણ પ્લેન સાથે મળીને ઘડિયાળની દિશામાં હલનચલન કરશે અને ધરીની એક લંબ પર સ્થિત હશે એક્સઆગળના પ્રક્ષેપણ સાથે. પ્રોફાઇલ પ્રક્ષેપણ - એક //પ્રોફાઇલ પ્લેન સાથે એકસાથે ફરશે અને રૂપાંતરણના અંત સુધીમાં આકૃતિ 10 માં દર્શાવેલ સ્થિતિ લેશે. તે જ સમયે - એક //ધરી પર લંબરૂપ હશે ઝેડબિંદુ પરથી દોરવામાં આવે છે એક /અને ધરીમાંથી દૂર કરવામાં આવશે ઝેડઆડી પ્રક્ષેપણ જેટલું જ અંતર aધરીથી દૂર એક્સ. તેથી, બિંદુના આડા અને પ્રોફાઇલ અંદાજો વચ્ચેનું જોડાણ બે ઓર્થોગોનલ સેગમેન્ટનો ઉપયોગ કરીને સ્થાપિત કરી શકાય છે. aa yઅને a y a //અને અક્ષોના આંતરછેદના બિંદુ પર કેન્દ્રિત વર્તુળની સંયોજક ચાપ ( ઓ- મૂળ). ચિહ્નિત જોડાણનો ઉપયોગ ગુમ થયેલ પ્રક્ષેપણ શોધવા માટે થાય છે (બે આપેલ માટે). આપેલ આડી (પ્રોફાઇલ) અને આગળના અંદાજો અનુસાર પ્રોફાઇલ (હોરીઝોન્ટલ) પ્રોજેક્શનની સ્થિતિ મૂળથી ધરી સુધી 45 0 ના ખૂણા પર દોરેલી સીધી રેખાનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે. વાય(આ દ્વિભાજકને સીધી રેખા કહેવામાં આવે છે) kમોંગે સ્થિર છે). આ પદ્ધતિઓમાંથી પ્રથમ પ્રાધાન્યક્ષમ છે, કારણ કે તે વધુ સચોટ છે.

તેથી:

1. અવકાશમાં બિંદુ દૂર કરવામાં આવ્યું:

આડી પ્લેનમાંથી એચ Z,

આગળના પ્લેનમાંથી વીઆપેલ કોઓર્ડિનેટના મૂલ્ય દ્વારા વાય,

પ્રોફાઇલ પ્લેનમાંથી ડબલ્યુકોઓર્ડિનેટના મૂલ્ય દ્વારા. x

2. કોઈપણ બિંદુના બે અનુમાનો સમાન કાટખૂણે (એક જોડાણ રેખા):

આડું અને આગળનું - અક્ષને લંબરૂપ x,

આડી અને પ્રોફાઇલ - Y અક્ષને લંબરૂપ,

આગળનો અને પ્રોફાઇલ - Z અક્ષને લંબરૂપ.

3. અવકાશમાં બિંદુની સ્થિતિ તેના બે ઓર્થોગોનલ અંદાજોની સ્થિતિ દ્વારા સંપૂર્ણપણે નક્કી થાય છે. તેથી - બિંદુના કોઈપણ બે આપેલ ઓર્થોગોનલ અંદાજોમાંથી, તેના ગુમ થયેલ ત્રીજા પ્રક્ષેપણનું નિર્માણ કરવું હંમેશા શક્ય છે.

જો કોઈ બિંદુમાં ત્રણ ચોક્કસ કોઓર્ડિનેટ્સ હોય, તો આવા બિંદુને કહેવામાં આવે છે સામાન્ય સ્થિતિમાં બિંદુ.જો કોઈ બિંદુમાં શૂન્ય સમાન એક અથવા બે કોઓર્ડિનેટ્સ હોય, તો આવા બિંદુને કહેવામાં આવે છે ખાનગી સ્થિતિ બિંદુ.

ચોખા. 11 ફિગ. 12

આકૃતિ 11 ચોક્કસ સ્થિતિના બિંદુઓનું અવકાશી ચિત્ર બતાવે છે, આકૃતિ 12 આ બિંદુઓનું જટિલ ચિત્ર (આકૃતિઓ) દર્શાવે છે. ડોટ પરંતુફ્રન્ટલ પ્રોજેક્શન પ્લેન, બિંદુથી સંબંધિત છે એટી- અંદાજોનું આડું પ્લેન, બિંદુ સાથે- અંદાજો અને બિંદુનું પ્રોફાઇલ પ્લેન ડી- abscissa અક્ષ ( એક્સ).

મલ્ટિડ્રોઇંગની સહાયક રેખા

ફિગ માં બતાવેલ ચિત્રમાં. 4.7, aપ્રક્ષેપણ અક્ષો દોરવામાં આવે છે, અને છબીઓ સંચાર રેખાઓ દ્વારા એકબીજા સાથે જોડાયેલ છે. આડા અને પ્રોફાઇલ અંદાજો એક બિંદુ પર કેન્દ્રિત આર્ક્સનો ઉપયોગ કરીને સંચાર રેખાઓ દ્વારા જોડાયેલા છે ઓઅક્ષ આંતરછેદો. જો કે, વ્યવહારમાં, સંકલિત ચિત્રના અન્ય અમલીકરણનો પણ ઉપયોગ થાય છે.

અક્ષરહિત રેખાંકનો પર, છબીઓ પણ પ્રક્ષેપણ સંબંધમાં મૂકવામાં આવે છે. જો કે, ત્રીજા પ્રક્ષેપણને નજીક અથવા વધુ દૂર મૂકી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રોફાઇલ પ્રોજેક્શનને જમણી બાજુએ મૂકી શકાય છે (ફિગ. 4.7, b, II) અથવા ડાબી બાજુએ (ફિગ. 4.7, b, I). જગ્યા બચાવવા અને કદ બદલવાની સરળતા માટે આ મહત્વપૂર્ણ છે.

ચોખા. 4.7.

જો અક્ષરહિત સિસ્ટમ અનુસાર બનાવેલ ડ્રોઇંગમાં ટોચના દૃશ્ય અને ડાબા દૃશ્ય વચ્ચે સંચાર રેખાઓ દોરવાની જરૂર હોય, તો જટિલ ચિત્રની સહાયક સીધી રેખાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આ કરવા માટે, લગભગ ટોચના દૃશ્યના સ્તરે અને તેની સહેજ જમણી બાજુએ, ડ્રોઇંગ ફ્રેમ (ફિગ. 4.8, a). તેને જટિલ ડ્રોઇંગની સહાયક રેખા કહેવામાં આવે છે. આ સીધી રેખાનો ઉપયોગ કરીને ડ્રોઇંગ બનાવવાની પ્રક્રિયા ફિગમાં બતાવવામાં આવી છે. 4.8, b, c.

જો ત્રણ દૃશ્યો પહેલેથી જ બનાવવામાં આવ્યા છે (ફિગ. 4.8, ડી), તો સહાયક રેખાની સ્થિતિ મનસ્વી રીતે પસંદ કરી શકાતી નથી. પ્રથમ તમારે તે બિંદુ શોધવાની જરૂર છે જેના દ્વારા તે પસાર થશે. આ કરવા માટે, આડી અને પ્રોફાઇલ અંદાજોની સમપ્રમાણતાના અક્ષના પરસ્પર આંતરછેદ સુધી અને પરિણામી બિંદુ દ્વારા ચાલુ રાખવા માટે તે પૂરતું છે. k 45 ° (ફિગ. 4.8, ડી). જો ત્યાં સમપ્રમાણતાની કોઈ અક્ષો ન હોય, તો પછી બિંદુ પર છેદન સુધી ચાલુ રાખો kકોઈપણ ચહેરાના 1 આડા અને પ્રોફાઇલ અંદાજો સીધી રેખા તરીકે પ્રક્ષેપિત થાય છે (ફિગ. 4.8, ડી).

ચોખા. 4.8.

સંદેશાવ્યવહાર રેખાઓ દોરવાની જરૂરિયાત, અને પરિણામે, સહાયક સીધી રેખા, ગુમ થયેલ અંદાજો બાંધતી વખતે અને રેખાંકનો કરતી વખતે ઊભી થાય છે, જેના પર ભાગના વ્યક્તિગત ઘટકોના અનુમાનોને સ્પષ્ટ કરવા માટે બિંદુઓના અંદાજો નક્કી કરવા જરૂરી છે.

આગળના ફકરામાં સહાયક રેખાના ઉપયોગના ઉદાહરણો આપવામાં આવ્યા છે.

ઑબ્જેક્ટની સપાટી પર પડેલા બિંદુના અંદાજો

રેખાંકનો બનાવતી વખતે ભાગના વ્યક્તિગત ઘટકોના અનુમાનોને યોગ્ય રીતે બનાવવા માટે, તમામ ડ્રોઇંગ છબીઓ પર વ્યક્તિગત બિંદુઓના અંદાજો શોધવા માટે સક્ષમ હોવું જરૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફિગમાં બતાવેલ ભાગનું આડું પ્રક્ષેપણ દોરવાનું મુશ્કેલ છે. 4.9 વ્યક્તિગત બિંદુઓના અંદાજનો ઉપયોગ કર્યા વિના ( A, B, C, D, Eઅને વગેરે). પોઈન્ટ, કિનારીઓ, ચહેરાઓના તમામ અંદાજો શોધવાની ક્ષમતા ડ્રોઇંગમાં તેની સપાટ છબીઓ અનુસાર કલ્પનામાં ઑબ્જેક્ટના આકારને ફરીથી બનાવવા માટે તેમજ પૂર્ણ થયેલ ડ્રોઇંગની શુદ્ધતા ચકાસવા માટે પણ જરૂરી છે.

ચોખા. 4.9.

ચાલો કોઈ વસ્તુની સપાટી પર આપેલ બિંદુના બીજા અને ત્રીજા અંદાજો શોધવાની રીતો પર વિચાર કરીએ.

જો ઑબ્જેક્ટના ડ્રોઇંગમાં કોઈ બિંદુનું એક પ્રક્ષેપણ આપવામાં આવે છે, તો પ્રથમ તે સપાટીના અંદાજો શોધવા જરૂરી છે કે જેના પર આ બિંદુ સ્થિત છે. પછી સમસ્યા હલ કરવા માટે નીચે વર્ણવેલ બે પદ્ધતિઓમાંથી એક પસંદ કરો.

પ્રથમ માર્ગ

આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઓછામાં ઓછું એક અંદાજ આપેલ સપાટીને રેખા તરીકે બતાવે છે.

અંજીર પર. 4.10, aએક સિલિન્ડર બતાવવામાં આવે છે, આગળના પ્રક્ષેપણ પર જેનું પ્રક્ષેપણ સેટ છે a"પોઈન્ટ પરંતુ,તેની સપાટીના દૃશ્યમાન ભાગ પર પડેલો (આપેલ અંદાજો ડબલ રંગીન વર્તુળો સાથે ચિહ્નિત થયેલ છે). બિંદુનું આડું પ્રક્ષેપણ શોધવા માટે પરંતુ,તેઓ નીચે મુજબ દલીલ કરે છે: બિંદુ સિલિન્ડરની સપાટી પર આવેલું છે, જેનું આડું પ્રક્ષેપણ એક વર્તુળ છે. આનો અર્થ એ છે કે આ સપાટી પર પડેલા બિંદુનું પ્રક્ષેપણ પણ વર્તુળ પર હશે. સંચારની રેખા દોરો અને વર્તુળ સાથે તેના આંતરછેદ પર ઇચ્છિત બિંદુને ચિહ્નિત કરો aત્રીજું પ્રક્ષેપણ a"

ચોખા. 4.10.

જો બિંદુ એટી,તેના આડી પ્રક્ષેપણ દ્વારા આપવામાં આવેલ સિલિન્ડરના ઉપરના આધાર પર પડેલું bપછી સિલિન્ડરના ઉપલા પાયાના આગળના અને પ્રોફાઇલ અંદાજોને દર્શાવતી સીધી રેખાના ભાગો સાથે સંચાર રેખાઓ આંતરછેદ તરફ દોરવામાં આવે છે.

અંજીર પર. 4.10, b વિગતવાર બતાવે છે - ભાર. બિંદુના અંદાજો બાંધવા પરંતુ,તેના આડી પ્રક્ષેપણ દ્વારા આપવામાં આવે છે aઉપલા ચહેરાના અન્ય બે અંદાજો શોધો (જેના પર બિંદુ છે પરંતુ) અને, આ ચહેરાને દર્શાવતા રેખા વિભાગો સાથે આંતરછેદ પર જોડાણ રેખાઓ દોરવા, ઇચ્છિત અંદાજો - બિંદુઓ નક્કી કરો a"અને a"ડોટ એટીડાબી બાજુ ઊભી ચહેરા પર આવેલું છે, જેનો અર્થ છે કે તેના અંદાજો પણ આ ચહેરાના અંદાજો પર આવેલા હશે. તેથી આપેલ બિંદુ પરથી b"સંદેશાવ્યવહાર રેખાઓ દોરો (જેમ કે તીરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે) જ્યાં સુધી તેઓ આ ચહેરાને દર્શાવતા રેખા ભાગો સાથે ન મળે. આગળનો પ્રક્ષેપણ સાથે"પોઈન્ટ સાથે,વલણવાળા (અવકાશમાં) ચહેરા પર પડેલા, આ ચહેરા અને પ્રોફાઇલને દર્શાવતી રેખા પર જોવા મળે છે સાથે"- કનેક્શન લાઇનના આંતરછેદ પર, કારણ કે આ ચહેરાનું પ્રોફાઇલ પ્રક્ષેપણ એક રેખા નથી, પરંતુ એક આકૃતિ છે. બિંદુ અંદાજો બાંધકામ ડીતીર દ્વારા બતાવવામાં આવે છે.

બીજી રીત

જ્યારે પ્રથમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકાતો નથી ત્યારે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. પછી તમારે આ કરવું જોઈએ:

• આપેલ સપાટી પર સ્થિત સહાયક રેખાના પ્રક્ષેપણ બિંદુના આપેલ પ્રક્ષેપણ દ્વારા દોરો;
• આ રેખાનું બીજું પ્રક્ષેપણ શોધો;
• રેખાના મળેલા પ્રક્ષેપણ પર, બિંદુના આપેલ પ્રક્ષેપણને સ્થાનાંતરિત કરો (આ બિંદુના બીજા પ્રક્ષેપણને નિર્ધારિત કરશે);
• સંચાર રેખાઓના આંતરછેદ પર ત્રીજા પ્રક્ષેપણ (જો જરૂરી હોય તો) શોધો.

અંજીર પર. 4.10, ફ્રન્ટલ પ્રોજેક્શન આપવામાં આવ્યું છે a"પોઈન્ટ પરંતુ,શંકુની સપાટીના દૃશ્યમાન ભાગ પર પડેલો. બિંદુ દ્વારા આડી પ્રક્ષેપણ શોધવા માટે a"બિંદુમાંથી પસાર થતી સહાયક સીધી રેખાનો આગળનો પ્રક્ષેપણ કરો પરંતુઅને શંકુની ટોચ. એક બિંદુ મેળવો વીશંકુના પાયા સાથે દોરેલી રેખાના મીટિંગ પોઇન્ટનું પ્રક્ષેપણ છે. સીધી રેખા પર પડેલા બિંદુઓના આગળના અંદાજો રાખવાથી, વ્યક્તિ તેમના આડા અંદાજો શોધી શકે છે. આડું પ્રક્ષેપણ sશંકુની ટોચ જાણીતી છે. ડોટ bઆધાર ના પરિઘ પર આવેલું છે. આ બિંદુઓ દ્વારા રેખાખંડ દોરવામાં આવે છે અને તેમાં એક બિંદુ સ્થાનાંતરિત થાય છે (જેમ કે તીર દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યું છે). a"એક બિંદુ મેળવવું aત્રીજો પ્રક્ષેપણ a"પોઈન્ટ પરંતુક્રોસરોડ્સ પર સ્થિત છે.

સમાન સમસ્યા અલગ રીતે ઉકેલી શકાય છે (ફિગ. 4.10, જી).

બિંદુમાંથી પસાર થતી સહાયક રેખા તરીકે પરંતુ,તેઓ પ્રથમ કેસની જેમ સીધી રેખા લેતા નથી, પરંતુ એક વર્તુળ લે છે. જો બિંદુ પર હોય તો આ વર્તુળ બને છે પરંતુશંકુને આધારની સમાંતર સમતલ સાથે છેદે છે, જેમ કે દ્રશ્ય રજૂઆતમાં બતાવ્યા પ્રમાણે. આ વર્તુળના આગળના પ્રક્ષેપણને એક સીધી રેખા સેગમેન્ટ તરીકે દર્શાવવામાં આવશે, કારણ કે વર્તુળનું પ્લેન આગળના પ્રોજેક્શન પ્લેન પર લંબરૂપ છે. વર્તુળના આડા પ્રક્ષેપણમાં આ સેગમેન્ટની લંબાઈ જેટલો વ્યાસ હોય છે. ઉલ્લેખિત વ્યાસના વર્તુળનું વર્ણન કરતાં, બિંદુ પરથી દોરો a"આડી પ્રક્ષેપણ થી, સહાયક વર્તુળ સાથે આંતરછેદ સાથે જોડાણ રેખા aપોઈન્ટ પરંતુસહાયક રેખા પર આવેલું છે, એટલે કે. બાંધેલા વર્તુળ પર. ત્રીજું પ્રક્ષેપણ તરીકે"પોઈન્ટ પરંતુસંચાર રેખાઓના આંતરછેદ પર જોવા મળે છે.

તે જ રીતે, તમે સપાટી પર પડેલા બિંદુના અંદાજો શોધી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, પિરામિડ. તફાવત એ હશે કે જ્યારે તેને આડી પ્લેન દ્વારા ઓળંગવામાં આવે છે, ત્યારે વર્તુળ રચાય છે નહીં, પરંતુ પાયાની સમાન આકૃતિ.

લક્ષ્યો:

• ઑબ્જેક્ટની સપાટી પર બિંદુઓના અંદાજો બાંધવા અને રેખાંકનો વાંચવા માટેના નિયમોનો અભ્યાસ કરવો.
• અવકાશી વિચારસરણીનો વિકાસ કરો, ઑબ્જેક્ટના ભૌમિતિક આકારનું વિશ્લેષણ કરવાની ક્ષમતા.
• ઉદ્યમી કેળવવા, જૂથોમાં કામ કરતી વખતે સહકાર આપવાની ક્ષમતા, વિષયમાં રસ.

વર્ગો દરમિયાન

હું સ્ટેજ. શીખવાની પ્રવૃત્તિઓની પ્રેરણા.

II સ્ટેજ. જ્ઞાન, કૌશલ્ય અને કૌશલ્યની રચના.

આરોગ્ય-બચત વિરામ. પ્રતિબિંબ (મૂડ)

સ્ટેજ III. વ્યક્તિગત કાર્ય.

હું સ્ટેજ. શીખવાની પ્રવૃત્તિઓની પ્રેરણા

1) શિક્ષક:તમારું કાર્યસ્થળ તપાસો, બધું જ જગ્યાએ છે? શું દરેક જવા માટે તૈયાર છે?

ઊંડો શ્વાસ લીધો, શ્વાસ બહાર કાઢો, બહાર કાઢો.

યોજના અનુસાર પાઠની શરૂઆતમાં તમારો મૂડ નક્કી કરો (આવી યોજના દરેક માટે ટેબલ પર છે)

હું તમને શુભેચ્છા પાઠવું છું.

2)શિક્ષક: વિષય પર વ્યવહારુ કાર્ય "શિરોબિંદુઓ, કિનારીઓ, ચહેરાઓ" ના અંદાજો દર્શાવે છે કે એવા લોકો છે જેઓ પ્રોજેક્ટ કરતી વખતે ભૂલો કરે છે. તેઓ મૂંઝવણમાં પડી જાય છે કે ડ્રોઇંગના બે મેચિંગ બિંદુઓમાંથી કયો દૃશ્યમાન શિરોબિંદુ છે અને કયો અદ્રશ્ય છે; જ્યારે ધાર પ્લેનની સમાંતર હોય છે, અને જ્યારે તે લંબરૂપ હોય છે. ધાર સાથે સમાન વસ્તુ.

ભૂલોનું પુનરાવર્તન ટાળવા માટે, કન્સલ્ટિંગ કાર્ડનો ઉપયોગ કરીને જરૂરી કાર્યો પૂર્ણ કરો અને વ્યવહારિક કાર્યમાં (હાથથી) ભૂલો સુધારો. અને જેમ તમે કામ કરો છો, યાદ રાખો:

"દરેક વ્યક્તિ ભૂલો કરી શકે છે, તેની ભૂલ પર રહો - ફક્ત પાગલ"

અને જેમણે આ વિષયમાં સારી રીતે નિપુણતા મેળવી છે તેઓ રચનાત્મક કાર્યો સાથે જૂથોમાં કામ કરશે (જુઓ. પરિશિષ્ટ 1 ).

II સ્ટેજ. જ્ઞાન, કૌશલ્ય અને કૌશલ્યની રચના

1)શિક્ષક:ઉત્પાદનમાં, એવા ઘણા ભાગો છે જે ચોક્કસ રીતે એકબીજા સાથે જોડાયેલા હોય છે.
દાખ્લા તરીકે:
ડેસ્કટોપ કવર ઊભી પોસ્ટ્સ સાથે જોડાયેલ છે. તમે જે ટેબલ પર છો તેના પર ધ્યાન આપો, ઢાંકણ અને રેક્સ એકબીજા સાથે કેવી રીતે અને કેવી રીતે જોડાયેલા છે?

જવાબ:બોલ્ટ.

શિક્ષક:બોલ્ટ માટે શું જરૂરી છે?

જવાબ:છિદ્ર.

શિક્ષક:ખરેખર. અને છિદ્ર બનાવવા માટે, તમારે ઉત્પાદન પર તેનું સ્થાન જાણવાની જરૂર છે. ટેબલ બનાવતી વખતે, સુથાર દર વખતે ગ્રાહકનો સંપર્ક કરી શકતો નથી. તો, સુથાર આપવાની શું જરૂર છે?

જવાબ:ચિત્ર.

શિક્ષક:ચિત્ર!? આપણે ડ્રોઇંગને શું કહીએ છીએ?

જવાબ:ડ્રોઇંગ એ પ્રોજેક્શન કનેક્શનમાં લંબચોરસ અંદાજો દ્વારા ઑબ્જેક્ટની છબી છે. ડ્રોઇંગ મુજબ, તમે ઉત્પાદનના ભૌમિતિક આકાર અને ડિઝાઇનનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકો છો.

શિક્ષક:અમે લંબચોરસ અંદાજો પૂર્ણ કર્યા છે, અને પછી? શું આપણે એક પ્રક્ષેપણમાંથી છિદ્રોનું સ્થાન નક્કી કરી શકીશું? આપણે બીજું શું જાણવાની જરૂર છે? શું શીખવું?

જવાબ:બિંદુઓ બનાવો. તમામ દૃશ્યોમાં આ બિંદુઓના અંદાજો શોધો.

શિક્ષક:શાબ્બાશ! આ અમારા પાઠ અને વિષયનો હેતુ છે: ઑબ્જેક્ટની સપાટી પરના બિંદુઓના અંદાજોનું નિર્માણ.તમારી નોટબુકમાં પાઠનો વિષય લખો.
તમે અને હું જાણીએ છીએ કે ઑબ્જેક્ટની છબી પરનો કોઈપણ બિંદુ અથવા સેગમેન્ટ એ શિરોબિંદુ, કિનારી, ચહેરાનું પ્રક્ષેપણ છે, એટલે કે. દરેક દૃશ્ય એ એક બાજુની છબી નથી (ch. વ્યૂ, ટોપ વ્યૂ, ડાબે દૃશ્ય), પરંતુ સમગ્ર ઑબ્જેક્ટ.
ચહેરા પર પડેલા વ્યક્તિગત બિંદુઓના અંદાજોને યોગ્ય રીતે શોધવા માટે, તમારે પહેલા આ ચહેરાના અંદાજો શોધવા જોઈએ, અને પછી બિંદુઓના અંદાજો શોધવા માટે જોડાણ રેખાઓનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ.

(અમે બોર્ડ પરના ચિત્રને જોઈએ છીએ, અમે એક નોટબુકમાં કામ કરીએ છીએ જ્યાં સમાન ભાગના 3 અંદાજો ઘરે બનાવવામાં આવે છે).

- પૂર્ણ થયેલ ચિત્ર સાથે નોટબુક ખોલી (બોર્ડ પર અગ્રણી પ્રશ્નો સાથે ઑબ્જેક્ટની સપાટી પર બિંદુઓના નિર્માણની સમજૂતી, અને વિદ્યાર્થીઓ તેને નોટબુકમાં ઠીક કરે છે.)

શિક્ષક:એક મુદ્દો ધ્યાનમાં લો એટી. આ બિંદુ સાથેનો ચહેરો કયા સમતલની સમાંતર છે?

જવાબ:ચહેરો આગળના પ્લેન સાથે સમાંતર છે.

શિક્ષક:અમે બિંદુનું પ્રક્ષેપણ સેટ કરીએ છીએ b' આગળના પ્રક્ષેપણમાં. બિંદુ પરથી નીચે દોરો b' આડી પ્રક્ષેપણ માટે સંચારની ઊભી રેખા. બિંદુનું આડું પ્રક્ષેપણ ક્યાં હશે? એટી?

જવાબ:ચહેરાના આડી પ્રક્ષેપણ સાથે આંતરછેદ પર જે ધારમાં પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવી હતી. અને પ્રક્ષેપણ (દૃશ્ય) ના તળિયે છે.

શિક્ષક:પોઇન્ટ પ્રોફાઇલ પ્રક્ષેપણ b'' તે ક્યાં સ્થિત હશે? અમે તેને કેવી રીતે શોધીશું?

જવાબ:થી સંચારની આડી રેખાના આંતરછેદ પર b' જમણી બાજુએ ઊભી ધાર સાથે. આ ધાર એ બિંદુ સાથે ચહેરાનું પ્રક્ષેપણ છે એટી.

જેઓ પોઈન્ટનું આગલું પ્રોજેક્શન તૈયાર કરવા ઈચ્છે છે તેઓને બોર્ડમાં બોલાવવામાં આવે છે.

શિક્ષક:પોઈન્ટ અંદાજો પરંતુસંચાર રેખાઓનો ઉપયોગ કરીને પણ સ્થિત છે. કયું વિમાન બિંદુ સાથે ધારની સમાંતર છે પરંતુ?

જવાબ:ચહેરો પ્રોફાઇલ પ્લેનની સમાંતર છે. અમે પ્રોફાઇલ પ્રોજેક્શન પર એક બિંદુ સેટ કરીએ છીએ a'' .

શિક્ષક:ચહેરાને ધારમાં કયા પ્રક્ષેપણ પર પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે?

જવાબ:આગળ અને આડી પર. ચાલો આગળના પ્રક્ષેપણ પર ડાબી બાજુએ ઊભી ધાર સાથે આંતરછેદ પર એક આડી જોડાણ રેખા દોરીએ, આપણને એક બિંદુ મળે છે. a' .

શિક્ષક:બિંદુનું પ્રક્ષેપણ કેવી રીતે શોધવું પરંતુઆડી પ્રક્ષેપણ પર? છેવટે, પોઈન્ટના પ્રક્ષેપણમાંથી સંચાર રેખાઓ a' અને a'' ડાબી બાજુના આડી પ્રક્ષેપણ પર ચહેરા (ધાર) ના પ્રક્ષેપણને છેદશો નહીં. આપણને શું મદદ કરી શકે?

જવાબ:તમે સતત સીધી રેખાનો ઉપયોગ કરી શકો છો (તે ડાબી બાજુના દૃશ્યની સ્થિતિ નક્કી કરે છે). a'' સંચારની ઊભી રેખા દોરો જ્યાં સુધી તે સતત સીધી રેખા સાથે છેદે નહીં. આંતરછેદ બિંદુથી, સંદેશાવ્યવહારની આડી રેખા દોરવામાં આવે છે, જ્યાં સુધી તે ડાબી બાજુએ ઊભી ધાર સાથે છેદે નહીં. (આ બિંદુ A સાથેનો ચહેરો છે) અને બિંદુ સાથેના પ્રક્ષેપણને સૂચવે છે a .

2) શિક્ષક:દરેક વ્યક્તિ પાસે ટેબલ પર ટાસ્ક કાર્ડ હોય છે, જેમાં ટ્રેસિંગ પેપર જોડાયેલ હોય છે. ડ્રોઇંગને ધ્યાનમાં લો, હવે ડ્રોઇંગ પર આપેલ પોઈન્ટના અંદાજો શોધવા માટે, અનુમાનોને ફરીથી દોર્યા વિના, તમારી જાતે પ્રયાસ કરો.

– પાઠ્યપુસ્તકમાં શોધો પૃષ્ઠ 76 ફિગ. 93. તમારી જાતને પરીક્ષણ કરો. કોણે યોગ્ય પ્રદર્શન કર્યું - સ્કોર "5" "; એક ભૂલ - ''4''; બે - ''3''.

(સ્વ-નિયંત્રણ શીટમાં વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા ગ્રેડ સેટ કરવામાં આવે છે).

- પરીક્ષણ માટે કાર્ડ એકત્રિત કરો.

3)સમુહકાર્ય:સમય મર્યાદિત: 4 મિનિટ. + 2 મિનિટ ચેક (વિદ્યાર્થીઓ સાથેના બે ડેસ્કને જોડવામાં આવે છે, અને જૂથમાં એક નેતાની પસંદગી કરવામાં આવે છે).

દરેક જૂથ માટે, કાર્યો 3 સ્તરોમાં વિતરિત કરવામાં આવે છે. વિદ્યાર્થીઓ સ્તર દ્વારા (તેમની ઈચ્છા મુજબ) કાર્યો પસંદ કરે છે. પોઈન્ટના નિર્માણ પર સમસ્યાઓ ઉકેલો. નેતાની દેખરેખ હેઠળ બાંધકામની ચર્ચા કરો. પછી કોડોસ્કોપની મદદથી બોર્ડ પર સાચો જવાબ દર્શાવવામાં આવે છે. દરેક વ્યક્તિ તપાસ કરે છે કે પોઈન્ટ યોગ્ય રીતે પ્રક્ષેપિત છે. જૂથના નેતાની મદદથી, અસાઇનમેન્ટ્સ અને સ્વ-નિયંત્રણ શીટ્સમાં ગ્રેડ આપવામાં આવે છે (જુઓ. પરિશિષ્ટ 2 અને પરિશિષ્ટ 3 ).

આરોગ્ય-બચત વિરામ. પ્રતિબિંબ

"ફારુનની દંભ"- ખુરશીની ધાર પર બેસો, તમારી પીઠ સીધી કરો, તમારા હાથ કોણીમાં વાળો, તમારા પગને ક્રોસ કરો અને તમારા અંગૂઠા પર મૂકો. શ્વાસમાં લો, શ્વાસ રોકતી વખતે શરીરના તમામ સ્નાયુઓને સજ્જડ કરો, શ્વાસ બહાર કાઢો. 2-3 વખત કરો. તમારી આંખો ચુસ્તપણે બંધ કરો, તારાઓ તરફ, ખોલો. તમારા મૂડને માર્ક કરો.

સ્ટેજ III. વ્યવહારુ ભાગ. (વ્યક્તિગત કાર્યો)

વિવિધ સ્તરો સાથે પસંદ કરવા માટે ટાસ્ક કાર્ડ્સ છે. વિદ્યાર્થીઓ પોતાનો વિકલ્પ પસંદ કરે છે. ઑબ્જેક્ટની સપાટી પરના બિંદુઓના અંદાજો શોધો. કામો સોંપવામાં આવે છે અને આગામી પાઠ માટે મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે. (સે.મી. પરિશિષ્ટ 4 , પરિશિષ્ટ 5 , પરિશિષ્ટ 6 ).

સ્ટેજ IV. અંતિમ

1) હોમવર્ક સોંપણી. (સૂચના).સ્તરો દ્વારા કરવામાં આવે છે:

બી - સમજણ, "3" પર. વ્યાયામ 1 ફિગ. 94a p. 77 - પાઠ્યપુસ્તકમાં સોંપણી અનુસાર: આ અંદાજો પરના પોઈન્ટના ગુમ થયેલ અંદાજો પૂર્ણ કરો.

બી - એપ્લિકેશન, "4" પર. વ્યાયામ 1 ફિગ. 94 એ, બી. ખૂટતા અંદાજો પૂર્ણ કરો અને 94a અને 94b માં વિઝ્યુઅલ ઈમેજ પર શિરોબિંદુઓને ચિહ્નિત કરો.

A - વિશ્લેષણ, "5" પર. (વધેલી મુશ્કેલી.)ઉદા. 4 fig.97 - પોઈન્ટના ખૂટતા અંદાજો બનાવો અને તેમને અક્ષરો સાથે નિયુક્ત કરો. ત્યાં કોઈ દ્રશ્ય છબી નથી.

2)પ્રતિબિંબીત વિશ્લેષણ.

1. પાઠના અંતે મૂડ નક્કી કરો, તેને સ્વ-નિયંત્રણ શીટ પર કોઈપણ ચિહ્ન સાથે ચિહ્નિત કરો.
2. આજે પાઠમાં તમે નવું શું શીખ્યા?
3. તમારા માટે કાર્યનું કયું સ્વરૂપ સૌથી અસરકારક છે: જૂથ, વ્યક્તિગત અને શું તમે તેને આગામી પાઠમાં પુનરાવર્તિત કરવા માંગો છો?
4. ચેકલિસ્ટ્સ એકત્રિત કરો.

3)"ખોટા શિક્ષક"

શિક્ષક:તમે બાંધકામના તમામ નિયમોને અનુસરીને ઑબ્જેક્ટની સપાટી પર શિરોબિંદુઓ, કિનારીઓ, ચહેરાઓ અને બિંદુઓના અંદાજો કેવી રીતે બનાવવું તે શીખ્યા છો. પરંતુ અહીં તમને એક ચિત્ર આપવામાં આવ્યું છે, જ્યાં ભૂલો છે. હવે શિક્ષક તરીકે તમારી જાતને અજમાવો. ભૂલો જાતે શોધો, જો તમને બધી 8-6 ભૂલો મળે, તો સ્કોર અનુક્રમે "5" છે; 5–4 ભૂલો - "4", 3 ભૂલો - "3".

જવાબો:

અંદાજોના પ્રોફાઇલ પ્લેનને ધ્યાનમાં લો. બે લંબરૂપ વિમાનો પરના અંદાજો સામાન્ય રીતે આકૃતિની સ્થિતિ નક્કી કરે છે અને તેના વાસ્તવિક પરિમાણો અને આકારને શોધવાનું શક્ય બનાવે છે. પરંતુ એવા સમયે હોય છે જ્યારે બે અંદાજો પૂરતા નથી. પછી ત્રીજા પ્રક્ષેપણના બાંધકામને લાગુ કરો.

ત્રીજો પ્રક્ષેપણ પ્લેન હાથ ધરવામાં આવે છે જેથી તે એક જ સમયે બંને પ્રક્ષેપણ પ્લેન પર લંબરૂપ હોય (ફિગ. 15). ત્રીજા વિમાનને કહેવામાં આવે છે પ્રોફાઇલ.

આવા બાંધકામોમાં, આડા અને આગળના વિમાનોની સામાન્ય રેખા કહેવામાં આવે છે ધરી એક્સ , આડા અને પ્રોફાઇલ પ્લેનની સામાન્ય રેખા - ધરી ખાતે , અને આગળના અને પ્રોફાઇલ વિમાનોની સામાન્ય સીધી રેખા - ધરી z . ડોટ ઓ, જે ત્રણેય વિમાનોથી સંબંધિત છે, તેને મૂળ બિંદુ કહેવામાં આવે છે.

આકૃતિ 15a બિંદુ બતાવે છે પરંતુઅને તેના ત્રણ અંદાજો. પ્રોફાઇલ પ્લેન પર પ્રક્ષેપણ ( a) ને બોલાવ્યા હતા પ્રોફાઇલ પ્રક્ષેપણઅને સૂચવો a.

બિંદુ A નું આકૃતિ મેળવવા માટે, જેમાં ત્રણ અંદાજો છે a, a a, y અક્ષ (ફિગ. 15b) સાથેના તમામ વિમાનો દ્વારા રચાયેલા ટ્રાઇહેડ્રોનને કાપીને આગળના પ્રક્ષેપણના પ્લેન સાથે આ તમામ વિમાનોને જોડવા જરૂરી છે. આડું વિમાન ધરીની આસપાસ ફેરવવું આવશ્યક છે એક્સ, અને પ્રોફાઇલ પ્લેન ધરીની નજીક છે zઆકૃતિ 15 માં તીર દ્વારા દર્શાવેલ દિશામાં.

આકૃતિ 16 અંદાજોની સ્થિતિ દર્શાવે છે a, aઅને aપોઈન્ટ પરંતુ, ડ્રોઇંગ પ્લેન સાથે ત્રણેય વિમાનોને સંયોજિત કરવાના પરિણામે પ્રાપ્ત થાય છે.

કટના પરિણામે, વાય-અક્ષ રેખાકૃતિ પર બે અલગ અલગ સ્થળોએ થાય છે. આડી સમતલ પર (ફિગ. 16), તે ઊભી સ્થિતિ લે છે (અક્ષને લંબ એક્સ), અને પ્રોફાઇલ પ્લેન પર - આડી (અક્ષને લંબરૂપ z).

આકૃતિ 16 ત્રણ અંદાજો દર્શાવે છે a, aઅને aપોઈન્ટ A ડાયાગ્રામ પર સખત રીતે વ્યાખ્યાયિત સ્થિતિ ધરાવે છે અને તે અસ્પષ્ટ શરતોને આધીન છે:

aઅને aહંમેશા અક્ષને લંબરૂપ એક ઊભી સીધી રેખા પર સ્થિત હોવું જોઈએ એક્સ;

aઅને aહંમેશા અક્ષની લંબ સમાન આડી રેખા પર સ્થિત હોવી જોઈએ z;

3) જ્યારે આડી પ્રક્ષેપણ અને આડી રેખા દ્વારા દોરવામાં આવે છે, પરંતુ પ્રોફાઇલ પ્રક્ષેપણ દ્વારા a- એક ઊભી સીધી રેખા, બાંધવામાં આવેલી રેખાઓ પ્રક્ષેપણ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજક પર આવશ્યકપણે છેદે છે, કારણ કે આકૃતિ ઓએખાતે a 0 a n એ ચોરસ છે.

બિંદુના ત્રણ અંદાજો બાંધતી વખતે, દરેક બિંદુ માટે ત્રણેય શરતોની પરિપૂર્ણતા તપાસવી જરૂરી છે.

પોઈન્ટ કોઓર્ડિનેટ્સ

અવકાશમાં કોઈ બિંદુની સ્થિતિ ત્રણ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને નિર્ધારિત કરી શકાય છે જેને કહેવાય છે સંકલન. દરેક સંકલન અમુક પ્રોજેક્શન પ્લેનથી બિંદુના અંતરને અનુરૂપ છે.

બિંદુ અંતર પરંતુપ્રોફાઇલ પ્લેન માટે સંકલન છે એક્સ, જેમાં એક્સ = a˝A(ફિગ. 15), ફ્રન્ટલ પ્લેનનું અંતર - કોઓર્ડિનેટ y, અને y = દ્વારા aa, અને આડી સમતલનું અંતર સંકલન છે z, જેમાં z = aA.

આકૃતિ 15 માં, બિંદુ A લંબચોરસ બોક્સની પહોળાઈ ધરાવે છે, અને આ બોક્સનું માપ આ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને અનુરૂપ છે, એટલે કે, દરેક કોઓર્ડિનેટ્સ આકૃતિ 15 માં ચાર વખત રજૂ કરવામાં આવ્યા છે, એટલે કે:

x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;

y = а́А = Оа y = a x a = a z a˝;

z = aA = Oa z = a x a′ = a y a˝.

ડાયાગ્રામ પર (ફિગ. 16), x અને z કોઓર્ડિનેટ્સ ત્રણ વખત થાય છે:

x \u003d a z a ́ \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x á = Oa z = a y a˝.

બધા સેગમેન્ટ્સ કે જે કોઓર્ડિનેટને અનુરૂપ છે એક્સ(અથવા z) એકબીજા સાથે સમાંતર છે. સંકલન ખાતેવર્ટિકલ અક્ષ દ્વારા બે વાર રજૂ થાય છે:

y \u003d Oa y \u003d a x a

અને બે વાર - આડા સ્થિત છે:

y \u003d Oa y \u003d a z a˝.

આ તફાવત એ હકીકતને કારણે દેખાયો કે y-અક્ષ રેખાકૃતિ પર બે જુદી જુદી સ્થિતિમાં હાજર છે.

એ નોંધવું જોઈએ કે દરેક પ્રક્ષેપણની સ્થિતિ ડાયાગ્રામ પર માત્ર બે કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, એટલે કે:

1) આડા - કોઓર્ડિનેટ્સ એક્સઅને ખાતે,

2) આગળનો - કોઓર્ડિનેટ્સ xઅને z,

3) પ્રોફાઇલ - કોઓર્ડિનેટ્સ ખાતેઅને z.

કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને x, yઅને z, તમે ડાયાગ્રામ પર એક બિંદુના અંદાજો બનાવી શકો છો.

જો બિંદુ A કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો તેમનો રેકોર્ડ નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: A ( એક્સ; y; z).

બિંદુ અંદાજો બાંધતી વખતે પરંતુનીચેની શરતો તપાસવી આવશ્યક છે:

1) આડા અને આગળના અંદાજો aઅને a એક્સ એક્સ;

2) આગળનો અને પ્રોફાઇલ અંદાજો aઅને aઅક્ષના સમાન લંબ પર સ્થિત હોવું જોઈએ z, કારણ કે તેમની પાસે એક સામાન્ય સંકલન છે z;

3) આડી પ્રક્ષેપણ અને ધરીમાંથી પણ દૂર એક્સ, પ્રોફાઇલ પ્રોજેક્શનની જેમ aધરીથી દૂર z, કારણ કે અનુમાનો a′ અને a˝ સામાન્ય સંકલન ધરાવે છે ખાતે.

જો બિંદુ કોઈપણ પ્રક્ષેપણ પ્લેનમાં આવેલું હોય, તો તેના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી એક શૂન્ય બરાબર છે.

જ્યારે કોઈ બિંદુ પ્રક્ષેપણ ધરી પર આવેલું હોય, ત્યારે તેના બે કોઓર્ડિનેટ્સ શૂન્ય હોય છે.

જો કોઈ બિંદુ મૂળ પર આવેલું હોય, તો તેના ત્રણેય કોઓર્ડિનેટ્સ શૂન્ય છે.

સીધી રેખાનું પ્રક્ષેપણ

રેખાને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે બે બિંદુઓની જરૂર છે. બિંદુને આડા અને આગળના વિમાનો પરના બે અનુમાનો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે, આડા અને આગળના વિમાનો પરના તેના બે બિંદુઓના અંદાજોનો ઉપયોગ કરીને એક સીધી રેખા નક્કી કરવામાં આવે છે.

આકૃતિ 17 અંદાજો દર્શાવે છે ( aઅને a, bઅને b) બે પોઈન્ટ પરંતુઅને B. તેમની મદદથી, કેટલીક સીધી રેખાની સ્થિતિ એબી. આ બિંદુઓના સમાન-નામના અંદાજોને કનેક્ટ કરતી વખતે (દા.ત. aઅને b, aઅને b) તમે અંદાજો મેળવી શકો છો abઅને abડાયરેક્ટ એબી.

આકૃતિ 18 બંને બિંદુઓના અંદાજો દર્શાવે છે, અને આકૃતિ 19 તેમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાના અંદાજો દર્શાવે છે.

જો સીધી રેખાના અંદાજો તેના બે બિંદુઓના અંદાજો દ્વારા નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે, તો તે સીધી રેખા પર લેવામાં આવેલા બિંદુઓના અનુમાનોના હોદ્દાને અનુરૂપ બે સંલગ્ન લેટિન અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે: સ્ટ્રોક સાથે આગળના પ્રક્ષેપણને સૂચવવા માટે. સીધી રેખા અથવા સ્ટ્રોક વિના - આડી પ્રક્ષેપણ માટે.

જો આપણે સીધી રેખાના વ્યક્તિગત બિંદુઓને ધ્યાનમાં લેતા નથી, પરંતુ તેના સમગ્ર અંદાજોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, તો પછી આ અંદાજો સંખ્યાઓ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

જો અમુક બિંદુ સાથેસીધી રેખા પર આવેલું છે એબી, તેના અંદાજો с અને с એ સમાન રેખાના અંદાજો પર છે abઅને ab. આકૃતિ 19 આ પરિસ્થિતિને દર્શાવે છે.

સીધા નિશાનો

સીધા ટ્રેસ- આ અમુક પ્લેન અથવા સપાટી સાથે તેના આંતરછેદનું બિંદુ છે (ફિગ. 20).

આડો ટ્રેક સીધોઅમુક બિંદુ કહેવાય છે એચજ્યાં રેખા આડી સમતલને મળે છે, અને આગળનું- બિંદુ વી, જેમાં આ સીધી રેખા આગળના વિમાનને મળે છે (ફિગ. 20).

આકૃતિ 21a આકૃતિ 21b માં સીધી રેખાના આડા ટ્રેસ અને તેના આગળના ટ્રેસને દર્શાવે છે.

કેટલીકવાર સીધી રેખાના પ્રોફાઇલ ટ્રેસને પણ ગણવામાં આવે છે, ડબલ્યુ- પ્રોફાઇલ પ્લેન સાથે સીધી રેખાના આંતરછેદનું બિંદુ.

આડું ટ્રેસ આડી સમતલમાં છે, એટલે કે તેનું આડું પ્રક્ષેપણ hઆ ટ્રેસ, અને આગળનો ભાગ સાથે એકરુપ છે h x-અક્ષ પર આવેલું છે. આગળનો ટ્રેસ ફ્રન્ટલ પ્લેનમાં રહેલો છે, તેથી તેનો આગળનો પ્રોજેક્શન ν́ તેની સાથે એકરુપ થાય છે, અને આડી v x-અક્ષ પર રહે છે.

તેથી, એચ = h, અને વી= વિ. તેથી, સીધી રેખાના નિશાનો દર્શાવવા માટે, અક્ષરોનો ઉપયોગ કરી શકાય છે hઅને વી.

લાઇનની વિવિધ સ્થિતિ

સીધી રેખા કહેવાય છે સીધી સામાન્ય સ્થિતિ, જો તે કોઈપણ પ્રોજેક્શન પ્લેન સાથે સમાંતર કે લંબ ન હોય. સામાન્ય સ્થિતિમાં રેખાના અંદાજો પણ પ્રક્ષેપણ અક્ષોની સમાંતર કે લંબરૂપ નથી.

સીધી રેખાઓ જે પ્રક્ષેપણ પ્લેનમાંથી એકની સમાંતર હોય છે (એક અક્ષને લંબરૂપ હોય છે).આકૃતિ 22 એક સીધી રેખા બતાવે છે જે આડી સમતલની સમાંતર છે (z-અક્ષની કાટખૂણે), એક આડી સીધી રેખા છે; આકૃતિ 23 એક સીધી રેખા બતાવે છે જે આગળના સમતલની સમાંતર છે (અક્ષની લંબ ખાતે), આગળની સીધી રેખા છે; આકૃતિ 24 એક સીધી રેખા બતાવે છે જે પ્રોફાઇલ પ્લેન (અક્ષની લંબ) ની સમાંતર છે એક્સ), પ્રોફાઇલ સીધી રેખા છે. હકીકત એ છે કે આમાંની દરેક રેખાઓ એક અક્ષ સાથે જમણો કોણ બનાવે છે, તે તેને છેદતી નથી, પરંતુ માત્ર તેની સાથે છેદે છે.

હકીકત એ છે કે આડી રેખા (ફિગ. 22) આડી વિમાનની સમાંતર છે, તેના આગળના અને પ્રોફાઇલ અંદાજો આડી સમતલને વ્યાખ્યાયિત કરતી અક્ષોની સમાંતર હશે, એટલે કે, અક્ષો એક્સઅને ખાતે. તેથી અંદાજો ab|| એક્સઅને a˝b˝|| ખાતે z. આડું પ્રક્ષેપણ એબી ડાયાગ્રામ પર કોઈપણ સ્થાન લઈ શકે છે.

આગળની રેખા (ફિગ. 23) પ્રક્ષેપણ પર ab|| x અને a˝b˝ || z, એટલે કે તેઓ અક્ષને લંબરૂપ છે ખાતે, અને તેથી આ કિસ્સામાં આગળનો પ્રક્ષેપણ abરેખા કોઈપણ સ્થાન લઈ શકે છે.

પ્રોફાઇલ લાઇન પર (ફિગ. 24) ab|| y, ab|| z, અને બંને x-અક્ષ પર લંબ છે. પ્રક્ષેપણ a˝b˝કોઈપણ રીતે ડાયાગ્રામ પર મૂકી શકાય છે.

જ્યારે આડી રેખાને આગળના પ્લેન (ફિગ. 22) પર પ્રક્ષેપિત કરતા પ્લેનને ધ્યાનમાં લઈએ, ત્યારે તમે જોઈ શકો છો કે તે આ રેખાને પ્રોફાઈલ પ્લેન પર પણ પ્રોજેકટ કરે છે, એટલે કે તે એક પ્લેન છે જે એક જ સમયે બે પ્રોજેક્શન પ્લેન પર લાઇનને પ્રોજેક્ટ કરે છે - આગળનો અને પ્રોફાઇલ. આ કારણોસર તેને કહેવામાં આવે છે બમણું પ્રોજેક્ટિંગ પ્લેન. તે જ રીતે, આગળની રેખા (ફિગ. 23) માટે, બમણું પ્રોજેક્ટિંગ પ્લેન તેને આડા અને પ્રોફાઇલ અંદાજોના પ્લેન પર અને પ્રોફાઇલ (ફિગ. 23) માટે - આડા અને આગળના અંદાજોના પ્લેન પર મૂકે છે. .

બે અંદાજો સીધી રેખાને વ્યાખ્યાયિત કરી શકતા નથી. બે અંદાજો 1 અને એકપ્રોફાઇલ સીધી રેખા (ફિગ. 25) તેમના પર આ સીધી રેખાના બે બિંદુઓના અંદાજો સ્પષ્ટ કર્યા વિના અવકાશમાં આ સીધી રેખાની સ્થિતિ નક્કી કરશે નહીં.

સમપ્રમાણતાના આપેલા બે સમતલને લંબરૂપ હોય તેવા સમતલમાં, રેખાઓની અસંખ્ય સંખ્યા હોઈ શકે છે જેના માટે આકૃતિ પરનો ડેટા 1 અને એકતેમના અંદાજો છે.

જો કોઈ બિંદુ કોઈ રેખા પર હોય, તો તેના અનુમાનો બધા કિસ્સાઓમાં આ રેખા પરના સમાન નામના અંદાજો પર આવેલા છે. વિપરીત પરિસ્થિતિ હંમેશા પ્રોફાઇલ લાઇન માટે સાચી હોતી નથી. તેના અંદાજો પર, તમે મનસ્વી રીતે ચોક્કસ બિંદુના અંદાજો સૂચવી શકો છો અને ખાતરી ન કરો કે આ બિંદુ આપેલ રેખા પર આવેલો છે.

ત્રણેય વિશેષ કેસોમાં (ફિગ. 22, 23 અને 24), અનુમાનોના સમતલના સંદર્ભમાં સીધી રેખાની સ્થિતિ એ તેનો મનસ્વી સેગમેન્ટ છે. એબી, દરેક સીધી રેખાઓ પર લેવામાં આવે છે, તેને વિકૃતિ વિના પ્રક્ષેપણ પ્લેનમાંથી એક પર પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે, તે પ્લેન પર કે જેની તે સમાંતર છે. રેખાખંડ એબીઆડી સીધી રેખા (ફિગ. 22) આડી પ્લેન પર જીવન-કદનું પ્રક્ષેપણ આપે છે ( ab = એબી); રેખાખંડ એબીઆગળની સીધી રેખા (ફિગ. 23) - આગળના પ્લેન V ના પ્લેન પર પૂર્ણ કદમાં ( ab = એબી) અને સેગમેન્ટ એબીપ્રોફાઇલ સીધી રેખા (ફિગ. 24) - પ્રોફાઇલ પ્લેન પર પૂર્ણ કદમાં ડબલ્યુ (a˝b˝\u003d AB), એટલે કે ડ્રોઇંગ પરના સેગમેન્ટના વાસ્તવિક કદને માપવાનું શક્ય છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આકૃતિઓની મદદથી, કોઈ પણ ખૂણાના કુદરતી પરિમાણોને નિર્ધારિત કરી શકે છે કે જે પ્રક્ષેપણ વિમાનો સાથે વિચારણા હેઠળની રેખા રચાય છે.

આડી સમતલ સાથે સીધી રેખા જે કોણ બનાવે છે એચ, આગળના પ્લેન સાથે - અક્ષર β, પ્રોફાઇલ પ્લેન સાથે - અક્ષર γ સાથે, અક્ષર α દર્શાવવાનો રિવાજ છે.

વિચારણા હેઠળની કોઈપણ સીધી રેખામાં તેની સમાંતર પ્લેન પર કોઈ નિશાન નથી, એટલે કે, આડી સીધી રેખામાં કોઈ આડી નિશાની નથી (ફિગ. 22), આગળની સીધી રેખામાં આગળનો કોઈ નિશાન નથી (ફિગ. 23), અને પ્રોફાઇલ સીધી રેખામાં કોઈ પ્રોફાઇલ ટ્રેસ નથી (ફિગ. 24).