Bernoullijevi primjeri. Lokalni Laplaceov teorem

Neka se izvede n pokusa u odnosu na događaj A. Predstavimo sljedeće događaje: Ak -- događaj A je realiziran tijekom k-tog testa, $ k=1,2,\dots , n$. Tada je $\bar(A)_(k) $ suprotan događaj (događaj A nije se dogodio tijekom k-tog pokušaja, $k=1,2,\dots , n$).

Što su vršnjačka i neovisna ispitivanja

Definicija

Pozivaju se testovi istog tipa s obzirom na događaj A ako su vjerojatnosti događaja $A1, A2, \dots , An$ iste: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (tj. vjerojatnost pojavljivanja događaja A u jednom pokušaju je konstantna u svim pokušajima).

Očito, u ovom slučaju vjerojatnosti suprotnih događaja također odgovara: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar(A)_(n))$.

Definicija

Pokusi se nazivaju neovisnima u odnosu na događaj A ako su događaji $A1, A2, \dots , An$ neovisni.

U ovom slučaju

U ovom slučaju, jednakost je sačuvana kada se bilo koji događaj Ak zamijeni s $\bar(A)_(k) $.

Neka je u odnosu na događaj A niz od n sličnih nezavisni testovi. Nosimo oznaku: p - vjerojatnost događaja A u jednom testu; q je vjerojatnost suprotnog događaja. Stoga je P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ za bilo koji k i p+q=1.

Vjerojatnost da će se u nizu od n pokušaja događaj A dogoditi točno k puta (0 ≤ k ≤ n) izračunava se formulom:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

Jednakost (1) naziva se Bernoullijeva formula.

Vjerojatnost da će se u nizu od n neovisnih pokusa iste vrste događaj A dogoditi najmanje k1 puta i najviše k2 puta izračunava se formulom:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

Primjena Bernoullijeve formule za velike vrijednosti n dovodi do glomaznih izračuna, pa je u tim slučajevima bolje koristiti druge formule - asimptotske.

Generalizacija Bernoullijeve sheme

Razmotrimo generalizaciju Bernoullijeve sheme. Ako u nizu od n neovisnih pokusa od kojih svaki ima m upareno nekompatibilnih i mogućih rezultata Ak s odgovarajućim vjerojatnostima Rk= rk(Ak). Tada vrijedi formula polinomske distribucije:

Primjer 1

Vjerojatnost da dobijete gripu tijekom epidemije je 0,4. Nađite vjerojatnost da će se od 6 zaposlenika poduzeća razboljeti

1. točno 4 djelatnika;
2. ne više od 4 zaposlena.

Riješenje. 1) Očito, za rješavanje ovog problema primjenjiva je Bernoullijeva formula, gdje je n=6; k=4; p=0,4; q=1-p=0,6. Primjenom formule (1) dobivamo: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \približno 0,138$.

Za rješavanje ovog problema primjenjiva je formula (2), gdje je k1=0 i k2=4. Imamo:

\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0,4^(0) \cdot 0,6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0,4 ^(1) \cdot 0,6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0,4^(2) \cdot 0,6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0,4^(3) \ cdot 0,6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \ približno 0,959.) \end(array)\]

Treba napomenuti da je ovaj zadatak lakše riješiti uz pomoć suprotnog događaja - više od 4 zaposlenika se razboljelo. Zatim, uzimajući u obzir formulu (7) o vjerojatnosti suprotnih događaja, dobivamo:

Odgovor: $\ $0,959.

Primjer 2

Urna sadrži 20 bijelih i 10 crnih kuglica. Izvade se 4 kuglice, a svaka izvađena kuglica se vrati u urnu prije nego što se izvuče sljedeća i kuglice u urni se pomiješaju. Odredite vjerojatnost da će od četiri izvučene kuglice biti 2 bijele kuglice na slici 1.

Slika 1.

Riješenje. Neka se događaj A sastoji u tome da je - dobio bijela lopta. Tada su vjerojatnosti $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .

Prema Bernoullijevoj formuli, tražena vjerojatnost je $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac (1)( 3) \desno)^(2) =\frac(8)(27) $.

Odgovor: $\frac(8)(27) $.

Primjer 3

Odredite vjerojatnost da obitelj s 5 djece neće imati više od 3 djevojčice. Pretpostavlja se da su vjerojatnosti rođenja dječaka i djevojčice iste.

Riješenje. Vjerojatnost da ćete imati djevojčicu $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-vjerojatnost da ćete imati dječaka. U obitelji nema više od tri djevojčice, što znači da su rođene ili jedna, ili dvije, ili tri djevojčice, ili svi dječaci u obitelji.

Nađite vjerojatnosti da u obitelji nema djevojčica, rođene su jedna, dvije ili tri djevojčice: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

Stoga je tražena vjerojatnost $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .

Odgovor: $\frac(13)(16)$.

Primjer 4

Prvi strijelac s jednim hicem može pogoditi desetku s vjerojatnošću 0,6, devetka s vjerojatnošću 0,3, a osmica s vjerojatnošću 0,1. Kolika je vjerojatnost da će uz 10 udaraca šest puta pogoditi deset, tri puta devet, a osam puta osam?

Prije izlaganja trećeg pitanja predavanja, nastavnik ukazuje na problem koji zahtijeva razmatranje teorema o ponavljanju pokusa, uz napomenu da će se u okviru teorije vjerojatnosti koja se proučava razmatrati samo određeni teorem vezan uz ponavljanje. nezavisnih eksperimenata, u svakom od kojih se događaj A pojavljuje s konstantnom vjerojatnošću.

Zatim nastavnik pokazuje dokaz ovog teorema (izvod Bernoullijeve formule).

Za objašnjenje fizikalne suštine teorema koji se razmatra, nastavnik koristi grafoskop i pripremljene slajdove.

Na kraju predavanja nastavnik objašnjava zašto se distribucija vjerojatnosti pojavljivanja događaja A u nizu od n pokusa, u uvjetima kada su nekompatibilni i čine cjelovitu skupinu događaja, naziva binomnom te skreće pozornost na važnost poznavanja ove distribucije za rješavanje primijenjenih problema.

Do sada smo razmatrali kombinacije relativno malog broja događaja, kada izravna primjena pravila zbrajanja i množenja vjerojatnosti nije izazivala velike računske poteškoće. Međutim, s povećanjem broja događaja ili broja pokusa u kojima se događaj koji nas zanima može pojaviti, proučavana metoda izračuna postaje vrlo glomazna.

U ovom slučaju problem je riješen prilično jednostavno samo ako su eksperimenti neovisni.

Pozivaju se nekoliko pokusa nezavisna, ako vjerojatnost jednog ili drugog ishoda svakog od eksperimenata ne ovisi o tome kakve su ishode imali drugi eksperimenti.

U praksi postoje slučajevi kada je vjerojatnost nastanka događaja ALI u svim neovisnim eksperimentima može biti ili isti ili se mijenjati od iskustva do iskustva. Na primjer, pri podešavanju vatre nakon svakog hica, vjerojatnost pogotka mete sa svakim hicem će se promijeniti.

U slučaju kada se u neovisnim pokusima vjerojatnost događanja događaja iz iskustva u iskustvo mijenja, koristi se opći teorem o ponavljanju pokusa, a kada se u neovisnim pokusima vjerojatnost događanja događaja ne mijenja iz iskustva za iskustvo se koristi poseban teorem o ponavljanju pokusa.

U tečaju teorije vjerojatnosti koju proučavamo, razmotrit ćemo samo određeni termin o ponavljanju eksperimenata, kada je potrebno odrediti vjerojatnost događanja događaja ALI u nizu od n neovisnih eksperimenata, u svakom od kojih se događaj A pojavljuje s istom vjerojatnošću.

Na primjer, potrebno je izračunati vjerojatnost da će s pet hitaca iz pištolja pri stalnim postavkama biti primljena točno dva pogotka u metu, ako su hici neovisni i vjerojatnost pogotka mete je poznata i ne mijenja se za svaki hitac.

Ako napravimo moguće kombinacije pojave događaja koji nas zanima A 1, tada dobivamo:

Bit će 10 mogućih kombinacija u kojima će se dogoditi događaj A = (dobiti 2 pogotka s pet udaraca).

Primjenom teorema o zbroju i umnošku neovisnih događaja imat ćemo:

Povećanje broja događaja koji nas zanimaju ili broja testova dovest će do još većeg povećanja obujma računskih operacija, pa se javlja problem pronalaska manje vremenski zahtjevnih metoda izračuna.

Formulacija problema:

Pretpostavimo da se pod istim uvjetima provodi n neovisnih testova, od kojih rezultat svakog može biti početak ili događaji ALI, ili njegova suprotnost .

Označimo sa ALI 1 pojava događaja ALI na prvom testu, ALI 2 - na drugom ispitu, ALI n- na zadnjem ispitu.

Zbog stalnosti uvjeta ispitivanja:

GODIŠNJE 1 ) = P(A 2 ) = … P(A n ) = str

Zanima nas vjerojatnost da će se događaj A dogoditi točno jednom tijekom n pokušaja, a da se neće dogoditi u preostalih n-m pokušaja (tj. dogodit će se događaj suprotan događaju A - ).

Pretpostavimo da je događaj koji nas zanima ALI javlja se u nizu m puta, počevši od prvog, tj. događa se događaj E.

E = A 1 ALI 2 … ALI m -1 ALI m 
(1)

m n- m

Prema uvjetu ponavljanja testa, događaji uključeni u ovu kombinaciju su neovisni, dok su vjerojatnosti pojavljivanja događaja A 1 , ALI 2 ,… ALI m -1 , ALI m isti i jednaki p: P(A 1 ) = P(A 2 ) =…= P(A m ) = p, i vjerojatnosti nepojavljivanja događaja
su isti i jednaki q=1-p:.

Primjenom pravila množenja vjerojatnosti za nezavisne događaje na izraz 1, dobivamo:

P(E) = P(A 1 ) P(A 2 ) … P(A m -1 ) P(A m ) R(
= str m (1-r) n  - m = str m q n - m

Zbog postojanosti uvjeta ispitivanja, pretpostavili smo da je događaj koji nas zanima ALI pojavljuje se uzastopno m puta, počevši od prvog. Ali događaj ALI u n suđenja mogu doći točno m puta u raznim sekvencama ili kombinacijama. U isto vrijeme, nije nam važno u kojem se točno nizu pojavljuje događaj A m jednom.

Broj takvih kombinacija jednak je broju kombinacija od n elemenata po m.

Budući da su te kombinacije događaja (poput kombinacije E) nekompatibilne i ne zanima nas redoslijed događanja događaja ALI točno u testu m puta, a zatim označava vjerojatnost koja nas zanima kroz R m, dobivamo:

R m =
R m (1-r) n - m =
=

gdje
- broj kombinacija od n elementi po m.

Ova formula je dobila ime po Bernoullijevoj formuli.

Bernoullijeva formula omogućuje vam da dobijete odgovor na pitanje: koja je vjerojatnost da će se, pri ponavljanju n neovisnih pokušaja, neki događaj ALI dolazi točno m puta ako je u svakom od ovih pokušaja vjerojatnost da će se događaj dogoditi ALI stalan i jednak P(A) = str.

Gornja Bernoullijeva formula je od izuzetne važnosti u teoriji vjerojatnosti iz razloga što je povezana s ponavljanjem testova pod istim uvjetima, tj. s takvim uvjetima u kojima se očituju zakoni teorije vjerojatnosti.

Zaključak predavanja:

U predavanju smo razmotrili temeljna pitanja teorije vjerojatnosti u odnosu na slučajne varijable, uveli glavni konceptualni aparat neophodan za daljnje proučavanje discipline: definicija nasumična varijabla, njihova klasifikacija; pojam zakona raspodjele i njegov oblik za različite vrste nasumična varijabla.

U pripremi za sljedeća predavanja i vježbe potrebno je samostalno dopuniti svoje bilješke s predavanja dubljim proučavanjem preporučene literature i rješavanjem predloženih problema.

Osim toga, u narednim lekcijama proučavat ćemo teoreme i ovisnosti koji nam omogućuju određivanje vjerojatnosti pojavljivanja slučajne varijable potreban broj puta ili u određenom intervalu, na primjer, vjerojatnost pogađanja mete.

Istražiti:

Wentzel E.S. Teorija vjerojatnosti. Udžbenik. Osmo izdanje, stereotipno. – M.: postdiplomske studije, 2002. - 575 str. – str. 67-78, 80-84

Venttsel E.S., Ovcharov L.A. Teorija vjerojatnosti i njezine inženjerske primjene. Tutorial. Treće izdanje, dopunjeno i prošireno. - M .: "Akademija", 2003 - 464 str. – str. 73-93

Gmurman V.E. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika. Tutorial. Deseto izdanje, stereotipno.-M .: Viša škola, 2004. - 480 str. str. 64-73

Izvodi se n pokusa prema Bernoullijevoj shemi s vjerojatnošću uspjeha p. Neka X bude broj uspjeha. Slučajna varijabla X ima raspon (0,1,2,...,n). Vjerojatnosti ovih vrijednosti mogu se pronaći formulom: , gdje je C m n broj kombinacija od n do m.
Niz distribucije ima oblik:

x	0	1	...	m	n
str	(1-p)n	np(1-p) n-1	...	C m n p m (1-p) n-m	p n

Ovaj zakon raspodjele naziva se binom.

Dodjela usluge. Za crtanje se koristi online kalkulator niz binomne distribucije te izračun svih karakteristika niza: matematičkog očekivanja, varijance i standardne devijacije. Zapisnik s odlukom sastavlja se u Word formatu (primjer).

Broj pokušaja: n= , Vjerojatnost p =
S malom vjerojatnošću p i velikim brojem n (np Poissonova formula.

Video upute

Shema Bernoullijevog testa

Numeričke karakteristike slučajne varijable raspodijeljene prema binomnom zakonu

Matematičko očekivanje slučajne varijable X, distribuirano prema binomnom zakonu.
M[X]=np

Disperzija slučajne varijable X, raspoređena prema binomnom zakonu.
D[X]=npq

Primjer #1. Proizvod može biti neispravan s vjerojatnošću p = 0,3 svaki. Iz serije se odabiru tri stavke. X je broj neispravnih dijelova među odabranima. Pronađite (Unesite sve odgovore kao decimalni razlomci): a) serija distribucije X; b) funkcija raspodjele F(x) .
Riješenje. Slučajna varijabla X ima raspon (0,1,2,3).
Pronađimo distribucijsku seriju X.
P 3 (0) = (1-p) n = (1-0,3) 3 = 0,34
P 3 (1) = np(1-p) n-1 = 3(1-0,3) 3-1 = 0,44

P 3 (3) = p n = 0,3 3 = 0,027

x i	0	1	2	3
pi	0.34	0.44	0.19	0.027

Matematičko očekivanje nalazi se formulom M[X]= np = 3*0,3 = 0,9
Ispitivanje: m = ∑ x i p i .
Matematičko očekivanje M[X].
M[x] = 0*0,34 + 1*0,44 + 2*0,19 + 3*0,027 = 0,9
Disperzija se nalazi formulom D[X]=npq = 3*0,3*(1-0,3) = 0,63
Ispitivanje: d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Disperzija D[X].
D[X] = 0 2 *0,34 + 1 2 *0,44 + 2 2 *0,19 + 3 2 *0,027 - 0,9 2 = 0,63
Prosjek standardna devijacijaσ(x).

Funkcija distribucije F(X).
F(xF(0F(1F(2F(x>3)) = 1

1. Vjerojatnost da se događaj dogodi u jednom pokušaju je 0,6. Izrađuje se 5 testova. Sastavite zakon raspodjele slučajne varijable X – broja pojavljivanja događaja.
2. Sastavite zakon raspodjele slučajne varijable X broja pogodaka s četiri hica, ako je vjerojatnost pogotka mete jednim hicem 0,8.
3. Novčić se baca 7 puta. Pronaći očekivana vrijednost i odstupanje u broju pojavljivanja grba. Napomena: ovdje je vjerojatnost pojavljivanja grba p = 1/2 (jer novčić ima dvije strane).

Primjer #2. Vjerojatnost da se događaj dogodi u jednom pokusu je 0,6. Primjenom Bernoullijevog teorema odredite broj neovisnih pokušaja, polazeći od kojih je vjerojatnost da učestalost događaja odstupa od njegove vjerojatnosti u smislu apsolutna vrijednost manje od 0,1, više od 0,97. (Odgovor: 801)

Primjer #3. Učenici nastupaju test na satu informatike. Rad se sastoji od tri zadatka. Da biste dobili dobru ocjenu, morate pronaći točne odgovore na najmanje dva zadatka. Svaki zadatak ima 5 odgovora od kojih je samo jedan točan. Učenik odabire odgovor slučajnim odabirom. Kolika je vjerojatnost da će dobiti dobru ocjenu?
Riješenje. Vjerojatnost točnog odgovora na pitanje: p=1/5=0,2; n=3.
Ove podatke potrebno je unijeti u kalkulator. Vidi P(2)+P(3) za odgovor.

Primjer #4. Vjerojatnost da strijelac pogodi metu jednim hicem je (m+n)/(m+n+2) . Ispaljeno je n + 4 hica. Nađite vjerojatnost da ne promaši više od dva puta.

Bilješka. Vjerojatnost da neće promašiti više od dva puta uključuje sljedeće događaje: nikad ne promaši P(4), promaši jednom P(3), promaši dva puta P(2).

Primjer broj 5. Odredite distribuciju vjerojatnosti broja pokvarenih zrakoplova ako lete 4 zrakoplova. Vjerojatnost rada zrakoplova bez kvara R=0,99. Broj zrakoplova koji nisu uspjeli u svakom naletu raspoređuje se prema binomnom zakonu.

1

1. Bogolyubov A.N. Matematika. Mehanika: biografski vodič. - Kijev: Naukova Dumka, 1983.

2. Gulay T.A., Dolgopolova A.F., Litvin D.B. Analiza i ocjena prioriteta dijelova matematičkih disciplina koje studiraju studenti ekonomskih specijalnosti poljoprivredna sveučilišta// Bilten agroindustrijskog kompleksa Stavropol. - 2013. - Broj 1 (9). - Str. 6-10.

3. Dolgopolova A.F., Gulay T.A., Litvin D.B. Izgledi primjene matematičke metode u ekonomska istraživanja// Agrarna znanost, stvaralaštvo, rast. - 2013. - S. 255-257.

U matematici dosta često postoje problemi u kojima postoji veliki broj ponavljanja istog stanja, testa ili eksperimenta. Rezultat svakog testa smatrat će se potpuno drugačijim rezultatom od prethodnog. Ovisnost u rezultatima također se neće promatrati. Kao rezultat ispitivanja može se izdvojiti nekoliko mogućnosti elementarnih posljedica: pojava događaja (A) ili pojava događaja koji nadopunjuje A.

Pokušajmo onda pretpostaviti da je vjerojatnost događanja događaja R(A) regularna i jednaka r (0<р<1).

Primjeri takvog izazova mogu biti veliki broj zadataka, poput bacanja novčića, vađenja crnih i bijelih loptica iz tamne vrećice ili rađanja crno-bijelih zečeva.

Takav eksperiment se naziva konfiguracija ponovljenog neovisnog testa ili Bernoullijeva shema.

Jacob Bernoulli rođen je u obitelji ljekarnika. Otac je pokušao sina uputiti na liječnički put, no J. Bernoulli se sam zainteresirao za matematiku, koja mu je kasnije postala i profesija. Vlasnik je raznih trofeja u radovima na teme iz teorije vjerojatnosti i brojeva, nizova i diferencijalnog računa. Proučavajući teoriju vjerojatnosti iz jednog od Huygensovih djela "O kalkulacijama u kockanju", Jacob se zainteresirao za to. U ovoj knjizi čak nije postojala ni jasna definicija pojma "vjerojatnost". Većinu modernih pojmova teorije vjerojatnosti u matematiku je uveo J. Bernoulli. Bernoulli je također prvi izrazio svoju verziju zakona velikih brojeva. Jacobovo ime nose razni radovi, teoremi i sheme: "Bernoulli brojevi", "Bernoulli polinom", "Bernoulli diferencijalna jednadžba", "Bernoulli distribucija" i "Bernoulli jednadžba".

Vratimo se na ponavljanje. Kao što je već spomenuto, kao rezultat različitih testova moguća su dva ishoda: ili će se pojaviti događaj A ili će se pojaviti suprotno od ovog događaja. Sama Bernoullijeva shema označava proizvodnju n-tog broja tipičnih slobodnih eksperimenata, au svakom od tih eksperimenata može se pojaviti događaj A koji nam je potreban (vjerojatnost ovog događaja je poznata: P (A) \u003d p), vjerojatnost događaja suprotnog od događaja A označena je s q \u003d P ( A)=1-p. Potrebno je odrediti vjerojatnost da će se prilikom testiranja nepoznatog broja događaj A dogoditi točno k puta.

Važno je zapamtiti da je glavni uvjet pri rješavanju problema pomoću Bernoullijeve sheme konstantnost. Bez toga shema gubi svaki smisao.

Ova se shema može koristiti za rješavanje problema različitih razina složenosti: od jednostavnih (isti novčić) do složenih (kamate). Međutim, češće se Bernoullijeva shema koristi u rješavanju takvih problema koji su povezani s kontrolom svojstava različitih proizvoda i povjerenjem u različite mehanizme. Samo za rješavanje problema, prije početka rada, svi uvjeti i vrijednosti moraju biti poznati unaprijed.

Nisu svi problemi u teoriji vjerojatnosti svedeni na postojanost pod uvjetima. Čak i ako za primjer uzmemo crne i bijele kuglice u tamnoj vreći: kada je jedna kuglica izvučena promijenio se omjer broja i boja kuglica u vreći, što znači da se promijenila i sama vjerojatnost.

Međutim, ako su naši uvjeti konstantni, tada možemo točno odrediti traženu vjerojatnost od nas da će se događaj A dogoditi točno k puta od n mogućih.

Ovu je činjenicu Jacob Bernoulli sastavio u teorem, koji je kasnije postao poznat po njegovom imenu. "Bernoullijev teorem" je jedan od glavnih teorema u teoriji vjerojatnosti. Prvi put je objavljen u djelu J. Bernoullija "Umijeće pretpostavki". Što je ovaj teorem? “Ako je vjerojatnost p pojavljivanja događaja A u svakom pokušaju konstantna, tada je vjerojatnost Pk,n da će se događaj dogoditi k puta u n pokušaja koji su neovisni jedan o drugom jednaka: , gdje je q=1-p .”

U dokazu učinkovitosti formule mogu se dati zadaci.

Zadatak #1:

Od n staklenki po mjesecu skladištenja, k se razbije. Nasumično uzeo m limenki. Nađite vjerojatnost da se među tim staklenkama l ne razbije. n=250, k=10, m=8, l=4.

Rješenje: Imamo Bernoullijevu shemu s vrijednostima:

p=10/250=0,04 (vjerojatnost da će banke puknuti);

n=8 (broj pokusa);

k=8-4=4 (broj razbijenih staklenki).

Koristimo Bernoullijevu formulu

dobio:

Odgovor: 0,0141

Zadatak #2:

Vjerojatnost proizvodnje neispravnog proizvoda u proizvodnji je 0,2. Nađite vjerojatnost da od 10 proizvoda proizvedenih u ovom proizvodnom pogonu, točno k mora biti u dobrom stanju. Pokreni rješenje za k = 0, 1, 10.

Zanima nas događaj A - proizvodnja popravljivih dijelova, koji se događa jednom u satu s vjerojatnošću p=1-0,2=0,8. Moramo pronaći vjerojatnost da će se dati događaj dogoditi k puta. Događaj A je suprotan događaju "ne A", tj. proizvodnja neispravnog proizvoda.

Prema tome, imamo: n=10; p=0,8; q=0,2.

Kao rezultat toga, nalazimo vjerojatnost da su od 10 proizvedenih proizvoda svi proizvodi neispravni (k=0), da je jedan proizvod u dobrom stanju (k=1), da uopće nema neispravnih (k=10) :

Zaključno, želio bih napomenuti da u moderno doba mnogi znanstvenici pokušavaju dokazati da "Bernoullijeva formula" nije u skladu sa zakonima prirode i da se problemi mogu riješiti bez njezine primjene. Naravno, to je moguće, većina problema u teoriji vjerojatnosti može se izvesti bez Bernoullijeve formule, glavna stvar je da se ne zbunite u velikim količinama brojeva.

Bibliografska poveznica

Khomutova E.A., Kalinichenko V.A. BERNULLIJEVA FORMULA U TEORIJI VJEROJATNOSTI // Međunarodni studentski znanstveni glasnik. - 2015. - br. 3-4 .;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 (datum pristupa: 12.3.2019.). Predstavljamo vam časopise koje izdaje izdavačka kuća "Academy of Natural History"

Stoga će vaš skori provod biti izuzetno koristan. Osim toga, reći ću vam što nije u redu velika većina sudionici lutrije i kockanja. ... Ne, vjera ili slabašna nada u "pogađanje jackpota" nema apsolutno nikakve veze s tim ;-) Bez da smo okom trepnuli, uranjamo u temu:

Što nezavisni testovi ? Skoro sve je jasno iz samog imena. Napravimo nekoliko testova. Ako je vjerojatnost pojave nekog događaja u svakom od njih ne ovisi prema rezultatima ostalih testova, onda ... završavamo rečenicu u zboru =) Bravo. Istodobno, izraz "neovisni testovi" često znači ponovljeno nezavisni testovi - kada se provode jedna za drugom.

Najjednostavniji primjeri:
- novčić se baca 10 puta;
- Kocka se baca 20 puta.

Sasvim je jasno da vjerojatnost dobivanja glave ili repa u bilo kojem ogledu ne ovisi o rezultatima drugih bacanja. Slična izjava, naravno, vrijedi i za kocku.

Ali sekvencijalno uklanjanje karata iz špila nije niz neovisnih testova - kao što se sjećate, ovo je lanac ovisni događaji. Međutim, ako se kartica vraća svaki put, onda će situacija biti "onakva kakva treba biti".

Požurujem da vas molim - imamo još jednog Terminatora kao gosta, koji je apsolutno ravnodušan prema svojim uspjesima / neuspjesima, pa je stoga njegovo pucanje model stabilnosti =):

Zadatak 1

Strijelac ispaljuje 4 hica u metu. Vjerojatnost pogotka svakim hicem je konstantna i jednaka . Nađite vjerojatnost da:

a) strijelac će pogoditi samo jednom;
b) strijelac će pogoditi 2 puta.

Riješenje: uvjet formuliran općenito i vjerojatnost pogotka mete svakim hicem smatran slavnim. Ona je ravnopravna (ako je jako teško, dodijelite određenu vrijednost parametru, npr.) .

Čim znamo, lako je pronaći vjerojatnost promašaja u svakom hicu:
, odnosno "ku" je također poznata količina.

a) Razmotrite događaj "Strijelac pogađa samo jednom" a njegovu vjerojatnost označiti sa (indeksi se podrazumijevaju kao "jedan pogodak od četiri"). Ovaj događaj sastoji se od 4 nekompatibilna ishoda: strijelac će pogoditi 1 ili u 2 ili u 3 ili u 4. pokušaju.

Nađite vjerojatnost da će, kada se baci 10 novčića, glave ispasti na 3 novčića.

Ovdje se testovi ne ponavljaju, već se izvode istovremeno, ali ipak radi ista formula:.

Rješenje će se razlikovati po značenju i nekim komentarima, posebice:
načine na koje možete odabrati 3 novčića, koji će pasti glave.
je vjerojatnost dobivanja glava na svakom od 10 novčića
itd.

Međutim, u praksi takvi problemi nisu tako česti i, očito, iz tog razloga, Bernoullijeva formula je gotovo stereotipno povezana samo s ponovljenim testovima. Iako, kao što je upravo pokazano, ponovljivost uopće nije potrebna.

Sljedeći zadatak za samostalno rješenje:

Zadatak 3

Kocka se baca 6 puta. Odredite vjerojatnost da 5 bodova:

a) neće ispasti (pasti će 0 puta);
b) ispast će 2 puta;
c) ispadati 5 puta.

Zaokružite rezultate na 4 decimalna mjesta.

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Očito je da su u razmatranim primjerima neki događaji vjerojatniji, a neki manje vjerojatni. Tako je, primjerice, sa 6 bacanja kockice, čak i bez ikakvih izračuna, intuitivno jasno da su vjerojatnosti događaja točaka "a" i "be" puno veće od vjerojatnosti da će ispasti "petica". 5 puta. Sada postavimo zadatak pronaći

NAJVEĆI broj pojavljivanja događaja u neovisnim ispitivanjima

Opet, na razini intuicije u problemu br. 3 možemo zaključiti da je najvjerojatniji broj pojavljivanja "petice" jednak jedan - uostalom, ukupno je šest lica, a uz 6 bacanja kockice , svaki od njih trebao bi pasti u prosjeku jednom. Oni koji žele mogu izračunati vjerojatnost i vidjeti je li veća od "konkurentnih" vrijednosti i .

Formulirajmo strogi kriterij: pronaći najvjerojatniji broj pojavljivanja slučajnog događaja u neovisnim ispitivanjima (s vjerojatnošću u svakom pokušaju) vode se sljedećom dvostrukom nejednakošću:

, i:

1) ako je vrijednost razlomka, tada postoji jedan najvjerojatniji broj;
posebno, ako je cijeli broj, onda je to najvjerojatniji broj: ;

2) ako je cijeli broj, onda postoje dva najvjerojatniji brojevi: i .

Najvjerojatniji broj pojavljivanja "pet" u 6 bacanja kockica spada u poseban slučaj prvog odlomka:

Kako bismo konsolidirali gradivo, riješit ćemo nekoliko problema:

Zadatak 4

Vjerojatnost da će košarkaš prilikom ubacivanja lopte pogoditi koš je 0,3. Pronađite najvjerojatniji broj pogodaka u 8 bacanja i odgovarajuću vjerojatnost.

A ovo je, ako ne Terminator, onda barem hladnokrvni sportaš =)

Riješenje: za procjenu najvjerojatnijeg broja pogodaka koristimo dvostruku nejednakost . U ovom slučaju:

- ukupna bacanja;
- vjerojatnost pogađanja koša pri svakom bacanju;
je vjerojatnost promašaja pri svakom bacanju.

Stoga je najvjerojatniji broj pogodaka u 8 bacanja unutar sljedećih granica:

Budući da je lijevi rub razlomački broj (stavka #1), tada postoji samo jedna najvjerojatnija vrijednost, a ona je očito jednaka .

Korištenje Bernoullijeve formule , izračunajte vjerojatnost da će u 8 bacanja biti točno 2 pogotka:

Odgovor: - najvjerojatniji broj pogodaka s 8 bacanja,
je odgovarajuća vjerojatnost.

Sličan zadatak za samostalno rješenje:

Zadatak 5

Novčić se baca 9 puta. Odredite vjerojatnost najvjerojatnijeg broja pojavljivanja orla

Primjer rješenja i odgovor na kraju lekcije.

Nakon uzbudljive digresije, pogledajmo još nekoliko problema, a zatim ću podijeliti tajnu ispravnog kockanja i lutrije.

Zadatak 6

Među proizvodima proizvedenim na automatskom stroju u prosjeku je 60% proizvoda prvog razreda. Kolika je vjerojatnost da će se među 6 nasumično odabranih predmeta naći:

a) od 2 do 4 proizvoda prvog razreda;
b) najmanje 5 proizvoda I. razreda;
c) najmanje jedan proizvod nižeg razreda.

Vjerojatnost proizvodnje prvorazrednog proizvoda ne ovisi o kvaliteti ostalih proizvedenih proizvoda, stoga je ovdje riječ o neovisnim ispitivanjima. Pokušajte ne zanemariti analizu stanja, inače se može ispostaviti da događaji ovisan Ili je problem nešto sasvim drugo.

Riješenje: vjerojatnost je šifrirana kao postotak, koji se, podsjećam, mora podijeliti sa sto: - vjerojatnost da će odabrani proizvod biti 1. razreda.
Zatim: - vjerojatnost da neće biti prvorazredni.

a) Događaj “Između 6 nasumično odabranih proizvoda bit će od 2 do 4 proizvoda prvog razreda” sastoji se od tri nekompatibilna ishoda:

među proizvodima bit će 2 prvoklasna ili 3 prva klasa ili 4 prva klasa.

Pogodnije je odvojeno rješavati ishode. Bernoullijevu formulu koristimo tri puta :

- vjerojatnost da će tijekom dana najmanje 5 od šest računala raditi bez greške.

Ova nam vrijednost također neće odgovarati, jer je manja od potrebne pouzdanosti računalnog centra:

Dakle, ni šest računala nije dovoljno. Dodajmo još jedno:

3) Neka u računskom centru budu računala. Tada bi 5, 6 ili 7 računala trebalo raditi bez greške. Koristeći Bernoullijevu formulu i adicijski teorem za vjerojatnosti nekompatibilnih događaja, nalazimo vjerojatnost da će tijekom dana najmanje 5 od sedam računala raditi bez greške.