Koliki je zbroj dva vektora. Kako oduzimati i zbrajati vektore

Vektor je matematički objekt koji je karakteriziran veličinom i smjerom (npr. akceleracija, pomak), koji se razlikuje od skalara koji nemaju smjer (npr. udaljenost, energija). Skalari se mogu zbrajati zbrajanjem njihovih vrijednosti (na primjer, 5 kJ rada plus 6 kJ rada jednako je 11 kJ rada), ali zbrajanje i oduzimanje vektora nije tako jednostavno.

Koraci

Zbrajanje i oduzimanje vektora s poznatim komponentama

Budući da vektori imaju veličinu i smjer, mogu se rastaviti na komponente na temelju x, y i/ili z dimenzija. Obično se označavaju na isti način kao točke u koordinatnom sustavu (npr.<х,у,z>). Ako su komponente poznate, onda je zbrajanje/oduzimanje vektora jednostavno kao zbrajanje/oduzimanje x, y, z koordinata.

• Imajte na umu da vektori mogu biti jednodimenzionalni, dvodimenzionalni ili trodimenzionalni. Dakle, vektori mogu imati "x" komponentu, "x" i "y" komponente ili "x", "y", "z" komponente. 3D vektori se raspravljaju u nastavku, ali postupak je sličan za 1D i 2D vektore.
• Pretpostavimo da su vam dana dva trodimenzionalna vektora - vektor A i vektor B. Zapišite ove vektore u vektorskom obliku: A = i B= , gdje su a1 i a2 "x" komponente, b1 i b2 su "y" komponente, c1 i c2 su "z" komponente.

1. Da biste dodali dva vektora, dodajte njihove komponente. Drugim riječima, dodajte komponentu "x" prvog vektora komponenti "x" drugog vektora (i tako dalje). Kao rezultat, dobit ćete x, y, z komponente rezultirajućeg vektora.

   • A+B = .
   • Zbrojimo vektore A i B. A =<5, 9, -10>i B=<17, -3, -2>. A+B=<5+17, 9+-3, -10+-2>, ili <22, 6, -12> .

2. Da biste oduzeli jedan vektor od drugog, morate oduzeti odgovarajuće komponente. Kao što će biti prikazano u nastavku, oduzimanje se može zamijeniti zbrajanjem jednog vektora i recipročne vrijednosti drugog. Ako su poznate komponente dvaju vektora, oduzmite odgovarajuće komponente jednog vektora od komponenti drugog.

   • A-B =
   • Oduzmite vektore A i B. A =<18, 5, 3>i B=<-10, 9, -10>. A-B=<18--10, 5-9, 3--10>, ili <28, -4, 13> .

   Grafičko zbrajanje i oduzimanje

   1. Budući da vektori imaju veličinu i smjer, imaju početak i kraj (početnu i krajnju točku, udaljenost između kojih je jednaka vrijednosti vektora). Kada se vektor grafički prikazuje, on se crta kao strelica, u kojoj je vrh kraj vektora, a suprotna točka je početak vektora.

      • Prilikom crtanja vektora, vrlo precizno izgradite sve kutove; inače ćete dobiti pogrešan odgovor.

   2. Da biste dodali vektore, nacrtajte ih tako da se kraj svakog prethodnog vektora povezuje s početkom sljedećeg vektora. Ako zbrajate samo dva vektora, to je sve što trebate učiniti prije nego što pronađete rezultirajući vektor.

      • Imajte na umu da redoslijed kojim su vektori povezani nije bitan, tj. vektor A + vektor B = vektor B + vektor A.

   3. Da biste oduzeli vektor, jednostavno dodajte inverzni vektor, odnosno promijenite smjer oduzetog vektora, a zatim spojite njegov početak s krajem drugog vektora. Drugim riječima, da biste oduzeli vektor, rotirajte ga za 180o (oko ishodišta) i dodajte drugom vektoru.

      Ako dodajete ili oduzimate koliko (više od dva) vektora, tada uzastopno povežite njihove krajeve i početke. Redoslijed kojim spajate vektore nije bitan. Ova metoda se može koristiti za bilo koji broj vektora.

   4. Nacrtajte novi vektor počevši od početka prvog vektora i završavajući na kraju posljednjeg vektora (bez obzira koliko vektora dodate). Dobit ćete rezultirajući vektor jednak zbroju svih dodanih vektora. Imajte na umu da je ovaj vektor isti kao i vektor dobiven zbrajanjem x, y, z komponenti svih vektora.

      • Ako ste vrlo precizno nacrtali duljine vektora i kutove između njih, vrijednost dobivenog vektora možete pronaći jednostavnim mjerenjem njegove duljine. Osim toga, možete izmjeriti kut (između vektora rezultata i drugog određenog vektora ili vodoravnih/okomitih linija) kako biste pronašli smjer vektora rezultata.
      • Ako ste vrlo precizno nacrtali duljine vektora i kutove između njih, tada možete pronaći vrijednost rezultirajućeg vektora pomoću trigonometrije, odnosno sinusnog teorema ili kosinusnog teorema. Ako dodajete više vektora (više od dva), prvo dodajte dva vektora, zatim dodajte rezultirajući vektor i treći vektor, i tako dalje. Pogledajte sljedeći odjeljak za više informacija.

   5. Predstavite rezultirajući vektor, označavajući njegovu vrijednost i smjer. Kao što je gore navedeno, ako nacrtate duljine vektora koje treba dodati i kutove između njih vrlo precizno, tada je vrijednost rezultirajućeg vektora jednaka njegovoj duljini, a smjer je kut između njega i okomite ili vodoravne crte . Ne zaboravite vrijednosti vektora dodijeliti mjerne jedinice u kojima su dati dodani/oduzeti vektori.

      • Na primjer, ako dodate vektore brzine izmjerene u m/s, dodajte "m/s" vrijednosti rezultirajućeg vektora i također navedite kut rezultirajućeg vektora u formatu "o prema vodoravnoj liniji".

   Zbrajanje i oduzimanje vektora pronalaženjem vrijednosti njihovih komponenti

   1. Da biste pronašli vrijednosti komponenti vektora, morate znati vrijednosti samih vektora i njihov smjer (kut u odnosu na vodoravnu ili okomitu liniju). Razmotrimo dvodimenzionalni vektor. Neka to bude hipotenuza pravokutnog trokuta, tada će noge (paralelne s osi X i Y) ovog trokuta biti komponente vektora. Ove komponente se mogu zamisliti kao dva povezana vektora, koji, kada se zbroje zajedno, daju izvorni vektor.

      • Duljine (vrijednosti) dviju komponenti (komponenti "x" i "y") izvornog vektora mogu se izračunati pomoću trigonometrije. Ako je "x" vrijednost (modul) izvornog vektora, tada je vektorska komponenta uz kut izvornog vektora xcosθ, a vektorska komponenta nasuprot kutu izvornog vektora je xsinθ.
      • Važno je obratiti pozornost na smjer komponenti. Ako je komponenta usmjerena suprotno od smjera jedne od osi, tada će njezina vrijednost biti negativna, na primjer, ako je komponenta usmjerena lijevo ili dolje na dvodimenzionalnoj koordinatnoj ravnini.
      • Na primjer, dan je vektor s modulom (vrijednošću) 3 i smjerom od 135 o (u odnosu na horizontalu). Tada je x komponenta 3cos 135 = -2,12, a y komponenta je 3sin135 = 2,12.

   2. Nakon što ste pronašli komponente svih vektora koje dodajete, jednostavno dodajte njihove vrijednosti i pronaći ćete vrijednosti komponenti rezultirajućeg vektora. Prvo zbrojite vrijednosti svih vodoravnih komponenti (tj. komponenti paralelnih s osi x). Zatim zbrojite vrijednosti svih okomitih komponenti (tj. komponenti paralelnih s osi y). Ako je vrijednost komponente negativna, tada se oduzima, a ne dodaje.

      • Na primjer, dodajmo vektor<-2,12, 2,12>i vektor<5,78, -9>. Rezultirajući vektor će biti ovakav<-2,12 + 5,78, 2,12-9>ili<3,66, -6,88>.

   3. Izračunajte duljinu (vrijednost) dobivenog vektora koristeći Pitagorin poučak: c 2 \u003d a 2 + b 2 (budući da je trokut koji čine izvorni vektor i njegove komponente pravokutan). U ovom slučaju, katete su "x" i "y" komponente rezultirajućeg vektora, a hipotenuza je sam rezultirajući vektor.

      • Na primjer, ako ste u našem primjeru dodali silu izmjerenu u Newtonima, tada zapišite odgovor na sljedeći način: 7,79 N pod kutom od -61,99 o (prema vodoravnoj osi).
   • Ne brkajte vektore s njihovim modulima (vrijednostima).
   • Vektori koji imaju isti smjer mogu se zbrajati ili oduzimati jednostavnim zbrajanjem ili oduzimanjem njihovih vrijednosti. Ako se dodaju dva suprotno usmjerena vektora, tada se njihove vrijednosti oduzimaju, a ne dodaju.
   • Vektori koji su predstavljeni kao x ja+y j+z k može se dodati ili oduzeti jednostavnim dodavanjem ili oduzimanjem odgovarajućih koeficijenata. Također svoj odgovor napišite kao i,j,k.
   • Vrijednost vektora u trodimenzionalnom prostoru može se pronaći pomoću formule a 2 \u003d b 2 + c 2 + d 2, gdje a- vektorska vrijednost, b, c, i d su komponente vektora.
   • Vektori stupaca mogu se zbrajati/oduzimati dodavanjem/oduzimanjem odgovarajućih vrijednosti u svakom retku.

X i g nazvan vektor z takav da z+y=x.

Opcija 1. Početne točke svih vektora podudaraju se s ishodištem.

Konstruirajmo razliku vektora i .

Za iscrtavanje razlike vektora z=x-y, trebate dodati vektor x sa suprotno od g vektor y". Suprotni vektor y" se gradi jednostavno:

Vektor y" je suprotan vektoru g, jer y+y"= 0, gdje je 0 nulti vektor odgovarajuće veličine. Zatim se vrši zbrajanje vektora x i y":

Iz izraza (1) se vidi da je za konstruiranje razlike vektora dovoljno izračunati razlike odgovarajućih koordinata vektora x i g.

Riža. jedan

Na sl. 1 u dvodimenzionalnom prostoru predstavlja razliku vektora x=(10,3) i g=(2,4).

Izračunaj z=x-y=(10-3,3-4)=(7,-1). Usporedimo dobiveni rezultat s geometrijskom interpretacijom. Doista, nakon konstruiranja vektora y" i paralelno kretanje početne točke vektora y" do krajnje točke vektora x, dobivamo vektor y"", a nakon zbrajanja vektora x i y"", dobivamo vektor z.

opcija 2. Početne točke vektora su proizvoljne.

Riža. 2

Na sl. 2 u dvodimenzionalnom prostoru je razlika vektora x=AB i g=CD, gdje A(1,0), B(11,3), C(1,2), D(3.6). Za izračunavanje vektora z=x-y, konstruiran suprotno od vektora g vektor y":

Zatim morate dodati vektore x i y". Vektor y" pomiče se paralelno tako da točka C" poklopio s točkom B. Da biste to učinili, izračunavaju se razlike u koordinatama točaka B i IZ.

Neka su $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ dva vektora (slika 1a).

Uzmite proizvoljnu točku O i konstruirajte vektor $\overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a)$ . Zatim iz točke A nacrtamo vektor $\overrightarrow(AB) = \overrightarrow(b)$. Vektor $\overrightarrow(OB)$ koji povezuje početak prvog člana vektora s krajem drugog (Sl. 1, b) naziva se zbroj ovih vektora i označava se s $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)$$ ( pravilo trokuta).

Isti zbroj vektora može se dobiti na drugi način. Odgodimo vektore $\overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a) \,u\, \overrightarrow(OC) = \overrightarrow(b) $ iz točke O (slika 1, c). Na tim vektorima konstruiramo kao na stranicama paralelograma OABC. Vektor $\overrightarrow(OB)$ koji služi kao dijagonala ovog paralelograma povučen iz vrha O očito je zbroj vektora $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)$ ( pravilo paralelograma). Iz slika 1, in odmah slijedi da zbroj dvaju vektora ima svojstvo komutativnosti: $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b) = \overrightarrow(b) + \overrightarrow(a)$

Doista, svaki od vektora $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b) \,and\, = \overrightarrow(b) + \overrightarrow(a)$ jednak je istom vektoru $\overrightarrow(OB)$ .

Primjer 1 U trokutu ABC je AB = 3, BC = 4, ∠ B = 90°. Pronađite: $a)\,\ \strelica preko desno(|AB|) + \strelica preko desno(|BC|);\,\,\ b)\,\ |\strelica preko desno(AB) + \strelica preko desno(BC)|$ .

Riješenje

a) Imamo: $|\overrightarrow(AB)| = AB,\,\,\ |\strelica gore desno(BC)| = BC$ i stoga $|\overrightarrow(AB)| + |\desna strelica(BC)| = 7 dolara.

b) Kako je $\desnastrelica(AB) + \desnastrelica(BC) = \desnastrelica(AC) \,\,\,\, onda \,\, |\desnastrelica(AB) + \desnastrelica(BC)| = |\desna strelica(AC)| = AC$ .

Sada, primjenom Pitagorine teoreme, nalazimo $$ AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(9 + 16) = 5 \\ tj.\, |\overrightarrow(AB) + \overrightarrow( sun )| = 5. $$

Koncept sume vektora može se generalizirati na slučaj bilo kojeg konačnog broja vektorskih sumana.

Neka su, na primjer, dana tri vektora $\overrightarrow(a), \overrightarrow(b)\,i\, \overrightarrow(c)$ (slika 2).

Prvo konstruiramo zbroj vektora $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)$ , a zatim dodamo vektor $\overrightarrow(c)$ ovom zbroju, dobivamo vektor $(\overrightarrow(a) + \overrightarrow (b)) + \gornja strelica(c)$ . Na slici 2 $$ \overdesnastrelica(OA) = \overdesnastrelica(a)\,; \gornja desna strelica(AB) = b\,; \strelica iznad desno(OB) = \strelica iznaddesno(a) + \strelica iznaddesno(b)\,; \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(c) \\ and \\ \overrightarrow(OS) = \overrightarrow(OB) + \overrightarrow(BC) = (\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)) + \overrightarrow (c) $$ Slika 2 pokazuje da dobivamo isti vektor $\overrightarrow(OC)$ ako dodamo vektor $\overrightarrow(AB) = \ overrightarrow(b) + \overrightarrow(c)$ . Stoga $(\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)) + \overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) + (\overrightarrow(b) + \overrightarrow(c))$, tj. vektor zbroja ima asocijativ vlasništvo. Stoga se zbroj triju vektora $\overrightarrow(a)\,\,\overrightarrow(b)\,\,\overrightarrow(c)$ jednostavno piše $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b) + \overrightarrow (c)$ .

razlika od dva vektora $\overrightarrow(a) \,and\, \overrightarrow(b)$ naziva se treći vektor $\overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) - \overrightarrow(b)$ , čiji zbroj s subtrahend vektor $\overrightarrow (b)$ daje vektor $\overrightarrow(a)$. Dakle, ako $\strelica iznaddesno(c) = \strelica prekodesno(a) - \strelicaprekodesno(b)\,\ tada\, \strelicaprekodesno(c) + \strelicaprekodesno(b) = \strelicaprekodesno(a)$ .

Iz definicije zbroja dvaju vektora slijedi pravilo za konstruiranje vektora razlike (slika 3).

Odvojite vektore $\overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a) \,u\, \overrightarrow(OB) = \overrightarrow(b)$ iz zajedničke točke O. Vektor $\overrightarrow(BA)$ koji povezuje krajevi reduciranog vektora $ \overrightarrow(a)$ i subtrahenda vektora $\overrightarrow(b)$ i usmjerenog od subtrahenda prema minuendu je razlika $\overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) - \overrightarrow(b)$ . Doista, prema pravilu zbrajanja vektora $\overrightarrow(OB) + \overrightarrow(BA) = \overrightarrow(OA) \text( , or ) \overrightarrow(b) + \overrightarrow(c) = \overrightarrow(a)$ .

Primjer 2 Stranica jednakostraničnog trokuta ABC je a. Pronađite: $a) |\strelica preko desno(BA) - \strelica preko desno(BC)|\,;\,\ b)\,\,\ |\strelica preko desno(AB) - \strelica preko desno(AC)|$ .

Riješenje a) Budući da je $\desnastrelica(BA) - \desnastrelica(BC) = \desnastrelica(SA)\tekst( , a )|\desnastrelica(SA)| = a\tekst( , zatim )|\strelica iznaddesno(BA) - \strelica iznaddesno(BC)| = a$ .

b) Budući da $\desnastrelica(AB) - \desnastrelica(AC) = \desnastrelica(CB)\tekst( , a )|\desnastrelica(CB)| = a\tekst( , zatim )|\strelica iznaddesno(AB) - \strelica iznaddesno(AC)| = a$ .

Umnožak vektora $\overrightarrow(a)$ (označenog kao $=\lambda\overrightarrow(a)$ ili $\overrightarrow(a)\lambda$) i realnog broja $\lambda$ je vektor $\overrightarrow( b)$, kolinearni vektor $\overrightarrow(a)$ duljine jednake $|\lambda||\overrightarrow(a)|$ i istog smjera kao $\overrightarrow(a)$ ako je $\lambda > 0$, a smjer suprotan vektoru $\overrightarrow(a)$ ako je $\lambda< 0$ . Так, например, $2\overrightarrow{a}$ есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$ , а длину, вдвое большую, чем вектор $\overrightarrow{a}$ (рис.4).

U slučaju kada je $\lambda = 0$ ili $\overrightarrow(a) = 0$, produkt $\lambda\overrightarrow(a)$ je nulti vektor. Suprotni vektor $-\overrightarrow(a)$ može se smatrati rezultatom množenja vektora $\overrightarrow(a)$ s $\lambda = -1$ (vidi sliku 4): $$ -\overrightarrow(a ) = \ ( -1)\strelica prekodesno(a) $$ Očito $\strelica prekodesno(a) + (-\strelica prekodesno(a)) = \strelica prekodesno(0)$ .

Primjer 3 Dokažite da ako su O, A, B i C proizvoljne točke, tada je $\overrightarrow(OA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CO) = 0$ .

Riješenje. Zbroj vektora $\overrightarrow(OA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(CB) = \overrightarrow(OC)$ , vektor $\overrightarrow(CO)$ je suprotan vektoru $\overrightarrow(OC )$ . Stoga $\overrightarrow(OS) + \overrightarrow(OS) = \overrightarrow(0)$ .

Neka je zadan vektor $\overrightarrow(a)$. Razmotrimo jedinični vektor $\overrightarrow(a_0)$, kolinearan s vektorom $\overrightarrow(a)$ i usmjeren u istom smjeru kao i on. Iz definicije množenja vektora brojem slijedi $$ \overrightarrow(a) = |\overrightarrow(a)|\,\ \overrightarrow(a_0) $$ , tj. svaki je vektor jednak umnošku svog modula i jediničnog vektora istog smjera. Nadalje, iz iste definicije slijedi da ako $\overrightarrow(b) = \lambda\overrightarrow(a)$ , gdje je $\overrightarrow(a)$ vektor različit od nule, tada vektori $\overrightarrow(a) \, i \, \overrightarrow(b)$ su kolinearni. Očito, obrnuto, iz kolinearnosti vektora $\overrightarrow(a) \,i\, \overrightarrow(b)$ slijedi da je $\overrightarrow(b) = \lambda\overrightarrow(a)$.

Primjer 4 Duljina vektora AB je 3, duljina vektora AC je 5. Kosinus kuta između ovih vektora je 1/15. Nađi duljinu vektora AB + AC.

Video rješenje.

Definicija

Zbrajanje vektora i provodi se prema pravilo trokuta.

iznos dva vektora a naziva se takav treći vektor čiji se početak podudara s početkom, a kraj s krajem, pod uvjetom da se kraj vektora i početak vektora podudaraju (sl. 1).

Za dodatak vektori Također vrijedi pravilo paralelograma.

Definicija

pravilo paralelograma- ako dva nekolinearna vektora u vode u zajedničko ishodište, tada se vektor podudara s dijagonalom paralelograma izgrađenog na vektorima u (slika 2). Štoviše, početak vektora podudara se s početkom zadanih vektora.

Definicija

Vektor se zove suprotni vektor vektoru ako ga kolinearni vektor , jednak mu po duljini, ali usmjeren u suprotnom smjeru od vektora.

Operacija zbrajanja vektora ima sljedeća svojstva:

Definicija

razlika vektori a vektor se naziva takav da je zadovoljen uvjet: (slika 3).

Pomnožite vektor s brojem

Definicija

raditi vektor po broju naziva se vektor koji zadovoljava uvjete:

Svojstva množenja vektora brojem:

Ovdje su u proizvoljni vektori, a proizvoljni brojevi.

Euklidski prostor(također Euklidski prostor) - u izvornom smislu prostor čija se svojstva opisuju aksiomi euklidska geometrija. U ovom slučaju se pretpostavlja da prostor ima dimenzija jednako 3.

U suvremenom smislu, u općenitijem smislu, može označavati jedan od sličnih i blisko povezanih objekata: konačnodimenzionalni stvaran vektorski prostor s pozitivno određenim skalarni proizvod, ili metrički prostor koji odgovara takvom vektorskom prostoru. U ovom članku će se prva definicija uzeti kao početna.

Često se koristi i dimenzionalni euklidski prostor (ako je iz konteksta jasno da prostor ima euklidsku strukturu).

Za definiranje euklidskog prostora najlakše ga je uzeti kao glavni pojam točkasti proizvod. Euklidski vektorski prostor je definiran kao konačnodimenzionalni vektorski prostor iznad polje realni brojevi, na čijim vektorima funkcija realne vrijednosti sa sljedeća tri svojstva:

afini prostor, koji odgovara takvom vektorskom prostoru, naziva se Euklidski afini prostor ili jednostavno Euklidski prostor .

Primjer euklidskog prostora je koordinatni prostor koji se sastoji od svih mogućih n-ok realni brojevi skalarni umnožak u kojem se određuje formulom

Bazisne i vektorske koordinate

Osnova (drugi grčkiβασις, osnova) - skup takvih vektori u vektorski prostor da se svaki vektor ovog prostora može jedinstveno prikazati kao linearna kombinacija vektori iz ovog skupa - bazni vektori.

U slučaju kada je baza beskonačna, potrebno je pojasniti pojam "linearne kombinacije". To dovodi do dvije glavne vrste definicija:

Hamelova osnova, čija definicija razmatra samo konačne linearne kombinacije. Hamelova baza koristi se uglavnom u apstraktnoj algebri (osobito u linearnoj algebri).

Schauderova osnova, čija definicija također razmatra beskonačne linearne kombinacije, naime, širenje u činovi. Ova se definicija koristi uglavnom u funkcionalnoj analizi, posebno za Hilbertov prostor,

U konačnodimenzionalnim prostorima obje se vrste baze podudaraju.

Vektorske koordinate su koeficijenti jedinog mogućeg linearna kombinacija Osnovni, temeljni vektori u odabranom koordinatni sustav jednak zadanom vektoru.

gdje su koordinate vektora.

Skalarni produkt.

operacija na dva vektori, čiji je rezultat broj[kada se vektori razmatraju, brojevi se često nazivaju skalari], koji ne ovisi o koordinatnom sustavu i karakterizira duljine vektora faktora i kutak između njih. Ova operacija odgovara množenju duljina vektor x na projekcija vektor g po vektoru x. Ova se operacija obično smatra komutativni i linearni za svaki faktor.

Skalarni produkt dva vektora jednaka je zbroju proizvoda njihovih odgovarajućih koordinata:

vektorski proizvod

ovo je pseudovektor, okomito ravnina konstruirana od dva faktora, što je rezultat binarna operacija"množenje vektora" preko vektori u 3D euklidski prostor. Vektorski proizvod nema svojstva komutativnost i asocijativnost(je antikomutativni) i, za razliku od točkasti umnožak vektora, je vektor. Široko se koristi u mnogim tehničkim i fizičkim primjenama. Na primjer, kutni moment i Lorentzova sila matematički zapisan kao vektorski produkt. Križni produkt koristan je za "mjerenje" okomitosti vektora - modul križnog produkta dvaju vektora jednak je produktu njihovih modula ako su okomiti, a smanjuje se na nulu ako su vektori paralelni ili antiparalelni.

vektorski proizvod dva vektora mogu se izračunati pomoću determinanta matrice

mješoviti proizvod

Mješoviti proizvod vektori -skalarni proizvod vektor na vektorski proizvod vektori i:

Ponekad se zove trostruki skalarni produkt vektora, očito zbog činjenice da je rezultat skalar(točnije - pseudoskalarno).

Geometrijski smisao: Modul miješanog proizvoda brojčano je jednak volumenu paralelopiped obrazovan vektori .mješoviti proizvod preko determinante mogu se pronaći tri vektora

Avion u svemiru

Avion - algebarska površina prvi red: u Kartezijev koordinatni sustav ravnina se može postaviti jednadžba prvi stupanj.

Neka karakteristična svojstva ravnine

avion - površinski, koji sadrži potpuno svaki direktno, povezivanje bilo kojeg bodova;

Dvije ravnine su ili paralelne ili se sijeku pravocrtno.

Pravac je ili paralelan s ravninom, ili je siječe u jednoj točki, ili je na ravnini.

Dva pravca okomita na istu ravninu međusobno su paralelna.

Dvije ravnine okomite na isti pravac međusobno su paralelne.

Na sličan način segment i interval, ravnina koja ne uključuje ekstremne točke može se nazvati intervalnom ravninom ili otvorenom ravninom.

Opća jednadžba (potpuna) ravnine

gdje su i konstante, au isto vrijeme nisu jednake nuli; u vektor oblik:

gdje je radijus vektor točke, vektor okomito na ravninu (normalni vektor). Vodičikosinusima vektor:

Za ispravan prikaz zakona prirode u fizici potrebni su odgovarajući matematički alati.

U geometriji i fizici postoje veličine koje karakteriziraju i numerička vrijednost i smjer.

Preporučljivo ih je prikazati kao usmjerene segmente ili vektori.

Takve vrijednosti imaju početak (predstavljen točkom) i kraj, označen strelicom. Duljina segmenta naziva se (duljina).

• ubrzati;
• ubrzanje;
• puls;
• snaga;
• trenutak;
• snaga;
• kretanje;
• jakost polja itd.

Ravninske koordinate

Definirajmo isječak na ravnini usmjeren iz točke A (x1, y1) u točku B (x2, y2). Njegove koordinate a (a1, a2) su brojevi a1=x2-x1, a2=y2-y1.

Modul se izračunava pomoću Pitagorinog teorema:

Nulti vektor ima početak i kraj. Koordinate i duljina su 0.

Zbroj vektora

postojati nekoliko pravila za izračun iznosa

• pravilo trokuta;
• pravilo poligona;
• pravilo paralelograma.

Pravilo zbrajanja vektora može se objasniti pomoću zadataka iz dinamike i mehanike. Razmotrimo zbrajanje vektora prema pravilu trokuta na primjeru sila koje djeluju na točkasto tijelo i uzastopnih pomaka tijela u prostoru.

Pretpostavimo da se tijelo prvo pomaknulo iz točke A u točku B, a zatim iz točke B u točku C. Konačni pomak je segment usmjeren od početne točke A do krajnje točke C.

Rezultat dvaju pomaka ili njihov zbroj s = s1+ s2. Takva se metoda naziva pravilo trokuta.

Strelice se poredaju u lancu jedna za drugom, ako je potrebno, vršeći paralelni prijenos. Ukupni segment zatvara niz. Njegov početak podudara se s početkom prvog, kraj - s krajem posljednjeg. U stranim udžbenicima ova se metoda naziva "rep u glavu".

Koordinate rezultata c = a + b jednake su zbroju odgovarajućih koordinata članova c (a1+ b1, a2+ b2).

Zbroj paralelnih (kolinearnih) vektora također je određen pravilom trokuta.

Ako su dva početna segmenta okomita jedan na drugi, tada je rezultat njihovog zbrajanja hipotenuza pravokutnog trokuta izgrađenog na njima. Duljina zbroja izračunava se pomoću Pitagorinog poučka.

Primjeri:

• Brzina tijela bačenog vodoravno okomito ubrzanje slobodnog pada.
• Kod jednolikog rotacijskog gibanja linearna je brzina tijela okomita na centripetalno ubrzanje.

Dodavanje tri ili više vektora proizvoditi prema pravilo poligona, "rep u glavu"

Pretpostavimo da na točkasto tijelo djeluju sile F1 i F2.

Iskustvo dokazuje da je kombinirani učinak ovih sila jednak djelovanju jedne sile usmjerene dijagonalno duž paralelograma izgrađenog na njima. Ova rezultantna sila jednaka je njihovom zbroju F \u003d F1 + F 2. Gornja metoda zbrajanja naziva se pravilo paralelograma.

Duljina se u ovom slučaju izračunava formulom

Gdje je θ kut između stranica.

Pravila trokuta i paralelograma su međusobno zamjenjiva. U fizici se češće koristi pravilo paralelograma, jer se usmjerene količine sila, brzina i ubrzanja obično primjenjuju na jedno točkasto tijelo. U 3D koordinatnom sustavu primjenjuje se pravilo okvira.

Elementi algebre

1. Zbrajanje je binarna operacija: možete dodati samo par odjednom.
2. komutativnost: zbroj iz permutacije članova ne mijenja se a + b = b + a. To je jasno iz pravila paralelograma: dijagonala je uvijek ista.
3. Asocijativnost: zbroj proizvoljnog broja vektora ne ovisi o redoslijedu njihova zbrajanja (a + b) + c = a + (b + c).
4. Zbrajanje s nultim vektorom ne mijenja smjer ni duljinu: a +0= a .
5. Za svaki vektor postoji suprotan. Njihov zbroj jednak je nuli a +(-a)=0, a duljine su iste.

Oduzimanje usmjerenog segmenta jednako je dodavanju suprotnog. Koordinate su jednake razlici odgovarajućih koordinata. Dužina je:

Za oduzimanje možete koristiti modificirano pravilo trokuta.

Množenje skalarom

Rezultat množenja skalarom je vektor.

Koordinate umnoška dobivaju se množenjem skalarom odgovarajućih koordinata izvora.

Skalar je numerička vrijednost s predznakom plus ili minus, veća ili manja od jedan.

Primjeri skalara u fizici:

• težina;
• vrijeme;
• naplatiti;
• duljina;
• kvadrat;
• volumen;
• gustoća;
• temperatura;
• energije.

Primjeri:

• Pomak jednoliko gibajućeg tijela jednak je umnošku vremena i brzine s = vt.
• Količina gibanja tijela je masa pomnožena s brzinom p = mv.
• Newtonov drugi zakon. Umnožak mase tijela i ubrzanja je u prilogu rezultantna sila ma=F.
• Sila koja djeluje na nabijenu česticu u električnom polju proporcionalna je naboju F = qE.

Skalarni umnožak usmjerenih odsječaka a i b jednak je umnošku modula i kosinusa kuta između njih. Skalarni umnožak međusobno okomitih odsječaka jednak je nuli.

Primjer:

Rad je skalarni umnožak sile i pomaka A = Fs .