Parna neparna funkcija kao. Parne i neparne funkcije

Grafovi parnih i neparnih funkcija imaju sljedeće značajke:

Ako je funkcija parna, tada je njezin graf simetričan u odnosu na y-osu. Ako je funkcija neparna, tada je njezin graf simetričan u odnosu na ishodište.

Primjer. Nacrtajte funkciju \(y=\lijevo|x \desno|\).

Riješenje. Razmotrite funkciju: \(f\lijevo(x \desno)=\lijevo|x \desno|\) i zamijenite \(x \) umjesto \(-x \). Kao rezultat jednostavnih transformacija dobivamo: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ In drugim riječima, ako zamijenite argument suprotnim predznakom, funkcija se neće promijeniti.

To znači da je ova funkcija parna, a njen graf će biti simetričan oko y-osi (vertikalne osi). Graf ove funkcije prikazan je na slici lijevo. To znači da prilikom crtanja grafikona možete graditi samo polovicu, a drugi dio (lijevo od okomite osi, nacrtati već simetrično s desne strane). Određivanjem simetrije funkcije prije nego što počnete iscrtavati njezin grafikon, možete uvelike pojednostaviti proces konstruiranja ili proučavanja funkcije. Ako je teško izvršiti provjeru u općem obliku, možete to učiniti lakše: zamijenite iste vrijednosti različitih znakova u jednadžbu. Na primjer -5 i 5. Ako su vrijednosti funkcije iste, tada se možemo nadati da će funkcija biti parna. S matematičkog gledišta, ovaj pristup nije sasvim ispravan, ali s praktičnog gledišta je prikladan. Da biste povećali pouzdanost rezultata, možete zamijeniti nekoliko parova takvih suprotnih vrijednosti.

Primjer. Nacrtajte funkciju \(y=x\lijevo|x \desno|\).

Riješenje. Provjerimo isto kao u prethodnom primjeru: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ To znači da je izvorna funkcija neparna (predznak funkcije je obrnut).

Zaključak: funkcija je simetrična u odnosu na ishodište. Možete izgraditi samo jednu polovicu, a drugu polovicu nacrtati simetrično. Ovu simetriju je teže nacrtati. To znači da grafikon gledate s druge strane lista, pa čak i okrenut naopako. A možete učiniti i ovo: uzmite nacrtani dio i zarotirajte ga oko ishodišta za 180 stupnjeva suprotno od kazaljke na satu.

Primjer. Nacrtajte funkciju \(y=x^3+x^2\).

Riješenje. Provedimo istu provjeru promjene predznaka kao u prethodna dva primjera. $$f\lijevo(-x \desno)=\lijevo(-x \desno)^3+\lijevo(-x \desno)^2=-x^2+x^2$$ $$f\lijevo( -x \desno)\not=f\lijevo(x \desno),f\lijevo(-x \desno)\not=-f\lijevo(x \desno)$$ Što znači da funkcija nije ni parna ni neparna .

Zaključak: funkcija nije simetrična ni oko ishodišta ni oko središta koordinatnog sustava. To se dogodilo jer je zbroj dviju funkcija: parne i neparne. Ista situacija će biti ako oduzmete dvije različite funkcije. Ali množenje ili dijeljenje će dovesti do drugačijeg rezultata. Na primjer, umnožak parne i neparne funkcije daje neparnu. Ili kvocijent dva neparna dovodi do parne funkcije.

Sakrij Prikaži

Načini postavljanja funkcije

Neka je funkcija dana formulom: y=2x^(2)-3 . Dodjeljujući bilo koju vrijednost nezavisnoj varijabli x, možete koristiti ovu formulu za izračun odgovarajućih vrijednosti zavisne varijable y. Na primjer, ako je x=-0,5 , tada pomoću formule dobivamo da je odgovarajuća vrijednost y y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 .

S obzirom na bilo koju vrijednost koju uzima argument x u formuli y=2x^(2)-3, može se izračunati samo jedna vrijednost funkcije koja joj odgovara. Funkcija se može prikazati kao tablica:

x	−2	−1	0	1	2	3
g	−4	−3	−2	−1	0	1

Koristeći ovu tablicu, možete shvatiti da će za vrijednost argumenta -1 odgovarati vrijednost funkcije -3; a vrijednost x=2 će odgovarati y=0, i tako dalje. Također je važno znati da svaka vrijednost argumenta u tablici odgovara samo jednoj vrijednosti funkcije.

Više funkcija može se postaviti pomoću grafikona. Uz pomoć grafa utvrđuje se koja vrijednost funkcije korelira s određenom vrijednošću x. Najčešće će to biti približna vrijednost funkcije.

Parna i neparna funkcija

Funkcija je ravnomjerna funkcija, kada je f(-x)=f(x) za bilo koji x iz domene. Takva funkcija će biti simetrična u odnosu na os Oy.

Funkcija je neparna funkcija kada je f(-x)=-f(x) za bilo koji x u domeni. Takva funkcija će biti simetrična oko ishodišta O (0;0) .

Funkcija je čak ni, niti neparan i nazvao opća funkcija kada nema simetriju oko osi ili ishodišta.

Ispitujemo sljedeću funkciju za paritet:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) sa simetričnom domenom definicije o ishodištu. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Dakle, funkcija f(x)=3x^(3)-7x^(7) je neparna.

Periodična funkcija

Funkcija y=f(x) , u čijoj je domeni f(x+T)=f(x-T)=f(x) istinita za bilo koji x, naziva se periodična funkcija s periodom T \neq 0 .

Ponavljanje grafa funkcije na bilo kojem segmentu apscisne osi koji ima duljinu T .

Intervali u kojima je funkcija pozitivna, odnosno f (x) > 0 - segmenti apscisne osi koji odgovaraju točkama grafa funkcije koje leže iznad apscisne osi.

f(x) > 0 uključeno (x_(1); x_(2)) \čaša (x_(3); +\infty)

Praznine u kojima je funkcija negativna, tj. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \čaša (x_(2); x_(3))

Ograničenje funkcije

omeđen odozdo uobičajeno je pozvati funkciju y=f(x), x \in X kada postoji broj A za koji vrijedi nejednakost f(x) \geq A za bilo koji x \in X .

Primjer dolje ograničene funkcije: y=\sqrt(1+x^(2)) budući da je y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 za bilo koji x .

omeđen odozgo funkcija y=f(x), x \in X se poziva ako postoji broj B za koji nejednakost f(x) \neq B vrijedi za bilo koji x \in X .

Primjer dolje ograničene funkcije: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] budući da je y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 za bilo koji x \in [-1;1] .

ograničeno uobičajeno je pozvati funkciju y=f(x), x \in X kada postoji broj K > 0 za koji vrijedi nejednakost \left | f(x) \desno | \neq K za bilo koji x \u X .

Primjer ograničene funkcije: y=\sin x je ograničena na cijelom brojevnom pravcu jer \lijevo | \sin x \desno | \neq 1.

Rastuća i opadajuća funkcija

Uobičajeno je govoriti o funkciji koja raste na intervalu koji se razmatra kao povećanje funkcije kada će većoj vrijednosti x odgovarati veća vrijednost funkcije y=f(x) . Odavde se ispostavlja da uzimajući iz razmatranog intervala dvije proizvoljne vrijednosti argumenta x_(1) i x_(2) , i x_(1) > x_(2) , bit će y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Naziva se funkcija koja opada na promatranom intervalu opadajuća funkcija kada će većoj vrijednosti x odgovarati manja vrijednost funkcije y(x) . Odavde se ispostavlja da uzimajući iz razmatranog intervala dvije proizvoljne vrijednosti argumenta x_(1) i x_(2) , i x_(1) > x_(2) , bit će y(x_(1))< y(x_{2}) .

Funkcijski korijeni uobičajeno je imenovati točke u kojima funkcija F=y(x) siječe apscisnu os (dobive se kao rezultat rješavanja jednadžbe y(x)=0 ).

a) Ako parna funkcija raste za x > 0, onda opada za x< 0

b) Kad parna funkcija opada za x > 0, tada raste za x< 0

c) Kad neparna funkcija raste za x > 0, tada raste i za x< 0

d) Kada neparna funkcija opada za x > 0, tada će također opadati za x< 0

Funkcionalni ekstremi

Minimalna točka funkcije y=f(x) uobičajeno je nazvati takvu točku x=x_(0) , u kojoj će njeno susjedstvo imati druge točke (osim točke x=x_(0) ), a za njih tada vrijedi nejednakost f( x) > f (x_(0)) . y_(min) - oznaka funkcije u točki min.

Maksimalna točka funkcije y=f(x) uobičajeno je nazvati takvu točku x=x_(0) , u kojoj će njeno susjedstvo imati druge točke (osim točke x=x_(0) ), i tada nejednakost f(x) će biti zadovoljan za njih< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Neophodan uvjet

Prema Fermatovom teoremu: f"(x)=0, tada kada je funkcija f(x) , koja je diferencijabilna u točki x_(0) , pojavit će se ekstrem u ovoj točki.

Dovoljno stanje

1. Kada se predznak derivacije promijeni iz plusa u minus, tada će x_(0) biti minimalna točka;
2. x_(0) - bit će maksimalna točka samo kada derivacija promijeni predznak iz minus u plus pri prolasku kroz stacionarnu točku x_(0) .

Najveća i najmanja vrijednost funkcije na intervalu

Koraci izračuna:

1. Traženje izvoda f"(x) ;
2. Nalaze se stacionarne i kritične točke funkcije i biraju one koje pripadaju intervalu;
3. Vrijednosti funkcije f(x) nalaze se na stacionarnim i kritičnim točkama i krajevima segmenta. Najmanji će rezultati biti najmanja vrijednost funkcije, i više - najveći.

Natrag naprijed

Pažnja! Pregled slajdova je samo u informativne svrhe i možda ne predstavlja puni opseg prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Ciljevi:

• formirati koncept parnih i neparnih funkcija, naučiti sposobnost određivanja i korištenja tih svojstava u proučavanju funkcija, crtanje;
• razvijati kreativnu aktivnost učenika, logično razmišljanje, sposobnost uspoređivanja, generaliziranja;
• njegovati marljivost, matematičku kulturu; razvijati komunikacijske vještine .

Oprema: multimedijska instalacija, interaktivna ploča, materijali.

Oblici rada: frontalni i grupni s elementima tragajuće i istraživačke aktivnosti.

Izvori informacija:

1. Algebra razred 9 A.G. Mordkovich. Udžbenik.
2. Algebra 9. razred A.G. Mordkovich. Knjiga zadataka.
3. Algebra 9. razred. Zadaci za učenje i razvoj učenika. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

TIJEKOM NASTAVE

1. Organizacijski trenutak

Postavljanje ciljeva i zadataka lekcije.

2. Provjera domaće zadaće

10.17 (Knjiga zadataka 9. razred A.G. Mordkovich).

a) na = f(x), f(x) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(x) = 0 za x ~ 0,4
4. f(x) >0 pri x > 0,4 ; f(x) < 0 при – 2 < x < 0,4.
5. Funkcija se povećava sa x € [– 2; + ∞)
6. Funkcija je ograničena odozdo.
7. na najam = - 3, na naib ne postoji
8. Funkcija je kontinuirana.

(Jeste li koristili algoritam za istraživanje značajki?) slajd.

2. Provjerimo tablicu koja vam je postavljena na slajdu.

Ispunite tablicu
	Domena	Funkcijske nule	Intervali postojanosti		Koordinate točaka presjeka grafa s Oy
		x = -5, x = 2	h € (–5;3) U U(2;∞)	h € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		h € (–5;3) U U(2;∞)	h € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Ažuriranje znanja

– Funkcije su zadane.
– Navedite domenu definicije za svaku funkciju.
– Usporedite vrijednost svake funkcije za svaki par vrijednosti argumenata: 1 i – 1; 2 i - 2.
– Za koju od zadanih funkcija u domeni definicije vrijede jednakosti f(– x) = f(x), f(– x) = – f(x)? (staviti podatke u tablicu) slajd

		f(1) i f(– 1)	f(2) i f(– 2)	karte	f(– x) = –f(x)	f(– x) = f(x)
1. f(x) =
2. f(x) = x 3
3. f(x) = | x |
4.f(x) = 2x – 3
5. f(x) =	x ≠ 0
6. f(x)=	x > –1		a nije definiran.

4. Novi materijal

- Dok smo radili ovaj posao, dečki, otkrili smo još jedno svojstvo funkcije, vama nepoznato, ali ništa manje važno od ostalih - to je parnost i neparnost funkcije. Zapišite temu lekcije: “Parne i neparne funkcije”, naš zadatak je naučiti kako odrediti parne i neparne funkcije, saznati značaj ovog svojstva u proučavanju funkcija i crtanju.
Dakle, pronađimo definicije u udžbeniku i pročitajmo (str. 110) . slajd

Def. jedan Funkcija na = f (x) definiran na skupu X naziva se čak, ako za bilo koju vrijednost xÊ X u tijeku jednakost f (–x) = f (x). Navedite primjere.

Def. 2 Funkcija y = f(x), definiran na skupu X naziva se neparan, ako za bilo koju vrijednost xÊ X ispunjena je jednakost f(–h)= –f(h). Navedite primjere.

Gdje smo susreli pojmove "par" i "nepar"?
Što mislite, koja će od ovih funkcija biti parna? Zašto? Koje su neparne? Zašto?
Za bilo koju funkciju forme na= x n, gdje n je cijeli broj, može se tvrditi da je funkcija neparna za n je neparan i funkcija je parna za n- čak.
– Prikaz funkcija na= i na = 2x– 3 nije ni par ni nepar, jer jednakosti nisu ispunjene f(– x) = – f(x), f(– x) = f(x)

Proučavanje pitanja je li funkcija parna ili neparna naziva se proučavanje funkcije za paritet. slajd

Definicije 1 i 2 bavile su se vrijednostima funkcije na x i - x, stoga se pretpostavlja da je funkcija također definirana na vrijednosti x, i na - x.

ODA 3. Ako brojčani skup zajedno sa svakim svojim elementom x sadrži suprotni element x, tada skup x naziva se simetričan skup.

Primjeri:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) su simetrični skupovi, a , [–5;4] su nesimetrični.

- Imaju li parne funkcije domenu definiranja - simetrični skup? One čudne?
- Ako D( f) je asimetričan skup, što je onda funkcija?
– Dakle, ako funkcija na = f(x) paran ili neparan, tada je njegova domena definicije D( f) je simetričan skup. Ali je li obrnuto točno, ako je domena funkcije simetričan skup, onda je paran ili neparan?
- Dakle, prisutnost simetričnog skupa domene definicije je nužan uvjet, ali ne i dovoljan.
– Dakle, kako možemo istražiti funkciju za paritet? Pokušajmo napisati algoritam.

slajd

Algoritam za ispitivanje parnosti funkcije

1. Odrediti je li domena funkcije simetrična. Ako nije, tada funkcija nije ni parna ni neparna. Ako da, prijeđite na korak 2 algoritma.

2. Napiši izraz za f(–x).

3. Usporedi f(–x).i f(x):

• ako f(–x).= f(x), tada je funkcija parna;
• ako f(–x).= – f(x), tada je funkcija neparna;
• ako f(–x) ≠ f(x) i f(–x) ≠ –f(x), tada funkcija nije ni parna ni neparna.

Primjeri:

Istražite funkciju za paritet a) na= x 5 +; b) na= ; u) na= .

Riješenje.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrični skup.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funkcija h(x)= x 5 + neparan.

b) y =,

na = f(x), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetričan skup, pa funkcija nije ni parna ni neparna.

u) f(x) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

opcija 2

1. Je li zadani skup simetričan: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Ispitajte funkciju za paritet:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Na sl. iscrtano na = f(x), za sve x, zadovoljavajući uvjet x? 0.
Nacrtajte funkciju na = f(x), ako na = f(x) je parna funkcija.

3. Na sl. iscrtano na = f(x), za sve x koji zadovoljavaju x? 0.
Nacrtajte funkciju na = f(x), ako na = f(x) je neparna funkcija.

Uključena međusobna provjera tobogan.

6. Domaća zadaća: №11.11, 11.21,11.22;

Dokaz geometrijskog značenja svojstva parnosti.

*** (Dodjela opcije USE).

1. Neparna funkcija y \u003d f (x) definirana je na cijelom realnom pravcu. Za bilo koju nenegativnu vrijednost varijable x, vrijednost ove funkcije podudara se s vrijednošću funkcije g( x) = x(x + 1)(x + 3)(x– 7). Odredite vrijednost funkcije h( x) = na x = 3.

7. Sažimanje

Parne i neparne funkcije jedno su od njegovih glavnih svojstava, a parnost zauzima impresivan dio školskog tečaja matematike. Ona uvelike određuje prirodu ponašanja funkcije i uvelike olakšava konstrukciju odgovarajućeg grafa.

Definirajmo parnost funkcije. Općenito govoreći, proučavana funkcija se smatra čak i ako su za suprotne vrijednosti nezavisne varijable (x) koja se nalazi u njezinoj domeni, odgovarajuće vrijednosti y (funkcije) jednake.

Dajmo strožu definiciju. Promotrimo neku funkciju f (x), koja je definirana u domeni D. Bit će parna ako za bilo koju točku x koja se nalazi u domeni definicije:

• -x (točka nasuprot) također leži u danom opsegu,

• f(-x) = f(x).

Iz gornje definicije slijedi uvjet nužan za područje definiranja takve funkcije, naime simetričnost u odnosu na točku O, koja je ishodište koordinata, jer ako je neka točka b sadržana u području definiranja funkcije parna funkcija, tada odgovarajuća točka - b također leži u ovoj domeni. Iz navedenog, dakle, slijedi zaključak: parna funkcija ima oblik koji je simetričan u odnosu na ordinatnu os (Oy).

Kako u praksi odrediti parnost funkcije?

Neka je dana pomoću formule h(x)=11^x+11^(-x). Slijedeći algoritam koji slijedi izravno iz definicije, prije svega proučavamo njezinu domenu definiranja. Očito je definiran za sve vrijednosti argumenta, odnosno prvi uvjet je zadovoljen.

Sljedeći korak je zamjena argumenta (x) njegovom suprotnom vrijednošću (-x).
Dobivamo:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Budući da zbrajanje zadovoljava komutativni (pomakni) zakon, očito je da je h(-x) = h(x) te je navedena funkcionalna ovisnost parna.

Provjerimo parnost funkcije h(x)=11^x-11^(-x). Slijedeći isti algoritam, dobivamo h(-x) = 11^(-x) -11^x. Vađenje minusa, kao rezultat, imamo
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Stoga je h(x) neparan.

Usput, treba podsjetiti da postoje funkcije koje se ne mogu klasificirati prema ovim kriterijima, nazivaju se niti parnim niti neparnim.

Čak funkcije imaju niz zanimljivih svojstava:

• kao rezultat zbrajanja sličnih funkcija dobiva se parna;
• kao rezultat oduzimanja takvih funkcija dobiva se parna;
• čak, također čak;
• kao rezultat množenja dviju takvih funkcija dobiva se parna;
• kao rezultat množenja neparnih i parnih funkcija dobiva se neparna;
• kao rezultat dijeljenja neparnih i parnih funkcija dobiva se neparna;
• derivacija takve funkcije je neparna;
• Ako kvadriramo neparnu funkciju, dobit ćemo parnu.

Parnost funkcije može se koristiti u rješavanju jednadžbi.

Za rješavanje jednadžbe poput g(x) = 0, gdje je lijeva strana jednadžbe parna funkcija, bit će sasvim dovoljno pronaći njezino rješenje za nenegativne vrijednosti varijable. Dobivene korijene jednadžbe potrebno je spojiti sa suprotnim brojevima. Jedan od njih podliježe provjeri.

Isti se uspješno koristi za rješavanje nestandardnih problema s parametrom.

Na primjer, postoji li vrijednost za parametar a koja bi jednadžbu 2x^6-x^4-ax^2=1 učinila trima korijenima?

Ako uzmemo u obzir da varijabla ulazi u jednadžbu u parnim potencijama, onda je jasno da zamjena x sa -x neće promijeniti zadanu jednadžbu. Slijedi da ako je određeni broj njegov korijen, onda je i suprotni broj. Zaključak je očit: korijeni jednadžbe, osim nule, uključeni su u skup njezinih rješenja u "parovima".

Jasno je da sam broj 0 nije, odnosno broj korijena takve jednadžbe može biti samo paran i, naravno, za bilo koju vrijednost parametra ne može imati tri korijena.

Ali broj korijena jednadžbe 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 može biti neparan, i za bilo koju vrijednost parametra. Doista, lako je provjeriti da skup korijena dane jednadžbe sadrži rješenja u "parovima". Provjerimo je li 0 korijen. Kada ga zamijenimo u jednadžbu, dobivamo 2=2. Dakle, osim "uparene" 0 je i korijen, što dokazuje njihov neparan broj.

Istraživanje funkcija.

1) D(y) - Domena definicije: skup svih tih vrijednosti varijable x. pod kojima algebarski izrazi f(x) i g(x) imaju smisla.

Ako je funkcija dana formulom, tada se domena definicije sastoji od svih vrijednosti nezavisne varijable za koje formula ima smisla.

2) Svojstva funkcije: par/nepar, periodičnost:

neparan i čak nazivaju se funkcije čiji su grafovi simetrični s obzirom na promjenu predznaka argumenta.

neparna funkcija- funkcija koja mijenja vrijednost u suprotnu kada se promijeni predznak nezavisne varijable (simetrično oko središta koordinata).

Ravnomjerna funkcija- funkcija koja ne mijenja svoju vrijednost kada se promijeni predznak nezavisne varijable (simetrična u odnosu na os y).

Ni parna ni neparna funkcija (opća funkcija) je funkcija koja nema simetriju. Ova kategorija uključuje funkcije koje ne spadaju u prethodne 2 kategorije.

Pozivaju se funkcije koje ne pripadaju nijednoj od gornjih kategorija ni par ni nepar(ili generičke funkcije).

Čudne funkcije

Neparna potencija gdje je proizvoljan cijeli broj.

Čak i funkcije

Parna potencija gdje je proizvoljan cijeli broj.

Periodična funkcija je funkcija koja ponavlja svoje vrijednosti u nekom pravilnom intervalu argumenta, tj. ne mijenja svoju vrijednost kada se neki fiksni broj različit od nule doda argumentu ( razdoblje funkcije) preko cijele domene definicije.

3) Nule (korijeni) funkcije su točke u kojima ona nestaje.

Određivanje točke presjeka grafa s osi Joj. Da biste to učinili, morate izračunati vrijednost f(0). Pronađite i točke presjeka grafa s osi Vol, zašto pronaći korijene jednadžbe f(x) = 0 (ili provjerite da nema korijena).

Točke u kojima graf siječe os nazivaju se funkcijske nule. Da biste pronašli nule funkcije, morate riješiti jednadžbu, odnosno pronaći te x vrijednosti, za koje funkcija nestaje.

4) Intervali postojanosti znakova, znakovi u njima.

Intervali u kojima funkcija f(x) zadržava svoj predznak.

Interval postojanosti je interval u svakoj točki u kojoj funkcija je pozitivna ili negativna.

IZNAD osi x.

ISPOD osi.

5) Kontinuitet (točke diskontinuiteta, karakter diskontinuiteta, asimptote).

kontinuirana funkcija- funkcija bez "skokova", odnosno ona u kojoj male promjene u argumentu dovode do malih promjena u vrijednosti funkcije.

Prijelomne točke koje se mogu ukloniti

Ako limit funkcije postoji, ali funkcija u ovom trenutku nije definirana ili granica ne odgovara vrijednosti funkcije u ovom trenutku:

,

tada se točka zove prijelomna točka funkcije (u kompleksnoj analizi uklonjiva singularna točka).

Ako funkciju "ispravimo" na mjestu uklonjivog diskontinuiteta i stavimo , tada dobivamo funkciju koja je kontinuirana u ovoj točki. Takva se operacija nad funkcijom naziva proširenje funkcije na kontinuiranu ili proširenje funkcije po kontinuitetu, što opravdava naziv točke, kao bodovi za jednokratnu upotrebu praznina.

Točke diskontinuiteta prve i druge vrste

Ako funkcija ima diskontinuitet u danoj točki (to jest, granica funkcije u danoj točki je odsutna ili se ne podudara s vrijednošću funkcije u danoj točki), tada za numeričke funkcije postoje dvije moguće opcije vezano uz postojanje numeričkih funkcija jednostrane granice:

ako obje jednostrane granice postoje i konačne su, tada se takva točka naziva prijelomna točka prve vrste. Uklonjive točke diskontinuiteta su točke diskontinuiteta prve vrste;

ako barem jedna od jednostranih granica ne postoji ili nije konačne vrijednosti, tada se takva točka naziva prijelomna točka druge vrste.

Asimptota - ravno, koji ima svojstvo da udaljenost od točke krivulje do ove ravno teži nuli dok se točka pomiče duž grane u beskonačnost.

vertikalna

Vertikalna asimptota - granična linija .

U pravilu, pri određivanju vertikalne asimptote, ne traže jednu granicu, već dvije jednostrane (lijevo i desno). To se radi kako bi se odredilo kako se funkcija ponaša dok se približava vertikalnoj asimptoti iz različitih smjerova. Na primjer:

Horizontalno

Horizontalna asimptota - ravno vrsta, podložna postojanju ograničiti

.

kosi

Kosa asimptota - ravno vrsta, podložna postojanju granice

Napomena: Funkcija ne može imati više od dvije kose (horizontalne) asimptote.

Napomena: ako barem jedna od dvije gore navedene granice ne postoji (ili je jednaka), tada kosa asimptota na (ili ) ne postoji.

ako je u točki 2.), tada , a granica se nalazi formulom horizontalne asimptote, .

6) Pronalaženje intervala monotonosti. Odredite intervale monotonosti funkcije f(x) (odnosno intervali povećanja i smanjenja). To se radi ispitivanjem predznaka derivacije f(x). Da biste to učinili, pronađite derivat f(x) i riješite nejednadžbu f(x)0. Na intervalima u kojima je ova nejednakost zadovoljena, funkcija f(x) povećava. Gdje vrijedi obrnuta nejednakost f(x)0, funkcija f(x) smanjuje.

Pronalaženje lokalnog ekstrema. Pronašavši intervale monotonosti, odmah možemo odrediti točke lokalnog ekstremuma u kojima se porast smjenjuje padom, postoje lokalni maksimumi, a gdje se pad smjenjuje porastom, lokalni minimumi. Izračunajte vrijednost funkcije u tim točkama. Ako funkcija ima kritične točke koje nisu lokalne ekstremne točke, tada je korisno izračunati vrijednost funkcije iu tim točkama.

Određivanje najveće i najmanje vrijednosti funkcije y = f(x) na segmentu(nastavak)

1. Pronađite izvod funkcije: f(x). 2. Pronađite točke u kojima je derivacija nula: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Odrediti vlasništvo bodova x 1 ,x 2 , … segment [ a; b]: neka x 1a;b, a x 2a;b .