Koncepti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa glavne su kategorije trigonometrije, grane matematike, i neraskidivo su povezani s definicijom kuta. Ovladavanje ovom matematičkom znanošću zahtijeva pamćenje i razumijevanje formula i teorema, kao i razvijeno prostorno razmišljanje. Zbog toga trigonometrijski proračuni često stvaraju poteškoće školarcima i studentima. Da biste ih prevladali, trebali biste se bolje upoznati s trigonometrijskim funkcijama i formulama.

Pojmovi u trigonometriji

Da biste razumjeli osnovne koncepte trigonometrije, prvo morate razumjeti što su pravokutni trokut i kut u krugu i zašto su svi osnovni trigonometrijski izračuni povezani s njima. Trokut u kojem jedan od kutova iznosi 90 stupnjeva je pravokutan. Povijesno gledano, ovu figuru često su koristili ljudi u arhitekturi, navigaciji, umjetnosti i astronomiji. U skladu s tim, proučavajući i analizirajući svojstva ove figure, ljudi su došli do izračuna odgovarajućih omjera njezinih parametara.

Glavne kategorije povezane s pravokutnim trokutima su hipotenuza i katete. Hipotenuza je stranica trokuta nasuprot pravog kuta. Noge su, odnosno, druge dvije strane. Zbroj kutova bilo kojeg trokuta uvijek je 180 stupnjeva.

Sferna trigonometrija dio je trigonometrije koji se ne uči u školi, ali u primijenjenim znanostima poput astronomije i geodezije znanstvenici ga koriste. Osobitost trokuta u sfernoj trigonometriji je da uvijek ima zbroj kutova veći od 180 stupnjeva.

Kutovi trokuta

U pravokutnom trokutu, sinus kuta je omjer katete nasuprot željenom kutu i hipotenuze trokuta. Prema tome, kosinus je omjer susjedne noge i hipotenuze. Obje ove vrijednosti uvijek imaju veličinu manju od jedan, budući da je hipotenuza uvijek duža od noge.

Tangens kuta je vrijednost koja je jednaka omjeru suprotne strane prema susjednoj strani željenog kuta ili sinusa prema kosinusu. Kotangens je pak omjer susjedne strane željenog kuta u odnosu na suprotnu stranu. Kotangens kuta također se može dobiti dijeljenjem jedan s vrijednošću tangensa.

Jedinični krug

Jedinična kružnica u geometriji je kružnica čiji je radijus jednak jedinici. Takva se kružnica konstruira u kartezijevom koordinatnom sustavu, pri čemu se središte kružnice poklapa s ishodištem, a početni položaj radijus vektora određuje se duž pozitivnog smjera X osi (apscisne osi). Svaka točka na kružnici ima dvije koordinate: XX i YY, odnosno koordinate apscise i ordinate. Odabirom bilo koje točke na kružnici u ravnini XX i s nje spustimo okomicu na apscisnu os, dobivamo pravokutni trokut koji tvori polumjer na odabranu točku (označava se slovom C), okomicu povučenu na X os. (sjecište je označeno slovom G), a segment osi apscisa je između ishodišta koordinata (točka je označena slovom A) i sjecišta G. Rezultirajući trokut ACG je pravokutni trokut upisan u krug, gdje je AG hipotenuza, a AC i GC katete. Kut između polumjera kružnice AC i segmenta apscisne osi s oznakom AG definiran je kao α (alfa). Dakle, cos α = AG/AC. S obzirom da je AC polumjer jedinične kružnice, a jednak je jedinici, ispada da je cos α=AG. Isto tako, sin α=CG.

Osim toga, znajući ove podatke, možete odrediti koordinatu točke C na kružnici, jer je cos α=AG, a sin α=CG, što znači da točka C ima zadane koordinate (cos α;sin α). Znajući da je tangens jednak omjeru sinusa i kosinusa, možemo odrediti da je tan α = y/x, a cot α = x/y. Uzimajući u obzir kutove u negativnom koordinatnom sustavu, možete izračunati da vrijednosti sinusa i kosinusa nekih kutova mogu biti negativne.

Izračuni i osnovne formule

Vrijednosti trigonometrijske funkcije

Razmotrivši bit trigonometrijskih funkcija kroz jediničnu kružnicu, možemo izvesti vrijednosti ovih funkcija za neke kutove. Vrijednosti su navedene u tablici ispod.

Najjednostavniji trigonometrijski identiteti

Jednadžbe u kojima se ispod predznaka trigonometrijske funkcije nalazi nepoznata vrijednost nazivamo trigonometrijskim. Identiteti s vrijednošću sin x = α, k - bilo koji cijeli broj:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, nema rješenja.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identiteti s vrijednošću cos x = a, gdje je k bilo koji cijeli broj:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, nema rješenja.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

Identiteti s vrijednošću tg x = a, gdje je k bilo koji cijeli broj:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arctan α + πk.

Identiteti s vrijednošću ctg x = a, gdje je k bilo koji cijeli broj:

1. krevet x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Formule redukcije

Ova kategorija konstantnih formula označava metode pomoću kojih možete prijeći s trigonometrijskih funkcija oblika na funkcije argumenta, odnosno reducirati sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta bilo koje vrijednosti na odgovarajuće pokazatelje kuta interval od 0 do 90 stupnjeva radi lakšeg izračuna.

Formule za smanjenje funkcija za sinus kuta izgledaju ovako:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Za kosinus kuta:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Korištenje gornjih formula moguće je uz dva pravila. Prvo, ako se kut može prikazati kao vrijednost (π/2 ± a) ili (3π/2 ± a), vrijednost funkcije se mijenja:

• od grijeha do cos;
• od cos do grijeha;
• od tg do ctg;
• od ctg do tg.

Vrijednost funkcije ostaje nepromijenjena ako se kut može prikazati kao (π ± a) ili (2π ± a).

Drugo, predznak smanjene funkcije se ne mijenja: ako je u početku bio pozitivan, takav i ostaje. Isto je i s negativnim funkcijama.

Adicinske formule

Ove formule izražavaju vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa zbroja i razlike dva kuta rotacije kroz njihove trigonometrijske funkcije. Tipično se kutovi označavaju kao α i β.

Formule izgledaju ovako:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Ove formule vrijede za sve kutove α i β.

Formule dvostrukog i trostrukog kuta

Trigonometrijske formule dvostrukog i trostrukog kuta su formule koje povezuju funkcije kutova 2α odnosno 3α s trigonometrijskim funkcijama kuta α. Izvedeno iz adicijskih formula:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Prijelaz sa zbroja na umnožak

Uzimajući u obzir da je 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), pojednostavljujući ovu formulu, dobivamo identitet sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Slično sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Prijelaz s umnoška na zbroj

Ove formule slijede iz identiteta prijelaza zbroja u produkt:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Formule za smanjenje stupnja

U ovim identitetima, kvadratni i kubični potencije sinusa i kosinusa mogu se izraziti u terminima sinusa i kosinusa prve potencije višestrukog kuta:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Univerzalna zamjena

Formule za univerzalnu trigonometrijsku supstituciju izražavaju trigonometrijske funkcije u smislu tangensa polukuta.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), s x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), gdje je x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), gdje je x = π + 2πn;
• cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), s x = π + 2πn.

Posebni slučajevi

Dolje su navedeni posebni slučajevi najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi (k je bilo koji cijeli broj).

Kvocijenti za sinus:

Sin x vrijednost	x vrijednost
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk ili 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk ili -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk ili 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk ili -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk ili 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk ili -2π/3 + 2πk

Kvocijenti za kosinus:

vrijednost cos x	x vrijednost
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Kvocijenti za tangentu:

tg x vrijednost	x vrijednost
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Kvocijenti za kotangens:

ctg x vrijednost	x vrijednost
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Teoremi

Teorem sinusa

Postoje dvije verzije teorema - jednostavna i proširena. Jednostavni sinusni teorem: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. U ovom slučaju a, b, c su stranice trokuta, a α, β, γ suprotni kutovi, redom.

Prošireni sinusni teorem za proizvoljni trokut: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. U ovom identitetu R označava polumjer kružnice u koju je upisan dati trokut.

Kosinusni teorem

Identitet se prikazuje na sljedeći način: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. U formuli su a, b, c stranice trokuta, a α je kut nasuprot stranici a.

Teorem o tangenti

Formula izražava odnos između tangenti dvaju kutova i duljina stranica nasuprot njima. Stranice su označene a, b, c, a odgovarajući nasuprotni kutovi su α, β, γ. Formula teorema o tangenti: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Teorem o kotangensu

Povezuje polumjer kruga upisanog u trokut s duljinama njegovih stranica. Ako su a, b, c stranice trokuta, a A, B, C kutovi nasuprot njima, r je polumjer upisane kružnice, a p poluopseg trokuta, sljedeći identiteti su važeći:

• krevetić A/2 = (p-a)/r;
• krevetić B/2 = (p-b)/r;
• krevetić C/2 = (p-c)/r.

Primjena

Trigonometrija nije samo teorijska znanost povezana s matematičkim formulama. Njegova svojstva, teoreme i pravila koriste u praksi razne grane ljudske djelatnosti - astronomija, zračna i pomorska navigacija, teorija glazbe, geodezija, kemija, akustika, optika, elektronika, arhitektura, ekonomija, strojarstvo, mjerni poslovi, računalna grafika, kartografija, oceanografija i mnogi drugi.

Sinus, kosinus, tangens i kotangens osnovni su pojmovi trigonometrije uz pomoć kojih se mogu matematički izraziti odnosi između kutova i duljina stranica u trokutu, te pronaći tražene veličine preko identiteta, teorema i pravila.

Trigonometrija, kao znanost, nastala je na Starom istoku. Prve trigonometrijske omjere izveli su astronomi kako bi stvorili točan kalendar i orijentaciju prema zvijezdama. Ovi izračuni odnosili su se na sfernu trigonometriju, dok se u školskom tečaju proučava omjer stranica i kutova ravnog trokuta.

Trigonometrija je grana matematike koja se bavi svojstvima trigonometrijskih funkcija i odnosima između stranica i kutova trokuta.

Tijekom procvata kulture i znanosti u 1. tisućljeću nove ere, znanje se proširilo od starog istoka do Grčke. Ali glavna otkrića trigonometrije zasluga su ljudi arapskog kalifata. Konkretno, turkmenistanski znanstvenik al-Marazwi uveo je funkcije kao što su tangens i kotangens i sastavio prve tablice vrijednosti za sinuse, tangente i kotangense. Pojmove sinusa i kosinusa uveli su indijski znanstvenici. Trigonometriji je posvećena velika pažnja u djelima velikih ličnosti antike kao što su Euklid, Arhimed i Eratosten.

Osnovne veličine trigonometrije

Osnovne trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta su sinus, kosinus, tangens i kotangens. Svaki od njih ima svoj graf: sinus, kosinus, tangens i kotangens.

Formule za izračunavanje vrijednosti ovih veličina temelje se na Pitagorinom teoremu. Školarcima je poznatija u formulaciji: "Pitagorine hlače, jednake u svim smjerovima", budući da se dokaz daje na primjeru jednakokračnog pravokutnog trokuta.

Sinus, kosinus i drugi odnosi uspostavljaju odnos između oštrih kutova i stranica bilo kojeg pravokutnog trokuta. Predstavimo formule za izračunavanje ovih veličina za kut A i pratimo odnose između trigonometrijskih funkcija:

Kao što vidite, tg i ctg su inverzne funkcije. Ako zamislimo krak a kao produkt sin A i hipotenuze c, a krak b kao cos A * c, dobit ćemo sljedeće formule za tangens i kotangens:

Trigonometrijski krug

Grafički se odnos između navedenih veličina može prikazati na sljedeći način:

Krug, u ovom slučaju, predstavlja sve moguće vrijednosti kuta α - od 0° do 360°. Kao što se može vidjeti sa slike, svaka funkcija ima negativnu ili pozitivnu vrijednost ovisno o kutu. Na primjer, sin α će imati znak “+” ako α pripada 1. i 2. četvrtini kruga, odnosno nalazi se u rasponu od 0° do 180°. Za α od 180° do 360° (III i IV četvrtina), sin α može biti samo negativna vrijednost.

Pokušajmo sastaviti trigonometrijske tablice za određene kutove i saznati značenje količina.

Vrijednosti α jednake 30°, 45°, 60°, 90°, 180° i tako dalje nazivaju se posebnim slučajevima. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za njih izračunavaju se i prikazuju u obliku posebnih tablica.

Ovi kutovi nisu odabrani slučajno. Oznaka π u tablicama je za radijane. Rad je kut pod kojim duljina kružnog luka odgovara njegovom polumjeru. Ova je vrijednost uvedena kako bi se uspostavila univerzalna ovisnost; pri računanju u radijanima stvarna duljina polumjera u cm nije važna.

Kutovi u tablicama za trigonometrijske funkcije odgovaraju vrijednostima radijana:

Dakle, nije teško pogoditi da je 2π potpuni krug ili 360°.

Svojstva trigonometrijskih funkcija: sinus i kosinus

Da bismo razmotrili i usporedili osnovna svojstva sinusa i kosinusa, tangensa i kotangensa, potrebno je nacrtati njihove funkcije. To se može učiniti u obliku krivulje koja se nalazi u dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu.

Razmotrite usporednu tablicu svojstava za sinus i kosinus:

Sinusni val	Kosinus
y = sinx	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, za x = πk, gdje je k ϵ Z	cos x = 0, za x = π/2 + πk, gdje je k ϵ Z
sin x = 1, za x = π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z	cos x = 1, pri x = 2πk, gdje je k ϵ Z
sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z	cos x = - 1, za x = π + 2πk, gdje je k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, tj. funkcija je neparna	cos (-x) = cos x, tj. funkcija je parna
	funkcija je periodična, najmanji period je 2π
sin x › 0, pri čemu x pripada I i II četvrtini ili od 0° do 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, pri čemu x pripada I i IV četvrtini ili od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, pri čemu x pripada trećoj i četvrtoj četvrtini ili od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, pri čemu x pripada 2. i 3. četvrtini ili od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
raste u intervalu [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	raste na intervalu [-π + 2πk, 2πk]
opada na intervalima [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	smanjuje se u intervalima
izvod (sin x)' = cos x	izvod (cos x)’ = - sin x

Određivanje je li neka funkcija parna ili nije vrlo je jednostavno. Dovoljno je zamisliti trigonometrijski krug sa znakovima trigonometrijskih veličina i mentalno "presaviti" graf u odnosu na OX os. Ako se predznaci poklapaju, funkcija je parna, u suprotnom je neparna.

Uvođenje radijana i navođenje osnovnih svojstava sinusnih i kosinusnih valova omogućuje nam da predstavimo sljedeći obrazac:

Vrlo je lako provjeriti je li formula točna. Na primjer, za x = π/2, sinus je 1, kao i kosinus od x = 0. Provjera se može obaviti pregledom tablica ili praćenjem krivulja funkcija za dane vrijednosti.

Svojstva tangentoida i kotangensoida

Grafovi funkcija tangens i kotangens bitno se razlikuju od funkcija sinusa i kosinusa. Vrijednosti tg i ctg su recipročne vrijednosti jedna drugoj.

1. Y = ten x.
2. Tangens teži vrijednostima y na x = π/2 + πk, ali ih nikada ne doseže.
3. Najmanji pozitivni period tangentoida je π.
4. Tg (- x) = - tg x, tj. funkcija je neparna.
5. Tg x = 0, za x = πk.
6. Funkcija se povećava.
7. Tg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, za x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivacija (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

Razmotrite grafičku sliku kotangentoida ispod u tekstu.

Glavna svojstva kotangentoida:

1. Y = krevetić x.
2. Za razliku od funkcija sinusa i kosinusa, u tangentoidu Y može poprimiti vrijednosti skupa svih realnih brojeva.
3. Kotangentoid teži vrijednostima y pri x = πk, ali ih nikada ne doseže.
4. Najmanji pozitivni period kotangentoida je π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, tj. funkcija je neparna.
6. Ctg x = 0, za x = π/2 + πk.
7. Funkcija se smanjuje.
8. Ctg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, za x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivacija (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Točno

Koncepti sinusa (), kosinusa (), tangensa (), kotangensa () neraskidivo su povezani s konceptom kuta. Kako bismo dobro razumjeli ove, na prvi pogled, složene pojmove (koji kod mnogih školaraca izazivaju stanje užasa) i uvjerili se da „vrag nije tako strašan kako ga slikaju“, pođimo od samog početka i razumjeti pojam kuta.

Pojam kuta: radijan, stupanj

Pogledajmo sliku. Vektor se "okrenuo" u odnosu na točku za određeni iznos. Dakle, mjera ove rotacije u odnosu na početni položaj bit će kutak.

Što još trebate znati o pojmu kuta? Pa, naravno, kutne jedinice!

Kut se, i u geometriji i u trigonometriji, može mjeriti u stupnjevima i radijanima.

Kut (jedan stupanj) je središnji kut u krugu koji obuhvaća kružni luk jednak dijelu kruga. Dakle, cijeli se krug sastoji od “komada” kružnih lukova ili je kut koji opisuje krug jednak.

Odnosno, gornja slika prikazuje kut jednak, odnosno, ovaj kut počiva na kružnom luku veličine opsega.

Kut u radijanima je središnji kut u krugu koji obuhvaća kružni luk čija je duljina jednaka polumjeru kruga. Pa, jeste li shvatili? Ako ne, onda to shvatimo iz crteža.

Dakle, na slici je prikazan kut jednak radijanu, odnosno taj kut se oslanja na kružni luk čija je duljina jednaka polumjeru kruga (duljina je jednaka duljini ili polumjer jednak duljina luka). Dakle, duljina luka izračunava se formulom:

Gdje je središnji kut u radijanima.

Pa, znajući ovo, možete li odgovoriti koliko je radijana sadržano u kutu opisanom krugom? Da, za ovo morate zapamtiti formulu za opseg. Evo ga:

Pa, povežimo sada ove dvije formule i utvrdimo da je kut opisan kružnicom jednak. To jest, korelacijom vrijednosti u stupnjevima i radijanima, dobivamo to. Odnosno,. Kao što vidite, za razliku od "stupnjeva", riječ "radijan" je izostavljena, jer je mjerna jedinica obično jasna iz konteksta.

Koliko radijana ima? tako je!

kužiš Zatim samo naprijed i popravite to:

Imate poteškoća? Onda pogledajte odgovori:

Pravokutni trokut: sinus, kosinus, tangens, kotangens kuta

Dakle, shvatili smo koncept kuta. Ali što je sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta? Hajdemo shvatiti. Da bismo to učinili, pomoći će nam pravokutni trokut.

Kako se zovu stranice pravokutnog trokuta? Tako je, hipotenuza i noge: hipotenuza je stranica koja leži nasuprot pravog kuta (u našem primjeru to je stranica); katete su dvije preostale stranice i (one koje graniče s pravim kutom), a ako uzmemo u obzir krake u odnosu na kut, tada je krak susjedni krak, a krak suprotni. Dakle, odgovorimo sada na pitanje: što su sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta?

Sinus kuta- ovo je omjer suprotne (udaljene) noge prema hipotenuzi.

U našem trokutu.

Kosinus kuta- ovo je omjer susjedne (bliske) noge prema hipotenuzi.

U našem trokutu.

Tangens kuta- ovo je omjer suprotne (daleke) strane prema susjednoj (blizu).

U našem trokutu.

Kotangens kuta- ovo je omjer susjedne (bliske) noge prema suprotnoj (daleko).

U našem trokutu.

Ove definicije su neophodne sjetiti se! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti na što, morate jasno razumjeti da u tangens I kotangens samo katete sjede, a hipotenuza se pojavljuje samo u sinus I kosinus. A onda možete smisliti lanac asocijacija. Na primjer, ovaj:

Kosinus→dodir→dodir→susjedni;

Kotangens→dodir→dodir→susjedan.

Prije svega, trebate zapamtiti da sinus, kosinus, tangens i kotangens kao omjeri stranica trokuta ne ovise o duljinama tih stranica (pod istim kutom). Ne vjeruješ mi? Zatim se uvjerite gledajući sliku:

Razmotrimo, na primjer, kosinus kuta. Po definiciji, iz trokuta: , ali možemo izračunati kosinus kuta iz trokuta: . Vidite, duljine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog kuta je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa ovise isključivo o veličini kuta.

Ako razumijete definicije, samo naprijed i konsolidirajte ih!

Za trokut prikazan na donjoj slici nalazimo.

Pa, jeste li shvatili? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za kut.

Jedinična (trigonometrijska) kružnica

Razumijevajući koncepte stupnjeva i radijana, razmotrili smo krug čiji je polumjer jednak. Takav se krug zove singl. Bit će vrlo koristan pri proučavanju trigonometrije. Stoga, pogledajmo ga malo detaljnije.

Kao što vidite, ovaj krug je konstruiran u Kartezijevom koordinatnom sustavu. Polumjer kružnice je jednak jedinici, dok središte kružnice leži u ishodištu koordinata, početni položaj radijus vektora fiksiran je duž pozitivnog smjera osi (u našem primjeru to je polumjer).

Svaka točka na krugu odgovara dvama brojevima: koordinati osi i koordinati osi. Koji su to koordinatni brojevi? I uopće, kakve oni veze imaju s ovom temom? Da bismo to učinili, moramo se sjetiti razmatranog pravokutnog trokuta. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trokuta. Razmotrimo trokut. Pravokutan je jer je okomit na os.

Čemu je jednak trokut? tako je. Osim toga, znamo da je to polumjer jedinične kružnice, što znači . Zamijenimo ovu vrijednost u našu formulu za kosinus. Evo što se događa:

Čemu je jednak trokut? Pa naravno! Zamijenite vrijednost radijusa u ovu formulu i dobijte:

Dakle, možete li reći koje koordinate ima točka koja pripada krugu? Pa nema šanse? Što ako to shvatite i ako ste samo brojevi? Kojoj koordinati odgovara? Pa, naravno, koordinate! I kojoj koordinati odgovara? Tako je, koordinate! Dakle, točka.

Čemu su onda jednaki i ? Tako je, upotrijebimo odgovarajuće definicije tangensa i kotangensa i dobijemo to, a.

Što ako je kut veći? Na primjer, kao na ovoj slici:

Što se promijenilo u ovom primjeru? Hajdemo shvatiti. Da bismo to učinili, okrenimo se ponovno pravokutnom trokutu. Razmotrite pravokutni trokut: kut (kao susjedni kutu). Koje su vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa za kut? Tako je, držimo se odgovarajućih definicija trigonometrijskih funkcija:

Pa, kao što vidite, vrijednost sinusa kuta još uvijek odgovara koordinati; vrijednost kosinusa kuta - koordinate; i vrijednosti tangensa i kotangensa na odgovarajuće omjere. Dakle, ove relacije vrijede za bilo koju rotaciju radijus vektora.

Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera osi. Do sada smo rotirali ovaj vektor u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali što se događa ako ga rotiramo u smjeru kazaljke na satu? Ništa izvanredno, dobit ćete i kut određene vrijednosti, ali samo negativan. Dakle, kada rotiramo radijus vektor u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, dobivamo pozitivni kutovi, a kada se okreće u smjeru kazaljke na satu - negativan.

Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kruga ili. Je li moguće rotirati radijus vektor na ili na? Pa naravno da možete! U prvom slučaju, dakle, radijus vektor će napraviti jedan puni krug i zaustaviti se na položaju ili.

U drugom slučaju, odnosno radijus vektor će napraviti tri puna kruga i zaustaviti se na poziciji ili.

Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da kutovi koji se razlikuju za ili (gdje je bilo koji cijeli broj) odgovaraju istom položaju radijus vektora.

Donja slika prikazuje kut. Ista slika odgovara kutu itd. Ovaj popis se može nastaviti na neodređeno vrijeme. Svi ovi kutovi mogu se napisati općom formulom ili (gdje je bilo koji cijeli broj)

Sada, znajući definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija i koristeći jediničnu kružnicu, pokušajte odgovoriti koje su vrijednosti:

Evo jediničnog kruga koji će vam pomoći:

Imate poteškoća? Onda idemo shvatiti. Dakle, znamo da:

Odavde određujemo koordinate točaka koje odgovaraju određenim kutnim mjerama. Pa, počnimo redom: kut pri odgovara točki s koordinatama, dakle:

Ne postoji;

Nadalje, pridržavajući se iste logike, otkrivamo da kutovi u odgovaraju točkama s koordinatama, odnosno. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.

odgovori:

Ne postoji

Ne postoji

Ne postoji

Ne postoji

Dakle, možemo napraviti sljedeću tablicu:

Nema potrebe pamtiti sve te vrijednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:

Ali vrijednosti trigonometrijskih funkcija kutova u i, dane u donjoj tablici, mora se zapamtiti:

Nemojte se bojati, sada ćemo vam pokazati jedan primjer prilično jednostavno zapamtiti odgovarajuće vrijednosti:

Za korištenje ove metode bitno je zapamtiti vrijednosti sinusa za sve tri mjere kuta (), kao i vrijednost tangensa kuta. Poznavajući ove vrijednosti, vrlo je jednostavno vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa prenose se u skladu sa strelicama, to jest:

Znajući to, možete vratiti vrijednosti za. Brojnik " " će odgovarati i nazivnik " " će se podudarati. Vrijednosti kotangensa prenose se u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako ovo razumijete i zapamtite dijagram sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti sve vrijednosti iz tablice.

Koordinate točke na kružnici

Je li moguće pronaći točku (njene koordinate) na kružnici, poznavanje koordinata središta kruga, njegovog polumjera i kuta zakreta?

Pa naravno da možete! Izvadimo ga opća formula za pronalaženje koordinata točke.

Na primjer, ovdje je krug ispred nas:

Zadano nam je da je točka središte kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate točke dobivene rotacijom točke za stupnjeve.

Kao što se može vidjeti sa slike, koordinata točke odgovara duljini segmenta. Duljina segmenta odgovara koordinati središta kruga, odnosno jednaka je. Duljina segmenta može se izraziti pomoću definicije kosinusa:

Zatim to imamo za koordinatu točke.

Koristeći istu logiku, nalazimo vrijednost y koordinate za točku. dakle,

Dakle, općenito, koordinate točaka određene su formulama:

Koordinate centra kruga,

polumjer kruga,

Kut rotacije polumjera vektora.

Kao što vidite, za jedinični krug koji razmatramo, ove formule su značajno smanjene, budući da su koordinate središta jednake nuli, a polumjer jednak jedan:

Pa, hajdemo isprobati ove formule vježbajući pronalaženje točaka na kružnici?

1. Odredite koordinate točke na jediničnoj kružnici dobivenoj rotacijom točke na.

2. Odredite koordinate točke na jediničnoj kružnici dobivenoj rotacijom točke na.

3. Odredite koordinate točke na jediničnoj kružnici dobivenoj rotacijom točke na.

4. Točka je središte kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate točke dobivene rotacijom početnog radijus vektora za.

5. Točka je središte kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate točke dobivene rotacijom početnog radijus vektora za.

Imate problema s pronalaženjem koordinata točke na kružnici?

Riješite ovih pet primjera (ili postanite dobri u njihovom rješavanju) i naučit ćete ih pronaći!

1.

To možete primijetiti. Ali znamo što odgovara punom okretaju početne točke. Tako će željena točka biti u istom položaju kao kod okretanja. Znajući to, nalazimo tražene koordinate točke:

2. Jedinični krug je centriran u točki, što znači da možemo koristiti pojednostavljene formule:

To možete primijetiti. Znamo što odgovara dva puna okretaja početne točke. Tako će željena točka biti u istom položaju kao kod okretanja. Znajući to, nalazimo tražene koordinate točke:

Sinus i kosinus su tablične vrijednosti. Prisjećamo se njihovih značenja i dobivamo:

Dakle, željena točka ima koordinate.

3. Jedinični krug je centriran u točki, što znači da možemo koristiti pojednostavljene formule:

To možete primijetiti. Oslikajmo dotični primjer na slici:

Polumjer čini kutove jednake s osi i s osi. Znajući da su vrijednosti kosinusa i sinusa u tablici jednake i utvrdivši da kosinus ovdje ima negativnu vrijednost, a sinus pozitivnu vrijednost, imamo:

Takvi se primjeri detaljnije raspravljaju pri proučavanju formula za smanjenje trigonometrijskih funkcija u temi.

Dakle, željena točka ima koordinate.

4.

Kut rotacije polumjera vektora (po uvjetu)

Da bismo odredili odgovarajuće predznake sinusa i kosinusa, konstruiramo jediničnu kružnicu i kut:

Kao što vidite, vrijednost tj. je pozitivna, a vrijednost tj. negativna. Poznavajući tablične vrijednosti odgovarajućih trigonometrijskih funkcija, dobivamo da je:

Zamijenimo dobivene vrijednosti u našu formulu i pronađimo koordinate:

Dakle, željena točka ima koordinate.

5. Za rješavanje ovog problema koristimo formule u općem obliku, gdje

Koordinate središta kruga (u našem primjeru,

Polumjer kruga (prema uvjetu)

Kut rotacije polumjera vektora (po uvjetu).

Zamijenimo sve vrijednosti u formulu i dobijemo:

i - tablične vrijednosti. Zapamtimo i zamijenimo ih u formulu:

Dakle, željena točka ima koordinate.

SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE

Sinus kuta je omjer suprotnog (daljeg) kraka i hipotenuze.

Kosinus kuta je omjer susjedne (bliske) noge i hipotenuze.

Tangens kuta je omjer suprotne (dalje) strane prema susjednoj (bližoj) strani.

Kotangens kuta je omjer susjedne (bliže) stranice i suprotne (daleke) stranice.

Sinus i kosinus izvorno su nastali iz potrebe za izračunavanjem količina u pravokutnim trokutima. Uočeno je da ako se stupnjevna mjera kutova u pravokutnom trokutu ne mijenja, tada omjer stranica, bez obzira koliko se te stranice mijenjaju u duljini, uvijek ostaje isti.

Tako su uvedeni pojmovi sinusa i kosinusa. Sinus šiljastog kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotne stranice i hipotenuze, a kosinus je omjer stranice uz hipotenuzu.

Teoremi kosinusa i sinusa

Ali kosinusi i sinusi mogu se koristiti za više od pravokutnih trokuta. Da biste pronašli vrijednost tupog ili oštrog kuta ili stranice bilo kojeg trokuta, dovoljno je primijeniti teorem kosinusa i sinusa.

Kosinusni teorem je prilično jednostavan: "Kvadrat stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata druge dvije stranice minus dvostruki umnožak tih stranica i kosinusa kuta između njih."

Postoje dvije interpretacije sinusnog teoreme: mala i proširena. Prema molu: "U trokutu su kutovi proporcionalni suprotnim stranicama." Ovaj se teorem često proširuje zbog svojstva opisane kružnice trokuta: “U trokutu su kutovi proporcionalni suprotnim stranicama, a njihov omjer jednak je promjeru opisane kružnice.”

Derivati

Derivacija je matematički alat koji pokazuje koliko se brzo funkcija mijenja u odnosu na promjenu svog argumenta. Derivacije se koriste u geometriji iu nizu tehničkih disciplina.

Prilikom rješavanja problema morate znati tablične vrijednosti derivata trigonometrijskih funkcija: sinusa i kosinusa. Izvodnica sinusa je kosinus, a kosinus je sinus, ali s predznakom minus.

Primjena u matematici

Sinusi i kosinusi se posebno često koriste u rješavanju pravokutnih trokuta i problema povezanih s njima.

Pogodnost sinusa i kosinusa također se odražava u tehnologiji. Kutove i stranice bilo je lako procijeniti pomoću kosinusnog i sinusnog teorema, rastavljajući složene oblike i objekte u "jednostavne" trokute. Inženjeri koji se često bave izračunima omjera stranica i stupnjevanih mjera utrošili su mnogo vremena i truda izračunavajući kosinuse i sinuse netabularnih kutova.

Tada su u pomoć priskočile Bradisove tablice koje su sadržavale tisuće vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangenata različitih kutova. U sovjetsko doba neki su učitelji tjerali svoje učenike da nauče napamet stranice Bradisovih tablica.

Radijan je kutna vrijednost luka čija je duljina jednaka polumjeru ili 57,295779513° stupnjeva.

Stupanj (u geometriji) je 1/360 dio kruga ili 1/90 dio pravog kuta.

π = 3,141592653589793238462… (približna vrijednost Pi).

Tablica kosinusa za kutove: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Kut x (u stupnjevima)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Kut x (u radijanima)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 x π
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija

Bilješka. Ova tablica vrijednosti trigonometrijske funkcije koristi znak √ za predstavljanje kvadratnog korijena. Za označavanje razlomka upotrijebite simbol "/".

Vidi također korisni materijali:

Za određivanje vrijednosti trigonometrijske funkcije, pronađite ga na sjecištu crte koja označava trigonometrijsku funkciju. Na primjer, sinus 30 stupnjeva - tražimo stupac s naslovom sin (sinus) i pronalazimo sjecište ovog stupca tablice s retkom "30 stupnjeva", na njihovom sjecištu čitamo rezultat - jednu polovicu. Slično nalazimo kosinus 60 stupnjevi, sinus 60 stupnjeva (još jednom, na sjecištu stupca sin i crte od 60 stupnjeva nalazimo vrijednost sin 60 = √3/2), itd. Vrijednosti sinusa, kosinusa i tangensa drugih "popularnih" kutova nalaze se na isti način.

Sinus pi, kosinus pi, tangens pi i drugi kutovi u radijanima

Donja tablica kosinusa, sinusa i tangensa također je prikladna za pronalaženje vrijednosti trigonometrijskih funkcija čiji je argument dano u radijanima. Da biste to učinili, koristite drugi stupac vrijednosti kuta. Zahvaljujući tome, možete pretvoriti vrijednost popularnih kutova iz stupnjeva u radijane. Na primjer, pronađimo kut od 60 stupnjeva u prvom retku i ispod njega pročitaj njegovu vrijednost u radijanima. 60 stupnjeva jednako je π/3 radijana.

Broj pi jednoznačno izražava ovisnost opsega o stupnjskoj mjeri kuta. Dakle, pi radijani su jednaki 180 stupnjeva.

Bilo koji broj izražen u pi (radijanima) može se lako pretvoriti u stupnjeve zamjenom pi (π) sa 180.

Primjeri:
1. Sinus pi.
sin π = sin 180 = 0
dakle, sinus od pi je isti kao sinus od 180 stupnjeva i jednak je nuli.

2. Kosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
prema tome, kosinus od pi je isti kao kosinus od 180 stupnjeva i jednak je minus jedan.

3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
prema tome, tangenta pi je ista kao tangenta od 180 stupnjeva i jednaka je nuli.

Tablica vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa za kutove 0 - 360 stupnjeva (uobičajene vrijednosti)

vrijednost kuta α (stupnjevi)	vrijednost kuta α u radijanima (putem pi)	grijeh (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangens)	ctg (kotangens)	sek (sekant)	cosec (kosekant)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Ako je u tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija umjesto vrijednosti funkcije navedena crtica (tangens (tg) 90 stupnjeva, kotangens (ctg) 180 stupnjeva), tada za danu vrijednost mjere stupnja kuta funkcija nema određenu vrijednost. Ako nema crtice, ćelija je prazna, što znači da još nismo unijeli traženu vrijednost. Zanima nas po kakvim upitima nam se korisnici javljaju i tablicu dopunjujemo novim vrijednostima, unatoč činjenici da su trenutni podaci o vrijednostima kosinusa, sinusa i tangensa najčešćih vrijednosti kutova sasvim dovoljni za rješavanje većine problema.

Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija sin, cos, tg za najpopularnije kutove
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stupnjeva
(numeričke vrijednosti "prema Bradisovim tablicama")

vrijednost kuta α (stupnjevi)	vrijednost kuta α u radijanima	grijeh (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangenta)	ctg (kotangens)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18