Što znači izračunati integral. Uredi] Procjena točnosti izračuna određenog integrala

određeni integral iz kontinuirana funkcija f(x) na konačnom intervalu [ a, b] (gdje je ) prirast nekih njegovih antiderivata na ovom segmentu. (Općenito, razumijevanje će biti znatno lakše ako ponovite temu o neodređenom integralu) U ovom slučaju, zapis

Kao što se može vidjeti na grafikonima ispod (inkrement antiderivacijske funkcije označen je sa ), Određeni integral može biti pozitivan ili negativan broj (Izračunava se kao razlika između vrijednosti antiderivacije u gornjoj granici i njegove vrijednosti u donjoj granici, tj. F(b) - F(a)).

Brojke a i b nazivaju se donja i gornja granica integracije, a interval [ a, b] je segment integracije.

Dakle, ako F(x) je neka antiderivativna funkcija za f(x), tada je prema definiciji

(38)

Jednakost (38) se zove Newton-Leibnizova formula . Razlika F(b) – F(a) se ukratko piše ovako:

Stoga će Newton-Leibnizova formula biti zapisana na sljedeći način:

(39)

Dokažimo da određeni integral ne ovisi o tome koja se antiderivacija integranda uzima pri njegovom izračunavanju. Neka F(x) i F( x) su proizvoljne antiderivacije integranda. Budući da se radi o antiderivacijama iste funkcije, razlikuju se konstantnim članom: F( x) = F(x) + C. Zato

Dakle, utvrđuje se da je na segmentu [ a, b] inkrementi svih antiderivacija funkcije f(x) odgovarati.

Dakle, za izračunavanje određenog integrala potrebno je pronaći bilo koju antiderivaciju integranda, tj. prvo se mora naći neodređeni integral. Konstantno IZ isključeni iz naknadnih izračuna. Zatim se primjenjuje Newton-Leibnizova formula: vrijednost gornje granice zamjenjuje se u antiderivacijsku funkciju b , dalje - vrijednost donje granice a i izračunajte razliku F(b) - F(a) . Rezultirajući broj bit će određeni integral..

Na a = b prihvaćen po definiciji

Primjer 1

Riješenje. Nađimo prvo neodređeni integral:

Primjena Newton-Leibnizove formule na antiderivaciju

(na IZ= 0), dobivamo

Međutim, pri računanju određenog integrala bolje je ne pronaći antiderivaciju zasebno, već integral odmah napisati u obliku (39).

Primjer 2 Izračunajte određeni integral

Riješenje. Pomoću formule

Svojstva određenog integrala

Teorem 2.Vrijednost određenog integrala ne ovisi o oznaci integracijske varijable, tj.

(40)

Neka F(x) je antiderivat za f(x). Za f(t) antiderivat je ista funkcija F(t), u kojem je nezavisna varijabla drugačije označena. Posljedično,

Na temelju formule (39) posljednja jednakost znači jednakost integrala

Teorem 3.Konstantni faktor se može uzeti iz predznaka određenog integrala, tj.

(41)

Teorem 4.Određeni integral iz algebarskog zbroja konačan broj funkcije je algebarski zbroj određeni integrali ovih funkcija, tj.

(42)

Teorem 5.Ako je segment integracije podijeljen na dijelove, tada je određeni integral po cijelom segmentu jednak je zbroju određenih integrala po svojim dijelovima, tj. ako

(43)

Teorem 6.Prilikom preuređivanja granica integracije apsolutna vrijednost određenog integrala se ne mijenja, već samo njegov predznak, tj.

(44)

Teorem 7(teorem o srednjoj vrijednosti). Određeni integral jednak je proizvodu duljina segmenta integracije prema vrijednosti integranda u nekoj točki unutar njega, tj.

(45)

Teorem 8.Ako je gornja granica integracije veća od donje, a integrand je nenegativan (pozitivan), tada je i definitivni integral nenegativan (pozitivan), tj. ako

Teorem 9.Ako je gornja granica integracije veća od donje granice, a funkcije i su neprekidne, tada je nejednakost

može se integrirati pojam po pojam, tj.

(46)

Svojstva određenog integrala omogućuju nam da pojednostavimo izravan izračun integrala.

Primjer 5 Izračunajte određeni integral

Koristeći teoreme 4 i 3, te pri pronalaženju antiderivacija - tabličnih integrala (7) i (6), dobivamo

Određeni integral s promjenjivom gornjom granicom

Neka f(x) kontinuirana je na intervalu [ a, b] funkcija, i F(x) je njegov prototip. Promotrimo određeni integral

(47)

i kroz t integracijska varijabla je označena kako je ne bi zamijenili s gornjom granicom. Kad se promijeni x mijenja se i određeni integral (47), tj. to je funkcija gornje granice integracije x, što označavamo sa F(x), tj.

(48)

Dokažimo da funkcija F(x) je antiderivat za f(x) = f(t). Doista, razlikovanje F(x), dobivamo

jer F(x) je antiderivat za f(x), a F(a) je konstantna vrijednost.

Funkcija F(x) - jedan od beskonačan broj antiderivati ​​za f(x), naime onaj koji x = a ide na nulu. Ovu tvrdnju dobivamo ako u jednakost (48) stavimo x = a i upotrijebite teorem 1 iz prethodnog odjeljka.

Izračunavanje određenih integrala metodom integracije po dijelovima i metodom promjene varijable

gdje je, po definiciji, F(x) je antiderivat za f(x). Ako u integrandu izvršimo promjenu varijable

tada u skladu s formulom (16) možemo pisati

U ovom izrazu

antiderivativna funkcija za

Dapače, njegova izvedenica, prema pravilo diferenciranja složene funkcije, jednako je

Neka su α i β vrijednosti varijable t, za koju je funkcija

uzima odgovarajuće vrijednosti a i b, tj.

Ali, prema Newton-Leibnizovoj formuli, razlika F(b) – F(a) tamo je

Trapezoidna metoda

Glavni članak:Trapezoidna metoda

Ako se funkcija na svakom od parcijalnih odsječaka aproksimira ravnom linijom koja prolazi kroz konačne vrijednosti, tada se dobiva metoda trapeza.

Površina trapeza na svakom segmentu:

Pogreška aproksimacije na svakom segmentu:

gdje

Puna formula trapeza u slučaju podjele cijelog intervala integracije na segmente iste dužine :

gdje

Pogreška trapezne formule:

gdje

Simpsonova metoda.

Integrand f(x) zamjenjuje se interpolacijskim polinomom drugog stupnja P(x)– parabola koja prolazi kroz tri čvora, na primjer, kao što je prikazano na slici ((1) je funkcija, (2) je polinom).

Razmotrite dva koraka integracije ( h= konst = x i+1 – x i), odnosno tri čvora x0, x1, x2, kroz koju povlačimo parabolu koristeći Newtonovu jednadžbu:

Neka z = x - x0,
zatim

Sada pomoću dobivene relacije izračunavamo integral po ovom intervalu:

.
Za jednolika rešetka i paran broj koraka n Simpsonova formula glasi:

Ovdje , a pod pretpostavkom da je četvrta derivacija integranda kontinuirana.

[Uredi] Povećanje točnosti

Aproksimacija funkcije jednim polinomom na cijelom intervalu integracije u pravilu dovodi do velika pogreška u procjeni vrijednosti integrala.

Kako bi se smanjila pogreška, segment integracije je podijeljen na dijelove i primijenjen numerička metoda procijeniti integral na svakom od njih.

Kako broj particija teži beskonačnosti, procjena integrala teži svojoj prava vrijednost za analitičke funkcije za bilo koju numeričku metodu.

Navedene metode omogućuju jednostavnu proceduru prepolovljenja koraka, dok je u svakom koraku potrebno izračunati vrijednosti funkcije samo na novododanim čvorovima. Za procjenu pogreške izračuna koristi se Rungeovo pravilo.

Primjena Rungeova pravila

uredi] Procjena točnosti izračuna određenog integrala

Integral se računa pomoću odabrane formule (pravokutnici, trapezi, Simpsonove parabole) s brojem koraka jednakim n, a zatim s brojem koraka jednakim 2n. Pogreška u izračunavanju vrijednosti integrala s brojem koraka jednakim 2n određena je Rungeovom formulom:
, za formule pravokutnika i trapeza, te za Simpsonovu formulu.
Dakle, izračunava se integral za uzastopne vrijednosti broj koraka, gdje je n 0 početni broj koraka. Proces izračuna završava kada sljedeća vrijednost N zadovolji uvjet , gdje je ε navedena točnost.

Značajke ponašanja greške.

Čini se zašto analizirati različite metode integracije ako visoku točnost možemo postići jednostavnim smanjenjem vrijednosti koraka integracije. Međutim, razmotrite grafikon ponašanja aposteriorne pogreške R rezultati numeričkog izračuna ovisno o i od broja n intervalne particije (to jest, na koraku . U odjeljku (1) pogreška se smanjuje zbog smanjenja u koraku h. Ali u odjeljku (2) počinje dominirati računska pogreška, akumulirajući se kao rezultat brojnih aritmetičke operacije. Dakle, svaka metoda ima svoju Rmin, što ovisi o mnogim čimbenicima, ali prvenstveno o apriornoj vrijednosti pogreške metode R.

Rombergova formula rafiniranja.

Rombergova metoda sastoji se u uzastopnom usavršavanju vrijednosti integrala s višestrukim povećanjem broja particija. Kao osnova može se uzeti formula trapeza s jednakim korakom h.
Integral označimo brojem particija n= 1 kao .
Smanjujući korak za pola, dobivamo .
Ako uzastopno smanjimo korak za 2n puta, dobit ćemo odnos ponavljanja za izračun.

Teorema. Ako funkcija f(x) integrabilan na intervalu [ a, b], gdje a< b , i za sve x ∈ nejednakost

Pomoću nejednakosti iz teorema može se ocijeniti određeni integral, tj. označavaju granice između kojih je zatvoreno njegovo značenje. Ove nejednakosti izražavaju procjenu za određeni integral.

Teorem [Teorem srednje vrijednosti]. Ako funkcija f(x) integrabilan na intervalu [ a, b] i za sve x ∈ nejednakosti m ≤ f(x) ≤ M, onda

gdje m ≤ μ ≤ M.

Komentar. U slučaju kada funkcija f(x) kontinuirano na intervalu [ a, b], jednakost iz teorema ima oblik

gdje c ∈. Broj μ=f(c) definiran ovom formulom naziva se prosjek funkcije f(x) na segmentu [ a, b]. Ova jednakost ima sljedeće geometrijski smisao : kvadrat krivolinijski trapez omeđen neprekidnom linijom y=f(x) (f(x) ≤ 0) jednaka je površini pravokutnika s istom bazom i visinom jednakom ordinati neke točke na ovoj liniji.

Postojanje antiderivacije za kontinuiranu funkciju

Prvo uvodimo pojam integrala s varijablom Gornja granica.

Neka funkcija f(x) integrabilan na intervalu [ a, b]. Onda bez obzira na broj x od [ a, b], funkcija f(x) integrabilan na intervalu [ a, b]. Dakle, na segmentu [ a, b] definirana funkcija

koji se naziva integral s promjenjivom gornjom granicom.

Teorema. Ako je integrand kontinuiran na intervalu [ a, b], tada derivacija određenog integrala s promjenjivom gornjom granicom postoji i jednaka je vrijednosti integranda za tu granicu, tj.

Posljedica. Definitivni integral s promjenjivom gornjom granicom jedna je od antiderivacija za kontinuirani integrand. Drugim riječima, za bilo koju funkciju kontinuiranu na intervalu postoji antiderivacija.

Napomena 1. Imajte na umu da ako funkcija f(x) integrabilan na intervalu [ a, b], tada je integral s promjenjivom gornjom granicom kontinuirana funkcija gornje granice na tom intervalu. Doista, iz St. 2 i teorema srednje vrijednosti imamo

Napomena 2. Integral s promjenjivom gornjom granicom integracije koristi se u definiranju mnogih novih funkcija, npr. . Ove funkcije nisu elementarne; kao što je već navedeno, antiderivacije navedenih integranata ne mogu se izraziti u terminima elementarnih funkcija.

Osnovna pravila integracije

Newton-Leibnizova formula

Od bilo koje dvije antiderivacijske funkcije f(x) razlikuju za konstantu, tada se, prema prethodnom teoremu, može tvrditi da svaka antiderivacija Φ(x) kontinuirano na segmentu [ a, b] funkcije f(x) ima oblik

gdje C je neka konstanta.

Stavljanje u ovu formulu x=a i x=b, koristeći St.1 određene integrale, nalazimo

Iz ovih jednakosti slijedi relacija

koji se zove Newton-Leibnizova formula.

Tako smo dokazali sljedeću teoremu:

Teorema. Određeni integral kontinuirane funkcije jednak je razlici između vrijednosti bilo koje od njezinih antiderivacija za gornju i donju granicu integracije.

Newton-Leibnizova formula može se prepisati kao

Promjena varijable u određenom integralu

Teorema. Ako a

• funkcija f(x) kontinuirano na intervalu [ a, b];
• segment [ a, b] je skup vrijednosti funkcije φ(t) definiran na intervalu α ≤ t ≤ β i ima kontinuiranu derivaciju na sebi;
• φ(α)=a, φ(β)=b

onda je formula valjana

Formula za integraciju po dijelovima

Teorema. Ako funkcije u=u(x), v=v(x) imaju kontinuirane derivacije na intervalu [ a, b], zatim formula

Srednji teorem. Ako je f(x) kontinuirana na segmentu , tada postoji takva točka da je . O tome govori doc. Funkcija koja je kontinuirana na segmentu uzima svoje najmanje m i najveće M vrijednosti na ovom segmentu. Zatim . Broj je između minimalne i maksimalne vrijednosti funkcije na intervalu. Jedno od svojstava funkcije kontinuirane na intervalu je da ta funkcija uzima bilo koju vrijednost između m i M. Dakle, postoji točka takva da . Ovo svojstvo ima jednostavnu geometrijsku interpretaciju: ako je kontinuirano na segmentu , tada postoji takva točka da je površina krivocrtnog trapeza ABCD jednaka površini pravokutnika s bazom i visinom f(c) ( istaknuto na slici).

7. Integral s promjenjivom gornjom granicom. Njegov kontinuitet i diferencijabilnost.

Promotrimo funkciju f (x) koja je Riemann-integrabilna na intervalu . Kako je integrabilan na , onda je integrabilan i na ∀x ∈ . Tada za svaki x ∈ izraz ima smisla i za svaki x je jednak nekom broju.

Stoga je svakom x ∈ pridružen neki broj ,

oni. funkcija je dana:

(3.1)

Definicija:

Funkcija F (x) dana u (3.1), kao i sam izraz, nazivaju se

integral s promjenjivom gornjom granicom. Definiran je na cijelom segmentu

integrabilnost funkcije f (x).

Uvjet: f (t) je kontinuirana na , a funkcija F (x) dana je formulom (3.1).

Tvrdnja: Funkcija F(x) je diferencijabilna na , i F (x) = f (x).

(Na a je desno diferencijabilan, a na b je lijevo diferencijabilan.)

Dokaz:

Kako je za funkciju jedne varijable F (x) diferencijabilnost ekvivalentna postojanju derivacije u svim točkama (u točki a desno, a u točki b lijevo), tada ćemo derivaciju F (x) naći . Razmotrite razliku

Na ovaj način,

štoviše, točka ξ leži na segmentu (ili ako je ∆x< 0).

Prisjetimo se sada da je derivacija funkcije F(x) u danoj točki x ∈ jednaka limitu relacije razlike: . Iz jednakosti imamo:

,

Stavljajući sada ∆x → 0, na lijevoj strani ove jednakosti dobivamo F’(x), a na desnoj

Prisjetimo se definicije kontinuiteta funkcije f (t) u točki x:

Neka je x1 jednak ξ u ovoj definiciji. Budući da je ξ ∈ (ξ ∈ ) i

∆x → 0, tada je |x − ξ| → 0, a po definiciji kontinuiteta, f (ξ) → f (x). Stoga imamo:

F'(x) = f(x).

Posljedica:

Uvjet: f (x) je kontinuiran na .

Tvrdnja: Svaka antiderivacija funkcije f (x) ima oblik

gdje je C ∈ R neka konstanta.

Dokaz. Prema teoremu 3.1, funkcija je prototip za f(x). Pretpostavimo da je G(x) drugi antideriv f (x). Tada je G'(x) = f(x) i za funkciju F(x) − G(x) vrijedi: (F (x) + G(x))' = F'(x)−G'(x) = f (x)−f(x) ≡ 0. Dakle, derivacija funkcije F (x)−G (x)

jednaka nuli, dakle, ova funkcija je konstanta: F(x) − G(x) = const.

8. Newton-Leibnizova formula za određeni integral.

Teorema:

Stanje: f(t) je neprekidan na , a F(x) je njegova bilo koja antiderivacija.

Izjava:

Dokaz: Razmotrimo neku antiderivaciju F (x) funkcije f (x). Prema korolariji iz teorema “O diferencijabilnosti integrala s promjenjivom gornjom granicom” (vidi prethodno pitanje) ima oblik . Odavde

=> c= F(a) , i

Pomaknemo F(a) u posljednjoj jednakosti na lijevu stranu, ponovno označavajući integracijska varijabla ponovno kroz x i dobiti Newton-Leibnizovu formulu:

Primijenjena vrijednost teoremi o srednjoj vrijednosti sastoji se u mogućnosti dobivanja kvalitativne procjene vrijednosti određenog integrala bez njegovog izračunavanja. Mi formuliramo : ako je funkcija kontinuirana na intervalu , tada unutar tog intervala postoji takva točka da .

Ova je formula sasvim prikladna za grubu procjenu integrala složene ili glomazne funkcije. Jedini trenutak koji čini formulu približan , je nužnost samoizbor bodova . Ako krenemo najjednostavnijim putem - sredinom integracijskog intervala (kao što je predloženo u brojnim udžbenicima), tada pogreška može biti prilično značajna. Za više točan rezultat Preporuči izvršite izračun sljedećim redoslijedom:

Konstruirati graf funkcije na intervalu ;

Nacrtajte gornju granicu pravokutnika na način da odsječeni dijelovi grafa funkcije budu približno jednake površine (upravo tako je prikazano na gornjoj slici - dva zakrivljena trokuta su gotovo ista);

Odrediti sa slike ;

Koristite teorem srednje vrijednosti.

Kao primjer, izračunajmo jednostavan integral:

Točna vrijednost ;

Za sredinu intervala dobit ćemo i približnu vrijednost, tj. očito netočan rezultat;

Nakon što smo izgradili grafikon s crtanjem gornje strane pravokutnika u skladu s preporukama, dobivamo , odakle i približnu vrijednost . Sasvim zadovoljavajući rezultat, greška je 0,75%.

Trapezoidna formula

Točnost izračuna pomoću teorema o srednjoj vrijednosti bitno ovisi, kao što je pokazano, o vizualna svrha točkasti grafikon. Doista, odabirom, u istom primjeru, bodova ili , možete dobiti druge vrijednosti integrala, a pogreška se može povećati. Subjektivni čimbenici, mjerilo grafikona i kvaliteta crteža uvelike utječu na rezultat. to neprihvatljivo u kritičnim proračunima, tako da se teorem srednje vrijednosti odnosi samo na brze kvaliteta integralne procjene.

U ovom odjeljku razmotrit ćemo jednu od najpopularnijih metoda približne integracije - formula trapeza . Osnovna ideja konstruiranja ove formule proizlazi iz činjenice da se krivulja može približno zamijeniti isprekidanom linijom, kao što je prikazano na slici.

Pretpostavimo, za određenost (au skladu sa slikom), da je interval integracije podijeljen na jednak (ovo nije obavezno, ali vrlo zgodno) dijelova. Duljina svakog od tih dijelova izračunava se formulom i naziva se korak . Apscise točaka razdvajanja, ako su navedene, određene su formulom , gdje je . Lako je izračunati ordinate iz poznatih apscisa. Na ovaj način,

Ovo je formula trapeza za slučaj. Imajte na umu da je prvi član u zagradama poluzbroj početne i konačne ordinate, kojemu se dodaju sve međuordinate. Za proizvoljan broj particija intervala integracije opća formula trapez izgleda kao: kvadraturne formule: pravokutnici, Simpson, Gauss, itd. Izgrađeni su na istoj ideji predstavljanja krivolinijskog trapeza elementarnim područjima raznih oblika, dakle, nakon svladavanja formule trapeza, neće biti teško razumjeti slične formule. Mnoge formule nisu tako jednostavne kao formula trapeza, ali vam omogućuju da dobijete rezultat visoke točnosti s malim brojem particija.

Uz pomoć formule trapeza (ili sličnih) moguće je izračunati, s točnošću koja se u praksi zahtijeva, kako "nepreuzimajuće" integrale tako i integrale složenih ili glomaznih funkcija.