Što znači standardni oblik monoma. Definicija monoma, povezani pojmovi, primjeri

Pojam monoma

Definicija monoma: monom je algebarski izraz, koji koristi samo množenje.

Standardni oblik monoma

Što standardni prikaz monom? Monom je napisan u standardnom obliku, ako ima numerički faktor na prvom mjestu i taj faktor, naziva se koeficijent monoma, postoji samo jedan u monomu, slova monoma su poredana abecednim redom i svako se slovo pojavljuje samo jednom.

Primjer monoma u standardnom obliku:

ovdje je na prvom mjestu broj, koeficijent monoma, a taj broj je samo jedan u našem monomu, svako slovo se pojavljuje samo jednom i slova su poredana abecednim redom, u ovaj slučaj je latinica.

Još jedan primjer monoma u standardnom obliku:

svako slovo se pojavljuje samo jednom, poredana su po latinskom abecednom redu, ali gdje je koeficijent monoma, tj. faktor broja koji bi trebao biti prvi? On je ovdje jednako jedan: 1adm.

Može li monomni koeficijent biti negativan? Da, možda, primjer: -5a.

Može li monomni koeficijent biti razlomački? Da, možda, primjer: 5.2a.

Ako se monom sastoji samo od broja, tj. nema slova, kako ga dovesti u standardni obrazac? Svaki monom koji je broj već je u standardnom obliku, na primjer: broj 5 je monom standardnog oblika.

Svođenje monoma na standardni oblik

Kako monom dovesti u standardni oblik? Razmotrite primjere.

Neka je dan monom 2a4b, trebamo ga dovesti u standardni oblik. Pomnožimo dva njegova numerička faktora i dobijemo 8ab. Sada je monom napisan u standardnom obliku, tj. ima samo jedan numerički faktor, napisan na prvom mjestu, svako slovo u monomu pojavljuje se samo jednom, a ta slova su poredana abecednim redom. Dakle, 2a4b = 8ab.

Zadano je: monom 2a4a, dovedite monom u standardni oblik. Pomnožimo brojeve 2 i 4, umnožak aa zamijenimo drugom potencijom a 2 . Dobijamo: 8a 2 . Ovo je standardni oblik ovog monoma. Dakle, 2a4a = 8a 2 .

Slični monomi

Što su slični monomi? Ako se monomi razlikuju samo po koeficijentima ili su jednaki, tada se nazivaju sličnim.

Primjer sličnih monoma: 5a i 2a. Ti se monomi razlikuju samo po koeficijentima, što znači da su slični.

Jesu li monomi 5abc i 10cba slični? Drugi monom dovodimo u standardni oblik, dobivamo 10abc. Sada je jasno da se monomi 5abc i 10abc razlikuju samo po koeficijentima, što znači da su slični.

Zbrajanje monoma

Koliki je zbroj monoma? Možemo samo zbrajati slične monome. Razmotrimo primjer zbrajanja monoma. Koliki je zbroj monoma 5a i 2a? Zbroj tih monoma bit će njima sličan monom čiji je koeficijent jednak je zbroju koeficijenti članova. Dakle, zbroj monoma je 5a + 2a = 7a.

Još primjera zbrajanja monoma:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Opet. Možete zbrajati samo slične monome; zbrajanje se svodi na zbrajanje njihovih koeficijenata.

Oduzimanje monoma

Koja je razlika između monoma? Možemo oduzeti samo slične monome. Razmotrimo primjer oduzimanja monoma. Koja je razlika između monoma 5a i 2a? Razlika tih monoma bit će njima sličan monom čiji je koeficijent jednak razlici koeficijenata tih monoma. Dakle, razlika monoma je jednaka 5a - 2a = 3a.

Još primjera oduzimanja monoma:

10a2 - 3a2 = 7a2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Množenje monoma

Što je umnožak monoma? Razmotrite primjer:

oni. umnožak monoma jednak je monomu čiji su faktori sastavljeni od faktora izvornih monoma.

Još jedan primjer:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Kako je došlo do ovog rezultata? Svaki faktor ima "a" u stupnju: u prvom - "a" u stupnju 2, au drugom - "a" u stupnju 5. To znači da će proizvod imati "a" u stupnju 7, jer se pri množenju istih slova njihovi eksponenti zbrajaju:

A 2 * a 5 = a 7 .

Isto vrijedi i za faktor "b".

Koeficijent prvog faktora jednak je dva, a drugog - jedan, pa kao rezultat dobivamo 2 * 1 = 2.

Tako je izračunat rezultat 2a 7 b 12.

Iz ovih primjera vidljivo je da se koeficijenti monoma množe, a ista slova zamjenjuju zbrojevi njihovih stupnjeva u umnošku.

Monomi su umnošci brojeva, varijabli i njihovih potencija. Brojevi, varijable i njihovi stupnjevi također se smatraju monomima. Na primjer: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Monom 5aa2b2b može se svesti na oblik 20a^2b^2. Ovaj oblik se naziva standardni oblik monoma. To jest, standardni oblik monoma je umnožak koeficijenta (koji je prvi) i potencije varijable. Koeficijenti 1 i -1 nisu upisani, ali zadržavaju minus od -1. Monom i njegov standardni oblik

Izrazi 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x su umnošci brojeva, varijabli i njihovih potencija. Takvi izrazi nazivaju se monomi. Monomi se također smatraju brojevima, varijablama i njihovim stupnjevima.

Na primjer, izrazi - 8, 35, y i y2 su monomi.

Standardni oblik monoma je monom u obliku umnoška prije svega numeričkog faktora i potencija raznih varijabli. Svaki monom može se dovesti u standardni oblik množenjem svih varijabli i brojeva koji su u njemu uključeni. Evo primjera dovođenja monoma u standardni oblik:

4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5

Numerički faktor monoma napisan u standardnom obliku naziva se koeficijent monoma. Na primjer, koeficijent monoma -7x2y2 je -7. Koeficijenti monoma x3 i -xy smatraju se jednakima 1 i -1, budući da je x3 = 1x3 i -xy = -1xy

Stupanj monoma je zbroj eksponenata svih varijabli koje su u njega uključene. Ako monom ne sadrži varijable, to jest, on je broj, tada se njegov stupanj smatra jednakim nuli.

Na primjer, stupanj monoma 8x3yz2 je 6, monoma 6x je 1, a monoma -10 je 0.

Množenje monoma. Dizanje monoma na potenciju

Kod množenja monoma i dizanja monoma na potenciju koristi se pravilo za množenje potencija s istom bazom i pravilo za dizanje potencije na potenciju. U tom slučaju dobiva se monom koji se obično prikazuje u standardnom obliku.

Na primjer

4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3

((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6

U ovoj lekciji dat ćemo rigoroznu definiciju monoma, razmislite razni primjeri iz udžbenika. Prisjetite se pravila množenja potencija s iste osnove. Dajmo definiciju standardnog oblika monoma, koeficijenta monoma i njegovog doslovnog dijela. Razmotrimo dvije osnovne tipične operacije na monomima, naime redukciju na standardni oblik i izračunavanje određene numeričke vrijednosti monoma za zadane vrijednosti njegove doslovne varijable. Formulirajmo pravilo za svođenje monoma na standardni oblik. Naučimo odlučivati tipični zadaci s bilo kojim monomima.

Tema:monomi. Aritmetičke operacije nad monomima

Lekcija:Pojam monoma. Standardni oblik monoma

Razmotrimo neke primjere:

3. ;

Nađimo zajedničke značajke za date izraze. U sva tri slučaja, izraz je umnožak brojeva i varijabli podignutih na potenciju. Na temelju toga dajemo definicija monoma : monom je algebarski izraz koji se sastoji od produkta potencija i brojeva.

Sada dajemo primjere izraza koji nisu monomi:

Pronađimo razliku između ovih izraza i prethodnih. Sastoji se u tome što u primjerima 4-7 postoje operacije zbrajanja, oduzimanja ili dijeljenja, dok u primjerima 1-3, koji su monomi, te operacije nisu.

Evo još nekoliko primjera:

Izraz broj 8 je monom, jer je umnožak potencije i broja, dok primjer 9 nije monom.

Sada saznajmo djelovanja na monome .

1. Pojednostavljenje. Razmotrite primjer #3 ;i primjer #2 /

U drugom primjeru vidimo samo jedan koeficijent - , svaka varijabla se pojavljuje samo jednom, odnosno varijabla " a” predstavlja se u jednoj instanci, kao “”, slično tome, varijable “” i “” pojavljuju se samo jednom.

U primjeru br. 3, naprotiv, postoje dva različita koeficijenta - i , varijablu "" vidimo dva puta - kao "" i kao "", slično tome, varijabla "" se pojavljuje dva puta. Odnosno, ovaj izraz treba pojednostaviti, pa dolazimo do prva radnja koja se izvodi nad monomima je dovođenje monoma u standardni oblik . Da bismo to učinili, dovodimo izraz iz primjera 3 u standardni oblik, zatim definiramo ovu operaciju i učimo kako bilo koji monom dovesti u standardni oblik.

Dakle, razmotrite primjer:

Prvi korak u operaciji standardizacije uvijek je množenje svih numeričkih faktora:

;

Proizlaziti ovu radnju bit će pozvan monomski koeficijent .

Zatim trebate pomnožiti stupnjeve. Množimo stupnjeve varijable " x”prema pravilu množenja potencija s istom bazom, koje kaže da se pri množenju eksponenti zbrajaju:

Sada umnožimo moći na»:

;

Dakle, evo pojednostavljenog izraza:

;

Svaki monom se može svesti na standardni oblik. Idemo formulirati pravilo standardizacije :

Pomnožite sve numeričke faktore;

Stavite dobiveni koeficijent na prvo mjesto;

Pomnožite sve stupnjeve, odnosno dobijte slovni dio;

To jest, svaki monom karakteriziraju koeficijent i slovni dio. Gledajući unaprijed, primijetit ćemo da se monomi koji imaju isti dio slova nazivaju sličnima.

Sada morate zaraditi tehnika redukcije monoma na standardni oblik . Razmotrite primjere iz udžbenika:

Zadatak: dovesti monom u standardni oblik, imenovati koeficijent i slovni dio.

Za izvršenje zadatka koristimo pravilo dovođenja monoma na standardni oblik i svojstva stupnjeva.

1. ;

3. ;

Komentari na prvi primjer: Za početak, utvrdimo je li ovaj izraz doista monom, za to provjeravamo sadrži li operacije množenja brojeva i potencija te sadrži li operacije zbrajanja, oduzimanja ili dijeljenja. Možemo reći da je ovaj izraz monom, jer je gornji uvjet zadovoljen. Nadalje, prema pravilu dovođenja monoma u standardni oblik, množimo numeričke faktore:

- pronašli smo koeficijent zadanog monoma;

; ; ; odnosno prima se doslovni dio izraza:;

zapišite odgovor: ;

Komentari na drugi primjer: Slijedeći pravilo, izvršavamo:

1) množenje numeričkih faktora:

2) pomnožite potencije:

Varijable i prikazane su u jednom primjerku, odnosno ne mogu se ni s čim pomnožiti, prepisuju se bez promjena, stupanj se množi:

napiši odgovor:

;

NA ovaj primjer koeficijent monoma je jednak jedan, a doslovni dio je .

Komentari na treći primjer: a slično prethodnim primjerima, izvodimo sljedeće radnje:

1) množenje numeričkih faktora:

;

2) pomnožite potencije:

;

napiši odgovor: ;

U ovom slučaju, koeficijent monoma je jednak "", a doslovni dio .

Sada razmislite druga standardna operacija na monomima . Budući da je monom algebarski izraz koji se sastoji od doslovnih varijabli koje mogu poprimiti specifične brojčane vrijednosti, onda imamo aritmetiku brojčani izraz, koje treba izračunati. Odnosno, sljedeća operacija na polinomima je izračunavanje njihove specifične numeričke vrijednosti .

Razmotrite primjer. Monom je dan:

ovaj monom je već sveden na standardni oblik, njegov koeficijent je jednak jedinici, a literalni dio

Ranije smo rekli da se algebarski izraz ne može uvijek izračunati, odnosno da varijable koje ulaze u njega možda neće imati nikakvu vrijednost. U slučaju monoma, varijable uključene u njega mogu biti bilo koje, to je značajka monoma.

Dakle u dati primjer potrebno je izračunati vrijednost monoma na , , , .

Stupanj monoma

Za monom postoji koncept njegovog stupnja. Hajdemo shvatiti što je to.

Definicija.

Stupanj monoma standardni oblik je zbroj eksponenata svih varijabli uključenih u njegov zapis; ako u unosu monoma nema varijabli, a on je različit od nule, tada se njegov stupanj smatra nulom; broj nula se smatra monomom, čiji stupanj nije definiran.

Definicija stupnja monoma omogućuje nam davanje primjera. Stupanj monoma a jednak je jedan, jer je a a 1 . Stupanj monoma 5 je nula, jer nije nula i njegov zapis ne sadrži varijable. A umnožak 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 je monom osmog stupnja, budući da je zbroj eksponenata svih varijabli a, x i y 2+1+3+2=8.

Inače, stupanj monoma koji nije napisan u standardnom obliku jednak je stupnju odgovarajućeg monoma standardnog oblika. Za ilustraciju rečenog izračunavamo stupanj monoma 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Ovaj monom u standardnom obliku ima oblik −6·x 8 ·y 4 , njegov stupanj je 8+4=12 . Dakle, stupanj izvornog monoma je 12 .

Monomski koeficijent

Monom u standardnom obliku, koji ima barem jednu varijablu u svom zapisu, je proizvod s jednim numeričkim faktorom - numeričkim koeficijentom. Taj se koeficijent naziva monomni koeficijent. Formalizirajmo gornje razmišljanje u obliku definicije.

Definicija.

Monomski koeficijent je numerički faktor monoma napisan u standardnom obliku.

Sada možemo dati primjere koeficijenata raznih monoma. Broj 5 je koeficijent monoma 5 a 3 po definiciji, slično monomu (−2,3) x y z ima koeficijent −2,3 .

Posebnu pozornost zaslužuju koeficijenti monoma jednaki 1 i −1. Ovdje se radi o tome da oni obično nisu eksplicitno prisutni u zapisu. Smatra se da je koeficijent monoma standardnog oblika, koji u svom zapisu nemaju numerički faktor, jednak jedan. Na primjer, monomi a , x z 3 , a t x itd. imaju koeficijent 1, budući da se a može smatrati kao 1 a, x z 3 kao 1 x z 3, itd.

Slično, koeficijent monoma, čiji unosi u standardnom obrascu nemaju numerički faktor i počinju znakom minus, smatra se minus jedan. Na primjer, monomi −x , −x 3 y z 3 itd. imaju koeficijent −1 , jer −x=(−1) x , −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 itd.

Inače, koncept koeficijenta monoma često se naziva monomi standardnog oblika, koji su brojevi bez faktora slova. Koeficijenti takvih monoma-brojeva smatraju se tim brojevima. Tako se, na primjer, koeficijent monoma 7 smatra jednakim 7.

Bibliografija.

• Algebra: udžbenik za 7 ćelija. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 17. izd. - M. : Obrazovanje, 2008. - 240 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A. G. Algebra. 7. razred. U 14 h Dio 1. Udžbenik za studente obrazovne ustanove/ A. G. Mordkovich. - 17. izd., dod. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkim školama): Proc. dodatak.- M.; viši škola, 1984.-351 str., ilustr.

Napomenuli smo da svaki monom može biti dovesti u standardni oblik. U ovom ćemo članku razumjeti što se zove smanjenje monoma na standardni oblik, koje radnje omogućuju izvođenje ovog procesa i razmotriti rješenja primjera s detaljnim objašnjenjima.

Navigacija po stranici.

Što znači dovesti monom u standardni oblik?

Pogodno je raditi s monomima kada su napisani u standardnom obliku. Međutim, monomi su vrlo često dani u obliku različitom od standardnog. U tim slučajevima uvijek se može prijeći s izvornog monoma na monom standardnog oblika izvođenjem identičnih transformacija. Proces izvođenja takvih transformacija naziva se dovođenje monoma u standardni oblik.

Generalizirajmo gornje razmišljanje. Dovedite monom u standardni oblik- to znači izvoditi s njim takvo identične transformacije da izgleda standardno.

Kako monom dovesti u standardni oblik?

Vrijeme je da shvatimo kako monome dovesti u standardni oblik.

Kao što je poznato iz definicije, monomi nestandardnog oblika su produkti brojeva, varijabli i njihovih potencija, a možda i onih koji se ponavljaju. I monom standardnog oblika može sadržavati u svom zapisu samo jedan broj i varijable koje se ne ponavljaju ili njihove stupnjeve. Sada ostaje razumjeti kako se proizvodi prve vrste mogu svesti na oblik druge?

Da biste to učinili, morate koristiti sljedeće pravilo za svođenje monoma na standardni oblik koji se sastoji od dva koraka:

• Prvo se vrši grupiranje numeričkih faktora, kao i identičnih varijabli i njihovih stupnjeva;
• Drugo, izračunava se i primjenjuje umnožak brojeva.

Kao rezultat primjene navedenog pravila svaki će se monom svesti na standardni oblik.

Primjeri, rješenja

Ostaje naučiti kako primijeniti pravilo iz prethodnog odlomka pri rješavanju primjera.

Primjer.

Dovedite monom 3·x·2·x 2 u standardni oblik.

Riješenje.

Grupirajmo numeričke faktore i faktore s varijablom x. Nakon grupiranja, izvorni monom će poprimiti oblik (3 2) (x x 2) . Umnožak brojeva u prvim zagradama je 6, a pravilo za množenje potencija s istim bazama dopušta da se izraz u drugim zagradama predstavi kao x 1 +2=x 3. Kao rezultat, dobivamo polinom standardnog oblika 6·x 3 .

Donesimo kratka bilješka rješenja: 3 x 2 x 2 \u003d (3 2) (x x 2) \u003d 6 x 3.

Odgovor:

3 x 2 x 2 =6 x 3 .

Dakle, da bi se monom doveo u standardni oblik, potrebno je znati grupirati faktore, izvoditi množenje brojeva i raditi s potencijama.

Za učvršćivanje gradiva riješimo još jedan primjer.

Primjer.

Izrazite monom u standardnom obliku i navedite njegov koeficijent.

Riješenje.

Izvorni monom ima jedan numerički faktor −1 u svom zapisu, pomaknimo ga na početak. Nakon toga grupiramo faktore posebno s varijablom a , posebno - s varijablom b , a varijablu m nemamo s čime grupirati, ostavimo kako jest, imamo . Nakon izvođenja operacija sa stupnjevima u zagradama, monom će poprimiti standardni oblik koji nam je potreban, odakle možete vidjeti koeficijent monoma, jednak −1. Minus jedan se može zamijeniti znakom minus: .