Dugi logaritam. Što je logaritam? Rješavanje logaritama

Što je logaritam?

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Što je logaritam? Kako riješiti logaritme? Ova pitanja zbunjuju mnoge maturante. Tradicionalno se tema logaritama smatra složenom, nerazumljivom i zastrašujućom. Posebno jednadžbe s logaritmima.

To apsolutno nije točno. Apsolutno! Ne vjeruješ mi? Fino. Sada, u samo 10 - 20 minuta vi:

1. Razumjet ćete što je logaritam.

2. Naučite rješavati cijelu klasu eksponencijalnih jednadžbi. Čak i ako niste ništa čuli o njima.

3. Naučiti izračunati jednostavne logaritme.

Štoviše, za ovo ćete trebati samo znati tablicu množenja i kako podići broj na potenciju...

Osjećam da sumnjate... Dobro, označite vrijeme! Ići!

Prvo riješite ovu jednadžbu u svojoj glavi:

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Tablica antiderivacija ("integrala"). Tablica integrala. Tablični neodređeni integrali. (Najjednostavniji integrali i integrali s parametrom). Formule za integraciju po dijelovima. Newton-Leibnizova formula.

Tablica antiderivacija ("integrala"). Tablični neodređeni integrali. (Najjednostavniji integrali i integrali s parametrom).
Integral potencije.	Integral potencije.
Integral koji se svodi na integral funkcije potencije ako je x postavljen ispod predznaka diferencijala.
	Integral eksponencijala, gdje je a konstantan broj.
Integral kompleksne eksponencijalne funkcije.	Integral eksponencijalne funkcije.
Integral jednak prirodnom logaritmu.	Integral: "Dugi logaritam".
	Integral: "Dugi logaritam".
Integral: "Visoki logaritam".	Integral, gdje se x u brojniku nalazi ispod predznaka diferencijala (konstanta pod predznakom se može zbrajati ili oduzimati), u konačnici je sličan integralu jednakom prirodnom logaritmu.
Integral: "Visoki logaritam".
Kosinusni integral.	Sinusni integral.
Integral jednak tangensu.	Integral jednak kotangensu.
Integral jednak arksinusu i arkosinusu
Integral jednak arksinusu i arkosinusu.	Integral jednak arktangensu i arkotangensu.
Integral jednak kosekansu.	Integral jednak sekanti.
Integral jednak arcsekansu.	Integral jednak arkokosekansu.
Integral jednak arcsekansu.	Integral jednak arcsekansu.
Integral jednak hiperboličkom sinusu.	Integral jednak hiperboličkom kosinusu.
Integral jednak hiperboličkom sinusu, gdje je sinhx hiperbolički sinus u engleskoj verziji.	Integral jednak hiperboličkom kosinusu, gdje je sinhx hiperbolički sinus u engleskoj verziji.
Integral jednak hiperboličkom tangensu.	Integral jednak hiperboličkom kotangensu.
Integral jednak hiperboličkoj sekansi.	Integral jednak hiperboličkom kosekansu.

Formule za integraciju po dijelovima. Pravila integracije.

Formule za integraciju po dijelovima. Newton-Leibnizova formula.
Integriranje proizvoda (funkcije) pomoću konstante:
Integriranje zbroja funkcija:
neodređeni integrali:
Formula za integraciju po dijelovima određeni integrali:
Newton-Leibnizova formula određeni integrali:	Gdje su F(a),F(b) vrijednosti antiderivacija u točkama b odnosno a.

Tablica izvedenica. Tabularne izvedenice. Derivat proizvoda. Derivacija kvocijenta. Derivacija složene funkcije.

Ako je x nezavisna varijabla, tada:

Tablica izvedenica. Tabularne izvedenice."tablične izvedenice" - ​​da, nažalost, upravo se tako traže na internetu
	Derivacija funkcije potencije
	Derivacija eksponenta
Derivacija složene eksponencijalne funkcije	Derivacija eksponencijalne funkcije
Derivacija logaritamske funkcije	Derivacija prirodnog logaritma
	Derivacija prirodnog logaritma funkcije
Derivacija sinusa	Derivacija kosinusa
Derivacija kosekansa	Izvedenica sekante
Derivacija arcsinusa	Derivacija ark kosinusa
Derivacija arcsinusa	Derivacija ark kosinusa
Tangentna derivacija	Derivacija kotangensa
Derivacija arktangensa	Derivacija ark kotangensa
Derivacija arktangensa	Derivacija ark kotangensa
Derivat arcsekansa	Derivat arkokosekansa
Derivat arcsekansa	Derivat arkokosekansa
Derivacija hiperboličkog sinusa Derivacija hiperboličkog sinusa u engleskoj verziji	Derivacija hiperboličkog kosinusa Derivacija hiperboličkog kosinusa u engleskoj verziji
Derivacija hiperboličke tangense	Derivacija hiperboličkog kotangensa
Derivacija hiperboličke sekante	Derivacija hiperboličkog kosekansa

Pravila razlikovanja. Derivat proizvoda. Derivacija kvocijenta. Derivacija složene funkcije.
Derivacija umnoška (funkcije) po konstanti:
Derivacija zbroja (funkcije):
Derivat proizvoda (funkcije):
Derivacija kvocijenta (funkcija):
Derivacija složene funkcije:

Svojstva logaritama. Osnovne formule za logaritme. Decimalni (lg) i prirodni logaritmi (ln).

Osnovni logaritamski identitet
Pokažimo kako se bilo koja funkcija oblika a b može učiniti eksponencijalnom. Kako se funkcija oblika e x naziva eksponencijalnom, onda
Bilo koja funkcija oblika a b može se prikazati kao potencija broja deset

Prirodni logaritam ln (logaritam prema bazi e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Taylorova serija. Proširenje funkcije u Taylorov red.

Ispostavilo se da većina praktički susreo matematičke funkcije mogu se prikazati s bilo kojom točnošću u blizini određene točke u obliku redova potencija koje sadrže potencije varijable u rastućem redoslijedu. Na primjer, u blizini točke x=1:

Pri korištenju serija tzv Taylorovi redovi, mješovite funkcije koje sadrže, recimo, algebarske, trigonometrijske i eksponencijalne funkcije mogu se izraziti kao čisto algebarske funkcije. Koristeći serije, često možete brzo izvesti diferencijaciju i integraciju.

Taylorov red u blizini točke a ima oblik:

1) , gdje je f(x) funkcija koja ima derivacije svih redova na x=a. R n - preostali član u Taylorovom nizu određen je izrazom

2)

K-ti koeficijent (pri x k) niza određen je formulom

3) Poseban slučaj Taylorovog niza je Maclaurin (=McLaren) niz (širenje se događa oko točke a=0)

pri a=0

članovi niza određeni su formulom

Uvjeti za korištenje Taylorovog niza.

1. Da bi se funkcija f(x) proširila u Taylorov niz na intervalu (-R;R), potrebno je i dovoljno da preostali član u Taylorovoj (Maclaurin (=McLaren)) formuli za ovu funkcija teži nuli pri k →∞ na navedenom intervalu (-R;R).

2. Potrebno je da postoje derivacije zadane funkcije u točki u čijoj ćemo blizini konstruirati Taylorov red.

Svojstva Taylorovog niza.

Ako je f analitička funkcija, tada njezin Taylorov red u bilo kojoj točki a u domeni definicije f konvergira k f u nekoj blizini a.

Postoje beskonačno diferencijabilne funkcije čiji Taylorov red konvergira, ali se u isto vrijeme razlikuje od funkcije u bilo kojoj blizini a. Na primjer:

Taylorov niz se koristi za aproksimaciju (aproksimacija je znanstvena metoda koja se sastoji od zamjene nekih objekata s drugima, na ovaj ili onaj način bliskim izvornim, ali jednostavnijim) funkcije polinomima. Konkretno, linearizacija ((od linearis - linearan), jedna od metoda približnog prikaza zatvorenih nelinearnih sustava, u kojoj se proučavanje nelinearnog sustava zamjenjuje analizom linearnog sustava, u nekom smislu ekvivalentnog izvornom .) jednadžbe nastaju širenjem u Taylorov niz i odsijecanjem svih članova iznad prvog reda.

Stoga se gotovo svaka funkcija može prikazati kao polinom sa zadanom točnošću.

Primjeri nekih uobičajenih proširenja funkcija snage u Maclaurinove redove (=McLaren, Taylor u blizini točke 0) i Taylor u blizini točke 1. Prvi članovi proširenja glavnih funkcija u Taylorove i McLarenove redove.

Primjeri nekih uobičajenih proširenja potencijskih funkcija u Maclaurinove redove (=McLaren, Taylor u blizini točke 0)

Primjeri nekih uobičajenih proširenja u Taylorov red u blizini točke 1

Tablica antiderivata.

Svojstva neodređenog integrala omogućuju pronalaženje njegove antiderivacije pomoću poznatog diferencijala funkcije. Dakle, koristeći jednakosti i Iz tablice izvoda osnovnih elementarnih funkcija moguće je sastaviti tablicu antiderivacija.

Da podsjetimo tablica izvedenica, zapišimo to u obliku diferencijala.

Na primjer, pronađimo neodređeni integral funkcije snage.

Pomoću diferencijalne tablice , dakle, iz svojstava neodređenog integrala imamo . Zato ili u drugom postu

Nađimo skup antiderivacija funkcije potencije za p = -1. Imamo . Pozivamo se na tablicu diferencijala za prirodni logaritam , stoga, . Zato .

Nadam se da razumijete princip.

Tablica antiderivacija (neodređenih integrala).

Formule iz lijevog stupca tablice nazivamo osnovnim antiderivatima. Formule u desnom stupcu nisu osnovne, ali se vrlo često koriste pri pronalaženju neodređenih integrala. Mogu se provjeriti diferencijacijom.

Izravna integracija.

Izravna integracija temelji se na korištenju svojstava neodređenih integrala , , pravila integracije i tablice antiderivata.

Tipično, integrand prvo treba malo transformirati kako bi se mogla koristiti tablica osnovnih integrala i svojstava integrala.

Primjer.

Pronađite integral .

Riješenje.

Koeficijent 3 može se ukloniti iz predznaka integrala na temelju svojstva:

Transformirajmo funkciju integranda (koristeći trigonometrijske formule):

Kako je integral zbroja jednak zbroju integrala, onda

Vrijeme je da se okrenemo tablici antiderivata:

Odgovor:

.

Primjer.

Pronađite skup antiderivacija funkcije

Riješenje.

Pozivamo se na tablicu antiderivacija za eksponencijalnu funkciju: . To je, .

Ako koristimo pravilo integracije , onda imamo:

Dakle, tablica antiderivacija, zajedno sa svojstvima i pravilom integracije, omogućuje pronalaženje mnoštva neodređenih integrala. Međutim, nije uvijek moguće transformirati funkciju integranda da bi se koristila tablica antiderivacija.

Na primjer, u tablici antiderivacija nema integrala funkcije logaritma, arksinusa, arkosinusa, arktangensa i arkotangensa, tangensa i kotangensa. Za njihovo pronalaženje koriste se posebne metode. Ali više o tome u sljedećem odjeljku: