Formule za pronalaženje antiderivata. Antiderivat funkcije i općeg izgleda

Integraciju nije teško naučiti. Da biste to učinili, samo trebate naučiti određeni, prilično mali skup pravila i razviti neku vrstu instinkta. Naravno, lako je naučiti pravila i formule, ali je prilično teško razumjeti gdje i kada primijeniti ovo ili ono pravilo integracije ili diferencijacije. To je, zapravo, sposobnost integracije.

1. Antiderivat. Neodređeni integral.

Pretpostavlja se da do čitanja ovog članka čitatelj već ima neke vještine razlikovanja (tj. pronalaženje izvedenica).

Definicija 1.1: Funkcija se naziva antiderivacija funkcije ako vrijedi jednakost:

Komentari:> Naglasak u riječi “iskonski” može se staviti na dva načina: prvo O figurativno ili prototipno A znajući.

Svojstvo 1: Ako je funkcija antiderivacija funkcije, tada je i funkcija antiderivacija funkcije.

Dokaz: Dokažimo to iz definicije antiderivacije. Nađimo izvod funkcije:

Prvi termin u definicija 1.1 je jednak , a drugi član je derivacija konstante, koja je jednaka 0.

.

Rezimirati. Zapišimo početak i kraj lanca jednakosti:

Dakle, derivacija funkcije jednaka je , pa je prema definiciji njezina antiderivacija. Svojstvo je dokazano.

Definicija 1.2: Neodređeni integral funkcije je cijeli skup antiderivacija te funkcije. To je naznačeno na sljedeći način:

.

Pogledajmo detaljno nazive svakog dijela zapisa:

— opća oznaka integrala,

— integrand (integrand) izraz, integrabilna funkcija.

je diferencijal, a izraz iza slova , u ovom slučaju je , nazvat ćemo varijablom integracije.

Komentari: Ključne riječi u ovoj definiciji su "cijeli skup". Oni. Ako ubuduće taj isti “plus C” ne bude zapisan u odgovoru, tada ispitivač ima puno pravo ne računati ovaj zadatak, jer potrebno je pronaći cijeli skup antiderivata, a ako C nedostaje, tada se nalazi samo jedan.

Zaključak: Da bismo provjerili je li integral ispravno izračunat, potrebno je pronaći izvod rezultata. Mora se podudarati s integrandom.
Primjer:
Vježba: Izračunajte neodređeni integral i provjerite.

Riješenje:

Način na koji je ovaj integral izračunat u ovom slučaju nije bitan. Pretpostavimo da je to otkrivenje odozgo. Naš zadatak je pokazati da nas objava nije prevarila, a to se može učiniti provjerom.

Ispitivanje:

Diferenciranjem rezultata dobili smo integrand, što znači da je integral ispravno izračunat.

2. Početak. Tablica integrala.

Da biste integrirali, ne morate se svaki put sjećati funkcije čija je derivacija jednaka danom integrandu (tj. izravno koristiti definiciju integrala). Svaka zbirka zadataka ili udžbenik matematičke analize sadrži popis svojstava integrala i tablicu najjednostavnijih integrala.

Nabrojimo svojstva.

Svojstva:
1.
Integral diferencijala jednak je varijabli integracije.
2. , gdje je konstanta.
Konstantni množitelj može se izbaciti iz predznaka integrala.

3.
Integral zbroja jednak je zbroju integrala (ako je broj članova konačan).
Tablica integrala:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Najčešće je zadatak smanjiti integral koji se proučava na tablični pomoću svojstava i formula.

Primjer:

[Iskoristimo treće svojstvo integrala i zapišimo ga kao zbroj triju integrala.]

[Upotrijebimo drugo svojstvo i pomaknimo konstante iza znaka integracije.]

[ U prvom integralu koristit ćemo tablični integral br. 1 (n=2), u drugom ćemo koristiti istu formulu, ali n=1, a za treći integral možemo ili koristiti isti tablični integral, ali s n=0, odnosno prvo svojstvo ].
.
Provjerimo razlikovanjem:

Izvorni integrand je dobiven, dakle, integracija je završena bez grešaka (a dodavanje proizvoljne konstante C nije čak ni zaboravljeno).

Tablični integrali moraju se naučiti napamet iz jednog jednostavnog razloga - da bi se znalo čemu težiti, tj. znati svrhu transformacije zadanog izraza.

Evo još nekoliko primjera:
1)
2)
3)

Zadaci za samostalno rješavanje:

Vježba 1. Izračunajte neodređeni integral:

+ Prikaži/sakrij savjet #1.

1) Koristite treće svojstvo i predstavite ovaj integral kao zbroj triju integrala.

+ Prikaži/sakrij savjet #2.

+ Prikaži/sakrij savjet #3.

3) Za prva dva člana upotrijebite prvi tablični integral, a za treći drugi tablični integral.

+ Prikaži/sakrij rješenje i odgovor.

4) Rješenje:

Odgovor:

Antiderivacija

Definicija antiderivacijske funkcije

Funkcija y=F(x) naziva se antiderivacija funkcije y=f(x) u zadanom intervalu X, ako za svakoga x ∈x jednakost vrijedi: F′(x) = f(x)

Može se čitati na dva načina:

f izvod funkcije F
F antiderivacija funkcije f

Svojstvo antiderivata

Ako F(x)- antiderivacija funkcije f(x) na zadanom intervalu, tada funkcija f(x) ima beskonačno mnogo antiderivacija, a sve te antiderivacije možemo napisati u obliku F(x) + C, gdje je C proizvoljna konstanta.

Geometrijska interpretacija

Grafovi svih antiderivacija zadane funkcije f(x) dobivaju se iz grafa bilo koje antiderivacije paralelnim translacijama duž O osi na.

Pravila za izračunavanje antiderivacija

Antiderivacija zbroja jednaka je zbroju antiderivacija. Ako F(x)- antiderivat za f(x), a G(x) je antiderivacija za g(x), To F(x) + G(x)- antiderivat za f(x) + g(x).
Konstantni faktor se može uzeti iz predznaka derivacije. Ako F(x)- antiderivat za f(x), I k- konstantno, dakle k·F(x)- antiderivat za k f(x).
Ako F(x)- antiderivat za f(x), I k, b- konstantno, i k ≠ 0, To 1/k F(kx + b)- antiderivat za f(kx + b).

Zapamtiti!

Bilo koja funkcija F(x) = x 2 + C , gdje je C proizvoljna konstanta, a samo takva funkcija je antiderivacija za funkciju f(x) = 2x.

Na primjer:
F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

f(x) = 2x, jer F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

f(x) = 2x, jer F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Odnos između grafova funkcije i njezine antiderivacije:

Ako graf funkcije f(x)>0 F(x) povećava u ovom intervalu.
Ako graf funkcije f(x)<0 na intervalu, zatim graf njegove antiderivacije F(x) smanjuje u ovom intervalu.
Ako f(x)=0, zatim graf njegove antiderivacije F(x) u ovoj točki mijenja se od povećanja do pada (ili obrnuto).

Za označavanje antiderivacije koristi se znak neodređenog integrala, odnosno integrala bez naznake granica integracije.

Neodređeni integral

Definicija:

Neodređeni integral funkcije f(x) je izraz F(x) + C, odnosno skup svih antiderivacija dane funkcije f(x). Neodređeni integral se označava na sljedeći način: \int f(x) dx = F(x) + C

f(x)- zove se funkcija integranda;
f(x) dx- naziva se integrand;
x- naziva se varijabla integracije;
F(x)- jedna od antiderivacija funkcije f(x);
S- proizvoljna konstanta.

Svojstva neodređenog integrala

Derivacija neodređenog integrala jednaka je integrandu: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
Konstantni faktor integranda može se uzeti iz predznaka integrala: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
Integral zbroja (razlike) funkcija jednak je zbroju (razlici) integrala ovih funkcija: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
Ako k, b su konstante, a k ≠ 0, tada \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Tablica antiderivacija i neodređenih integrala

Funkcija f(x)	Antiderivacija F(x) + C	Neodređeni integrali \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\nije =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x )dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \ cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)( 1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

Newton–Leibnizova formula

Neka f(x) ovu funkciju F njegov proizvoljni antiderivat.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

Gdje F(x)- antiderivat za f(x)

Odnosno, integral funkcije f(x) na intervalu jednaka je razlici antiderivacija u točkama b I a.

Područje zakrivljenog trapeza

Krivocrtni trapez je lik omeđen grafom funkcije koja je nenegativna i kontinuirana na intervalu f, Ox os i ravne linije x = a I x = b.

Površina zakrivljenog trapeza nalazi se pomoću Newton-Leibnizove formule:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

U nastavku su navedene četiri glavne metode integracije.

1) Pravilo za integriranje zbroja ili razlike.
.
Ovdje i dolje u, v, w su funkcije integracijske varijable x.

2) Pomicanje konstante izvan predznaka integrala.
Neka je c konstanta neovisna o x. Tada se može izvaditi iz integralnog predznaka.

3) Metoda zamjene varijable.
Razmotrimo neodređeni integral.
Ako uspijemo pronaći takvu funkciju φ (x) od x, dakle
,
tada zamjenom varijable t = φ(x) imamo
.

4) Formula za integraciju po dijelovima.
,
gdje su u i v funkcije integracijske varijable.

Krajnji cilj izračunavanja neodređenih integrala je transformacijama svesti zadani integral na najjednostavnije integrale koji se nazivaju tablični integrali. Tablični integrali se izražavaju kroz elementarne funkcije pomoću poznatih formula.
Pogledajte tablicu integrala >>>

Primjer

Izračunajte neodređeni integral

Riješenje

Napominjemo da je integrand zbroj i razlika tri člana:
, i .
Primjenom metode 1 .

Zatim, primijetit ćemo da se integrandi novih integrala množe s konstantama 5, 4, I 2 , odnosno. Primjenom metode 2 .

U tablici integrala nalazimo formulu
.
Uz pretpostavku n = 2 , nalazimo prvi integral.

Prepišimo drugi integral u obliku
.
Primjećujemo da . Zatim

Upotrijebimo treću metodu. Mijenjamo varijablu t = φ (x) = ln x.
.
U tablici integrala nalazimo formulu

Budući da se varijabla integracije može označiti bilo kojim slovom, onda

Prepišimo treći integral u obliku
.
Primjenjujemo formulu integracije po dijelovima.
Stavimo to.
Zatim
;
;

;
;
.

Napokon imamo
.
Sakupimo članove s x 3 .
.

Odgovor

Reference:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka iz više matematike, “Lan”, 2003.