Kako pronaći karakteristični polinom matrice. Karakteristični polinom i karakteristični brojevi matrice

Neka nam je dana kvadratna matrica reda n. Karakteristična matrica matrica A naziva se matrica

=pri čemu varijabla λ uzima bilo koje numeričke vrijednosti.

Determinanta matrice je polinom n potencije od λ. Taj se polinom naziva karakteristični polinom matrice A, jednadžba =0 je njezina karakteristična jednadžba, a njezini korijeni https://pandia.ru/text/78/250/images/image008_68.gif" width="15" height="17 src="> nazivaju se svaki različit od nule vektor X, koji zadovoljava uvjet https://pandia.ru/text/78/250/images/image010_64.gif" width="19" height="24 src="> – broj.

Broj se naziva svojstvena vrijednost transformacije https://pandia.ru/text/78/250/images/image011_63.gif" width="201" height="75"> (*)

Ako je poznata svojstvena vrijednost λ , zatim svi svojstveni vektori matrice A, koje pripadaju ovoj svojstvenoj vrijednosti, nalaze se kao različita od nule rješenja ovog sustava. S druge strane, ovaj homogeni sustav s kvadratnom matricom A–λE ima rješenja različita od nule X ako i samo ako je determinanta matrice ovog sustava jednaka nuli i λ pripada predmetnom polju R. Ali ovo znači to λ je korijen karakterističnog polinoma i pripada polju R. Dakle, karakteristični brojevi matrice koji pripadaju glavnom polju, i samo oni, su njezine svojstvene vrijednosti. Da biste pronašli sve svojstvene vrijednosti matrice A potrebno je pronaći sve njegove karakteristične brojeve i od njih odabrati samo one koji pripadaju glavnom polju R, i pronaći sve svojstvene vektore matrice A treba pronaći sve različit od nule sustavna rješenja (*) kod svake svojstvene vrijednosti λ matrice A.

Primjer 1. Pronađite svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore realne matrice .

Otopina. Karakteristični polinom matrice A ima oblik:

https://pandia.ru/text/78/250/images/image014_58.gif" width="144" height="75 src=">=(pomnoži (2)th stupac po broju (-2) i dodati sa (1)-m stupac) =https://pandia.ru/text/78/250/images/image016_45.gif" width="172" height="75">=(pomnoži (1)th stupac po broju (-1) i dodati sa (3)-m stupac) = =(pomnožiti (1)th linija do broja (2) i dodati sa (2)th linija) = =(pomnožiti (2)th stupac po broju (-2) i dodati sa (3)-m stupac) =
.

Dakle, karakteristični polinom ima korijene λ1=6, λ2=λ3= – 3. Svi oni su realni i stoga su svojstvene vrijednosti matrice A.

U sustavu λ=6 ( A–λE)X=0 izgleda ovako https://pandia.ru/text/78/250/images/image021_35.gif" width="57" height="75 src=">..gif" width="153" height="75 src= ">.

Njegovo opće rješenje je X=https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_28.gif" width="85" height="27 src=">, daje opći pogled na svojstvene vektore matrice A, koji pripada svojstvenoj vrijednosti λ= – 3.

Definicija

Za zadanu matricu , , gdje je E - matrica identiteta, je polinom u , koji se zove karakteristični polinom matrice A(ponekad i "sekularna jednadžba").

Vrijednost karakterističnog polinoma je da su svojstvene vrijednosti matrice njeni korijeni. Doista, ako jednadžba ima rješenje različito od nule, tada je matrica singularna i njezina je determinanta jednaka nuli.

Povezane definicije

Svojstva

.

Linkovi

• V. Yu. Kiselev, A. S. Pyartli, T. F. Kalugina Viša matematika. Linearna algebra. - Državno energetsko sveučilište Ivanovo.

Zaklada Wikimedia.

• 2010.
• Referentna krivulja

Harald III (kralj Norveške)

Pogledajte što je "Karakteristički polinom matrice" u drugim rječnicima: Karakteristični polinom

- U matematici karakteristični polinom može značiti: karakteristični polinom matrice, karakteristični polinom linearnog rekurentnog niza, karakteristični polinom obične diferencijalne jednadžbe.... ... Wikipedia KARAKTERISTIČNI POLINOM - matrica nad poljem K je polinom nad poljem K. Stupanj X. m jednak je redu kvadratne matrice A, koeficijent b1 jednak je tragu matrice (b1 = tr A = a11+ a 22+ ... +a pp), koeficijent b t jednak je zbroju svih glavnih minora th reda, posebno bn=detA...

Matematička enciklopedija Minimalni matrični polinom

- Ovaj pojam ima i druga značenja, vidi Minimalni polinom. Minimalni matrični polinom je anihilirajući unitarni polinom minimalnog stupnja. Svojstva Minimalni polinom dijeli karakteristični polinom matrice... ... Wikipedia Lambda matrice

- Glavni članak: Funkcije matrica Lambda matrica (λ matrica, matrica polinoma) je kvadratna matrica čiji su elementi polinomi nad određenim brojčanim poljem. Ako postoji neki element matrice koji je polinom... Wikipedia- skup svojih svojstvenih vrijednosti. Vidi također Karakteristični polinom matrice... - matrica nad poljem K je polinom nad poljem K. Stupanj X. m jednak je redu kvadratne matrice A, koeficijent b1 jednak je tragu matrice (b1 = tr A = a11+ a 22+ ... +a pp), koeficijent b t jednak je zbroju svih glavnih minora th reda, posebno bn=detA...

Karakteristični broj matrice- Svojstveni vektor je označen crvenom bojom. On, za razliku od plavog, nije promijenio smjer i duljinu tijekom deformacije, stoga je svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = 1. Svaki vektor paralelan crvenom vektoru... ... Wikipedia

Slične matrice- Kvadratne matrice A i B istog reda nazivaju se sličnima ako postoji nesingularna matrica P istog reda takva da: Slične matrice se dobivaju specificiranjem iste linearne transformacije matrice u različitim... ... Wikipedia

Karakteristična matrica

Karakteristična jednadžba- Karakteristični polinom je polinom koji određuje svojstvene vrijednosti matrice. Drugo značenje: Karakteristični polinom linearnog rekurenta je polinom. Sadržaj 1 Definicija ... Wikipedia

Hamiltonov teorem- Teorem Hamiltona Cayleyja poznati je teorem iz teorije matrica, nazvan po Williamu Hamiltonu i Arthuru Cayleyu. Teorem Hamiltona Cayleya Svaka kvadratna matrica zadovoljava svoju karakterističnu jednadžbu. Ako... Wikipedia

Definicija

Za zadanu matricu , , gdje je E- matrica identiteta je polinom u , koji se naziva karakteristični polinom matrice A(ponekad i "sekularna jednadžba").

Vrijednost karakterističnog polinoma je da su svojstvene vrijednosti matrice njeni korijeni. Doista, ako jednadžba ima rješenje različito od nule, tada je matrica singularna i njezina je determinanta jednaka nuli.

Povezane definicije

Svojstva

.

Linkovi

• V. Yu. Kiselev, A. S. Pyartli, T. F. Kalugina Viša matematika. Linearna algebra. - Državno energetsko sveučilište Ivanovo.

Zaklada Wikimedia.

Harald III (kralj Norveške)

U matematici karakteristični polinom može značiti: karakteristični polinom matrice, karakteristični polinom linearnog rekurentnog niza, karakteristični polinom obične diferencijalne jednadžbe.... ... Wikipedia

Matrice nad poljem K su polinomi nad poljem K. Stupanj X. m jednak je redu kvadratne matrice A, koeficijent b1 jednak je tragu matrice (b1 = tr A = a11+ a 22+ ... +a pp), koeficijent b t jednak je zbroju svih glavnih minora th reda, posebno bn=detA... - matrica nad poljem K je polinom nad poljem K. Stupanj X. m jednak je redu kvadratne matrice A, koeficijent b1 jednak je tragu matrice (b1 = tr A = a11+ a 22+ ... +a pp), koeficijent b t jednak je zbroju svih glavnih minora th reda, posebno bn=detA...

Ovaj izraz ima i druga značenja, vidi Minimalni polinom. Minimalni matrični polinom je anihilirajući unitarni polinom minimalnog stupnja. Svojstva Minimalni polinom dijeli karakteristični polinom matrice... ... Wikipedia

Glavni članak: Funkcije matrica Lambda matrica (λ matrica, matrica polinoma) je kvadratna matrica čiji su elementi polinomi nad nekim brojevnim poljem. Ako postoji neki element matrice koji je polinom... Wikipedia

Skup svojih svojstvenih vrijednosti. Vidi također Karakteristični polinom matrice... - matrica nad poljem K je polinom nad poljem K. Stupanj X. m jednak je redu kvadratne matrice A, koeficijent b1 jednak je tragu matrice (b1 = tr A = a11+ a 22+ ... +a pp), koeficijent b t jednak je zbroju svih glavnih minora th reda, posebno bn=detA...

Svojstveni vektor je prikazan crvenom bojom. On, za razliku od plavog, nije promijenio smjer i duljinu tijekom deformacije, stoga je svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = 1. Svaki vektor paralelan crvenom vektoru... ... Wikipedia

Kaže se da su kvadratne matrice A i B istog reda slične ako postoji nesingularna matrica P istog reda takva da: Slične matrice se dobivaju specifikacijom iste linearne transformacije matrice u različitim... .. .Wikipedia

Karakteristični polinom je polinom koji definira svojstvene vrijednosti matrice. Drugo značenje: Karakteristični polinom linearnog rekurenta je polinom. Sadržaj 1 Definicija ... Wikipedia

Teorem Hamiltona Cayleyja poznati je teorem iz teorije matrica, nazvan po Williamu Hamiltonu i Arthuru Cayleyu. Teorem Hamiltona Cayleya Svaka kvadratna matrica zadovoljava svoju karakterističnu jednadžbu. Ako... Wikipedia

Promotrimo kvadratnu matricu A = ||aik||1n. Karakteristična matrica za matricu A naziva se matrica LE-A.

l - a 11 -a 12 ... -a 1n

lE-A = -a21 l - a22 ... -a 2n

….…………………… .

A n1 -a n2 ... l - ann

Determinanta karakteristične matrice

?(l) = |le-A| = |l dik - aik|1n

je skalarni polinom u odnosu na l i naziva se karakteristični polinom matrice A.

Matricu B(l) = ||bik (l)||1n, gdje je bik (l) algebarski komplement elementa ldik - aik u determinanti?(l), nazvat ćemo adjungiranom matricom za matricu A .

Da bismo pronašli glavne članove karakterističnog polinoma, koristimo se činjenicom da je vrijednost determinante jednaka zbroju umnožaka njegovih elemenata, uzetih po jedan iz svakog retka i svakog stupca i opremljenih odgovarajućim predznacima. Dakle, da bi se dobio član koji ima najveći stupanj u odnosu na l, potrebno je uzeti umnoške elemenata najvišeg stupnja. U našem slučaju, takav će proizvod biti samo jedan - proizvod dijagonalnih elemenata (l - a11) (l - a22) ... (l - ann). Svi ostali proizvodi uključeni u determinantu nemaju stupanj veći od n-2, jer ako je jedan od faktora takvog proizvoda aik (i ? k), tada ovaj proizvod neće sadržavati faktore l-aii, l-acc i neće, dakle, stupnjeva ne više od n-2. Dakle, ?(l) = (l - a11) ... (l - am) + članovi stupnja ne viši od n-2, ili

?(l) = ln - (a11 + … + ann) ln-1 + …(22)

Zbroj dijagonalnih elemenata matrice naziva se njezin trag. Formula (22) pokazuje da je stupanj karakterističnog polinoma matrice jednak redu ove matrice, vodeći koeficijent karakterističnog polinoma je 1, a koeficijent ln-1 jednak je tragu matrice. matrica uzeta sa suprotnim predznakom.

Teorem 3. Karakteristični polinomi sličnih matrica međusobno su jednaki.

Iz ovog teorema posebice proizlazi da slične matrice imaju identične tragove i determinante, budući da su trag i determinanta matrice, uzeti s odgovarajućim predznacima, koeficijenti njezinog karakterističnog polinoma.

Korijeni karakterističnog polinoma matrice nazivaju se njezini karakteristični brojevi ili svojstvene vrijednosti. Višestruki korijeni karakterističnog polinoma nazivaju se višestrukim svojstvenim vrijednostima matrice. Poznato je da je zbroj svih realnih i kompleksnih korijena polinoma stupnja n s vodećim koeficijentom 1 jednak koeficijentu (n-1) stupnja varijable uzetog sa suprotnim predznakom. Formula (22) stoga pokazuje da je u polju kompleksnih brojeva zbroj svih svojstvenih vrijednosti matrice jednak njenom tragu.

Teorem Hamiltona i Caelieja. Svaka matrica je korijen svog karakterističnog polinoma, tj. ?(A)= 0.

?(l) = l - 2 -1 = lI - 5l + 7,

?(A) = AI - 5A + 7E = 3 5 -5 2 1 +7 1 0 = 0 0 = 0.