Školski kurikulum predviđa poučavanje geometrije za djecu od najranije dobi. Jedno od najosnovnijih znanja iz ove oblasti je nalaženje površine raznih figura. U ovom članku pokušat ćemo dati sve moguće načine za dobivanje ove vrijednosti, od najjednostavnijih do najsloženijih.

Temelj

Prva formula koju djeca uče u školi uključuje pronalaženje površine trokuta u smislu duljine njegove visine i baze. Visina je segment izvučen iz vrha trokuta pod pravim kutom na suprotnu stranu, koja će biti baza. Kako pronaći površinu trokuta iz ovih vrijednosti?

Ako je V visina, a O baza, tada je površina S=V*O:2.

Druga opcija za dobivanje željene vrijednosti zahtijeva da znamo duljine dviju stranica, kao i kut između njih. Ako imamo L i M - duljine stranica i Q - kut između njih, tada površinu možete dobiti pomoću formule S=(L*M*sin(Q))/2.

Heronova formula

Uz sve ostale odgovore na pitanje kako izračunati površinu trokuta, postoji formula koja nam omogućuje da dobijemo potrebnu vrijednost, znajući samo duljine stranica. Odnosno, ako znamo duljine svih stranica, tada ne trebamo crtati visinu i izračunavati njezinu duljinu. Možemo koristiti takozvanu Heronovu formulu.

Ako su M, N, L duljine stranica, tada možemo pronaći površinu trokuta, kako slijedi. P \u003d (M + N + L) / 2, tada vrijednost koja nam je potrebna S 2 \u003d P * (P-M) * (P-L) * (P-N). Kao rezultat, moramo izračunati samo korijen.

Za pravokutni trokut, Heronova formula je malo pojednostavljena. Ako su M, L noge, tada je S=(P-M)*(P-L).

krugovi

Drugi način za pronalaženje površine trokuta je korištenje upisanih i opisanih krugova. Da bismo dobili potrebnu vrijednost pomoću upisane kružnice, moramo znati njen polumjer. Označimo ga s "r". Tada će formula po kojoj ćemo izvršiti izračune imati sljedeći oblik: S \u003d r * P, gdje je P polovica zbroja duljina svih strana.

U pravokutnom trokutu ova je formula malo transformirana. Naravno, možete koristiti gore navedeno, ali je bolje koristiti drugačiji izraz za izračune. S=E*W, gdje su E i W duljine odsječaka na koje je hipotenuza podijeljena tangentnom točkom kružnice.

Govoreći o opisanom krugu, pronalaženje područja trokuta također nije teško. Upisivanjem oznake R kao polumjera opisane kružnice dobivate sljedeću formulu potrebnu za izračunavanje željene vrijednosti: S= (M*N*L):(4*R). Gdje su prve tri veličine stranice trokuta.

Govoreći o jednakostraničnom trokutu, zbog niza jednostavnih matematičkih transformacija, mogu se dobiti malo modificirane formule:

S=(3 1/2 *M 2)/4;

S=(3*3 1/2 *R 2)/4;

S=3*3 1/2 *r2.

U svakom slučaju, svaka formula koja vam omogućuje pronalaženje površine trokuta može se promijeniti u skladu sa zadanim problemom. Dakle, svi pisani izrazi nisu apsolutni. Kada rješavate probleme, razmislite kako biste pronašli najprikladniji način za njihovo rješavanje.

Koordinate

Pri proučavanju koordinatnih osi zadaci s kojima se suočavaju učenici postaju kompliciraniji. Međutim, nedovoljno za paniku. Da biste pronašli područje trokuta prema koordinatama vrhova, možete koristiti istu, ali malo modificiranu Heronovu formulu. Za koordinate ima sljedeći oblik:

S=((x 2 -x 1) 2 *(y 2 -y 1) 2 *(z 2 -z 1) 2) 1/2 .

Međutim, nitko ne zabranjuje, koristeći koordinate, izračunati duljine stranica trokuta, a zatim, koristeći gore napisane formule, izračunati površinu. Za pretvorbu koordinata u duljinu upotrijebite sljedeću formulu:

l=((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2) 1/2 .

Bilješke

U članku je korišten standardni zapis za veličine koje se koriste u uvjetima većine problema. U ovom slučaju, stupanj "1/2" znači da morate izvući korijen iz cijelog izraza ispod zagrada.

Pri odabiru formule budite oprezni. Neki od njih gube svoju važnost ovisno o početnim uvjetima. Na primjer, formula opisane kružnice. U svakom slučaju može izračunati rezultat za vas, međutim, može doći do situacije u kojoj trokut sa zadanim parametrima možda uopće ne postoji.

Ako sjedite kod kuće i radite domaću zadaću, možete koristiti online kalkulator. Mnoga mjesta pružaju mogućnost izračuna različitih vrijednosti za zadane parametre, a nije važno koje. Možete jednostavno unijeti početne podatke u polja, a računalo (web stranica) će za vas izračunati rezultat. Tako možete izbjeći pogreške nastale nepažnjom.

Nadamo se da je naš članak odgovorio na sva vaša pitanja u vezi s izračunom površine raznih trokuta i da ne morate tražiti dodatne informacije drugdje. Sretno sa studijem!

Da biste odredili površinu trokuta, možete koristiti različite formule. Od svih metoda, najlakši i najčešće korišteni je množenje visine s duljinom baze, a zatim dijeljenje rezultata s dva. Međutim, ova metoda je daleko od jedine. U nastavku možete pročitati kako pronaći površinu trokuta pomoću različitih formula.

Zasebno ćemo razmotriti metode za izračunavanje površine određenih vrsta trokuta - pravokutnog, jednakokračnog i jednakostraničnog. Svaku formulu pratimo kratkim objašnjenjem koje će vam pomoći da shvatite njezinu bit.

Univerzalni načini za pronalaženje površine trokuta

Formule u nastavku koriste posebne oznake. Dešifrirat ćemo svaki od njih:

• a, b, c su duljine triju strana figure koju razmatramo;
• r je polumjer kruga koji se može upisati u naš trokut;
• R je polumjer kruga koji se može opisati oko njega;
• α - vrijednost kuta koji čine stranice b i c;
• β je kut između a i c;
• γ - vrijednost kuta koji čine stranice a i b;
• h je visina našeg trokuta, spuštena od kuta α na stranu a;
• p je polovica zbroja stranica a, b i c.

Logično je jasno zašto možete pronaći područje trokuta na ovaj način. Trokut se lako dovršava do paralelograma, u kojem će jedna strana trokuta djelovati kao dijagonala. Područje paralelograma nalazi se množenjem duljine jedne od njegovih stranica s vrijednošću visine nacrtane na nju. Dijagonala dijeli ovaj uvjetni paralelogram na 2 identična trokuta. Stoga je sasvim očito da površina našeg izvornog trokuta treba biti jednaka polovici površine ovog pomoćnog paralelograma.

S=½ a b sin γ

Prema ovoj formuli, površina trokuta nalazi se množenjem duljina njegovih dviju stranica, to jest a i b, sa sinusom kuta koji tvore. Ova formula je logično izvedena iz prethodne. Spustimo li visinu s kuta β na stranicu b, tada, prema svojstvima pravokutnog trokuta, množenjem duljine stranice a sa sinusom kuta γ dobivamo visinu trokuta, odnosno h.

Područje figure koja se razmatra nalazi se množenjem polovice polumjera kruga, koji se u njega može upisati, s njegovim perimetrom. Drugim riječima, nalazimo umnožak poluperimetra i polumjera spomenute kružnice.

S= a b c/4R

Prema ovoj formuli, vrijednost koja nam je potrebna može se pronaći dijeljenjem umnoška stranica figure s 4 radijusa kruga opisanog oko njega.

Ove formule su univerzalne jer omogućuju određivanje površine bilo kojeg trokuta (razmjernog, jednakokračnog, jednakostraničnog, pravokutnog). To se može učiniti uz pomoć složenijih izračuna, na kojima se nećemo detaljnije zadržavati.

Površine trokuta s određenim svojstvima

Kako pronaći područje pravokutnog trokuta? Značajka ove figure je da su dvije strane istovremeno njene visine. Ako su a i b katete, a c postaje hipotenuza, tada se površina nalazi na sljedeći način:

Kako pronaći površinu jednakokračnog trokuta? Ima dvije stranice duljine a i jednu stranicu duljine b. Stoga se njegova površina može odrediti dijeljenjem s 2 umnoška kvadrata stranice a i sinusa kuta γ.

Kako pronaći područje jednakostraničnog trokuta? U njemu je duljina svih stranica a, a vrijednost svih kutova α. Njegova je visina pola umnoška duljine stranice a puta kvadratnog korijena iz 3. Da biste pronašli površinu pravilnog trokuta, trebate kvadrat stranice a pomnožiti s kvadratnim korijenom iz 3 i podijeliti s 4.

Površina trokuta - formule i primjeri rješavanja problema

Ispod su formule za pronalaženje površine proizvoljnog trokuta koji su prikladni za pronalaženje površine bilo kojeg trokuta, bez obzira na njegova svojstva, kutove ili dimenzije. Formule su prikazane u obliku slike, a ovdje su objašnjenja za primjenu ili obrazloženje njihove ispravnosti. Također, posebna slika prikazuje korespondenciju slovnih simbola u formulama i grafičkih simbola na crtežu.

Bilješka . Ako trokut ima posebna svojstva (istokračan, pravokutan, jednakostraničan), možete koristiti donje formule, kao i dodatno posebne formule koje vrijede samo za trokute s ovim svojstvima:

• "Formule za područje jednakostraničnog trokuta"

Formule površine trokuta

Objašnjenja za formule:
a, b, c- duljine stranica trokuta čiju površinu želimo pronaći
r- polumjer kružnice upisane u trokut
R- polumjer opisane kružnice oko trokuta
h- visina trokuta, spuštena na stranu
str- poluopseg trokuta, 1/2 zbroja njegovih stranica (opseg)
α - kut nasuprot stranici a trokuta
β - kut nasuprot stranici b trokuta
γ - kut nasuprot stranici c trokuta
h a, h b , h c- visina trokuta, spuštena na stranicu a, b, c

Imajte na umu da navedena oznaka odgovara gornjoj slici, tako da bi vam prilikom rješavanja stvarnog problema u geometriji bilo vizualno lakše zamijeniti ispravne vrijednosti na pravim mjestima u formuli.

• Površina trokuta je polovica umnoška visine trokuta i duljine stranice na koju je ta visina spuštena(Formula 1). Ispravnost ove formule može se razumjeti logično. Visina spuštena na bazu razdvojit će proizvoljni trokut na dva pravokutna. Ako svaki od njih dovršimo do pravokutnika s dimenzijama b i h, tada će, očito, površina ovih trokuta biti jednaka točno polovici površine pravokutnika (Spr = bh)
• Površina trokuta je polovica umnoška njegovih dviju stranica i sinusa kuta između njih(Formula 2) (pogledajte primjer rješavanja problema pomoću ove formule u nastavku). Unatoč činjenici da se čini drugačijim od prethodnog, lako se može transformirati u njega. Spustimo li visinu s kuta B na stranicu b, ispada da je umnožak stranice a i sinusa kuta γ, prema svojstvima sinusa u pravokutnom trokutu, jednak visini trokuta nacrtanog s nas, što će nam dati prethodnu formulu
• Može se pronaći površina proizvoljnog trokuta kroz raditi pola polumjera kruga upisanog u njega zbrojem duljina svih njegovih stranica(Formula 3), drugim riječima, trebate pomnožiti polumjer trokuta s polumjerom upisane kružnice (lakše je zapamtiti na ovaj način)
• Područje proizvoljnog trokuta može se pronaći dijeljenjem umnoška svih njegovih stranica s 4 radijusa kruga opisanog oko njega (Formula 4)
• Formula 5 je pronalaženje površine trokuta u smislu duljina njegovih stranica i njegovog poluopsega (polovica zbroja svih njegovih stranica)
• Heronova formula(6) je prikaz iste formule bez korištenja koncepta poluperimetra, samo kroz duljine stranica
• Površina proizvoljnog trokuta jednaka je umnošku kvadrata stranice trokuta i sinusa kutova uz ovu stranu podijeljenog s dvostrukim sinusom kuta nasuprot ovoj strani (Formula 7)
• Površina proizvoljnog trokuta može se pronaći kao umnožak dvaju kvadrata kruga opisanog oko njega i sinusa svakog od njegovih kutova. (Formula 8)
• Ako su poznati duljina jedne stranice i veličina dvaju kutova uz nju, tada se površina trokuta može pronaći kao kvadrat ove stranice, podijeljen s dvostrukim zbrojem kotangenata ovih kutovi (Formula 9)
• Ako je poznata samo duljina svake od visina trokuta (Formula 10), tada je površina takvog trokuta obrnuto proporcionalna duljinama tih visina, kao po Heronovoj formuli
• Formula 11 vam omogućuje izračunavanje površina trokuta prema koordinatama njegovih vrhova, koje su dane kao (x;y) vrijednosti za svaki od vrhova. Imajte na umu da se dobivena vrijednost mora uzeti modulo, budući da koordinate pojedinačnih (ili čak svih) vrhova mogu biti u području negativnih vrijednosti

Bilješka. Slijede primjeri rješavanja zadataka iz geometrije za pronalaženje površine trokuta. Ako trebate riješiti problem iz geometrije, sličan onom koji nije ovdje - pišite o tome na forumu. U rješenjima se funkcija sqrt() može koristiti umjesto simbola "kvadratnog korijena", u kojem je sqrt simbol kvadratnog korijena, a radikalni izraz naveden je u zagradama.Ponekad se simbol može koristiti za jednostavne radikalne izraze √

Zadatak. Odredite površinu datih dviju stranica i kut između njih

Stranice trokuta su 5 i 6 cm, a kut između njih je 60 stupnjeva. Pronađite površinu trokuta.

Riješenje.

Za rješavanje ovog problema koristimo formulu broj dva iz teorijskog dijela lekcije.
Površina trokuta može se pronaći kroz duljine dviju stranica i sinusa kuta između njih i bit će jednaka
S=1/2 ab sin γ

Budući da imamo sve potrebne podatke za rješenje (prema formuli), u formulu možemo samo zamijeniti vrijednosti iz tvrdnje problema:
S=1/2*5*6*sin60

U tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija nalazimo i zamjenjujemo u izrazu vrijednost sinusa od 60 stupnjeva. Bit će jednako korijenu od tri puta dva.
S = 15 √3 / 2

Odgovor: 7,5 √3 (ovisno o zahtjevima nastavnika, vjerojatno je moguće ostaviti 15 √3/2)

Zadatak. Pronađite površinu jednakostraničnog trokuta

Odredite površinu jednakostraničnog trokuta sa stranicom od 3 cm.

Riješenje .

Površina trokuta može se pronaći pomoću Heronove formule:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Budući da je a \u003d b \u003d c, formula za površinu jednakostraničnog trokuta će imati oblik:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Odgovor: 9 √3 / 4.

Zadatak. Promjena površine pri promjeni duljine stranica

Koliko će se puta povećati površina trokuta ako se stranice učetverostruče?

Riješenje.

Budući da su nam dimenzije stranica trokuta nepoznate, za rješavanje problema pretpostavit ćemo da su duljine stranica redom jednake proizvoljnim brojevima a, b, c. Zatim, da bismo odgovorili na pitanje zadatka, nalazimo površinu ovog trokuta, a zatim nalazimo površinu trokuta čije su stranice četiri puta veće. Omjer površina ovih trokuta dat će nam odgovor na zadatak.

Zatim dajemo tekstualno objašnjenje rješenja problema u koracima. Međutim, na samom kraju, isto rješenje je prikazano u grafičkom obliku koji je pogodniji za percepciju. Oni koji žele mogu odmah ispustiti rješenje.

Za rješavanje koristimo Heronovu formulu (vidi gore u teoretskom dijelu lekcije). Ovako izgleda:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte prvi redak slike ispod)

Duljine stranica proizvoljnog trokuta dane su varijablama a, b, c.
Ako se strane povećaju 4 puta, tada će površina novog trokuta c biti:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(pogledajte drugi red na slici ispod)

Kao što vidite, 4 je zajednički faktor koji se može staviti u zagrade iz sva četiri izraza prema općim pravilima matematike.
Zatim

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - u trećoj liniji slike
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - četvrti red

Iz broja 256 savršeno je izvučen kvadratni korijen pa ćemo ga izvaditi ispod korijena
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte petu liniju donje slike)

Da bismo odgovorili na pitanje postavljeno u problemu, dovoljno nam je podijeliti površinu dobivenog trokuta s površinom izvornog.
Omjere površina određujemo tako da izraze podijelimo jedan u drugi i smanjimo dobiveni razlomak.

Trokut je dobro poznata figura. I to, unatoč bogatoj raznolikosti njegovih oblika. Pravokutan, jednakostraničan, šiljast, jednakokračan, tup. Svaki od njih je nešto drugačiji. Ali za sve je potrebno znati područje trokuta.

Uobičajene formule za sve trokute koje koriste duljine stranica ili visine

Oznake usvojene u njima: strane - a, b, c; visine na odgovarajućim stranama na a, n in, n s.

1. Površina trokuta izračunava se kao umnožak ½, stranice i visine spuštene na nju. S = ½ * a * n a. Slično, treba napisati formule za druge dvije strane.

2. Heronova formula, u kojoj se pojavljuje poluopseg (uobičajeno je označavati ga malim slovom p, za razliku od punog oboda). Polu-opseg se mora izračunati na sljedeći način: zbrojite sve strane i podijelite ih s 2. Polu-opseg formula: p \u003d (a + b + c) / 2. Zatim jednakost za površinu \ u200b\u200bfigura izgleda ovako: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Ako ne želite koristiti polu-perimetar, tada će vam dobro doći takva formula u kojoj su prisutne samo duljine stranica: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Nešto je duži od prethodnog, ali će vam pomoći ako ste zaboravili pronaći poluopseg.

Opće formule u kojima se pojavljuju kutovi trokuta

Oznake potrebne za čitanje formula: α, β, γ - kutovi. Leže nasuprot stranicama a, b, c.

1. Prema njemu, polovica proizvoda dviju strana i sinusa kuta između njih jednaka je površini trokuta. To je: S = ½ a * b * sin γ. Formule za druga dva slučaja treba napisati na sličan način.

2. Površina trokuta može se izračunati iz jedne strane i tri poznata kuta. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Postoji i formula s jednom poznatom stranom i dva kuta uz nju. To izgleda ovako: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Posljednje dvije formule nisu najjednostavnije. Prilično ih je teško zapamtiti.

Opće formule za situaciju kada su poznati polumjeri upisane ili opisane kružnice

Dodatne oznake: r, R — radijusi. Prvi se koristi za radijus upisane kružnice. Drugi je za opisani.

1. Prva formula kojom se izračunava površina trokuta odnosi se na poluopseg. S = r * r. Na drugi način, može se napisati na sljedeći način: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. U drugom slučaju, morat ćete pomnožiti sve stranice trokuta i podijeliti ih s četverostrukim polumjerom opisane kružnice. U doslovnom smislu, to izgleda ovako: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. Treća situacija vam omogućuje da ne znate strane, ali trebate vrijednosti sva tri kuta. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Poseban slučaj: pravokutni trokut

Ovo je najjednostavnija situacija, jer je potrebna samo duljina obje noge. Označavaju se latiničnim slovima a i b. Površina pravokutnog trokuta jednaka je polovici površine pravokutnika koja mu je dodana.

Matematički to izgleda ovako: S = ½ a * b. Nju je najlakše zapamtiti. Budući da izgleda kao formula za površinu pravokutnika, pojavljuje se samo razlomak koji označava polovicu.

Poseban slučaj: jednakokračni trokut

Budući da su mu dvije strane jednake, neke formule za njegovu površinu izgledaju pomalo pojednostavljene. Na primjer, Heronova formula, koja izračunava površinu jednakokračnog trokuta, ima sljedeći oblik:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Ako ga pretvorite, postat će kraći. U ovom slučaju, Heronova formula za jednakokračni trokut napisana je na sljedeći način:

S = ¼ u √(4 * a 2 - b 2).

Formula površine izgleda nešto jednostavnije nego za proizvoljni trokut ako su poznate stranice i kut između njih. S \u003d ½ a 2 * sin β.

Poseban slučaj: jednakostranični trokut

Obično se u problemima oko njega strana zna ili se može nekako prepoznati. Tada je formula za pronalaženje područja takvog trokuta sljedeća:

S = (a 2 √3) / 4.

Zadaci za određivanje površine ako je trokut prikazan na kariranom papiru

Najjednostavnija situacija je kada je pravokutni trokut nacrtan tako da mu se kraci poklapaju s linijama papira. Tada samo trebate prebrojati broj stanica koje stanu u noge. Zatim ih pomnožite i podijelite s dva.

Kada je trokut šiljast ili tup, mora se povući u pravokutnik. Tada će u rezultirajućoj slici biti 3 trokuta. Jedan je onaj zadan u zadatku. A druga dva su pomoćna i pravokutna. Područja posljednja dva moraju se odrediti gore opisanom metodom. Zatim izračunajte površinu pravokutnika i od njega oduzmite one izračunate za pomoćne. Određuje se površina trokuta.

Mnogo je teža situacija u kojoj se niti jedna stranica trokuta ne podudara s linijama papira. Zatim se mora upisati u pravokutnik tako da vrhovi izvorne figure leže na njegovim stranama. U ovom slučaju bit će tri pomoćna pravokutna trokuta.

Primjer zadatka na Heronovoj formuli

Stanje. Neki trokut ima stranice. One su jednake 3, 5 i 6 cm, a morate znati njegovu površinu.

Sada možete izračunati površinu trokuta pomoću gornje formule. Pod kvadratnim korijenom nalazi se umnožak četiri broja: 7, 4, 2 i 1. To jest, površina je √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Ako vam nije potrebna veća preciznost, možete izvaditi kvadratni korijen iz 14. To je 3,74. Tada će površina biti jednaka 7,48.

Odgovor. S \u003d 2 √14 cm 2 ili 7,48 cm 2.

Primjer zadatka s pravokutnim trokutom

Stanje. Jedna kateta pravokutnog trokuta je 31 cm duža od druge. Potrebno je saznati njihove duljine ako je površina trokuta 180 cm 2.
Riješenje. Morate riješiti sustav dviju jednadžbi. Prvi se odnosi na područje. Drugi je s omjerom nogu, koji je dan u problemu.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
Prvo, vrijednost "a" mora se zamijeniti u prvoj jednadžbi. Ispada: 180 \u003d ½ (in + 31) * in. Ima samo jednu nepoznatu količinu, pa ju je lako riješiti. Nakon otvaranja zagrada dobiva se kvadratna jednadžba: u 2 + 31 u - 360 \u003d 0. Daje dvije vrijednosti za "u": 9 i - 40. Drugi broj nije prikladan kao odgovor , budući da duljina stranice trokuta ne može biti negativna vrijednost.

Ostaje izračunati drugu nogu: dobivenom broju dodajte 31. Ispada 40. To su količine koje se traže u problemu.

Odgovor. Kraci trokuta su 9 i 40 cm.

Zadatak određivanja stranice kroz površinu, stranicu i kut trokuta

Stanje. Površina nekog trokuta je 60 cm2. Potrebno je izračunati jednu njegovu stranu ako je druga stranica 15 cm, a kut između njih 30º.

Riješenje. Na temelju prihvaćenih oznaka, željena stranica je "a", poznata "b", zadani kut je "γ". Tada se formula površine može prepisati na sljedeći način:

60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. Ovdje je sinus od 30 stupnjeva 0,5.

Nakon transformacija, "a" ispada da je jednako 60 / (0,5 * 0,5 * 15). To je 16.

Odgovor. Željena stranica je 16 cm.

Problem kvadrata upisanog u pravokutni trokut

Stanje. Vrh kvadrata sa stranicom 24 cm poklapa se s pravim kutom trokuta. Druga dvojica leže na nogama. Trećina pripada hipotenuzi. Duljina jedne od krakova je 42 cm. Kolika je površina pravokutnog trokuta?

Riješenje. Promotrimo dva pravokutna trokuta. Prvi je naveden u zadatku. Drugi se temelji na poznatom kraku izvornog trokuta. Slični su jer imaju zajednički kut i tvore ih paralelni pravci.

Tada su im omjeri kateta jednaki. Kraci manjeg trokuta su 24 cm (stranica kvadrata) i 18 cm (dana kateta 42 cm umanjena za stranicu kvadrata 24 cm). Odgovarajuće noge velikog trokuta su 42 cm i x cm. To je "x" koji je potreban da bi se izračunala površina trokuta.

18/42 \u003d 24 / x, odnosno x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

Tada je površina jednaka umnošku 56 i 42, podijeljenom s dva, odnosno 1176 cm 2.

Odgovor. Željena površina je 1176 cm 2.

Na internetu se može pronaći više od 10 formula za izračunavanje površine trokuta. Mnoge od njih se koriste u problemima s poznatim stranicama i kutovima trokuta. Međutim, postoji niz složenih primjera gdje su prema uvjetu zadatka poznati samo jedna stranica i kutovi trokuta, odnosno polumjer opisane ili upisane kružnice i još jedna karakteristika. U takvim slučajevima ne može se primijeniti jednostavna formula.

Formule u nastavku riješit će 95 posto problema u kojima trebate pronaći površinu trokuta.
Prijeđimo na razmatranje formula zajedničke površine.
Razmotrite trokut prikazan na donjoj slici

Na slici i dalje u formulama uvedene su klasične oznake svih njegovih karakteristika
a,b,c su stranice trokuta,
R je polumjer opisane kružnice,
r je polumjer upisane kružnice,
h[b],h[a],h[c] - visine nacrtane u skladu sa stranicama a,b,c.
alfa, beta, hamma - kutovi blizu vrhova.

Osnovne formule za površinu trokuta

1. Površina je jednaka polovici umnoška stranice trokuta i visine spuštene na ovu stranicu. U jeziku formula, ova se definicija može napisati kao

Dakle, ako su poznata stranica i visina, tada će svaki učenik pronaći površinu.
Usput, iz ove formule može se izvesti jedan koristan odnos između visina

2. Ako uzmemo u obzir da se visina trokuta kroz susjednu stranicu izražava ovisnošću

Zatim iz prve formule površine slijedi isti tip druge

Pažljivo pogledajte formule - lako ih je zapamtiti, jer rad sadrži dvije strane i kut između njih. Ako ispravno označimo stranice i kutove trokuta (kao na gornjoj slici), tada ćemo dobiti dvije strane a, b a kut se odnosi na treći C (hamma).

3. Za kutove trokuta relacija

Ovisnost vam omogućuje primjenu sljedećih formula za područje trokuta u izračunima

Primjeri ove ovisnosti izuzetno su rijetki, ali morate zapamtiti da postoji takva formula.

4. Ako su poznata stranica i dva susjedna kuta, tada se površina nalazi po formuli

5. Formula za površinu u smislu stranice i kotangensa susjednih kutova je sljedeća

Preuređivanjem indeksa možete dobiti ovisnosti za druge strane.

6. Donja formula površine koristi se u zadacima kada su vrhovi trokuta zadani na ravnini s koordinatama. U ovom slučaju površina je jednaka polovici modulo determinante.

7. Heronova formula koristi se u primjerima s poznatim stranicama trokuta.
Najprije pronađite poluopseg trokuta

Zatim odredite područje formulom

ili

Često se koristi u kodu programa kalkulatora.

8. Ako su poznate sve visine trokuta, tada se površina određuje formulom

Na kalkulatoru je teško izračunati, međutim u paketima MathCad, Mathematica, Maple površina je "jedan dva".

9. Sljedeće formule koriste poznate radijuse upisanih i opisanih kružnica.

Konkretno, ako su poznati polumjer i stranice trokuta ili njegov opseg, tada se površina izračunava prema formuli

10. U primjerima gdje su dane stranice i polumjer ili promjer opisane kružnice, površina se nalazi prema formuli

11. Sljedeća formula određuje površinu trokuta u smislu stranice i kutova trokuta.

I na kraju - posebni slučajevi:
Površina pravokutnog trokuta s katetama a i b jednaka je polovici njihova umnoška

Formula za površinu jednakostraničnog (pravilnog) trokuta=

\u003d jedna četvrtina umnoška kvadrata stranice i korijena iz tri.