Kako pronaći područje postoje tri strane poznate. Površina trokuta

Ponekad u životu postoje situacije kada morate zadubiti u svoje pamćenje u potrazi za davno zaboravljenim školskim znanjem. Na primjer, trebate odrediti površinu parcele trokutastog oblika ili je došlo vrijeme za još jednu obnovu u stanu ili privatnoj kući i morate izračunati koliko će materijala biti potrebno za površinu s trokutasti oblik. Bilo je vrijeme kada ste mogli riješiti takav problem u nekoliko minuta, ali sada se očajnički pokušavate sjetiti kako odrediti površinu trokuta?

Ne brini za to! Uostalom, sasvim je normalno kada čovjekov mozak odluči prenijeti dugo neiskorišteno znanje negdje u zabačeni kutak, odakle ga ponekad nije tako lako izvući. Kako se ne biste morali mučiti s traženjem zaboravljenog školskog znanja za rješavanje takvog problema, ovaj članak sadrži različite metode koje olakšavaju pronalaženje tražene površine trokuta.

Dobro je poznato da je trokut vrsta mnogokuta koji je ograničen na najmanji mogući broj stranica. U načelu, bilo koji mnogokut može se podijeliti na nekoliko trokuta spajanjem njegovih vrhova segmentima koji ne sijeku njegove stranice. Stoga, znajući trokut, možete izračunati površinu gotovo bilo koje figure.

Među svim mogućim trokutima koji se pojavljuju u životu mogu se razlikovati sljedeći posebni tipovi: i pravokutni.

Najlakši način za izračunavanje površine trokuta je kada je jedan od njegovih kutova prav, odnosno u slučaju pravokutnog trokuta. Lako je vidjeti da je to polovica pravokutnika. Stoga je njegova površina jednaka polovici umnoška stranica koje međusobno tvore pravi kut.

Ako znamo visinu trokuta, spuštenu s jednog od njegovih vrhova na suprotnu stranu, i duljinu te stranice, koja se naziva baza, tada se površina izračunava kao polovica umnoška visine i baze. Ovo je napisano pomoću sljedeće formule:

S = 1/2*b*h, u kojem

S je potrebna površina trokuta;

b, h - odnosno visina i baza trokuta.

Tako je lako izračunati površinu jednakokračnog trokuta jer će visina prepoloviti suprotnu stranu i može se lako izmjeriti. Ako je područje određeno, tada je prikladno uzeti duljinu jedne od stranica koje čine pravi kut kao visinu.

Sve je to naravno dobro, ali kako odrediti je li jedan od kutova trokuta pravi ili ne? Ako je veličina naše figure mala, tada možemo koristiti konstrukcijski kut, trokut za crtanje, razglednicu ili neki drugi predmet pravokutnog oblika.

Ali što ako imamo trokutastu parcelu? U tom slučaju postupite na sljedeći način: od vrha pretpostavljenog pravog kuta na jednoj strani izmjerite udaljenost višekratnik 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), a na drugoj strani izmjerite udaljenost višekratnik 4 u istoj proporcija (40 cm, 160 cm, 4 m). Sada morate izmjeriti udaljenost između krajnjih točaka ova dva segmenta. Ako je rezultat višekratnik broja 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), tada možemo reći da je kut pravi.

Ako je poznata duljina svake od tri strane naše figure, tada se površina trokuta može odrediti pomoću Heronove formule. Kako bi imao jednostavniji oblik, koristi se nova vrijednost koja se naziva poluperimetar. Ovo je zbroj svih strana našeg trokuta, podijeljen na pola. Nakon što je izračunat poluperimetar, možete početi s određivanjem površine pomoću formule:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), gdje je

sqrt - kvadratni korijen;

p - vrijednost poluperimetra (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - rubovi (stranice) trokuta.

Ali što ako trokut ima nepravilan oblik? Ovdje postoje dva moguća načina. Prvi od njih je pokušati podijeliti takvu figuru u dva pravokutna trokuta, čiji se zbroj površina izračunava zasebno, a zatim zbraja. Ili, ako su poznati kut između dviju stranica i veličina tih stranica, primijenite formulu:

S = 0,5 * ab * sinC, gdje je

a,b - stranice trokuta;

c je veličina kuta između ovih stranica.

Potonji slučaj je rijedak u praksi, ali ipak, sve je moguće u životu, tako da gornja formula neće biti suvišna. Sretno s izračunima!

Da biste odredili površinu trokuta, možete koristiti različite formule. Od svih metoda, najjednostavnija i najčešće korištena je da se visina pomnoži s duljinom baze i zatim rezultat podijeli s dva. Međutim, ova metoda je daleko od jedine. U nastavku možete pročitati kako pronaći površinu trokuta pomoću različitih formula.

Zasebno ćemo pogledati načine za izračunavanje površine određenih vrsta trokuta - pravokutnog, jednakokračnog i jednakostraničnog. Svaku formulu pratimo kratkim objašnjenjem koje će vam pomoći da shvatite njezinu bit.

Univerzalne metode za pronalaženje površine trokuta

Formule u nastavku koriste posebne oznake. Dešifrirat ćemo svaki od njih:

a, b, c – duljine triju stranica figure koju razmatramo;
r je polumjer kruga koji se može upisati u naš trokut;
R je polumjer kruga koji se može opisati oko njega;
α je veličina kuta koji čine stranice b i c;
β je veličina kuta između a i c;
γ je veličina kuta koji čine stranice a i b;
h je visina našeg trokuta, spuštena od kuta α na stranu a;
p – polovica zbroja stranica a, b i c.

Logično je jasno zašto možete pronaći područje trokuta na ovaj način. Trokut se lako može dovršiti u paralelogram, u kojem će jedna stranica trokuta djelovati kao dijagonala. Područje paralelograma nalazi se množenjem duljine jedne od njegovih stranica s vrijednošću visine nacrtane na nju. Dijagonala dijeli ovaj uvjetni paralelogram na 2 identična trokuta. Stoga je sasvim očito da površina našeg izvornog trokuta mora biti jednaka polovici površine ovog pomoćnog paralelograma.

S=½ a b sin γ

Prema ovoj formuli, površina trokuta nalazi se množenjem duljina njegovih dviju stranica, to jest a i b, sa sinusom kuta koji one čine. Ova formula je logično izvedena iz prethodne. Spustimo li visinu s kuta β na stranicu b, tada, prema svojstvima pravokutnog trokuta, kad pomnožimo duljinu stranice a sa sinusom kuta γ, dobivamo visinu trokuta, odnosno h .

Područje dotične figure nalazi se množenjem polovice polumjera kruga koji se u njega može upisati s njegovim opsegom. Drugim riječima, nalazimo umnožak polumjera i polumjera spomenute kružnice.

S= a b c/4R

Prema ovoj formuli, vrijednost koja nam je potrebna može se pronaći dijeljenjem umnoška stranica figure s 4 radijusa kruga opisanog oko njega.

Ove formule su univerzalne, jer omogućuju određivanje površine bilo kojeg trokuta (razmjerni, jednakokračni, jednakostranični, pravokutni). To se može učiniti pomoću složenijih izračuna, na kojima se nećemo detaljnije zadržavati.

Površine trokuta s određenim svojstvima

Kako pronaći područje pravokutnog trokuta? Osobitost ove figure je u tome što su njene dvije strane istovremeno i visine. Ako su a i b katete, a c postaje hipotenuza, tada područje nalazimo ovako:

Kako pronaći površinu jednakokračnog trokuta? Ima dvije stranice duljine a i jednu stranicu duljine b. Prema tome, njegova se površina može odrediti dijeljenjem s 2 umnoška kvadrata stranice a sa sinusom kuta γ.

Kako pronaći područje jednakostraničnog trokuta? U njemu je duljina svih stranica jednaka a, a veličina svih kutova α. Njegova visina jednaka je polovici umnoška duljine stranice a i kvadratnog korijena od 3. Da biste pronašli površinu pravilnog trokuta, morate kvadrat stranice a pomnožiti s kvadratnim korijenom od 3 i podijeliti s 4.

Trokut je jedan od najčešćih geometrijskih oblika s kojim se upoznajemo u osnovnoj školi. Svaki se učenik suočava s pitanjem kako pronaći područje trokuta u nastavi geometrije. Dakle, koje se značajke pronalaženja područja određene figure mogu identificirati? U ovom ćemo članku pogledati osnovne formule potrebne za dovršenje takvog zadatka, a također ćemo analizirati vrste trokuta.

Vrste trokuta

Područje trokuta možete pronaći na potpuno različite načine, jer u geometriji postoji više od jedne vrste figura koje sadrže tri kuta. Ove vrste uključuju:

Tupi.
Jednakostraničan (ispravan).
Pravokutni trokut.
Jednakokračan.

Pogledajmo pobliže svaku od postojećih vrsta trokuta.

Ova se geometrijska figura smatra najčešćom prilikom rješavanja geometrijskih problema. Kada se pojavi potreba za crtanjem proizvoljnog trokuta, ova opcija dolazi u pomoć.

U oštrokutnom trokutu, kao što naziv govori, svi su kutovi oštri i zbroj njih iznosi 180°.

Ova vrsta trokuta također je vrlo česta, ali je nešto rjeđa od onog s oštrim kutom. Na primjer, kada rješavate trokut (tj. poznato je nekoliko njegovih stranica i kutova i trebate pronaći preostale elemente), ponekad morate odrediti je li kut tup ili ne. Kosinus je negativan broj.

B, vrijednost jednog od kutova prelazi 90 °, tako da preostala dva kuta mogu imati male vrijednosti (na primjer, 15 ° ili čak 3 °).

Da biste pronašli područje trokuta ove vrste, morate znati neke nijanse, o kojima ćemo kasnije govoriti.

Pravilni i jednakokračni trokut

Pravilan mnogokut je lik koji ima n kutova i sve stranice i kutovi su jednaki. To je ono što je pravilan trokut. Kako je zbroj svih kutova trokuta 180°, svaki od triju kutova iznosi 60°.

Pravilni trokut, zbog svog svojstva, nazivamo i jednakostraničan lik.

Također je vrijedno napomenuti da se u pravilan trokut može upisati samo jedna kružnica, oko koje se može opisati samo jedna kružnica, a središta su im u istoj točki.

Osim jednakostraničnog tipa, može se razlikovati i jednakokračni trokut, koji se malo razlikuje od njega. U takvom su trokutu dvije stranice i dva kuta međusobno jednaki, a treća stranica (kojoj se priliježu jednaki kutovi) je osnovica.

Na slici je prikazan jednakokračni trokut DEF čiji su kutovi D i F jednaki, a DF je osnovica.

Pravokutni trokut

Pravokutni trokut nazvan je tako jer mu je jedan kut prav, odnosno jednak 90°. Zbroj druga dva kuta iznosi 90°.

Najveća stranica takvog trokuta, koja leži nasuprot kutu od 90°, je hipotenuza, dok su preostale dvije stranice katete. Za ovu vrstu trokuta vrijedi Pitagorina teorema:

Zbroj kvadrata duljina kateta jednak je kvadratu duljine hipotenuze.

Na slici je prikazan pravokutni trokut BAC s hipotenuzom AC i katetama AB i BC.

Da biste pronašli područje trokuta s pravim kutom, morate znati brojčane vrijednosti njegovih nogu.

Prijeđimo na formule za pronalaženje područja zadane figure.

Osnovne formule za određivanje površine

U geometriji postoje dvije formule koje su prikladne za pronalaženje površine većine vrsta trokuta, naime za šiljasti, tupi, pravilni i jednakokračni trokut. Pogledajmo svaki od njih.

Po strani i visini

Ova formula je univerzalna za pronalaženje područja figure koju razmatramo. Da biste to učinili, dovoljno je znati duljinu stranice i duljinu visine nacrtane na nju. Sama formula (polovica umnoška baze i visine) je sljedeća:

gdje je A stranica danog trokuta, a H je visina trokuta.

Na primjer, da biste pronašli područje oštrog trokuta ACB, morate pomnožiti njegovu stranu AB s visinom CD i podijeliti dobivenu vrijednost s dva.

Međutim, nije uvijek lako pronaći površinu trokuta na ovaj način. Na primjer, da biste upotrijebili ovu formulu za tupokutni trokut, trebate produžiti jednu njegovu stranicu i tek joj onda nacrtati visinu.

U praksi se ova formula koristi češće od ostalih.

S obje strane i kut

Ova je formula, kao i prethodna, prikladna za većinu trokuta i po svom značenju posljedica je formule za određivanje površine stranice i visine trokuta. Odnosno, formula o kojoj je riječ može se lako izvesti iz prethodne. Njegova formulacija izgleda ovako:

S = ½*sinO*A*B,

gdje su A i B stranice trokuta, a O je kut između stranica A i B.

Podsjetimo se da se sinus kuta može vidjeti u posebnoj tablici nazvanoj po izvanrednom sovjetskom matematičaru V. M. Bradisu.

Sada prijeđimo na druge formule koje su prikladne samo za iznimne vrste trokuta.

Površina pravokutnog trokuta

Osim univerzalne formule, koja uključuje potrebu za pronalaženjem nadmorske visine u trokutu, područje trokuta koji sadrži pravi kut može se pronaći iz njegovih nogu.

Dakle, površina trokuta koji sadrži pravi kut je pola umnoška njegovih krakova, ili:

gdje su a i b katete pravokutnog trokuta.

Pravilni trokut

Ova vrsta geometrijske figure razlikuje se po tome što se njezino područje može pronaći s naznačenom vrijednošću samo jedne njegove strane (budući da su sve strane pravilnog trokuta jednake). Dakle, kada se suočite sa zadatkom "pronalaženja površine trokuta kada su strane jednake", morate koristiti sljedeću formulu:

S = A 2 *√3 / 4,

gdje je A stranica jednakostraničnog trokuta.

Heronova formula

Posljednja opcija za pronalaženje površine trokuta je Heronova formula. Da biste ga koristili, morate znati duljine triju stranica figure. Heronova formula izgleda ovako:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

gdje su a, b i c stranice danog trokuta.

Ponekad se daje problem: "površina pravilnog trokuta je pronaći duljinu njegove strane." U ovom slučaju moramo upotrijebiti već poznatu formulu za pronalaženje površine pravilnog trokuta i iz nje izvesti vrijednost stranice (ili njezinog kvadrata):

A 2 = 4S / √3.

Ispitni zadaci

Postoje mnoge formule u GIA problemima iz matematike. Osim toga, često je potrebno pronaći površinu trokuta na kariranom papiru.

U ovom slučaju, najprikladnije je nacrtati visinu na jednu od strana figure, odrediti njezinu duljinu iz ćelija i koristiti univerzalnu formulu za pronalaženje područja:

Dakle, nakon proučavanja formula predstavljenih u članku, nećete imati problema s pronalaženjem područja trokuta bilo koje vrste.

Školski kurikulum predviđa poučavanje djece geometriji od najranije dobi. Jedno od najosnovnijih znanja u ovoj oblasti je pronalaženje područja raznih oblika. U ovom ćemo članku pokušati dati sve moguće načine za dobivanje ove vrijednosti, od najjednostavnijih do najsloženijih.

Warp

Prva formula koju djeca uče u školi uključuje pronalaženje površine trokuta kroz duljinu njegove visine i baze. Visina je segment izvučen iz vrha trokuta pod pravim kutom na suprotnu stranu, koja će biti baza. Kako pronaći površinu trokuta koristeći ove količine?

Ako je V visina, a O baza, tada je površina S=V*O:2.

Druga opcija za dobivanje željene vrijednosti zahtijeva da znamo duljine dviju stranica, kao i veličinu kuta između njih. Ako imamo L i M - duljine stranica i Q - kut između njih, tada površinu možete dobiti pomoću formule S=(L*M*sin(Q))/2.

Heronova formula

Uz sve ostale odgovore na pitanje kako izračunati površinu trokuta, postoji formula koja nam omogućuje da dobijemo potrebnu vrijednost, znajući samo duljine stranica. Odnosno, ako znamo duljine svih stranica, tada ne trebamo crtati visinu i izračunavati njezinu duljinu. Možemo koristiti takozvanu Heronovu formulu.

Ako su M, N, L duljine stranica, tada površinu trokuta možemo pronaći na sljedeći način. P=(M+N+L)/2, tada je vrijednost koju trebamo S 2 =P*(P-M)*(P-L)*(P-N). Na kraju nam preostaje samo izračunati korijen.

Za pravokutni trokut, Heronova formula je malo pojednostavljena. Ako su M, L noge, tada je S=(P-M)*(P-L).

Krugovi

Drugi način za pronalaženje površine trokuta je korištenje upisanih i opisanih krugova. Da bismo dobili potrebnu vrijednost pomoću upisane kružnice, moramo znati njen polumjer. Označimo ga s "r". Tada će formula po kojoj ćemo vršiti izračune imati sljedeći oblik: S=r*P, gdje je P polovica zbroja duljina svih stranica.

U pravokutnom trokutu ova je formula malo modificirana. Naravno, možete koristiti onaj gornji, ali je bolje koristiti drugi izraz za izračune. S=E*W, gdje su E i W duljine odsječaka na koje je hipotenuza podijeljena dodirnom točkom kružnice.

Govoreći o opisanom krugu, pronalaženje područja trokuta također nije teško. Uvođenjem oznake R kao polumjera opisane kružnice, možete dobiti sljedeću formulu potrebnu za izračunavanje tražene vrijednosti: S= (M*N*L):(4*R). Gdje su prve tri veličine stranice trokuta.

Govoreći o jednakostraničnom trokutu, kroz niz jednostavnih matematičkih transformacija možete dobiti malo modificirane formule:

S=(3 1/2 *M 2)/4;

S=(3*3 1/2 *R 2)/4;

S=3*3 1/2 *r 2 .

U svakom slučaju, svaka formula koja vam omogućuje pronalaženje područja trokuta može se promijeniti u skladu s podacima zadatka. Dakle, svi pisani izrazi nisu apsolutni. Kada rješavate probleme, razmislite kako biste pronašli najprikladnije rješenje.

Koordinate

Prilikom proučavanja koordinatnih osi zadaci s kojima se suočavaju učenici postaju složeniji. Međutim, ne toliko da paničarite. Da biste pronašli područje trokuta iz koordinata vrhova, možete koristiti istu, ali malo modificiranu Heronovu formulu. Za koordinate ima sljedeći oblik:

S=((x 2 -x 1) 2 *(y 2 -y 1) 2 *(z 2 -z 1) 2) 1/2.

Međutim, nitko ne zabranjuje, koristeći koordinate, izračunati duljine stranica trokuta, a zatim, koristeći gore napisane formule, izračunati površinu. Za pretvorbu koordinata u duljinu upotrijebite sljedeću formulu:

l=((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2) 1/2.

Bilješke

U članku su korištene standardne oznake za količine koje se koriste u većini zadataka. U ovom slučaju, stupanj "1/2" znači da morate izdvojiti korijen cijelog izraza ispod zagrada.

Budite oprezni pri odabiru formule. Neki od njih gube svoju važnost ovisno o početnim uvjetima. Na primjer, formula opisane kružnice. U svakom slučaju može izračunati rezultat za vas, ali može doći do situacije da trokut sa zadanim parametrima uopće ne postoji.

Ako sjedite kod kuće i radite domaću zadaću, tada možete koristiti online kalkulator. Mnoga mjesta daju mogućnost izračuna različitih količina pomoću zadanih parametara, a nije važno koji. Možete jednostavno unijeti početne podatke u polja, a računalo (web stranica) će za vas izračunati rezultat. Na taj način možete izbjeći pogreške nastale nepažnjom.

Nadamo se da je naš članak odgovorio na sva vaša pitanja u vezi s izračunavanjem površine raznih trokuta i da ne morate tražiti dodatne informacije drugdje. Sretno sa studijem!