Pojam područja

Koncept područja bilo koje geometrijske figure, posebno trokuta, bit će povezan s figurom kao što je kvadrat. Za jedinicu površine bilo koje geometrijske figure uzet ćemo površinu kvadrata čija je stranica jednaka jedan. Radi cjelovitosti, podsjetimo se na dva osnovna svojstva za pojam površina geometrijskih figura.

Svojstvo 1: Ako su geometrijski likovi jednaki, jednake su im i površine.

Svojstvo 2: Svaka figura se može podijeliti na nekoliko figura. Štoviše, površina izvorne figure jednaka je zbroju površina svih njegovih sastavnih figura.

Pogledajmo primjer.

Primjer 1

Očito je da je jedna od stranica trokuta dijagonala pravokutnika čija je jedna stranica duljine $5$ (budući da ima $5$ ćelija), a druga je $6$ (budući da ima $6$ ćelija). Stoga će površina ovog trokuta biti jednaka polovici takvog pravokutnika. Površina pravokutnika je

Tada je površina trokuta jednaka

Odgovor: 15 dolara.

Zatim ćemo razmotriti nekoliko metoda za pronalaženje područja trokuta, naime pomoću visine i baze, pomoću Heronove formule i površine jednakostraničnog trokuta.

Kako pronaći površinu trokuta pomoću njegove visine i baze

Teorem 1

Površina trokuta može se pronaći kao polovica umnoška duljine stranice i visine te stranice.

Matematički to izgleda ovako

$S=\frac(1)(2)αh$

gdje je $a$ duljina stranice, $h$ je visina povučena na nju.

Dokaz.

Promotrimo trokut $ABC$ u kojem je $AC=α$. Ovoj stranici je povučena visina $BH$ koja je jednaka $h$. Izgradimo ga do kvadrata $AXYC$ kao na slici 2.

Površina pravokutnika $AXBH$ je $h\cdot AH$, a površina pravokutnika $HBYC$ je $h\cdot HC$. Zatim

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Stoga je tražena površina trokuta, prema svojstvu 2, jednaka

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorem je dokazan.

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta na slici ispod ako ćelija ima površinu jednaku jedan

Osnovica ovog trokuta jednaka je $9$ (budući da je $9$ kvadrat od $9$). Visina je također $9$. Tada, prema teoremu 1, dobivamo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Odgovor: 40,5 dolara.

Heronova formula

Teorem 2

Ako su nam dane tri stranice trokuta $α$, $β$ i $γ$, tada se njegova površina može pronaći na sljedeći način

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

ovdje $ρ$ znači poluopseg ovog trokuta.

Dokaz.

Razmotrite sljedeću sliku:

Po Pitagorinoj teoremi, iz trokuta $ABH$ dobivamo

Iz trokuta $CBH$, prema Pitagorinom teoremu, imamo

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iz ove dvije relacije dobivamo jednakost

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Kako je $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, onda je $α+β+γ=2ρ$, što znači

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Prema teoremu 1, dobivamo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Trokut je geometrijski lik koji se sastoji od tri ravne crte koje se spajaju u točkama koje ne leže na istoj pravoj crti. Spojne točke linija su vrhovi trokuta, koji su označeni latiničnim slovima (na primjer, A, B, C). Spojne ravne linije trokuta nazivaju se segmentima, koji se također obično označavaju latiničnim slovima. Razlikuju se sljedeće vrste trokuta:

• Pravokutan.
• Tupi.
• Oštri kutni.
• Svestran.
• Jednakostraničan.
• Jednakokračan.

Opće formule za izračunavanje površine trokuta

Formula za površinu trokuta na temelju duljine i visine

S= a*h/2,
gdje je a duljina stranice trokuta čiju površinu treba pronaći, h je duljina visine povučene na osnovicu.

Heronova formula

S=√r*(r-a)*(r-b)*(p-c),
gdje je √ kvadratni korijen, p je poluopseg trokuta, a,b,c je duljina svake stranice trokuta. Poluopseg trokuta može se izračunati pomoću formule p=(a+b+c)/2.

Formula za površinu trokuta na temelju kuta i duljine segmenta

S = (a*b*sin(α))/2,
gdje je b,c duljina stranica trokuta, sin(α) je sinus kuta između dviju stranica.

Formula za površinu trokuta s polumjerom upisane kružnice i trima stranicama

S=p*r,
gdje je p polumjer trokuta čije područje treba pronaći, r je polumjer kružnice upisane u ovaj trokut.

Formula za površinu trokuta koja se temelji na tri strane i polumjeru kruga opisanog oko njega

S= (a*b*c)/4*R,
gdje su a,b,c duljina svake stranice trokuta, R je polumjer kruga opisanog oko trokuta.

Formula za površinu trokuta koja koristi kartezijeve koordinate točaka

Kartezijeve koordinate točaka su koordinate u xOy sustavu, gdje je x apscisa, y ordinata. Kartezijev koordinatni sustav xOy na ravnini su međusobno okomite numeričke osi Ox i Oy sa zajedničkim ishodištem u točki O. Ako su koordinate točaka na ovoj ravnini zadane u obliku A(x1, y1), B(x2, y2). ) i C(x3, y3 ), tada možete izračunati površinu trokuta koristeći sljedeću formulu, koja se dobiva iz vektorskog produkta dvaju vektora.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
gdje || označava modul.

Kako pronaći područje pravokutnog trokuta

Pravokutni trokut je trokut s jednim kutom od 90 stupnjeva. Trokut može imati samo jedan takav kut.

Formula za površinu pravokutnog trokuta na dvije strane

S= a*b/2,
gdje je a,b duljina krakova. Noge su strane uz pravi kut.

Formula za površinu pravokutnog trokuta na temelju hipotenuze i oštrog kuta

S = a*b*sin(α)/ 2,
gdje su a, b kraci trokuta, a sin(α) je sinus kuta pod kojim se sijeku pravci a, b.

Formula za površinu pravokutnog trokuta na temelju stranice i suprotnog kuta

S = a*b/2*tg(β),
gdje su a, b kraci trokuta, tan(β) je tangens kuta pod kojim su spojeni krakovi a, b.

Kako izračunati površinu jednakokračnog trokuta

Jednakokračni trokut je onaj koji ima dvije jednake stranice. Te stranice se nazivaju stranice, a druga stranica je baza. Da biste izračunali površinu jednakokračnog trokuta, možete koristiti jednu od sljedećih formula.

Osnovna formula za izračunavanje površine jednakokračnog trokuta

S=h*c/2,
gdje je c osnovica trokuta, h je visina trokuta spuštena na osnovicu.

Formula jednakokračnog trokuta s osnovicom i stranicom

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
gdje je c osnovica trokuta, a je veličina jedne od bočnih stranica jednakokračnog trokuta.

Kako pronaći površinu jednakostraničnog trokuta

Jednakostranični trokut je trokut u kojem su sve stranice jednake. Da biste izračunali površinu jednakostraničnog trokuta, možete koristiti sljedeću formulu:
S = (√3*a*a)/4,
gdje je a duljina stranice jednakostraničnog trokuta.

Gornje formule omogućit će vam izračunavanje potrebne površine trokuta. Važno je zapamtiti da za izračunavanje površine trokuta morate uzeti u obzir vrstu trokuta i dostupne podatke koji se mogu koristiti za izračun.

Površina trokuta - formule i primjeri rješavanja problema

Ispod su formule za pronalaženje površine proizvoljnog trokuta koji su prikladni za pronalaženje površine bilo kojeg trokuta, bez obzira na njegova svojstva, kutove ili veličine. Formule su prikazane u obliku slike, s objašnjenjima njihove primjene ili obrazloženjem njihove ispravnosti. Također, posebna slika prikazuje podudarnost između slovnih simbola u formulama i grafičkih simbola na crtežu.

Bilješka . Ako trokut ima posebna svojstva (istokračan, pravokutan, jednakostraničan), možete koristiti dolje navedene formule, kao i dodatne posebne formule koje vrijede samo za trokute s ovim svojstvima:

• "Formula za područje jednakostraničnog trokuta"

Formule površine trokuta

Objašnjenja za formule:
a, b, c- duljine stranica trokuta čiju površinu želimo pronaći
r- polumjer kružnice upisane u trokut
R- polumjer kruga opisanog oko trokuta
h- visina trokuta spuštena na stranu
str- poluopseg trokuta, 1/2 zbroja njegovih stranica (opseg)
α - kut nasuprot stranici a trokuta
β - kut nasuprot stranici b trokuta
γ - kut nasuprot stranici c trokuta
h a, h b , h c- visina trokuta spuštena na stranice a, b, c

Imajte na umu da dane oznake odgovaraju gornjoj slici, tako da će vam prilikom rješavanja stvarnog geometrijskog problema biti vizualno lakše zamijeniti ispravne vrijednosti na pravim mjestima u formuli.

• Površina trokuta je polovica umnoška visine trokuta i duljine stranice za koju je ta visina spuštena(Formula 1). Ispravnost ove formule može se razumjeti logično. Visina spuštena na bazu razdvojit će proizvoljni trokut na dva pravokutna. Ako svaki od njih sastavite u pravokutnik s dimenzijama b i h, tada će očito površina ovih trokuta biti jednaka točno polovici površine pravokutnika (Spr = bh)
• Površina trokuta je polovica umnoška njegovih dviju stranica i sinusa kuta između njih(Formula 2) (pogledajte primjer rješavanja problema pomoću ove formule u nastavku). Unatoč činjenici da se čini drugačijim od prethodnog, lako se može transformirati u njega. Spustimo li visinu s kuta B na stranicu b, ispada da je umnožak stranice a i sinusa kuta γ, prema svojstvima sinusa pravokutnog trokuta, jednak visini trokuta koji smo nacrtali , što nam daje prethodnu formulu
• Može se pronaći površina proizvoljnog trokuta kroz raditi pola polumjera kruga koji mu je upisan zbrojem duljina svih njegovih stranica(Formula 3), jednostavno rečeno, trebate pomnožiti polumjer trokuta s polumjerom upisane kružnice (ovo je lakše zapamtiti)
• Područje proizvoljnog trokuta može se pronaći dijeljenjem umnoška svih njegovih stranica s 4 radijusa kruga opisanog oko njega (Formula 4)
• Formula 5 je pronalaženje površine trokuta kroz duljine njegovih stranica i poluopsega (polovica zbroja svih njegovih stranica)
• Heronova formula(6) je prikaz iste formule bez korištenja koncepta poluperimetra, samo kroz duljine stranica
• Površina proizvoljnog trokuta jednaka je umnošku kvadrata stranice trokuta i sinusa kutova uz ovu stranu podijeljenog s dvostrukim sinusom kuta nasuprot ovoj strani (Formula 7)
• Područje proizvoljnog trokuta može se pronaći kao umnožak dvaju kvadrata kruga koji su oko njega opisani sinusima svakog od njegovih kutova. (Formula 8)
• Ako su poznate duljina jedne stranice i vrijednosti dvaju susjednih kutova, tada se površina trokuta može pronaći kao kvadrat ove stranice podijeljen dvostrukim zbrojem kotangenata ovih kutova (Formula 9)
• Ako je poznata samo duljina svake od visina trokuta (Formula 10), tada je površina takvog trokuta obrnuto proporcionalna duljinama tih visina, kao prema Heronovoj formuli
• Formula 11 omogućuje izračunavanje površina trokuta na temelju koordinata njegovih vrhova, koje su navedene kao (x;y) vrijednosti za svaki od vrhova. Imajte na umu da se dobivena vrijednost mora uzeti modulo, budući da koordinate pojedinačnih (ili čak svih) vrhova mogu biti u području negativnih vrijednosti

Bilješka. Slijede primjeri rješavanja geometrijskih problema za pronalaženje površine trokuta. Ako trebate riješiti geometrijski problem koji nije sličan ovdje, pišite o tome na forumu. U rješenjima se umjesto simbola "kvadratni korijen" može koristiti funkcija sqrt() u kojoj je sqrt simbol kvadratnog korijena, a radikalni izraz je naznačen u zagradama.Ponekad se za jednostavne radikalne izraze može koristiti simbol √

Zadatak. Odredite površinu datih dviju stranica i kut između njih

Stranice trokuta su 5 cm i kut između njih je 60 stupnjeva. Pronađite površinu trokuta.

Riješenje.

Za rješavanje ovog problema koristimo formulu broj dva iz teorijskog dijela lekcije.
Površina trokuta može se pronaći kroz duljine dviju stranica i sinusa kuta između njih i bit će jednaka
S=1/2 ab sin γ

Budući da imamo sve potrebne podatke za rješenje (prema formuli), u formulu možemo samo zamijeniti vrijednosti iz uvjeta zadatka:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

U tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija pronaći ćemo i zamijeniti vrijednost sinusa od 60 stupnjeva u izraz. To će biti jednako korijenu od tri puta dva.
S = 15 √3 / 2

Odgovor: 7,5 √3 (ovisno o zahtjevima učitelja, vjerojatno možete ostaviti 15 √3/2)

Zadatak. Pronađite površinu jednakostraničnog trokuta

Odredite površinu jednakostraničnog trokuta sa stranicom 3 cm.

Riješenje .

Površina trokuta može se pronaći pomoću Heronove formule:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Budući da je a = b = c, formula za površinu jednakostraničnog trokuta ima oblik:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Odgovor: 9 √3 / 4.

Zadatak. Promjena površine pri promjeni duljine stranica

Koliko će se puta povećati površina trokuta ako se stranice povećaju 4 puta?

Riješenje.

Budući da su nam dimenzije stranica trokuta nepoznate, za rješavanje problema pretpostavit ćemo da su duljine stranica redom jednake proizvoljnim brojevima a, b, c. Zatim, da bismo odgovorili na pitanje zadatka, pronaći ćemo površinu zadanog trokuta, a zatim ćemo pronaći površinu trokuta čije su stranice četiri puta veće. Omjer površina ovih trokuta dat će nam odgovor na zadatak.

U nastavku donosimo tekstualno objašnjenje rješenja problema korak po korak. Međutim, na samom kraju, to isto rješenje je predstavljeno u prikladnijem grafičkom obliku. Oni koji žele mogu odmah sići rješenje.

Za rješavanje koristimo Heronovu formulu (vidi gore u teoretskom dijelu lekcije). Ovako izgleda:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte prvi redak slike ispod)

Duljine stranica proizvoljnog trokuta zadane su varijablama a, b, c.
Ako se stranice povećaju 4 puta, tada će površina novog trokuta c biti:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(pogledajte drugi red na slici ispod)

Kao što vidite, 4 je zajednički faktor koji se može izvući iz zagrada iz sva četiri izraza prema općim pravilima matematike.
Zatim

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - u trećoj liniji slike
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - četvrti red

Kvadratni korijen broja 256 je savršeno izvađen, pa ga izvadimo ispod korijena
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte peti redak slike ispod)

Da bismo odgovorili na pitanje postavljeno u problemu, samo trebamo podijeliti površinu dobivenog trokuta s površinom izvornog.
Odredimo omjere površina tako da izraze podijelimo jedan s drugim i smanjimo dobiveni razlomak.

Kao što se možda sjećate iz školskog kurikuluma geometrije, trokut je figura sastavljena od tri segmenta povezana s tri točke koje ne leže na istoj ravnoj liniji. Trokut tvori tri kuta, otuda i naziv figure. Definicija može biti drugačija. Trokut se može nazvati i poligonom s tri kuta, odgovor će također biti točan. Trokuti se dijele prema broju jednakih stranica i veličini kutova na slikama. Dakle, trokuti se razlikuju kao jednakokračni, jednakostranični i razmjerni, kao i pravokutni, šiljasti i tupi.

Postoji mnogo formula za izračunavanje površine trokuta. Odaberite kako pronaći površinu trokuta, tj. Koju ćete formulu koristiti ovisi o vama. Ali vrijedi napomenuti samo neke od oznaka koje se koriste u mnogim formulama za izračunavanje površine trokuta. Dakle, zapamtite:

S je površina trokuta,

a, b, c su stranice trokuta,

h je visina trokuta,

R je polumjer opisane kružnice,

p je poluopseg.

Ovdje su osnovne oznake koje bi vam mogle biti korisne ako ste potpuno zaboravili svoj tečaj geometrije. Ispod su najrazumljivije i najjednostavnije opcije za izračunavanje nepoznatog i tajanstvenog područja trokuta. Nije teško i bit će korisno kako za vaše kućanske potrebe tako i za pomoć vašoj djeci. Prisjetimo se kako što lakše izračunati površinu trokuta:

U našem slučaju, površina trokuta je: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 sq. cm. Upamtite da se površina mjeri u kvadratnim centimetrima (sqcm).

Pravokutni trokut i njegova površina.

Pravokutni trokut je trokut u kojem je jedan kut jednak 90 stupnjeva (stoga se naziva pravokutni). Pravi kut čine dvije okomite crte (u slučaju trokuta dva okomita odsječka). U pravokutnom trokutu može postojati samo jedan pravi kut jer... zbroj svih kutova bilo kojeg trokuta jednak je 180 stupnjeva. Ispada da 2 druga kuta trebaju dijeliti preostalih 90 stupnjeva, na primjer 70 i 20, 45 i 45, itd. Dakle, sjećate se glavne stvari, sve što ostaje je saznati kako pronaći područje pravokutnog trokuta. Zamislimo da pred sobom imamo takav pravokutni trokut i trebamo pronaći njegovu površinu S.

1. Najjednostavniji način za određivanje površine pravokutnog trokuta izračunava se pomoću sljedeće formule:

U našem slučaju, površina pravokutnog trokuta je: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 sq. cm.

U načelu, više nema potrebe za provjerom površine trokuta na druge načine, jer Samo ovaj će biti koristan i pomoći će u svakodnevnom životu. Ali postoje i opcije za mjerenje površine trokuta kroz oštre kutove.

2. Za druge metode izračuna morate imati tablicu kosinusa, sinusa i tangensa. Prosudite sami, evo nekoliko opcija za izračunavanje površine pravokutnog trokuta koje se još uvijek mogu koristiti:

Odlučili smo upotrijebiti prvu formulu i s manjim mrljama (crtali smo je u bilježnicu i koristili staro ravnalo i kutomjer), ali dobili smo točan izračun:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Dobili smo sljedeće rezultate: 3,6=3,7, ali uzimajući u obzir pomak ćelija, možemo oprostiti ovu nijansu.

Jednakokračni trokut i njegova površina.

Ako ste suočeni sa zadatkom izračuna formule za jednakokračni trokut, tada je najlakši način koristiti glavnu i ono što se smatra klasičnom formulom za područje trokuta.

Ali prvo, prije nego što pronađemo površinu jednakokračnog trokuta, saznajmo kakva je to figura. Jednakokračni trokut je trokut u kojem dvije stranice imaju jednake duljine. Ove dvije strane nazivaju se bočne, a treća strana se zove baza. Nemojte brkati jednakokračni trokut s jednakostraničnim trokutom, tj. pravilan trokut kojemu su sve tri stranice jednake. U takvom trokutu nema posebnih tendencija prema kutovima, odnosno njihovoj veličini. Međutim, kutovi na osnovici u jednakokračnom trokutu su jednaki, ali različiti od kuta između jednakih stranica. Dakle, već znate prvu i glavnu formulu; ostaje da saznate koje su druge formule za određivanje površine jednakokračnog trokuta:

Trokut je jedan od najčešćih geometrijskih oblika s kojim se upoznajemo u osnovnoj školi. Svaki se učenik suočava s pitanjem kako pronaći područje trokuta u nastavi geometrije. Dakle, koje se značajke pronalaženja područja određene figure mogu identificirati? U ovom ćemo članku pogledati osnovne formule potrebne za dovršenje takvog zadatka, a također ćemo analizirati vrste trokuta.

Vrste trokuta

Područje trokuta možete pronaći na potpuno različite načine, jer u geometriji postoji više od jedne vrste figura koje sadrže tri kuta. Ove vrste uključuju:

• Tupi.
• Jednakostraničan (ispravan).
• Pravokutni trokut.
• Jednakokračan.

Pogledajmo pobliže svaku od postojećih vrsta trokuta.

Ova se geometrijska figura smatra najčešćom prilikom rješavanja geometrijskih problema. Kada se pojavi potreba za crtanjem proizvoljnog trokuta, ova opcija dolazi u pomoć.

U oštrokutnom trokutu, kao što naziv govori, svi kutovi su oštri i zbroj je 180°.

Ova vrsta trokuta također je vrlo česta, ali je nešto rjeđa od oštrokutnog trokuta. Na primjer, kada rješavate trokute (odnosno, poznato je nekoliko njegovih stranica i kutova i trebate pronaći preostale elemente), ponekad morate odrediti je li kut tup ili ne. Kosinus je negativan broj.

B, vrijednost jednog od kutova prelazi 90 °, tako da preostala dva kuta mogu imati male vrijednosti (na primjer, 15 ° ili čak 3 °).

Da biste pronašli područje trokuta ove vrste, morate znati neke nijanse, o kojima ćemo kasnije govoriti.

Pravilni i jednakokračni trokut

Pravilni mnogokut je lik koji ima n kutova i čije su stranice i kutovi jednaki. To je ono što je pravilan trokut. Kako je zbroj svih kutova trokuta 180°, svaki od triju kutova iznosi 60°.

Pravilni trokut, zbog svog svojstva, nazivamo i jednakostraničan lik.

Također je vrijedno napomenuti da se u pravilan trokut može upisati samo jedna kružnica, oko koje se može opisati samo jedna kružnica, a središta su im u istoj točki.

Osim jednakostraničnog tipa, može se razlikovati i jednakokračni trokut, koji se malo razlikuje od njega. U takvom su trokutu dvije stranice i dva kuta međusobno jednaki, a treća stranica (kojoj se priliježu jednaki kutovi) je osnovica.

Na slici je prikazan jednakokračni trokut DEF čiji su kutovi D i F jednaki, a DF je osnovica.

Pravokutni trokut

Pravokutni trokut nazvan je tako jer mu je jedan kut prav, odnosno jednak 90°. Zbroj druga dva kuta iznosi 90°.

Najveća stranica takvog trokuta, koja leži nasuprot kutu od 90°, je hipotenuza, dok su preostale dvije stranice katete. Za ovu vrstu trokuta vrijedi Pitagorina teorema:

Zbroj kvadrata duljina kateta jednak je kvadratu duljine hipotenuze.

Na slici je prikazan pravokutni trokut BAC s hipotenuzom AC i katetama AB i BC.

Da biste pronašli područje trokuta s pravim kutom, morate znati brojčane vrijednosti njegovih nogu.

Prijeđimo na formule za pronalaženje područja zadane figure.

Osnovne formule za određivanje površine

U geometriji postoje dvije formule koje su prikladne za pronalaženje površine većine vrsta trokuta, naime za šiljasti, tupi, pravilni i jednakokračni trokut. Pogledajmo svaki od njih.

Po strani i visini

Ova formula je univerzalna za pronalaženje područja figure koju razmatramo. Da biste to učinili, dovoljno je znati duljinu stranice i duljinu visine nacrtane na nju. Sama formula (polovica umnoška baze i visine) je sljedeća:

gdje je A stranica danog trokuta, a H je visina trokuta.

Na primjer, da biste pronašli područje oštrog trokuta ACB, morate pomnožiti njegovu stranu AB s visinom CD i podijeliti dobivenu vrijednost s dva.

Međutim, nije uvijek lako pronaći površinu trokuta na ovaj način. Na primjer, da biste upotrijebili ovu formulu za tupokutni trokut, trebate produžiti jednu od njegovih stranica i tek onda joj nacrtati visinu.

U praksi se ova formula koristi češće od ostalih.

S obje strane i kut

Ova je formula, kao i prethodna, prikladna za većinu trokuta i po svom značenju posljedica je formule za određivanje površine stranice i visine trokuta. Odnosno, formula o kojoj je riječ može se lako izvesti iz prethodne. Njegova formulacija izgleda ovako:

S = ½*sinO*A*B,

gdje su A i B stranice trokuta, a O kut između stranica A i B.

Podsjetimo se da se sinus kuta može vidjeti u posebnoj tablici nazvanoj po izvanrednom sovjetskom matematičaru V. M. Bradisu.

Sada prijeđimo na druge formule koje su prikladne samo za iznimne vrste trokuta.

Površina pravokutnog trokuta

Osim univerzalne formule, koja uključuje potrebu za pronalaženjem nadmorske visine u trokutu, područje trokuta koji sadrži pravi kut može se pronaći iz njegovih nogu.

Dakle, površina trokuta koji sadrži pravi kut je pola umnoška njegovih krakova, ili:

gdje su a i b katete pravokutnog trokuta.

Pravilni trokut

Ova vrsta geometrijske figure razlikuje se po tome što se njezino područje može pronaći s naznačenom vrijednošću samo jedne njegove strane (budući da su sve strane pravilnog trokuta jednake). Dakle, kada se suočite sa zadatkom "pronalaženja površine trokuta kada su strane jednake", morate koristiti sljedeću formulu:

S = A 2 *√3 / 4,

gdje je A stranica jednakostraničnog trokuta.

Heronova formula

Posljednja opcija za pronalaženje površine trokuta je Heronova formula. Da biste ga koristili, morate znati duljine triju stranica figure. Heronova formula izgleda ovako:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

gdje su a, b i c stranice zadanog trokuta.

Ponekad se daje problem: "površina pravilnog trokuta je pronaći duljinu njegove strane." U ovom slučaju trebamo upotrijebiti već poznatu formulu za pronalaženje površine pravilnog trokuta i iz nje izvesti vrijednost stranice (ili njezinog kvadrata):

A 2 = 4S / √3.

Ispitni zadaci

Postoje mnoge formule u GIA problemima iz matematike. Osim toga, često je potrebno pronaći površinu trokuta na kariranom papiru.

U ovom slučaju, najprikladnije je nacrtati visinu na jednu od strana figure, odrediti njezinu duljinu iz ćelija i koristiti univerzalnu formulu za pronalaženje područja:

Dakle, nakon proučavanja formula predstavljenih u članku, nećete imati problema s pronalaženjem područja trokuta bilo koje vrste.