Kako se vektor označava i prikazuje. Vektori Vektori Povijesna pozadina Pojam vektora Jednakost vektora Odgađanje vektora iz zadane točke Zbroj dva vektora Zakoni zbrajanja Oduzimanje

Ako je = (̅

– osnova , ̅

= (1, 2, 3) , tada postoji skup brojeva (

...) tako da

̅ + + ̅̅, gdje je (

...) – koordinate vektora u bazi.

̅ s̅ = s̅ ̅

= ̅s ̅= − ̅ s̅

= − s̅ ̅= − ̅ ̅s.

20. Formulirajte svojstvo linearnosti mješovitog produkta.

Za mješoviti proizvod, svojstvo asocijativnosti u odnosu na

množenje vektora brojem: (λ ̅ )s̅

= λ(̅ s̅ ).

Za mješoviti proizvod vrijedi svojstvo distributivnosti: (̅̅̅ +̅̅̅ )s̅

= ̅̅̅

̅s + ̅̅̅

S.

− 1

− 1

− 1

| 2 −1

2 − 1

2 −1 | = 0

3 − 1

3 − 1

3 − 1

(0 ;0 ;

– nazivaju se koordinate točke 0 L u pravokutnom koordinatnom sustavu

parametarske jednadžbe pravca u prostoru.

Jednadžba

− 0

− 0

− 0

nazvao kanonske jednadžbe ravno u

prostor.

27. Napiši jednadžbu pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke prostora.

Jednadžbe

− 1

− 1

− 1

nazivaju jednadžbe pravca koji prolazi kroz dvije točke

paralelogram OA’CB’, dakle = ′ + ′ . Vektor′ i vektor ne-nula

su kolinearni, pa se stoga prvi od njih može dobiti množenjem drugog s

realni broj α: ′ = . Slično′ = , β R. Kao rezultat dobivamo, Što

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

= ′ + ′ , tj. vektor̅ je linearna kombinacija vektora̅ i. Prema teoremu

̅ su linearno ovisni.

2.1 (o linearnoj ovisnosti vektora), vektori ̅ ,

2. Dokažite teorem o proširenju vektora s obzirom na bazu.

Teorem o dekompoziciji vektora s obzirom na bazu. Ako je = (̅

– osnova , ̅

= (1, 2, 3), tada

postoji skup brojeva (

...) tako da je̅= ̅̅̅

̅ + + ̅ ̅, gdje je (

...) – koordinate

Promotrimo dva vektora ̅

i dane njihovim koordinatama u desnoj ortonormiranoj bazi

̅ = {

). Tada se odvijaju ekspanzije ovih vektora: ̅ =̅ +̅

, ̅, ̅:

= ̅ +̅ +

Na temelju ovih

podnesci

algebarski

vektorsko množenje,

dobivamo

= ̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅ ̅

× ̅+ × ̅+

× = (

)̅+ (

)̅+ (

Neka su vektori a, b, c zadani svojim koordinatama u desnoj ortonormiranoj bazi: ̅ = ( ;

), = ( ; ; ), ̅s = ( ; ; ). Da biste pronašli njihov mješoviti proizvod,

Upotrijebimo formule za izračun skalarnog i vektorskog umnoška:

̅̅= ̅(× ̅)= ̅ (|

Ako je ravnina π određena u pravokutnom koordinatnom sustavu njegovom općom jednadžbom

Ax + By + Cz + D = 0, tada je njegov vektor normale vektor s koordinatama (A; B; C).

Neka su (0 , 0 , 0 ) i (1 , 1 , 1 ) koordinate točaka 0

i 1. Tada vrijedi jednakost

A 1 +B1 +C1 +D = 0, budući da točka M1 pripada ravnini, a koordinate se mogu pronaći

̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅

Vektor 1 0 :

1 0 = (0 − 1; 0 − 1; 0 − 1) . Zapisivanje skalarnog produkta ̅ 1 0

koordinatnog oblika i transformiranjem (5.8), dobivamo

| (0 −1 ) + (0 −1 ) + (0 −1 )|

| 0 +0 +0 − (1 +1 +1 )|

2 + 2+ 2

2 + 2+ 2

̅̅̅̅̅̅̅̅

(1 ,) =

| 0 1 × |

raditi. Neka ravne linije 1

i 2

kanonske jednadžbe. Budući da su

̅̅̅̅̅̅̅̅

(1, 2) između redaka:

̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅

(1 ,2 ) =

| 1 2

1 2|

Vektor je usmjereni isječak pravca u euklidskom prostoru čiji se jedan kraj (točka A) naziva početkom vektora, a drugi kraj (točka B) krajem vektora (slika 1). Vektori su označeni:

Ako se početak i kraj vektora podudaraju, tada se vektor naziva nulti vektor i naznačen je 0 .

Primjer. Neka početak vektora u dvodimenzionalnom prostoru ima koordinate A(12.6) , a kraj vektora su koordinate B(12.6). Tada je vektor nulti vektor.

Duljina presjeka AB nazvao modul (duljina, norma) vektor i označava se sa | a|. Vektor duljine, jednako jedan, nazvao jedinični vektor. Osim modula, vektor karakterizira smjer: vektor ima smjer od A Do B. Vektor se naziva vektor, suprotan vektor.

Dva vektora se nazivaju kolinearni, ako leže na istoj liniji ili na paralelnim pravcima. Na slici Sl. 3 crvena vektora su kolinearna, jer leže na istoj ravnoj liniji, a plavi vektori su kolinearni, jer leže na paralelnim pravcima. Dva kolinearni vektor nazivaju se jednako usmjereni, ako im krajevi leže na istoj strani ravne crte koja povezuje njihove početke. Dva kolinearna vektora nazivaju se suprotno usmjerena, ako im krajevi leže duž različite strane od ravne linije koja povezuje njihova ishodišta. Ako dva kolinearna vektora leže na istoj ravnici, nazivaju se identično usmjerenima ako jedna od zraka koju čini jedan vektor u potpunosti sadrži zraku koju čini drugi vektor. U protivnom se kaže da su vektori suprotno usmjereni. Na slici 3 plavi vektori su jednako usmjereni, a crveni vektori suprotno usmjereni.

Dva vektora se nazivaju jednak ako imaju jednake module i iste smjerove. Na slici 2 vektori su jednaki jer njihovi moduli su jednaki i imaju isti smjer.

Vektori se nazivaju komplanarni, ako leže u istoj ravnini ili u paralelnim ravninama.

U n U dimenzionalnom vektorskom prostoru, razmotrite skup svih vektora čija se početna točka podudara s ishodištem koordinata. Tada se vektor može napisati u sljedećem obliku:

Gdje x 1, x 2, ..., x n koordinate krajnje točke vektora x.

Vektor zapisan u obliku (1) nazivamo vektor retka, a vektor zapisan u obliku

nazvao stupac vektor.

Broj n nazvao dimenzija (u redu) vektor. Ako tada se vektor zove nulti vektor(od početne točke vektora ). Dva vektora x I g jednaki ako i samo ako su im odgovarajući elementi jednaki.

Vektor je jedan od osnovnih geometrijskih pojmova. Vektor je karakteriziran brojem (dužinom) i smjerom. Vizualno se može zamisliti kao usmjereni segment, iako je, kada se govori o vektoru, ispravnije misliti na cijelu klasu usmjerenih segmenta, koji su svi međusobno paralelni, imaju iste dužine i istom smjeru (slika 1). Primjeri fizikalnih veličina koje su vektorske prirode su brzina (translatorno gibajućeg tijela), ubrzanje, sila itd.

Pojam vektora pojavio se u djelima njemačkog matematičara iz 19. stoljeća. G. Grassmanna i irskog matematičara W. Hamiltona; tada su ga spremno prihvatili mnogi matematičari i fizičari. U modernoj matematici i njezinim primjenama ovaj koncept igra ulogu vitalnu ulogu. Vektori se koriste u klasičnoj Galileo-Newton mehanici (u svom moderna prezentacija), u teoriji relativnosti, kvantnoj fizici, u matematička ekonomija i mnogim drugim dijelovima prirodnih znanosti, a da ne spominjemo korištenje vektora u raznim područjima matematike.

Svaki od usmjerenih segmenata koji čine vektor (slika 1) može se nazvati predstavnikom ovog vektora. Vektor čiji je predstavnik usmjereni segment koji ide od točke do točke označen je s . Na sl. 1 imamo, tj. i isti je vektor (čiji su predstavnici oba usmjerena segmenta označena na slici 1). Ponekad se vektor označava malim slovom sa strelicom: , .

Vektor predstavljen usmjerenim "odsječkom" čiji se početak i kraj podudaraju naziva se nula; označava se sa , tj. . Dva paralelna vektora istih duljina, ali suprotnih smjerova nazivaju se suprotnim. Ako je vektor označen sa , onda je njegov suprotni vektor označen sa .

Imenujmo osnovne operacije povezane s vektorima.

I. Odgađanje vektora od točke. Neka je neki vektor i neka je točka. Među usmjerenim odsječcima koji su predstavnici vektora nalazi se usmjereni odsječak koji počinje u točki. Kraj ovog usmjerenog segmenta naziva se točka, što je rezultat crtanja vektora iz točke (slika 2). Ova operacija ima sljedeća svojstva:

I1. Za bilo koju točku i bilo koji vektor postoji, i to samo jedna, točka za koju .

Vektorski dodatak. Dopustiti i biti dva vektora. Uzmimo proizvoljnu točku i iz te točke nacrtamo vektor, tj. nađimo točku takvu da (slika 3). Zatim crtamo vektor iz točke, tj. nalazimo točku takvu da je . Vektor se naziva zbroj vektora i i označava se sa . Može se dokazati da zbroj ne ovisi o izboru točke, tj. ako zamijenite drugom točkom, dobit ćete vektor jednak (sl. 3). Iz definicije zbroja vektora slijedi da za bilo koje tri točke vrijedi jednakost

I2:

("pravilo tri točke"). Ako vektori različiti od nule nisu paralelni, tada je zgodno pronaći njihov zbroj pomoću pravila paralelograma (slika 4).

II. Glavna svojstva zbroja vektora izražena su sa sljedeće 4 jednakosti (vrijede za sve vektore , , ):

II2. .

Primijetite također da se zbroj nekoliko vektora nalazi uzastopnim pronalaženjem zbroja dva od njih. Na primjer: .

U isto vrijeme, bez obzira kojim redoslijedom dodajemo zadani vektori, rezultat će (kao što slijedi iz svojstava navedenih u paragrafima II1 i II2) uvijek biti isti. Na primjer:

Dalje, geometrijski, zbroj nekoliko vektora može se dobiti na sljedeći način: potrebno je postaviti usmjerene segmente koji su predstavnici tih vektora jedan iza drugog (tj. tako da se početak drugog usmjerenog segmenta podudara s krajem prvog). , početak trećeg s krajem drugog itd.); zatim vektor imat će kao svog predstavnika "završni" usmjereni segment koji se proteže od početka prvog do kraja posljednjeg (sl. 5). (Imajte na umu da ako takvo sekvencijalno taloženje rezultira "zatvorenom vektorskom isprekidanom linijom", tada .)

III. Množenje vektora brojem. Neka je vektor različit od nule i broj koji nije nula. Kroz označava vektor definiran sa sljedeća dva uvjeta: a) duljina vektora je jednaka ; b) vektor je paralelan s vektorom, a njegov smjer se podudara sa smjerom vektora na i nasuprot njemu na (slika 6). Ako je barem jedna od jednakosti istinita, tada se umnožak smatra jednakim . Dakle, proizvod je definiran za bilo koji vektor i bilo koji broj.

Sljedeće 4 jednakosti (vrijede za sve vektore i sve brojeve) izražavaju osnovna svojstva operacije množenja vektora brojem:

III2. .

III3. .

Iz ovih svojstava slijedi broj dalje činjenice vezano uz razmatrane operacije na vektorima. Zabilježimo neke od njih koji se često koriste u rješavanju problema.

a) Ako je točka na segmentu takva da , tada za bilo koju točku vrijedi jednakost , posebno, ako je sredina segmenta , tada .

b) Ako je točka presjeka medijana trokuta, tada ; osim toga, za bilo koju točku vrijedi jednakost (vrijede i obrnuti teoremi).

c) Neka je točka na pravcu i neka je vektor različit od nule paralelan s tim pravcem. Točka pripada pravoj ako i samo ako (gdje je određeni broj).

d) Dopustiti biti točka na ravnini i , biti ne-nula i neparalelni vektori paralelni s ovom ravninom. Točka pripada ravnini ako i samo ako je vektor izražen preko i , tj. .

Na kraju, spomenimo i svojstvo dimenzije, koje izražava činjenicu da je prostor trodimenzionalan.

IV. U prostoru postoje tri vektora , , , takva da se nijedan od njih ne može izraziti u smislu druga dva; bilo koji četvrti vektor je izražen kroz ova tri vektora: . definiran je jednakošću: naznačen je skalarni umnožak vektora (i tada nije određen kut između njih).

Gore navedena svojstva vektorskih operacija umnogome su slična svojstvima zbrajanja i množenja brojeva. Istovremeno, vektor je geometrijski objekt, a geometrijski koncepti poput duljine i kuta koriste se u definiciji vektorskih operacija; Ovo objašnjava korisnost vektora za geometriju (i njezine primjene u fizici i drugim područjima znanja). Međutim, riješiti geometrijski problemi Uz pomoć vektora morate prije svega naučiti "prevesti" uvjet geometrijskog problema na vektorski "jezik". Nakon takvog “prijevoda” provode se algebarski izračuni s vektorima, a zatim se dobiveno vektorsko rješenje ponovno “prevodi” u geometrijski “jezik”. Ovo je vektorsko rješenje geometrijskih problema.

Kada se u školi izlaže predmet geometrije, vektor se daje kao definiran koncept (vidi Definiciju), pa stoga aksiomatika usvojena u školskom udžbeniku (vidi Aksiomatika i aksiomatska metoda) geometrije ne govori ništa o svojstvima vektora, tj. sva ta svojstva moraju se dokazati kao teoremi.

Postoji, međutim, i drugi način predstavljanja geometrije, u kojem se početni (nedefinirani) pojmovi smatraju vektorom i točkom, a gore navedena svojstva I1, I2, II1-II4, III1-III4, IV, V1 -V4 se uzimaju kao aksiomi. Ovakav način konstruiranja geometrije predložio je 1917. godine njemački matematičar G. Weyl. Ovdje su ravne linije i ravnine definirani pojmovi. Prednost ove konstrukcije je njezina kratkoća i organska veza s modernim shvaćanjem geometrije kako u samoj matematici tako i u drugim područjima znanja. Konkretno, aksiomi II1-II4, III1-III4 uvode takozvani vektorski prostor koji se koristi u modernoj matematici, fizici, matematičkoj ekonomiji itd.

Napokon sam se dočepao ove goleme i dugo očekivane teme. analitička geometrija. Prvo malo o ovaj odjeljak viša matematika…. Sigurno se sada sjećate školskog tečaja geometrije s brojnim teoremima, njihovim dokazima, crtežima itd. Što kriti, neomiljen i često opskuran predmet za značajan dio učenika. Analitička geometrija, čudno, može se činiti zanimljivijom i pristupačnijom. Što znači pridjev "analitički"? Odmah mi padaju na pamet dvije otrcane matematičke fraze: "grafička metoda rješenja" i " analitička metoda rješenja." Grafička metoda , naravno, povezan je s konstrukcijom grafikona i crteža. Analitički ili metoda uključuje rješavanje problema uglavnom kroz algebarske operacije. U tom smislu, algoritam za rješavanje gotovo svih problema analitičke geometrije je jednostavan i transparentan, često ga je dovoljno pažljivo primijeniti potrebne formule- i odgovor je spreman! Ne, naravno, to uopće neće biti moguće bez crteža, a osim toga, za bolje razumijevanje Pokušat ću osigurati više materijala nego što je potrebno.

Novootvoreni tečaj geometrije ne pretendira biti teorijski dovršen; usmjeren je na rješavanje praktičnih problema. U svoja predavanja uključit ću samo ono što je, s moje točke gledišta, važno u praktičnom smislu. Ako trebate potpuniju pomoć za bilo koji pododjeljak, preporučujem sljedeću dosta dostupnu literaturu:

1) Stvar koju, bez šale, poznaje više generacija: Školski udžbenik geometrije, autori – L.S. Atanasyan i tvrtka. Ova vješalica za školsku svlačionicu već je prošla kroz 20 (!) Reprinta, što, naravno, nije granica.

2) Geometrija u 2 sveska. Autori L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ovo je literatura za gimnazija, trebat će vam prvi svezak. Zadaci koji se rijetko susreću mogu mi ispasti iz vida, i priručnik za obuku pružit će neprocjenjivu pomoć.

Obje se knjige mogu besplatno preuzeti s interneta. Osim toga, možete koristiti moju arhivu sa gotova rješenja, koji se nalazi na stranici Preuzmite primjere iz više matematike.

Iz alata Opet, predlažem vlastiti razvoj - programski paket u analitičkoj geometriji, što će uvelike pojednostaviti život i uštedjeti mnogo vremena.

Pretpostavlja se da je čitatelj upoznat s osnovnim geometrijski pojmovi i figure: točka, pravac, ravnina, trokut, paralelogram, paralelopiped, kocka itd. Preporučljivo je zapamtiti neke teoreme, barem Pitagorin teorem, pozdrav ponavljačima)

A sada ćemo redom razmotriti: koncept vektora, akcije s vektorima, vektorske koordinate. Preporučam dalje čitanje najvažniji članak Točkasti umnožak vektora, i također Vektor i mješoviti umnožak vektora. Lokalni zadatak - Podjela segmenta u tom pogledu - također neće biti suvišan. Na temelju gore navedenih informacija, možete svladati jednadžba pravca u ravnini S najjednostavniji primjeri rješenja, koji će omogućiti naučiti rješavati geometrijske probleme. Sljedeći članci također su korisni: Jednadžba ravnine u prostoru, Jednadžbe pravca u prostoru, Osnovni problemi na pravcu i ravnini, drugi dijelovi analitičke geometrije. Naravno, standardni zadaci će se razmatrati usput.

Koncept vektora. Besplatni vektor

Prvo, ponovimo školsku definiciju vektora. Vektor nazvao usmjerena segment za koji su naznačeni njegov početak i kraj:

U u ovom slučaju početak segmenta je točka, kraj segmenta je točka. Sam vektor je označen sa . Smjer bitno je, ako pomaknete strelicu na drugi kraj segmenta, dobit ćete vektor, a to je već potpuno drugačiji vektor. Pojam vektora prikladno je identificirati s gibanjem fizičko tijelo: Slažete se, ući na vrata instituta ili izaći s vrata instituta potpuno su različite stvari.

Pogodno je pojedine točke ravnine ili prostora smatrati tzv nulti vektor. Za takav vektor, kraj i početak se podudaraju.

!!! Bilješka: Ovdje i dalje možete pretpostaviti da vektori leže u istoj ravnini ili možete pretpostaviti da se nalaze u prostoru - suština izloženog gradiva vrijedi i za ravninu i za prostor.

Oznake: Mnogi su odmah primijetili štap bez strelice u oznaci i rekli, ima i strelica na vrhu! Istina, možete to napisati strelicom: , ali i to je moguće unos koji ću koristiti u budućnosti. Zašto? Očigledno se ta navika razvila iz praktičnih razloga; pokazalo se da su moji strijelci u školi i na fakultetu previše različiti i čupavi. U obrazovna literatura ponekad se uopće ne zamaraju klinastim pisanjem, već ističu slova podebljano: , implicirajući da je to vektor.

To je bila stilistika, a sada o načinima pisanja vektora:

1) Vektori se mogu pisati s dva velika latinična slova:
i tako dalje. U ovom slučaju prvo slovo Obavezno označava početnu točku vektora, a drugo slovo krajnju točku vektora.

2) Vektori se također pišu malim latiničnim slovima:
Konkretno, zbog kratkoće naš se vektor može ponovno označiti kao mali latinično pismo.

Duljina ili modul vektor različit od nule naziva se duljina segmenta. Duljina nultog vektora je nula. Logično.

Duljina vektora je označena znakom modula: ,

Kako pronaći duljinu vektora naučit ćemo (ili ćemo to ponoviti, kako tko) malo kasnije.

Bili su osnovne informacije o vektoru, poznatom svim školarcima. U analitičkoj geometriji tzv slobodni vektor.

Jednostavno rečeno - vektor se može iscrtati iz bilo koje točke:

Navikli smo takve vektore nazivati ​​jednakima (definicija jednakih vektora bit će dana u nastavku), ali čisto iz matematička točka pogled je ISTI VEKTOR odn slobodni vektor. Zašto besplatno? Zato što tijekom rješavanja problema možete "pričvrstiti" ovaj ili onaj vektor na BILO KOJU točku ravnine ili prostora koji vam je potreban. Ovo je vrlo cool značajka! Zamislite vektor proizvoljne duljine i smjera - može se "klonirati" beskonačno mnogo puta iu bilo kojoj točki prostora, zapravo postoji SVUDA. Postoji jedna studentska izreka: Svakog predavača briga za vektor. Uostalom, to nije samo duhovita rima, sve je matematički točno - i tu se može pričvrstiti vektor. Ali nemojte se žuriti radovati, sami studenti često pate =)

Tako, slobodni vektor- Ovo mnogi identično usmjereni segmenti. Školska definicija vektora, dana na početku odlomka: “Usmjereni segment naziva se vektor...” podrazumijeva specifičan usmjereni segment preuzet iz dati skup, koji je vezan uz određena točka ravnina ili prostor.

Treba napomenuti da je s gledišta fizike koncept slobodnog vektora u opći slučaj je netočna, a bitna je točka primjene vektora. Doista, izravan udarac iste snage u nos ili čelo, dovoljan da razvijem moj glupi primjer, povlači za sobom različite posljedice. Međutim, neslobodan vektori se također nalaze u tijeku vyshmat (ne idite tamo :)).

Akcije s vektorima. Kolinearnost vektora

U školski tečaj geometrije, razmatraju se brojne akcije i pravila s vektorima: zbrajanje po pravilu trokuta, zbrajanje po pravilu paralelograma, pravilo razlike vektora, množenje vektora brojem, skalarni produkt vektora itd. Kao polazište, ponovimo dva pravila koja su posebno relevantna za rješavanje problema analitičke geometrije.

Pravilo zbrajanja vektora pomoću pravila trokuta

Razmotrimo dva proizvoljna vektora različita od nule i:

Morate pronaći zbroj ovih vektora. Zbog činjenice da se svi vektori smatraju slobodnim, izdvojit ćemo vektor iz kraj vektor:

Zbroj vektora je vektor. Za bolje razumijevanje pravila, preporučljivo je uključiti fizičko značenje: neka tijelo putuje po vektoru, a zatim po vektoru. Tada je zbroj vektora vektor rezultirajuće staze s početkom u polaznoj točki i krajem u dolaznoj točki. Slično je pravilo formulirano za zbroj bilo kojeg broja vektora. Kako kažu, tijelo može ići svojim putem vrlo nagnuto duž cik-cak, ili možda na autopilotu - duž rezultirajućeg vektora zbroja.

Usput, ako je vektor odgođen od započeo vektora, tada dobivamo ekvivalent pravilo paralelograma zbrajanje vektora.

Prvo o kolinearnosti vektora. Dva vektora se nazivaju kolinearni, ako leže na istoj liniji ili na paralelnim pravcima. Grubo rečeno, govorimo o paralelni vektori. Ali u odnosu na njih uvijek se koristi pridjev “kolinearni”.

Zamislimo dva kolinearna vektora. Ako su strelice ovih vektora usmjerene u istom smjeru, tada se takvi vektori nazivaju surežiran. Ako strelice pokazuju u različitim smjerovima, vektori će biti suprotnih smjerova.

Oznake: kolinearnost vektora ispisuje se uobičajenim simbolom paralelizma: , dok je moguće detaljiziranje: (vektori su suusmjereni) ili (vektori su suprotno usmjereni).

Rad vektor različit od nule na broju je vektor čija je duljina jednaka , a vektori i su suusmjereni i suprotno usmjereni na .

Pravilo množenja vektora brojem lakše je razumjeti uz pomoć slike:

Pogledajmo to detaljnije:

1) Smjer. Ako je množitelj negativan, tada vektor mijenja smjer na suprotnost.

2) Duljina. Ako je množitelj sadržan unutar ili , tada je duljina vektora smanjuje se. Dakle, duljina vektora je pola duljine vektora. Ako je modul množitelja veći od jedan, tada je duljina vektora povećava se s vremena na vrijeme.

3) Imajte na umu da svi vektori su kolinearni, dok se jedan vektor izražava kroz drugi, na primjer, . Vrijedi i obrnuto: ako se jedan vektor može izraziti kroz drugi, onda su takvi vektori nužno kolinearni. Stoga: ako vektor pomnožimo s brojem, dobivamo kolinear(u odnosu na original) vektor.

4) Vektori su suusmjereni. Vektori i također su suusmjereni. Svaki vektor prve skupine je suprotno usmjeren u odnosu na bilo koji vektor druge skupine.

Koji vektori su jednaki?

Dva vektora su jednaka ako su u istom smjeru i imaju istu duljinu. Imajte na umu da kodirekcionost implicira kolinearnost vektora. Definicija bi bila netočna (suvišna) ako kažemo: “Dva vektora su jednaka ako su kolinearna, kosmjerna i imaju istu duljinu.”

Sa stajališta pojma slobodnog vektora, jednaki vektori su isti vektor, kao što je objašnjeno u prethodnom paragrafu.

Vektorske koordinate u ravnini i prostoru

Prva točka je razmatranje vektora na ravnini. Predstavimo kartezijanca pravokutni sustav koordinate i od ishodišta koordinata odgađamo singl vektori i:

Vektori i ortogonalni. Ortogonalno = Okomito. Preporučujem da se polako navikavate na pojmove: umjesto paralelizma i okomitosti koristimo riječi respektivno kolinearnost I ortogonalnost.

Oznaka: Ortogonalnost vektora piše se uobičajenim simbolom okomitosti, na primjer: .

Vektori koji se razmatraju nazivaju se koordinatni vektori ili orts. Ovi vektori tvore osnova u avionu. Što je osnova, mislim da je mnogima intuitivno jasno, više detaljne informacije možete pronaći u članku Linearna (ne)ovisnost vektora. Osnova vektora Jednostavnim riječima, baza i ishodište koordinata definiraju cijeli sustav - to je svojevrsni temelj na kojem vrije puni i bogati geometrijski život.

Ponekad se konstruirana osnova naziva ortonormalno osnovica ravnine: “orto” - jer su koordinatni vektori ortogonalni, pridjev “normaliziran” znači jedinica, tj. duljine baznih vektora jednake su jedinici.

Oznaka: osnova se obično piše u zagradama unutar kojih u strogom nizu bazni vektori su navedeni, na primjer: . Koordinatni vektori to je zabranjeno preurediti.

Bilo koje ravninski vektor jedini put izraženo kao:
, Gdje - brojevima koji se zovu vektorske koordinate u ovoj osnovi. I sam izraz nazvao vektorska dekompozicijapo osnovi .

Večera poslužena:

Počnimo s prvim slovom abecede: . Crtež jasno pokazuje da se pri rastavljanju vektora na bazu koriste upravo razmotreni:
1) pravilo množenja vektora brojem: i ;
2) zbrajanje vektora prema pravilu trokuta: .

Sada mentalno iscrtajte vektor iz bilo koje druge točke na ravnini. Posve je očito da će ga njegovo propadanje “nemilosrdno pratiti”. Evo je, sloboda vektora - vektor "nosi sve sa sobom." Ovo svojstvo, naravno, vrijedi za svaki vektor. Smiješno je da sami bazični (slobodni) vektori ne moraju biti iscrtani iz ishodišta; jedan se može crtati npr. dolje lijevo, a drugi gore desno i ništa se neće promijeniti! Istina, ne morate to učiniti, jer će i učitelj pokazati originalnost i izvući vam "kredit" na neočekivanom mjestu.

Vektori točno prikazuju pravilo množenja vektora brojem, vektor je suusmjeren s baznim vektorom, vektor je usmjeren suprotno od baznog vektora. Za ove vektore, jedna od koordinata je jednaka nuli, možete je precizno zapisati ovako:


A bazični vektori su, usput rečeno, ovakvi: (zapravo, oni se izražavaju kroz sebe).

I na kraju: , . Usput, što je vektorsko oduzimanje i zašto nisam govorio o pravilu oduzimanja? Negdje u linearnoj algebri, ne sjećam se gdje, primijetio sam da je oduzimanje poseban slučaj dodatak. Dakle, ekspanzije vektora “de” i “e” lako se zapisuju kao zbroj: , . Preuredite članove i pogledajte na crtežu koliko dobro dobro staro zbrajanje vektora prema pravilu trokuta funkcionira u ovim situacijama.

Razmotrena dekompozicija forme ponekad se naziva vektorska dekompozicija u ort sustavu(tj. u sustavu jediničnih vektora). Ali ovo nije jedini način za pisanje vektora; sljedeća opcija je uobičajena:

Ili sa znakom jednakosti:

Sami bazni vektori zapisani su na sljedeći način: i

To jest, koordinate vektora su naznačene u zagradama. U praktičnim zadacima koriste se sve tri opcije notacije.

Dvojio sam da li da govorim, ali ću ipak reći: vektorske koordinate se ne mogu preuređivati. Strogo na prvom mjestu zapišite koordinatu koja odgovara jedinični vektor , strogo na drugom mjestu zapisujemo koordinatu koja odgovara jediničnom vektoru. Doista, i su dva različita vektora.

Odredili smo koordinate u avionu. Pogledajmo sada vektore u trodimenzionalnom prostoru, ovdje je gotovo sve isto! Samo će dodati još jednu koordinatu. Teško je napraviti trodimenzionalne crteže, pa ću se ograničiti na jedan vektor, koji ću zbog jednostavnosti odvojiti od ishodišta:

Bilo koje vektor trodimenzionalni prostor Može jedini put proširiti preko ortonormirane baze:
, gdje su koordinate vektora (broja) u ovoj bazi.

Primjer sa slike: . Pogledajmo kako ovdje rade vektorska pravila. Prvo, množenje vektora s brojem: (crvena strelica), (zelena strelica) i (malinasta strelica). Drugo, ovdje je primjer dodavanja nekoliko, u ovo slučaj od tri, vektori: . Vektor zbroja počinje u početnoj točki polazišta (početak vektora) i završava u konačnoj točki dolaska (kraj vektora).

Svi vektori trodimenzionalnog prostora, naravno, također su slobodni; pokušajte mentalno odvojiti vektor od bilo koje druge točke i shvatit ćete da će njegova dekompozicija "ostati s njim".

Također ravno kućište, uz snimanje inačice sa zagradama imaju široku primjenu: bilo .

Ako u ekspanziji nedostaje jedan (ili dva) koordinatna vektora, tada se na njihovo mjesto stavljaju nule. Primjeri:
vektor (pedantno ) – pišimo ;
vektor (pedantno ) – pišimo ;
vektor (pedantno ) – napišimo.

Osnovni vektori se pišu na sljedeći način:

To je vjerojatno sve minimum teorijsko znanje, potrebnih za rješavanje problema analitičke geometrije. Pojmova i definicija može biti mnogo, pa preporučam glupanima da ih ponovno pročitaju i shvate ove informacije opet. I bit će korisno za svakog čitatelja da ga pogleda osnovna lekcija za bolju asimilaciju materijala. Kolinearnost, ortogonalnost, ortonormirana baza, vektorska dekompozicija - ovi i drugi pojmovi često će se koristiti u budućnosti. Napominjem da materijali sa stranice nisu dovoljni za polaganje teorijskog ispita ili kolokvija iz geometrije, jer pažljivo šifriram sve teoreme (i bez dokaza) - na štetu znanstveni stil prezentacija, ali plus vašem razumijevanju teme. Za detaljne teorijske informacije molimo poklonite se profesoru Atanasyanu.

I prelazimo na praktični dio:

Najjednostavniji problemi analitičke geometrije.
Akcije s vektorima u koordinatama

Vrlo je poželjno naučiti rješavati zadatke koji će se razmatrati potpuno automatski, te formule zapamtiti, nemojte se posebno sjećati, sami će se sjetiti =) Ovo je vrlo važno, jer u najjednostavnijem elementarni primjeri drugi problemi analitičke geometrije su temeljeni, i bila bi šteta potrošiti dodatno vrijeme jedući pijune. Nema potrebe da zakopčavate gornje gumbe na košulji; mnoge su vam stvari poznate iz škole.

Izlaganje gradiva ići će paralelnim tijekom - i za avion i za svemir. Iz razloga što sve formule... vidjet ćete i sami.

Kako pronaći vektor iz dvije točke?

Ako su zadane dvije točke ravnine i , tada vektor ima sljedeće koordinate:

Ako su zadane dvije točke u prostoru i , tada vektor ima sljedeće koordinate:

tj. od koordinata kraja vektora trebate oduzeti odgovarajuće koordinate početak vektora.

Vježba: Za iste točke zapišite formule za pronalaženje koordinata vektora. Formule na kraju lekcije.

Primjer 1

S obzirom na dvije točke ravnine i . Pronađite vektorske koordinate

Otopina: prema odgovarajućoj formuli:

Alternativno, može se koristiti sljedeći unos:

O tome će odlučiti esteti:

Osobno sam se navikao na prvu verziju snimke.

Odgovor:

Prema uvjetu, nije bilo potrebno konstruirati crtež (što je tipično za probleme analitičke geometrije), ali da bih razjasnio neke točke za lutke, neću biti lijen:

Svakako morate razumjeti razlika između koordinata točke i koordinata vektora:

Koordinate točke– to su obične koordinate u pravokutnom koordinatnom sustavu. Stavite bodove koordinatna ravnina Mislim da to mogu svi od 5.-6.razreda. Svaka točka ima točno određeno mjesto na ravnini i ne može se nikamo pomaknuti.

Koordinate vektora– to je njegovo proširenje prema osnovi, u ovom slučaju. Svaki vektor je slobodan, pa ga po potrebi možemo lako odmaknuti od neke druge točke na ravnini. Zanimljivo je da za vektore uopće ne morate graditi osi ili pravokutni koordinatni sustav; potrebna vam je samo baza, u ovom slučaju ortonormirana baza ravnine.

Čini se da su zapisi koordinata točaka i koordinata vektora slični: , i značenje koordinata apsolutno drugačiji, i trebali biste biti svjesni ove razlike. Ta se razlika, naravno, odnosi i na prostor.

Dame i gospodo, napunimo ruke:

Primjer 2

a) Daju se bodovi i . Pronađite vektore i .
b) Daju se bodovi i . Pronađite vektore i .
c) Daju se bodovi i . Pronađite vektore i .
d) Daju se bodovi. Pronađite vektore .

Možda je to dovoljno. Ovo su primjeri za neovisna odluka, pokušajte ih ne zanemariti, isplatit će vam se ;-). Nema potrebe za izradom crteža. Rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Što je važno pri rješavanju problema analitičke geometrije? Važno je biti IZUZETNO OPREZAN kako biste izbjegli majstorsku pogrešku "dva plus dva jednako je nula". Ispričavam se odmah ako sam negdje pogriješio =)

Kako pronaći duljinu segmenta?

Duljina je, kao što je već navedeno, označena znakom modula.

Ako su dane dvije točke ravnine i , tada se duljina segmenta može izračunati pomoću formule

Ako su dane dvije točke u prostoru i , tada se duljina segmenta može izračunati pomoću formule

Bilješka: Formule će ostati točne ako se odgovarajuće koordinate zamijene: i , ali prva opcija je standardnija

Primjer 3

Otopina: prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Radi jasnoće, napravit ću crtež

Segment – ovo nije vektor, i, naravno, ne možete ga nikamo premjestiti. Osim toga, ako crtate u mjerilu: 1 jedinica. = 1 cm (dvije ćelije bilježnice), tada se dobiveni odgovor može provjeriti običnim ravnalom izravnim mjerenjem duljine segmenta.

Da, rješenje je kratko, ali ima ih još par u njemu važne točke da bih želio pojasniti:

Prvo, u odgovor smo stavili dimenziju: “jedinice”. Uvjet ne kaže ŠTO je to, milimetri, centimetri, metri ili kilometri. Stoga bi matematički ispravno rješenje bila opća formulacija: "jedinice" - skraćeno "jedinice".

Drugo, ponovimo školsko gradivo, koje je korisno ne samo za razmatrani zadatak:

Imajte na umu važno tehnička tehnika – vađenje množitelja ispod korijena. Kao rezultat izračuna, imamo rezultat, a dobar matematički stil uključuje uklanjanje faktora ispod korijena (ako je moguće). Proces detaljnije izgleda ovako: . Naravno, ostaviti odgovor onakvim kakav jest ne bi bila greška - ali bi svakako bila mana i težak argument za zamjerku od strane nastavnika.

Evo drugih uobičajenih slučajeva:

Često je dovoljno u korijenu veliki broj, Na primjer. Što učiniti u takvim slučajevima? Pomoću kalkulatora provjeravamo je li broj djeljiv s 4: . Da, bio je potpuno podijeljen, dakle: . Ili se možda broj opet može podijeliti sa 4? . Stoga: . Posljednja znamenka broja je neparna, pa dijeljenje s 4 treći put očito neće uspjeti. Pokušajmo podijeliti s devet: . Kao rezultat toga:
Spreman.

Zaključak: ako ispod korijena dobijemo broj koji se ne može izvući kao cjelinu, onda faktor pokušavamo izbaciti ispod korijena - kalkulatorom provjeravamo da li je broj djeljiv sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49, itd.

Pri rješavanju raznih zadataka često se susreću korijeni; uvijek pokušajte izvući faktore ispod korijena kako biste izbjegli nižu ocjenu i nepotrebne probleme s dovršavanjem rješenja na temelju komentara nastavnika.

Ponovimo i kvadriranje korijena i druge potencije:

Pravila za radnje s diplomama u opći pogled mogu se naći u školskom udžbeniku algebre, ali mislim da je iz navedenih primjera sve ili gotovo sve već jasno.

Zadatak za samostalno rješavanje segmentom u prostoru:

Primjer 4

Daju se bodovi i . Pronađite duljinu segmenta.

Rješenje i odgovor su na kraju lekcije.

Kako pronaći duljinu vektora?

Ako je zadan ravninski vektor, tada se njegova duljina izračunava formulom.

Ako je zadan prostorni vektor, tada se njegova duljina izračunava formulom .

Niste pronašli odgovor na svoje pitanje? Pogledajte ovdje

Koliko sati može raditi punoljetni redoviti student?

Sažetak logopedske lekcije "Prefiksi i prijedlozi" pregled logopedske lekcije (3. razred) na temu Formiranje psihološke osnove govora

Brzalice za razlikovanje (razlikovanje) (c – b), (v-f), (b – p), (t – t), (d – d), (d – t), (k – t), (p – k), (g – k), (k-g-x)