Kako se označava nazivnik geometrijske progresije? Budite uvijek raspoloženi

Razmotrimo određenu seriju.

7 28 112 448 1792...

Apsolutno je jasno da je vrijednost bilo kojeg njegovog elementa točno četiri puta veća od prethodnog. To znači da je ova serija progresija.

Geometrijska progresija je beskonačni niz brojeva čija je glavna značajka da se sljedeći broj dobiva iz prethodnog množenjem s određenim brojem. To se izražava sljedećom formulom.

a z +1 =a z ·q, gdje je z broj odabranog elementa.

Prema tome, z ∈ N.

Razdoblje kada se u školi uči geometrijska progresija je 9. razred. Primjeri će vam pomoći razumjeti koncept:

0.25 0.125 0.0625...

Na temelju ove formule, nazivnik progresije može se pronaći na sljedeći način:

Ni q ni b z ne mogu biti nula. Također, svaki od elemenata progresije ne bi trebao biti jednak nuli.

U skladu s tim, da biste saznali sljedeći broj u nizu, morate posljednji pomnožiti s q.

Da biste postavili ovu progresiju, morate navesti njen prvi element i nazivnik. Nakon toga moguće je pronaći bilo koji od sljedećih članova i njihov zbroj.

Sorte

Ovisno o q i a 1, ova progresija se dijeli na nekoliko vrsta:

• Ako su i a 1 i q veći od jedan, tada je takav niz geometrijska progresija koja raste sa svakim sljedećim elementom. Primjer toga prikazan je u nastavku.

Primjer: a 1 =3, q=2 - oba parametra su veća od jedan.

Tada se niz brojeva može napisati ovako:

3 6 12 24 48 ...

• Ako je |q| manji od jedan, to jest, množenje njime je ekvivalentno dijeljenju, tada je progresija sa sličnim uvjetima padajuća geometrijska progresija. Primjer toga prikazan je u nastavku.

Primjer: a 1 =6, q=1/3 - a 1 je veće od jedan, q je manje.

Tada se niz brojeva može napisati na sljedeći način:

6 2 2/3 ... - bilo koji element je 3 puta veći od elementa koji slijedi.

• Izmjenični znak. Ako je q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Primjer: a 1 = -3, q = -2 - oba parametra su manja od nule.

Tada se niz brojeva može napisati ovako:

3, 6, -12, 24,...

Formule

Postoje mnoge formule za prikladnu upotrebu geometrijskih progresija:

• Z-term formula. Omogućuje vam izračunavanje elementa pod određenim brojem bez izračunavanja prethodnih brojeva.

Primjer:q = 3, a 1 = 4. Potrebno je prebrojati četvrti element progresije.

Otopina:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Zbroj prvih elemenata čiji je broj jednak z. Omogućuje vam izračunavanje zbroja svih elemenata niza doa zuključivo.

Od (1-q) je u nazivniku, tada (1 - q)≠ 0, stoga q nije jednako 1.

Napomena: ako je q=1, tada bi progresija bila niz brojeva koji se beskonačno ponavljaju.

Zbroj geometrijske progresije, primjeri:a 1 = 2, q= -2. Izračunajte S5.

Otopina:S 5 = 22 - izračun pomoću formule.

• Iznos ako |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Primjer:a 1 = 2 , q= 0,5. Pronađite iznos.

Otopina:S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Neka svojstva:

• Karakteristično svojstvo. Ako je sljedeći uvjet radi za bilo kojiz, tada je zadani niz brojeva geometrijska progresija:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Također, kvadrat bilo kojeg broja u geometrijskoj progresiji nalazi se zbrajanjem kvadrata bilo koja druga dva broja u danom nizu, ako su jednako udaljeni od tog elementa.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Gdjet- udaljenost između ovih brojeva.

• Elementirazlikuju se u qjednom.
• Logaritmi elemenata progresije također čine progresiju, ali aritmetičku, odnosno svaki od njih veći je od prethodnog za određeni broj.

Primjeri nekih klasičnih problema

Za bolje razumijevanje što je geometrijska progresija mogu pomoći primjeri s rješenjima za razred 9.

• Uvjeti:a 1 = 3, a 3 = 48. Pronađiteq.

Rješenje: svaki sljedeći element veći je od prethodnog uq jednom.Potrebno je izraziti neke elemente preko drugih pomoću nazivnika.

Stoga,a 3 = q 2 · a 1

Prilikom zamjeneq= 4

• Uvjeti:a 2 = 6, a 3 = 12. Izračunajte S 6.

Otopina:Da biste to učinili, samo pronađite q, prvi element i zamijenite ga u formulu.

a 3 = q· a 2 , dakle,q= 2

a 2 = q · a 1,Eto zašto a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Pronađite četvrti element progresije.

Rješenje: za to je dovoljno četvrti element izraziti kroz prvi i kroz nazivnik.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Primjer primjene:

• Bankovni klijent položio je depozit u iznosu od 10 000 rubalja, pod čijim se uvjetima svake godine klijentu dodaje 6% iznosa glavnice. Koliko će novca biti na računu nakon 4 godine?

Rješenje: početni iznos je 10 tisuća rubalja. To znači da će godinu dana nakon ulaganja na računu biti iznos jednak 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

Sukladno tome, iznos na računu nakon još godinu dana bit će izražen na sljedeći način:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Odnosno, svake godine iznos se povećava za 1,06 puta. To znači da je za pronalaženje iznosa sredstava na računu nakon 4 godine dovoljno pronaći četvrti element progresije koji je dan prvim elementom jednakim 10 tisuća i nazivnikom jednakim 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Primjeri zadataka za izračunavanje zbroja:

Geometrijska progresija se koristi u raznim problemima. Primjer za pronalaženje zbroja može se dati na sljedeći način:

a 1 = 4, q= 2, izračunajS 5.

Rješenje: svi podaci potrebni za izračun su poznati, samo ih treba zamijeniti u formulu.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Izračunaj zbroj prvih šest elemenata.

Otopina:

U geom. progresije, svaki sljedeći element je q puta veći od prethodnog, odnosno za izračunavanje zbroja potrebno je znati elementa 1 i nazivnikq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Slično tome, trebate pronaćia 1 , znajućia 2 Iq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Ako za svaki prirodni broj n odgovara realnom broju a n , onda kažu da se daje niz brojeva :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Dakle, niz brojeva je funkcija prirodnog argumenta.

Broj a 1 nazvao prvi član niza , broj a 2 — drugi član niza , broj a 3 — treći i tako dalje. Broj a n nazvao n-ti član niza , i prirodan broj n — njegov broj .

Od dva susjedna člana a n I a n +1 član niza a n +1 nazvao naknadni (u odnosu na a n ), A a n — prethodni (u odnosu na a n +1 ).

Da biste definirali niz, trebate navesti metodu koja vam omogućuje pronalazak člana niza s bilo kojim brojem.

Često se slijed navodi pomoću n-ti član formule , odnosno formula koja omogućuje određivanje člana niza po njegovom broju.

Na primjer,

niz pozitivnih neparnih brojeva može se dati formulom

a n= 2n- 1,

i slijed izmjeničnog 1 I -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Redoslijed se može odrediti rekurentna formula, odnosno formula koja izražava bilo koji član niza, počevši od nekih, preko prethodnih (jednog ili više) članova.

Na primjer,

Ako a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ako a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada se prvih sedam članova numeričkog niza uspostavlja na sljedeći način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Nizovi se mogu konačni I beskrajan .

Niz se zove krajnji , ako ima konačan broj članova. Niz se zove beskrajan , ako ima beskonačno mnogo članova.

Na primjer,

niz dvoznamenkastih prirodnih brojeva:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

konačni.

Niz prostih brojeva:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

beskrajan. ◄

Niz se zove povećavajući se , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, veći od prethodnog.

Niz se zove smanjujući se , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, manji od prethodnog.

Na primjer,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — rastući niz;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — silazni niz. ◄

Naziva se niz čiji se elementi ne smanjuju s povećanjem broja ili, obrnuto, ne povećavaju monoton niz .

Konkretno, monotoni nizovi su rastući i opadajući nizovi.

Aritmetička progresija

Aritmetička progresija je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, kojemu se dodaje isti broj.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetička progresija ako za bilo koji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

a n +1 = a n + d,

Gdje d - određeni broj.

Stoga je razlika između sljedećeg i prethodnog člana dane aritmetičke progresije uvijek konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Broj d nazvao razlika aritmetičke progresije.

Za definiranje aritmetičke progresije dovoljno je navesti njen prvi član i razliku.

Na primjer,

Ako a 1 = 3, d = 4 , tada nalazimo prvih pet članova niza kako slijedi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetičku progresiju s prvim članom a 1 i razlika d njoj n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Na primjer,

pronaći trideseti član aritmetičke progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

onda očito

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini prethodnog i sljedećih članova.

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke aritmetičke progresije ako i samo ako je jedan od njih jednak aritmetičkoj sredini druga dva.

Na primjer,

a n = 2n- 7 , je aritmetička progresija.

Iskoristimo gornju izjavu. imamo:

a n = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Stoga,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Imajte na umu da n th član aritmetičke progresije može se pronaći ne samo kroz a 1 , ali i svaki prethodni a k

a n = a k + (n- k)d.

Na primjer,

Za a 5 može se zapisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

onda očito

a n=	a n-k +a n+k
	2

bilo koji član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je polovici zbroja članova te aritmetičke progresije koji su jednako udaljeni od njega.

Osim toga, za bilo koju aritmetičku progresiju vrijedi sljedeća jednakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, jer

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

prvi n članova aritmetičke progresije jednak je umnošku polovine zbroja ekstremnih članova i broja članova:

Odavde, posebice, slijedi da ako trebate zbrojiti pojmove

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada prethodna formula zadržava svoju strukturu:

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ako je dana aritmetička progresija, onda količine a 1 , a n, d, n IS n povezan s dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula, kombiniranih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Aritmetička progresija je monoton niz. U ovom slučaju:

• Ako d > 0 , tada se povećava;
• Ako d < 0 , tada se smanjuje;
• Ako d = 0 , tada će niz biti stacionaran.

Geometrijska progresija

Geometrijska progresija je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom pomnoženom s istim brojem.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijska progresija ako za bilo koji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

b n +1 = b n · q,

Gdje q ≠ 0 - određeni broj.

Dakle, omjer sljedećeg člana dane geometrijske progresije prema prethodnom je konstantan broj:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Broj q nazvao nazivnik geometrijske progresije.

Za definiranje geometrijske progresije dovoljno je navesti njen prvi član i nazivnik.

Na primjer,

Ako b 1 = 1, q = -3 , tada nalazimo prvih pet članova niza kako slijedi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 i nazivnik q njoj n Taj se član može pronaći pomoću formule:

b n = b 1 · qn -1 .

Na primjer,

pronaći sedmi član geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

onda očito

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

svaki član geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je geometrijskoj sredini (proporcionalnoj) prethodnog i sljedećih članova.

Budući da vrijedi i obrnuto, vrijedi sljedeća izjava:

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke geometrijske progresije ako i samo ako je kvadrat jednog od njih jednak umnošku druga dva, odnosno, jedan od brojeva je geometrijska sredina druga dva.

Na primjer,

Dokažimo da niz zadan formulom b n= -3 2 n , je geometrijska progresija. Iskoristimo gornju izjavu. imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Stoga,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

što dokazuje željenu tvrdnju. ◄

Imajte na umu da n Član geometrijske progresije može se pronaći ne samo kroz b 1 , ali i svaki prethodni član b k , za što je dovoljno koristiti formulu

b n = b k · qn - k.

Na primjer,

Za b 5 može se zapisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

onda očito

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat bilo kojeg člana geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je umnošku jednako razmaknutih članova te progresije.

Osim toga, za svaku geometrijsku progresiju vrijedi jednakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Na primjer,

u geometrijskoj progresiji

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jer

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n članovi geometrijske progresije s nazivnikom q ≠ 0 izračunava se formulom:

I kada q = 1 - prema formuli

S n= nb 1

Imajte na umu da ako trebate zbrojiti pojmove

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada se koristi formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Na primjer,

u geometrijskoj progresiji 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ako je dana geometrijska progresija, onda količine b 1 , b n, q, n I S n povezan s dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti bilo koje tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula, kombiniranih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Za geometrijsku progresiju s prvim članom b 1 i nazivnik q dogodi se sljedeće svojstva monotonosti :

• progresija se povećava ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 I q> 1;

b 1 < 0 I 0 < q< 1;

• Progresija se smanjuje ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 I 0 < q< 1;

b 1 < 0 I q> 1.

Ako q< 0 , tada je geometrijska progresija izmjenična: njezini članovi s neparnim brojevima imaju isti predznak kao prvi član, a članovi s parnim brojevima imaju suprotan predznak. Jasno je da izmjenična geometrijska progresija nije monotona.

Proizvod prvog n članovi geometrijske progresije mogu se izračunati pomoću formule:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Na primjer,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Beskonačno padajuća geometrijska progresija

Beskonačno padajuća geometrijska progresija zove se beskonačna geometrijska progresija čiji je nazivnik modula manji 1 , odnosno

|q| < 1 .

Imajte na umu da beskonačno padajuća geometrijska progresija ne mora biti padajući niz. Odgovara prilici

1 < q< 0 .

S takvim nazivnikom niz je izmjeničan. Na primjer,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije imenovati broj kojem se neograničeno približava zbroj prvih n članovi progresije s neograničenim povećanjem broja n . Taj je broj uvijek konačan i izražava se formulom

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Na primjer,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Odnos aritmetičke i geometrijske progresije

Aritmetička i geometrijska progresija su usko povezane. Pogledajmo samo dva primjera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , To

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Na primjer,

1, 3, 5, . . . - aritmetička progresija s razlikom 2 I

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrijska progresija s nazivnikom 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrijska progresija s nazivnikom q , To

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmetička progresija s razlikom log aq .

Na primjer,

2, 12, 72, . . . - geometrijska progresija s nazivnikom 6 I

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetička progresija s razlikom lg 6 . ◄

Geometrijska progresija, uz aritmetičku progresiju, važan je niz brojeva koji se proučava u školskom kolegiju algebre u 9. razredu. U ovom ćemo članku pogledati nazivnik geometrijske progresije i kako njegova vrijednost utječe na njezina svojstva.

Definicija geometrijske progresije

Prvo dajmo definiciju ovog niza brojeva. Geometrijska progresija je niz racionalnih brojeva koji se formira uzastopnim množenjem njegovog prvog elementa konstantnim brojem koji se naziva nazivnik.

Na primjer, brojevi u nizu 3, 6, 12, 24, ... su geometrijska progresija, jer ako pomnožite 3 (prvi element) sa 2, dobit ćete 6. Ako pomnožite 6 sa 2, dobit ćete 12, i tako dalje.

Članovi niza koji se razmatra obično se označavaju simbolom ai, gdje je i cijeli broj koji označava broj elementa u nizu.

Gornja definicija progresije može se matematičkim jezikom napisati na sljedeći način: an = bn-1 * a1, gdje je b nazivnik. Lako je provjeriti ovu formulu: ako je n = 1, tada je b1-1 = 1, te dobivamo a1 = a1. Ako je n = 2, onda je an = b * a1 i opet dolazimo do definicije dotičnog niza brojeva. Slično razmišljanje može se nastaviti za velike vrijednosti n.

Nazivnik geometrijske progresije

Broj b u potpunosti određuje kakav će karakter imati cijeli niz brojeva. Nazivnik b može biti pozitivan, negativan ili veći ili manji od jedan. Sve gore navedene opcije dovode do različitih sekvenci:

• b > 1. Postoji sve veći niz racionalnih brojeva. Na primjer, 1, 2, 4, 8, ... Ako je element a1 negativan, tada će cijeli niz rasti samo u apsolutnoj vrijednosti, ali se smanjuje ovisno o predznaku brojeva.
• b = 1. Često se ovaj slučaj ne naziva progresijom, budući da postoji običan niz identičnih racionalnih brojeva. Na primjer, -4, -4, -4.

Formula za iznos

Prije nego prijeđemo na razmatranje specifičnih problema korištenjem nazivnika vrste progresije koja se razmatra, treba dati važnu formulu za zbroj njenih prvih n elemenata. Formula izgleda ovako: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Ovaj izraz možete dobiti sami ako uzmete u obzir rekurzivni niz članova progresije. Također imajte na umu da je u gornjoj formuli dovoljno znati samo prvi element i nazivnik da biste pronašli zbroj proizvoljnog broja članova.

Beskonačno padajući niz

Gore je objašnjeno što je to. Sada, znajući formulu za Sn, primijenimo je na ovaj niz brojeva. Budući da svaki broj čiji modul ne prelazi 1 teži nuli kada se podigne na velike potencije, to jest, b∞ => 0 ako je -1

Kako će razlika (1 - b) uvijek biti pozitivna, bez obzira na vrijednost nazivnika, predznak zbroja beskonačno opadajuće geometrijske progresije S∞ jednoznačno je određen predznakom njenog prvog elementa a1.

Pogledajmo sada nekoliko zadataka gdje ćemo pokazati kako primijeniti stečeno znanje na određene brojeve.

Zadatak br. 1. Izračunavanje nepoznatih elemenata progresije i zbroja

Za dana geometrijska progresija, nazivnik progresije je 2, a njen prvi element je 3. Čemu će biti jednak njen 7. i 10. član, a koliki je zbroj njenih sedam početnih elemenata?

Uvjet problema je prilično jednostavan i uključuje izravnu upotrebu gornjih formula. Dakle, za izračunavanje elementa broj n koristimo izraz an = bn-1 * a1. Za 7. element imamo: a7 = b6 * a1, zamjenom poznatih podataka dobivamo: a7 = 26 * 3 = 192. Isto radimo i za 10. član: a10 = 29 * 3 = 1536.

Upotrijebimo dobro poznatu formulu za zbroj i odredimo ovu vrijednost za prvih 7 elemenata niza. Imamo: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Zadatak br. 2. Određivanje zbroja proizvoljnih elemenata progresije

Neka -2 bude jednako nazivniku geometrijske progresije bn-1 * 4, gdje je n cijeli broj. Potrebno je odrediti zbroj od 5. do uključivo 10. elementa ovog niza.

Postavljeni problem ne može se izravno riješiti pomoću poznatih formula. Može se riješiti pomoću 2 različite metode. Radi cjelovitosti prikaza teme donosimo obje.

Metoda 1. Ideja je jednostavna: morate izračunati dva odgovarajuća zbroja prvih članova, a zatim od jednog oduzeti drugi. Izračunavamo manji iznos: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sada izračunavamo veći zbroj: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Imajte na umu da su u posljednjem izrazu zbrojena samo 4 člana, budući da je 5. već uključen u iznos koji treba izračunati prema uvjetima problema. Na kraju, uzimamo razliku: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metoda 2. Prije zamjene brojeva i brojanja, možete dobiti formulu za zbroj između m i n članova predmetnog niza. Nastavljamo na potpuno isti način kao u metodi 1, samo što prvo radimo sa simboličkim prikazom iznosa. Imamo: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Možete zamijeniti poznate brojeve u dobiveni izraz i izračunati konačni rezultat: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Zadatak br. 3. Što je nazivnik?

Neka je a1 = 2, nađi nazivnik geometrijske progresije, uz uvjet da je njegov beskonačni zbroj 3, a poznato je da je to opadajući niz brojeva.

Na temelju uvjeta problema nije teško pogoditi kojom formulom ga treba riješiti. Naravno, za beskonačno opadajući zbroj progresije. Imamo: S∞ = a1 / (1 - b). Odakle izražavamo nazivnik: b = 1 - a1 / S∞. Ostaje zamijeniti poznate vrijednosti i dobiti traženi broj: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 ili -0,333(3). Ovaj rezultat možemo kvalitativno provjeriti ako se sjetimo da za ovu vrstu niza modul b ne bi trebao prelaziti 1. Kao što se može vidjeti, |-1 / 3|

Zadatak br. 4. Obnavljanje niza brojeva

Neka su dana 2 elementa niza brojeva, npr. 5. je jednak 30, a 10. je jednak 60. Iz tih podataka potrebno je rekonstruirati cijeli niz, znajući da on zadovoljava svojstva geometrijske progresije.

Da biste riješili zadatak, morate prvo zapisati odgovarajući izraz za svaki poznati pojam. Imamo: a5 = b4 * a1 i a10 = b9 * a1. Sada podijelimo drugi izraz s prvim, dobivamo: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Odavde određujemo nazivnik uzimajući peti korijen omjera članova poznatih iz izjave problema, b = 1,148698. Zamijenimo dobiveni broj u jedan od izraza za poznati element, dobivamo: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Tako smo pronašli nazivnik progresije bn, a geometrijske progresije bn-1 * 17,2304966 = an, gdje je b = 1,148698.

Gdje se koriste geometrijske progresije?

Kad ne bi bilo praktične primjene ovog niza brojeva, njegovo bi se proučavanje svelo na čisto teorijski interes. Ali takva aplikacija postoji.

Ispod su 3 najpoznatija primjera:

• Zenonov paradoks, u kojem okretni Ahilej ne može sustići sporu kornjaču, riješen je pomoću koncepta beskonačno padajućeg niza brojeva.
• Ako zrna pšenice stavite na svako polje šahovske ploče tako da na 1. polje stavite 1 zrno, na 2. - 2, na 3. - 3 i tako dalje, tada će vam za popunjavanje svih polja na ploči trebati 18446744073709551615 zrna!
• U igrici "Tower of Hanoi" za pomicanje diskova s ​​jedne šipke na drugu potrebno je izvršiti 2n - 1 operacija, odnosno njihov broj eksponencijalno raste s brojem n upotrijebljenih diskova.

Formula za n-ti član geometrijske progresije vrlo je jednostavna. I po značenju i po općem izgledu. Ali ima svakakvih problema s formulom n-tog člana - od vrlo primitivnih do prilično ozbiljnih. I u procesu našeg poznanstva, svakako ćemo razmotriti oboje. Pa, da se upoznamo?)

Dakle, za početak, zapravo formulan

Evo ga:

b n = b 1 · qn -1

Formula je samo formula, ništa nadnaravno. Izgleda još jednostavnije i kompaktnije od slične formule za. Značenje formule također je jednostavno poput filcanih čizama.

Ova formula vam omogućuje da pronađete BILO KOJI član geometrijske progresije PO NJEGOVOM BROJU " n".

Kao što vidite, značenje je potpuna analogija s aritmetičkom progresijom. Znamo broj n - možemo računati i na član pod tim brojem. Koji god želimo. Bez uzastopnog množenja s "q" mnogo, mnogo puta. To je cijela poanta.)

Razumijem da bi vam na ovoj razini rada s progresijama već trebale biti jasne sve količine uključene u formulu, ali ipak smatram svojom dužnošću dešifrirati svaku od njih. Samo u slučaju.

Dakle, idemo:

b 1 – prvičlan geometrijske progresije;

q – ;

n– broj člana;

b n – n-ti (nth)član geometrijske progresije.

Ova formula povezuje četiri glavna parametra bilo koje geometrijske progresije - bn, b 1 , q I n. I svi problemi napredovanja vrte se oko ove četiri ključne figure.

"Kako se uklanja?"– čujem zanimljivo pitanje... Elementarno! Izgled!

Što je jednako drugičlan progresije? Nema pitanja! Pišemo direktno:

b 2 = b 1 ·q

Što je s trećim članom? Nije problem! Drugi član množimo još jednom naq.

Ovako:

B 3 = b 2 q

Sjetimo se sada da je drugi član jednak b 1 ·q i zamijenimo ovaj izraz u našu jednakost:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Dobivamo:

B 3 = b 1 ·q 2

Sada pročitajmo naš unos na ruskom: trećičlan je jednak prvom članu pomnoženom sa q in drugi stupnjeva. shvaćate li Ne još? U redu, još jedan korak.

Što je četvrti pojam? Sve je isto! Pomnožiti prethodni(tj. treći član) na q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Ukupno:

B 4 = b 1 ·q 3

I opet prevodimo na ruski: četvrtičlan je jednak prvom članu pomnoženom sa q in treći stupnjeva.

I tako dalje. Pa kako? Jeste li uhvatili obrazac? Da! Za bilo koji izraz s bilo kojim brojem, broj identičnih faktora q (tj. stupanj nazivnika) uvijek će biti jedan manje od broja željenog članan.

Stoga će naša formula biti, bez opcija:

b n =b 1 · qn -1

To je sve.)

Pa, hajdemo riješiti probleme, valjda?)

Rješavanje problema s formulamančlan geometrijske progresije.

Počnimo, kao i obično, s izravnom primjenom formule. Evo tipičnog problema:

U geometrijskoj progresiji poznato je da b 1 = 512 i q = -1/2. Pronađite deseti član progresije.

Naravno, ovaj se problem može riješiti bez ikakvih formula. Izravno u smislu geometrijske progresije. Ali moramo se zagrijati s formulom za n-ti član, zar ne? Evo nas na zagrijavanju.

Naši podaci za primjenu formule su sljedeći.

Prvi član je poznat. Ovo je 512.

b 1 = 512.

Poznat je i nazivnik progresije: q = -1/2.

Ostaje još samo otkriti koliki je broj članova n. Nema pitanja! Zanima li nas deseti mandat? Dakle, zamijenimo deset umjesto n u opću formulu.

I pažljivo izračunajte aritmetiku:

Odgovor: -1

Kao što vidite, deseti član progresije pokazao se kao minus. Ništa iznenađujuće: naš nazivnik progresije je -1/2, tj. negativan broj. A to nam govori da se znakovi našeg napredovanja izmjenjuju, da.)

Ovdje je sve jednostavno. Ovdje je sličan problem, ali malo kompliciraniji u smislu izračuna.

U geometrijskoj progresiji poznato je da:

b 1 = 3

Pronađite trinaesti član progresije.

Sve je isto, samo je ovaj put nazivnik progresije iracionalan. Korijen iz dva. Pa, to je u redu. Formula je univerzalna stvar, može se nositi s bilo kojim brojevima.

Radimo izravno prema formuli:

Formula je, naravno, funkcionirala kako treba, ali... tu nekima zapne. Što dalje učiniti s rootom? Kako podići korijen na dvanaestu potenciju?

Kako-kako... Morate shvatiti da je svaka formula, naravno, dobra stvar, ali znanje sve prethodne matematike nije poništeno! Kako graditi? Da, zapamtite svojstva stupnjeva! Pretvorimo korijen u razlomački stupanj i – prema formuli za podizanje stupnja na stupanj.

Ovako:

Odgovor: 192

I to je sve.)

Koja je glavna poteškoća u izravnoj primjeni formule n-tog člana? Da! Glavna poteškoća je rad s diplomama! Naime, dizanje negativnih brojeva, razlomaka, korijena i sličnih konstrukcija na potencije. Pa oni koji s tim imaju problema neka ponove stupnjeve i njihova svojstva! Inače ćeš usporiti i ovu temu, da...)

Sada riješimo tipične probleme pretraživanja jedan od elemenata formule, ako su svi ostali dati. Za uspješno rješavanje ovakvih problema recept je jedinstven i užasno jednostavan - napiši formulun-ti član uopće! Odmah u bilježnicu pored stanja. I onda iz uvjeta skužimo što nam je dano, a što nedostaje. I izražavamo željenu vrijednost iz formule. Sve!

Na primjer, takav bezopasni problem.

Peti član geometrijske progresije s nazivnikom 3 je 567. Pronađite prvi član ove progresije.

Ništa komplicirano. Radimo izravno prema čaroliji.

Napišimo formulu za n-ti član!

b n = b 1 · qn -1

Što nam je dano? Prvo je dan nazivnik progresije: q = 3.

Štoviše, dano nam je peti član: b 5 = 567 .

Sve? Ne! Dobili smo i broj n! Ovo je pet: n = 5.

Nadam se da ste već shvatili što je na snimci b 5 = 567 dva su parametra skrivena odjednom - ovo je sam peti izraz (567) i njegov broj (5). Već sam govorio o tome u sličnoj lekciji, ali mislim da je vrijedno spomenuti i ovdje.)

Sada zamijenimo naše podatke u formulu:

567 = b 1 ·3 5-1

Radimo aritmetiku, pojednostavljujemo i dobivamo jednostavnu linearnu jednadžbu:

81 b 1 = 567

Rješavamo i dobivamo:

b 1 = 7

Kao što vidite, nema problema s pronalaženjem prvog člana. Ali pri traženju nazivnika q i brojevima n Može biti i iznenađenja. I također morate biti spremni na njih (iznenađenja), da.)

Na primjer, ovaj problem:

Peti član geometrijske progresije s pozitivnim nazivnikom je 162, a prvi član ove progresije je 2. Odredite nazivnik progresije.

Ovaj put dobivamo prvi i peti član i tražimo da pronađemo nazivnik progresije. Idemo.

Zapisujemo formulunti član!

b n = b 1 · qn -1

Naši početni podaci bit će sljedeći:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Nedostaje vrijednost q. Nema pitanja! Pronađimo ga sada.) Sve što znamo zamijenimo u formulu.

Dobivamo:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Jednostavna jednadžba četvrtog stupnja. A sada - pažljivo! U ovoj fazi rješenja mnogi učenici odmah radosno vade korijen (četvrtog stupnja) i dobivaju odgovor q=3 .

Ovako:

q4 = 81

q = 3

Ali zapravo, ovo je nedovršen odgovor. Točnije, nepotpuna. Zašto? Poanta je da odgovor q = -3 također prikladno: (-3) 4 će također biti 81!

To je zato što jednadžba snage x n = a uvijek ima dva suprotna korijena na čakn . Sa plusom i minusom:

Oba su prikladna.

Na primjer, kada odlučujete (tj. drugi stupnjevi)

x 2 = 9

Iz nekog razloga niste iznenađeni izgledom dva korijeni x=±3? I ovdje je isto. I s bilo kojom drugom čak stupanj (četvrti, šesti, deseti itd.) bit će isti. Detalji su u temi o

Stoga bi ispravno rješenje bilo:

q 4 = 81

q= ±3

U redu, sredili smo znakove. Što je točno - plus ili minus? Pa, pročitajmo ponovno izjavu problema u potrazi za dodatne informacije. Naravno, možda ne postoji, ali u ovom problemu takve informacije dostupan. Naš uvjet navodi u običnom tekstu da je dana progresija pozitivni nazivnik.

Stoga je odgovor očit:

q = 3

Ovdje je sve jednostavno. Što mislite da bi se dogodilo da je izjava problema ovakva:

Peti član geometrijske progresije je 162, a prvi član ove progresije je 2. Nađite nazivnik progresije.

Koja je razlika? Da! U stanju Ništa ne spominje se znak nazivnika. Ni izravno ni neizravno. I tu bi već problem imao dva rješenja!

q = 3 I q = -3

Da, da! I s plusom i s minusom.) Matematički bi ta činjenica značila da postoje dvije progresije, koji odgovaraju uvjetima problema. I svaki ima svoj nazivnik. Za zabavu, vježbajte i napišite prvih pet članova svakog.)

Sada vježbajmo pronaći broj člana. Ovaj problem je najteži, da. Ali i kreativniji.)

S obzirom na geometrijsku progresiju:

3; 6; 12; 24; …

Koji je broj u ovoj progresiji broj 768?

Prvi korak je i dalje isti: napiši formulunti član!

b n = b 1 · qn -1

I sada, kao i obično, u njega zamjenjujemo podatke koje znamo. Hm... ne ide! Gdje je prvi član, gdje je nazivnik, gdje je sve ostalo?!

Gdje, gdje... Zašto nam trebaju oči? Mlatanje trepavicama? Ovaj put progresija nam je dana izravno u obrascu sekvence. Možemo li vidjeti prvog člana? Vidimo! Ovo je trojka (b 1 = 3). Što je s nazivnikom? Još ga ne vidimo, ali je vrlo lako prebrojati. Ako, naravno, razumijete...

Pa računamo. Izravno prema značenju geometrijske progresije: uzmemo bilo koji od njegovih članova (osim prvog) i podijelimo s prethodnim.

Bar ovako:

q = 24/12 = 2

Što još znamo? Također znamo neki član ove progresije, jednak 768. Pod nekim brojem n:

b n = 768

Ne znamo njegov broj, ali naš zadatak je upravo pronaći ga.) Dakle, tražimo. Već smo preuzeli sve potrebne podatke za zamjenu u formulu. Nesvjesni sebe.)

Ovdje zamjenjujemo:

768 = 3 2n -1

Napravimo one elementarne - obje strane podijelimo s tri i prepišemo jednadžbu u uobičajenom obliku: nepoznato je lijevo, poznato je desno.

Dobivamo:

2 n -1 = 256

Ovo je zanimljiva jednadžba. Moramo pronaći "n". Što, neobično? Da, ne raspravljam. Zapravo, ovo je najjednostavnija stvar. Zove se tako jer nepoznata (u ovom slučaju to je broj n) košta u indikator stupnjeva.

U fazi učenja o geometrijskoj progresiji (ovo je deveti razred) ne uče vas rješavati eksponencijalne jednadžbe, da... Ovo je tema za srednju školu. Ali nema ništa strašno. Čak i ako ne znate kako se takve jednadžbe rješavaju, pokušajmo pronaći našu n, vođeni jednostavnom logikom i zdravim razumom.

Počnimo razgovarati. S lijeve strane imamo dvojku donekle. Još ne znamo koja je to točno diploma, ali to nije strašno. Ali pouzdano znamo da je taj stupanj jednak 256! Pa se sjećamo u kojoj mjeri nam dvojka daje 256. Sjećate li se? Da! U osmi stupnjeva!

256 = 2 8

Ako se ne sjećate ili imate problema s prepoznavanjem stupnjeva, onda je i to u redu: samo redom kvadrirajte dva, kocku, četvrtinu, peticu i tako dalje. Selekcija, zapravo, ali na ovoj razini će funkcionirati sasvim dobro.

Na ovaj ili onaj način, dobivamo:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Dakle, 768 je devetičlan naše progresije. To je to, problem riješen.)

Odgovor: 9

Što? dosadno? Umorni ste od elementarnih stvari? Slažem se. I meni također. Prijeđimo na sljedeću razinu.)

Složeniji zadaci.

Sada riješimo zahtjevnije probleme. Ne baš super cool, ali one koje zahtijevaju malo rada da bi se došlo do odgovora.

Na primjer, ovaj.

Nađite drugi član geometrijske progresije ako je njegov četvrti član -24, a sedmi član 192.

Ovo je klasik žanra. Poznata su dva različita termina progresije, ali treba pronaći drugi termin. Štoviše, svi članovi NISU susjedi. Što je u početku zbunjujuće, da...

Kao i kod, za rješavanje takvih problema razmotrit ćemo dvije metode. Prva metoda je univerzalna. Algebarski. Radi besprijekorno s bilo kojim izvornim podacima. Dakle, tu ćemo početi.)

Svaki pojam opisujemo formulom nti član!

Sve je potpuno isto kao i kod aritmetičke progresije. Samo ovaj put radimo sa još opća formula. To je sve.) Ali bit je ista: uzimamo i jedan po jedan Zamijenimo naše početne podatke u formulu za n-ti član. Za svakog člana - svoje.

Za četvrti član pišemo:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Jesti. Jedna jednadžba je spremna.

Za sedmi član pišemo:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Ukupno smo dobili dvije jednadžbe za ista progresija .

Od njih sastavljamo sustav:

Unatoč prijetećem izgledu, sustav je prilično jednostavan. Najočitije rješenje je jednostavna zamjena. Izražavamo b 1 iz gornje jednadžbe i zamijenite je u donju:

Nakon što smo malo petljali s donjom jednadžbom (smanjujući potencije i dijeleći s -24), dobivamo:

q 3 = -8

Usput, do te iste jednadžbe može se doći i na jednostavniji način! koji? Sada ću vam pokazati još jedan tajni, ali vrlo lijep, moćan i koristan način rješavanja takvih sustava. Takvi sustavi čije jednadžbe uključuju samo radi. Barem u jednom. Nazvana metoda podjele jedna jednadžba u drugu.

Dakle, pred nama je sustav:

U obje jednadžbe s lijeve strane - raditi, a desno je samo broj. Ovo je jako dobar znak.) Uzmimo i... podijelimo, recimo, donju jednadžbu s gornjom! Što to znači podijelimo jednu jednadžbu s drugom? Vrlo jednostavno. Uzmimo ga lijeva strana jedna jednadžba (niža) i podijeliti njoj na lijeva strana druga jednadžba (gornja). Desna strana je slična: desna strana jedna jednadžba podijeliti na desna strana još.

Cijeli proces podjele izgleda ovako:

Sada, reducirajući sve što se može smanjiti, dobivamo:

q 3 = -8

Što je dobro kod ove metode? Da, jer se u procesu takve podjele sve loše i nezgodno može sigurno reducirati i ostati potpuno bezopasna jednadžba! Zbog toga je toliko važno imati samo množenje u barem jednoj od jednadžbi sustava. Nema množenja - nema se što smanjivati, da...

Općenito, ova metoda (kao i mnoge druge netrivijalne metode rješavanja sustava) čak zaslužuje zasebnu lekciju. Svakako ću to detaljnije istražiti. Jednog dana…

Međutim, nije važno kako točno rješavate sustav, u svakom slučaju, sada moramo riješiti rezultirajuću jednadžbu:

q 3 = -8

Nema problema: izvadite kockasti korijen i gotovi ste!

Imajte na umu da nema potrebe stavljati plus/minus ovdje prilikom izdvajanja. Naš korijen je neparnog (trećeg) stupnja. I odgovor je također isti, da.)

Dakle, nazivnik progresije je pronađen. Minus dva. super! Proces je u tijeku.)

Za prvi član (recimo, iz gornje jednadžbe) dobivamo:

super! Znamo prvi član, znamo nazivnik. A sada imamo priliku pronaći bilo kojeg člana progresije. Uključujući i drugu.)

Za drugi termin sve je vrlo jednostavno:

b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6

Odgovor: -6

Dakle, raščlanili smo algebarsku metodu za rješavanje problema. teško? Ne baš, slažem se. Dugo i zamorno? Da, definitivno. Ali ponekad možete značajno smanjiti količinu posla. Za ovo postoji grafička metoda. Dobri stari i nama poznati.)

Nacrtajmo problem!

Da! tako je. Opet prikazujemo našu progresiju na osi brojeva. Nije potrebno slijediti ravnalo, nije potrebno održavati jednake razmake između članova (koji, usput rečeno, neće biti isti, jer je progresija geometrijska!), već jednostavno shematski Nacrtajmo naš niz.

Dobio sam ovako:

Sada pogledajte sliku i shvatite. Koliko identičnih faktora "q" razdvaja četvrti I sedmičlanovi? Tako je, tri!

Stoga imamo puno pravo napisati:

-24·q 3 = 192

Odavde je sada lako pronaći q:

q 3 = -8

q = -2

To je super, već imamo nazivnik u džepu. Sada ponovno pogledajmo sliku: koliko takvih nazivnika sjedi između drugi I četvrtičlanovi? Dva! Stoga, da bismo zabilježili vezu između ovih pojmova, konstruirat ćemo nazivnik na kvadrat.

Pa pišemo:

b 2 · q 2 = -24 , gdje b 2 = -24/ q 2

Naš pronađeni nazivnik zamijenimo u izraz za b 2, prebrojimo i dobijemo:

Odgovor: -6

Kao što vidite, sve je puno jednostavnije i brže nego kroz sustav. Štoviše, ovdje prvi termin uopće nismo ni trebali računati! Uopće.)

Evo tako jednostavnog i vizualnog načina svjetla. Ali ima i ozbiljan nedostatak. Jeste li pogodili? Da! Dobar je samo za vrlo kratke dijelove progresije. Oni gdje udaljenosti između članova koji nas zanimaju nisu jako velike. Ali u svim ostalim slučajevima već je teško nacrtati sliku, da... Onda problem rješavamo analitički, kroz sustav.) A sustavi su univerzalne stvari. Mogu se nositi s bilo kojim brojevima.

Još jedan epski izazov:

Drugi član geometrijske progresije je 10 veći od prvog, a treći član 30 veći od drugog. Pronađite nazivnik progresije.

Što, cool? Nimalo! Sve je isto. Opet prevodimo izjavu problema u čistu algebru.

1) Svaki pojam opisujemo formulom nti član!

Drugi član: b 2 = b 1 q

Treći član: b 3 = b 1 q 2

2) Zapisujemo vezu među članovima iz tvrdnje zadatka.

Čitamo uvjet: "Drugi član geometrijske progresije je 10 veći od prvog." Stanite, ovo je vrijedno!

Pa pišemo:

b 2 = b 1 +10

A ovu frazu prevodimo u čistu matematiku:

b 3 = b 2 +30

Dobili smo dvije jednadžbe. Spojimo ih u sustav:

Sustav izgleda jednostavno. Ali postoji previše različitih indeksa za slova. Zamijenimo umjesto drugog i trećeg člana njihove izraze kroz prvi član i nazivnik! Zar smo ih uzalud slikali?

Dobivamo:

Ali takav sustav više nije poklon, da... Kako to riješiti? Nažalost, ne postoji univerzalna tajna čarolija za rješavanje kompleksa nelinearni U matematici nema i ne može postojati sustava. Ovo je fantastično! Ali prvo što bi vam trebalo pasti na pamet kada pokušavate slomiti tako tvrd orah je da shvatite Ali nije li jedna od jednadžbi sustava reducirana na prekrasan oblik koji omogućuje, na primjer, jednostavno izražavanje jedne od varijabli u smislu druge?

Hajdemo shvatiti. Prva jednadžba sustava očito je jednostavnija od druge. Mučit ćemo ga.) Zar ne bismo trebali pokušati iz prve jednadžbe nešto izraziti kroz nešto? Budući da želimo pronaći nazivnik q, onda bi nam bilo najpovoljnije izraziti b 1 kroz q.

Dakle, pokušajmo napraviti ovaj postupak s prvom jednadžbom, koristeći stare dobre:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Sve! Tako smo izrazili nepotreban dajte nam varijablu (b 1) kroz potrebno(q). Da, to nije najjednostavniji izraz koji imamo. Nekakav razlomak... Ali naš sustav je na pristojnoj razini, da.)

Tipično. Znamo što nam je činiti.

Pišemo ODZ (Obavezno!) :

q ≠ 1

Sve množimo s nazivnikom (q-1) i poništavamo sve razlomke:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Sve dijelimo s deset, otvaramo zagrade i skupljamo sve s lijeve strane:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Rješavamo rezultat i dobivamo dva korijena:

q 1 = 1

q 2 = 3

Postoji samo jedan konačan odgovor: q = 3 .

Odgovor: 3

Kao što vidite, put do rješavanja većine problema koji uključuju formulu n-tog člana geometrijske progresije uvijek je isti: pročitajte pozorno uvjet problema i pomoću formule n-tog člana prevodimo sve korisne informacije u čistu algebru.

Naime:

1) Svaki član zadan u zadatku opisujemo zasebno prema formulinth član.

2) Iz uvjeta zadatka vezu između članova prevodimo u matematički oblik. Sastavljamo jednadžbu ili sustav jednadžbi.

3) Rješavamo dobivenu jednadžbu ili sustav jednadžbi, pronalazimo nepoznate parametre progresije.

4) U slučaju nejasnog odgovora, pažljivo čitamo uvjete zadatka u potrazi za dodatnim informacijama (ako postoje). Također provjeravamo primljeni odgovor s uvjetima DL-a (ako postoje).

Sada nabrojimo glavne probleme koji najčešće dovode do pogrešaka u procesu rješavanja problema geometrijske progresije.

1. Elementarna aritmetika. Operacije s razlomcima i negativnim brojevima.

2. Ako postoje problemi s barem jednom od ove tri točke, tada ćete neizbježno pogriješiti u ovoj temi. Nažalost... Zato ne budite lijeni i ponovite ono što je gore navedeno. I slijedite poveznice - idite. Ponekad pomaže.)

Modificirane i rekurentne formule.

Sada pogledajmo nekoliko tipičnih ispitnih problema s manje poznatim prikazom stanja. Da, da, pogodili ste! Ovaj modificiran I ponavljajući n-ti član formule. Već smo se susreli s takvim formulama i radili na aritmetičkoj progresiji. Ovdje je sve slično. Suština je ista.

Na primjer, ovaj problem iz OGE-a:

Geometrijska progresija dana je formulom b n = 3 2 n . Nađite zbroj njegovog prvog i četvrtog člana.

Ovog puta napredovanje nije uobičajeno za nas. U obliku nekakve formule. Pa što? Ova formula je također formulanti član! Vi i ja znamo da se formula za n-ti član može napisati iu općem obliku, koristeći slova, i za specifična progresija. S specifičan prvi član i nazivnik.

U našem slučaju, zapravo, dana nam je opća terminska formula za geometrijsku progresiju sa sljedećim parametrima:

b 1 = 6

q = 2

Provjerimo?) Zapišimo formulu za n-ti član u općem obliku i zamijenimo je u b 1 I q. Dobivamo:

b n = b 1 · qn -1

b n= 6 2n -1

Pojednostavljamo korištenjem faktorizacije i svojstava potencije, i dobivamo:

b n= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Kao što vidite, sve je pošteno. Ali naš cilj nije pokazati izvođenje određene formule. Ovo je tako, lirska digresija. Čisto za razumijevanje.) Cilj nam je riješiti problem prema formuli koja nam je dana u uvjetu. Shvaćate?) Stoga radimo izravno s modificiranom formulom.

Računamo prvi termin. Zamijenimo n=1 u opću formulu:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Ovako. Usput, neću biti lijen i još jednom vam skrenuti pozornost na tipičnu pogrešku s izračunom prvog člana. NEMOJ, gledajući formulu b n= 3 2n, odmah požurite napisati da je prvi pojam trojka! Ovo je velika greška, da...)

Nastavimo. Zamijenimo n=4 i računajte četvrti član:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

I na kraju izračunavamo potrebnu količinu:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Odgovor: 54

Još jedan problem.

Geometrijska progresija određena je uvjetima:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Pronađite četvrti član progresije.

Ovdje je progresija dana rekurentnom formulom. Pa dobro.) Kako raditi s ovom formulom – znamo i mi.

Pa djelujemo. Korak po korak.

1) Brojite dva uzastopničlan progresije.

Prvi mandat nam je već dan. Minus sedam. Ali sljedeći, drugi član, može se lako izračunati pomoću formule ponavljanja. Naravno, ako razumijete princip njegovog rada.)

Dakle, računamo drugi član prema poznatom prvom:

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Izračunajte nazivnik progresije

Nema ni problema. Ravno, podijelimo se drugi kurac na prvi.

Dobivamo:

q = -21/(-7) = 3

3) Napišite formulunth član u uobičajenom obliku i izračunajte traženi član.

Dakle, znamo prvi član i nazivnik također. Pa pišemo:

b n= -7·3n -1

b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Odgovor: -189

Kao što vidite, rad s takvim formulama za geometrijsku progresiju u biti se ne razlikuje od rada za aritmetičku progresiju. Važno je samo razumjeti opću suštinu i značenje ovih formula. Pa, također morate razumjeti značenje geometrijske progresije, da.) I tada neće biti glupih pogrešaka.

Pa, odlučimo sami?)

Vrlo osnovni zadaci za zagrijavanje:

1. S obzirom na geometrijsku progresiju u kojoj b 1 = 243, a q = -2/3. Pronađite šesti član progresije.

2. Opći član geometrijske progresije dan je formulom b n = 5∙2 n +1 . Pronađite broj posljednjeg troznamenkastog člana ove progresije.

3. Geometrijska progresija dana je uvjetima:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Pronađite peti član progresije.

Malo kompliciranije:

4. S obzirom na geometrijsku progresiju:

b 1 =2048; q =-0,5

Čemu je jednak šesti negativni član?

Što se čini super teškim? Nimalo. Spasit će vas logika i razumijevanje značenja geometrijske progresije. Pa, formula za n-ti član, naravno.

5. Treći član geometrijske progresije je -14, a osmi član je 112. Nađi nazivnik progresije.

6. Zbroj prvog i drugog člana geometrijske progresije je 75, a zbroj drugog i trećeg člana je 150. Nađi šesti član progresije.

Odgovori (u neredu): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

To je skoro sve. Sve što trebamo učiniti je naučiti brojati zbroj prvih n članova geometrijske progresije da otkriti beskonačno padajuća geometrijska progresija i njegovu količinu. Vrlo zanimljiva i neobična stvar, usput! Više o tome u sljedećim lekcijama.)