Kako pretvoriti razlomke u cijele brojeve. Pretvaranje decimalnog razlomka u obični razlomak i obrnuto: pravilo, primjeri

U ovom članku ćemo pogledati kako pretvaranje razlomaka u decimale, a također razmotrite obrnuti proces - pretvaranje decimalnih razlomaka u obične razlomke. Ovdje ćemo prikazati pravila za pretvorbu razlomaka i dati detaljna rješenja tipičnih primjera.

Navigacija po stranici.

Pretvaranje razlomaka u decimale

Označimo slijed kojim ćemo se baviti pretvaranje razlomaka u decimale.

Prvo ćemo pogledati kako predstaviti razlomke s nazivnicima 10, 100, 1000, ... kao decimale. To se objašnjava činjenicom da su decimalni razlomci u biti kompaktni oblik zapisa običnih razlomaka s nazivnicima 10, 100, ....

Nakon toga ćemo ići dalje i pokazati kako se bilo koji obični razlomak (ne samo oni s nazivnicima 10, 100, ...) zapisuje kao decimalni razlomak. Kada se obični razlomci tretiraju na ovaj način, dobivaju se i konačni decimalni razlomci i beskonačni periodični decimalni razlomci.

Sada razgovarajmo o svemu redom.

Pretvaranje običnih razlomaka s nazivnicima 10, 100, ... u decimale

Neki ispravni razlomci zahtijevaju "preliminarnu pripremu" prije pretvaranja u decimale. To se odnosi na obične razlomke, čiji je broj znamenki u brojniku manji od broja nula u nazivniku. Na primjer, obični razlomak 2/100 mora se prvo pripremiti za pretvorbu u decimalni razlomak, ali razlomak 9/10 ne treba nikakvu pripremu.

“Preliminarna priprema” pravih običnih razlomaka za pretvorbu u decimalne razlomke sastoji se od dodavanja toliko nula lijevo u brojniku da ukupan broj tamošnjih znamenki postane jednak broju nula u nazivniku. Na primjer, razlomak nakon dodavanja nula izgledat će kao .

Nakon što ste pripremili pravi razlomak, možete ga početi pretvarati u decimale.

Dajmo pravilo za pretvaranje pravilnog običnog razlomka s nazivnikom 10, ili 100, ili 1000, ... u decimalni razlomak. Sastoji se od tri koraka:

napisati 0;
iza njega stavljamo decimalnu točku;
Zapisujemo broj iz brojnika (zajedno s dodanim nulama, ako smo ih dodali).

Razmotrimo primjenu ovog pravila kod rješavanja primjera.

Primjer.

Pretvorite pravilan razlomak 37/100 u decimalu.

Riješenje.

Nazivnik sadrži broj 100 koji ima dvije nule. Brojnik sadrži broj 37, njegov zapis ima dvije znamenke, stoga ovaj ulomak ne treba pripremati za pretvorbu u decimalni ulomak.

Sada napišemo 0, stavimo decimalnu točku i iz brojnika ispišemo broj 37 i dobijemo decimalni razlomak 0,37.

Odgovor:

0,37 .

Kako bismo učvrstili vještine pretvaranja pravilnih običnih razlomaka s brojnicima 10, 100, ... u decimalne razlomke, analizirat ćemo rješenje drugog primjera.

Primjer.

Zapišite pravi razlomak 107/10 000 000 kao decimalu.

Riješenje.

Broj znamenki u brojniku je 3, a broj nula u nazivniku je 7, pa ovaj obični razlomak treba pripremiti za pretvaranje u decimalu. Moramo dodati 7-3=4 nule lijevo u brojniku tako da ukupan broj znamenki tamo postane jednak broju nula u nazivniku. Dobivamo.

Sve što preostaje je stvoriti traženi decimalni razlomak. Da bismo to učinili, prvo pišemo 0, drugo, stavljamo zarez, treće, pišemo broj iz brojnika zajedno s nulama 0000107, kao rezultat imamo decimalni ulomak 0,0000107.

Odgovor:

0,0000107 .

Nepravilni razlomci ne zahtijevaju nikakvu pripremu prilikom pretvaranja u decimale. Treba se pridržavati sljedećeg pravila za pretvaranje nepravih razlomaka s nazivnicima 10, 100, ... u decimale:

zapisati broj iz brojnika;
Koristimo decimalnu točku da odvojimo onoliko znamenki s desne strane koliko ima nula u nazivniku izvornog razlomka.

Pogledajmo primjenu ovog pravila kod rješavanja primjera.

Primjer.

Pretvorite nepravilan razlomak 56,888,038,009/100,000 u decimalu.

Riješenje.

Prvo, zapisujemo broj iz brojnika 56888038009, a drugo, 5 znamenki s desne strane odvajamo decimalnom točkom, budući da nazivnik izvornog razlomka ima 5 nula. Kao rezultat, imamo decimalni razlomak 568880,38009.

Odgovor:

568 880,38009 .

Da biste pretvorili mješoviti broj u decimalni razlomak, čiji je nazivnik razlomka broj 10, ili 100, ili 1000, ..., možete pretvoriti mješoviti broj u nepravi obični razlomak, a zatim pretvoriti rezultirajući razlomak u decimalni razlomak. Ali također možete koristiti sljedeće pravilo za pretvaranje mješovitih brojeva s razlomačkim nazivnikom 10, ili 100, ili 1000, ... u decimalne razlomke:

ako je potrebno, vršimo "preliminarnu pripremu" frakcijskog dijela izvornog mješovitog broja dodavanjem potrebnog broja nula lijevo u brojniku;
zapisati cjelobrojni dio izvornog mješovitog broja;
staviti decimalnu točku;
Zapisujemo broj iz brojnika uz dodane nule.

Pogledajmo primjer u kojem dovršavamo sve potrebne korake za predstavljanje mješovitog broja kao decimalnog razlomka.

Primjer.

Pretvorite mješoviti broj u decimalu.

Riješenje.

Nazivnik razlomka ima 4 nule, ali brojnik sadrži broj 17, koji se sastoji od 2 znamenke, stoga treba dodati dvije nule lijevo u brojniku tako da broj znamenki tamo postane jednak broju nule u nazivniku. Nakon što to učinite, brojnik će biti 0017.

Sada zapišemo cijeli dio izvornog broja, odnosno broja 23, stavimo decimalnu točku, nakon čega upišemo broj iz brojnika uz dodane nule, odnosno 0017, i dobijemo željenu decimalu. razlomak 23.0017.

Zapišimo ukratko cijelo rješenje: .

Naravno, bilo je moguće najprije predstaviti mješoviti broj kao nepravi razlomak, a zatim ga pretvoriti u decimalni razlomak. Ovakvim pristupom rješenje izgleda ovako: .

Odgovor:

23,0017 .

Pretvaranje razlomaka u konačne i beskonačne periodične decimale

U decimalni razlomak možete pretvoriti ne samo obične razlomke s nazivnicima 10, 100, ..., već i obične razlomke s drugim nazivnicima. Sada ćemo shvatiti kako se to radi.

U nekim se slučajevima izvorni obični razlomak lako svodi na jedan od nazivnika 10, ili 100, ili 1000, ... (pogledajte dovođenje običnog razlomka na novi nazivnik), nakon čega nije teško predstaviti dobiveni razlomak kao decimalni razlomak. Na primjer, očito je da se razlomak 2/5 može svesti na razlomak s nazivnikom 10, za to je potrebno brojnik i nazivnik pomnožiti s 2, što će dati razlomak 4/10, što prema pravila razmatrana u prethodnom odlomku, lako se pretvara u decimalni razlomak 0, 4 .

U drugim slučajevima, morate koristiti drugu metodu pretvaranja običnog razlomka u decimalu, koju ćemo sada razmotriti.

Za pretvaranje običnog razlomka u decimalni razlomak, brojnik razlomka se podijeli s nazivnikom, brojnik se prvo zamijeni jednakim decimalnim razlomkom s bilo kojim brojem nula iza decimalne točke (o tome smo govorili u odjeljku jednako i nejednaki decimalni razlomci). Dijeljenje se u ovom slučaju izvodi na isti način kao i dijeljenje stupcem prirodnih brojeva, au kvocijentu se stavlja decimalna točka kada završi dijeljenje cijelog dijela dividende. Sve će to postati jasno iz rješenja dolje navedenih primjera.

Primjer.

Pretvorite razlomak 621/4 u decimalu.

Riješenje.

Predstavimo broj u brojniku 621 kao decimalni razlomak, dodajući decimalnu točku i nekoliko nula iza nje. Prvo zbrojimo 2 znamenke 0, kasnije, ako je potrebno, uvijek možemo dodati još nula. Dakle, imamo 621,00.

Podijelimo sada broj 621 000 s 4 stupcem. Prva tri koraka se ne razlikuju od dijeljenja prirodnih brojeva stupcem, nakon čega dolazimo do sljedeće slike:

Tako dolazimo do decimalne točke u dividendi, a ostatak je različit od nule. U ovom slučaju stavljamo decimalnu točku u kvocijent i nastavljamo dijeliti u stupcu, ne obraćajući pažnju na zareze:

Time je dijeljenje završeno, a kao rezultat dobivamo decimalni razlomak 155,25, koji odgovara izvornom običnom razlomku.

Odgovor:

155,25 .

Za učvršćivanje gradiva razmotrite rješenje drugog primjera.

Primjer.

Pretvorite razlomak 21/800 u decimalu.

Riješenje.

Da bismo ovaj obični razlomak pretvorili u decimalni, dijelimo sa stupcem decimalnog razlomka 21 000... s 800. Nakon prvog koraka morat ćemo staviti decimalnu točku u kvocijent, a zatim nastaviti dijeljenje:

Konačno, dobili smo ostatak 0, čime je dovršena konverzija običnog razlomka 21/400 u decimalni razlomak, i došli smo do decimalnog razlomka 0,02625.

Odgovor:

0,02625 .

Može se dogoditi da pri dijeljenju brojnika s nazivnikom običnog razlomka ipak ne dobijemo ostatak 0. U tim slučajevima dioba se može nastaviti neograničeno dugo. Međutim, počevši od određenog koraka, ostaci se periodički počinju ponavljati, a ponavljaju se i brojevi u kvocijentu. To znači da se izvorni razlomak pretvara u beskonačni periodični decimalni razlomak. Pokažimo to primjerom.

Primjer.

Zapišite razlomak 19/44 kao decimalu.

Riješenje.

Da biste pretvorili obični razlomak u decimalu, izvedite dijeljenje po stupcu:

Već je jasno da su se tijekom dijeljenja počeli ponavljati ostaci 8 i 36, dok se u kvocijentu ponavljaju brojevi 1 i 8. Dakle, izvorni obični razlomak 19/44 pretvara se u periodični decimalni razlomak 0,43181818...=0,43(18).

Odgovor:

0,43(18) .

Da zaključimo ovu točku, otkrit ćemo koji se obični razlomci mogu pretvoriti u konačne decimalne razlomke, a koji se mogu pretvoriti samo u periodične.

Neka je pred nama nesvodivi obični razlomak (ako je razlomak svodiv, onda razlomak prvo skraćujemo), a trebamo saznati u koji decimalni razlomak se on može pretvoriti - u konačni ili periodični.

Jasno je da ako se obični razlomak može svesti na jedan od nazivnika 10, 100, 1000, ..., tada se dobiveni razlomak može lako pretvoriti u konačni decimalni razlomak prema pravilima razmatranim u prethodnom paragrafu. Ali na nazivnike 10, 100, 1000 itd. Nisu navedeni svi obični razlomci. Na takve nazivnike mogu se svesti samo razlomci čiji je nazivnik barem jedan od brojeva 10, 100, .... A koji brojevi mogu biti djelitelji broja 10, 100, ...? Brojevi 10, 100, ... omogućit će nam odgovor na ovo pitanje, a oni su sljedeći: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1000 = 2 2 2 5 5 5, .... Slijedi da su djelitelji 10, 100, 1000 itd. Mogu postojati samo brojevi čija dekompozicija na proste faktore sadrži samo brojeve 2 i (ili) 5.

Sada možemo donijeti opći zaključak o pretvaranju običnih razlomaka u decimale:

ako su u rastavljanju nazivnika na proste faktore prisutni samo brojevi 2 i (ili) 5, tada se taj razlomak može pretvoriti u konačni decimalni razlomak;
ako uz dvojke i petice u proširenju nazivnika postoje i drugi prosti brojevi, tada se taj razlomak pretvara u beskonačni decimalni periodični razlomak.

Primjer.

Bez pretvaranja običnih razlomaka u decimale, reci mi koji se od razlomaka 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 mogu pretvoriti u konačni decimalni razlomak, a koji se mogu pretvoriti samo u periodični razlomak.

Riješenje.

Nazivnik razlomka 47/20 rastavljen je na proste faktore kao 20=2·2·5. U ovom proširenju postoje samo dvojke i petice, pa se ovaj razlomak može svesti na jedan od nazivnika 10, 100, 1000, ... (u ovom primjeru na nazivnik 100), dakle, može se pretvoriti u konačnu decimalu frakcija.

Rastavljanje nazivnika razlomka 7/12 na proste faktore ima oblik 12=2·2·3. Budući da sadrži prosti faktor 3, različit od 2 i 5, ovaj se razlomak ne može predstaviti kao konačna decimala, ali se može pretvoriti u periodičku decimalu.

Frakcija 21/56 – kontraktilna, nakon kontrakcije poprima oblik 3/8. Rastavljanje nazivnika na proste faktore sadrži tri faktora jednaka 2, stoga se obični razlomak 3/8, a time i jednaki razlomak 21/56, može pretvoriti u konačni decimalni razlomak.

Konačno, proširenje nazivnika razlomka 31/17 je sam 17, stoga se ovaj razlomak ne može pretvoriti u konačni decimalni razlomak, ali se može pretvoriti u beskonačni periodični razlomak.

Odgovor:

47/20 i 21/56 mogu se pretvoriti u konačni decimalni razlomak, ali 7/12 i 31/17 mogu se pretvoriti samo u periodični razlomak.

Obični razlomci se ne pretvaraju u beskonačne neperiodične decimale

Informacija u prethodnom odlomku dovodi do pitanja: "Može li dijeljenje brojnika razlomka s nazivnikom rezultirati beskonačnim neperiodičnim razlomkom?"

Odgovor: ne. Pri pretvorbi običnog razlomka rezultat može biti konačni decimalni razlomak ili beskonačni periodični decimalni razlomak. Objasnimo zašto je to tako.

Iz teorema o djeljivosti s ostatkom jasno je da je ostatak uvijek manji od djelitelja, odnosno ako neki cijeli broj podijelimo s cijelim brojem q, tada ostatak može biti samo jedan od brojeva 0, 1, 2. , ..., q−1. Slijedi da će nakon što stupac završi dijeljenje cijelog dijela brojnika običnog razlomka s nazivnikom q, u najviše q koraka doći do jedne od sljedeće dvije situacije:

ili ćemo dobiti ostatak od 0, time ćemo završiti dijeljenje i dobit ćemo konačni decimalni razlomak;
ili ćemo dobiti ostatak koji se već prije pojavio, nakon čega će se ostaci početi ponavljati kao u prethodnom primjeru (budući da se pri dijeljenju jednakih brojeva s q dobivaju jednaki ostaci, što proizlazi iz već spomenutog teorema o djeljivosti), to rezultirat će beskonačnim periodičkim decimalnim razlomkom.

Ne mogu postojati nikakve druge mogućnosti, stoga se pri pretvaranju običnog ulomka u decimalni ulomak ne može dobiti beskonačni neperiodični decimalni ulomak.

Iz obrazloženja danog u ovom paragrafu također slijedi da je duljina perioda decimalnog razlomka uvijek manja od vrijednosti nazivnika odgovarajućeg običnog razlomka.

Pretvaranje decimala u razlomke

Sada shvatimo kako pretvoriti decimalni razlomak u obični razlomak. Počnimo pretvaranjem konačnih decimalnih razlomaka u obične razlomke. Nakon ovoga, razmotrit ćemo metodu za invertiranje beskonačnih periodičnih decimalnih razlomaka. Zaključno, recimo o nemogućnosti pretvaranja beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka u obične razlomke.

Pretvaranje završnih decimala u razlomke

Dobivanje razlomka koji je zapisan kao konačna decimala vrlo je jednostavno. Pravilo za pretvaranje konačnog decimalnog razlomka u obični razlomak sastoji se od tri koraka:

prvo zadani decimalni razlomak upišite u brojnik, prethodno odbacivši decimalnu točku i sve nule s lijeve strane, ako ih ima;
drugo, upišite jedan u nazivnik i dodajte mu onoliko nula koliko ima znamenki iza decimalne točke u izvornom decimalnom razlomku;
treće, ako je potrebno, smanjite rezultirajuću frakciju.

Pogledajmo rješenja primjera.

Primjer.

Pretvorite decimalno 3,025 u razlomak.

Riješenje.

Uklonimo li decimalnu točku s izvornog decimalnog razlomka, dobit ćemo broj 3.025. Na lijevoj strani nema nula koje bismo odbacili. Dakle, u brojnik željenog razlomka upisujemo 3,025.

Broj 1 upišemo u nazivnik i desno od njega dodamo 3 nule, jer u izvornom decimalnom razlomku iza decimalne točke postoje 3 znamenke.

Dakle, dobili smo obični razlomak 3,025/1,000. Ovaj se razlomak može smanjiti za 25, dobivamo .

Odgovor:

Primjer.

Pretvorite decimalni razlomak 0,0017 u razlomak.

Riješenje.

Bez decimalne točke izvorni decimalni razlomak izgleda kao 00017, odbacivanjem nula s lijeve strane dobivamo broj 17 koji je brojnik željenog običnog razlomka.

Jedinicu pišemo s četiri nule u nazivniku, jer izvorni decimalni razlomak ima 4 znamenke iza decimalne točke.

Kao rezultat, imamo obični razlomak 17/10 000. Ovaj razlomak je nesvodiv, a pretvorba decimalnog razlomka u obični razlomak je završena.

Odgovor:

Kada je cijeli dio izvornog konačnog decimalnog razlomka različit od nule, može se odmah pretvoriti u mješoviti broj, zaobilazeći obični razlomak. Dajmo pravilo za pretvaranje konačnog decimalnog razlomka u mješoviti broj:

broj ispred decimalne točke mora biti zapisan kao cjelobrojni dio željenog mješovitog broja;
u brojniku frakcijskog dijela trebate napisati broj dobiven iz frakcijskog dijela izvornog decimalnog razlomka nakon odbacivanja svih nula s lijeve strane;
u nazivnik razlomka potrebno je zapisati broj 1, kojemu desno dodati onoliko nula koliko ima znamenki iza decimalne točke u izvornom decimalnom razlomku;
ako je potrebno, smanjite razlomački dio dobivenog mješovitog broja.

Pogledajmo primjer pretvaranja decimalnog razlomka u mješoviti broj.

Primjer.

Izrazite decimalni razlomak 152,06005 kao mješoviti broj

Pokušavajući riješiti matematičke probleme s razlomcima, učenik shvaća da mu samo želja za rješavanjem tih problema nije dovoljna. Potrebno je i poznavanje računanja s razlomačkim brojevima. U nekim zadacima svi početni podaci dani su u uvjetu u obliku razlomka. U drugima, neki od njih mogu biti razlomci, a neki mogu biti cijeli brojevi. Da biste mogli izvoditi bilo kakve izračune s ovim zadanim vrijednostima, prvo ih morate dovesti u jedinstveni oblik, odnosno pretvoriti cijele brojeve u razlomke, a zatim raditi izračune. Općenito, način pretvaranja cijelog broja u razlomak vrlo je jednostavan. Da biste to učinili, potrebno je da sam zadani broj upišete u brojnik konačnog razlomka, a jedinicu u njegov nazivnik. To jest, ako trebate pretvoriti broj 12 u razlomak, tada će rezultirajući razlomak biti 12/1.

Takve izmjene pomažu dovesti razlomke na zajednički nazivnik. To je potrebno kako bismo mogli oduzimati ili zbrajati razlomke. Pri njihovom množenju i dijeljenju nije potreban zajednički nazivnik. Možete pogledati primjer kako pretvoriti broj u razlomak i zatim zbrojiti dva razlomka. Recimo da trebate zbrojiti broj 12 i razlomački broj 3/4. Prvi član (broj 12) sveden je na oblik 12/1. Međutim, njegov nazivnik je jednak 1, dok je nazivnik drugog člana jednak 4. Da bi se ova dva razlomka dodatno zbrojila, moraju se dovesti do zajedničkog nazivnika. Zbog činjenice da jedan od brojeva ima nazivnik 1, to je općenito lako učiniti. Trebate uzeti nazivnik drugog broja i s njim pomnožiti i brojnik i nazivnik prvog.

Rezultat množenja je: 12/1=48/4. Ako 48 podijelite s 4, dobit ćete 12, što znači da je razlomak sveden na točan nazivnik. Na taj način možete u isto vrijeme razumjeti kako pretvoriti razlomak u cijeli broj. Ovo se odnosi samo na neprave razlomke jer imaju brojnik veći od nazivnika. U ovom slučaju, brojnik se dijeli s nazivnikom i, ako nema ostatka, bit će cijeli broj. S ostatkom razlomak ostaje razlomak, ali s istaknutim cijelim dijelom. Sada što se tiče svođenja na zajednički nazivnik u razmatranom primjeru. Kad bi nazivnik prvog člana bio jednak nekom drugom broju osim 1, brojnik i nazivnik prvog broja morali bi se pomnožiti nazivnikom drugog broja, a brojnik i nazivnik drugog nazivnika broja. prvi.

Oba su pojma svedena na zajednički nazivnik i spremna su za zbrajanje. Ispada da u ovom zadatku trebate zbrojiti dva broja: 48/4 i 3/4. Kada zbrajate dva razlomka s istim nazivnikom, trebate samo zbrojiti njihove gornje dijelove, odnosno brojnike. Nazivnik iznosa ostat će nepromijenjen. U ovom primjeru to bi trebalo biti 48/4+3/4=(48+3)/4=51/4. Ovo će biti rezultat dodavanja. Ali u matematici je uobičajeno neprave razlomke svesti na ispravne. Gore smo govorili o tome kako razlomak pretvoriti u broj, ali u ovom primjeru nećete dobiti cijeli broj iz razlomka 51/4, budući da broj 51 nije djeljiv s brojem 4 bez ostatka cjelobrojni dio ovog razlomka i njegov razlomački dio. Cjelobrojni dio bit će broj koji se dobije dijeljenjem s cijelim brojem prvog broja manjeg od 51.

To jest, nešto što se može podijeliti s 4 bez ostatka. Prvi broj prije broja 51, koji je potpuno djeljiv s 4, bit će broj 48. Dijeljenjem 48 s 4 dobiva se broj 12. To znači da će cijeli dio traženog razlomka biti 12. Ostaje samo pronaći razlomački dio broja. Nazivnik razlomka ostaje isti, odnosno 4 u ovom slučaju. Da biste pronašli brojnik razlomka, trebate od izvornog brojnika oduzeti broj koji je podijeljen nazivnikom bez ostatka. U primjeru koji se razmatra, to zahtijeva oduzimanje broja 48 od broja 51. To jest, brojnik frakcijskog dijela jednak je 3. Rezultat zbrajanja bit će 12 cijelih brojeva i 3/4. Isto se radi i kod oduzimanja razlomaka. Recimo da trebate oduzeti razlomak 3/4 od cijelog broja 12. Da biste to učinili, cijeli broj 12 pretvara se u razlomak 12/1, a zatim dovodi do zajedničkog nazivnika s drugim brojem - 48/4.

Pri oduzimanju na isti način nazivnik obaju razlomaka ostaje nepromijenjen, a oduzimanje se provodi njihovim brojnicima. Odnosno, brojnik drugog oduzima se od brojnika prvog razlomka. U ovom primjeru to bi bilo 48/4-3/4=(48-3)/4=45/4. I opet smo dobili nepravi razlomak, koji se mora svesti na pravi. Da biste izdvojili cijeli dio, odredite prvi broj do 45, koji je djeljiv s 4 bez ostatka. To će biti 44. Ako se broj 44 podijeli s 4, rezultat je 11. To znači da je cijeli dio konačnog razlomka jednak 11. U razlomku nazivnik također ostaje nepromijenjen, a iz brojnika od izvornog nepravog razlomka oduzima se broj koji je podijeljen nazivnikom bez ostatka. Odnosno, trebate oduzeti 44 od 45. To znači da je brojnik u razlomku jednak 1 i 12-3/4 = 11 i 1/4.

Ako su vam zadani jedan cijeli i jedan razlomak, ali je njegov nazivnik 10, lakše je drugi broj pretvoriti u decimalni razlomak i zatim izvršiti izračune. Na primjer, trebate zbrojiti cijeli broj 12 i razlomački broj 3/10. Ako napišete 3/10 kao decimalu, dobit ćete 0,3. Sada je puno lakše dodati 0,3 na 12 i dobiti 2,3 nego dovesti razlomke na zajednički nazivnik, izvesti izračune, a zatim odvojiti cijeli i razlomak od nepravog razlomka. Čak i najjednostavniji zadaci s razlomcima pretpostavljaju da učenik (ili student) zna cijeli broj pretvoriti u razlomak. Ova pravila su previše jednostavna i laka za pamćenje. Ali uz njihovu pomoć vrlo je lako izvršiti izračune frakcijskih brojeva.

Decimalni brojevi poput 0,2; 1,05; 3.017, itd. kako se čuju, tako se i pišu. Nula zarez dva, dobivamo razlomak. Jedan zarez pet stotinki, dobivamo razlomak. Tri zarez sedamnaest tisućinki, dobili smo razlomak. Brojevi ispred decimalne točke cijeli su dio razlomka. Broj iza decimalne točke je brojnik budućeg razlomka. Ako je iza decimalne točke jednoznamenkasti broj, nazivnik će biti 10, ako je dvoznamenkasti - 100, troznamenkasti - 1000 itd. Neki rezultirajući razlomci mogu se reducirati. U našim primjerima

Pretvaranje razlomka u decimalu

Ovo je obrnuto od prethodne transformacije. Koja je karakteristika decimalnog razlomka? Njegov nazivnik je uvijek 10, ili 100, ili 1000, ili 10000, i tako dalje. Ako vaš obični razlomak ima nazivnik poput ovog, nema problema. Na primjer, ili

Ako je razlomak npr. U ovom slučaju potrebno je iskoristiti osnovno svojstvo razlomka i nazivnik pretvoriti u 10 ili 100, ili 1000... U našem primjeru, pomnožimo li brojnik i nazivnik s 4, dobivamo razlomak koji se može zapisan kao decimalni broj 0,12.

Neke je razlomke lakše podijeliti nego pretvoriti nazivnik. Na primjer,

Neki se razlomci ne mogu pretvoriti u decimale!
Na primjer,

Pretvaranje mješovitog razlomka u nepravi razlomak

Mješoviti razlomak, na primjer, može se lako pretvoriti u nepravi razlomak. Da biste to učinili, morate pomnožiti cijeli dio s nazivnikom (dolje) i dodati ga s brojnikom (gore), ostavljajući nazivnik (dno) nepromijenjenim. To je

Kada pretvarate mješoviti razlomak u nepravi razlomak, zapamtite da možete koristiti zbrajanje razlomaka

Pretvaranje nepravog razlomka u mješoviti razlomak (označavanje cijelog dijela)

Nepravi razlomak može se pretvoriti u mješoviti razlomak isticanjem cijelog dijela. Pogledajmo primjer. Određujemo koliko cijelih brojeva puta "3" stane u "23". Ili podijelite 23 s 3 na kalkulatoru, cijeli broj do decimalne točke je željeni. Ovo je "7". Zatim određujemo brojnik buduće frakcije: pomnožimo dobiveni "7" s nazivnikom "3" i oduzmemo rezultat od brojnika "23". Kao da pronađemo višak koji ostaje od brojnika "23" ako uklonimo najveći iznos od "3". Nazivnik ostavljamo nepromijenjen. Sve je gotovo, zapišite rezultat

Na samom početku još morate saznati što je razlomak i koje vrste dolazi. A postoje tri vrste. A prvi od njih je obični razlomak, na primjer ½, 3/7, 3/432 itd. Ovi se brojevi također mogu pisati vodoravnom crticom. I prvo i drugo bit će jednako istinito. Broj na vrhu naziva se broj, a broj na dnu naziva se nazivnik. Postoji čak i izreka za one ljude koji stalno brkaju ova dva imena. Ide ovako: “Zzzzz upamti! Zzzz nazivnik - doljezzzz! " To će vam pomoći da se ne zbunite. Obični razlomak su samo dva broja koji su djeljivi jedan s drugim. Crtica u njima označava znak dijeljenja. Može se zamijeniti dvotočkom. Ako je pitanje "kako pretvoriti razlomak u broj", onda je vrlo jednostavno. Trebate samo podijeliti brojnik s nazivnikom. To je sve. Razlomak je preveden.

Druga vrsta razlomaka naziva se decimalni. Ovo je niz brojeva iza kojih slijedi zarez. Na primjer, 0,5, 3,5, itd. Nazvani su decimalnim samo zato što nakon otpjevanog broja prva znamenka znači "desetice", druga je deset puta više od "stotica" i tako dalje. A prve znamenke prije decimalne točke nazivamo cijelim brojevima. Na primjer, broj 2,4 zvuči ovako, dvanaest zarez dva i dvjesto trideset četiri tisućinke. Takvi se razlomci pojavljuju uglavnom zbog činjenice da dijeljenje dva broja bez ostatka ne funkcionira. A većina razlomaka, kada se pretvore u brojeve, završe kao decimale. Na primjer, jedna sekunda jednaka je nula zarez pet.

I posljednji treći pogled. Ovo su mješoviti brojevi. Primjer za to može se dati kao 2½. Zvuči kao dvije cjeline i jedna sekunda. U srednjoj školi se ova vrsta razlomaka više ne koristi. Vjerojatno će ih trebati pretvoriti ili u oblik običnog razlomka ili u decimalni oblik. To je jednako lako učiniti. Vi samo trebate pomnožiti cijeli broj s nazivnikom i dodati rezultirajuću oznaku broju. Uzmimo naš primjer 2½. Dva pomnoženo s dva jednako je četiri. Četiri plus jedan jednako je pet. A razlomak oblika 2½ formira se u 5/2. A pet, podijeljeno s dva, može se dobiti kao decimalni razlomak. 2½=5/2=2,5. Već je postalo jasno kako razlomke pretvoriti u brojeve. Trebate samo podijeliti brojnik s nazivnikom. Ako su brojevi veliki, možete koristiti kalkulator.

Ako ne proizvodi cijele brojeve i ima puno znamenki nakon decimalne točke, ta se vrijednost može zaokružiti. Sve je zaokruženo vrlo jednostavno. Prvo morate odlučiti na koji broj trebate zaokružiti. Treba razmotriti primjer. Osoba treba zaokružiti broj nula zarez devet tisuća sedamsto pedeset šest desettisućitih ili na digitalnu vrijednost 0,6. Zaokruživanje se mora izvršiti na najbližu stotinku. To znači da je trenutno do sedam stotinki. Nakon broja sedam u razlomku stoji pet. Sada moramo koristiti pravila zaokruživanja. Brojevi veći od pet zaokružuju se na gore, a brojevi manji od pet na dole. U primjeru, osoba ima pet, ona je na granici, ali se smatra da se zaokruživanje događa prema gore. To znači da uklanjamo sve brojeve iza sedam i dodajemo im jedan. Ispada 0,8.

Također se javljaju situacije kada osoba treba brzo pretvoriti obični razlomak u broj, ali u blizini nema kalkulatora. Da biste to učinili, upotrijebite podjelu stupaca. Prvi korak je da brojnik i nazivnik napišete jedan pored drugog na komad papira. Između njih je postavljen razdjelni ugao; izgleda kao slovo "T", samo što leži na boku. Na primjer, možete uzeti razlomak deset šestina. I tako, deset treba podijeliti sa šest. Koliko šestica može stati u desetku, samo jedna. Jedinica je ispisana ispod ugla. Deset oduzeti šest jednako je četiri. Koliko će šestica biti u četvorci, nekoliko. To znači da se u odgovoru iza jedinice stavlja zarez, a četvorka se množi s deset. U četrdeset i šestoj šestici. Šest se dodaje odgovoru, a trideset šest se oduzima od četrdeset. To opet ispada četiri.

U ovom primjeru je došlo do petlje, ako nastavite raditi sve isto, dobit ćete odgovor 1,6(6) Broj šest se nastavlja u beskonačnost, ali primjenom pravila zaokruživanja možete dovesti broj do 1,7. . Što je puno praktičnije. Iz ovoga možemo zaključiti da se svi obični razlomci ne mogu pretvoriti u decimale. U nekima postoji ciklus. Ali bilo koji decimalni razlomak može se pretvoriti u prosti razlomak. Ovdje će pomoći elementarno pravilo: kako se čuje, tako se i piše. Na primjer, broj 1,5 čuje se kao jedan zarez dvadeset pet stotinki. Dakle, morate to zapisati, jedno cijelo, dvadeset pet podijeljeno sa sto. Jedan cijeli broj je sto, što znači da će prosti razlomak biti sto dvadeset pet puta sto (125/100). Sve je također jednostavno i jasno.

Dakle, raspravljalo se o najosnovnijim pravilima i transformacijama koje su povezane s razlomcima. Svi su jednostavni, ali trebali biste ih znati. Razlomci, posebno decimale, odavno su dio svakodnevnog života. To je jasno vidljivo na cjenicima u trgovinama. Odavno nitko nije pisao okrugle cijene, ali s razlomcima cijena izgleda vizualno puno jeftinije. Također, jedna od teorija kaže da se čovječanstvo okrenulo od rimskih brojeva i prihvatilo arapske samo zato što rimski nisu imali razlomke. I mnogi se znanstvenici slažu s ovom pretpostavkom. Uostalom, s razlomcima možete točnije računati. A u našem dobu svemirske tehnologije, točnost u izračunima je potrebna više nego ikad. Stoga je proučavanje razlomaka u školskoj matematici ključno za razumijevanje mnogih znanosti i tehnološkog napretka.

Razlomak se može pretvoriti u cijeli broj ili u decimalu. Nepravi razlomak, čiji je brojnik veći od nazivnika i djeljiv je s njim bez ostatka, pretvara se u cijeli broj, na primjer: 20/5. Podijelite 20 s 5 i dobijete broj 4. Ako je razlomak pravilan, odnosno brojnik je manji od nazivnika, pretvorite ga u broj (decimalni razlomak). Više informacija o razlomcima možete dobiti u našem odjeljku -.

Načini pretvaranja razlomka u broj

Prvi način pretvaranja razlomka u broj prikladan je za razlomak koji se može pretvoriti u broj koji je decimalni razlomak. Najprije saznajmo je li moguće dati razlomak pretvoriti u decimalni razlomak. Da bismo to učinili, obratimo pažnju na nazivnik (broj koji se nalazi ispod crte ili desno od nagnute crte). Ako se nazivnik može faktorizirati (u našem primjeru - 2 i 5), što se može ponoviti, tada se ovaj razlomak zapravo može pretvoriti u konačni decimalni razlomak. Na primjer: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Ovaj obični razlomak će se pretvoriti u broj (decimalni) s konačnim brojem decimalnih mjesta. Ali razlomak 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) bit će pretvoren u broj s beskonačnim brojem decimalnih mjesta. Odnosno, pri točnom izračunavanju numeričke vrijednosti prilično je teško odrediti konačno decimalno mjesto, jer postoji beskonačan broj takvih znakova. Stoga rješavanje problema obično zahtijeva zaokruživanje vrijednosti na stotinke ili tisućinke. Zatim trebate pomnožiti i brojnik i nazivnik s takvim brojem tako da nazivnik proizvodi brojeve 10, 100, 1000 itd. Na primjer: 11/40 = (11∙25)/(40∙25) = 275/1000 = 0,275
Drugi način pretvaranja razlomka u broj je jednostavniji: potrebno je podijeliti brojnik s nazivnikom. Da bismo primijenili ovu metodu, jednostavno izvršimo dijeljenje, a dobiveni broj bit će željeni decimalni razlomak. Na primjer, trebate pretvoriti razlomak 2/15 u broj. Podijelimo 2 s 15. Dobijemo 0,1333... - beskonačni razlomak. Zapisujemo ga ovako: 0,13(3). Ako je razlomak nepravi razlomak, to jest brojnik je veći od nazivnika (na primjer, 345/100), tada će njegovo pretvaranje u broj rezultirati vrijednošću cijelog broja ili decimalnim razlomkom s cijelim razlomkom. U našem primjeru to će biti 3,45. Da biste mješoviti razlomak poput 3 2 / 7 pretvorili u broj, prvo ga morate pretvoriti u nepravi razlomak: (3∙7+2)/7 = 23/7. Zatim podijelimo 23 sa 7 i dobijemo broj 3,2857143, koji reduciramo na 3,29.

Najlakši način za pretvaranje razlomka u broj je pomoću kalkulatora ili drugog računalnog uređaja. Prvo označimo brojnik razlomka, zatim pritisnemo gumb s ikonom "podijeli" i unesemo nazivnik. Nakon pritiska na tipku "=" dobivamo željeni broj.