Poziva se funkcija f(x,y). homogena funkcija njihovih dimenzijskih argumenata n ako je identitet f(tx,ty) \ekviv t^nf(x,y).

Na primjer, funkcija f(x,y)=x^2+y^2-xy je homogena funkcija druge dimenzije, jer

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

Za n=0 imamo funkciju nulte dimenzije. Na primjer, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2) je homogena funkcija nulte dimenzije, jer

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^ 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)

Diferencijalna jednadžba oblika \frac(dy)(dx)=f(x,y) kaže se da je homogena u odnosu na x i y ako je f(x,y) homogena funkcija svojih argumenata nulte dimenzije. Homogena jednadžba uvijek se može prikazati kao

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\lijevo(\frac(y)(x)\desno).

Uvođenjem nove željene funkcije u=\frac(y)(x) , jednadžba (1) se može svesti na jednadžbu s odvajajućim varijablama:

X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.

Ako je u=u_0 korijen jednadžbe \varphi(u)-u=0 , tada će rješenje homogene jednadžbe biti u=u_0 ili y=u_0x (ravna linija koja prolazi kroz ishodište).

Komentar. Prilikom odlučivanja homogene jednadžbe nije ih potrebno dovoditi u formu (1). Možete odmah napraviti zamjenu y=ux.

Primjer 1 Riješite homogenu jednadžbu xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

Riješenje. Jednadžbu zapisujemo u obliku y"=\sqrt(1-(\lijevo(\frac(y)(x)\desno)\^2}+\frac{y}{x} !} pa zadana jednadžba ispada homogena u odnosu na x i y. Stavimo u=\frac(y)(x) , ili y=ux . Tada je y"=xu"+u . Zamjenom izraza za y i y" u jednadžbu, dobivamo x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). Razdvajanje varijabli: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). Odavde, integracijom, nalazimo

\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), ili \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

Budući da je C_1|x|=\pm(C_1x) , označavajući \pm(C_1)=C , dobivamo \arcsin(u)=\ln(Cx), gdje |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2) ili e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). Zamjenom u s \frac(y)(x) imat ćemo opći integral \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).

Odavde zajednička odluka: y=x\sin\ln(Cx) .

Prilikom odvajanja varijabli, podijelili smo obje strane jednadžbe s umnoškom x\sqrt(1-u^2) , tako da bismo mogli izgubiti rješenje koje ovaj umnožak pretvara u nulu.

Stavimo sada x=0 i \sqrt(1-u^2)=0 . Ali x\ne0 zbog supstitucije u=\frac(y)(x) , a iz relacije \sqrt(1-u^2)=0 dobivamo da 1-\frac(y^2)(x^2)=0, odakle je y=\pm(x) . Izravnom provjerom uvjeravamo se da su funkcije y=-x i y=x također rješenja ove jednadžbe.

Primjer 2 Razmotrimo familiju integralnih krivulja C_\alpha homogene jednadžbe y"=\varphi\!\lijevo(\frac(y)(x)\desno). Pokažite da su tangente u odgovarajućim točkama na krivulje definirane ovom homogenom diferencijalnom jednadžbom međusobno paralelne.

Bilješka: Nazvat ćemo relevantan one točke na C_\alpha krivuljama koje leže na istoj zraci počevši od ishodišta.

Riješenje. Po definiciji odgovarajućih točaka imamo \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), tako da je na temelju same jednadžbe y"=y"_1 , gdje y" i y"_1 - faktori nagiba tangente na integralne krivulje C_\alpha i C_(\alpha_1) , u točkama M odnosno M_1 (slika 12).

Svođenje jednadžbi na homogene

ALI. Razmotrimo diferencijalnu jednadžbu oblika

\frac(dy)(dx)=f\!\lijevo(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\desno).

gdje su a,b,c,a_1,b_1,c_1 konstante, a f(u) je kontinuirana funkcija svog argumenta u .

Ako je c=c_1=0, tada je jednadžba (3) homogena i integrira se kao gore.

Ako je barem jedan od brojeva c,c_1 različit od nule, tada treba razlikovati dva slučaja.

1) Odrednica \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. Uvođenjem novih varijabli \xi i \eta prema formulama x=\xi+h,~y=\eta+k , gdje su h i k još uvijek nedefinirane konstante, jednadžbu (3) dovodimo u oblik

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\lijevo(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\pravo).

Odabir h i k kao rješenja sustava linearne jednadžbe

\begin(cases)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(cases)~(\Delta\ne0),

dobivamo homogenu jednadžbu \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\lijevo(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\desno). Pronašavši njen opći integral i zamijenivši \xi s x-h u njemu, a \eta s y-k, dobivamo opći integral jednadžbe (3).

2) Odrednica \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. Sustav (4) in opći slučaj nema rješenja i gornja metoda nije primjenjiva; u ovom slučaju \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, pa stoga jednadžba (3) ima oblik \frac(dy)(dx)=f\!\lijevo(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\desno). Supstitucija z=ax+by dovodi do jednadžbe separabilne varijable.

Primjer 3 riješiti jednadžbu (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

Riješenje. Razmotrimo sustav linearnih algebarske jednadžbe \početak(slučajevi)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\kraj(slučajevi)

Odrednica ovog sustava \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.

Sustav ima jedinstveno rješenje x_0=-1,~y_0=3 . Vršimo zamjenu x=\xi-1,~y=\eta+3 . Tada jednadžba (5) poprima oblik

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

Ova jednadžba je homogena jednadžba. Postavljajući \eta=u\xi , dobivamo

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, gdje (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

Razdvajanje varijabli \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.

Integrirajući, nalazimo \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C) ili \xi^2(1+2u-u^2)=C .

Vraćajući se na varijable x,~y:

(x+1)^2\lijevo=C_1 ili x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).

Primjer 4 riješiti jednadžbu (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

Riješenje. Sustav linearnih algebarskih jednadžbi \početak(slučajevi)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\kraj(slučajevi) nekompatibilan. U ovom slučaju metoda primijenjena u prethodnom primjeru nije prikladna. Za integraciju jednadžbe koristimo supstituciju x+y=z , dy=dz-dx . Jednadžba će poprimiti oblik

(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.

Odvajanjem varijabli dobivamo

Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0 dakle x-2z-3\ln|z-2|=C.

Vraćajući se na varijable x,~y , dobivamo opći integral ove jednadžbe

X+2y+3\ln|x+y-2|=C.

B. Ponekad se jednadžba može svesti na homogenu promjenom varijable y=z^\alpha . To je slučaj kada su svi članovi u jednadžbi iste dimenzije, ako je varijabli x dana dimenzija 1, varijabli y je dana dimenzija \alpha, a derivacija \frac(dy)(dx) je dana dimenzija \alpha-1 .

Primjer 5 riješiti jednadžbu (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

Riješenje. Izrada zamjene y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz, gdje je \alpha za sada proizvoljan broj, koji ćemo odabrati kasnije. Zamjenom izraza za y i dy u jednadžbu, dobivamo

\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0 ili \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,

Imajte na umu da x^2z^(3\alpha-1) ima dimenziju 2+3\alpha-1=3\alpha+1, z^(\alpha-1) ima dimenziju \alpha-1 , xz^(3\alpha) ima dimenziju 1+3\alpha . Rezultirajuća jednadžba će biti homogena ako su mjerenja svih članova jednaka, tj. ako je uvjet ispunjen 3\alfa+1=\alfa-1, ili \alpha-1 .

Stavimo y=\frac(1)(z) ; izvorna jednadžba poprima oblik

\lijevo(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\desno)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0 ili (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

Stavimo sada z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. Tada će ova jednadžba poprimiti oblik (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, gdje u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.

Razdvajanje varijabli u ovoj jednadžbi \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. Integrirajući, nalazimo

\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C) ili \frac(x(u^2+1))(u)=C.

Zamjenom u s \frac(1)(xy) , dobivamo opći integral ove jednadžbe 1+x^2y^2=Cy.

Jednadžba također ima očito rješenje y=0 , koje se dobiva iz općeg integrala na C\to\infty ako se integral zapiše kao y=\frac(1+x^2y^2)(C), a zatim skočite na ograničenje na C\to\infty . Dakle, funkcija y=0 je određeno rješenje izvorne jednadžbe.

Javascript je onemogućen u vašem pregledniku.
ActiveX kontrole moraju biti omogućene kako bi se vršili izračuni!

Mislim da bismo trebali početi s poviješću tako slavnog matematičkog alata kao što je diferencijalne jednadžbe. Kao i svi diferencijalni i integralni računi, ove je jednadžbe izumio Newton krajem 17. stoljeća. Smatrao je to svoje otkriće toliko važnim da je čak šifrirao poruku koja se danas može prevesti otprilike ovako: "Svi zakoni prirode opisuju se diferencijalnim jednadžbama." Ovo se možda čini kao pretjerivanje, ali je istinito. Bilo koji zakon fizike, kemije, biologije može se opisati ovim jednadžbama.

Veliki doprinos razvoju i stvaranju teorije diferencijalnih jednadžbi dali su matematičari Euler i Lagrange. Već u 18. stoljeću otkrili su i razvili ono što sada uče na višim tečajevima sveučilišta.

Nova prekretnica u proučavanju diferencijalnih jednadžbi započela je zahvaljujući Henriju Poincareu. Stvorio je " kvalitativna teorija diferencijalne jednadžbe”, koji je u kombinaciji s teorijom funkcija kompleksne varijable dao značajan doprinos utemeljenju topologije – znanosti o prostoru i njegovim svojstvima.

Što su diferencijalne jednadžbe?

Mnogi se boje jedne fraze.Međutim, u ovom ćemo članku detaljno opisati cijelu bit ovog vrlo korisnog matematički aparat, što zapravo i nije tako komplicirano kao što naziv sugerira. Kako bismo počeli govoriti o diferencijalnim jednadžbama prvog reda, prvo bismo se trebali upoznati s osnovnim pojmovima koji su inherentno povezani s ovom definicijom. Počnimo s diferencijalom.

Diferencijal

Mnogi ljudi znaju ovaj koncept iz škole. Ipak, pogledajmo ga pobliže. Zamislite graf funkcije. Možemo ga povećati do te mjere da bilo koji njegov segment poprimi oblik ravne linije. Na njemu uzimamo dvije točke koje su beskonačno blizu jedna drugoj. Razlika između njihovih koordinata (x ili y) bit će infinitezimalna vrijednost. Zove se diferencijal i označava se znakovima dy (diferencijal od y) i dx (diferencijal od x). Vrlo je važno razumjeti da diferencijal nije konačna vrijednost, a to je njegovo značenje i glavna funkcija.

A sada je potrebno razmotriti sljedeći element, koji će nam biti od koristi u objašnjavanju koncepta diferencijalne jednadžbe. Ovo je izvedenica.

Izvedenica

Svi smo vjerojatno čuli ovaj koncept u školi. Za derivaciju se kaže da je stopa rasta ili smanjenja funkcije. Međutim, velik dio ove definicije postaje nerazumljiv. Pokušajmo objasniti derivaciju u terminima diferencijala. Vratimo se infinitezimalnom segmentu funkcije s dvije točke koje su međusobno minimalno udaljene. Ali čak i za ovu udaljenost, funkcija se uspijeva promijeniti za određeni iznos. A kako bi opisali ovu promjenu, došli su do izvedenice, koja se inače može napisati kao omjer diferencijala: f (x) "=df / dx.

Sada vrijedi razmisliti osnovna svojstva izvedenica. Ima ih samo tri:

1. Izvod zbroja ili razlike može se prikazati kao zbroj ili razlika izvoda: (a+b)"=a"+b" i (a-b)"=a"-b".
2. Drugo svojstvo je povezano s množenjem. Derivacija umnoška je zbroj umnožaka jedne funkcije i derivacije druge: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Derivacija razlike može se napisati kao sljedeća jednakost: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Sva ova svojstva bit će nam korisna za pronalaženje rješenja diferencijalnih jednadžbi prvog reda.

Postoje i parcijalne izvedenice. Recimo da imamo funkciju z koja ovisi o varijablama x i y. Da bismo izračunali parcijalni izvod ove funkcije, recimo, u odnosu na x, trebamo uzeti varijablu y kao konstantu i jednostavno diferencirati.

Sastavni

Drugi važan koncept je integral. Zapravo, ovo je izravna suprotnost derivata. Postoji nekoliko vrsta integrala, ali za rješavanje najjednostavnijih diferencijalnih jednadžbi potrebni su nam najtrivijalniji

Dakle, recimo da imamo neku ovisnost f o x. Od njega uzimamo integral i dobivamo funkciju F (x) (često zvanu antiderivacija), čija je derivacija jednaka izvornoj funkciji. Dakle F(x)"=f(x). Također slijedi da je integral derivacije jednak izvornoj funkciji.

Kada rješavate diferencijalne jednadžbe, vrlo je važno razumjeti značenje i funkciju integrala, budući da ćete ih morati uzimati vrlo često da biste pronašli rješenje.

Jednadžbe su različite ovisno o svojoj prirodi. U sljedećem odjeljku razmotrit ćemo vrste diferencijalnih jednadžbi prvog reda, a zatim ćemo naučiti kako ih riješiti.

Klase diferencijalnih jednadžbi

"Diffura" se dijele prema redoslijedu derivata koji su uključeni u njih. Dakle, postoji prvi, drugi, treći i više reda. Također se mogu podijeliti u nekoliko klasa: obične i parcijalne derivacije.

U ovom ćemo članku razmotriti obične diferencijalne jednadžbe prvog reda. Također ćemo raspravljati o primjerima i načinima njihovog rješavanja sljedeće odjeljke. Razmotrit ćemo samo ODE, jer su to najčešći tipovi jednadžbi. Obični su podijeljeni u podvrste: s odvojivim varijablama, homogene i heterogene. Zatim ćete naučiti kako se međusobno razlikuju i kako ih riješiti.

Osim toga, ove se jednadžbe mogu kombinirati, tako da nakon dobijemo sustav diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Također ćemo razmotriti takve sustave i naučiti kako ih riješiti.

Zašto razmatramo samo prvu narudžbu? Jer treba početi s jednostavnim, a jednostavno je nemoguće u jednom članku opisati sve vezano za diferencijalne jednadžbe.

Jednadžbe razdvojne varijable

Ovo su možda najjednostavnije diferencijalne jednadžbe prvog reda. To uključuje primjere koji se mogu napisati ovako: y "=f (x) * f (y). Da bismo riješili ovu jednadžbu, potrebna nam je formula za predstavljanje derivacije kao omjera diferencijala: y" = dy / dx. Koristeći ga, dobivamo sljedeću jednadžbu: dy/dx=f(x)*f(y). Sada se možemo okrenuti metodi rješenja standardni primjeri: varijable ćemo podijeliti na dijelove, tj. sve ćemo s varijablom y prebaciti u dio gdje se nalazi dy, a isto ćemo napraviti i s varijablom x. Dobivamo jednadžbu oblika: dy/f(y)=f(x)dx, koja se rješava uzimanjem integrala oba dijela. Ne zaboravite na konstantu, koja se mora postaviti nakon uzimanja integrala.

Rješenje svake "difuzije" je funkcija ovisnosti x o y (u našem slučaju) ili, ako postoji numerički uvjet, tada je odgovor u obliku broja. Pogledajmo konkretan primjer cijeli tijek rješenja:

Varijable prenosimo u različitim smjerovima:

Sada uzimamo integrale. Svi oni nalaze se u posebnoj tablici integrala. I dobivamo:

log(y) = -2*cos(x) + C

Ako je potrebno, možemo izraziti "y" kao funkciju od "x". Sada možemo reći da je naša diferencijalna jednadžba riješena ako nije zadan uvjet. Može se zadati uvjet, na primjer, y(n/2)=e. Zatim jednostavno zamijenimo vrijednost tih varijabli u rješenje i pronađemo vrijednost konstante. U našem primjeru, to je jednako 1.

Homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda

Sada prijeđimo na teži dio. Homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda mogu se napisati opći pogled dakle: y"=z(x,y). Treba primijetiti da prava funkcija na dvije varijable je homogena i ne može se podijeliti u dvije ovisnosti: z o x i z o y. Provjera je li jednadžba homogena ili ne vrlo je jednostavna: napravimo zamjenu x=k*x i y=k*y. Sada poništavamo sve k. Ako su sva ova slova smanjena, tada je jednadžba homogena i možete je sigurno nastaviti rješavati. Gledajući unaprijed, recimo: princip rješavanja ovih primjera također je vrlo jednostavan.

Moramo napraviti zamjenu: y=t(x)*x, gdje je t neka funkcija koja također ovisi o x. Tada možemo izraziti izvod: y"=t"(x)*x+t. Zamijenivši sve ovo u našu izvornu jednadžbu i pojednostavivši je, dobivamo primjer s razdvojivim varijablama t i x. Riješimo ga i dobijemo ovisnost t(x). Kada ga dobijemo, jednostavno zamijenimo y=t(x)*x u našu prethodnu zamjenu. Tada dobivamo ovisnost y o x.

Da bi bilo jasnije, pogledajmo primjer: x*y"=y-x*e y/x .

Kod provjere sa zamjenom, sve je smanjeno. Dakle, jednadžba je stvarno homogena. Sada radimo još jednu zamjenu o kojoj smo govorili: y=t(x)*x i y"=t"(x)*x+t(x). Nakon pojednostavljenja dobivamo sljedeću jednadžbu: t "(x) * x \u003d -e t. Rješavamo rezultirajući primjer s odvojenim varijablama i dobivamo: e -t \u003dln (C * x). Trebamo samo zamijeniti t s y / x (jer ako je y \u003d t * x, tada t \u003d y / x), i dobivamo odgovor: e -y / x \u003d ln (x * C).

Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda

Vrijeme je da razmotrimo još jednu široku temu. Analizirat ćemo nehomogene diferencijalne jednadžbe prvog reda. Po čemu se razlikuju od prethodna dva? Hajdemo shvatiti. Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda u općem obliku mogu se napisati na sljedeći način: y " + g (x) * y \u003d z (x). Vrijedno je pojasniti da z (x) i g (x) mogu biti konstantne vrijednosti .

A sada primjer: y" - y*x=x 2 .

Postoje dva načina rješavanja, a mi ćemo analizirati oba redom. Prva je metoda varijacije proizvoljnih konstanti.

Da bi se jednadžba riješila na ovaj način, potrebno je desnu stranu prvo izjednačiti s nulom i riješiti dobivenu jednadžbu koja će nakon prijenosa dijelova imati oblik:

ln|y|=x 2/2 + C;

y \u003d e x2 / 2 * y C \u003d C 1 * e x2 / 2.

Sada konstantu C 1 trebamo zamijeniti funkcijom v(x) koju moramo pronaći.

Promijenimo izvod:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Zamijenimo ove izraze u izvornu jednadžbu:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Vidi se da su dva pojma poništena s lijeve strane. Ako se u nekom primjeru to nije dogodilo, onda ste učinili nešto pogrešno. Nastavimo:

v"*e x2/2 = x 2 .

Sada rješavamo uobičajenu jednadžbu u kojoj trebamo razdvojiti varijable:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Da bismo izdvojili integral, ovdje moramo primijeniti integraciju po dijelovima. Međutim, to nije tema našeg članka. Ako ste zainteresirani, možete naučiti kako sami izvoditi takve radnje. Nije teško, a uz dovoljno vještine i pažnje ne oduzima puno vremena.

Prijeđimo na drugu metodu rješavanja nehomogenih jednadžbi: Bernoullijevu metodu. Koji je pristup brži i lakši ovisi o vama.

Dakle, kada rješavamo jednadžbu ovom metodom, moramo napraviti zamjenu: y=k*n. Ovdje su k i n neke funkcije ovisne o x. Tada će derivacija izgledati ovako: y"=k"*n+k*n". Zamijenimo obje zamjene u jednadžbu:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Grupiranje:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Sada trebamo izjednačiti s nulom ono što je u zagradama. Sada, ako kombiniramo dvije dobivene jednadžbe, dobit ćemo sustav diferencijalnih jednadžbi prvog reda koje treba riješiti:

Prvu jednakost rješavamo kao običnu jednadžbu. Da biste to učinili, morate razdvojiti varijable:

Uzimamo integral i dobivamo: ln(n)=x 2 /2. Zatim, ako izrazimo n:

Sada zamijenimo dobivenu jednakost u drugu jednadžbu sustava:

k "*e x2/2 \u003d x 2.

I transformacijom, dobivamo istu jednakost kao u prvoj metodi:

dk=x 2 /e x2/2 .

Također nećemo analizirati daljnje akcije. Vrijedno je reći da u početku rješavanje diferencijalnih jednadžbi prvog reda uzrokuje značajne poteškoće. Međutim, s dubljim poniranjem u temu, postaje sve bolje i bolje.

Gdje se koriste diferencijalne jednadžbe?

Diferencijalne jednadžbe se vrlo aktivno koriste u fizici, jer su gotovo svi osnovni zakoni zapisani u njima diferencijalni oblik, a one formule koje vidimo su rješenja ovih jednadžbi. U kemiji se koriste iz istog razloga: iz njih se izvode osnovni zakoni. U biologiji se diferencijalne jednadžbe koriste za modeliranje ponašanja sustava, kao što je predator-plijen. Također se mogu koristiti za stvaranje modela reprodukcije, recimo, kolonije mikroorganizama.

Kako će diferencijalne jednadžbe pomoći u životu?

Odgovor na ovo pitanje je jednostavan: nema šanse. Ako niste znanstvenik ili inženjer, malo je vjerojatno da će vam biti od koristi. Međutim, za opći razvoj Ne škodi znati što je diferencijalna jednadžba i kako se rješava. I onda pitanje sina ili kćeri "što je diferencijalna jednadžba?" neće te zbuniti. Pa, ako ste znanstvenik ili inženjer, onda i sami razumijete važnost ove teme u svakoj znanosti. Ali najvažnije je da sada pitanje "kako riješiti diferencijalnu jednadžbu prvog reda?" uvijek možeš odgovoriti. Slažete se, uvijek je lijepo kada razumijete ono što se ljudi čak i boje razumjeti.

Glavni problemi u učenju

Glavni problem u razumijevanju ove teme je slaba vještina integriranja i razlikovanja funkcija. Ako niste dobri u uzimanju derivata i integrala, onda je vjerojatno vrijedno naučiti više, savladati različite metode integracije i diferencijacije, a tek onda nastaviti proučavati materijal koji je opisan u članku.

Neki se ljudi iznenade kada saznaju da se dx može prenijeti, jer je ranije (u školi) rečeno da je razlomak dy / dx nedjeljiv. Ovdje morate pročitati literaturu o derivaciji i shvatiti da je to omjer infinitezimalnih veličina kojima se može manipulirati prilikom rješavanja jednadžbi.

Mnogi ne shvate odmah da je rješenje diferencijalnih jednadžbi prvog reda često funkcija ili integral koji se ne može uzeti, a ta im zabluda zadaje mnogo problema.

Što se još može proučavati za bolje razumijevanje?

Najbolje je započeti daljnje uranjanje u svijet diferencijalni račun iz stručnih udžbenika, npr. matematička analiza za studente nematematičkih specijalnosti. Zatim možete prijeći na specijaliziranu literaturu.

Vrijedi reći da, osim diferencijalnih jednadžbi, postoje i integralne jednadžbe, tako da ćete uvijek imati čemu težiti i što proučavati.

Zaključak

Nadamo se da ćete nakon čitanja ovog članka imati ideju o tome što su diferencijalne jednadžbe i kako ih ispravno riješiti.

U svakom slučaju, matematika nam nekako dobro dođe u životu. Razvija logiku i pažnju, bez kojih je svaka osoba kao bez ruku.

Trenutno je prema osnovnoj razini učenja matematike predviđeno samo 4 sata učenja matematike u srednjoj školi (2 sata algebra, 2 sata geometrija). U seoskim malim školama pokušava se povećati broj sati nauštrb školske komponente. Ali ako je razred humanitarni, onda školska komponenta pridodao studiju humanitarnih predmeta. U malom selu često školarac ne mora birati, on uči u tom razredu; što je dostupno u školi. Neće postati pravnik, povjesničar ili novinar (ima i takvih slučajeva), već želi postati inženjer ili ekonomist, pa ispit iz matematike mora proći s visokim ocjenama. U takvim okolnostima, nastavnik matematike mora pronaći svoj izlaz iz ove situacije, osim toga, prema Kolmogorovu udžbeniku, proučavanje teme "homogene jednadžbe" nije predviđeno. Proteklih godina, da bih uveo ovu temu i učvrstio je, trebale su mi dvije dvostruke lekcije. Nažalost, provjera odgojno-obrazovnog nadzora zabranila je dvostruke sate u školi, pa je broj vježbi morao biti smanjen na 45 minuta, a sukladno tome i razina težine vježbi spuštena je na srednju. Predstavljam vam plan lekcije na ovu temu u 10. razredu osnovna razina studira matematiku u seoskoj maloj školi.

Vrsta lekcije: tradicionalno.

Cilj: naučiti rješavati tipične homogene jednadžbe.

Zadaci:

kognitivne:

Edukativni:

Edukativni:

• Odgoj marljivosti kroz strpljivo izvršavanje zadataka, osjećaja za druženje kroz rad u paru i grupi.

Tijekom nastave

ja Organizacijski pozornici(3 min.)

II. Provjera znanja potrebnog za usvajanje novog gradiva (10 min.)

Identificirati glavne poteškoće uz daljnju analizu obavljenih zadataka. Djeca imaju 3 mogućnosti izbora. Zadaci diferencirani prema stupnju složenosti i pripremljenosti djece, nakon čega slijedi objašnjenje na ploči.

1 razina. Riješite jednadžbe:

1. 3(x+4)=12,
2. 2(x-15)=2x-30
3. 5(2-x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 Odgovori: 7;3

2 razina. Riješite najjednostavniji trigonometrijske jednadžbe i bikvadratna jednadžba:

odgovori:

b) x 4 -13x 3 +36=0 Odgovori: -2; 2; -3; 3

3. razina. Rješavanje jednadžbi metodom promjene varijabli:

b) x 6 -9x 3 +8=0 Odgovori:

III. Teme poruka, postavljanje ciljeva i ciljeva.

Tema: Homogene jednadžbe

Cilj: naučiti rješavati tipične homogene jednadžbe

Zadaci:

kognitivne:

• upoznati homogene jednadžbe, naučiti rješavati najčešće vrste takvih jednadžbi.

Edukativni:

• Razvoj analitičkog mišljenja.
• Razvijanje matematičkih vještina: naučiti isticati glavne značajke po kojima se homogene jednadžbe razlikuju od drugih jednadžbi, znati utvrditi sličnost homogenih jednadžbi u njihovim različitim pojavnim oblicima.

IV. Usvajanje novih znanja (15 min.)

1. Trenutak predavanja.

Definicija 1(Zapisati u bilježnicu). Jednadžba oblika P(x;y)=0 naziva se homogenom ako je P(x;y) homogeni polinom.

Polinom dviju varijabli x i y naziva se homogenim ako je stupanj svakog njegovog člana jednak istom broju k.

Definicija 2(Samo uvod). Jednadžbe oblika

naziva se homogena jednadžba stupnja n u odnosu na u(x) i v(x). Dijeljenjem obje strane jednadžbe s (v(x))n, možemo koristiti zamjenu da dobijemo jednadžbu

Ovo pojednostavljuje izvornu jednadžbu. Slučaj v(x)=0 mora se razmatrati odvojeno, jer ga je nemoguće podijeliti s 0.

2. Primjeri homogenih jednadžbi:

Objasnite zašto su one homogene, navedite vlastite primjere takvih jednadžbi.

3. Zadatak za definiranje homogenih jednadžbi:

Među zadane jednadžbe definirajte homogene jednadžbe i obrazložite svoj izbor:

Nakon što ste svoj izbor objasnili na jednom od primjera, pokažite način rješavanja homogene jednadžbe:

4. Odlučite sami:

Odgovor:

b) 2sin x - 3 cos x \u003d 0

Podijelimo obje strane jednadžbe s cos x, dobivamo 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +

5. Pokaži brošuru Primjer rješenja“P.V. Čulkov. Jednadžbe i nejednadžbe u školski tečaj matematika. Moskva Pedagoško sveučilište"Prvi rujan" 2006. str.22. Kao jedan mogući primjer USE razina IZ.

V. Riješite konsolidaciju prema Bashmakovljevom udžbeniku

str. 183 br. 59 (1.5) ili prema udžbeniku urednika Kolmogorova: str. 81 br. 169 (a, c)

odgovori:

VI. Provjera, samostalni rad (7 min.)

1 opcija	opcija 2
Riješite jednadžbe:
a) sin 2 x-5sinxcosx + 6cos 2 x \u003d 0	a) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0
b) cos 2 -3sin 2 \u003d 0	b)

Odgovori na zadatke:

1. opcija a) Odgovor: arctg2+πn,n € Z; b) Odgovor: ±π/2+ 3πn,n € Z; u)

Opcija 2 a) Odgovor: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; b) Odgovor: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; c) (-5; -2); (5;2)

VII. Domaća zadaća

br. 169 po Kolmogorovu, br. 59 po Bašmakovu.

Osim toga, riješite sustav jednadžbi:

Odgovor: arctg(-1±√3) +πn ,

Reference:

1. P.V. Čulkov. Jednadžbe i nejednadžbe u školskom kolegiju matematike. - M .: Pedagoško sveučilište "Prvi rujan", 2006. str. 22
2. A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir. Trigonometrija. - M .: "AST-PRESS", 1998, str. 389
3. Algebra za 8. razred, uredio N.Ya. Vilenkin. - M .: "Prosvjetljenje", 1997.
4. Algebra za 9. razred, uredio N.Ya. Vilenkin. Moskva "Prosvjetljenje", 2001.
5. MI. Bašmakov. Algebra i počeci analize. Za razrede 10-11 - M .: "Prosvjetljenje" 1993
6. Kolmogorov, Abramov, Dudnicin. Algebra i počeci analize. Za 10-11 razred. - M .: "Prosvjetljenje", 1990.
7. A.G. Mordkovich. Algebra i počeci analize. 1. dio Udžbenik 10-11 razreda. - M .: "Mnemosyne", 2004.

Za rješavanje homogene diferencijalne jednadžbe 1. reda koristi se supstitucija u=y/x, odnosno u je nova nepoznata funkcija koja ovisi o x. Stoga je y=ux. Derivaciju y’ nalazimo pomoću pravila diferenciranja proizvoda: y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (budući da je x’=1). Za drugi oblik pisanja: dy=udx+xdu Nakon supstitucije pojednostavljujemo jednadžbu i dolazimo do jednadžbe s razdvojivim varijablama.

Primjeri rješavanja homogenih diferencijalnih jednadžbi 1. reda.

1) Riješite jednadžbu

Provjeravamo je li ova jednadžba homogena (pogledajte Kako definirati homogenu jednadžbu). Uvjerivši se, napravimo zamjenu u=y/x, odakle je y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Zamjena: u'x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Budući da je logaritam umnoška jednak je zbroju logaritmi, ln(ux)=lnu+lnx. Odavde

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). Nakon cast slični pojmovi: u'x+u=u(1+lnu). Sada proširite zagrade

u'x+u=u+u lnu. Oba dijela sadrže u, dakle u'x=u·lnu. Budući da je u funkcija od x, u’=du/dx. Zamjena

Dobili smo jednadžbu s odvojivim varijablama. Razdvajamo varijable, za što oba dijela množimo s dx i dijelimo s x u lnu, pod uvjetom da je umnožak x u lnu≠0

Integriramo:

Na lijevoj strani je tablični integral. Na desnoj strani vršimo zamjenu t=lnu, odakle dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. Ali već smo raspravljali da je u takvim jednadžbama prikladnije uzeti ln│C│ umjesto S. Zatim

ln│t│=ln│x│+ln│C│. Po svojstvu logaritama: ln│t│=ln│Sx│. Stoga je t=Cx. (po uvjetu, x>0). Vrijeme je da izvršimo obrnutu zamjenu: lnu=Cx. I još jedna obrnuta zamjena:

Prema svojstvu logaritama:

Ovo je opći integral jednadžbe.

Prisjetimo se umnoška uvjeta x·u·lnu≠0 (što znači x≠0,u≠0, lnu≠0, odakle u≠1). Ali x≠0 iz uvjeta ostaje u≠1, dakle x≠y. Očito je da su y=x (x>0) uključeni u opće rješenje.

2) Pronađite privatni integral jednadžba y’=x/y+y/x koja zadovoljava početne uvjete y(1)=2.

Prvo provjeravamo je li ova jednadžba homogena (iako prisutnost članova y/x i x/y to već neizravno ukazuje). Zatim vršimo zamjenu u=y/x, odakle y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Dobivene izraze zamijenimo u jednadžbu:

u'x+u=1/u+u. Pojednostavljenje:

u'x=1/u. Budući da je u funkcija od x, u’=du/dx:

Dobili smo jednadžbu s odvojivim varijablama. Da bismo razdvojili varijable, oba dijela pomnožimo s dx i u i podijelimo s x (x≠0 prema uvjetu, dakle i u≠0, što znači da nema gubitka odluka).

Integriramo:

a budući da u oba dijela postoje tablični integrali, odmah dobivamo

Izvođenje obrnute zamjene:

Ovo je opći integral jednadžbe. Koristimo početno stanje y(1)=2, odnosno zamijenimo y=2, x=1 u dobiveno rješenje:

3) Nađite opći integral homogene jednadžbe:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Promjena u=y/x, odakle y=ux, dy=xdu+udx. Zamjenjujemo:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Izvadimo x² iz zagrada i njime podijelimo oba dijela (pod pretpostavkom da je x≠0):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Proširite zagrade i pojednostavite:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Grupiranje pojmova s ​​du i dx:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Zajedničke faktore vadimo iz zagrada:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Razdvajanje varijabli:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Da bismo to učinili, podijelimo oba dijela jednadžbe s xu(u²+1)≠0 (prema tome dodajemo zahtjeve x≠0 (već navedeno), u≠0):

Integriramo:

Na desnoj strani jednadžbe je tablični integral, racionalni razlomak na lijevoj strani rastavljamo na proste faktore:

(ili u drugom integralu, umjesto podvođenja pod predznak diferencijala, mogla se napraviti zamjena t=1+u², dt=2udu - tko kako voli). Dobivamo:

Prema svojstvima logaritama:

Obrnuta zamjena

Prisjetimo se uvjeta u≠0. Stoga je y≠0. Kada je C=0 y=0, tada nema gubitka rješenja, a y=0 je uključeno u opći integral.

Komentar

Rješenje možete dobiti u drugom obliku ako ostavite izraz s x na lijevoj strani:

Geometrijsko značenje integralne krivulje u ovom slučaju je skup kružnica čije je središte na osi Oy i prolazi kroz ishodište.

Zadaci za samotestiranje:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) Provjeravamo da je jednadžba homogena, nakon čega vršimo zamjenu u=y/x, odakle y=ux, dy=xdu+udx. Zamijenite u uvjetu: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Podijelimo li obje strane jednadžbe s x²≠0, dobivamo: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Stoga dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Pojednostavljeno, imamo: dx-xudu=0. Stoga xudu=dx, udu=dx/x. Integrirajmo oba dijela:

Homogena

Na ovu lekciju razmotrit ćemo tzv homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda. Zajedno s jednadžbe separabilne varijable i linearne nehomogene jednadžbe ova vrsta daljinskog upravljača nalazi se u gotovo svakom kontrolni rad na temu difuzije. Ako ste ušli na stranicu iz tražilice ili niste baš sigurni u diferencijalne jednadžbe, onda vam prvo toplo preporučujem da izradite uvodnu lekciju na temu - Diferencijalne jednadžbe prvog reda. Činjenica je da će mnoga načela za rješavanje homogenih jednadžbi i korištene tehnike biti potpuno isti kao i za najjednostavnije jednadžbe s odvojivim varijablama.

Koja je razlika između homogenih diferencijalnih jednadžbi i drugih vrsta DE? To je najlakše odmah objasniti na konkretnom primjeru.

Primjer 1

Riješenje:
Što kao prvo treba analizirati prilikom odlučivanja bilo koji diferencijalna jednadžba prva narudžba? Prije svega, potrebno je provjeriti je li moguće odmah odvojiti varijable korištenjem "školskih" akcija? Obično se takva analiza provodi mentalno ili pokušavajući odvojiti varijable u nacrtu.

NA ovaj primjer varijable se ne mogu odvojiti(možete pokušati preokrenuti uvjete iz dijela u dio, izvaditi faktore iz zagrada, itd.). Usput, u ovom primjeru, činjenica da se varijable ne mogu podijeliti je sasvim očita zbog prisutnosti faktora .

Postavlja se pitanje - kako riješiti ovu difuziju?

Treba provjeriti i Je li ova jednadžba homogena?? Provjera je jednostavna, a sam algoritam provjere može se formulirati na sljedeći način:

Na izvornu jednadžbu:

umjesto zamjena, umjesto zamjena, ne dirajte izvedenicu:

Slovo lambda je uvjetni parametar, a ovdje igra sljedeća uloga: ako je kao rezultat transformacija moguće “uništiti” SVE lambde i dobiti izvornu jednadžbu, onda je ova diferencijalna jednadžba je homogena.

Očito, lambde se odmah poništavaju u eksponentu:

Sada, na desnoj strani, izvlačimo lambda iz zagrada:

i podijelite oba dijela ovom istom lambda:

Kao rezultat svi lambde su nestale kao san, kao jutarnja magla, i dobili smo originalnu jednadžbu.

Zaključak: Ova jednadžba je homogena

Kako riješiti homogenu diferencijalnu jednadžbu?

Imam jako dobre vijesti. Apsolutno sve homogene jednadžbe mogu se riješiti jednom (!) standardnom zamjenom.

Funkcija "y" trebala bi zamijeniti raditi neku funkciju (također ovisi o "x") i "x":

Gotovo uvijek piši kratko:

Saznajemo u što će se derivat pretvoriti takvom zamjenom, koristimo pravilo za razlikovanje proizvoda. Ako tada:

Zamijenite u izvornoj jednadžbi:

Što će takva zamjena dati? Nakon ove zamjene i učinjenih pojednostavljenja, mi Zagarantiran dobivamo jednadžbu sa separabilnim varijablama. ZAPAMTITI kao prva ljubav :) i, shodno tome, .

Nakon zamjene, izvodimo maksimalna pojednostavljenja:

Budući da je funkcija koja ovisi o "x", tada se njezin izvod može napisati kao standardni razlomak: .
Na ovaj način:

Odvajamo varijable, dok na lijevoj strani trebate prikupiti samo "te", a na desnoj strani - samo "x":

Varijable su odvojene, integriramo:


Prema mom prvom tehničkom savjetu iz članka Diferencijalne jednadžbe prvog reda u mnogim slučajevima svrhovito je konstantu "formulirati" u obliku logaritma.

Nakon što je jednadžba integrirana, trebate izvršiti obrnuta supstitucija, također je standardan i jedinstven:
Ako tada
NA ovaj slučaj:

U 18-19 slučajeva od 20 rješenje homogene jednadžbe zapisano je kao opći integral.

Odgovor: opći integral:

Zašto je odgovor na homogenu jednadžbu gotovo uvijek dan kao opći integral?
U većini slučajeva nemoguće je izraziti "y" u eksplicitnom obliku (dobiti opće rješenje), a ako je moguće, onda najčešće opće rješenje ispadne glomazno i ​​nezgrapno.

Tako se, primjerice, u razmatranom primjeru opće rješenje može dobiti tako da se na oba dijela općeg integrala objese logaritmi:

- pa, još uvijek dobro. Iako je, vidite, još uvijek krivo.

Usput, u ovom primjeru nisam baš “pristojno” zapisao opći integral. Nije greška, ali u "dobrom" stilu, podsjećam vas, uobičajeno je pisati opći integral u obliku . Da biste to učinili, odmah nakon integracije jednadžbe, konstantu treba napisati bez logaritma (To je iznimka od pravila!):

I nakon obrnute zamjene, dobiti opći integral u "klasičnom" obliku:

Dobiveni odgovor se može provjeriti. Da biste to učinili, morate razlikovati opći integral, odnosno pronaći izvod implicitno definirane funkcije:

Riješite se razlomaka množenjem svake strane jednadžbe s:

Dobivena je izvorna diferencijalna jednadžba, što znači da je rješenje pronađeno točno.

Preporučljivo je uvijek provjeriti. Ali homogene jednadžbe su neugodne jer je obično teško provjeriti njihove opće integrale - to zahtijeva vrlo, vrlo pristojnu tehniku ​​diferencijacije. U razmatranom primjeru već je tijekom provjere bilo potrebno pronaći ne najjednostavnije izvode (iako je sam primjer prilično jednostavan). Ako možete provjeriti, provjerite!

Primjer 2

Provjerite homogenost jednadžbe i pronađite njezin opći integral.

Odgovor upiši u obrazac

Ovo je primjer za neovisno rješenje- tako da se naviknete na sam algoritam radnji. Provjerite u slobodno vrijeme, jer. ovdje je prilično komplicirano, a nisam ga ni počeo donositi, inače više nećete doći do takvog manijaka :)

A sada obećano važna točka, spomenut na samom početku teme,
masnim crnim slovima:

Ako u tijeku transformacija "resetiramo" faktor (nije konstanta)na nazivnik, tada RIZIKUJEMO izgubiti rješenja!

I zapravo, to smo susreli već u prvom primjeru. uvodna lekcija o diferencijalnim jednadžbama. U procesu rješavanja jednadžbe pokazalo se da je "y" u nazivniku: , ali je, očito, rješenje DE, a kao rezultat neekvivalentne transformacije (dijeljenja), postoji sva šansa od gubitka! Druga je stvar što je ušlo u opće rješenje kada nulta vrijednost konstante. Ponovno postavljanje "x" na nazivnik također se može zanemariti, jer ne zadovoljava izvornu difuznu.

Slična priča i s trećom jednadžbom iste lekcije tijekom čijeg smo rješavanja “ispali” u nazivnik. Strogo govoreći, ovdje je trebalo provjeriti je li navedena difuracija rješenje? Uostalom, jest! Ali čak i ovdje je "sve uspjelo", jer je ova funkcija ušla u opći integral u .

I ako je to često slučaj sa “odvojivim” jednadžbama;) ona “kotrlja”, onda kod homogenih i nekih drugih razlika možda “ne valja”. S velikom vjerojatnošću.

Analizirajmo probleme koji su već riješeni u ovoj lekciji: Primjer 1 došlo je do "resetiranja" x-a, međutim, to ne može biti rješenje jednadžbe. Ali u primjer 2 podijelili smo na , ali i ovo se "izvuklo": kako se rješenja nisu mogla izgubiti, ovdje ih jednostavno nema. Ali, naravno, namjerno sam dogovorio "sretne slučajeve" i nije činjenica da će se oni susresti u praksi:

Primjer 3

Riješite diferencijalnu jednadžbu

Nije li to jednostavan primjer? ;-)

Riješenje: homogenost ove jednadžbe je očita, ali ipak - na prvom koraku UVIJEK provjerite mogu li se varijable odvojiti. Jer jednadžba je također homogena, ali su varijable u njoj tiho odvojene. Da, ima ih!

Nakon provjere "odvojivosti", vršimo zamjenu i pojednostavljujemo jednadžbu što je više moguće:

Odvajamo varijable, s lijeve strane prikupljamo "te", s desne strane - "x":

I ovdje je STOP. Kod dijeljenja riskiramo gubitak dvije funkcije odjednom. Pošto je , onda su ovo funkcije:

Prva funkcija je očito rješenje jednadžbe . Provjeravamo drugu - zamjenjujemo njen derivat u našu difuziju:

- dobivena je točna jednakost, što znači da je funkcija rješenje.

I riskiramo gubitak ovih odluka.

Osim toga, nazivnik je bio "X", međutim, supstitucija implicira da nije nula. Upamtite ovu činjenicu. Ali! Obavezno provjerite, je li rješenje ORIGINALNE diferencijalne jednadžbe. Ne, nije.

Zabilježimo sve ovo i nastavimo:

Mora se reći da smo imali sreće s integralom lijeve strane, događa se puno gore.

Sakupljamo jedan logaritam s desne strane i poništavamo okove:

I upravo sada obrnuta zamjena:

Pomnožite sve pojmove sa:

Sada da provjerim - ulaze li "opasna" rješenja u opći integral. Da, oba su rješenja uključena u opći integral pri nultoj vrijednosti konstante: , pa ih ne treba dodatno označavati u odgovor:

opći integral:

Ispitivanje. Čak ni test, nego čisti užitak :)

Dobivena je izvorna diferencijalna jednadžba, što znači da je rješenje pronađeno točno.

Za samostalno rješenje:

Primjer 4

Provedite test homogenosti i riješite diferencijalnu jednadžbu

Opći integral može se provjeriti diferenciranjem.

Kompletno rješenje a odgovor na kraju lekcije.

Razmotrimo nekoliko primjera gdje je dana homogena jednadžba s gotovim diferencijalima.

Primjer 5

Riješite diferencijalnu jednadžbu

Ovo je vrlo zanimljiv primjer, direktno cijeli triler!

Riješenje Naviknut ćemo se da bude kompaktniji. Prvo, mentalno ili na nacrtu, uvjeravamo se da se varijable ne mogu podijeliti ovdje, nakon čega provjeravamo ujednačenost - obično se ne provodi na čistoj kopiji (osim ako nije posebno potrebno). Dakle, gotovo uvijek rješenje počinje unosom: " Ova jednadžba je homogena, napravimo zamjenu: ...».

Ako homogena jednadžba sadrži gotove diferencijale, tada se može riješiti modificiranom zamjenom:

Ali ne savjetujem korištenje takve zamjene, jer će rezultat biti odličan Kineski zid diferencijale, gdje treba oko i oko. S tehničkog gledišta, povoljnije je prijeći na "crtkanu" oznaku derivata, za to dijelimo sve članove jednadžbe na:

I već smo tu napravili "opasnu" transformaciju! Nulti diferencijal odgovara - obitelji pravaca paralelnih s osi. Jesu li oni korijeni našeg DU? Zamijenite u izvornoj jednadžbi:

Ova jednakost je istinita ako, to jest, kada smo dijeleći s riskirali gubitak rješenja, i izgubili smo ga- jer to više ne zadovoljava rezultirajuća jednadžba .

Treba napomenuti da ako mi izvorno data je jednadžba , tada korijen ne bi dolazio u obzir. Ali imamo ga, i na vrijeme smo ga "ulovili".

Rješenje nastavljamo standardnom zamjenom:
:

Nakon supstitucije, pojednostavljujemo jednadžbu što je više moguće:

Razdvajanje varijabli:

I ovdje opet STOP: kod dijeljenja riskiramo gubitak dviju funkcija. Pošto je , onda su ovo funkcije:

Očito je da je prva funkcija rješenje jednadžbe . Provjeravamo drugu - zamjenjujemo i njenu derivaciju:

– primljeno istinska jednakost, pa je funkcija ujedno i rješenje diferencijalne jednadžbe.

A kada dijelimo s, riskiramo gubitak ovih rješenja. Međutim, oni mogu ulaziti u zajednički integral. Ali možda neće ući.

Zabilježimo ovo i integrirajmo oba dijela:

Integral lijeve strane standardno se rješava korištenjem izbor punog kvadrata, ali u difuzorima je mnogo prikladnije koristiti metoda neodređenih koeficijenata:

Koristeći metodu neodređenih koeficijenata, integrand raširimo u zbroj elementarnih razlomaka:


Na ovaj način:

Nalazimo integrale:

- pošto smo nacrtali samo logaritme, ispod logaritma guramo i konstantu.

Prije zamjene opet pojednostaviti sve što se može pojednostaviti:

Spuštanje lanaca:

I obrnuta zamjena:

Sada se prisjetimo “gubitaka”: rješenje je ušlo u opći integral na , ali je - “proletjelo pored blagajne”, jer pojavio u nazivniku. Stoga se u odgovoru dodjeljuje posebna fraza, i da - ne zaboravite na izgubljenu odluku, koja se, usput, također pokazala na dnu.

Odgovor: opći integral: . Više rješenja:

Ovdje nije tako teško izraziti opće rješenje:
, ali ovo je već razmetanje.

Zgodno, međutim, za testiranje. Nađimo izvod:

i zamjena na lijevu stranu jednadžbe:

- kao dobiveni rezultat desni dio jednadžbi, što je trebalo provjeriti.

Sljedeća razlika je sama po sebi:

Primjer 6

Riješite diferencijalnu jednadžbu

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Pokušajte u isto vrijeme za obuku i izrazite opće rješenje ovdje.

U završnom dijelu lekcije razmotrit ćemo još nekoliko karakterističnih zadataka na temu:

Primjer 7

Riješite diferencijalnu jednadžbu

Riješenje: Idemo utabanom stazom. Ova jednadžba je homogena, promijenimo:

S "x" je sve u redu, ali evo što nije u redu kvadratni trinom? Budući da je nerastavljiv na faktore : , onda definitivno ne gubimo rješenja. Uvijek bi bilo ovako! Odaberite puni kvadrat s lijeve strane i integrirajte:

Ovdje se nema što pojednostaviti, pa stoga i obrnuta zamjena:

Odgovor: opći integral:

Primjer 8

Riješite diferencijalnu jednadžbu

Ovo je primjer "uradi sam".

Tako:

Za neekvivalentne pretvorbe, UVIJEK provjerite (barem verbalno), nemoj izgubiti svoje odluke! Koje su to transformacije? U pravilu, smanjenje nečim ili podjela na nešto. Tako, primjerice, kod dijeljenja s treba provjeriti jesu li funkcije rješenja diferencijalne jednadžbe. U isto vrijeme, prilikom dijeljenja potrebom za takvom provjerom već nestaje - zbog činjenice da ovaj djelitelj ne nestaje.

Evo još jednog opasna situacija:

Ovdje, rješavajući se , treba provjeriti je li to rješenje za DE. Često se kao takav faktor nalaze “x”, “y” i redukcijom na njih gubimo funkcije koje se mogu pokazati rješenjima.

S druge strane, ako je nešto POČETNO u nazivniku, onda nema razloga za takvu zabrinutost. Dakle, u homogenoj jednadžbi ne morate brinuti o funkciji jer je ona "deklarirana" u nazivniku.

Navedene suptilnosti ne gube svoju važnost, čak i ako je potrebno pronaći samo određeno rješenje problema. Postoji mala, ali vjerojatnost da ćemo izgubiti upravo traženo posebno rješenje. Istina Cauchyjev problem u praktičnih zadataka s homogenim jednadžbama traži se vrlo rijetko. No, takvih primjera u članku ima Svođenje jednadžbi na homogene, koju preporučujem da proučavate "u hitnoj potjeri" kako biste učvrstili svoje vještine rješavanja.

Postoje i složenije homogene jednadžbe. Poteškoća nije u promjeni varijabli ili pojednostavljenjima, već u prilično teškim ili rijetkim integralima koji nastaju kao rezultat odvajanja varijabli. Imam primjere rješenja takvih homogenih jednadžbi - ružne integrale i ružne odgovore. Ali nećemo govoriti o njima, jer u sljedećim lekcijama (Pogledaj ispod) Imam još vremena da te mučim, želim te vidjeti svježeg i optimističnog!

Uspješna promocija!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Riješenje: provjerite jednadžbu na homogenost, za ovo, u izvornoj jednadžbi umjesto stavimo , i umjesto zamijenimo:

Kao rezultat, dobiva se izvorna jednadžba, što znači da je ovaj DE homogen.