Kako riješiti primjer s različitim razlomcima. Operacije s običnim razlomcima

Ako su brojevi označeni različitim slovima, tada se može označiti samo proizvod; Neka, na primjer, trebamo pomnožiti broj a s brojem b - to možemo označiti ili a ∙ b ili ab, ali ne može biti govora o tome da se to množenje nekako izvede. Međutim, kada se radi o monomima, tada je, zahvaljujući 1) prisutnosti koeficijenata i 2) činjenici da ti monomi mogu uključivati ​​faktore označene istim slovima, moguće govoriti o monomima množenja; Ta je mogućnost još šira za polinome. Pogledajmo nekoliko slučajeva u kojima je moguće izvesti množenje, počevši od najjednostavnijeg.

1. Množenje potencije sa po istim osnovama . Neka se, na primjer, traži a 3 ∙ a 5. Napišimo, znajući značenje stepenovanja, istu stvar detaljnije:

a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a

Gledajući ovu detaljnu notaciju, vidimo da imamo zapisano kao faktor 8 puta, ili, ukratko, 8 . Dakle, a 3 ∙ a 5 = a 8.

Neka se traži b 42 ∙ b 28. Prvo bismo morali zapisati faktor b 42 puta, a zatim opet faktor b 28 puta - općenito bismo dobili da je b uzet kao faktor 70 puta. tj. b 70. Dakle, b 42 ∙ b 28 = b 70. Odavde je već jasno da kada se potencije s istim bazama množe, baza stupnja ostaje nepromijenjena, a eksponenti potencija se zbrajaju. Ako imamo a 8 ∙ a, tada ćemo morati imati na umu da faktor a implicira eksponent 1 ("a na prvu potenciju") - dakle, a 8 ∙ a = a 9.

Primjeri: x ∙ x 3 ∙ x 5 = x 9 ; a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 = a 66 ; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12 ; (a + b) 3 ∙ (a + b) 4 = (a + b) 7 ; (3x – 1) 4 ∙ (3x – 1) = (3x – 1) 5, itd.

Ponekad morate imati posla s potencijama čiji su eksponenti označeni slovima, na primjer, xn (x na potenciju n). Morate se naviknuti na takve izraze. Evo primjera:

Objasnimo neke od ovih primjera: b n – 3 ∙ b 5 trebate ostaviti bazu b nepromijenjenom i zbrojiti eksponente, tj. (n – 3) + (+5) = n – 3 + 5 = n + 2. Naravno , Morate naučiti brzo izvoditi takve dodatke u svojoj glavi.

Drugi primjer: x n + 2 ∙ x n – 2, – bazu x treba ostaviti nepromijenjenu, a eksponent dodati, tj. (n + 2) + (n – 2) = n + 2 + n – 2 = 2n.

Sada možete izraziti gore navedeni redoslijed, kako izvesti množenje potencija s istim bazama, jednakošću:

a m ∙ a n = a m + n

2. Množenje monoma monomom. Neka, na primjer, zahtijevamo 3a²b³c ∙ 4ab²d². Vidimo da je ovdje jedno množenje označeno točkom, ali znamo da se isti znak množenja podrazumijeva između 3 i a², između a² i b³, između b³ i c, između 4 i a, između a i b², između b² i d². Stoga, ovdje možemo vidjeti umnožak 8 faktora i možemo ih pomnožiti s bilo kojom skupinom bilo kojim redoslijedom. Preuredimo ih tako da koeficijenti i potencije s istim bazama budu blizu, tj.

3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d².

Tada možemo pomnožiti 1) koeficijente i 2) potencije s istim bazama i dobiti 12a³b5cd².

Dakle, kada množimo monom s monomom, možemo množiti koeficijente i potencije s istim bazama, ali preostale faktore moramo prepisati bez promjena.

Još primjera:

3. Množenje polinoma monomom. Pretpostavimo da prvo trebate pomnožiti neki polinom, na primjer, a – b – c + d, s pozitivnim cijelim brojem, na primjer, +3. Jer pozitivni brojevi smatraju da se podudaraju s aritmetičkim, onda je to isto kao (a – b – c + d) ∙ 3, tj. a – b – c + d uzeto 3 puta kao član, ili

(a – b – c + d) ∙ (+3) = a – b – c + d + a – b – c + d + a – b – c + d = 3a – 3b – 3c + 3d,

tj. kao rezultat toga, svaki član polinoma morao je biti pomnožen s 3 (ili +3).

Iz ovoga slijedi:

(a – b – c + d) ÷ (+3) = a – b – c + d,

odnosno svaki član polinoma je morao biti podijeljen s (+3). Također, generalizirajući, dobivamo:

itd.

Neka sada trebamo pomnožiti (a – b – c + d) sa pozitivan razlomak, na primjer, na +. To je isto kao i množenje sa aritmetički razlomak, što znači uzeti dijelove iz (a – b – c + d). Lako je uzeti jednu petinu ovog polinoma: trebate podijeliti (a – b – c + d) s 5, a mi već znamo kako to učiniti, i dobivamo . Ostaje ponoviti rezultat 3 puta ili pomnožiti s 3, tj.

Kao rezultat, vidimo da smo morali pomnožiti svaki član polinoma sa ili sa +.

Neka sada trebamo pomnožiti (a – b – c + d) negativnim brojem, cijelim brojem ili razlomkom,

tj. u ovom slučaju je svaki član polinoma morao biti pomnožen sa –.

Dakle, koji god broj m bio, uvijek postoji (a – b – c + d) ∙ m = am – bm – cm + dm.

Budući da je svaki monom broj, ovdje vidimo naznaku kako pomnožiti polinom s monomom - moramo pomnožiti svaki član polinoma s ovim monomom.

4. Množenje polinoma polinomom. Neka bude (a + b + c) ∙ (d + e). Budući da d i e znače brojeve, tada (d + e) ​​izražava bilo koji broj.

(a + b + c) ∙ (d + e) ​​​​= a(d + e) ​​​​+ b(d + e) ​​​​+ c(d + e)

(možemo to objasniti ovako: imamo pravo privremeno uzeti d + e kao monom).

Ad + ae + bd + be + cd + ce

U ovom rezultatu možete promijeniti redoslijed članova.

(a + b + c) ∙ (d + e) ​​​​= ad + bd + ed + ae + be + ce,

to jest, da bi se polinom pomnožio s polinomom, svaki član jednog polinoma mora se pomnožiti sa svakim članom drugog. Pogodno je (u tu svrhu gore je promijenjen redoslijed dobivenih članova) svaki član prvog polinoma prvo pomnožiti s prvim članom drugog (sa +d), zatim s drugim članom drugog (sa + e), zatim, ako je bilo, trećim itd. .d.; nakon toga treba izvršiti redukciju sličnih pojmova.

U ovim primjerima, binom je pomnožen binomom; u svakom binomu, članovi su raspoređeni u padajućim potencijama slova zajedničkog za oba binoma. Lako je izvesti takva množenja u glavi i odmah napisati konačni rezultat.

Množenjem glavnog člana prvog binoma s vodećim članom drugog, tj. 4x² sa 3x, dobivamo 12x³ glavnog člana umnoška - očito neće biti sličnih. Zatim tražimo množenjem kojih ćemo članova dobiti članove sa stupnjem slova x manjim za 1, tj. s x². Lako možemo vidjeti da se takvi članovi dobivaju množenjem 2. člana prvog faktora s 1. članom drugog i množenjem 1. člana prvog faktora s 2. članom drugog (zagrade na dnu primjer to ukazuje). Izvođenje ovih množenja u vašoj glavi i također izvođenje redukcije ova dva slična člana (nakon čega dobivamo izraz –19x²) nije teško. Tada uočavamo da će se sljedeći član, koji sadrži slovo x na još 1 manju potenciju, tj. x na 1. potenciju, dobiti samo množenjem drugog člana sa sekundom i neće biti sličnih.

Drugi primjer: (x² + 3x)(2x – 7) = 2x³ – x² – 21x.

Također je lako pokrenuti primjere u glavi, poput sljedećih:

Glavni član se dobiva množenjem vodećeg člana s vodećim članom; njemu neće biti sličnih članova, a to je = 2a³. Zatim tražimo koja će množenja dati članove s a² - od množenja 1. člana (a²) s 2. (–5) i od množenja drugog člana (–3a) s 1. (2a) - to je naznačeno ispod u zagradama ; Izvršivši ova množenja i kombinirajući dobivene članove u jedan, dobivamo –11a². Zatim tražimo koja će množenja dati članove s a na prvom stupnju - ta su množenja označena zagradama na vrhu. Popunivši ih i spojivši dobivene članove u jedan, dobivamo +11a. Na kraju, napominjemo da se najniži član umnoška (+10), koji uopće ne sadrži a, dobiva množenjem nižeg člana (–2) jednog polinoma nižim članom (–5) drugog.

Još jedan primjer: (4a 3 + 3a 2 – 2a) ∙ (3a 2 – 5a) = 12a 5 – 11a 4 – 21a 3 + 10a 2.

Iz svih prethodnih primjera također dobivamo ukupni rezultat: vodeći član umnoška uvijek se dobiva množenjem vodećih članova faktora i ne može mu biti sličnih članova; Također, najniži član umnoška dobiva se množenjem nižih članova faktora, a ni njemu ne mogu postojati slični članovi.

Preostali članovi dobiveni množenjem polinoma s polinomom mogu biti slični, a može se čak dogoditi da se svi ti članovi međusobno unište i ostanu samo stariji i najmlađi.

Evo primjera:

(a² + ab + b²) (a – b) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³
(a² – ab + b²) (a – b) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a – b) = a 4 – b 4 (pišemo samo rezultat)
(x 4 – x³ + x² – x + 1) (x + 1) = x 5 + 1, itd.

Ovi su rezultati vrijedni pažnje i korisni za pamćenje.

Posebno važno sljedeći slučaj množenje:

(a + b) (a – b) = a² + ab – ab – b² = a² – b²
ili (x + y) (x – y) = x² + xy – xy – y² = x² – y²
ili (x + 3) (x – 3) = x² + 3x – 3x – 9 = x² – 9, itd.

U svim ovim primjerima, kada se primijenimo na aritmetiku, imamo umnožak zbroja dva broja i njihove razlike, a rezultat je razlika kvadrata tih brojeva.

Ako vidimo sličan slučaj, tada nema potrebe izvoditi detaljno množenje, kao što je učinjeno gore, ali možemo odmah napisati rezultat.

Na primjer, (3a + 1) ∙ (3a – 1). Ovdje je prvi faktor, s aritmetičkog gledišta, zbroj dvaju brojeva: prvi je broj 3a, a drugi 1, a drugi faktor je razlika istih brojeva; stoga bi rezultat trebao biti: kvadrat prvog broja (tj. 3a ∙ 3a = 9a²) minus kvadrat drugog broja (1 ∙ 1 = 1), tj.

(3a + 1) ∙ (3a – 1) = 9a² – 1.

Također

(ab – 5) ∙ (ab + 5) = a²b² – 25, itd.

Pa da se prisjetimo

(a + b) (a – b) = a² – b²

odnosno umnožak zbroja dvaju brojeva i njihove razlike jednak je razlici kvadrata tih brojeva.

Na ovu lekciju Proučavat će se operacija množenja polinoma monomom, što je osnova za proučavanje množenja polinoma. Prisjetimo se zakona distribucije množenja i formuliramo pravilo za množenje bilo kojeg polinoma monomom. Prisjetimo se i nekih svojstava stupnjeva. Osim toga, tipične pogreške bit će formulirane pri izvođenju različitih primjera.

Predmet:Polinomi. Aritmetičke operacije nad monomima

Lekcija:Množenje polinoma monomom. Tipični zadaci

Operacija množenja polinoma s monomom osnova je za razmatranje operacije množenja polinoma s polinomom, a prvo morate naučiti kako množiti polinom s monomom da biste razumjeli množenje polinoma.

Osnova ove operacije je distributivni zakon množenja. Podsjetimo ga:

U biti, vidimo pravilo za množenje polinoma, u u ovom slučaju binom s monomom, a ovo se pravilo može formulirati na sljedeći način: da biste pomnožili polinom s monomom, trebate pomnožiti svaki član polinoma s tim monomom. Dodajte algebarski dobivene produkte, a zatim izvršite potrebne radnje na polinomu - naime, dovedite ga do standardni prikaz.

Pogledajmo primjer:

Komentar: ovaj primjer rješava se striktnim poštivanjem pravila: svaki član polinoma množi se monomom. Kako bi se dobro razumio i asimilirao distribucijski zakon, u ovom primjeru, članovi polinoma zamijenjeni su s x i y, redom, a monoma s c, nakon čega je izvršena elementarna radnja u skladu s distribucijskim zakonom i početne vrijednosti su zamijenjene. Trebali biste biti oprezni sa znakovima i ispravno množiti s minus jedan.

Pogledajmo primjer množenja trinoma s monomom i uvjerimo se da se ne razlikuje od iste operacije s binomom:

Prijeđimo na rješavanje primjera:

Komentar: ovaj primjer je riješen prema zakonu distribucije i slično kao i prethodni primjer - svaki član polinoma se množi s monomom, dobiveni polinom je već napisan u standardnom obliku, pa se ne može pojednostaviti.

Primjer 2 - izvršite akcije i dobijete polinom u standardnom obliku:

Komentar: da bismo riješili ovaj primjer, prvo ćemo pomnožiti prvi i drugi binom prema zakonu distribucije, a zatim ćemo dobiveni polinom dovesti u standardni oblik - prikazat ćemo slične članove.

Sada ćemo formulirati glavne probleme povezane s operacijom množenja polinoma s monomom i dati primjere njihova rješenja.

1. zadatak - pojednostaviti izraz:

Komentar: ovaj primjer se rješava slično kao i prethodni, naime prvo se polinomi množe odgovarajućim monomima, a zatim se slični reduciraju.

2. zadatak - pojednostaviti i izračunati:

Primjer 1:;

Komentar: ovaj primjer se rješava slično kao i prethodni, s tim da nakon donošenja sličnih članova umjesto varijable treba zamijeniti njegovu određenu vrijednost i izračunati vrijednost polinoma. Podsjećamo, da biste jednostavno pomnožili decimalu s deset, trebate pomaknuti decimalu jedno mjesto udesno.

Sat algebre u 7. razredu

CILJEVI SATA

OBRAZOVNI: formulirati definiciju množenja monoma polinomom; razvijati vještine rada s monomima i polinomima.

RAZVOJNI: razvijati vještine kognitivne, mentalne aktivnosti, logično razmišljanje, razvijati sposobnost analize i usporedbe.

ODGOJNI: odgajati kognitivnu aktivnost, odgovornost; intenzivirati se mentalna aktivnost u procesu samostalnog rada.

OPREMA

Multimedijski projektor, kartice s diferenciranim zadacima, kartice Matematički loto, kartice sa samostalan rad, "Bosni list".

VRSTA SATA

Kombinirano.

STRUKTURA SATA

Motivacijski razgovor.

Ispitivanje domaća zadaća. Individualni rad po kartama.

Obnavljanje temeljnih znanja – usmeni rad u oblik igre, uz pomoć kojih se na temelju sistematizacije znanja ponavljaju osnovne činjenice i svojstva.

Učenje novog gradiva – učenici tijekom razgovora formuliraju pravilo množenja monoma polinomom.

Konsolidacija proučenog materijala.

Fizička pauza.

Samostalni rad uz samotestiranje.

Odraz.

domaća zadaća.

Sažetak lekcije.

NAPREDAK SATA

ORGANIZACIJSKI MOMENT Slajd 1,2.

Učitelj: Zdravo, momci! Današnji moto naše lekcije bit će riječi najvećeg drevnog kineskog filozofa Konfucija: „Tri puta vode do znanja: put razmišljanja je najplemenitiji put, put oponašanja je najlakši put i put iskustva je put najgorči put.” Ti i ja ćemo slijediti plemeniti put. Nastavimo učiti misliti, pronaći racionalne načine odluke i izrazite svoje ideje. želim ti puno sreće!

Danas na satu ocjenjujete svoje aktivnosti u „Ocjenjivačkim listovima“.

Evaluacijski list učenika __________________________

	Koraci lekcije	Oznaka za rad
	domaća zadaća
	Samostalni rad na kartici
	Usmeni rad"Matematički loto"
	Učenje novog gradiva
	Konsolidacija. Rad iz udžbenika
	Rad u grupi br.630
	Samostalni rad
	Odraz
	Kako ocjenjujete svoje sudjelovanje u radu?
	Kako ocjenjujete svoje znanje o temi?
	Koje teme morate ponavljati da biste bili uspješni?
	Množenje potencija s istim bazama.
	Redukcija sličnih članova polinoma.
	Množenje monoma.
	Proširivanje zagrada sa znakovima “+” i “-”.

1. PONAVLJANJE TEORIJSKOG GRADIVA NA TEMU “MONOMI. POLINOMI"

Provjera domaće zadaće. (tri učenika na unaprijed pripremljenoj ploči reproduciraju rješenja kućnih brojeva. Nakon provjere ispunjavanja učenici u razredu pitaju dodatno pitanje, postavljena je oznaka.)

Samostalni rad s karticama. (Dodatak 1)

№ 601. Slajd 3.

2. Usmeni rad. " Matematički loto.

Učitelj: Dečki, znate li igrati loto? Rad radite u paru. Na stolu je tablica "Matematički loto". Prekriži točne odgovore. Jeste li spremni?

1). Matematički loto.

Prekriži točne odgovore.

			10ab + 10b2 - 20b

Učitelj pokazuje kartice, a učenici precrtavaju točne odgovore.

2). Pojednostavite svoje izraze.

A5 ∙ a4 2 6 ∙ 2 9 5a ∙ 3a-2u ∙ 6h4 ab∙ a2

5 x +(8- x) 12a - (2 - 6a) 2 (a - b) - a2 (4 a - 1) 10 b (a + b - 2)

Učitelj: Dečki, provjerite jeste li ispravno riješili ovaj zadatak? Slajd 4.

Koji su izrazi ostali? (Učenici: “monomi i polinomi”)

Koje operacije možete izvesti s polinomima i monomima? (Učenici: “zbrajati, oduzimati, množiti, dijeliti, dizati na potenciju”).

Pročitajte izraze: 5x + (8 - x); 12 - (2 - 6a) (učitelj magnetom pričvršćuje na ploču)

Koji su izrazi stvarali poteškoće pri pojednostavljivanju? Zašto? (Učenici: “2(a-b), -a2(4a - 1), 10b(a + b - 2), mi ne znamo pojednostaviti izraze ovog tipa.”)

Pročitajte ove izraze. (2(a-b), -a2(4a - 1), 10b(a + b - 2), pričvršćeno na ploču magnetom)

Kako se zovu izrazi koji dolaze ispred zagrada? (Učenici: “monomi”)

Kako se zovu izrazi u zagradama? (Učenici: “polinomi”)

Što mislite da ćete danas naučiti na satu? (Učenici: “pomnoži monom polinomom”)

Formulirajte temu lekcije i zapišite je u svoju bilježnicu. (Učenici: “Množenje monoma polinomom”) Slajd 5.

Kako pojednostaviti ove izraze? Tko bi mogao pomnožiti monom s polinomom? Na koje ste se znanje oslanjali? (slušanje odgovora učenika).

Danas ćete naučiti kako izvršiti još jednu konverziju algebarski izrazi, pronaći umnožak monoma i polinoma.

3. PROUČAVANJE NOVOG GRADIVA Slajd 6.7.

Učiteljica: Zapiši u bilježnicu izraz 7m6(m3 - m2 - 2)=

Koja pravila trebate znati da biste monom pomnožili polinomom? (Učenici: „svojstvo razdiobe, množenje potencija s istim bazama, množenje pozitivnih i negativni brojevi»)

Zapiši to sljedeći izraz-3a2 (4a3 - a + 1)=

Koja pravila trebate znati da biste monom pomnožili polinomom?

Formulirajte pravilo za množenje monoma polinomom. (Učenici: “Da biste pomnožili monom s polinomom, trebate pomnožiti monom sa svakim članom polinoma”)

Bravo! Pročitajte definiciju naše teme u udžbeniku.

4. KONSTRUKCIJA NAUČENOG GRADIVA (rad s udžbenikom)

Slajd 8.

br. 614 (a, b, c) - učenici na ploči s objašnjenjem;

br. 618 (d) - učitelj s učenicima;

A) 1. red (1 učenik na ploči),

B) 2. red (1 učenik na ploči),

B) 3. red (1 učenik na ploči);

br. 630 (grupni rad)

Učitelj: Na vašim stolovima su zalijepljene šalice različitih boja (6 različite boje 4 šalice svaka). Na njima su ispisana slova za br. 630. Pogledaj, pronađi zadatak u udžbeniku. Ista slova na kružićima su članovi vaše grupe. Dovršite zadatak.

(nakon završenog rada svaka grupa komentira odgovore, provjerava i razvrstava pogreške)

Bravo, uspješno ste završili ovaj posao. Ne zaboravite na "Score Sheet".

5. FIZPAUZA Slajd 9.

Brzo su ustali, nasmiješili se,

Vukli su se sve više i više.

Pa, ispravi ramena,

Podignite, spustite.

Skreni desno, skreni lijevo,

Dotaknite ruke s koljenima.

Sjeli su, ustali, sjeli, ustali,

I trčali su na mjestu.

Mladi ljudi uče kod vas

Razvijajte i volju i domišljatost.

6. SAMOSTALNI RAD (u dvije varijante, za provjeru usvojenosti novog gradiva)

Učiteljica: Na vašim stolovima su zadaci za samostalan rad. Ispunite predloženi zadatak.

Opcija 1.

A) _____ (x-y) = 4bx - 4by.

B) _____ (5a + b) = 10

B) _____(x - 2) = x

D) ______(c - m + b) = -ayc + aym - ayb.

opcija 2.

Učenik je pomnožio monom s polinomom, nakon čega je monom obrisan. Vratite ga:

A) _____(x-y) = 9ax - 9ay.

B) _____(2a + b) = 2

B) ______(x - ) = x

D) _____(x + y - a) = -bcx - bcy + bca.

Učitelj: Provjerite je li zadatak točno riješen. Slajd 10.

8. REFLEKSIJA Slajd 11.

Kako ocjenjujete svoje sudjelovanje u nastavi?

Kako biste ocijenili svoje znanje o nova tema?

Koje teme je potrebno ponavljati da bismo bili uspješni u budućnosti?

9. DOMAĆA ZADAĆA Slajd 12.

10. REZULTAT SATA.

Dečki, danas ste jako dobro radili u razredu, bili aktivni i pomagali jedni drugima. Predajte svoju zapisnici. Kartice sa samostalnim radom. Na sljedećem satu primit ćete ih uz ocjenu nastavnika.

Hvala svima! Zbogom! Slajd 13.

Dodatak 1.

Kartica br. 1

1. Navedite slične članove polinoma.

A) 5x + 6y - 3x - 12y = ____________________________________________.

B) 3ab + 7b + 12b - ab = ____________________________________________________.

B) 3t2 - 5t + 11 - 3t2 + 5t = ________________________________________________.

2. Izrazi izraz potencijom.

A) b13 ∙b ∙ b7 = __________________.

B) (x3)2 ∙ x4 = ___________________.

Kartica br. 2

1. Proširite zagrade pomoću pravila.

A) 6a + (x + 3a - 1) = _________________________________.

B) 5y - (2x - a + b) = _____________________________________.

2. Pojednostavite izraz:

a) (x3)2 ∙ x4 =_______________________________________.

B) (a3 ∙ a5)4 = _______________________________________

B) (c6)8: (c7)5 = _______________________________________

Kartica br. 3

Pojednostavite izraz:

(8c2 + 3c) + (-7c2 - 11c + 3) - (-3c2 - 4) = ________________________________________________________________.

2. Izračunaj:

A) 43 ∙ 53 = _______________;

B) = ___________________.

Kartica br. 4.

1. Zbrojite polinome i dovedite ih u standardni oblik:

A) 12y2 + 8y - 11 i 3y2 - 6y + 3;

Razlikujte polinome i dovedite ih u standardni oblik:

B) a2 - 5ab - b2 i a2 + b2.

Pojednostaviti:

x15: x5 ∙ x7 = __________________.

Književnost

1. Algebra: udžbenik za 7. razred / Yu. Makarychev [etc.]; uredio S. A. Telyakovsky - M.: Obrazovanje, 2014
2. Didaktički materijali u algebri za 7. razred / L. P. Zvavich, L. V. Kuznetsova, S. B. Suvorova. - M.: Obrazovanje, 1012
3. Razvoj na temelju lekcija u algebri. 7. razred / A. N. Rurukin, G. V. Lupenko, I. A. Maslennikova. - M.: VAKO, 2007
4. Otvorene lekcije algebra. 7-8 razreda / N. L. Barsukova. - M.: VAKO, 2013

Poseban slučaj množenja polinoma polinomom je množenje polinoma monomom. U ovom ćemo članku formulirati pravilo za izvođenje ove radnje i analizirati teoriju koristeći praktične primjere.

Pravilo za množenje polinoma monomom

Shvatimo što je osnova množenja polinoma s monomom. Ova akcija oslanja se na svojstvo distribucije množenja u odnosu na zbrajanje. Doslovno se ovo svojstvo piše na sljedeći način: (a + b) c = a c + b c (a, b i c– neki brojevi). U ovom unosu izraz (a + b) c je upravo umnožak polinoma (a + b) i monoma c. Desna strana jednakosti a · c + b · c je zbroj proizvoda monoma a I b monomom c.

Gornje razmišljanje omogućuje nam da formuliramo pravilo za množenje polinoma monomom:

Definicija 1

Da biste izvršili radnju množenja polinoma monomom, morate:

• zapisati umnožak polinoma i monoma koje treba pomnožiti;
• pomnožiti svaki član polinoma datim monomom;
• pronaći zbroj dobivenih umnožaka.

Pojasnimo dodatno navedeni algoritam.

Da bi se formirao umnožak polinoma i monoma, izvorni polinom je zatvoren u zagradama; tada se između njega i zadanog monoma stavlja znak množenja. Ako monom počinje znakom minus, mora se također staviti u zagradu. Na primjer, umnožak polinoma − 4 x 2 + x − 2 i monom 7 g napišimo to kao (− 4 x 2 + x − 2) 7 god, i produkt polinoma a 5 b − 6 a b i monom − 3 a 2 staviti u obrazac: (a 5 b − 6 a b) (− 3 a 2).

Sljedeći korak algoritma je množenje svakog člana polinoma danim monomom. Komponente polinoma su monomi, tj. U biti, trebamo pomnožiti monom s monomom. Pretpostavimo da smo nakon prvog koraka algoritma dobili izraz (2 x 2 + x + 3) 5 x, tada je drugi korak množenje svakog člana polinoma 2 x 2 + x + 3 s monomom 5 x, čime se dobiva: 2 x 2 5 x = 10 x 3, x 5 x = 5 x 2 i 3 5 x = 15 x. Rezultat će biti monomi 10 x 3, 5 x 2 i 15 x.

Posljednja radnja prema pravilu je dodavanje dobivenih proizvoda. Iz predloženog primjera, učinivši ovaj korak algoritma, dobivamo: 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x.

Kao standard, svi su koraci napisani kao lanac jednakosti. Na primjer, pronalaženje umnoška polinoma 2 x 2 + x + 3 i monom 5 x napišimo to ovako: (2 x 2 + x + 3) 5 x = 2 x 2 5 x + x 5 x + 3 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x. Eliminiranjem srednjeg izračuna drugog koraka, kratko rješenje može se formatirati na sljedeći način: (2 x 2 + x + 3) 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x.

Razmotreni primjeri omogućuju uočiti važna nijansa: Množenje polinoma i monoma daje polinom. Ova tvrdnja vrijedi za bilo koji polinom i monom koji se može množiti.

Analogno tome, monom se množi polinomom: dani monom se množi sa svakim članom polinoma, a rezultirajući produkti se zbrajaju.

Primjeri množenja polinoma monomom

Primjer 1

Potrebno je pronaći umnožak: 1, 4 · x 2 - 3, 5 · y · - 2 7 · x.

Otopina

Prvi korak pravila je već završen - rad je snimljen. Sada izvodimo sljedeći korak množenjem svakog člana polinoma s danim monomom. U ovom slučaju, zgodno je najprije pretvoriti decimalne razlomke u obične razlomke. Tada dobivamo:

1, 4 x 2 - 3, 5 y - 2 7 x = 1, 4 x 2 - 2 7 x - 3, 5 y - 2 7 x = = - 1, 4 2 7 x 2 x + 3, 5 2 7 x y = - 7 5 2 7 x 3 + 7 5 2 7 x y = - 2 5 x 3 + x y

Odgovor: 1, 4 · x 2 - 3, 5 · y · - 2 7 · x = - 2 5 · x 3 + x · y.

Pojasnimo da kada su izvorni polinom i/ili monom dani u nestandardnom obliku, prije pronalaženja njihovog umnoška, ​​preporučljivo je svesti ih na standardni oblik.

Primjer 2

Zadani polinom 3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2 i monom − 0 . a · b · (− 2) · a. Morate pronaći njihov posao.

Otopina

Vidimo da su izvorni podaci prikazani u nestandardnom obliku, pa ćemo ih radi praktičnosti daljnjih izračuna staviti u standardni oblik:

− 0 , 5 · a · b · (− 2) · a = (− 0 , 5) · (− 2) · (a · a) · b = 1 · a 2 · b = a 2 · b 3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2 = (3 − 2) + (a + 3 · a) − 2 · a 2 = 1 + 4 · a − 2 · a 2

Sada pomnožimo monom a 2 b za svaki član polinoma 1 + 4 · a − 2 · a 2

a 2 b (1 + 4 a − 2 a 2) = a 2 b 1 + a 2 b 4 a + a 2 b (− 2 a 2) = = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b

Nismo mogli svesti početne podatke na standardni oblik: rješenje bi bilo glomaznije. U ovom slučaju, posljednji korak bi bila potreba za dovođenjem sličnih članova. Za razumijevanje, evo rješenja prema ovoj shemi:

− 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · (3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2) = = − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · 3 − 0, 5 · a · b · (− 2) · a · a − 0, 5 · a · · b · (− 2) · a · (− 2 · a 2) − 0, 5 · a · b · (− 2) · a · 3 · a − 0, 5 · a · b · (− 2) · a · (− 2) = = 3 · a 2 · b + a 3 · b − 2 · a 4 · b + 3 · a 3 · b − 2 · a 2 · b = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b

Odgovor: − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · (3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2) = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Pri množenju polinoma monomom koristit ćemo se jednim od zakona množenja. U matematici se to naziva distributivni zakon množenja. Distributivni zakon množenja:

1. (a + b)*c = a*c + b*c

2. (a - b)*c = a*c - b*c

Da bi se monom pomnožio s polinomom, dovoljno je svaki član polinoma pomnožiti s monomom. Nakon toga zbrojite dobivene proizvode. Sljedeća slika prikazuje dijagram za množenje monoma polinomom.

Redoslijed množenja nije bitan; ako, na primjer, trebate pomnožiti polinom s monomom, onda to trebate učiniti na potpuno isti način. Dakle, nema razlike između unosa 4*x * (5*x^2*y - 4*x*y) i (5*x^2*y - 4*x*y)* 4*x.

Pomnožimo gore napisani polinom i monom. I pokazat ćemo vam dalje konkretan primjer kako to učiniti ispravno:

4*x * (5*x^2*y - 4*x*y)

Koristeći zakon distribucije množenja, sastavljamo umnožak:

4*x*5*x^2*y - 4*x*4*x*y.

U dobivenom zbroju svaki od monoma svedemo na standardni oblik i dobijemo:

20*x^3*y - 16*x^2*y.

To će biti umnožak monoma i polinoma: (4*x) * (5*x^2*y - 4*x*y) = 20*x^3*y - 16*x^2*y.

Primjeri:

1. Pomnožite monom 4*x^2 s polinomom (5*x^2+4*x+3). Koristeći zakon distribucije množenja sastavljamo umnožak. imamo
(4*x^2*5*x^2) +(4*x^2* 4*x) +(4*x^2*3).

20*x^4 +16*x^3 +12*x^2.

Ovo će biti umnožak monoma i polinoma: (4*x^2)*(5*x^2+4*x+3)= 20*x^4 +16*x^3 +12*x^ 2.

2. Pomnožite monom (-3*x^2) s polinomom (2*x^3-5*x+7).

Koristim zakon distribucije množenja i stvaram umnožak. imamo:

(-3*x^2 * 2*x^3) +(-3*x^2 * -5*x) +(-3*x^2 *7).

U dobivenom zbroju svaki od monoma svodimo na njegov standardni oblik. Dobivamo:

6*x^5 +15*x^3 -21*x^2.

Ovo će biti umnožak monoma i polinoma: (-3*x^2) * (2*x^3-5*x+7)= -6*x^5 +15*x^3 -21* x^2.