Kako zbrajati neprave razlomke s različitim nazivnicima. Kako naučiti oduzimati razlomke s različitim nazivnicima

Bilješka! Prije nego što napišete konačni odgovor, provjerite možete li smanjiti razlomak koji ste dobili.

Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima primjeri:

,

,

Oduzimanje pravilnog razlomka od jedan.

Ako je potrebno od jedinice oduzeti razlomak koji je točan, jedinica se pretvara u oblik nepravog razlomka, čiji je nazivnik jednak nazivniku oduzetog razlomka.

Primjer oduzimanja pravilnog razlomka od jedan:

Nazivnik razlomka koji se oduzima = 7 , tj. jedinicu predstavljamo kao nepravi razlomak 7/7 i oduzimamo prema pravilu za oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.

Oduzimanje pravilnog razlomka od cijelog broja.

Pravila za oduzimanje razlomaka - ispravan iz cijelog broja (prirodni broj):

• Zadane razlomke, koji sadrže cjelobrojni dio, prevodimo u neprave. Dobivamo normalne članove (nije važno ako imaju različite nazivnike), koje razmatramo prema gore navedenim pravilima;
• Zatim izračunavamo razliku razlomaka koje smo dobili. Kao rezultat toga, gotovo ćemo pronaći odgovor;
• Izvršavamo inverznu transformaciju, odnosno rješavamo se nepravog razlomka - odabiremo cjelobrojni dio u razlomku.

Oduzmite pravi razlomak od cijelog broja: prirodni broj predstavljamo kao mješoviti broj. Oni. uzmemo jedinicu u prirodnom broju i prevedemo je u oblik nepravog razlomka, nazivnik je isti kao kod oduzetog razlomka.

Primjer oduzimanja razlomaka:

U primjeru smo jedinicu zamijenili nepravilnim razlomkom 7/7 i umjesto 3 zapisali mješoviti broj i od razlomka oduzeli razlomak.

Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.

Ili, drugim riječima rečeno, oduzimanje različitih razlomaka.

Pravilo za oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima. Da bismo oduzeli razlomke s različitim nazivnicima, potrebno je te razlomke prvo dovesti na najmanji zajednički nazivnik (LCD), a tek nakon toga oduzimati kao kod razlomaka s istim nazivnicima.

Zajednički nazivnik nekoliko razlomaka je LCM (najmanji zajednički višekratnik) prirodne brojeve koji su nazivnici zadanih razlomaka.

Pažnja! Ako u konačnom razlomku brojnik i nazivnik imaju zajedničke faktore, tada se razlomak mora smanjiti. Nepravi razlomak najbolje je prikazati kao mješoviti razlomak. Ostavljanje rezultata oduzimanja bez smanjenja razlomka gdje je to moguće je nedovršeno rješenje primjera!

Postupak oduzimanja razlomaka s različitim nazivnicima.

• pronaći LCM za sve nazivnike;
• staviti dodatne množitelje za sve razlomke;
• pomnožite sve brojnike dodatnim faktorom;
• dobivene produkte upisujemo u brojnik, potpisujući zajednički nazivnik ispod svih razlomaka;
• oduzmite brojnike razlomaka, a ispod razlike upišite zajednički nazivnik.

Na isti način, zbrajanje i oduzimanje frakcija provodi se uz prisutnost slova u brojniku.

Oduzimanje razlomaka, primjeri:

Oduzimanje mješovitih razlomaka.

Na oduzimanje mješovitih razlomaka (brojeva) odvojeno, cijeli dio se oduzima od cijelog dijela, a razlomački dio se oduzima od razlomačkog dijela.

Prva opcija je oduzimanje mješovitih razlomaka.

Ako su razlomački dijelovi isto nazivnici i brojnik razlomačkog dijela umanjenika (od njega oduzimamo) ≥ brojnik razlomljenog dijela umanjenika (oduzimamo ga).

Na primjer:

Druga opcija je oduzimanje mješovitih razlomaka.

Kada se razlomački dijelovi razne nazivnici. Za početak razlomke svedemo na zajednički nazivnik, a zatim od cijelog broja oduzmemo cijeli dio, a od razlomka razlomak.

Na primjer:

Treća opcija je oduzimanje mješovitih razlomaka.

Razlomački dio umanjenika je manji od razlomljenog dijela umanjenika.

Primjer:

Jer razlomci imaju različite nazivnike, što znači, kao i u drugoj opciji, da obične razlomke prvo dovedemo na zajednički nazivnik.

Brojnik razlomačkog dijela umanjenika manji je od brojnika razlomačkog dijela umanjenika.3 < 14. Dakle, uzimamo jedinicu iz cijelog dijela i dovodimo tu jedinicu u oblik nepravog razlomka s istim nazivnikom i brojnikom = 18.

U brojnik s desne strane upišemo zbroj brojnika, zatim otvorimo zagrade u brojniku s desne strane, odnosno sve pomnožimo i damo slične. U nazivniku ne otvaramo zagrade. U nazivnicima je uobičajeno ostaviti proizvod. Dobivamo:

Jedna od najvažnijih znanosti, čija se primjena može vidjeti u disciplinama poput kemije, fizike pa čak i biologije, je matematika. Proučavanje ove znanosti omogućuje vam da razvijete neke mentalne kvalitete, poboljšate sposobnost koncentracije. Jedna od tema koja zaslužuje posebnu pozornost u kolegiju "Matematika" je zbrajanje i oduzimanje razlomaka. Mnogim studentima je teško učiti. Možda će naš članak pomoći boljem razumijevanju ove teme.

Kako oduzeti razlomke čiji su nazivnici isti

Razlomci su isti brojevi s kojima možete izvoditi različite radnje. Njihova razlika od cijelih brojeva leži u prisutnosti nazivnika. Zato pri izvođenju radnji s razlomcima morate proučiti neke od njihovih značajki i pravila. Najjednostavniji slučaj je oduzimanje običnih razlomaka, čiji su nazivnici predstavljeni kao isti broj. Neće biti teško izvršiti ovu radnju ako znate jednostavno pravilo:

• Da bi se od jednog razlomka oduzeo drugi, potrebno je od brojnika skraćenog razlomka oduzeti brojnik razlomka koji se oduzima. Taj broj upisujemo u brojnik razlike, a nazivnik ostavljamo isti: k / m - b / m = (k-b) / m.

Primjeri oduzimanja razlomaka čiji su nazivnici isti

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Od brojnika smanjenog razlomka "7" oduzmite brojnik oduzetog razlomka "3", dobit ćemo "4". Taj broj upisujemo u brojnik odgovora, au nazivnik stavljamo isti broj koji je bio u nazivnicima prvog i drugog razlomka - "19".

Slika ispod prikazuje još nekoliko takvih primjera.

Razmotrimo složeniji primjer u kojem se oduzimaju razlomci s istim nazivnicima:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Od brojnika smanjene frakcije "29" redom oduzimajući brojnike svih sljedećih frakcija - "3", "8", "2", "7". Kao rezultat toga dobivamo rezultat "9", koji upišemo u brojnik odgovora, au nazivnik upišemo broj koji je u nazivnicima svih ovih frakcija - "47".

Zbrajanje razlomaka s istim nazivnikom

Zbrajanje i oduzimanje običnih razlomaka provodi se po istom principu.

• Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate zbrojiti brojnike. Dobiveni broj je brojnik zbroja, a nazivnik ostaje isti: k/m + b/m = (k + b)/m.

Pogledajmo kako to izgleda na primjeru:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Brojniku prvog člana razlomka - "1" - dodajemo brojnik drugog člana razlomka - "2". Rezultat - "3" - upisuje se u brojnik iznosa, a nazivnik ostaje isti kao što je bio prisutan u razlomcima - "4".

Razlomci s različitim nazivnicima i njihovo oduzimanje

Već smo razmatrali djelovanje s razlomcima koji imaju isti nazivnik. Kao što vidite, poznavanjem jednostavnih pravila, rješavanje takvih primjera prilično je jednostavno. Ali što ako trebate izvesti radnju s razlomcima koji imaju različite nazivnike? Mnogi srednjoškolci su zbunjeni takvim primjerima. Ali čak i ovdje, ako znate princip rješenja, primjeri vam više neće biti teški. Ovdje također postoji pravilo bez kojeg je rješenje takvih frakcija jednostavno nemoguće.

Da biste oduzeli razlomke s različitim nazivnicima, morate ih svesti na isti najmanji nazivnik.



Razgovarat ćemo detaljnije o tome kako to učiniti.

Svojstvo razlomaka

Da biste nekoliko razlomaka sveli na isti nazivnik, potrebno je koristiti glavno svojstvo razlomka u rješenju: nakon dijeljenja ili množenja brojnika i nazivnika s istim brojem, dobivate razlomak jednak zadanom.

Tako, na primjer, razlomak 2/3 može imati nazivnike kao što su "6", "9", "12" itd., odnosno može izgledati kao bilo koji broj koji je višekratnik broja "3". Nakon što pomnožimo brojnik i nazivnik s "2", dobivamo razlomak 4/6. Nakon što pomnožimo brojnik i nazivnik izvornog razlomka s "3", dobivamo 6/9, a ako sličnu radnju izvedemo s brojem "4", dobivamo 8/12. U jednoj jednadžbi to se može napisati kao:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Kako više razlomaka dovesti na isti nazivnik

Razmotrite kako nekoliko razlomaka svesti na isti nazivnik. Na primjer, uzmite razlomke prikazane na slici ispod. Prvo morate odrediti koji broj može postati nazivnik za sve njih. Radi lakšeg rastavljanja dostupnih nazivnika na faktore.

Nazivnik razlomka 1/2 i razlomka 2/3 ne mogu se rastaviti na faktore. Nazivnik od 7/9 ima dva faktora 7/9 = 7/(3 x 3), nazivnik razlomka 5/6 = 5/(2 x 3). Sada trebate odrediti koji će faktori biti najmanji za sva ova četiri razlomka. Budući da prvi razlomak ima broj “2” u nazivniku, to znači da mora biti prisutan u svim nazivnicima, u razlomku 7/9 postoje dvije trojke, što znači da moraju biti prisutni i u nazivniku. S obzirom na gore navedeno, utvrđujemo da se nazivnik sastoji od tri faktora: 3, 2, 3 i jednak je 3 x 2 x 3 = 18.



Razmotrimo prvi razlomak - 1/2. Njegov nazivnik sadrži "2", ali ne postoji niti jedno "3", već bi trebalo biti dva. Da bismo to učinili, pomnožimo nazivnik s dvije trostruke, ali, prema svojstvu razlomka, moramo brojnik pomnožiti s dvije trostruke:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Slično, izvodimo radnje s preostalim frakcijama.

• 2/3 - u nazivniku nedostaje jedna tri i jedna dvojka:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 ili 7/(3 x 3) - nazivniku nedostaju dva:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 ili 5/(2 x 3) - nazivniku nedostaje trojka:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Sve zajedno izgleda ovako:



Kako oduzimati i zbrajati razlomke s različitim nazivnicima

Kao što je gore spomenuto, da bi se zbrajali ili oduzimali razlomci s različitim nazivnicima, moraju se svesti na isti nazivnik, a zatim koristiti pravila za oduzimanje razlomaka s istim nazivnikom, koja su već opisana.

Razmotrite ovo na primjeru: 4/18 - 3/15.

Pronalaženje višekratnika brojeva 18 i 15:

• Broj 18 sastoji se od 3 x 2 x 3.
• Broj 15 sastoji se od 5 x 3.
• Zajednički višekratnik sastojat će se od sljedećih faktora 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Nakon što se pronađe nazivnik, potrebno je izračunati faktor koji će biti različit za svaki razlomak, odnosno broj s kojim će biti potrebno pomnožiti ne samo nazivnik, već i brojnik. Da bismo to učinili, broj koji smo pronašli (zajednički višekratnik) podijelimo s nazivnikom razlomka za koji treba odrediti dodatne faktore.

• 90 podijeljeno s 15. Rezultirajući broj "6" bit će množitelj za 3/15.
• 90 podijeljeno s 18. Dobiveni broj "5" bit će množitelj za 4/18.

Sljedeći korak u našem rješenju je da svaki razlomak dovedemo do nazivnika "90".

Već smo razgovarali o tome kako se to radi. Pogledajmo kako je ovo napisano na primjeru:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Ako su razlomci s malim brojevima, tada možete odrediti zajednički nazivnik, kao u primjeru prikazanom na slici ispod.



Proizvedeno na sličan način i ima različite nazivnike.

Oduzimanje i imanje cjelobrojnih dijelova

Oduzimanje razlomaka i njihovo zbrajanje, već smo detaljno analizirali. Ali kako oduzeti ako razlomak ima cjelobrojni dio? Opet, upotrijebimo nekoliko pravila:

• Pretvori sve razlomke koji imaju cijeli dio u neprave. Jednostavnim riječima, uklonite cijeli dio. Da biste to učinili, broj cijelog dijela pomnožen je nazivnikom razlomka, dobiveni proizvod se dodaje brojniku. Broj koji će se dobiti nakon ovih radnji je brojnik nepravog razlomka. Nazivnik ostaje nepromijenjen.
• Ako razlomci imaju različite nazivnike, treba ih svesti na iste.
• Izvršite zbrajanje ili oduzimanje s istim nazivnicima.
• Pri primanju netočnog razlomka odaberite cijeli dio.



Postoji još jedan način na koji možete zbrajati i oduzimati razlomke s cjelobrojnim dijelovima. Za to se radnje izvode odvojeno s cijelim dijelovima, a posebno s razlomcima, a rezultati se bilježe zajedno.



Gornji primjer sastoji se od razlomaka koji imaju isti nazivnik. U slučaju da su nazivnici različiti, potrebno ih je svesti na iste, a zatim slijediti korake kao što je prikazano u primjeru.

Oduzimanje razlomaka od cijelog broja

Još jedna od varijanti radnji s razlomcima je slučaj kada se razlomak mora oduzeti od Na prvi pogled takav se primjer čini teško rješivim. Međutim, ovdje je sve vrlo jednostavno. Za njegovo rješavanje potrebno je cijeli broj pretvoriti u razlomak i to s takvim nazivnikom koji se nalazi u razlomku koji se oduzima. Zatim izvodimo oduzimanje slično oduzimanju s istim nazivnicima. Na primjer, to izgleda ovako:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Oduzimanje razlomaka navedeno u ovom članku (6. razred) osnova je za rješavanje složenijih primjera, koji se razmatraju u narednim razredima. Znanje iz ove teme koristi se naknadno za rješavanje funkcija, derivacija i sl. Stoga je vrlo važno razumjeti i razumjeti gore razmotrene radnje s razlomcima.

S razlomcima možete izvoditi razne radnje, na primjer zbrajanje razlomaka. Zbrajanje razlomaka može se podijeliti u nekoliko vrsta. Svaka vrsta zbrajanja razlomaka ima svoja pravila i algoritam djelovanja. Pogledajmo pobliže svaku vrstu dodavanja.

Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima.

Na primjer, pogledajmo kako zbrajati razlomke sa zajedničkim nazivnikom.

Planinari su išli na pješačenje od točke A do točke E. Prvog dana pješačili su od točke A do točke B, odnosno \(\frac(1)(5)\) cijelim putem. Drugog su dana išli od točke B do D ili \(\frac(2)(5)\) cijelim putem. Koliki su put prešli od početka puta do točke D?

Da biste pronašli udaljenost od točke A do točke D, zbrojite razlomke \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).

Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima znači da trebate zbrojiti brojnike tih razlomaka, a nazivnik će ostati isti.

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

U doslovnom obliku zbroj razlomaka s istim nazivnicima izgledat će ovako:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

Odgovor: turisti su putovali \(\frac(3)(5)\) cijelim putem.

Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima.

Razmotrite primjer:

Zbrojite dva razlomka \(\frac(3)(4)\) i \(\frac(2)(7)\).

Da biste zbrajali razlomke s različitim nazivnicima, prvo morate pronaći, a zatim upotrijebite pravilo za zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima.

Za nazivnike 4 i 7, zajednički nazivnik je 28. Prvi razlomak \(\frac(3)(4)\) mora se pomnožiti sa 7. Drugi razlomak \(\frac(2)(7)\) mora biti pomnoženo sa 4.

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ puta \boja(crvena) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

U doslovnom obliku dobivamo sljedeću formulu:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \puta d + c \puta b)(b \puta d)\)

Zbrajanje mješovitih brojeva ili mješovitih razlomaka.

Zbrajanje se događa prema zakonu zbrajanja.

Za mješovite razlomke, dodajte cijele dijelove cijelim dijelovima i razlomke dijelovima razlomaka.

Ako razlomci mješovitih brojeva imaju iste nazivnike, onda zbrojite brojnike, a nazivnik ostaje isti.

Zbrojite mješovite brojeve \(3\frac(6)(11)\) i \(1\frac(3)(11)\).

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\boja(crvena) (3) + \boja(plava) (\frac(6)(11))) + ( \boja(crvena) (1) + \boja(plava) (\frac(3)(11))) = (\boja(crvena) (3) + \boja(crvena) (1)) + (\boja( plava) (\frac(6)(11)) + \boja(plava) (\frac(3)(11))) = \boja(crvena)(4) + (\boja(plava) (\frac(6) + 3)(11))) = \boja(crvena)(4) + \boja(plava) (\frac(9)(11)) = \boja(crvena)(4) \boja(plava) (\frac (9)(11))\)

Ako razlomci mješovitih brojeva imaju različite nazivnike, tada nalazimo zajednički nazivnik.

Zbrojimo mješovite brojeve \(7\frac(1)(8)\) i \(2\frac(1)(6)\).

Nazivnik je različit, pa morate pronaći zajednički nazivnik, on je jednak 24. Pomnožite prvi razlomak \(7\frac(1)(8)\) s dodatnim faktorom 3, a drugi razlomak \( 2\frac(1)(6)\) na 4.

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1 \times \color(red) (4))(6 \times \color(red) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)

Povezana pitanja:
Kako zbrajati razlomke?
Odgovor: prvo morate odlučiti kojoj vrsti pripada izraz: razlomci imaju iste nazivnike, različite nazivnike ili mješovite razlomke. Ovisno o vrsti izraza, prelazimo na algoritam rješenja.

Kako riješiti razlomke s različitim nazivnicima?
Odgovor: potrebno je pronaći zajednički nazivnik, a zatim slijediti pravilo zbrajanja razlomaka s istim nazivnicima.

Kako riješiti mješovite razlomke?
Odgovor: Zbrojite cijele dijelove cijelim brojevima i razlomljene dijelove razlomljenim dijelovima.

Primjer #1:
Može li zbroj dva rezultirati pravilnim razlomkom? Pogrešan razlomak? Navedite primjere.

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

Razlomak \(\frac(5)(7)\) je pravi razlomak, rezultat je zbroja dvaju pravih razlomaka \(\frac(2)(7)\) i \(\frac(3) (7)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \puta 9 + 8 \puta 5)(5 \puta 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)

Razlomak \(\frac(58)(45)\) je nepravi razlomak, rezultat je zbroja pravih razlomaka \(\frac(2)(5)\) i \(\frac(8) (9)\).

Odgovor: Odgovor je da na oba pitanja.

Primjer #2:
Zbrojite razlomke: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\).

a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

Primjer #3:
Napiši mješoviti razlomak kao zbroj prirodnog broja i pravilnog razlomka: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

Primjer #4:
Izračunajte zbroj: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(13) \)

c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2 \puta 3)(5 \puta 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)

Zadatak #1:
Za večerom su pojeli \(\frac(8)(11)\) kolača, a navečer za večerom pojeli su \(\frac(3)(11)\). Mislite li da je kolač u potpunosti pojeden ili ne?

Riješenje:
Nazivnik razlomka je 11, on označava na koliko je dijelova kolač podijeljen. Za ručkom smo pojeli 8 komada kolača od 11. Za večerom smo pojeli 3 komada kolača od 11. Zbrojimo 8 + 3 = 11, pojeli smo komade kolača od 11, odnosno cijelu tortu.

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

Odgovor: Pojeli su cijelu tortu.

Razmotrimo razlomak $\frac63$. Njegova vrijednost je 2, budući da je $\frac63 =6:3 = 2$. Što se događa ako se brojnik i nazivnik pomnože s 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Očito, vrijednost razlomka se nije promijenila, pa je $\frac(12)(6)$ također jednako 2 kao y. pomnožite brojnik i nazivnik za 3 i dobiti $\frac(18)(9)$, ili za 27 i dobiti $\frac(162)(81)$ ili za 101 i dobiti $\frac(606)(303)$. U svakom od ovih slučajeva vrijednost razlomka koju dobijemo dijeljenjem brojnika s nazivnikom je 2. To znači da se nije promijenio.

Isti se obrazac opaža u slučaju drugih frakcija. Ako se brojnik i nazivnik razlomka $\frac(120)(60)$ (jednak 2) podijeli s 2 (rezultat od $\frac(60)(30)$) ili s 3 (rezultat od $\ frac(40)(20) $), ili za 4 (rezultat $\frac(30)(15)$) i tako dalje, tada u svakom slučaju vrijednost razlomka ostaje nepromijenjena i jednaka 2.

Ovo pravilo vrijedi i za razlomke koji nisu jednaki. cijeli broj.

Ako se brojnik i nazivnik razlomka $\frac(1)(3)$ pomnože s 2, dobiva se $\frac(2)(6)$, odnosno vrijednost razlomka se nije promijenila. I zapravo, ako kolač podijelite na 3 dijela i uzmete jedan od njih, ili ga podijelite na 6 dijelova i uzmete 2 dijela, dobit ćete u oba slučaja istu količinu pite. Dakle, brojevi $\frac(1)(3)$ i $\frac(2)(6)$ su identični. Formulirajmo opće pravilo.

Brojnik i nazivnik bilo kojeg razlomka mogu se pomnožiti ili podijeliti istim brojem, a vrijednost razlomka se ne mijenja.

Ovo je pravilo vrlo korisno. Na primjer, u nekim slučajevima, ali ne uvijek, omogućuje izbjegavanje operacija s velikim brojevima.

Na primjer, možemo podijeliti brojnik i nazivnik razlomka $\frac(126)(189)$ sa 63 i dobiti razlomak $\frac(2)(3)$ koji je puno lakše izračunati. Još jedan primjer. Brojnik i nazivnik razlomka $\frac(155)(31)$ možemo podijeliti s 31 i dobiti razlomak $\frac(5)(1)$ ili 5, budući da je 5:1=5.

U ovom primjeru prvi put smo se susreli razlomak čiji je nazivnik 1. Takvi razlomci igraju važnu ulogu u izračunima. Treba imati na umu da se bilo koji broj može podijeliti s 1 i da se njegova vrijednost neće promijeniti. Odnosno, $\frac(273)(1)$ je jednako 273; $\frac(509993)(1)$ jednako je 509993 i tako dalje. Dakle, brojeve ne moramo dijeliti s jer se svaki cijeli broj može prikazati kao razlomak s nazivnikom 1.

S takvim razlomcima, čiji je nazivnik jednak 1, možete izvoditi iste aritmetičke operacije kao sa svim ostalim razlomcima: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

Možete pitati koja je korist od predstavljanja cijelog broja kao razlomka, koji će imati jedinicu ispod crte, jer je prikladnije raditi s cijelim brojem. Ali činjenica je da nam predstavljanje cijelog broja kao razlomka daje priliku da učinkovitije izvodimo različite radnje kada se istovremeno bavimo i cijelim i razlomcima. Na primjer, učiti zbrajati razlomke s različitim nazivnicima. Pretpostavimo da trebamo zbrojiti $\frac(1)(3)$ i $\frac(1)(5)$.

Znamo da možete zbrajati samo razlomke čiji su nazivnici jednaki. Dakle, moramo naučiti kako razlomke dovesti do takvog oblika kada su im nazivnici jednaki. U ovom slučaju, opet nam je potrebna činjenica da možete pomnožiti brojnik i nazivnik razlomka s istim brojem bez promjene njegove vrijednosti.

Prvo pomnožimo brojnik i nazivnik razlomka $\frac(1)(3)$ s 5. Dobivamo $\frac(5)(15)$, vrijednost razlomka se nije promijenila. Zatim pomnožimo brojnik i nazivnik razlomka $\frac(1)(5)$ s 3. Dobivamo $\frac(3)(15)$, opet se vrijednost razlomka nije promijenila. Prema tome, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Pokušajmo sada primijeniti ovaj sustav na zbrajanje brojeva koji sadrže i cijele i razlomke.

Trebamo dodati $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Prvo pretvaramo sve članove u razlomke i dobivamo: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Sada sve razlomke trebamo dovesti na zajednički nazivnik, za to množimo brojnik i nazivnik prvog razlomka s 12, drugog s 4, a trećeg s 3. Kao rezultat toga, dobivamo $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, što je jednako $\frac(55)(12)$. Ako se želite riješiti nepravi razlomak, može se pretvoriti u broj koji se sastoji od cijelog i razlomka: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ ili $4\frac( 7)( 12)$.

Sva pravila koja dopuštaju operacije s razlomcima, koje smo upravo proučavali, vrijede i u slučaju negativnih brojeva. Dakle, -1: 3 može se napisati kao $\frac(-1)(3)$, a 1: (-3) kao $\frac(1)(-3)$.

Budući da i dijeljenje negativnog broja s pozitivnim brojem i dijeljenje pozitivnog broja s negativnim rezultiraju negativnim brojevima, u oba ćemo slučaja dobiti odgovor u obliku negativnog broja. To je

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ ili $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Znak minus kada se piše na ovaj način odnosi se na cijeli razlomak kao cjelinu, a ne zasebno na brojnik ili nazivnik.

S druge strane, (-1) : (-3) može se napisati kao $\frac(-1)(-3)$, a budući da dijeljenje negativnog broja negativnim brojem daje pozitivan broj, tada $\frac (-1 )(-3)$ može se napisati kao $+\frac(1)(3)$.

Zbrajanje i oduzimanje negativnih razlomaka provodi se na isti način kao i zbrajanje i oduzimanje pozitivnih razlomaka. Na primjer, koliko je $1- 1\frac13$? Predstavimo oba broja kao razlomke i dobijemo $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Svedimo razlomke na zajednički nazivnik i dobijemo $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, tj. $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$ ili $-\frac(1)(3)$.

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima
Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima
Pojam NOO-a
Dovođenje razlomaka na isti nazivnik
Kako zbrojiti cijeli broj i razlomak

1 Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima

Za zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima potrebno je zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti isti, na primjer:

Da biste oduzeli razlomke s istim nazivnicima, oduzmite brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka i ostavite nazivnik istim, na primjer:

Da biste zbrojili mješovite razlomke, morate posebno zbrojiti njihove cijele dijelove, a zatim zbrojiti njihove razlomke i rezultat napisati kao mješoviti razlomak,

Ako se pri zbrajanju razlomačkih dijelova dobije nepravi razlomak, iz njega izdvajamo cijeli dio i pribrajamo ga cijelom dijelu, npr.

2 Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Da biste zbrajali ili oduzimali razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate dovesti na isti nazivnik, a zatim postupiti kako je navedeno na početku ovog članka. Zajednički nazivnik nekoliko razlomaka je LCM (najmanji zajednički višekratnik). Za brojnik svakog od razlomaka, dodatni faktori se nalaze dijeljenjem LCM-a s nazivnikom tog razlomka. Kasnije ćemo pogledati primjer, nakon što shvatimo što je LCM.

3 Najmanji zajednički višekratnik (LCM)

Najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva (NZM) je najmanji prirodni broj koji je djeljiv s oba ova broja bez ostatka. Ponekad se LCM može pronaći usmeno, ali češće, posebno kada radite s velikim brojevima, morate pronaći LCM u pisanom obliku, koristeći sljedeći algoritam:

Da biste pronašli LCM nekoliko brojeva, potrebno vam je:

1. Rastavite ove brojeve na proste faktore
2. Uzmite najveće proširenje i zapišite ove brojeve kao umnožak
3. Odaberite u drugim proširenjima brojeve koji se ne pojavljuju u najvećem proširenju (ili se u njemu pojavljuju manji broj puta) i dodajte ih umnošku.
4. Pomnožite sve brojeve u umnošku, to će biti LCM.

Na primjer, pronađimo LCM brojeva 28 i 21:

4Svođenje razlomaka na isti nazivnik

Vratimo se zbrajanju razlomaka s različitim nazivnicima.

Kada razlomke svedemo na isti nazivnik, jednak LCM obaju nazivnika, moramo brojnike tih razlomaka pomnožiti s dodatni množitelji. Možete ih pronaći dijeljenjem LCM-a s nazivnikom odgovarajućeg razlomka, na primjer:

Dakle, da biste razlomke doveli do jednog pokazatelja, prvo morate pronaći LCM (to jest, najmanji broj koji je djeljiv s oba nazivnika) nazivnika tih razlomaka, a zatim staviti dodatne faktore na brojnike razlomaka. Možete ih pronaći tako da zajednički nazivnik (LCD) podijelite s nazivnikom odgovarajućeg razlomka. Zatim trebate pomnožiti brojnik svakog razlomka s dodatnim faktorom i staviti LCM kao nazivnik.

5Kako zbrojiti cijeli broj i razlomak

Da biste zbrojili cijeli broj i razlomak, samo trebate dodati ovaj broj ispred razlomka i dobit ćete npr. mješoviti razlomak.