Koje vrijednosti može poprimiti kontinuirana slučajna varijabla? Numeričke karakteristike kontinuirane slučajne varijable

Funkcija distribucije nasumična varijabla x nazvana funkcija F(x), izražavajući za svaki x vjerojatnost da slučajna varijabla xće imati vrijednost manju od x:
.

Funkcija F(x) ponekad se naziva funkcija integralne distribucije, ili integralni zakon raspodjele.

Slučajna vrijednost x nazvao stalan, ako je njegova distribucijska funkcija kontinuirana u bilo kojoj točki i diferencijabilna posvuda, osim, možda, u pojedinačnim točkama.

Primjeri kontinuirane slučajne varijable: promjer dijela koji tokar okreće na zadanu veličinu, visina osobe, domet leta projektila itd.

Teorema. Vjerojatnost bilo koje pojedinačne vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je nula

Posljedica. Ako x je kontinuirana slučajna varijabla, tada je vjerojatnost da slučajna varijabla padne u interval
ne ovisi o tome je li taj interval otvoren ili zatvoren, tj.

Ako je kontinuirana slučajna varijabla x može uzeti samo vrijednosti između A prije b(Gdje A I b- neke konstante), tada je njegova funkcija raspodjele jednaka nuli za sve vrijednosti
i jedinica za vrijednosti
.

Za kontinuiranu slučajnu varijablu

Sva svojstva funkcija distribucije diskretnih slučajnih varijabli zadovoljena su i za funkcije distribucije kontinuiranih slučajnih varijabli.

Određivanje kontinuirane slučajne varijable pomoću funkcije distribucije nije jedini način.

Gustoća vjerojatnosti (gustoća distribucije ili gustoća) R(x) kontinuirana slučajna varijabla x naziva se derivacija njegove funkcije distribucije

Gustoća vjerojatnosti R(x), kao i funkcija raspodjele F(x), jedan je od oblika zakona raspodjele, ali za razliku od funkcije raspodjele postoji samo za stalan slučajne varijable.

Ponekad se naziva gustoća vjerojatnosti diferencijalna funkcija, ili diferencijalni zakon raspodjele.

Graf gustoće vjerojatnosti naziva se krivulja distribucije.

Svojstva gustoća vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable:

Riža. 8.1

Riža. 8.2

4.
.

Geometrijski, svojstva gustoće vjerojatnosti znače da njezin grafikon - krivulja distribucije - ne leži ispod osi apscise, a ukupna površina figure ograničene krivuljom distribucije i osi apscise jednaka je jedinici.

Primjer 8.1. Minutna kazaljka električnog sata vrti se skokovito svake minute. Bacio si pogled na sat. Oni se pokazuju A minuta. Tada će za vas pravo vrijeme u danom trenutku biti slučajna varijabla. Pronađite njegovu funkciju distribucije.

Riješenje. Očito je da je stvarna funkcija distribucije vremena jednaka 0 za sve
i jedinica za
. Vrijeme teče ravnomjerno. Stoga je vjerojatnost da je pravo vrijeme manja A+ 0,5 min, jednako 0,5, jer je jednako vjerojatno da li je prošlo nakon A manje ili više od pola minute. Vjerojatnost da je pravo vrijeme manja A+ 0,25 min, jednako 0,25 (vjerojatnost ovog vremena je tri puta manja od vjerojatnosti da je pravo vrijeme veće A+ 0,25 min, a njihov zbroj jednak je jedan, kao zbroj vjerojatnosti suprotnih događaja). Slično razmišljajući, nalazimo da je vjerojatnost da je pravo vrijeme manja A+ 0,6 min, jednako 0,6. Općenito, vjerojatnost da je pravo vrijeme manja A + + α min
, je jednako α . Stoga, prava funkcija distribucije vremena ima sljedeći izraz:

OKO on je neprekidan posvuda, a njegova derivacija je neprekidna u svim točkama, osim u dvije: x = a I x = a+ 1. Graf ove funkcije izgleda ovako (Sl. 8.3):

Riža. 8.3

Primjer 8.2. Je li funkcija distribucije neke slučajne varijable funkcija

Riješenje.

Sve vrijednosti ove funkcije pripadaju segmentu
, tj.
. Funkcija F(x) je neopadajuća: u intervalu
ona je konstantna, jednaka nuli, u intervalu
povećava se između
je također konstantna, jednaka jedinici (vidi sliku 8.4). Funkcija je kontinuirana u svakoj točki x 0 područje njegove definicije - interval
, stoga je kontinuirana s lijeve strane, tj. jednakost vrijedi

,
.

Također vrijede jednakosti:

,
.

Prema tome, funkcija
zadovoljava sva svojstva karakteristična za funkciju raspodjele. Dakle, ova funkcija
je funkcija distribucije neke slučajne varijable x.

Primjer 8.3. Je li funkcija distribucije neke slučajne varijable funkcija

Riješenje. Ova funkcija nije funkcija distribucije slučajne varijable, budući da opada tijekom vremena i nije kontinuirana. Grafikon funkcije prikazan je na sl. 8.5.

Riža. 8.5

Primjer 8.4. Slučajna vrijednost x dana funkcijom raspodjele

Pronađite koeficijent A i gustoću vjerojatnosti slučajne varijable x. Odredite vjerojatnost nejednakosti
.

Riješenje. Gustoća distribucije jednaka je prvoj derivaciji funkcije distribucije

Koeficijent A definiramo pomoću jednakosti

Isti se rezultat može dobiti korištenjem kontinuiteta funkcije
u točki

,
.

Stoga,
.

Stoga gustoća vjerojatnosti ima oblik

Vjerojatnost
pogoci slučajne varijable x u određenom razdoblju izračunava se formulom

Primjer 8.5. Slučajna vrijednost x ima gustoću vjerojatnosti (Cauchyjev zakon)

Pronađite koeficijent A i vjerojatnost da slučajna varijabla xće uzeti neku vrijednost iz intervala
. Pronađite funkciju distribucije ove slučajne varijable.

Riješenje. Nađimo koeficijent A od jednakosti

Stoga,
.

Tako,
.

Vjerojatnost da slučajna varijabla xće uzeti neku vrijednost iz intervala
, je jednako

Nađimo funkciju distribucije ove slučajne varijable

P Primjer 8.6. Grafik gustoće vjerojatnosti slučajne varijable x prikazano na sl. 8.6 (Simpsonov zakon). Napišite izraz za gustoću vjerojatnosti i funkciju distribucije ove slučajne varijable.

Riža. 8.6

Riješenje. Pomoću grafa zapisujemo analitički izraz za gustoću distribucije vjerojatnosti zadane slučajne varijable

Nađimo funkciju distribucije.

Ako
, To
.

Ako
, To .

Ako
, To

Stoga funkcija raspodjele ima oblik

Vježba 1. Gustoća distribucije kontinuirane slučajne varijable X ima oblik:
Pronaći:
a) parametar A;
b) funkcija distribucije F(x) ;
c) vjerojatnost da slučajna varijabla X padne u interval;
d) matematičko očekivanje MX i varijanca DX.
Nacrtajte graf funkcija f(x) i F(x).

Zadatak 2. Pronađite varijancu slučajne varijable X zadane integralnom funkcijom.

Zadatak 3. Nađite matematičko očekivanje slučajne varijable X zadane funkcije distribucije.

Zadatak 4. Gustoća vjerojatnosti neke slučajne varijable dana je na sljedeći način: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Odredite koeficijent A, funkciju distribucije F(x), matematičko očekivanje i varijancu te vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost u intervalu. Nacrtajte grafove f(x) i F(x).

Zadatak. Funkcija distribucije neke kontinuirane slučajne varijable dana je na sljedeći način:

Odredite parametre a i b, pronađite izraz za gustoću vjerojatnosti f(x), matematičko očekivanje i varijancu, kao i vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost u intervalu. Nacrtajte grafove f(x) i F(x).

Nađimo funkciju gustoće distribucije kao derivaciju funkcije distribucije.
F'=f(x)=a
Znajući da ćemo pronaći parametar a:

ili 3a=1, odakle je a = 1/3
Parametar b nalazimo iz sljedećih svojstava:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 odakle je b = -1/3
Stoga funkcija distribucije ima oblik: F(x) = (x-1)/3

Očekivana vrijednost.

Disperzija.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Nađimo vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost u intervalu
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Primjer br. 1. Dana je gustoća distribucije vjerojatnosti f(x) kontinuirane slučajne varijable X. Potreban:

Odredite koeficijent A.
pronaći funkciju raspodjele F(x) .
Shematski konstruirajte grafove F(x) i f(x).
pronaći matematičko očekivanje i varijancu X.
pronaći vjerojatnost da će X uzeti vrijednost iz intervala (2;3).

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Riješenje:

Slučajna varijabla X određena je gustoćom distribucije f(x):

Nađimo parametar A iz uvjeta:

ili
14/3*A-1 = 0
Gdje,
A = 3/14

Funkcija raspodjele može se pronaći pomoću formule.

Kontinuirane slučajne varijable imaju beskonačan broj mogućih vrijednosti. Stoga je za njih nemoguće uvesti distribucijsku seriju.

Umjesto vjerojatnosti da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost jednaku x, tj. p(X = x), razmotrite vjerojatnost da će X uzeti vrijednost manju od x, tj. P(X< х).

Uvedimo novu karakteristiku slučajnih varijabli - funkciju distribucije i razmotrimo njezina svojstva.

Funkcija distribucije je najuniverzalnija karakteristika slučajne varijable. Može se definirati i za diskretne i za kontinuirane slučajne varijable:

F(x) = p(X< x).

Svojstva funkcije distribucije.

Funkcija distribucije je neopadajuća funkcija svog argumenta, tj. Ako:

Na minus beskonačnosti, funkcija distribucije je nula:

Na plus beskonačno, funkcija distribucije je jednaka jedan:

Vjerojatnost da slučajna varijabla padne unutar zadanog intervala određena je formulom:

Funkcija f(x), jednaka derivaciji funkcije distribucije, naziva se gustoća vjerojatnosti slučajne varijable X ili gustoća distribucije:

Izrazimo vjerojatnost dolaska u dionicu b do c kroz f(x). Jednak je zbroju elemenata vjerojatnosti u ovom odjeljku, tj. sastavni:

Odavde možemo izraziti funkciju distribucije u smislu gustoće vjerojatnosti:

Svojstva gustoće vjerojatnosti.

Gustoća vjerojatnosti je nenegativna funkcija (budući da je funkcija distribucije neopadajuća funkcija):

Gustoća vjerojatno

nost je kontinuirana funkcija.

Beskonačni integral gustoće vjerojatnosti jednak je 1:

Gustoća vjerojatnosti ima dimenziju slučajne varijable.

Očekivanje i varijanca kontinuirane slučajne varijable

Značenje matematičkog očekivanja i varijance ostaje isto kao iu slučaju diskretnih slučajnih varijabli. Vrsta formula za njihovo pronalaženje mijenja se zamjenom:

Tada dobivamo formule za izračun matematičkog očekivanja i varijance kontinuirane slučajne varijable:

Primjer. Funkcija raspodjele kontinuirane slučajne varijable dana je izrazom:

Odredite vrijednost a, gustoću vjerojatnosti, vjerojatnost pogađanja mjesta (0,25-0,5), matematičko očekivanje i disperziju.

Kako je funkcija raspodjele F(x) kontinuirana, onda je pri x = 1 ax2 = 1, dakle a = 1.

Gustoća vjerojatnosti nalazi se kao derivacija funkcije distribucije:

Izračunavanje vjerojatnosti pogotka zadanog područja može se napraviti na dva načina: korištenjem funkcije distribucije i korištenjem gustoće vjerojatnosti.

1. metoda. Koristimo formulu za pronalaženje vjerojatnosti preko funkcije distribucije:
2. metoda. Koristimo formulu za pronalaženje vjerojatnosti kroz gustoću vjerojatnosti:

Nalazimo matematičko očekivanje:

Pronalaženje varijance:

Jednolika raspodjela

Razmotrimo kontinuiranu slučajnu varijablu X, čije moguće vrijednosti leže u određenom intervalu i jednako su vjerojatne.

Gustoća vjerojatnosti takve slučajne varijable imat će oblik:

gdje je c neka konstanta.

Grafikon gustoće vjerojatnosti izgledat će ovako:

Izrazimo parametar c u terminima b i c. Da bismo to učinili, koristimo se činjenicom da integral gustoće vjerojatnosti preko cijele regije mora biti jednak 1:

Gustoća distribucije jednoliko raspodijeljene slučajne varijable

Nađimo funkciju distribucije:

Funkcija distribucije jednoliko raspodijeljene slučajne varijable

Nacrtajmo funkciju distribucije:

Izračunajmo matematičko očekivanje i varijancu slučajne varijable podložne uniformnoj distribuciji.

Tada će standardna devijacija izgledati ovako:

Normalna (Gaussova) distribucija

Kontinuirana slučajna varijabla X naziva se normalno raspodijeljenom s parametrima a, y > 0 ako ima gustoću vjerojatnosti:

Krivulja distribucije slučajne varijable ima oblik:

Test 2

Zadatak 1. Napravite zakon distribucije za diskretnu slučajnu varijablu X, izračunajte matematičko očekivanje, disperziju i standardnu devijaciju slučajne varijable.

opcija 1

Odjel kontrole kvalitete provjerava standardnost proizvoda. Vjerojatnost da je proizvod standardan je 0,7. 20 testiranih proizvoda. Naći zakon raspodjele slučajne varijable X - broja standardnih proizvoda među ispitivanim. Izračunajte matematičko očekivanje, varijancu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

opcija 2

U urni su 4 kugle, koje označavaju točke 2; 4; 5; 5. Nasumično se izvlači kuglica. Naći zakon raspodjele slučajne varijable X – broj točaka na njoj. Izračunajte matematičko očekivanje, varijancu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 3

Lovac puca na divljač dok ne pogodi, ali ne smije ispaliti više od tri hica. Vjerojatnost pogađanja svakog udarca je 0,6. Nacrtajte zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj ispaljenih hitaca strijelca. Izračunajte matematičko očekivanje, varijancu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 4

Vjerojatnost prekoračenja navedene točnosti tijekom mjerenja je 0,4. Napravite zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj pogrešaka u 10 mjerenja. Izračunajte matematičko očekivanje, varijancu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 5

Vjerojatnost pogotka mete jednim hicem je 0,45. Ispaljeno 20 hitaca. Nacrtajte zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj pogodaka. Izračunajte matematičko očekivanje, varijancu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 6

Proizvodi neke biljke sadrže 5% nedostataka. Nacrtajte zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj neispravnih proizvoda među pet uzetih za sreću. Izračunajte matematičko očekivanje, varijancu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 7

Dijelovi potrebni sastavljaču nalaze se u tri od pet kutija. Sastavljač otvara kutije dok ne pronađe dijelove koji su mu potrebni. Nacrtajte zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj otvorenih kutija. Izračunajte matematičko očekivanje, varijancu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 8

U urni su 3 crne i 2 bijele kugle. Kuglice se uklanjaju uzastopno bez vraćanja dok se ne pojavi crna boja. Nacrtajte zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj izvučenih kuglica. Izračunajte matematičko očekivanje, varijancu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 9

Učenik zna 15 pitanja od 20. Na listiću su 3 pitanja. Napravite zakon raspodjele slučajne varijable X - broja pitanja koja su učeniku poznata na listiću. Izračunajte matematičko očekivanje, varijancu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Opcija 10

Postoje 3 žarulje od kojih svaka ima kvar s vjerojatnošću 0,4. Kada se uključi, neispravna žarulja pregori i zamijeni je druga. Nacrtajte zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj ispitanih žarulja. Izračunajte matematičko očekivanje, varijancu i standardnu devijaciju slučajne varijable.

Zadatak 2. Slučajna varijabla X određena je funkcijom distribucije F(X). Nađite gustoću distribucije, matematičko očekivanje, disperziju, kao i vjerojatnost da slučajna varijabla padne u interval (b, c). Nacrtajte grafove funkcija F(X) i f(X).

opcija 1

opcija 2

Opcija 3

Opcija 4

Opcija 5

Opcija 6

Opcija 7

Opcija 8

Opcija 9

Opcija 10

Pitanja za ispit

Klasična definicija vjerojatnosti.

Elementi kombinatorike. Smještaj. Primjeri.

Elementi kombinatorike. Preuređenje. Primjeri.

Elementi kombinatorike. Kombinacije. Primjeri.

Teorem o sumi vjerojatnosti.

Teorem množenja vjerojatnosti.

Operacije nad događajima.

Formula ukupne vjerojatnosti.

Bayesova formula.

Ponavljanje testova. Bernoullijeva formula.

Diskretne slučajne varijable. Serije distribucije. Primjer.

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable.

Disperzija diskretne slučajne varijable.

Binomna distribucija slučajne varijable.

Poissonova distribucija.

Distribucija prema zakonu geometrijske progresije.

Kontinuirane slučajne varijable. Funkcija raspodjele i njezina svojstva.

Gustoća vjerojatnosti i njezina svojstva.

Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable.

Varijanca kontinuirane slučajne varijable.

Jednolika distribucija kontinuirane slučajne varijable.

Zakon normalne distribucije.

Za razliku od diskretne slučajne varijable, kontinuiranu slučajnu varijablu nije moguće specificirati u obliku tablice njezinog zakona raspodjele jer je nemoguće navesti i ispisati sve njezine vrijednosti u određenom nizu. Jedan od mogućih načina za određivanje kontinuirane slučajne varijable je korištenje funkcije distribucije.

DEFINICIJA. Funkcija distribucije je funkcija koja određuje vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost koja je na brojčanoj osi predstavljena točkom koja leži lijevo od točke x, tj.

Ponekad se umjesto izraza “Funkcija distribucije” koristi izraz “Integralna funkcija”.

Svojstva funkcije distribucije:

1. Vrijednosti funkcije raspodjele pripadaju segmentu: 0F(x)1
2. F(x) je neopadajuća funkcija, tj. F(x 2)F(x 1), ako je x 2 >x 1

Korolar 1. Vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost sadržanu u intervalu (a,b) jednaka je prirastu funkcije distribucije na tom intervalu:

P(aX

Primjer 9. Slučajna varijabla X dana je funkcijom distribucije:

Odredite vjerojatnost da će X kao rezultat testa poprimiti vrijednost koja pripada intervalu (0;2): P(0

Rješenje: Budući da je na intervalu (0;2) prema uvjetu, F(x)=x/4+1/4, tada je F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Dakle, P(0

Korolar 2. Vjerojatnost da će kontinuirana slučajna varijabla X poprimiti jednu određenu vrijednost je nula.

Korolar 3. Ako moguće vrijednosti slučajne varijable pripadaju intervalu (a;b), tada je: 1) F(x)=0 za xa; 2) F(x)=1 na xb.
Vrijede sljedeće granične relacije:

Graf funkcije distribucije nalazi se u pojasu ograničenom ravnim linijama y=0, y=1 (prvo svojstvo). Kako x raste u intervalu (a;b), koji sadrži sve moguće vrijednosti slučajne varijable, graf se “diže”. Na xa, ordinate grafa su jednake nuli; na xb su ordinate grafa jednake jedan:

Slika 1

Primjer 10. Diskretna slučajna varijabla X dana je tablicom distribucije:

x	1	4	8
P	0.3	0.1	0.6

Pronađite funkciju distribucije i nacrtajte je.
Rješenje: Funkcija distribucije može se analitički napisati na sljedeći način:

Slika-2

DEFINICIJA: Gustoća distribucije vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable X je funkcija f(x) - prva derivacija funkcije distribucije F(x): f(x)=F"(x)

Iz ove definicije slijedi da je funkcija distribucije antiderivacija gustoće distribucije.

Teorema. Vjerojatnost da će kontinuirana slučajna varijabla X poprimiti vrijednost koja pripada intervalu (a;b) jednaka je određenom integralu gustoće distribucije, uzetom u rasponu od a do b:

(8)

Svojstva distribucije gustoće vjerojatnosti:

1. Gustoća vjerojatnosti je nenegativna funkcija: f(x)0.
2. Određeni integral od -∞ do +∞ gustoće vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable jednak je 1: f(x)dx=1.
3. Određeni integral od -∞ do x gustoće vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable jednak je funkciji distribucije ove varijable: f(x)dx=F(x)

Primjer 11. Zadana je gustoća distribucije vjerojatnosti slučajne varijable X

Odredite vjerojatnost da će kao rezultat testa X poprimiti vrijednost koja pripada intervalu (0,5;1).

Rješenje: Tražena vjerojatnost:

Proširimo definiciju numeričkih karakteristika diskretnih veličina na kontinuirane veličine. Neka je kontinuirana slučajna varijabla X određena gustoćom distribucije f(x).

DEFINICIJA. Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable X, čije moguće vrijednosti pripadaju segmentu, naziva se određeni integral:

M(x)=xf(x)dx (9)

Ako moguće vrijednosti pripadaju cijeloj Ox osi, tada:

M(x)=xf(x)dx (10)

Mod M 0 (X) kontinuirane slučajne varijable X je njezina moguća vrijednost kojoj odgovara lokalni maksimum gustoće distribucije.

Medijan M e (X) kontinuirane slučajne varijable X je njezina moguća vrijednost, koja je određena jednakošću:

P(X e (X))=P(X>M e (X))

DEFINICIJA. Varijanca kontinuirane slučajne varijable je matematičko očekivanje kvadrata njezinog odstupanja. Ako moguće vrijednosti X pripadaju segmentu, tada:

D(x)= 2 f(x)dx (11)
ili
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

Ako moguće vrijednosti pripadaju cijeloj x-osi, tada.

Po svojoj fizičkoj prirodi slučajne varijable mogu biti determinističke i slučajne.

Slučajna varijabla naziva se diskretnom, čije se pojedinačne vrijednosti mogu prenumerirati (broj proizvoda, broj dijelova - neispravnih i dobrih itd.).

Slučajna varijabla naziva se kontinuiranom, čije moguće vrijednosti ispunjavaju određenu prazninu (odstupanje veličine proizvedenog dijela od nominalne vrijednosti, pogreška mjerenja, odstupanje oblika dijela, visina mikronepravilnosti itd. .).

Slučajnu varijablu ne može karakterizirati niti jedna vrijednost. Za to je potrebno naznačiti skup mogućih vrijednosti i vjerojatnostnih karakteristika navedenih na ovom skupu.

Ako je slučajni događaj izražen brojem, možemo govoriti o slučajnoj varijabli. Slučajno nazivaju veličinu koja će kao rezultat ispitivanja poprimiti jednu moguću vrijednost, unaprijed nepoznatu i ovisnu o slučajnim razlozima koji se ne mogu unaprijed uzeti u obzir.

Gubitak neke vrijednosti slučajne varijable x ovo je slučajan događaj: X = xi. Među slučajnim varijablama razlikuju se diskretne i kontinuirane slučajne varijable.

Diskretna slučajna varijabla je slučajna varijabla koja kao rezultat testiranja poprima pojedinačne vrijednosti s određenim vjerojatnostima. Broj mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable može biti konačan ili beskonačan. Primjeri diskretne slučajne varijable: bilježenje očitanja brzinomjera ili izmjerene temperature u određenim točkama u vremenu.

Kontinuirana slučajna varijabla je slučajna varijabla koja kao rezultat testiranja poprima sve vrijednosti iz određenog numeričkog intervala. Broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačan. Primjer kontinuirane slučajne varijable: mjerenje brzine kretanja bilo koje vrste prijevoza ili temperature tijekom određenog vremenskog intervala.

Svaka slučajna varijabla ima svoj zakon distribucije vjerojatnosti i vlastitu funkciju distribucije vjerojatnosti. Prije definiranja funkcije distribucije, razmotrimo varijable koje je definiraju. Neka malo x je realan broj i dobije se slučajna varijabla x, pri čemu x > X. Potrebno je odrediti vjerojatnost da slučajna varijabla x bit će manji od ove fiksne vrijednosti x.

Funkcija distribucije slučajne varijable x nazvana funkcija F(x), koji određuje vjerojatnost da će slučajna varijabla X kao rezultat testa poprimiti vrijednost manju od vrijednosti x, to jest:

Slučajna varijabla je karakterizirana u teoriji vjerojatnosti zakon njegove raspodjele . Ovaj zakon uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti slučajne varijable i vjerojatnosti njihovog pojavljivanja koje odgovaraju tim vrijednostima. Postoje dva oblika opisa zakona distribucije slučajne varijable - diferencijal i integral . Štoviše, u mjeriteljstvu se uglavnom koristi diferencijalni oblik - zakon raspodjele gustoće vjerojatnosti nasumična varijabla.

Diferencijalni zakon raspodjele okarakteriziran gustoća distribucije vjerojatnosti f(x) nasumična varijabla x. Vjerojatnost R slučajna varijabla koja pada u interval od x 1 prije x 2 dano formulom:

Grafički, ta je vjerojatnost omjer površine ispod krivulje f(x) u rasponu od x 1 do x 2 prema ukupnoj površini ograničenoj cijelom krivuljom distribucije. U pravilu se površina ispod cijele krivulje distribucije vjerojatnosti normalizira na jedinicu.

U ovom slučaju prikazana je distribucija stalan nasumična varijabla. Osim njih, postoje diskretna slučajne varijable koje poprimaju niz specifičnih vrijednosti koje se mogu numerirati.

Integralni zakon raspodjele slučajne varijable predstavlja funkciju F(x), definirana formulom

Vjerojatnost da će slučajna varijabla biti manja od x 1 dana je vrijednošću funkcije F(x) pri x = x 1:

Iako je zakon raspodjele slučajnih varijabli njihova potpuna probabilistička karakteristika, pronalaženje tog zakona prilično je težak zadatak i zahtijeva brojna mjerenja. Stoga, u praksi, za opisivanje svojstava slučajne varijable, različite numeričke karakteristike distribucija. To uključuje trenutaka slučajne varijable: primarni i središnji, koji predstavljaju neke prosječne vrijednosti. Štoviše, ako se veličine mjerene od ishodišta koordinata usrednjavaju, tada se momenti nazivaju početni, a ako iz distribucijskog centra, onda središnji.