Linearno ovisan sustav vektora. Linearna ovisnost sustava vektora

Definicija. Linearna kombinacija vektora a 1 , ..., a n s koeficijentima x 1 , ..., x n naziva se vektor

x 1 a 1 + ... + x n a n .

trivijalno, ako su svi koeficijenti x 1 , ..., x n jednaki nuli.

Definicija. Linearna kombinacija x 1 a 1 + ... + x n a n zove se netrivijalan, ako barem jedan od koeficijenata x 1 , ..., x n nije jednak nuli.

linearno neovisni, ako ne postoji netrivijalna kombinacija ovih vektora jednaka nultom vektoru .

Odnosno, vektori a 1 , ..., a n su linearno neovisni ako je x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 ako i samo ako je x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definicija. Vektori a 1 , ..., a n nazivaju se linearno ovisna, ako postoji netrivijalna kombinacija ovih vektora jednaka nultom vektoru .

Svojstva linearno zavisnih vektora:

Za 2 i 3 dimenzionalne vektore.

Dva linearno zavisna vektora su kolinearna. (Kolinearni vektori su linearno ovisni.) .

Za 3-dimenzionalne vektore.

Tri linearno ovisna vektora su koplanarna. (Tri koplanarna vektora su linearno ovisna.)

Za n -dimenzionalne vektore.
n + 1 vektora uvijek su linearno ovisni.

Primjeri zadataka za linearnu ovisnost i linearnu neovisnost vektora:

Primjer 1. Provjeriti jesu li vektori a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) linearno neovisni. .

Odluka:

Vektori će biti linearno ovisni, budući da je dimenzija vektora manja od broja vektora.

Primjer 2. Provjeriti jesu li vektori a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) linearno neovisni.

Odluka:

	x1 + x2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + x3 = 0

1	1	0	~
1	2	-1
1	0	1

~	1	1	0	0	~	1	1	0	~
	1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0		0	1	-1
	1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0		0	-1	1

oduzmite drugi od prvog reda; dodajte drugi red trećem redu:

~	1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0	~	1	0	1
	0	1	-1	0		0	1	-1
	0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0		0	0	0

Ovo rješenje pokazuje da sustav ima mnogo rješenja, odnosno postoji različita od nule kombinacija vrijednosti brojeva x 1 , x 2 , x 3 takva da je linearna kombinacija vektora a , b , c jednaka na nulti vektor, na primjer:

A + b + c = 0

što znači da su vektori a , b , c linearno ovisni.

Odgovor: vektori a , b , c su linearno ovisni.

Primjer 3. Provjeriti jesu li vektori a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) linearno neovisni.

Odluka: Pronađimo vrijednosti koeficijenata pri kojima će linearna kombinacija ovih vektora biti jednaka nultom vektoru.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Ova se vektorska jednadžba može napisati kao sustav linearnih jednadžbi

	x1 + x2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + 2x3 = 0

Ovaj sustav rješavamo Gaussovom metodom

1	1	0	~
1	2	-1
1	0	2

oduzmite prvu od druge linije; oduzeti prvi od trećeg reda:

~	1	1	0	0	~	1	1	0	~
	1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0		0	1	-1
	1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0		0	-1	2

oduzmite drugi od prvog retka; dodajte drugi red trećem retku.

Zadatak 1. Utvrdite je li sustav vektora linearno neovisan. Sustav vektora bit će definiran matricom sustava čiji se stupci sastoje od koordinata vektora.

Odluka. Neka linearna kombinacija jednaka nuli. Zapisujući ovu jednakost u koordinate, dobivamo sljedeći sustav jednadžbi:

Takav sustav jednadžbi nazivamo trokutastim. Ona ima jedino rješenje. . Stoga vektori su linearno neovisni.

Zadatak 2. Utvrdite je li sustav vektora linearno neovisan.

Odluka. Vektori su linearno neovisni (vidi Problem 1). Dokažimo da je vektor linearna kombinacija vektora . Koeficijenti vektorske ekspanzije određuju se iz sustava jednadžbi

Ovaj sustav, poput trokutastog, ima jedinstveno rješenje.

Stoga sustav vektora linearno ovisna.

Komentar. Matrice kao u zadatku 1 nazivaju se trokutasti , au problemu 2 – stepenasto trokutast . Pitanje linearne ovisnosti sustava vektora lako se rješava ako je matrica sastavljena od koordinata tih vektora stepenasto trokutasta. Ako matrica nema poseban oblik, tada se koristi elementarne transformacije nizova , čuvajući linearne odnose između stupaca, može se svesti na stepenasti trokutasti oblik.

Elementarne transformacije nizova matrice (EPS) nazivaju se sljedeće operacije na matrici:

1) permutacija linija;

2) množenje niza brojem različitim od nule;

3) dodavanje nizu drugog niza, pomnoženog s proizvoljnim brojem.

Zadatak 3. Odredite najveći linearno neovisni podsustav i izračunajte rang sustava vektora

Odluka. Svedimo matricu sustava uz pomoć EPS-a na stepenasto-trokutasti oblik. Radi objašnjenja postupka, redak s brojem matrice koju treba transformirati bit će označen simbolom . Stupac iza strelice prikazuje radnje koje treba izvršiti na redovima konvertirane matrice da bi se dobili redovi nove matrice.

Očito je da su prva dva stupca dobivene matrice linearno neovisna, treći stupac je njihova linearna kombinacija, a četvrti ne ovisi o prva dva. Vektori nazivaju se osnovnim. Oni čine najveći linearno neovisni podsustav sustava , a rang sustava je tri.

Osnova, koordinate

Zadatak 4. Nađite bazu i koordinate vektora u ovoj bazi na skupu geometrijskih vektora čije koordinate zadovoljavaju uvjet .

Odluka. Skup je ravnina koja prolazi kroz ishodište. Proizvoljna baza na ravnini sastoji se od dva nekolinearna vektora. Koordinate vektora u odabranoj bazi određuju se rješavanjem odgovarajućeg sustava linearnih jednadžbi.

Postoji još jedan način rješavanja ovog problema, kada možete pronaći osnovu koordinatama.

Koordinate prostori nisu koordinate na ravnini, jer su povezani relacijom , odnosno nisu neovisni. Nezavisne varijable i (nazivaju se slobodnima) jednoznačno određuju vektor na ravnini i stoga se mogu odabrati kao koordinate u . Zatim osnova sastoji se od vektora koji leže i odgovaraju skupovima slobodnih varijabli i , to je .

Zadatak 5. Pronađite bazu i koordinate vektora u ovoj bazi na skupu svih vektora u prostoru , čije su neparne koordinate međusobno jednake.

Odluka. Biramo, kao i u prethodnom zadatku, koordinate u prostoru .

Kao , zatim slobodne varijable jedinstveno definiraju vektor iz i, prema tome, su koordinate. Odgovarajuća baza sastoji se od vektora .

Zadatak 6. Pronađite bazu i koordinate vektora u ovoj bazi na skupu svih matrica oblika , gdje su proizvoljni brojevi.

Odluka. Svaka matrica iz može se jedinstveno predstaviti kao:

Ova relacija je proširenje vektora iz u smislu baze
s koordinatama .

Zadatak 7. Odredite dimenziju i bazu linearnog raspona sustava vektora

Odluka. Pomoću EPS-a transformiramo matricu iz koordinata vektora sustava u stepenasto-trokutasti oblik.

stupci zadnje matrice su linearno neovisni, a stupci kroz njih se linearno izražavaju. Stoga vektori čine osnovu , i .

Komentar. Osnova u izabran dvosmisleno. Na primjer, vektori također čine osnovu .

Vektori, njihova svojstva i djelovanje s njima

Vektori, akcije s vektorima, linearni vektorski prostor.

Vektori su uređeni skup konačnog broja realnih brojeva.

Radnje: 1. Množenje vektora brojem: lambda * vektor x \u003d (lambda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n). (3,4, 0,7) * 3 \u003d (9, 12,0,21 )

2. Zbrajanje vektora (pripadaju istom vektorskom prostoru) vektor x + vektor y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektor 0=(0,0…0)---n E n – n-dimenzionalni (linearni prostor) vektor x + vektor 0 = vektor x

Teorema. Da bi sustav od n vektora u n-dimenzionalnom linearnom prostoru bio linearno ovisan, potrebno je i dovoljno da jedan od vektora bude linearna kombinacija ostalih.

Teorema. Bilo koji skup od n+ 1. vektora n-dimenzionalnog linearnog prostora yavl. linearno ovisna.

Zbrajanje vektora, množenje vektora brojevima. Oduzimanje vektora.

Zbroj dva vektora je vektor usmjeren od početka vektora prema kraju vektora, pod uvjetom da se početak poklapa s krajem vektora. Ako su vektori zadani svojim proširenjima u terminima baznih vektora, tada zbrajanjem vektora zbrajaju se njihove odgovarajuće koordinate.

Razmotrimo to na primjeru kartezijanskog koordinatnog sustava. Neka

Pokažimo to

Slika 3 to pokazuje

Zbroj bilo kojeg konačnog broja vektora može se pronaći pomoću pravila poligona (slika 4): da bi se konstruirao zbroj konačnog broja vektora, dovoljno je spojiti početak svakog sljedećeg vektora s krajem prethodnog. i konstruirajte vektor koji povezuje početak prvog vektora s krajem posljednjeg.

Svojstva operacije zbrajanja vektora:

U ovim izrazima m, n su brojevi.

Razlika vektora naziva se vektor.Drugi član je vektor suprotan vektoru po smjeru, ali mu jednak po duljini.

Dakle, operacija oduzimanja vektora zamijenjena je operacijom zbrajanja

Vektor čiji je početak u ishodištu koordinata, a kraj u točki A (x1, y1, z1) naziva se radijus vektor točke A i označava ili jednostavno. Budući da se njegove koordinate poklapaju s koordinatama točke A, njegovo vektorsko širenje ima oblik

Vektor koji počinje u točki A(x1, y1, z1) i završava u točki B(x2, y2, z2) može se napisati kao

gdje je r 2 radijus vektor točke B; r 1 - radijus vektor točke A.

Prema tome, proširenje vektora u terminima orta ima oblik

Njegova duljina jednaka je udaljenosti između točaka A i B

MNOŽENJE

Dakle, u slučaju ravnog problema, umnožak vektora s a = (ax; ay) i broja b nalazi se pomoću formule

a b = (ax b; ay b)

Primjer 1. Nađite umnožak vektora a = (1; 2) s 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Dakle, u slučaju prostornog problema, umnožak vektora a = (ax; ay; az) i broja b nalazi se formulom

a b = (ax b; ay b; az b)

Primjer 1. Nađite umnožak vektora a = (1; 2; -5) s 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Točkasti umnožak vektora i gdje je kut između vektora i ; ako bilo, onda

Iz definicije skalarnog produkta proizlazi da

gdje je npr. vrijednost projekcije vektora na pravac vektora .

Skalarni kvadrat vektora:

Svojstva točkastog proizvoda:

Točkasti umnožak u koordinatama

Ako zatim

Kut između vektora

Kut između vektora – kut između pravaca tih vektora (najmanji kut).

Vektorski produkt (Vektorski proizvod dva vektora.)- je pseudovektor okomit na ravninu konstruiran od dva faktora, koji je rezultat binarne operacije "množenje vektora" na vektore u trodimenzionalnom euklidskom prostoru. Produkt nije ni komutativan ni asocijativan (on je antikomutativan) i razlikuje se od točkastog umnoška vektora. U mnogim inženjerskim i fizičkim problemima potrebno je moći izgraditi vektor okomit na dva postojeća - vektorski produkt pruža tu priliku. Križni produkt koristan je za "mjerenje" okomitosti vektora - duljina križnog produkta dvaju vektora jednaka je produktu njihovih duljina ako su okomiti, a smanjuje se na nulu ako su vektori paralelni ili antiparalelni.

Vektorski proizvod definiran je samo u trodimenzionalnim i sedmodimenzionalnim prostorima. Rezultat vektorskog umnoška, poput skalarnog umnoška, ovisi o metrici Euklidskog prostora.

Za razliku od formule za izračunavanje skalarnog umnoška iz koordinata vektora u trodimenzionalnom pravokutnom koordinatnom sustavu, formula za vektorski umnožak ovisi o orijentaciji pravokutnog koordinatnog sustava, odnosno, drugim riječima, o njegovoj "kiralnosti"

Kolinearnost vektora.

Dva vektora različita od nule (nisu jednaka 0) nazivaju se kolinearnima ako leže na paralelnim pravcima ili na istom pravcu. Dopuštamo, ali ne preporučujemo, sinonim - "paralelni" vektori. Kolinearni vektori mogu biti usmjereni u istom smjeru ("suusmjereni") ili suprotno usmjereni (u potonjem slučaju ponekad se nazivaju "antikolinearni" ili "antiparalelni").

Mješoviti umnožak vektora ( a,b,c)- skalarni umnožak vektora a i vektorskog umnoška vektora b i c:

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

ponekad se naziva trostruki skalarni umnožak vektora, očito zbog činjenice da je rezultat skalar (točnije, pseudoskalar).

Geometrijsko značenje: Modul miješanog umnoška brojčano je jednak volumenu paralelopipeda kojeg čine vektori (a,b,c) .

Svojstva

Mješoviti proizvod je koso-simetričan u odnosu na sve svoje argumente: to jest, e. permutacija bilo koja dva faktora mijenja predznak umnoška. Slijedi da je mješoviti produkt u desnom Kartezijevom koordinatnom sustavu (u ortonormiranoj bazi) jednak determinanti matrice sastavljene od vektora i:

Mješoviti umnožak u lijevom kartezijevom koordinatnom sustavu (u ortonormiranoj bazi) jednak je determinanti matrice sastavljene od vektora i uzete s predznakom minus:

Posebno,

Ako su bilo koja dva vektora paralelna, tada s bilo kojim trećim vektorom čine mješoviti umnožak jednak nuli.

Ako su tri vektora linearno ovisna (tj. koplanarna, leže u istoj ravnini), tada je njihov mješoviti produkt nula.

Geometrijsko značenje - Mješoviti umnožak u apsolutnoj vrijednosti jednak je obujmu paralelopipeda (vidi sliku) kojeg tvore vektori i; predznak ovisi o tome je li ta trojka vektora desna ili lijeva.

Komplanarnost vektora.

Tri vektora (ili više) nazivaju se komplanarnima ako oni, svedeni na zajedničko ishodište, leže u istoj ravnini

Svojstva komplanarnosti

Ako je barem jedan od tri vektora nula, tada se tri vektora također smatraju koplanarnima.

Trojka vektora koja sadrži par kolinearnih vektora je komplanarna.

Mješoviti produkt koplanarnih vektora. Ovo je kriterij koplanarnosti triju vektora.

Koplanarni vektori su linearno ovisni. Ovo je također kriterij za komplanarnost.

U 3-dimenzionalnom prostoru, 3 nekoplanarna vektora čine bazu

Linearno ovisni i linearno neovisni vektori.

Linearno ovisni i nezavisni sustavi vektora.Definicija. Sustav vektora naziva se linearno ovisna, ako postoji barem jedna netrivijalna linearna kombinacija ovih vektora jednaka nultom vektoru. Inače, t.j. ako je samo trivijalna linearna kombinacija zadanih vektora jednaka nultom vektoru, vektori se nazivaju linearno neovisni.

Teorem (linearni kriterij ovisnosti). Da bi sustav vektora u linearnom prostoru bio linearno ovisan, potrebno je i dovoljno da barem jedan od tih vektora bude linearna kombinacija ostalih.

1) Ako među vektorima postoji barem jedan nulti vektor, tada je cijeli sustav vektora linearno ovisan.

Doista, ako je, na primjer, , tada, uz pretpostavku , imamo netrivijalnu linearnu kombinaciju .▲

2) Ako neki od vektora čine linearno ovisan sustav, tada je cijeli sustav linearno ovisan.

Doista, neka su vektori , , linearno ovisni. Dakle, postoji netrivijalna linearna kombinacija jednaka nultom vektoru. Ali onda, pod pretpostavkom , također dobivamo netrivijalnu linearnu kombinaciju jednaku nultom vektoru.

2. Osnova i dimenzija. Definicija. Sustav linearno neovisnih vektora zove se vektorski prostor osnova ovaj prostor, ako se bilo koji vektor iz može prikazati kao linearna kombinacija vektora ovog sustava, tj. za svaki vektor postoje realni brojevi tako da vrijedi jednakost.Ta se jednakost naziva vektorska dekompozicija prema osnovi i brojevima nazvao koordinate vektora u odnosu na bazu(ili u osnovi) .

Teorem (o jedinstvenosti proširenja u smislu baze). Svaki prostorni vektor može se proširiti u smislu baze na jedinstven način, tj. koordinate svakog vektora u bazi definiraju se nedvosmisleno.

Sustav vektora naziva se linearno ovisna, ako postoje takvi brojevi među kojima je barem jedan različit od nule, da je jednakost https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Ako ova jednakost vrijedi samo ako je sve , tada se zove sustav vektora linearno neovisni.

Teorema. Sustav vektora će linearno ovisna ako i samo ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija ostalih.

Primjer 1 Polinom je linearna kombinacija polinoma https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomi čine linearno neovisan sustav, budući da https polinom: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Primjer 2 Matrični sustav , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> je linearno neovisan, budući da je linearna kombinacija jednaka nulta matrica samo kada https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> linearno ovisan.

Odluka.

Sastavite linearnu kombinaciju ovih vektora https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height =" 22">.

Izjednačavanjem istoimenih koordinata jednakih vektora dobivamo https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Napokon dobivamo

Sustav ima jedinstveno trivijalno rješenje, tako da je linearna kombinacija ovih vektora nula samo ako su svi koeficijenti nula. Stoga je ovaj sustav vektora linearno neovisan.

Primjer 4 Vektori su linearno neovisni. Kakvi će biti sustavi vektora

a).;

b).?

Odluka.

a). Sastavite linearnu kombinaciju i izjednačite je s nulom

Koristeći svojstva operacija s vektorima u linearnom prostoru, posljednju jednakost prepisujemo u obliku

Budući da su vektori linearno neovisni, koeficijenti za moraju biti jednaki nuli, tj..gif" width="12" height="23 src=">

Rezultirajući sustav jednadžbi ima jedinstveno trivijalno rješenje .

Od jednakosti (*) izvršava se samo na https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – linearno neovisno;

b). Sastavite jednakost https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Primjenjujući slično zaključivanje, dobivamo

Rješavanjem sustava jednadžbi Gaussovom metodom dobivamo

ili

Posljednji sustav ima beskonačan broj rješenja https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Dakle, postoji ne- nulti skup koeficijenata za koje vrijedi jednakost (**) . Stoga sustav vektora je linearno ovisan.

Primjer 5 Vektorski sustav je linearno neovisan, a vektorski sustav je linearno ovisan..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

U jednakosti (***) . Doista, za , sustav bi bio linearno ovisan.

Iz relacije (***) dobivamo ili Označiti .

Dobiti

Zadaci za samostalno rješavanje (u nastavi)

1. Sustav koji sadrži nulti vektor je linearno ovisan.

2. Jednovektorski sustav a, linearno je ovisan ako i samo ako, a=0.

3. Sustav koji se sastoji od dva vektora linearno je ovisan ako i samo ako su vektori proporcionalni (to jest, jedan od njih se dobiva iz drugog množenjem s brojem).

4. Ako se linearno ovisnom sustavu doda vektor, tada se dobiva linearno ovisan sustav.

5. Ako se vektor ukloni iz linearno neovisnog sustava, tada je rezultirajući sustav vektora linearno neovisan.

6. Ako sustav S linearno neovisan, ali postaje linearno ovisan kada se doda vektor b, zatim vektor b linearno izraženo kroz vektore sustava S.

c). Sustav matrica , , u prostoru matrica drugog reda.

10. Neka sustav vektora a,b,c vektorski prostor je linearno neovisan. Dokažite linearnu neovisnost sljedećih sustava vektora:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– proizvoljan broj

c).a+b, a+c, b+c.

11. Neka a,b,c su tri vektora u ravnini koji se mogu koristiti za oblikovanje trokuta. Hoće li ti vektori biti linearno ovisni?

12. Zadana su dva vektora a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Pokupite još dva 4D vektora a3 ia4 tako da sustav a1,a2,a3,a4 bio linearno nezavisan .

U ovom ćemo članku pokriti sljedeće:

što su kolinearni vektori;
koji su uvjeti za kolinearne vektore;
koja su svojstva kolinearnih vektora;
kolika je linearna ovisnost kolinearnih vektora.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Kolinearni vektori su vektori koji su paralelni s istim pravcem ili leže na istom pravcu.

Primjer 1

Uvjeti za kolinearne vektore

Dva vektora su kolinearna ako je ispunjen bilo koji od sljedećih uvjeta:

stanje 1 . Vektori a i b su kolinearni ako postoji broj λ takav da je a = λ b ;
stanje 2 . Vektori a i b su kolinearni s jednakim omjerom koordinata:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

stanje 3 . Vektori a i b su kolinearni ako su vektorski produkt i nulti vektor jednaki:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Napomena 1

Uvjet 2 nije primjenjivo ako je jedna od koordinata vektora nula.

Napomena 2

Uvjet 3 primjenjiv samo na one vektore koji su zadani u prostoru.

Primjeri problema za proučavanje kolinearnosti vektora

Primjer 1

Ispitujemo kolinearnost vektora a \u003d (1; 3) i b \u003d (2; 1).

Kako odlučiti?

U ovom slučaju potrebno je koristiti 2. uvjet kolinearnosti. Za zadane vektore to izgleda ovako:

Jednakost je pogrešna. Iz ovoga možemo zaključiti da vektori a i b nisu kolinearni.

Odgovor : a | | b

Primjer 2

Koja vrijednost m vektora a = (1 ; 2) i b = (- 1 ; m) je potrebna da bi vektori bili kolinearni?

Kako odlučiti?

Korištenjem drugog kolinearnog uvjeta, vektori će biti kolinearni ako su im koordinate proporcionalne:

To pokazuje da je m = - 2 .

Odgovor: m = - 2 .

Kriteriji linearne ovisnosti i linearne neovisnosti sustava vektora

Teorema

Sustav vektora u vektorskom prostoru je linearno ovisan samo ako se jedan od vektora sustava može izraziti u terminima ostalih vektora sustava.

Dokaz

Neka je sustav e 1 , e 2 , . . . , e n je linearno ovisan. Zapišimo linearnu kombinaciju ovog sustava jednaku nultom vektoru:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

u kojoj barem jedan od koeficijenata kombinacije nije jednak nuli.

Neka je a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Obje strane jednakosti dijelimo s koeficijentom koji nije nula:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Označiti:

A k-1 a m, gdje je m ∈ 1, 2, . . . , k - 1 , k + 1 , n

U ovom slučaju:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + βn e n = 0

ili e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Slijedi da je jedan od vektora sustava izražen kroz sve ostale vektore sustava. Što je i trebalo dokazati (p.t.d.).

Adekvatnost

Neka je jedan od vektora linearno izražen kroz sve ostale vektore sustava:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Prenosimo vektor e k na desnu stranu ove jednakosti:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Kako je koeficijent vektora e k jednak - 1 ≠ 0 , dobivamo netrivijalnu reprezentaciju nule sustavom vektora e 1 , e 2 , . . . , e n , a to pak znači da je zadani sustav vektora linearno ovisan. Što je i trebalo dokazati (p.t.d.).

Posljedica:

Sustav vektora je linearno neovisan kada se niti jedan od njegovih vektora ne može izraziti preko svih ostalih vektora sustava.
Vektorski sustav koji sadrži nulti vektor ili dva jednaka vektora je linearno ovisan.

Svojstva linearno zavisnih vektora

Za 2- i 3-dimenzionalne vektore ispunjen je uvjet: dva linearno zavisna vektora su kolinearna. Dva kolinearna vektora su linearno ovisna.
Za 3-dimenzionalne vektore ispunjen je uvjet: tri linearno zavisna vektora su koplanarna. (3 koplanarna vektora - linearno ovisna).
Za n-dimenzionalne vektore ispunjen je uvjet: n + 1 vektora uvijek je linearno ovisno.

Primjeri rješavanja zadataka za linearnu ovisnost ili linearnu neovisnost vektora

Primjer 3

Provjerimo linearnu neovisnost vektora a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0.

Odluka. Vektori su linearno ovisni jer je dimenzija vektora manja od broja vektora.

Primjer 4

Provjerimo linearnu neovisnost vektora a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1.

Odluka. Nalazimo vrijednosti koeficijenata pri kojima će linearna kombinacija biti jednaka nultom vektoru:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Vektorsku jednadžbu zapisujemo u obliku linearne:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ovaj sustav rješavamo Gaussovom metodom:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Od 2. retka oduzimamo 1., od 3. - 1.:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Oduzmite 2. od 1. retka, dodajte 2. do 3. retka:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Iz rješenja proizlazi da sustav ima više rješenja. To znači da postoji različita od nule kombinacija vrijednosti takvih brojeva x 1 , x 2 , x 3 za koje je linearna kombinacija a , b , c jednaka nultom vektoru. Stoga su vektori a , b , c linearno ovisna.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter