Svojstva i formule logaritama. Osnovna svojstva logaritama

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela u Ruskoj Federaciji - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

glavna svojstva.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

identične osnove

Log6 4 + log6 9.

Sada malo zakomplicirajmo zadatak.

Primjeri rješavanja logaritama

Što ako je baza ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se promatra ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Prijelaz na novi temelj

Neka je dan logaritam logax. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Vidi također:

Osnovna svojstva logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je jednak 2,7 i dvostrukoj godini rođenja Lava Nikolajeviča Tolstoja.

Osnovna svojstva logaritama

Poznavajući ovo pravilo, znat ćete i točnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

Primjeri za logaritme

Logaritamski izrazi

Primjer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Koristeći svojstva 3.5 izračunavamo

4. Gdje .

Primjer 2. Nađi x ako

Primjer 3. Neka su zadane vrijednosti logaritama

Izračunajte log(x) ako

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi se, kao i svi brojevi, mogu zbrajati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali budući da logaritmi nisu baš obični brojevi, postoje ovdje pravila, koja se zovu glavna svojstva.

Ova pravila svakako morate znati - bez njih se ne može riješiti niti jedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, ima ih vrlo malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istim bazama: logax i logay. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, a razlika je jednaka logaritmu kvocijenta. Imajte na umu: ključna točka ovdje je identične osnove. Ako su razlozi drugačiji, ova pravila ne rade!

Ove formule će vam pomoći izračunati logaritamski izraz čak i kada se ne uzimaju u obzir njegovi pojedinačni dijelovi (pogledajte lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Budući da logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu zbroja:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet su baze iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, izvorni izrazi sastoje se od "loših" logaritama koji se ne izračunavaju zasebno. No nakon transformacija dobivaju se posve normalni brojevi. Mnogi testovi temelje se na ovoj činjenici. Da, izrazi slični testovima nude se ozbiljno (ponekad bez ikakvih promjena) na Jedinstvenom državnom ispitu.

Izdvajanje eksponenta iz logaritma

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima to značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se promatra ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primijeniti sve formule ne samo slijeva na desno, već i obrnuto , tj. Brojeve ispred znaka logaritma možete unijeti u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Riješimo se stupnja u argumentu pomoću prve formule:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da nazivnik sadrži logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer zahtijeva malo pojašnjenja. Gdje su nestali logaritmi? Do zadnjeg trenutka radimo samo s nazivnikom.

Logaritamske formule. Logaritmi primjeri rješenja.

Predstavili smo bazu i argument logaritma koji tamo stoji u obliku potencija i izvadili eksponente - dobili smo "trokatni" razlomak.

Sada pogledajmo glavnu frakciju. Brojnik i nazivnik sadrže isti broj: log2 7. Budući da je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema aritmetičkim pravilima, četvorka se može prenijeti u brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su razlozi drugačiji? Što ako nisu točne potencije istog broja?

Formule za prijelaz na novi temelj dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teorema:

Neka je dan logaritam logax. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Konkretno, ako postavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz “okreće”, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje problemi koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Pogledajmo nekoliko od njih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže točne potencije. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada "obrnimo" drugi logaritam:

Budući da se umnožak ne mijenja preslagivanjem faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:

U prvom slučaju broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je samo logaritamska vrijednost.

Druga je formula zapravo parafrazirana definicija. Tako se zove: .

Zapravo, što se događa ako se broj b podigne na takvu potenciju da broj b na tu potenciju daje broj a? Tako je: rezultat je isti broj a. Ponovno pažljivo pročitajte ovaj paragraf - mnogi ljudi zapnu na njemu.

Poput formula za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila množenja potencije s istom bazom, dobivamo:

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja se teško mogu nazvati svojstvima - prije su posljedice definicije logaritma. Stalno se pojavljuju u problemima i, začudo, stvaraju probleme čak i “naprednijim” učenicima.

logaa = 1 je. Zapamtite jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a same te baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo što, ali ako argument sadrži jedinicu, logaritam je jednak nuli! Budući da je a0 = 1 izravna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.

Vidi također:

Logaritam od b na bazi a označava izraz. Izračunati logaritam znači pronaći potenciju x () pri kojoj je jednakost zadovoljena

Osnovna svojstva logaritma

Navedena svojstva potrebno je poznavati jer se gotovo svi zadaci i primjeri vezani za logaritme rješavaju na temelju njih. Ostatak egzotičnih svojstava može se izvesti matematičkim manipulacijama s ovim formulama

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Kod izračunavanja formule za zbroj i razliku logaritama (3.4) često se susrećete. Ostali su donekle složeni, ali su u nizu zadataka nezamjenjivi za pojednostavljenje složenih izraza i izračunavanje njihovih vrijednosti.

Uobičajeni slučajevi logaritma

Neki od najčešćih logaritama su oni kod kojih je baza jednaka deset, eksponencijal ili dva.
Logaritam na bazi deset obično se naziva decimalni logaritam i jednostavno se označava s lg(x).

Na snimci se jasno vidi da u snimci nisu zapisane osnovne stvari. Na primjer

Prirodni logaritam je logaritam čija je baza eksponent (označen s ln(x)).

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je jednak 2,7 i dvostrukoj godini rođenja Lava Nikolajeviča Tolstoja. Poznavajući ovo pravilo, znat ćete i točnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

I još jedan važan logaritam za bazu dva je označen sa

Derivacija logaritma funkcije jednaka je jedinici podijeljenoj s varijablom

Integralni ili antiderivacijski logaritam određen je odnosom

Zadani materijal dovoljan vam je za rješavanje široke klase zadataka vezanih uz logaritme i logaritme. Da biste lakše razumjeli gradivo, navest ću samo nekoliko uobičajenih primjera iz školskog programa i sa sveučilišta.

Primjeri za logaritme

Logaritamski izrazi

Primjer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Koristeći svojstva 3.5 izračunavamo

2.
Po svojstvu razlike logaritama imamo

3.
Koristeći svojstva 3.5 nalazimo

4. Gdje .

Naizgled složeni izraz pojednostavljuje se u obliku pomoću niza pravila

Pronalaženje logaritamskih vrijednosti

Primjer 2. Nađi x ako

Otopina. Za izračun primjenjujemo na posljednji izraz 5 i 13 svojstava

Stavili smo to u zapisnik i tugujemo

Budući da su baze jednake, izjednačavamo izraze

Logaritmi. Početni nivo.

Neka je dana vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Rješenje: Uzmimo logaritam varijable da zapišemo logaritam kroz zbroj njenih članova

Ovo je tek početak našeg upoznavanja s logaritmima i njihovim svojstvima. Vježbajte izračune, obogatite svoje praktične vještine - stečeno znanje uskoro će vam trebati za rješavanje logaritamskih jednadžbi. Nakon što smo proučili osnovne metode rješavanja takvih jednadžbi, proširit ćemo vaše znanje na još jednu jednako važnu temu - logaritamske nejednadžbe...

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi se, kao i svi brojevi, mogu zbrajati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali budući da logaritmi nisu baš obični brojevi, postoje ovdje pravila, koja se zovu glavna svojstva.

Ova pravila svakako morate znati - bez njih se ne može riješiti niti jedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, ima ih vrlo malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istim bazama: logax i logay. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Ove formule će vam pomoći izračunati logaritamski izraz čak i kada se ne uzimaju u obzir njegovi pojedinačni dijelovi (pogledajte lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log6 4 + log6 9.

Budući da logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu zbroja:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet su baze iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Izdvajanje eksponenta iz logaritma

Sada malo zakomplicirajmo zadatak. Što ako je baza ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima to značajno smanjiti količinu izračuna.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Riješimo se stupnja u argumentu pomoću prve formule:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da nazivnik sadrži logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer zahtijeva malo pojašnjenja. Gdje su nestali logaritmi? Do zadnjeg trenutka radimo samo s nazivnikom. Predstavili smo bazu i argument logaritma koji tamo stoji u obliku potencija i izvadili eksponente - dobili smo "trokatni" razlomak.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su razlozi drugačiji? Što ako nisu točne potencije istog broja?

Formule za prijelaz na novi temelj dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teorema:

Neka je dan logaritam logax. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Konkretno, ako postavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz “okreće”, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje problemi koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Pogledajmo nekoliko od njih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže točne potencije. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada "obrnimo" drugi logaritam:

Budući da se umnožak ne mijenja preslagivanjem faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:

U prvom slučaju broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je samo logaritamska vrijednost.

Druga je formula zapravo parafrazirana definicija. Tako se zove: .

Poput formula za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila množenja potencije s istom bazom, dobivamo:

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

logaa = 1 je. Zapamtite jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a same te baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo što, ali ako argument sadrži jedinicu, logaritam je jednak nuli! Budući da je a0 = 1 izravna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.

Logaritmi se, kao i svi brojevi, mogu zbrajati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali budući da logaritmi nisu baš obični brojevi, postoje ovdje pravila, koja se zovu glavna svojstva.

Ova pravila svakako morate znati - bez njih se ne može riješiti niti jedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, ima ih vrlo malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istim bazama: log a x i log a g. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

log a x+ log a g=log a (x · g);
log a x− trupac a g=log a (x : g).

Ove formule će vam pomoći izračunati logaritamski izraz čak i kada se ne uzimaju u obzir njegovi pojedinačni dijelovi (pogledajte lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Log 6 4 + log 6 9.

Budući da logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu zbroja:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Opet su baze iste, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Izdvajanje eksponenta iz logaritma

Sada malo zakomplicirajmo zadatak. Što ako je baza ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima to značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se promatra ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x> 0. I još nešto: naučite primijeniti sve formule ne samo slijeva na desno, već i obrnuto, tj. Brojeve ispred znaka logaritma možete unijeti u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 7 49 6 .

Riješimo se stupnja u argumentu pomoću prve formule:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite značenje izraza:
[Natpis za sliku]

Imajte na umu da nazivnik sadrži logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. imamo:

[Natpis za sliku]

Sada pogledajmo glavnu frakciju. Brojnik i nazivnik sadrže isti broj: log 2 7. Budući da je log 2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema aritmetičkim pravilima, četvorka se može prenijeti u brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su razlozi drugačiji? Što ako nisu točne potencije istog broja?

Formule za prijelaz na novi temelj dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teorema:

Neka je zadan log logaritma a x. Zatim za bilo koji broj c takav da c> 0 i c≠ 1, vrijedi jednakost:
[Natpis za sliku]
Konkretno, ako stavimo c = x, dobivamo:
[Natpis za sliku]

Iz druge formule proizlazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz “okreće”, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje problemi koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Pogledajmo nekoliko od njih:

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže točne potencije. Izvadimo indikatore: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sada "obrnimo" drugi logaritam:

[Natpis za sliku]

Budući da se umnožak ne mijenja preslagivanjem faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log 9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:

[Natpis za sliku]

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

[Natpis za sliku]

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:

U prvom slučaju broj n postaje pokazatelj stupnja stajališta u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga je formula zapravo parafrazirana definicija. To je ono što se zove: osnovni logaritamski identitet.

Zapravo, što će se dogoditi ako broj b podići na takvu snagu da broj b ovoj moći daje broj a? Tako je: dobivate isti broj a. Ponovno pažljivo pročitajte ovaj paragraf - mnogi ljudi zapnu na njemu.

Poput formula za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:
[Natpis za sliku]

Imajte na umu da je log 25 64 = log 5 8 - jednostavno smo uzeli kvadrat baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila množenja potencije s istom bazom, dobivamo:

[Natpis za sliku]

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

log a a= 1 je logaritamska jedinica. Upamtite jednom zauvijek: logaritam prema bilo kojoj bazi a iz ove same baze jednako je jedan.
log a 1 = 0 je logaritamska nula. Baza a može biti bilo što, ali ako argument sadrži jedinicu, logaritam je jednak nuli! Jer a 0 = 1 izravna je posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.

\(a^(b)=c\) \(\Lijeva desna strelica\) \(\log_(a)(c)=b\)

Objasnimo to jednostavnije. Na primjer, \(\log_(2)(8)\) jednako je potenciji na koju se mora podići \(2\) da bi se dobilo \(8\). Iz ovoga je jasno da je \(\log_(2)(8)=3\).

Primjeri:	\(\log_(5)(25)=2\)	jer \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	jer \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	jer \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument i baza logaritma

Svaki logaritam ima sljedeću "anatomiju":

Argument logaritma obično se piše na njegovoj razini, a baza se piše u indeksu bliže znaku logaritma. A ovaj unos glasi ovako: "logaritam od dvadeset pet na bazu pet."

Kako izračunati logaritam?

Da biste izračunali logaritam, morate odgovoriti na pitanje: na koju potenciju treba podići bazu da dobijete argument?

Na primjer, izračunajte logaritam: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Na koju potenciju treba podići \(4\) da bi se dobilo \(16\)? Očito onaj drugi. Zato:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Na koju potenciju treba podići \(\sqrt(5)\) da bi se dobilo \(1\)? Koja moć čini bilo koji broj jedan? Nula, naravno!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Na koju potenciju treba podići \(\sqrt(7)\) da se dobije \(\sqrt(7)\)? Prvo, svaki broj na prvu potenciju jednak je samom sebi.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Na koju potenciju treba podići \(3\) da bi se dobilo \(\sqrt(3)\)? Iz znamo da je to razlomačka potencija, što znači da je kvadratni korijen potencija od \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Primjer : Izračunajte logaritam \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Otopina :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Moramo pronaći vrijednost logaritma, označimo ga kao x. Sada upotrijebimo definiciju logaritma: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Lijeva desna strelica\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Što povezuje \(4\sqrt(2)\) i \(8\)? Dva, jer oba broja mogu biti predstavljena dvojkama: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		S lijeve strane koristimo svojstva stupnja: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) i \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Baze su jednake, prelazimo na jednakost pokazatelja
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Pomnožite obje strane jednadžbe s \(\frac(2)(5)\)
		Dobiveni korijen je vrijednost logaritma

Odgovor : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Zašto je izmišljen logaritam?

Da bismo ovo razumjeli, riješimo jednadžbu: \(3^(x)=9\). Samo spojite \(x\) da jednakost funkcionira. Naravno, \(x=2\).

Sada riješite jednadžbu: \(3^(x)=8\). Čemu je jednako x? To je bit.

Oni najpametniji će reći: "X je malo manje od dva." Kako točno napisati ovaj broj? Da bi se odgovorilo na ovo pitanje, izumljen je logaritam. Zahvaljujući njemu, odgovor se ovdje može napisati kao \(x=\log_(3)(8)\).

Želim naglasiti da \(\log_(3)(8)\), poput svaki logaritam je samo broj. Da, izgleda neobično, ali je kratko. Jer da ga želimo napisati kao decimalu, izgledalo bi ovako: \(1,892789260714.....\)

Primjer : Riješite jednadžbu \(4^(5x-4)=10\)

Otopina :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) i \(10\) ne mogu se dovesti u istu bazu. To znači da ne možete bez logaritma. Upotrijebimo definiciju logaritma: \(a^(b)=c\) \(\Lijeva desna strelica\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Okrenimo jednadžbu tako da X bude s lijeve strane
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Prije nas. Pomaknimo \(4\) udesno. I ne bojte se logaritma, tretirajte ga kao običan broj.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Podijelite jednadžbu s 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Ovo je naš korijen. Da, izgleda neobično, ali oni ne biraju odgovor.

Odgovor : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimalni i prirodni logaritmi

Kao što je navedeno u definiciji logaritma, njegova baza može biti bilo koji pozitivan broj osim jedan \((a>0, a\neq1)\). A među svim mogućim bazama postoje dvije koje se javljaju toliko često da je za logaritme s njima izmišljen poseban kratki zapis:

Prirodni logaritam: logaritam čija je baza Eulerov broj \(e\) (jednak približno \(2,7182818…\)), a logaritam se piše kao \(\ln(a)\).

tj. \(\ln(a)\) je isto što i \(\log_(e)(a)\)

Decimalni logaritam: Logaritam čija je baza 10 piše \(\lg(a)\).

tj. \(\lg(a)\) je isto što i \(\log_(10)(a)\), gdje je \(a\) neki broj.

Osnovni logaritamski identitet

Logaritmi imaju mnoga svojstva. Jedan od njih se zove “Osnovni logaritamski identitet” i izgleda ovako:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Ovo svojstvo izravno proizlazi iz definicije. Pogledajmo kako je točno nastala ova formula.

Prisjetimo se kratke oznake definicije logaritma:

ako \(a^(b)=c\), tada \(\log_(a)(c)=b\)

Odnosno, \(b\) je isto što i \(\log_(a)(c)\). Tada možemo napisati \(\log_(a)(c)\) umjesto \(b\) u formuli \(a^(b)=c\). Ispalo je \(a^(\log_(a)(c))=c\) - glavni logaritamski identitet.

Možete pronaći i druga svojstva logaritama. Uz njihovu pomoć možete pojednostaviti i izračunati vrijednosti izraza s logaritmima, koje je teško izravno izračunati.

Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(36^(\log_(6)(5))\)

Otopina :

Odgovor : \(25\)

Kako napisati broj kao logaritam?

Kao što je gore spomenuto, svaki logaritam je samo broj. Vrijedi i obrnuto: bilo koji broj se može napisati kao logaritam. Na primjer, znamo da je \(\log_(2)(4)\) jednako dva. Zatim umjesto dva možete napisati \(\log_(2)(4)\).

Ali \(\log_(3)(9)\) također je jednako \(2\), što znači da možemo pisati i \(2=\log_(3)(9)\) . Isto tako s \(\log_(5)(25)\), i s \(\log_(9)(81)\), itd. Odnosno, ispada

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Dakle, ako trebamo, možemo zapisati dva kao logaritam s bilo kojom bazom bilo gdje (čak i u jednadžbi, čak i u izrazu, čak i u nejednadžbi) - jednostavno zapišemo kvadrat baze kao argument.

Isto je i s trojkom – može se napisati kao \(\log_(2)(8)\), ili kao \(\log_(3)(27)\), ili kao \(\log_(4)( 64) \)... Ovdje pišemo bazu u kocki kao argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

I sa četiri:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

I sa minus jedan:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

I s jednom trećinom:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Bilo koji broj \(a\) može se predstaviti kao logaritam s bazom \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Primjer : Pronađite značenje izraza \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Otopina :

Odgovor : \(1\)

Logaritam pozitivnog broja b prema bazi a (a>0, a nije jednako 1) je broj c takav da je a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Imajte na umu da je logaritam nepozitivnog broja nedefiniran. Osim toga, baza logaritma mora biti pozitivan broj koji nije jednak 1. Na primjer, ako kvadriramo -2, dobit ćemo broj 4, ali to ne znači da je logaritam na bazi -2 od 4 jednako je 2.

Osnovni logaritamski identitet

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Važno je da je opseg definicije desne i lijeve strane ove formule različit. Lijeva strana je definirana samo za b>0, a>0 i a ≠ 1. Desna strana je definirana za bilo koji b, i uopće ne ovisi o a. Dakle, primjena osnovnog logaritamskog "identiteta" pri rješavanju jednadžbi i nejednadžbi može dovesti do promjene OD.

Dvije očite posljedice definicije logaritma

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Doista, dizanjem broja a na prvu potenciju dobivamo isti broj, a dizanjem na nultu potenciju dobivamo jedinicu.

Logaritam umnoška i logaritam kvocijenta

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Želio bih upozoriti školsku djecu da nepromišljeno koriste ove formule pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi. Kada ih koristite "slijeva nadesno", ODZ se sužava, a kada prelazite sa zbroja ili razlike logaritama na logaritam umnoška ili kvocijenta, ODZ se širi.

Doista, izraz log a (f (x) g (x)) je definiran u dva slučaja: kada su obje funkcije strogo pozitivne ili kada su f (x) i g (x) obje manje od nule.

Pretvarajući ovaj izraz u zbroj log a f (x) + log a g (x), prisiljeni smo ograničiti se samo na slučaj kada je f(x)>0 i g(x)>0. Postoji sužavanje raspona prihvatljivih vrijednosti, a to je kategorički neprihvatljivo, jer može dovesti do gubitka rješenja. Sličan problem postoji i za formulu (6).

Stupanj se može uzeti iz predznaka logaritma

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

I opet bih želio pozvati na točnost. Razmotrite sljedeći primjer:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Lijeva strana jednakosti očito je definirana za sve vrijednosti f(x) osim nule. Desna strana je samo za f(x)>0! Izuzimanjem stupnja iz logaritma opet sužavamo ODZ. Obrnuti postupak dovodi do proširenja raspona prihvatljivih vrijednosti. Sve ove napomene vrijede ne samo za potenciju 2, već i za bilo koju parnu potenciju.

Formula za prelazak na novi temelj

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Taj rijedak slučaj kada se ODZ ne mijenja tijekom transformacije. Ako ste mudro odabrali bazu c (pozitivnu a ne jednaku 1), formula za prelazak na novu bazu potpuno je sigurna.

Odaberemo li broj b kao novu bazu c, dobivamo važan poseban slučaj formule (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Nekoliko jednostavnih primjera s logaritmima

Primjer 1. Izračunajte: log2 + log50.
Otopina. log2 + log50 = log100 = 2. Koristili smo formulu zbroja logaritama (5) i definiciju decimalnog logaritma.

Primjer 2. Izračunajte: lg125/lg5.
Otopina. log125/log5 = log 5 125 = 3. Koristili smo formulu za prelazak na novu bazu (8).

Tablica formula povezanih s logaritmima

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)