Primjeri metode Lagrangeovih množitelja. Lagrangeova metoda multiplikatora
Riješenje. Pronađite ekstremum funkcije F(X) = 9 x 1 +x 1 2 +6 x 2 +x 2 2 pomoću Lagrangeove funkcije:
gdje
je funkcija cilja vektora .
- implicitna ograničenja (i=1..n)
Kao ciljna funkcija, podložno optimizaciji, u ovom problemu djeluje funkcija:
F(X) = 9 x 1 + x 1 2 + 6 x 2 + x 2 2
Prepišimo ograničenje problema u implicitnom obliku:
Sastavljamo pomoćnu Lagrangeovu funkciju:
= 9 x 1 +x 1 2 +6 x 2 +x 2 2 + λ(x 1 +x 2 -150)
Nužan uvjet za ekstrem Lagrangeove funkcije je jednakost nuli njezinih parcijalnih derivacija u odnosu na varijable x i i neodređeni množitelj λ.
Kreirajmo sustav:
∂L/∂x 1 = 2 x 1 +λ+9 = 0
∂L/∂x 2 = λ+2 x 2 +6 = 0
∂F/∂λ = x 1 + x 2 -150= 0
Sustav rješavamo Gaussovom metodom ili Cramerovim formulama.
Sustav pišemo u obliku: 
Radi praktičnosti izračuna, mijenjamo retke: 
Dodajmo 2. redak 1.:
Drugi red pomnožite s (2). Pomnožite 3. red s (-1). Dodajmo 3. redak 2.: 
Pomnožite 2. red s (-1). Dodajmo 2. redak 1.: 
Iz 1. retka izražavamo x 3
Iz 2. retka izražavamo x 2
Iz 3. retka izražavamo x 1
Dakle, da bi ukupni trošak proizvodnje bio minimalan, potrebno je proizvesti x 1 = 74,25; x2 = 75,75.
Vježbajte. Prema proizvodnom planu, poduzeće treba proizvoditi 50 proizvoda. Ove proizvode moguće je izraditi na 2 tehnološka načina. U proizvodnji x 1 - proizvoda na 1. način troškovi su 3x 1 + x 1 2 (tona rubalja), au proizvodnji x 2 - proizvoda na 2. način oni će biti 5x 2 + x 2 2 (tona rubalja) . Odredite koliko proizvoda svaka od metoda treba proizvesti tako da ukupni trošak proizvodnje bude minimalan.
Rješenje: sastavite funkciju cilja i ograničenja:
F(X) = 3x 1 +x 1 2 + 5x 2 +x 2 2 → min
x 1 + x 2 = 50
an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)
sastoji se u zamjeni proizvoljnih konstanti ck u općem rješenju
z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...
Cnzn(t)
relevantan homogena jednadžba
an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0
na pomoćne funkcije ck(t) čije derivacije zadovoljavaju linearni algebarski sustav
Determinanta sustava (1) je Wronskian funkcija z1,z2,...,zn, što osigurava njegovu jedinstvenu rješivost u odnosu na .
Ako su antiderivacije za uzete pri fiksnim vrijednostima konstanti integracije, tada je funkcija
je rješenje izvorne linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe. Integracija nehomogena jednadžba u prisutnosti općeg rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe, stoga se svodi na kvadrature.
Lagrangeova metoda (metoda varijacije proizvoljnih konstanti)
Metoda za dobivanje općeg rješenja nehomogene jednadžbe, poznavanje općeg rješenja homogene jednadžbe bez pronalaženja posebnog rješenja.
Za linearnu homogenu diferencijalnu jednadžbu n-tog reda
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,
gdje je y = y(x) nepoznata funkcija, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) su poznati, kontinuirani, istiniti: 1) postoji n linearno nezavisna rješenja jednadžbi y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) za bilo koje vrijednosti konstanti c1, c2, ..., cn, funkcija y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) je rješenje jednadžbe; 3) za bilo koji početne vrijednosti x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 postoje vrijednosti c*1, c*n, ..., c*n takve da je rješenje y*(x)=c*1 y1(x ) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) zadovoljava za x = x0 početni uvjeti y*(x0)=y0, (y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.
Izraz y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) naziva se zajedničko rješenje linearna homogena diferencijalna jednadžba n-tog reda.
Skup od n linearno neovisnih rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe n-tog reda y1(x), y2(x), ..., yn(x) naziva se temeljni sustav rješenja jednadžbe.
Za linearnu homogenu diferencijalnu jednadžbu sa konstantni koeficijenti postoji jednostavan algoritam za konstruiranje temeljnog sustava rješenja. Rješenje jednadžbe tražit ćemo u obliku y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, tj. broj l je korijen karakteristična jednadžba ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. Lijeva strana karakteristične jednadžbe naziva se karakteristični polinom linearne diferencijalne jednadžbe: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Time se problem rješavanja linearne homogene jednadžbe n-tog reda s konstantnim koeficijentima svodi na rješavanje algebarske jednadžbe.
Ako karakteristična jednadžba ima n različitih realnih korijena l1№ l2 № ... № ln, tada se temeljni sustav rješenja sastoji od funkcija y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . .., yn (x) = exp(lnx), a opće rješenje homogene jednadžbe je: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).
temeljni sustav rješenja i opće rješenje za slučaj jednostavnih realnih korijena.
Ako se bilo koji od stvarnih korijena karakteristične jednadžbe ponavlja r puta (r-struki korijen), tada mu odgovara r funkcija u temeljnom sustavu rješenja; ako je lk=lk+1 = ... = lk+r-1, tada in temeljni sustav rješenja jednadžbe, postoji r funkcija: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+ r-1( x)=xr-1exp(lnx).
PRIMJER 2. Fundamentalni sustav rješenja i opće rješenje za slučaj više realnih korijena.
Ako karakteristična jednadžba ima složene korijene, tada svaki par jednostavnih (množenja 1) složenih korijena lk,k+1=ak ± ibk u temeljnom sustavu rješenja odgovara paru funkcija yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).
PRIMJER 4. Fundamentalni sustav rješenja i opće rješenje za slučaj jednostavnih složenih korijena. imaginarni korijeni.
Ako kompleksni par korijena ima višestrukost r, tada takav par lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, u temeljnom sustavu rješenja odgovaraju funkcijama exp(akx)cos( bkx), exp(akx )sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).
PRIMJER 5. Fundamentalni sustav rješenja i opće rješenje za slučaj više kompleksnih korijena.
Dakle, za pronalaženje općeg rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima treba: zapisati karakterističnu jednadžbu; pronaći sve korijene karakteristične jednadžbe l1, l2, ... , ln; zapisati temeljni sustav rješenja y1(x), y2(x), ..., yn(x); napišite izraz za opće rješenje y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x). Da bismo riješili Cauchyjev problem, trebamo zamijeniti izraz za opće rješenje u početne uvjete i odrediti vrijednosti konstanti c1,..., cn, koje su rješenja sustava linearnih algebarske jednadžbe c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0) ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1
Za linearnu nehomogenu diferencijalnu jednadžbu n-tog reda
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),
gdje je y = y(x) nepoznata funkcija, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) su poznati, kontinuirani, valjani: 1 ) ako su y1(x) i y2(x) dva rješenja nehomogene jednadžbe, tada je funkcija y(x) = y1(x) - y2(x) rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe; 2) ako je y1(x) rješenje nehomogene jednadžbe, a y2(x) rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe, tada je funkcija y(x) = y1(x) + y2(x) rješenje nehomogena jednadžba; 3) ako su y1(x), y2(x), ..., yn(x) n linearno neovisnih rješenja homogene jednadžbe, a ych(x) - proizvoljna odluka nehomogena jednadžba, tada za bilo koje početne vrijednosti x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 postoje vrijednosti c*1, c*n, ..., c*n takve da rješenje y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) zadovoljava za x = x0 početne uvjete y*( x0)=y0, ( y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.
Izraz y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x) nazivamo općim rješenjem linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe n-tog reda.
Pronaći partikularna rješenja nehomogenih diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima s desnim stranama oblika: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), gdje su Pk(x), Qm(x) polinomi stupnja k i m prema tome, postoji jednostavan algoritam za konstruiranje određenog rješenja, koji se naziva metoda odabira.
Metoda odabira, odnosno metoda nesigurnih koeficijenata je sljedeća. Željeno rješenje jednadžbe zapisano je kao: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, gdje su Pr(x), Qr(x) polinoma stupnja r = max(k, m) s nepoznatim koeficijentima pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0. Faktor xs naziva se rezonantni faktor. Rezonancija se javlja u slučajevima kada među korijenima karakteristične jednadžbe postoji korijen l = a ± ib višestrukosti s. Oni. ako se među korijenima karakteristične jednadžbe odgovarajuće homogene jednadžbe nalazi takav da se njezin realni dio podudara s koeficijentom u eksponentu, a imaginarni dio s koeficijentom u argumentu trigonometrijska funkcija na desnoj strani jednadžbe, a mnogostrukost tog korijena je s, tada u željenom posebnom rješenju postoji rezonantni faktor xs. Ako nema takve podudarnosti (s=0), onda nema rezonantnog faktora.
Zamjenom izraza za određeno rješenje na lijevoj strani jednadžbe, dobivamo generalizirani polinom istog oblika kao polinom na desnoj strani jednadžbe, čiji su koeficijenti nepoznati.
Dva generalizirana polinoma su jednaka ako i samo ako su koeficijenti faktora oblika xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) s istim potencijama t jednaki. Izjednačavanjem koeficijenata takvih faktora dobivamo sustav od 2(r+1) linearnih algebarskih jednadžbi u 2(r+1) nepoznanica. Može se pokazati da je takav sustav konzistentan i ima jedinstveno rješenje.
|
Lagrangeova metoda je metoda za rješavanje problema uvjetna optimizacija, pod kojim su ograničenja napisana kao implicitne funkcije, kombiniraju se s funkcijom cilja u obliku nove jednadžbe tzv Lagrangeov.
Smatrati poseban slučaj zajednički zadatak ne linearno programiranje:
Zadani sustav nelinearne jednadžbe (1):
(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),
Pronađite najmanju (ili najveću) vrijednost funkcije (2)
(2) f (h1,h2,…,hn),
ako ne postoje uvjeti za nenegativnost varijabli i f(x1,x2,…,xn) i gi(x1,x2,…,xn) su funkcije koje su kontinuirane zajedno sa svojim parcijalnim izvodnicama.
Da biste pronašli rješenje za ovaj problem, možete se prijaviti sljedeća metoda: 1. Uvodi se skup varijabli λ1, λ2,…, λm, nazvanih Lagrangeovi multiplikatori, koji čine Lagrangeovu funkciju (3)
(3) F(h1,h2,…,hn , λ1,λ2,…,λm) = f(h1,h2,…,hn)+ λi .
2. Naći parcijalne derivacije Lagrangeove funkcije po varijablama xi i λi i izjednačiti ih s nulom.
3. Rješavajući sustav jednadžbi, pronaći točke u kojima funkcija cilja zadatka može imati ekstrem.
4. Među točkama za koje postoji sumnja da nisu ekstremumi pronalaze one u kojima je ekstrem dostignut i izračunavaju vrijednosti funkcije u tim točkama .
4. Usporedite dobivene vrijednosti funkcije f i odaberite najbolju.
Prema proizvodnom planu, poduzeće treba proizvesti 180 proizvoda. Ovi proizvodi se mogu proizvoditi na dva tehnološka načina. U proizvodnji proizvoda x1 metodom I troškovi su 4 * x1 + x1 ^ 2 rublja, au proizvodnji proizvoda x2 metodom II oni su 8 * x2 + x2 ^ 2 rublja. Odrediti koliko proizvoda treba izraditi na svaki od načina da ukupni trošak proizvodnje bude minimalan.
Rješenje: Matematička formulacija problema sastoji se u određivanju najmanje vrijednosti funkcije dviju varijabli:
f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, pod uvjetom da je x1 +x2 = 180.
Sastavimo Lagrangeovu funkciju:
F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).
Izračunavamo njegove parcijalne derivacije u odnosu na x1, x2, λ i izjednačavamo ih s 0:
Prve dvije jednadžbe λ prenesemo na desne strane i izjednačimo njihove lijeve strane, dobivamo 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, odnosno x1 − x2 = 2.
Rješavanjem posljednje jednadžbe zajedno s jednadžbom x1 + x2 = 180 nalazimo x1 = 91, x2 = 89, odnosno dobili smo rješenje koje zadovoljava uvjete:
Nađimo vrijednost funkcije cilja f za ove vrijednosti varijabli:
F(x1, x2) = 17278
Ova točka je sumnjiva za ekstrem. Koristeći druge parcijalne derivacije možemo pokazati da u točki (91.89) funkcija f ima minimum.
Razmotrimo najprije slučaj funkcije dviju varijabli. Uvjetni ekstrem funkcije $z=f(x,y)$ u točki $M_0(x_0;y_0)$ je ekstrem ove funkcije, postignut pod uvjetom da su varijable $x$ i $y$ u blizini ove točke zadovoljavaju jednadžbu ograničenja $\ varphi(x,y)=0$.
Naziv "uvjetni" ekstrem je zbog činjenice da je dodatni uvjet $\varphi(x,y)=0$ nametnut varijablama. Ako je iz jednadžbe veze moguće izraziti jednu varijablu preko druge, onda se problem određivanja uvjetnog ekstremuma svodi na problem uobičajenog ekstremuma funkcije jedne varijable. Na primjer, ako $y=\psi(x)$ slijedi iz jednadžbe ograničenja, tada zamjenom $y=\psi(x)$ u $z=f(x,y)$, dobivamo funkciju jedne varijable $ z=f\lijevo (x,\psi(x)\desno)$. NA opći slučaj međutim, ova metoda je od male koristi, pa je potreban novi algoritam.
Metoda Lagrangeovih množitelja za funkcije dviju varijabli.
Metoda Lagrangeovih množitelja sastoji se u tome da se za pronalaženje uvjetnog ekstrema Lagrangeova funkcija sastoji: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parametar $\lambda $ naziva se Lagrangeov multiplikator). Potrebni ekstremni uvjeti dani su sustavom jednadžbi iz kojih se određuju stacionarne točke:
$$ \lijevo \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\kraj(poravnano)\desno.$$
Znak $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Ako je u stacionarnoj točki $d^2F > 0$, tada funkcija $z=f(x,y)$ ima uvjetni minimum u ovoj točki, ali ako je $d^2F< 0$, то условный максимум.
Postoji još jedan način da se odredi priroda ekstrema. Iz jednadžbe ograničenja dobivamo: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, tako da u bilo kojoj stacionarnoj točki imamo:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\lijevo(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\desno)+ F_(yy)^("")\lijevo(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\desno)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\lijevo(\varphi_(y)^(") \desno)^2)\cdot\lijevo(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\desno)$$
Drugi faktor (koji se nalazi u zagradama) može se prikazati u ovom obliku:
Elementi $\lijevo| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (niz) \right|$ što je Hessian Lagrangeove funkcije. Ako je $H > 0$ tada je $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 dolara, tj. imamo uvjetni minimum funkcije $z=f(x,y)$.
Napomena o obliku determinante $H$. Pokaži sakrij
$$ H=-\lijevo|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ kraj(niza) \desno| $$
U ovoj situaciji, gore formulirano pravilo mijenja se na sljedeći način: ako je $H > 0$, tada funkcija ima uvjetni minimum, a za $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
Algoritam za proučavanje funkcije dviju varijabli za uvjetni ekstrem
- Sastavite Lagrangeovu funkciju $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
- Rješavanje sustava $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\kraj(poravnano)\desno.$
- Odredite prirodu ekstrema u svakom od onih koji se nalaze u prethodnom paragrafu stacionarne točke. Da biste to učinili, upotrijebite jednu od sljedećih metoda:
- Sastavi determinantu $H$ i odredi joj predznak
- Uzimajući u obzir jednadžbu ograničenja, izračunajte predznak $d^2F$
Lagrangeova metoda množenja za funkcije od n varijabli
Pretpostavimo da imamo funkciju od $n$ varijabli $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ i $m$ jednadžbi ograničenja ($n > m$):
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
Označavajući Lagrangeove množitelje kao $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, sastavljamo Lagrangeovu funkciju:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
Potrebni uvjeti za postojanje uvjetnog ekstremuma dati su sustavom jednadžbi iz kojih se nalaze koordinate stacionarnih točaka i vrijednosti Lagrangeovih množitelja:
$$\lijevo\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$
Ima li funkcija uvjetni minimum ili uvjetni maksimum u pronađenoj točki moguće je, kao i do sada, saznati pomoću predznaka $d^2F$. Ako je u pronađenoj točki $d^2F > 0$, tada funkcija ima uvjetni minimum, ali ako je $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
Determinanta matrice $\lijevo| \begin(niz) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( niz) \right|$ označeno crvenom bojom u $L$ matrici je Hessian Lagrangeove funkcije. Koristimo sljedeće pravilo:
- Ako su predznaci kutnih minora $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrice $L$ podudaraju se s predznakom $(-1)^m$, tada je stacionarna točka koja se proučava uvjetna minimalna točka funkcije $z =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
- Ako su predznaci kutnih minora $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ se izmjenjuju, a predznak minora $H_(2m+1)$ podudara se sa predznakom broja $(-1)^(m+1 )$, tada je proučavana stacionarna točka uvjetna maksimalna točka funkcije $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
Primjer #1
Pronađite uvjetni ekstrem funkcije $z(x,y)=x+3y$ pod uvjetom $x^2+y^2=10$.
Geometrijska interpretacija ovog problema je sljedeća: potrebno je pronaći najveći i najmanja vrijednost primjene ravnine $z=x+3y$ za točke njezina presjeka s valjkom $x^2+y^2=10$.
Donekle je teško izraziti jednu varijablu kroz drugu iz jednadžbe ograničenja i zamijeniti je u funkciju $z(x,y)=x+3y$, pa ćemo koristiti Lagrangeovu metodu.
Označavajući $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, sastavljamo Lagrangeovu funkciju:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\djelomični x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$
Zapišimo sustav jednadžbi za određivanje stacionarnih točaka Lagrangeove funkcije:
$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \kraj (poravnano)\desno.$$
Ako pretpostavimo $\lambda=0$, tada prva jednadžba postaje: $1=0$. Rezultirajuća kontradikcija kaže da je $\lambda\neq 0$. Pod uvjetom $\lambda\neq 0$, iz prve i druge jednadžbe imamo: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Zamjenom dobivenih vrijednosti u treću jednadžbu dobivamo:
$$ \lijevo(-\frac(1)(2\lambda) \desno)^2+\lijevo(-\frac(3)(2\lambda) \desno)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \lijevo[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(poravnano) \desno.\\ \begin(poravnano) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\kraj(poravnano) $$
Dakle, sustav ima dva rješenja: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ i $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Otkrijmo prirodu ekstrema u svakoj stacionarnoj točki: $M_1(1;3)$ i $M_2(-1;-3)$. Da bismo to učinili, izračunavamo determinantu $H$ u svakoj od točaka.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\lijevo| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \lijevo| \begin(niz) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(niz) \right|= 8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(niz) \right| $$
U točki $M_1(1;3)$ dobivamo: $H=8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(niz) \right|= 8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(niz) \right|=40 > 0$, dakle u točki $M_1(1;3)$ funkcija $z(x,y)=x+3y$ ima uvjetni maksimum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.
Slično, u točki $M_2(-1;-3)$ nalazimo: $H=8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(niz) \right|= 8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(niz) \right|=-40$. Od $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
Napominjem da je umjesto izračunavanja vrijednosti determinante $H$ u svakoj točki, mnogo prikladnije proširiti je u opći pogled. Kako ne bih zatrpao tekst detaljima, ovu metodu ću sakriti ispod bilješke.
Determinantni $H$ zapis u općem obliku. Pokaži sakrij
$$ H=8\cdot\lijevo|\begin(niz)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(niz)\desno| =8\cdot\lijevo(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\desno) =-8\lambda\cdot\lijevo(y^2+x^2\desno). $$
U principu je već očito koji predznak ima $H$. Kako se niti jedna od točaka $M_1$ ili $M_2$ ne poklapa s ishodištem, tada je $y^2+x^2>0$. Stoga je predznak $H$ suprotan predznaku $\lambda$. Također možete dovršiti izračune:
$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\lijevo((-3)^2+(-1)^2\desno)=-40. \kraj(poravnano) $$
Pitanje o prirodi ekstremuma u stacionarnim točkama $M_1(1;3)$ i $M_2(-1;-3)$ može se riješiti bez upotrebe determinante $H$. Pronađite predznak $d^2F$ u svakoj stacionarnoj točki:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\desno) $$
Napominjem da oznaka $dx^2$ znači upravo $dx$ podignuto na drugu potenciju, tj. $\lijevo(dx\desno)^2$. Stoga imamo: $dx^2+dy^2>0$, pa za $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ dobivamo $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
Odgovor: u točki $(-1;-3)$ funkcija ima uvjetni minimum, $z_(\min)=-10$. U točki $(1;3)$ funkcija ima uvjetni maksimum, $z_(\max)=10$
Primjer #2
Pronađite uvjetni ekstrem funkcije $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ pod uvjetom $x+y=0$.
Prvi način (metoda Lagrangeovih množitelja)
Označavajući $\varphi(x,y)=x+y$ sastavljamo Lagrangeovu funkciju: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \lijevo \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\kraj(poravnano)\desno.$$
Rješavanjem sustava dobivamo: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ i $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Imamo dvije stacionarne točke: $M_1(0;0)$ i $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Otkrijmo prirodu ekstremuma u svakoj stacionarnoj točki pomoću determinante $H$.
$$ H=\lijevo| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \lijevo| \begin(niz) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(niz) \right|=-10-18y $$
U točki $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, tako da u ovoj točki funkcija ima uvjetni maksimum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
Istražujemo prirodu ekstrema u svakoj od točaka različitom metodom, temeljenom na predznaku $d^2F$:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$
Iz jednadžbe ograničenja $x+y=0$ imamo: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
Budući da je $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, tada je $M_1(0;0)$ uvjetna točka minimuma funkcije $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Slično, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
Drugi način
Iz jednadžbe ograničenja $x+y=0$ dobivamo: $y=-x$. Zamjenom $y=-x$ u funkciju $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ dobivamo neku funkciju varijable $x$. Označimo ovu funkciju kao $u(x)$:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
Time smo problem nalaženja uvjetnog ekstremuma funkcije dviju varijabli sveli na problem određivanja ekstremuma funkcije jedne varijable.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$
Ima bodove $M_1(0;0)$ i $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Daljnje istraživanje poznato iz kolegija diferencijalni račun funkcije jedne varijable. Ispitujući predznak $u_(xx)^("")$ u svakoj stacionarnoj točki ili provjeravajući promjenu predznaka $u_(x)^(")$ u pronađenim točkama, dolazimo do istih zaključaka kao u prvom rješenju . Na primjer, znak za provjeru $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
Budući da je $u_(xx)^("")(M_1)>0$, tada je $M_1$ točka minimuma funkcije $u(x)$, dok je $u_(\min)=u(0)=0 $ . Budući da $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
Vrijednosti funkcije $u(x)$ pod zadanim uvjetom veze podudaraju se s vrijednostima funkcije $z(x,y)$, tj. pronađeni ekstremi funkcije $u(x)$ su željeni uvjetni ekstremi funkcije $z(x,y)$.
Odgovor: u točki $(0;0)$ funkcija ima uvjetni minimum, $z_(\min)=0$. U točki $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ funkcija ima uvjetni maksimum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.
Razmotrimo još jedan primjer u kojem otkrivamo prirodu ekstremuma određivanjem predznaka $d^2F$.
Primjer #3
Pronađite maksimalnu i minimalnu vrijednost funkcije $z=5xy-4$ ako su varijable $x$ i $y$ pozitivne i zadovoljavaju jednadžbu ograničenja $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.
Sastavite Lagrangeovu funkciju: $F=5xy-4+\lambda \lijevo(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \desno)$. Pronađite stacionarne točke Lagrangeove funkcije:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(poravnano) \desno.$$
Sve daljnje transformacije provode se uzimajući u obzir $x > 0; \; y > 0$ (to je navedeno u uvjetu zadatka). Iz druge jednadžbe izražavamo $\lambda=-\frac(5x)(y)$ i zamjenjujemo pronađenu vrijednost u prvu jednadžbu: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Zamjenom $x=2y$ u treću jednadžbu dobivamo: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.
Kako je $y=1$, onda je $x=2$, $\lambda=-10$. Priroda ekstrema u točki $(2;1)$ određena je predznakom $d^2F$.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
Budući da je $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, tada:
$$ d\lijevo(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\desno)=0; \; d\lijevo(\frac(x^2)(8) \desno)+d\lijevo(\frac(y^2)(2) \desno)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
U principu, ovdje možete odmah zamijeniti koordinate stacionarne točke $x=2$, $y=1$ i parametar $\lambda=-10$, čime dobivate:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \lijevo(-\frac(dx)(2) \desno)-10\cdot \lijevo(-\frac(dx) (2) \desno)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
Međutim, u drugim problemima za uvjetni ekstrem može postojati nekoliko stacionarnih točaka. U takvim slučajevima, bolje je predstaviti $d^2F$ u općem obliku, a zatim zamijeniti koordinate svake od pronađenih stacionarnih točaka u dobiveni izraz:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \lijevo(-\frac(xdx)(4y) \desno)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\lijevo(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \desno)\cdot dx^2 $$
Zamjenom $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, dobivamo:
$$ d^2 F=\lijevo(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \desno)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
Budući da je $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
Odgovor: u točki $(2;1)$ funkcija ima uvjetni maksimum, $z_(\max)=6$.
U sljedećem dijelu razmatramo primjenu Lagrangeove metode za funkcije više varijable.
Kratka teorija
Lagrangeova metoda množenja je klasična metoda za rješavanje problema matematičko programiranje(osobito konveksne). Nažalost, kod praktična aplikacija Metoda može naići na značajne računalne poteškoće, sužavajući opseg njezine upotrebe. Ovdje razmatramo Lagrangeovu metodu uglavnom zato što je to aparat koji se aktivno koristi za potvrđivanje raznih modernih numeričke metode naširoko koristi u praksi. Što se tiče Lagrangeove funkcije i Lagrangeovih množitelja, oni igraju neovisno i isključivo važna uloga u teoriji i primjenama ne samo matematičko programiranje.
Smatrati klasični problem optimizacije:
Među ograničenjima ovog problema nema nejednakosti, nema uvjeta za nenegativnost varijabli, njihovu diskretnost, a funkcije i su kontinuirane i imaju parcijalne derivacije barem drugog reda.
Klasičan pristup rješavanju problema daje sustav jednadžbi ( potrebne uvjete), koje mora zadovoljiti točka koja funkciji daje lokalni ekstrem na skupu točaka koje zadovoljavaju ograničenja (za problem konveksnog programiranja, pronađena točka će također biti točka globalnog ekstrema).
Pretpostavimo da funkcija (1) ima lokalni uvjetni ekstrem u točki i da je rang matrice jednak . Tada se potrebni uvjeti mogu napisati kao:
je Lagrangeova funkcija; su Lagrangeovi multiplikatori.
Postoje također dovoljni uvjeti, pri čemu rješenje sustava jednadžbi (3) određuje točku ekstrema funkcije . Ovo se pitanje rješava na temelju proučavanja predznaka drugog diferencijala Lagrangeove funkcije. Međutim, dovoljni uvjeti uglavnom su od teorijskog interesa.
Možete navesti sljedeći postupak za rješavanje problema (1), (2) metodom Lagrangeovog množitelja:
1) sastaviti Lagrangeovu funkciju (4);
2) pronaći parcijalne derivacije Lagrangeove funkcije u odnosu na sve varijable i izjednačiti ih
nula. Tako će se dobiti sustav (3) koji se sastoji od jednadžbi.Rezultirajući sustav (ako se pokaže mogućim!) riješiti i tako pronaći sve stacionarne točke Lagrangeove funkcije;
3) iz stacionarnih točaka uzetih bez koordinata, odaberite točke u kojima funkcija ima uvjetne lokalne ekstreme u prisutnosti ograničenja (2). Ovaj izbor je napravljen, na primjer, korištenjem dovoljnih uvjeta lokalni ekstrem. Često je studija pojednostavljena ako se koriste specifični uvjeti problema.
Primjer rješenja problema
Zadatak
Poduzeće proizvodi dvije vrste robe u količinama i . Funkcija korisnog troška definirana je relacijom . Cijene te robe na tržištu su jednake i respektivno.
Odredite pri kojim se količinama proizvodnje ostvaruje najveći profit i čemu je on jednak ako ukupni troškovi ne prelaze
Imate problema s razumijevanjem procesa rješavanja? Stranica ima uslugu Rješavanje problema metodama optimalnih rješenja po narudžbi
Rješenje problema
Ekonomski i matematički model problema
Funkcija dobiti:
Ograničenja troškova:
Dobivamo sljedeći ekonomsko-matematički model:
Osim toga, prema značenju zadatka
Lagrangeova metoda multiplikatora
Sastavimo Lagrangeovu funkciju:
Nalazimo parcijalne derivacije 1. reda:
Sastavljamo i rješavamo sustav jednadžbi:
Od tad
Maksimalni profit:
Odgovor
Stoga je potrebno proizvesti jedinice. robe 1. vrste i jed. roba 2. vrste. U ovom slučaju dobit će biti maksimalna i bit će 270.
Dan je primjer rješavanja problema kvadratnog konveksnog programiranja grafičkom metodom.
Rješavanje linearnog problema grafičkom metodom
Razmotreno grafička metoda rješavanje problema linearnog programiranja (LPP) s dvije varijable. Na primjeru zadatka, Detaljan opis izrada crteža i pronalaženje rješenja.
Wilsonov model upravljanja zalihama
Na primjeru rješavanja problema razmatra se glavni model upravljanja zalihama (Wilsonov model). Izračunati takve pokazatelje modela kao optimalna veličina serije narudžbi, godišnje troškove skladištenja, interval isporuke i mjesto naručivanja.
Matrica omjera izravnih troškova i Matrica input-outputa
Na primjeru rješavanja problema razmatran je Leontjevljev međusektorski model. Prikazan je izračun matrice koeficijenata izravnih materijalnih troškova, matrice "input-output", matrice koeficijenata neizravnih troškova, vektora finalne potrošnje i bruto outputa.
Govorništvo kao prototip novinarstva
Citati o Napoleonu - dslinkov — LiveJournal
Moja osveta Čovjek na buldožeru uništio je grad