Određivanje intervala pouzdanosti za matematičko očekivanje. Primjeri problema za pronalaženje intervala pouzdanosti

I dr. Sve su to procjene njihovih teorijskih analoga, koje bi se mogle dobiti da nije dostupan uzorak, nego opća populacija. Ali nažalost, opća populacija je vrlo skupa i često nedostupna.

Pojam intervalne estimacije

Svaka procjena uzorka ima određeni raspon, jer je slučajna varijabla ovisno o vrijednostima u pojedinom uzorku. Stoga za pouzdanije statističke zaključke treba znati ne samo bodovna procjena, ali i interval koji je vrlo vjerojatan γ (gama) pokriva procijenjeni pokazatelj θ (theta).

Formalno, to su dvije takve vrijednosti (statistika) T 1 (X) I T 2 (X), Što T 1< T 2 , za koje na danoj razini vjerojatnosti γ uvjet je ispunjen:

Ukratko, vjerojatno je γ ili više pravi pokazatelj je između točaka T 1 (X) I T 2 (X), koje se nazivaju donja i gornja granica interval pouzdanosti.

Jedan od uvjeta za konstrukciju intervala povjerenja je njegova maksimalna uskost, tj. treba biti što kraći. Želja je sasvim prirodna, jer... istraživač pokušava točnije lokalizirati mjesto željenog parametra.

Iz toga slijedi da interval pouzdanosti mora pokrivati ​​maksimalne vjerojatnosti distribucije. a u središtu treba biti sama procjena.

Odnosno, vjerojatnost odstupanja (pravog pokazatelja od procjene) prema gore jednaka je vjerojatnosti odstupanja prema dolje. Također treba napomenuti da za asimetrične distribucije interval na desnoj strani nije jednaka intervalu lijevo.

Gornja slika jasno pokazuje da što je veća vjerojatnost pouzdanosti, to je širi interval - direktan odnos.

Ovo je bio kratki uvod u teoriju. intervalna procjena nepoznati parametri. Prijeđimo na pronalaženje granica povjerenja za matematičko očekivanje.

Interval pouzdanosti za matematičko očekivanje

Ako su izvorni podaci raspoređeni na , tada će prosjek biti normalna vrijednost. To proizlazi iz pravila da linearna kombinacija normalnih vrijednosti također ima normalnu distribuciju. Stoga, za izračunavanje vjerojatnosti koje bismo mogli koristiti matematički aparat zakon normalne distribucije.

Međutim, to će zahtijevati poznavanje dva parametra - očekivanja i varijance, koji su obično nepoznati. Možete, naravno, koristiti procjene umjesto parametara (aritmetička sredina i ), ali tada distribucija prosjeka neće biti sasvim normalna, već će biti malo spljoštena prema dolje. Ovu je činjenicu pametno primijetio građanin William Gosset iz Irske, objavivši svoje otkriće u ožujku 1908. godine u časopisu Biometrica. U svrhu tajnosti, Gosset se potpisao kao Student. Tako se pojavila Studentova t-distribucija.

Međutim, normalna distribucija podataka koju koristi K. Gauss u analizi pogrešaka astronomska promatranja, izuzetno je rijedak u zemaljskom životu i prilično ga je teško ustanoviti (npr visoka preciznost potrebno je oko 2 tisuće promatranja). Stoga je najbolje odbaciti pretpostavku normalnosti i koristiti metode koje ne ovise o distribuciji izvornih podataka.

Postavlja se pitanje: kolika je distribucija aritmetičke sredine ako se izračuna iz podataka nepoznate distribucije? Odgovor daje dobro poznata u teoriji vjerojatnosti Središnji granični teorem (CPT). U matematici postoji nekoliko njezinih varijanti (formulacije su se usavršavale tijekom godina), ali sve se one, grubo rečeno, svode na tvrdnju da je zbroj velika količina nezavisne slučajne varijable pokorava se normalnom zakonu distribucije.

Pri izračunu aritmetičke sredine koristi se zbroj slučajnih varijabli. Odavde se ispostavlja da aritmetička sredina ima normalnu distribuciju, u kojoj je očekivanje očekivanje izvornih podataka, a varijanca je .

Pametni ljudi znati kako dokazati CLT, ali to ćemo provjeriti uz pomoć eksperimenta provedenog u Excelu. Simulirajmo uzorak od 50 ravnomjerno raspoređenih slučajnih varijabli (koristeći Excel funkcije SLUČAJ IZMEĐU). Zatim ćemo napraviti 1000 takvih uzoraka i za svaki izračunati aritmetičku sredinu. Pogledajmo njihovu distribuciju.

Vidi se da je distribucija prosjeka blizu normalnog zakona. Ako se veličina i broj uzorka još povećaju, sličnost će biti još veća.

Sada kada smo se vlastitim očima uvjerili u valjanost CLT-a, možemo, koristeći , izračunati intervale pouzdanosti za aritmetičku sredinu, koji pokrivaju pravu sredinu ili matematičko očekivanje sa zadanom vjerojatnošću.

Da biste postavili gornju i donju granicu, morate znati parametre normalna distribucija. U pravilu ih nema, pa se koriste procjene: aritmetička sredina I varijanca uzorka . Ponavljam, ova metoda daje dobru aproksimaciju samo s velikim uzorcima. Kada su uzorci mali, često se preporučuje korištenje Studentove distribucije. Ne vjerujte! Studentova distribucija za srednju vrijednost javlja se samo kada su izvorni podaci normalno raspodijeljeni, to jest, gotovo nikad. Stoga je bolje odmah postaviti minimalnu traku za količinu potrebnih podataka i koristiti asimptotski točne metode. Kažu da je dovoljno 30 promatranja. Uzmite 50 - nećete pogriješiti.

T 1.2– donja i gornja granica intervala pouzdanosti

– uzorak aritmetičke sredine

s 0– standardna devijacija uzorka (nepristrano)

n - veličina uzorka

γ – vjerojatnost pouzdanosti (obično jednaka 0,9, 0,95 ili 0,99)

c γ =Φ -1 ((1+γ)/2) – recipročna vrijednost funkcije standardne normalne distribucije. Jednostavno rečeno, ovo je broj standardnih pogrešaka od aritmetičke sredine do donje ili gornje granice (ove tri vjerojatnosti odgovaraju vrijednostima od 1,64, 1,96 i 2,58).

Suština formule je da se uzme aritmetička sredina i zatim se iz nje izdvoji određeni iznos ( s γ) standardne pogreške ( s 0 /√n). Sve se zna, uzmite pa razmislite.

Prije raširene upotrebe osobnih računala koristila su se za dobivanje vrijednosti funkcije normalne distribucije i njezinog inverza. I sada se koriste, ali je učinkovitije okrenuti se gotovim Excel formule. Svi elementi iz gornje formule ( , i ) mogu se jednostavno izračunati u Excelu. Ali postoji gotova formula za izračunavanje intervala pouzdanosti - POVJERENJE.NORMA. Sintaksa mu je sljedeća.

CONFIDENCE.NORM(alpha;standard_off;veličina)

alfa– razina značaja odn razina povjerenja, što je u gornjoj oznaci jednako 1- γ, tj. vjerojatnost da matematičkiočekivanje će biti izvan intervala pouzdanosti. S razinom pouzdanosti od 0,95, alfa je 0,05, itd.

standard_off– standardna devijacija podataka uzorka. Nema potrebe izračunavati standardnu ​​pogrešku; Excel će sam podijeliti s korijenom od n.

veličina– veličina uzorka (n).

Rezultat funkcije NORMA POVJERANJA je drugi član iz formule za izračunavanje intervala pouzdanosti, tj. poluinterval Prema tome, donja i gornja točka su prosjek ± dobivena vrijednost.

Tako je moguće konstruirati univerzalni algoritam za izračunavanje intervala pouzdanosti za aritmetičku sredinu, koji ne ovisi o distribuciji izvornih podataka. Cijena univerzalnosti je njena asimptotska priroda, tj. potreba za korištenjem relativno velikih uzoraka. Međutim, u dobi moderne tehnologije prikupiti potrebna količina podataka obično nije teško.

Testiranje statističkih hipoteza korištenjem intervala pouzdanosti

(modul 111)

Jedan od glavnih problema koji se rješava u statistici je. Njegova suština je ukratko sljedeća. Pretpostavlja se npr. da očekivanje populacija jednaka nekoj vrijednosti. Zatim se konstruira distribucija uzoraka srednjih vrijednosti koja se može promatrati za dano očekivanje. Zatim gledaju gdje se u ovoj uvjetnoj distribuciji nalazi pravi prosjek. Ako prijeđe prihvatljive granice, tada je pojava takvog prosjeka vrlo malo vjerojatna, a ako se eksperiment jednom ponovi, gotovo je nemoguća, što je u suprotnosti s postavljenom hipotezom, koja je uspješno odbačena. Ako prosjek ne prelazi kritična razina, tada hipoteza nije odbačena (ali niti dokazana!).

Dakle, uz pomoć intervala pouzdanosti, u našem slučaju za očekivanje, također možete testirati neke hipoteze. Vrlo je jednostavno za napraviti. Recimo da je aritmetička sredina za određeni uzorak 100. Provjerava se hipoteza da je očekivana vrijednost, recimo, 90. Odnosno, ako pitanje postavimo primitivno, ono zvuči ovako: može li biti da kada pravo značenje prosjek jednak 90, promatrani prosjek se pokazao jednakim 100?

Za odgovor na ovo pitanje dodatno će vam trebati informacija o prosjeku kvadratno odstupanje i veličina uzorka. Recimo standardna devijacija je 30, a broj promatranja je 64 (tako da se korijen može lako izvući). Tada je standardna pogreška srednje vrijednosti 30/8 ili 3,75. Da biste izračunali interval pouzdanosti od 95%, morat ćete odvojiti dva na obje strane srednje vrijednosti. standardne greške(točnije po 1,96). Interval pouzdanosti bit će približno 100±7,5 ili od 92,5 do 107,5.

Daljnje obrazloženje je sljedeće. Ako je vrijednost koja se testira unutar intervala pouzdanosti, tada nije u suprotnosti s hipotezom, jer pada u granice slučajnih fluktuacija (s vjerojatnošću od 95%). Ako je točka koja se provjerava izvan intervala pouzdanosti, tada je vjerojatnost takvog događaja vrlo mala, u svakom slučaju ispod prihvatljive razine. To znači da je hipoteza odbačena kao proturječna promatranim podacima. U našem slučaju, hipoteza o očekivanoj vrijednosti je izvan intervala pouzdanosti (testirana vrijednost 90 nije uključena u interval 100±7,5), pa je treba odbaciti. Odgovarajući na gornje primitivno pitanje, treba reći: ne, ne može, u svakom slučaju, to se događa izuzetno rijetko. Često označavaju specifičnu vjerojatnost pogrešnog odbacivanja hipoteze (p-razina), a ne specificiranu razinu na kojoj je konstruiran interval pouzdanosti, ali o tome drugom prilikom.

Kao što vidite, konstruiranje intervala pouzdanosti za prosjek (ili matematičko očekivanje) nije teško. Glavno je shvatiti bit, a onda će stvari krenuti dalje. U praksi, većina slučajeva koristi interval pouzdanosti od 95%, što je približno dvije standardne pogreške u širini s obje strane srednje vrijednosti.

To je sve za sada. Sve najbolje!

Interval pouzdanosti– granične vrijednosti statistička vrijednost, koji će s danom vjerojatnošću pouzdanosti γ biti u tom intervalu pri uzorkovanju većeg volumena. Označava se kao P(θ - ε. U praksi birajte povjerenje vjerojatnostγ od vrijednosti prilično blizu jedinici: γ = 0,9, γ = 0,95, γ = 0,99.

Svrha usluge. Pomoću ove usluge možete odrediti:

• interval pouzdanosti za opću sredinu, interval pouzdanosti za varijancu;
• interval pouzdanosti za standardnu ​​devijaciju, interval pouzdanosti za opći udio;

Dobiveno rješenje sprema se u Word datoteku (vidi primjer). Ispod je video uputa za popunjavanje početnih podataka.

Primjer br. 1. Na kolektivnoj farmi, od ukupnog stada od 1000 ovaca, 100 ovaca je podvrgnuto selektivnoj kontrolnoj striži. Kao rezultat, utvrđen je prosječan ostrig vune od 4,2 kg po ovci. Odredite s vjerojatnošću od 0,99 srednju kvadratnu pogrešku uzorka pri određivanju prosječnog striženja vune po ovci i granice unutar kojih se nalazi vrijednost striženja ako je varijanca 2,5. Uzorak se ne ponavlja.
Primjer br. 2. Iz serije uvezenih proizvoda na moskovskoj sjevernoj carinskoj postaji uzet je nasumično ponovno uzorkovanje 20 uzoraka proizvoda "A". Kao rezultat provjere utvrđen je prosječni sadržaj vlage proizvoda „A“ u uzorku, koji se pokazao jednakim 6% s prosječnom kvadratno odstupanje 1 %.
S vjerojatnošću 0,683 odredite granice prosječnog sadržaja vlage proizvoda u cijeloj seriji uvezenih proizvoda.
Primjer br. 3. Anketa na 36 učenika pokazala je da prosječan broj udžbenika godišnje pročitaju akademska godina, ispostavilo se da je jednak 6. S obzirom da broj udžbenika koje student pročita po semestru ima normalno pravo distribucije sa standardnom devijacijom jednakom 6, pronađite: A) s pouzdanošću od 0,99 intervalna procjena za matematičko očekivanje ovoga nasumična varijabla; B) s kojom vjerojatnošću možemo reći da će prosječan broj udžbenika koje student pročita po semestru, izračunat iz zadanog uzorka, odstupati od matematičkog očekivanja prema apsolutna vrijednost ne više od 2.

Klasifikacija intervala povjerenja

Prema vrsti parametra koji se procjenjuje:

Prema vrsti uzorka:

1. Interval pouzdanosti za beskonačan uzorak;
2. Interval pouzdanosti za konačni uzorak;

Uzorak se naziva ponovno uzorkovanje, ako se odabrani objekt vrati u populaciju prije odabira sljedećeg. Uzorak se naziva neponavljajući, ako se odabrani objekt ne vrati u populaciju. U praksi obično imamo posla s uzorcima koji se ne ponavljaju.

Izračun prosječne pogreške uzorkovanja za slučajno uzorkovanje

Razlika između vrijednosti pokazatelja dobivenih iz uzorka i odgovarajućih parametara opće populacije naziva se pogreška reprezentativnosti.
Oznake glavnih parametara opće i uzorkovane populacije.

Formule prosječne pogreške uzorkovanja
ponovni odabir		ponoviti odabir
za prosjek	za udio	za prosjek	za udio

Odnos između granice pogreške uzorkovanja (Δ) zajamčene s određenom vjerojatnošću R(t), I prosječna greška uzorak ima oblik: ili Δ = t·μ, gdje je t– koeficijent pouzdanosti, određen ovisno o razini vjerojatnosti P(t) prema tablici Laplaceove integralne funkcije.

Formule za izračunavanje veličine uzorka korištenjem metode isključivo slučajnog uzorkovanja

Neka se uzme uzorak iz opće populacije koja podliježe zakonu normalan distribucija xN( m;  ). Ova osnovna pretpostavka matematičke statistike temelji se na središnjem graničnom teoremu. Neka je poznata opća standardna devijacija  , ali matematičko očekivanje teorijske distribucije je nepoznato m(Prosječna vrijednost ).

U ovom slučaju, sredina uzorka , dobiven tijekom eksperimenta (odjeljak 3.4.2), također će biti slučajna varijabla m;
). Zatim "normalizirano" odstupanje
N(0;1) – je standardna normalna slučajna varijabla.

Zadatak je pronaći intervalnu procjenu za m. Konstruirajmo dvostrani interval pouzdanosti za m tako da mu pravo matematičko očekivanje pripada sa zadanom vjerojatnošću (pouzdanošću)  .

Postavite takav interval za vrijednost
- to znači pronaći najveću vrijednost ove količine
i minimum
, koje su granice kritičnog područja:
.

Jer ova je vjerojatnost jednaka
, tada je korijen ove jednadžbe
mogu se pronaći pomoću Laplaceovih tablica funkcija (Tablica 3, Dodatak 1).

Zatim s vjerojatnošću  može se tvrditi da slučajna varijabla
, odnosno željeni opći prosjek pripada intervalu
. (3.13)

Veličina
(3.14)

nazvao točnost procjene.

Broj
– kvantil normalna distribucija - može se pronaći kao argument Laplaceove funkcije (Tablica 3, Dodatak 1), uzimajući u obzir relaciju 2F( u)=, tj. F( u)=
.

Natrag, pored postavljena vrijednost odstupanja  može se pronaći s kojom vjerojatnošću nepoznata opća sredina pripada intervalu
. Da biste to učinili, morate izračunati

. (3.15)

Neka se slučajni uzorak izdvoji iz opće populacije metodom ponovljenog odabira. Iz jednadžbe
može se naći minimum volumen ponovnog uzorkovanja n, potreban za interval pouzdanosti s danom pouzdanošću nije premašio prethodno postavljenu vrijednost  . Potrebna veličina uzorka procjenjuje se pomoću formule:

. (3.16)

Idemo istraživati točnost procjene
:

1) Kako se veličina uzorka povećava n veličina  smanjuje se, a time i točnost procjene povećava se.

2) C povećati pouzdanost procjene povećava se vrijednost argumenta u(jer F(u) monotono raste) i stoga povećava se  . U ovom slučaju, povećanje pouzdanosti smanjuje točnost njegove procjene  .

Evaluacija
(3.17)

nazvao klasični(Gdje t- određeni parametar ovisno o I n), jer karakterizira zakone raspodjele koji se najčešće susreću.

3.5.3 Intervali pouzdanosti za procjenu matematičkog očekivanja normalne distribucije s nepoznatom standardnom devijacijom 

Neka se zna da stanovništvo podliježe zakonu normalne raspodjele xN( m; ), gdje je vrijednost korijen znači kvadrat odstupanja nepoznato.

Za konstruiranje intervala pouzdanosti za procjenu opće srednje vrijednosti u ovom slučaju koristi se statistika
, imajući Student distribuciju sa k= n–1 stupnjeva slobode. To proizlazi iz činjenice da N(0;1) (vidi odjeljak 3.5.2), i
(vidi odjeljak 3.5.3) i iz definicije Studentove distribucije (dio 1. odjeljak 2.11.2).

Pronađimo točnost klasične procjene Studentove distribucije: tj. pronaći ćemo t iz formule (3.17). Neka je vjerojatnost ispunjenja nejednakosti
dano pouzdanošću  :

. (3.18)

Jer TSt( n-1), očito je da t ovisi o  I n, tako obično pišu
.

(3.19)

Gdje
– Distribucijska funkcija učenika sa n-1 stupnjeva slobode.

Rješavanje ove jednadžbe za m, dobivamo interval
koji pouzdano  pokriva nepoznati parametar m.

Veličina t  , n-1, koristi se za određivanje intervala pouzdanosti slučajne varijable T(n-1), raspodijeljen prema t-testu sa n-1 stupnjeva slobode naziva se Koeficijent učenika. Treba ga pronaći prema zadanim vrijednostima n i  iz tablica " Kritične točke Studentske distribucije. (Tablica 6, Dodatak 1), koji predstavljaju rješenja jednadžbe (3.19).

Kao rezultat toga, dobivamo sljedeći izraz točnost interval pouzdanosti za procjenu matematičkog očekivanja (opća sredina), ako je varijanca nepoznata:

(3.20)

Dakle, postoji opća formula za konstrukciju intervala pouzdanosti za matematička očekivanja populacije:

gdje je točnost intervala pouzdanosti  ovisno o poznatoj ili nepoznatoj disperziji nalazi se prema formulama, odnosno 3.16. i 3.20.

Problem 10. Provedena su neka ispitivanja čiji su rezultati navedeni u tablici:

x ja

Poznato je da se pokoravaju zakonu normalne distribucije s
. Pronađite ocjenu m* za matematičko očekivanje m, konstruirajte 90% interval pouzdanosti za njega.

Riješenje:

Tako, m(2.53;5.47).

Problem 11. Dubina mora mjeri se uređajem čija je sustavna pogreška 0, a slučajne pogreške raspoređene su po normalnom zakonu, sa standardnom devijacijom  =15m. Koliko neovisnih mjerenja treba napraviti da se odredi dubina s pogreškama od najviše 5 m na razini pouzdanosti od 90%?

Riješenje:

Prema uvjetima problema koji imamo xN( m;  ), Gdje  =15m,  =5m,  =0,9. Pronađimo volumen n.

1) Uz zadanu pouzdanost = 0,9, iz tablice 3 (Dodatak 1) nalazimo argument Laplaceove funkcije u  = 1.65.

2) Poznavanje specificirane točnosti procjene  =u  =5, idemo pronaći
. Imamo

. Stoga broj testova n25.

Problem 12. Uzorkovanje temperature t za prvih 6 dana siječnja prikazan je u tablici:

Odredite interval pouzdanosti za matematičko očekivanje m populacija s vjerojatnošću povjerenja
i ocjenjuju opće standardna devijacija s.

Riješenje:

I
.

2) Nepristrana procjena pronađite pomoću formule
:

							=-175
							=234.84

;
;

							=-192
							=116

.

3) Budući da je opća varijanca nepoznata, ali je poznata njezina procjena, tada za procjenu matematičkog očekivanja m koristimo Studentovu distribuciju (Tablica 6, Dodatak 1) i formulu (3.20).

Jer n 1 =n 2 =6, tada,
, s 1 =6,85 imamo:
, dakle -29,2-4,1<m 1 < -29.2+4.1.

Prema tome -33.3<m 1 <-25.1.

Slično imamo,
, s 2 = 4,8, dakle

–34.9< m 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: m 1 (-33,3;-25,1) i m 2 (-34.9;-29.1).

U primijenjenim znanostima, na primjer, u građevinskim disciplinama, za ocjenu točnosti objekata koriste se tablice intervala pouzdanosti, koje su dane u relevantnoj referentnoj literaturi.

Pomoću ovog obrasca za pretraživanje možete pronaći zadatak koji vam je potreban. Unesite riječ, izraz iz zadatka ili njegov broj, ako ga znate.

Traži samo u ovom odjeljku

Intervali povjerenja: popis rješenja problema

Intervali povjerenja: teorija i problemi

Razumijevanje intervala povjerenja

Ukratko predstavimo pojam intervala povjerenja koji
1) procjenjuje neki parametar numeričkog uzorka izravno iz podataka samog uzorka,
2) pokriva vrijednost ovog parametra s vjerojatnošću γ.

Interval pouzdanosti za parametar x(s vjerojatnošću γ) naziva se interval oblika , takav da , a vrijednosti se na neki način izračunavaju iz uzorka.

Obično se u primijenjenim problemima vjerojatnost pouzdanosti uzima jednakom γ ​​= 0,9; 0,95; 0,99.

Razmotrimo neki uzorak veličine n, napravljen od opće populacije, raspoređen vjerojatno prema normalnom zakonu distribucije. Pokažimo koje se formule koriste za pronalaženje intervali pouzdanosti za parametre distribucije- matematičko očekivanje i disperzija (standardna devijacija).

Interval pouzdanosti za matematičko očekivanje

Slučaj 1. Varijanca distribucije je poznata i jednaka je . Zatim interval pouzdanosti za parametar a ima oblik:
t određena iz tablice Laplaceove distribucije prema odnosu

Slučaj 2. Varijanca distribucije je nepoznata; točkasta procjena varijance izračunava se iz uzorka. Zatim interval pouzdanosti za parametar a ima oblik:
, gdje je prosjek uzorka izračunat iz uzorka, parametar t utvrđeno iz tablice distribucije učenika

Primjer. Na temelju 7 mjerenja određene veličine dobiven je prosjek rezultata mjerenja od 30, a varijanca uzorka od 36. Odredite granice unutar kojih se nalazi stvarna vrijednost izmjerene veličine s pouzdanošću od 0,99.

Riješenje. Naći ćemo . Tada se granice pouzdanosti za interval koji sadrži pravu vrijednost izmjerene vrijednosti mogu pronaći pomoću formule:
, gdje je srednja vrijednost uzorka, varijanca uzorka. Zamjenjujemo sve vrijednosti i dobivamo:

Interval pouzdanosti za varijancu

Vjerujemo da je, općenito govoreći, matematičko očekivanje nepoznato, a poznata je samo točkasta nepristrana procjena varijance. Tada interval pouzdanosti ima oblik:
, Gdje - kvantili raspodjele određeni iz tablica.

Primjer. Na temelju podataka 7 testova dobivena je procjena vrijednosti standardne devijacije s=12. Nađite, s vjerojatnošću 0,9, širinu intervala pouzdanosti konstruiranog za procjenu disperzije.

Riješenje. Interval pouzdanosti za nepoznatu varijancu populacije može se pronaći pomoću formule:

Zamijenimo i dobijemo:


Tada je širina intervala pouzdanosti 465,589-71,708=393,881.

Interval pouzdanosti za vjerojatnost (proporciju)

Slučaj 1. Neka su u problemu poznati veličina uzorka i udio uzorka (relativna frekvencija). Tada interval pouzdanosti za opći udio (prava vjerojatnost) ima oblik:
, gdje je parametar t određuje se iz tablice Laplaceove distribucije pomoću relacije.

Slučaj 2. Ako je u zadatku dodatno poznata ukupna veličina populacije iz koje je uzet uzorak, interval pouzdanosti za opći udio (prava vjerojatnost) može se pronaći pomoću prilagođene formule:
.

Primjer. Poznato je da Pronađite granice unutar kojih će opći udio vjerojatno biti sadržan.

Riješenje. Koristimo formulu:

Nađimo parametar iz uvjeta , dobivamo Zamjenu u formulu:

Na stranici ćete naći i druge primjere problema iz matematičke statistike

Neka je slučajna varijabla X populacije normalno raspodijeljena, uzimajući u obzir da su varijanca i standardna devijacija s te distribucije poznati. Potrebno je procijeniti nepoznato matematičko očekivanje koristeći srednju vrijednost uzorka. U ovom slučaju zadatak se svodi na pronalaženje intervala pouzdanosti za matematičko očekivanje s pouzdanošću b. Ako navedete vrijednost vjerojatnosti pouzdanosti (pouzdanosti) b, tada možete pronaći vjerojatnost pada u interval za nepoznato matematičko očekivanje pomoću formule (6.9a):

gdje je F(t) Laplaceova funkcija (5.17a).

Kao rezultat toga, možemo formulirati algoritam za pronalaženje granica intervala pouzdanosti za matematičko očekivanje ako je poznata varijanca D = s 2:

1. Postavite vrijednost pouzdanosti – b.
2. Iz (6.14) izrazite F(t) = 0,5× b. Odaberite vrijednost t iz tablice za Laplaceovu funkciju na temelju vrijednosti F(t) (vidi Dodatak 1).
3. Izračunajte odstupanje e pomoću formule (6.10).
4. Zapišite interval pouzdanosti pomoću formule (6.12) tako da uz vjerojatnost b vrijedi nejednakost:

.

Primjer 5.

Slučajna varijabla X ima normalnu distribuciju. Odredite intervale pouzdanosti za procjenu s pouzdanošću b = 0,96 nepoznatog matematičkog očekivanja a, ako je zadano:

1) opća standardna devijacija s = 5;

2) prosjek uzorka;

3) veličina uzorka n = 49.

U formuli (6.15) intervalne procjene matematičkog očekivanja A uz pouzdanost b poznate su sve veličine osim t. Vrijednost t se može pronaći pomoću (6.14): b = 2F(t) = 0,96. F(t) = 0,48.

Pomoću tablice u Dodatku 1 za Laplaceovu funkciju F(t) = 0,48 pronađite odgovarajuću vrijednost t = 2,06. Stoga, . Zamjenom izračunate vrijednosti e u formulu (6.12), možete dobiti interval pouzdanosti: 30-1,47< a < 30+1,47.

Zahtijevani interval pouzdanosti za procjenu s pouzdanošću b = 0,96 nepoznatog matematičkog očekivanja jednak je: 28,53< a < 31,47.