Nalaženje zbroja aritmetičke progresije. Kako pronaći razliku aritmetičke progresije: formule i primjeri rješenja

upute

Aritmetička progresija je niz oblika a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Broj d korak napredovanje.Očito je da je general proizvoljnog n-tog člana aritmetike napredovanje ima oblik: An = A1+(n-1)d. Zatim poznavanje jednog od članova napredovanje, član napredovanje i korak napredovanje, možete, odnosno broj člana napretka. Očito će biti određen formulom n = (An-A1+d)/d.

Neka sada bude poznat m-ti član napredovanje i još jedan član napredovanje- nth, ali n , kao u prethodnom slučaju, ali je poznato da se n i m ne poklapaju napredovanje može se izračunati pomoću formule: d = (An-Am)/(n-m). Tada je n = (An-Am+md)/d.

Ako je poznat zbroj više elemenata aritmetičke jednadžbe napredovanje, kao i njegov prvi i zadnji, tada se može odrediti i broj ovih elemenata napredovanje bit će jednak: S = ((A1+An)/2)n. Tada je n = 2S/(A1+An) - chdenov napredovanje. Koristeći činjenicu da je An = A1+(n-1)d, ova se formula može prepisati kao: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Iz ovoga možemo izraziti n rješavanjem kvadratne jednadžbe.

Aritmetički niz je uređeni skup brojeva, čiji se svaki član, osim prvog, razlikuje od prethodnog za isti iznos. Ova konstantna vrijednost naziva se razlika progresije ili njezin korak i može se izračunati iz poznatih članova aritmetičke progresije.

upute

Ako su vrijednosti prvog i drugog ili bilo kojeg drugog para susjednih članova poznate iz uvjeta problema, za izračun razlike (d) jednostavno oduzmite prethodni od sljedećeg člana. Rezultirajuća vrijednost može biti pozitivan ili negativan broj - ovisi o tome raste li progresija. U općem obliku napišite rješenje za proizvoljan par (aᵢ i aᵢ₊₁) susjednih članova progresije na sljedeći način: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Za par članova takve progresije, od kojih je jedan prvi (a₁), a drugi je bilo koji drugi proizvoljno odabran, također je moguće stvoriti formulu za pronalaženje razlike (d). Međutim, u ovom slučaju mora biti poznat redni broj (i) proizvoljno odabranog člana niza. Da biste izračunali razliku, zbrojite oba broja i dobiveni rezultat podijelite s rednim brojem proizvoljnog člana umanjenim za jedan. Općenito, napišite ovu formulu na sljedeći način: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Ako je osim proizvoljnog člana aritmetičke progresije s rednim brojem i poznat još jedan član s rednim brojem u, prema tome promijenite formulu iz prethodnog koraka. U ovom slučaju, razlika (d) progresije bit će zbroj ova dva člana podijeljen s razlikom njihovih rednih brojeva: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Formula za izračunavanje razlike (d) postaje nešto kompliciranija ako uvjeti problema daju vrijednost njegovog prvog člana (a₁) i zbroja (Sᵢ) zadanog broja (i) prvih članova aritmetičkog niza. Da biste dobili željenu vrijednost, zbroj podijelite s brojem članova koji ga čine, oduzmite vrijednost prvog broja u nizu i udvostručite rezultat. Dobivenu vrijednost podijelite s brojem članova koji čine zbroj, umanjen za jedan. Općenito, napišite formulu za izračunavanje diskriminante na sljedeći način: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Ako za svaki prirodni broj n odgovara realnom broju a n , onda kažu da se daje niz brojeva :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Dakle, niz brojeva je funkcija prirodnog argumenta.

Broj a 1 nazvao prvi član niza , broj a 2 — drugi član niza , broj a 3 — treći i tako dalje. Broj a n nazvao n-ti član niza , i prirodan broj n — njegov broj .

Od dva susjedna člana a n I a n +1 član niza a n +1 nazvao naknadni (u odnosu na a n ), A a n — prethodni (u odnosu na a n +1 ).

Da biste definirali niz, trebate navesti metodu koja vam omogućuje pronalazak člana niza s bilo kojim brojem.

Često se slijed navodi pomoću n-ti član formule , odnosno formula koja omogućuje određivanje člana niza po njegovom broju.

Na primjer,

niz pozitivnih neparnih brojeva može se dati formulom

a n= 2n- 1,

i slijed izmjeničnog 1 I -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Redoslijed se može odrediti rekurentna formula, odnosno formula koja izražava bilo koji član niza, počevši od nekih, preko prethodnih (jednog ili više) članova.

Na primjer,

Ako a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ako a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada se prvih sedam članova numeričkog niza uspostavlja na sljedeći način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Nizovi se mogu konačni I beskrajan .

Niz se zove krajnji , ako ima konačan broj članova. Niz se zove beskrajan , ako ima beskonačno mnogo članova.

Na primjer,

niz dvoznamenkastih prirodnih brojeva:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

konačni.

Niz prostih brojeva:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

beskrajan. ◄

Niz se zove povećavajući se , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, veći od prethodnog.

Niz se zove smanjujući se , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, manji od prethodnog.

Na primjer,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — rastući niz;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — silazni niz. ◄

Naziva se niz čiji se elementi ne smanjuju s povećanjem broja ili, obrnuto, ne povećavaju monoton niz .

Konkretno, monotoni nizovi su rastući i opadajući nizovi.

Aritmetička progresija

Aritmetička progresija je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, kojemu se dodaje isti broj.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetička progresija ako za bilo koji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

a n +1 = a n + d,

Gdje d - određeni broj.

Stoga je razlika između sljedećeg i prethodnog člana dane aritmetičke progresije uvijek konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Broj d nazvao razlika aritmetičke progresije.

Za definiranje aritmetičke progresije dovoljno je navesti njen prvi član i razliku.

Na primjer,

Ako a 1 = 3, d = 4 , tada nalazimo prvih pet članova niza kako slijedi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetičku progresiju s prvim članom a 1 i razlika d njoj n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Na primjer,

pronaći trideseti član aritmetičke progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

onda očito

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini prethodnog i sljedećih članova.

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke aritmetičke progresije ako i samo ako je jedan od njih jednak aritmetičkoj sredini druga dva.

Na primjer,

a n = 2n- 7 , je aritmetička progresija.

Iskoristimo gornju izjavu. imamo:

a n = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Stoga,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Imajte na umu da n th član aritmetičke progresije može se pronaći ne samo kroz a 1 , ali i svaki prethodni a k

a n = a k + (n- k)d.

Na primjer,

Za a 5 može se zapisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

onda očito

a n=	a n-k +a n+k
	2

bilo koji član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je polovici zbroja članova te aritmetičke progresije koji su jednako udaljeni od njega.

Osim toga, za bilo koju aritmetičku progresiju vrijedi sljedeća jednakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, jer

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

prvi n članova aritmetičke progresije jednak je umnošku polovine zbroja ekstremnih članova i broja članova:

Odavde, posebice, slijedi da ako trebate zbrojiti pojmove

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada prethodna formula zadržava svoju strukturu:

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ako je dana aritmetička progresija, onda količine a 1 , a n, d, n IS n povezan s dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula, kombiniranih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Aritmetička progresija je monoton niz. U ovom slučaju:

• Ako d > 0 , tada se povećava;
• Ako d < 0 , tada se smanjuje;
• Ako d = 0 , tada će niz biti stacionaran.

Geometrijska progresija

Geometrijska progresija je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom pomnoženom s istim brojem.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijska progresija ako za bilo koji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

b n +1 = b n · q,

Gdje q ≠ 0 - određeni broj.

Dakle, omjer sljedećeg člana dane geometrijske progresije prema prethodnom je konstantan broj:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Broj q nazvao nazivnik geometrijske progresije.

Za definiranje geometrijske progresije dovoljno je navesti njen prvi član i nazivnik.

Na primjer,

Ako b 1 = 1, q = -3 , tada nalazimo prvih pet članova niza kako slijedi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 i nazivnik q njoj n Taj se član može pronaći pomoću formule:

b n = b 1 · qn -1 .

Na primjer,

pronaći sedmi član geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

onda očito

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

svaki član geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je geometrijskoj sredini (proporcionalnoj) prethodnog i sljedećih članova.

Budući da vrijedi i obrnuto, vrijedi sljedeća izjava:

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke geometrijske progresije ako i samo ako je kvadrat jednog od njih jednak umnošku druga dva, odnosno, jedan od brojeva je geometrijska sredina druga dva.

Na primjer,

Dokažimo da niz zadan formulom b n= -3 2 n , je geometrijska progresija. Iskoristimo gornju izjavu. imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Stoga,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

što dokazuje željenu tvrdnju. ◄

Imajte na umu da n Član geometrijske progresije može se pronaći ne samo kroz b 1 , ali i svaki prethodni član b k , za što je dovoljno koristiti formulu

b n = b k · qn - k.

Na primjer,

Za b 5 može se zapisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

onda očito

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat bilo kojeg člana geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je umnošku jednako razmaknutih članova te progresije.

Osim toga, za svaku geometrijsku progresiju vrijedi jednakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Na primjer,

u geometrijskoj progresiji

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jer

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n članovi geometrijske progresije s nazivnikom q ≠ 0 izračunava se formulom:

I kada q = 1 - prema formuli

S n= nb 1

Imajte na umu da ako trebate zbrojiti pojmove

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada se koristi formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Na primjer,

u geometrijskoj progresiji 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ako je dana geometrijska progresija, onda količine b 1 , b n, q, n I S n povezan s dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti bilo koje tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula, kombiniranih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Za geometrijsku progresiju s prvim članom b 1 i nazivnik q dogodi se sljedeće svojstva monotonosti :

• progresija se povećava ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 I q> 1;

b 1 < 0 I 0 < q< 1;

• Progresija se smanjuje ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 I 0 < q< 1;

b 1 < 0 I q> 1.

Ako q< 0 , tada je geometrijska progresija izmjenična: njezini članovi s neparnim brojevima imaju isti predznak kao prvi član, a članovi s parnim brojevima imaju suprotan predznak. Jasno je da izmjenična geometrijska progresija nije monotona.

Proizvod prvog n članovi geometrijske progresije mogu se izračunati pomoću formule:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Na primjer,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Beskonačno padajuća geometrijska progresija

Beskonačno padajuća geometrijska progresija zove se beskonačna geometrijska progresija čiji je nazivnik modula manji 1 , odnosno

|q| < 1 .

Imajte na umu da beskonačno padajuća geometrijska progresija ne mora biti padajući niz. Odgovara prilici

1 < q< 0 .

S takvim nazivnikom niz je izmjeničan. Na primjer,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije imenovati broj kojem se neograničeno približava zbroj prvih n članovi progresije s neograničenim povećanjem broja n . Taj je broj uvijek konačan i izražava se formulom

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Na primjer,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Odnos aritmetičke i geometrijske progresije

Aritmetička i geometrijska progresija su usko povezane. Pogledajmo samo dva primjera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , To

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Na primjer,

1, 3, 5, . . . - aritmetička progresija s razlikom 2 I

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrijska progresija s nazivnikom 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrijska progresija s nazivnikom q , To

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmetička progresija s razlikom log aq .

Na primjer,

2, 12, 72, . . . - geometrijska progresija s nazivnikom 6 I

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetička progresija s razlikom lg 6 . ◄

Problemi aritmetičke progresije postojali su već u antičko doba. Pojavili su se i tražili rješenje jer su imali praktičnu potrebu.

Tako jedan od papirusa starog Egipta, koji ima matematički sadržaj, Rhindov papirus (19. st. pr. Kr.), sadrži sljedeći zadatak: podijeliti deset mjera kruha na deset ljudi, s tim da je razlika između svakog od njih jedna osmina mjera.”

A u matematičkim djelima starih Grka postoje elegantni teoremi vezani uz aritmetičku progresiju. Tako je Hipsikle iz Aleksandrije (2. stoljeće, koji je sastavio mnoge zanimljive probleme i dodao četrnaestu knjigu Euklidovim elementima), formulirao ideju: “U aritmetičkoj progresiji koja ima paran broj članova, zbroj članova 2. polovine je veći od zbroja članova 1. na kvadrat 1/ 2 broja članova."

Niz je označen sa an. Brojevi niza nazivaju se njegovim članovima i obično se označavaju slovima s indeksima koji označavaju redni broj tog člana (a1, a2, a3 ... čitaj: “a 1st”, “a 2nd”, “a 3rd” i tako dalje).

Niz može biti beskonačan ili konačan.

Što je aritmetička progresija? Pod njim podrazumijevamo onaj dobiven zbrajanjem prethodnog člana (n) s istim brojem d, koji je razlika progresije.

Ako d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, tada se takva progresija smatra rastućom.

Aritmetička progresija se naziva konačnom ako se u obzir uzme samo nekoliko njenih prvih članova. S vrlo velikim brojem članova, ovo je već beskrajno napredovanje.

Svaka aritmetička progresija definirana je sljedećom formulom:

an =kn+b, dok su b i k neki brojevi.

Suprotna tvrdnja je apsolutno točna: ako je niz zadan sličnom formulom, onda je to upravo aritmetička progresija koja ima svojstva:

1. Svaki član progresije je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana.
2. Obrnuto: ako je, počevši od 2., svaki član aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana, tj. ako je uvjet ispunjen, onda je ovaj niz aritmetička progresija. Ta je jednakost također znak progresije, zbog čega se obično naziva karakteristično svojstvo progresije.
   Na isti način, teorem koji odražava ovo svojstvo je istinit: niz je aritmetička progresija samo ako je ova jednakost istinita za bilo koji od članova niza, počevši od drugog.

Karakteristično svojstvo za bilo koja četiri broja aritmetičke progresije može se izraziti formulom an + am = ak + al, ako je n + m = k + l (m, n, k su brojevi progresije).

U aritmetičkoj progresiji, svaki potrebni (N-ti) član može se pronaći pomoću sljedeće formule:

Na primjer: prvi član (a1) u aritmetičkoj progresiji je dan i jednak je tri, a razlika (d) je jednaka četiri. Morate pronaći četrdeset peti član ove progresije. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) omogućuje određivanje n-tog člana aritmetičke progresije kroz bilo koji od njegovih k-tih članova, pod uvjetom da je poznat.

Zbroj članova aritmetičke progresije (što znači prvih n članova konačne progresije) izračunava se na sljedeći način:

Sn = (a1+an) n/2.

Ako je poznat i 1. član, tada je druga formula prikladna za izračunavanje:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Zbroj aritmetičke progresije koja sadrži n članova izračunava se na sljedeći način:

Izbor formula za izračun ovisi o uvjetima problema i početnim podacima.

Prirodni niz bilo kojih brojeva, kao što su 1,2,3,...,n,..., najjednostavniji je primjer aritmetičke progresije.

Osim aritmetičke progresije, postoji i geometrijska progresija, koja ima svoja svojstva i karakteristike.

Što je glavna suština formule?

Ova formula vam omogućuje da pronađete bilo koji PO NJEGOVOM BROJU" n" .

Naravno, potrebno je znati i prvi termin a 1 i razlika u progresiji d, pa, bez ovih parametara ne možete zapisati određeni napredak.

Pamćenje (ili pisanje) ove formule nije dovoljno. Morate razumjeti njegovu bit i primijeniti formulu u raznim problemima. I također da se ne zaboravi u pravom trenutku, da...) Kako nemoj zaboraviti- Ne znam. Ali kako zapamtiti Ako treba, svakako ću vas savjetovati. Za one koji dovrše lekciju do kraja.)

Dakle, pogledajmo formulu za n-ti član aritmetičke progresije.

Što je uopće formula? Usput, pogledajte ako niste pročitali. Tamo je sve jednostavno. Ostaje shvatiti što je to n-ti pojam.

Progresija se općenito može napisati kao niz brojeva:

1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1- označava prvi član aritmetičke progresije, a 3- treći član, a 4- četvrti, i tako dalje. Ako nas zanima peti mandat, recimo da radimo sa a 5, ako je sto dvadeseti - s a 120.

Kako ga možemo općenito definirati? bilo kojičlan aritmetičke progresije, sa bilo koji broj? Vrlo jednostavno! Ovako:

a n

To je to n-ti član aritmetičke progresije. Slovo n skriva sve brojeve članova odjednom: 1, 2, 3, 4 itd.

I što nam takav rekord daje? Zamislite, umjesto broja napisali su slovo...

Ova nam notacija daje moćan alat za rad s aritmetičkom progresijom. Koristeći notni zapis a n, možemo brzo pronaći bilo kojičlan bilo koji aritmetička progresija. I riješiti hrpu drugih problema napredovanja. Dalje ćete vidjeti sami.

U formuli za n-ti član aritmetičke progresije:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- prvi član aritmetičke progresije;

n- broj člana.

Formula povezuje ključne parametre bilo koje progresije: a n ; a 1; d I n. Svi problemi napredovanja vrte se oko ovih parametara.

Formula n-tog člana također se može koristiti za pisanje određene progresije. Na primjer, problem može reći da je progresija određena uvjetom:

a n = 5 + (n-1) 2.

Takav problem može dovesti u slijepu ulicu... Nema ni niza ni razlike... Ali, uspoređujući stanje s formulom, lako je uvidjeti da u ovoj progresiji a 1 =5 i d=2.

A može biti još gore!) Ako uzmemo isti uvjet: a n = 5 + (n-1) 2, Da, otvoriti zagrade i donijeti slične? Dobivamo novu formulu:

a n = 3 + 2n.

Ovaj Samo ne općenito, već za određeni napredak. Tu vreba zamka. Neki ljudi misle da je prvi član trojka. Iako je u stvarnosti prvi izraz pet... Malo niže ćemo raditi s tako modificiranom formulom.

U problemima progresije postoji još jedna oznaka - a n+1. Ovo je, kao što ste pogodili, "n plus prvi" izraz progresije. Njegovo značenje je jednostavno i bezopasno.) Ovo je član progresije čiji je broj za jedan veći od broja n. Na primjer, ako u nekom problemu uzmemo a n peti mandat dakle a n+1 bit će šesti član. I slično.

Najčešće oznaka a n+1 nalaze u formulama ponavljanja. Ne bojte se ove strašne riječi!) Ovo je samo način izražavanja člana aritmetičke progresije kroz prethodni. Recimo da nam je dana aritmetička progresija u ovom obliku, koristeći rekurentnu formulu:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Četvrti - kroz treći, peti - kroz četvrti, i tako dalje. Kako možemo odmah računati, recimo, dvadeseti mandat? a 20? Ali nema šanse!) Dok ne saznamo 19. termin, ne možemo računati 20. To je temeljna razlika između rekurentne formule i formule n-tog člana. Ponavljajuće radi samo kroz prethodničlan, a formula n-tog člana je kroz prvi i dopušta odmah pronaći bilo kojeg člana prema njegovom broju. Bez izračunavanja cijelog niza brojeva po redu.

U aritmetičkoj progresiji lako je rekurentnu formulu pretvoriti u regularnu. Prebrojite par uzastopnih članova, izračunajte razliku d, pronađite, ako je potrebno, prvi član a 1, napišite formulu u uobičajenom obliku i radite s njom. Takvi se zadaci često susreću u Državnoj akademiji znanosti.

Primjena formule za n-ti član aritmetičke progresije.

Prvo, pogledajmo izravnu primjenu formule. Na kraju prethodne lekcije pojavio se problem:

Dana je aritmetička progresija (a n). Pronađite 121 ako je a 1 =3 i d=1/6.

Ovaj se problem može riješiti bez ikakvih formula, jednostavno na temelju značenja aritmetičke progresije. Dodavati i dodavati... Sat-dva.)

A prema formuli, rješenje će trajati manje od minute. Možete tempirati.) Odlučimo.

Uvjeti daju sve podatke za korištenje formule: a 1 =3, d=1/6. Ostaje otkriti što je jednako n. Nema pitanja! Moramo pronaći a 121. Pa pišemo:

Molimo obratite pozornost! Umjesto indeksa n pojavio se konkretan broj: 121. Što je sasvim logično.) Zanima nas član aritmetičke progresije. broj sto dvadeset jedan. Ovo će biti naše n. Ovo je smisao n= 121 zamijenit ćemo dalje u formulu, u zagradi. Zamijenimo sve brojeve u formulu i izračunamo:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

To je to. Isto tako brzo bi se mogao pronaći petsto deseti član, i tisuću treći, bilo koji. Umjesto toga stavljamo nželjeni broj u indeksu slova " a" i u zagradi, i brojimo.

Dopustite mi da vas podsjetim na poantu: ova vam formula omogućuje pronalaženje bilo kojičlan aritmetičke progresije PO NJEGOVOM BROJU" n" .

Riješimo problem na lukaviji način. Nailazimo na sljedeći problem:

Nađite prvi član aritmetičke progresije (a n), ako je a 17 =-2; d=-0,5.

Ako imate bilo kakvih poteškoća, reći ću vam prvi korak. Zapiši formulu za n-ti član aritmetičke progresije! Da, da. Zapišite rukama, direktno u svoju bilježnicu:

a n = a 1 + (n-1)d

I sada, gledajući slova formule, razumijemo koje podatke imamo, a što nedostaje? na raspolaganju d=-0,5, postoji i sedamnaesti član... Je li to? Ako mislite da je to to, onda nećete riješiti problem, da...

Još uvijek imamo broj n! U stanju a 17 =-2 skriven dva parametra. Ovo je i vrijednost sedamnaestog člana (-2) i njegov broj (17). one. n=17. Ta “sitnica” često promakne pokraj glave i bez nje (bez “sitnice”, a ne glave!) problem se ne može riješiti. Iako... i bez glave.)

Sada možemo jednostavno glupo zamijeniti naše podatke u formulu:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

o da, a 17 znamo da je -2. U redu, zamijenimo:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

To je uglavnom sve. Preostaje izraziti prvi član aritmetičke progresije iz formule i izračunati ga. Odgovor će biti: a 1 = 6.

Ova tehnika - zapisivanje formule i jednostavna zamjena poznatih podataka - velika je pomoć u jednostavnim zadacima. Pa, naravno, morate znati izraziti varijablu iz formule, ali što učiniti!? Bez ove vještine matematika se možda uopće ne bi proučavala...

Još jedna popularna zagonetka:

Nađite razliku aritmetičke progresije (a n), ako je a 1 =2; a 15 =12.

Što mi radimo? Iznenadit ćete se, mi pišemo formulu!)

a n = a 1 + (n-1)d

Razmotrimo ono što znamo: a 1 =2; a 15 =12; i (posebno ću istaknuti!) n=15. Slobodno zamijenite ovo u formulu:

12=2 + (15-1)d

Mi radimo aritmetiku.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Ovo je točan odgovor.

Dakle, zadaci za a n, a 1 I d odlučio. Sve što ostaje je naučiti kako pronaći broj:

Broj 99 je član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 =12; d=3. Pronađite broj ovog člana.

Zamijenimo nam poznate količine u formulu n-tog člana:

a n = 12 + (n-1) 3

Ovdje su na prvi pogled nepoznate dvije veličine: a n i n. Ali a n- ovo je neki član progresije s brojem n...A mi znamo ovog člana progresije! 99 je. Ne znamo mu broj. n, Dakle, ovaj broj je ono što trebate pronaći. Zamjenjujemo član progresije 99 u formulu:

99 = 12 + (n-1) 3

Izražavamo iz formule n, mislimo. Dobijamo odgovor: n=30.

A sada problem na istu temu, ali kreativniji):

Utvrdite da li je broj 117 član aritmetičke progresije (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Napišimo formulu ponovno. Što, nema parametara? Hm... Zašto su nam dane oči?) Vidimo li prvi član progresije? Vidimo. Ovo je -3,6. Možete slobodno napisati: a 1 = -3,6. Razlika d Možete li reći iz serije? Lako je ako znate koja je razlika aritmetičke progresije:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Dakle, napravili smo najjednostavniju stvar. Preostaje samo riješiti nepoznati broj n a nerazumljivi broj 117. U prethodnom zadatku barem se znalo da je zadan član progresije. Ali ovdje ni sami ne znamo... Što učiniti!? Pa, kako biti, kako biti ... Uključite svoje kreativne sposobnosti!)

Mi pretpostaviti da je 117 ipak član naše progresije. S nepoznatim brojem n. I, baš kao u prethodnom zadatku, pokušajmo pronaći ovaj broj. one. napišemo formulu (da, da!)) i zamijenimo naše brojeve:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Opet izražavamo iz formulen, računamo i dobivamo:

Ups! Broj je ispao razlomak! Sto jedan i pol. I razlomačke brojeve u progresijama ne događa se. Kakav zaključak možemo izvući? Da! Broj 117 niječlan naše progresije. To je negdje između sto prvog i sto drugog termina. Ako je broj ispao prirodan, tj. je pozitivan cijeli broj, tada bi broj bio član progresije s pronađenim brojem. A u našem slučaju, odgovor na problem će biti: Ne.

Zadatak temeljen na stvarnoj verziji GIA:

Aritmetička progresija dana je uvjetom:

a n = -4 + 6,8n

Pronađite prvi i deseti član progresije.

Ovdje je progresija postavljena na neobičan način. Neka vrsta formule... Događa se.) Međutim, ova formula (kao što sam gore napisao) - također formula za n-ti član aritmetičke progresije! Ona također dopušta pronađite bilo koji član progresije po njegovom broju.

Tražimo prvog člana. Onaj koji misli. da je prvi član minus četiri fatalno je pogrešno!) Budući da je formula u zadatku modificirana. Prvi član aritmetičke progresije u njemu skriven. U redu je, sada ćemo to pronaći.)

Kao iu prethodnim problemima, zamjenjujemo n=1 u ovu formulu:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Ovdje! Prvi član je 2,8, a ne -4!

Deseti član tražimo na isti način:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

To je to.

A sada, za one koji su pročitali ove retke, obećani bonus.)

Pretpostavimo da ste u teškoj borbenoj situaciji državnog ispita ili jedinstvenog državnog ispita zaboravili korisnu formulu za n-ti član aritmetičke progresije. Sjećam se nečega, ali nekako nesigurno... Ili n tamo, ili n+1, ili n-1... Kako biti!?

Smiriti! Ovu je formulu lako izvesti. Nije jako strogo, ali je definitivno dovoljno za samopouzdanje i ispravnu odluku!) Da biste donijeli zaključak, dovoljno je sjetiti se elementarnog značenja aritmetičke progresije i imati nekoliko minuta vremena. Samo trebate nacrtati sliku. Radi jasnoće.

Nacrtaj brojevni pravac i na njemu označi prvi. drugi, treći itd. članova. I bilježimo razliku d između članova. Ovako:

Gledamo sliku i razmišljamo: čemu je jednak drugi član? Drugi jedan d:

a 2 =a 1 + 1 d

Što je treći pojam? Treći pojam je prvi pojam plus dva d.

a 3 =a 1 + 2 d

shvaćate li Nisam uzalud neke riječi podebljao. U redu, još jedan korak).

Što je četvrti pojam? Četvrti pojam je prvi pojam plus tri d.

a 4 =a 1 + 3 d

Vrijeme je da shvatimo da broj praznina, tj. d, Uvijek jedan manje od broja člana kojeg tražite n. Odnosno na broj n, broj razmaka htjeti n-1. Stoga će formula biti (bez varijacija!):

a n = a 1 + (n-1)d

Općenito, vizualne slike su od velike pomoći u rješavanju mnogih problema u matematici. Ne zanemarujte slike. Ali ako je teško nacrtati sliku, onda... samo formula!) Osim toga, formula n-tog člana omogućuje vam da povežete cijeli moćni arsenal matematike s rješenjem - jednadžbe, nejednadžbe, sustavi itd. Ne možete ubaciti sliku u jednadžbu...

Zadaci za samostalno rješavanje.

Za zagrijavanje:

1. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Pronađite 3.

Hint: prema slici problem se može riješiti za 20 sekundi... Prema formuli, ispada teže. Ali za svladavanje formule, to je korisnije.) U odjeljku 555, ovaj problem je riješen korištenjem i slike i formule. Osjetite razliku!)

I ovo više nije zagrijavanje.)

2. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Nađi a 3 .

Što, ne želiš nacrtati sliku?) Naravno! Bolje po formuli, da...

3. Aritmetička progresija dana je uvjetom:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Pronađite stotinu dvadeset peti član ove progresije.

U ovom zadatku, progresija je određena na ponavljajući način. Ali računajući do sto dvadeset i petog člana... Ne može svatko učiniti takav podvig.) Ali formula za n-ti član je u moći svakoga!

4. S obzirom na aritmetičku progresiju (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Odredite broj najmanjeg pozitivnog člana progresije.

5. Prema uvjetima zadatka 4, pronađite zbroj najmanjeg pozitivnog i najvećeg negativnog člana progresije.

6. Umnožak petog i dvanaestog člana rastuće aritmetičke progresije jednak je -2,5, a zbroj trećeg i jedanaestog člana jednak je nuli. Pronađite 14.

Nije najlakši zadatak, da ...) Metoda "vrhom prsta" ovdje neće raditi. Morat ćete pisati formule i rješavati jednadžbe.

Odgovori (u neredu):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Je li uspjelo? lijepo je!)

Ne ide sve? Događa se. Usput, postoji jedna suptilna točka u posljednjem zadatku. Prilikom čitanja problema bit će potreban oprez. I logika.

O rješenju svih ovih problema raspravlja se detaljno u odjeljku 555. I element fantazije za četvrti, i suptilna točka za šesti, i opći pristupi za rješavanje bilo kojih problema koji uključuju formulu n-tog člana - sve je opisano. Preporučam ga.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Da, da: aritmetička progresija nije igračka za vas :)

Pa prijatelji, ako čitate ovaj tekst, onda mi interni cap-dokaz govori da još ne znate što je aritmetička progresija, ali stvarno (ne, ovako: TAOOOO!) želite znati. Stoga vas neću mučiti dugim uvodima i prijeći ću odmah na stvar.

Prvo, nekoliko primjera. Pogledajmo nekoliko skupova brojeva:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Što je zajedničko svim ovim setovima? Na prvi pogled ništa. Ali zapravo postoji nešto. Naime: svaki sljedeći element razlikuje se od prethodnog istim brojem.

Prosudite sami. Prvi skup su jednostavno uzastopni brojevi, svaki sljedeći je za jedan veći od prethodnog. U drugom slučaju, razlika između susjednih brojeva je već pet, ali je ta razlika još uvijek konstantna. U trećem slučaju uopće nema korijena. Međutim, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tj. i u ovom slučaju svaki sljedeći element se jednostavno povećava za $\sqrt(2)$ (i nemojte se bojati da je taj broj iracionalan).

Dakle: svi takvi nizovi nazivaju se aritmetičke progresije. Dajmo striktnu definiciju:

Definicija. Niz brojeva u kojem se svaki sljedeći razlikuje od prethodnog za točno isti iznos naziva se aritmetička progresija. Sam iznos za koji se brojevi razlikuju naziva se razlika progresije i najčešće se označava slovom $d$.

Notacija: $\left(((a)_(n)) \right)$ je sama progresija, $d$ je njena razlika.

I samo par važnih napomena. Prvo, uzima se u obzir samo napredovanje naredio niz brojeva: dopušteno ih je čitati strogo redoslijedom kojim su napisani - i ništa drugo. Brojevi se ne mogu mijenjati ili mijenjati.

Drugo, sam niz može biti konačan ili beskonačan. Na primjer, skup (1; 2; 3) je očito konačna aritmetička progresija. Ali ako nešto napišete u duhu (1; 2; 3; 4; ...) - to je već beskonačan napredak. Elipsa nakon četiri kao da nagovještava da dolazi još dosta brojeva. Beskrajno mnogo, na primjer.

Također bih želio napomenuti da se progresije mogu povećavati ili smanjivati. Već smo vidjeli rastuće - isti skup (1; 2; 3; 4; ...). Evo primjera opadajuće progresije:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Dobro, dobro: posljednji primjer može izgledati previše komplicirano. Ali ostalo, mislim, razumijete. Stoga uvodimo nove definicije:

Definicija. Aritmetička progresija se naziva:

1. raste ako je svaki sljedeći element veći od prethodnog;
2. opadajući ako je, naprotiv, svaki sljedeći element manji od prethodnog.

Osim toga, postoje takozvani "stacionarni" nizovi - sastoje se od istog broja koji se ponavlja. Na primjer, (3; 3; 3; ...).

Ostaje samo jedno pitanje: kako razlikovati rastuću progresiju od one koja se smanjuje? Srećom, ovdje sve ovisi samo o predznaku broja $d$, tj. razlike u progresiji:

1. Ako je $d \gt 0$, tada se progresija povećava;
2. Ako je $d \lt 0$, tada je progresija očito opadajuća;
3. Konačno, tu je i slučaj $d=0$ - u ovom slučaju cijela progresija se svodi na stacionarni niz identičnih brojeva: (1; 1; 1; 1; ...), itd.

Pokušajmo izračunati razliku $d$ za tri opadajuće progresije navedene gore. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti bilo koja dva susjedna elementa (na primjer, prvi i drugi) i oduzeti broj s lijeve strane od broja s desne strane. Izgledat će ovako:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Kao što vidimo, u sva tri slučaja razlika je zapravo bila negativna. I sada kada smo više-manje shvatili definicije, vrijeme je da shvatimo kako se progresije opisuju i koja svojstva imaju.

Uvjeti progresije i formula recidiva

Budući da se elementi naših nizova ne mogu zamijeniti, mogu se numerirati:

\[\lijevo(((a)_(n)) \desno)=\lijevo\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \desno\)\]

Pojedinačni elementi ovog skupa nazivaju se članovi progresije. Označeni su brojem: prvi član, drugi član itd.

Osim toga, kao što već znamo, susjedni članovi progresije povezani su formulom:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\desna strelica ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Ukratko, da biste pronašli $n$-ti član progresije, trebate znati $n-1$-ti član i razliku $d$. Ova se formula naziva rekurentna, jer pomoću nje možete pronaći bilo koji broj samo poznavanjem prethodnog (i zapravo svih prethodnih). Ovo je vrlo nezgodno, pa postoji lukavija formula koja sve izračune svodi na prvi izraz i razliku:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\lijevo(n-1 \desno)d\]

Vjerojatno ste već naišli na ovu formulu. Vole ga dati u svim vrstama priručnika i knjiga rješenja. I u svakom razumnom udžbeniku matematike je jedan od prvih.

Ipak, predlažem da malo vježbate.

Zadatak br. 1. Zapišite prva tri člana aritmetičke progresije $\left(((a)_(n)) \right)$ ako je $((a)_(1))=8,d=-5$.

Otopina. Dakle, znamo prvi član $((a)_(1))=8$ i razliku progresije $d=-5$. Upotrijebimo upravo danu formulu i zamijenimo $n=1$, $n=2$ i $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\lijevo(n-1 \desno)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\lijevo(1-1 \desno)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\lijevo(2-1 \desno)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\lijevo(3-1 \desno)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Odgovor: (8; 3; −2)

To je to! Imajte na umu: naš napredak se smanjuje.

Naravno, $n=1$ se ne može zamijeniti - prvi član nam je već poznat. Međutim, zamjenom jedinice uvjerili smo se da čak i za prvi član naša formula funkcionira. U ostalim slučajevima sve se svodilo na banalnu aritmetiku.

Zadatak br. 2. Zapišite prva tri člana aritmetičke progresije ako je njegov sedmi član jednak −40, a sedamnaesti član jednak −50.

Otopina. Napišimo stanje problema poznatim terminima:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\lijevo\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \desno.\]

\[\lijevo\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \pravo.\]

Stavio sam znak sustava jer ti zahtjevi moraju biti ispunjeni istovremeno. Sada primijetimo da ako oduzmemo prvu od druge jednadžbe (imamo pravo na to jer imamo sustav), dobivamo ovo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\lijevo(((a)_(1))+6d \desno)=-50-\lijevo(-40 \desno); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Tako je lako pronaći razliku u progresiji! Sve što preostaje je zamijeniti pronađeni broj u bilo koju od jednadžbi sustava. Na primjer, u prvom:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \kraj(matrica)\]

Sada, znajući prvi član i razliku, ostaje pronaći drugi i treći član:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Spreman! Problem je riješen.

Odgovor: (−34; −35; −36)

Primijetite zanimljivo svojstvo progresije koje smo otkrili: ako uzmemo $n$-ti i $m$-ti član i oduzmemo ih jedan od drugog, dobit ćemo razliku progresije pomnoženu s $n-m$ brojem:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \lijevo(n-m \desno)\]

Jednostavno, ali vrlo korisno svojstvo koje svakako morate znati - uz njegovu pomoć možete značajno ubrzati rješavanje mnogih problema napredovanja. Evo jasnog primjera za to:

Zadatak br. 3. Peti član aritmetičke progresije je 8,4, a deseti član je 14,4. Pronađite petnaesti član ove progresije.

Otopina. Budući da je $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, a mi trebamo pronaći $((a)_(15))$, bilježimo sljedeće:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Ali prema uvjetu $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, dakle $5d=6$, iz čega imamo:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Odgovor: 20.4

To je to! Nismo trebali stvarati nikakve sustave jednadžbi i izračunavati prvi član i razliku - sve je riješeno u samo nekoliko redaka.

Sada pogledajmo drugu vrstu problema - traženje negativnih i pozitivnih uvjeta progresije. Nije tajna da ako se progresija povećava, a njen prvi član je negativan, tada će se prije ili kasnije u njemu pojaviti pozitivni termini. I obrnuto: uvjeti opadajuće progresije će prije ili kasnije postati negativni.

U isto vrijeme, nije uvijek moguće pronaći ovaj trenutak "direktno" uzastopnim prolazom kroz elemente. Često su zadaci napisani tako da bi bez poznavanja formula izračuni oduzeli nekoliko listova papira – jednostavno bismo zaspali dok bismo pronašli odgovor. Stoga, pokušajmo te probleme riješiti na brži način.

Zadatak br. 4. Koliko ima negativnih članova u aritmetičkoj progresiji −38,5; −35,8; ...?

Otopina. Dakle, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, odakle odmah nalazimo razliku:

Imajte na umu da je razlika pozitivna, pa se progresija povećava. Prvi član je negativan, tako da ćemo doista u nekom trenutku naići na pozitivne brojeve. Pitanje je samo kada će se to dogoditi.

Pokušajmo saznati koliko dugo (tj. do kojeg prirodnog broja $n$) ostaje negativnost članova:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 2,7 \lt 0;\kvad \lijevo| \cdot 10 \desno. \\ & -385+27\cdot \lijevo(n-1 \desno) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\desna strelica ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Posljednji redak zahtijeva neko objašnjenje. Dakle, znamo da je $n \lt 15\frac(7)(27)$. S druge strane, zadovoljavamo se samo cjelobrojnim vrijednostima broja (štoviše: $n\in \mathbb(N)$), pa je najveći dopušteni broj upravo $n=15$, a ni u kojem slučaju 16 .

Zadatak br. 5. U aritmetičkoj progresiji $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Pronađite broj prvog pozitivnog člana ove progresije.

Ovo bi bio potpuno isti problem kao i prethodni, ali ne znamo $((a)_(1))$. Ali poznati su susjedni članovi: $((a)_(5))$ i $((a)_(6))$, tako da lako možemo pronaći razliku progresije:

Uz to, pokušajmo izraziti peti član kroz prvi i razliku koristeći standardnu ​​formulu:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\lijevo(n-1 \desno)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Sada nastavljamo po analogiji s prethodnim zadatkom. Otkrijmo na kojem će se mjestu u našem nizu pojaviti pozitivni brojevi:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\desna strelica ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Najmanje cjelobrojno rješenje ove nejednakosti je broj 56.

Napomena: u prošlom zadatku sve se svelo na strogu nejednakost, pa nam opcija $n=55$ neće odgovarati.

Sada kada smo naučili rješavati jednostavne probleme, prijeđimo na složenije. Ali prvo proučimo još jedno vrlo korisno svojstvo aritmetičkih progresija, koje će nam uštedjeti mnogo vremena i nejednakih ćelija u budućnosti :)

Aritmetička sredina i jednaka uvlačenja

Razmotrimo nekoliko uzastopnih članova rastuće aritmetičke progresije $\left(((a)_(n)) \right)$. Pokušajmo ih označiti na brojevnoj crti:

Članovi aritmetičke progresije na brojevnom pravcu

Posebno sam označio proizvoljne pojmove $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, a ne neke $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, itd. Zato što pravilo o kojem ću vam sada govoriti djeluje isto za sve "segmente".

A pravilo je vrlo jednostavno. Prisjetimo se rekurentne formule i napišimo je za sve označene pojmove:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Međutim, ove se jednakosti mogu prepisati drugačije:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Pa što? I činjenica da pojmovi $((a)_(n-1))$ i $((a)_(n+1))$ leže na istoj udaljenosti od $((a)_(n)) $ . A ova udaljenost je jednaka $d$. Isto se može reći za pojmove $((a)_(n-2))$ i $((a)_(n+2))$ - oni su također uklonjeni iz $((a)_(n) )$ na istoj udaljenosti koja je jednaka $2d$. Možemo nastaviti ad infinitum, ali značenje je dobro ilustrirano slikom

Članci progresije leže na istoj udaljenosti od središta

Što to znači za nas? To znači da se $((a)_(n))$ može pronaći ako su poznati susjedni brojevi:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Izveli smo izvrsnu izjavu: svaki član aritmetičke progresije jednak je aritmetičkoj sredini svojih susjednih članova! Štoviše: možemo se odmaknuti od našeg $((a)_(n))$ ulijevo i udesno ne za jedan korak, već za $k$ koraka - i formula će i dalje biti točna:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

one. lako možemo pronaći neki $((a)_(150))$ ako znamo $((a)_(100))$ i $((a)_(200))$, jer $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na prvi pogled može se činiti da nam ta činjenica ne daje ništa korisno. Međutim, u praksi su mnogi problemi posebno skrojeni za korištenje aritmetičke sredine. pogledajte:

Zadatak br. 6. Pronađite sve vrijednosti od $x$ za koje su brojevi $-6((x)^(2))$, $x+1$ i $14+4((x)^(2))$ uzastopni članovi aritmetička progresija (u naznačenom redoslijedu).

Otopina. Budući da su ti brojevi članovi progresije, za njih je zadovoljen uvjet aritmetičke sredine: središnji element $x+1$ može se izraziti preko susjednih elemenata:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Rezultat je klasična kvadratna jednadžba. Njegovi korijeni: $x=2$ i $x=-3$ su odgovori.

Odgovor: −3; 2.

Zadatak br. 7. Pronađite vrijednosti $$ za koje brojevi $-1;4-3;(()^(2))+1$ čine aritmetičku progresiju (tim redoslijedom).

Otopina. Izrazimo opet srednji član kroz aritmetičku sredinu susjednih članova:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\kvad \lijevo| \cdot 2 \desno.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Opet kvadratna jednadžba. I opet postoje dva korijena: $x=6$ i $x=1$.

Odgovor: 1; 6.

Ako u procesu rješavanja problema dođete do nekih brutalnih brojeva ili niste posve sigurni u točnost pronađenih odgovora, onda postoji prekrasna tehnika koja vam omogućuje da provjerite: jesmo li ispravno riješili problem?

Recimo da smo u zadatku br. 6 dobili odgovore −3 i 2. Kako možemo provjeriti jesu li ti odgovori točni? Uključimo ih u izvorno stanje i vidimo što će se dogoditi. Dopustite da vas podsjetim da imamo tri broja ($-6(()^(2))$, $+1$ i $14+4(()^(2))$, koji moraju činiti aritmetičku progresiju. Zamijenimo $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Dobili smo brojeve −54; −2; 50 koji se razlikuju za 52 nedvojbeno je aritmetička progresija. Ista stvar se događa za $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Opet progresija, ali s razlikom od 27. Dakle, zadatak je ispravno riješen. Oni koji žele mogu sami provjeriti drugi problem, ali odmah ću reći: i tamo je sve točno.

Općenito, rješavajući posljednje probleme, naišli smo na još jednu zanimljivost koju također treba zapamtiti:

Ako su tri broja takva da je drugi aritmetička sredina prvog i posljednjeg, tada ti brojevi čine aritmetičku progresiju.

U budućnosti će nam razumijevanje ove izjave omogućiti doslovno "konstruiranje" potrebnih progresija na temelju uvjeta problema. Ali prije nego što se upustimo u takvu “konstrukciju”, valja obratiti pozornost na još jednu činjenicu, koja izravno proizlazi iz onoga o čemu je već bilo riječi.

Grupiranje i zbrajanje elemenata

Vratimo se opet na brojčanu os. Zabilježimo ondje nekoliko članova progresije, između kojih možda. vrijedi puno drugih članova:

Na brojevnoj crti označeno je 6 elemenata

Pokušajmo izraziti “lijevi rep” kroz $((a)_(n))$ i $d$, a “desni rep” kroz $((a)_(k))$ i $d$. Vrlo je jednostavno:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Imajte na umu da su sljedeći iznosi jednaki:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Jednostavno rečeno, ako kao početak uzmemo u obzir dva elementa progresije, koji su ukupno jednaki nekom broju $S$, a zatim počnemo koračati od tih elemenata u suprotnim smjerovima (jedni prema drugima ili obrnuto da se udaljavaju), zatim jednaki će biti i zbrojevi elemenata na koje ćemo se spotaknuti$S$. To se može najjasnije grafički prikazati:

Jednaka udubljenja daju jednake količine

Razumijevanje ove činjenice omogućit će nam rješavanje problema temeljno više razine složenosti od onih koje smo razmatrali gore. Na primjer, ove:

Zadatak br. 8. Odredite razliku aritmetičke progresije u kojoj je prvi član 66, a umnožak drugog i dvanaestog člana najmanji mogući.

Otopina. Zapišimo sve što znamo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Dakle, ne znamo razliku progresije $d$. Zapravo, cijelo rješenje bit će izgrađeno oko razlike, budući da se umnožak $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\lijevo(66+d \desno)\cdot \lijevo(66+11d \desno)= \\ & =11 \cdot \lijevo(d+66 \desno)\cdot \lijevo(d+6 \desno). \end(align)\]

Za one u spremniku: izbacio sam ukupni množitelj od 11 iz druge zagrade. Dakle, traženi umnožak je kvadratna funkcija u odnosu na varijablu $d$. Stoga, razmotrite funkciju $f\lijevo(d \desno)=11\lijevo(d+66 \desno)\lijevo(d+6 \desno)$ - njen graf će biti parabola s granama prema gore, jer ako proširimo zagrade, dobivamo:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Kao što vidite, koeficijent najvećeg člana je 11 - to je pozitivan broj, tako da imamo posla s parabolom s granama prema gore:

graf kvadratne funkcije – parabola

Imajte na umu: ova parabola dobiva svoju najmanju vrijednost na svom vrhu s apscisom $((d)_(0))$. Naravno, ovu apscisu možemo izračunati koristeći standardnu ​​shemu (postoji formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ali bilo bi mnogo razumnije napomenuti da željeni vrh leži na osnoj simetriji parabole, stoga je točka $((d)_(0))$ jednako udaljena od korijena jednadžbe $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \lijevo(d+66 \desno)\cdot \lijevo(d+6 \desno)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Zato se nisam posebno žurio s otvaranjem zagrada: u izvornom obliku korijene je bilo vrlo, vrlo lako pronaći. Dakle, apscisa je jednaka aritmetičkoj sredini brojeva −66 i −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Što nam daje otkriveni broj? S njim traženi proizvod poprima najmanju vrijednost (usput, nikada nismo izračunali $((y)_(\min ))$ - to se od nas ne traži). Ujedno, ovaj broj je razlika izvorne progresije, tj. našli smo odgovor. :)

Odgovor: −36

Zadatak br. 9. Između brojeva $-\frac(1)(2)$ i $-\frac(1)(6)$ umetnite tri broja tako da zajedno s tim brojevima čine aritmetičku progresiju.

Otopina. U suštini, moramo napraviti niz od pet brojeva, pri čemu su prvi i zadnji broj već poznati. Označimo brojeve koji nedostaju varijablama $x$, $y$ i $z$:

\[\lijevo(((a)_(n)) \desno)=\lijevo\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \desno\ )\]

Imajte na umu da je broj $y$ "sredina" našeg niza - jednako je udaljen od brojeva $x$ i $z$, te od brojeva $-\frac(1)(2)$ i $-\frac (1)( 6)$. A ako trenutno ne možemo dobiti $y$ iz brojeva $x$ i $z$, onda je drugačija situacija s krajevima progresije. Sjetimo se aritmetičke sredine:

Sada, znajući $y$, pronaći ćemo preostale brojeve. Imajte na umu da se $x$ nalazi između brojeva $-\frac(1)(2)$ i $y=-\frac(1)(3)$ koje smo upravo pronašli. Eto zašto

Koristeći slično zaključivanje, nalazimo preostali broj:

Spreman! Pronašli smo sva tri broja. Napišimo ih u odgovor redoslijedom kojim ih treba umetnuti između izvornih brojeva.

Odgovor: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Zadatak br. 10. Između brojeva 2 i 42 upiši nekoliko brojeva koji zajedno s tim brojevima čine aritmetičku progresiju, ako znaš da je zbroj prvog, drugog i zadnjeg umetnutog broja 56.

Otopina. Još složeniji problem, koji se, međutim, rješava prema istoj shemi kao i prethodni - kroz aritmetičku sredinu. Problem je što ne znamo točno koliko brojeva treba umetnuti. Stoga pretpostavimo za određenost da će nakon uvrštenja svega biti točno $n$ brojeva, od kojih je prvi 2, a posljednji 42. U tom slučaju tražena aritmetička progresija može se prikazati u obliku:

\[\lijevo(((a)_(n)) \desno)=\lijevo\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \desno\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Imajte na umu, međutim, da su brojevi $((a)_(2))$ i $((a)_(n-1))$ dobiveni iz brojeva 2 i 42 na rubovima jednim korakom jedan prema drugom, tj. u središte niza. A ovo znači to

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ali tada se gore napisani izraz može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \lijevo(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \desno)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Poznavajući $((a)_(3))$ i $((a)_(1))$, lako možemo pronaći razliku progresije:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\lijevo(3-1 \desno)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\desna strelica d=5. \\ \end(align)\]

Sve što preostaje je pronaći preostale pojmove:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Tako ćemo već na 9. koraku doći do lijevog kraja niza - broja 42. Ukupno je trebalo umetnuti samo 7 brojeva: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odgovor: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Riječni problemi s progresijama

Zaključno, želio bih razmotriti nekoliko relativno jednostavnih problema. Pa, jednostavno: za većinu učenika koji uče matematiku u školi, a nisu pročitali što je gore napisano, ovi problemi mogu izgledati teški. Ipak, ovo su vrste problema koji se pojavljuju u OGE i Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike, pa preporučujem da se upoznate s njima.

Zadatak br. 11. Tim je u siječnju izradio 62 dijela, au svakom sljedećem mjesecu proizveli su 14 dijelova više nego u prethodnom mjesecu. Koliko je dijelova tim proizveo u studenom?

Otopina. Očito će broj dijelova navedenih po mjesecima predstavljati rastuću aritmetičku progresiju. Štoviše:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Studeni je 11. mjesec u godini, pa moramo pronaći $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Stoga će u studenom biti proizvedena 202 dijela.

Zadatak br.12. Knjigoveška radionica je u siječnju uvezala 216 knjiga, au svakom sljedećem mjesecu uvezala je 4 knjige više nego u prethodnom mjesecu. Koliko je knjiga uvezano na radionici u prosincu?

Otopina. Sve je isto:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 4. \\ \end(align)$

Prosinac je posljednji, 12. mjesec u godini, pa tražimo $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ovo je odgovor – u prosincu će biti ukoričeno 260 knjiga.

Pa, ako ste dovde pročitali, žurim vam čestitati: uspješno ste završili “tečaj za mladog borca” u aritmetičkim progresijama. Možete sigurno prijeći na sljedeću lekciju, gdje ćemo proučiti formulu za zbroj progresije, kao i važne i vrlo korisne posljedice iz nje.