Pronađite površinu kruga na temelju njegovog promjera. Površina kruga u zadatku B5

U geometriji svuda okolo je skup svih točaka na ravnini koje su udaljene od jedne točke, koja se naziva njezino središte, za udaljenost koja nije veća od zadane, koja se naziva njezin polumjer. U ovom slučaju, vanjska granica kruga je krug, a u slučaju da je duljina polumjera nula, krug degenerira do točke.

Određivanje površine kruga

Ako je potrebno područje kruga može se izračunati pomoću formule:

πr 2

D 2

r- radijus kruga

D- promjer kruga

S- površina kruga

π - 3.14

Ova geometrijska figura vrlo se često nalazi iu tehnologiji iu arhitekturi. Dizajneri strojeva i mehanizama razvijaju različite dijelove, od kojih su dijelovi mnogih točni krug. Na primjer, to su osovine, šipke, šipke, cilindri, osovine, klipovi i tako dalje. U proizvodnji ovih dijelova koriste se praznine od različitih materijala (metali, drvo, plastika); krug. Nije potrebno spominjati da programeri često moraju kalkulirati područje kruga kroz promjer ili radijus, koristeći u tu svrhu jednostavne matematičke formule otkrivene u davna vremena.

Upravo tada okrugli elementi počeo se aktivno i naširoko koristiti u arhitekturi. Jedan od najupečatljivijih primjera toga je cirkus, vrsta građevine namijenjena za održavanje raznih zabavnih događanja. Njihove arene su oblikovane krug, a prvi put su se počeli graditi u antičko doba. Sama riječ" cirkus"u prijevodu s latinskog znači" krug" Ako su se u davnim vremenima u cirkusima održavale kazališne predstave i borbe gladijatora, sada se u njima održavaju gotovo isključivo cirkuske predstave u kojima sudjeluju dreseri, akrobati, mađioničari, klaunovi itd. Standardni promjer cirkuske arene je 13 metara , a to nije sasvim slučajno: činjenica je da upravo on osigurava minimalne potrebne geometrijske parametre arene u kojoj cirkuski konji mogu galopirati u krugu. Ako izračunamo područje kruga kroz promjer, ispada da je za cirkusku arenu ta vrijednost 113,04 četvornih metara.

Arhitektonski elementi koji mogu imati oblik kruga su prozori. Naravno, u većini slučajeva oni su pravokutni ili kvadratni (najviše zbog činjenice da je to lakše i za arhitekte i za graditelje), ali u nekim zgradama možete pronaći i okrugle prozore. Štoviše, u vozilima poput zračnih, pomorskih i riječnih plovila najčešće su takvi.

Nije neuobičajeno koristiti okrugle elemente za izradu namještaja, poput stolova i stolica. Postoji čak i koncept " Okrugli stol“, što podrazumijeva konstruktivnu raspravu, tijekom koje se sveobuhvatno raspravlja o različitim važnim problemima i razvijaju načini za njihovo rješavanje. Što se tiče same izrade radnih ploča okruglog oblika, za njihovu proizvodnju koriste se specijalizirani alati i oprema, uz sudjelovanje radnika s prilično visokim kvalifikacijama.

Krugovi zahtijevaju pažljiviji pristup i puno su rjeđi u zadacima B5. U isto vrijeme, opća shema rješenja još je jednostavnija nego u slučaju poligona (vidi lekciju "Površine poligona na koordinatnoj mreži").

Sve što je potrebno u takvim zadacima je pronaći polumjer kružnice R. Tada možete izračunati površinu kruga pomoću formule S = πR 2. Iz ove formule također slijedi da je za njezino rješavanje dovoljno pronaći R 2.

Da biste pronašli navedene vrijednosti, dovoljno je označiti točku na krugu koja se nalazi na sjecištu linija mreže. I onda upotrijebite Pitagorin teorem. Pogledajmo konkretne primjere izračuna polumjera:

Zadatak. Odredi polumjere tri kružnice prikazane na slici:

Izvršimo dodatne konstrukcije u svakom krugu:

U svakom slučaju, točka B je odabrana na kružnici koja leži na sjecištu linija mreže. Točka C u krugovima 1 i 3 dovršava lik u pravokutni trokut. Ostaje pronaći polumjere:

Promotrimo trokut ABC u prvom krugu. Prema Pitagorinoj teoremi: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Za drugu kružnicu sve je očito: R = AB = 2.

Treći slučaj je sličan prvom. Iz trokuta ABC pomoću Pitagorinog poučka: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.

Sada znamo kako pronaći polumjer kruga (ili barem kvadrata). Prema tome, možemo pronaći područje. Postoje problemi u kojima trebate pronaći područje sektora, a ne cijeli krug. U takvim slučajevima lako je saznati koji je dio kruga taj sektor, a time i područje.

Zadatak. Nađite površinu S osjenčanog sektora. Molimo navedite S/π u svom odgovoru.

Očito, sektor je jedna četvrtina kruga. Dakle, S = 0,25 S kružnice.

Ostaje pronaći S kruga - područje kruga. Da bismo to učinili, izvodimo dodatnu konstrukciju:

Trokut ABC je pravokutni trokut. Prema Pitagorinom teoremu imamo: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Sada nalazimo područje kruga i sektora: S krug = πR 2 = 8π ; S = 0,25 S krug = 2π.

Konačno, željena vrijednost je S /π = 2.

Područje sektora s nepoznatim radijusom

Ovo je potpuno nova vrsta zadatka; ništa slično nije bilo 2010.-2011. Prema uvjetu zadan nam je krug određene površine (i to površine, a ne polumjera!). Zatim se unutar ovog kruga odabire sektor čije područje treba pronaći.

Dobra vijest je da su takvi problemi najlakši od svih problema područja koji se pojavljuju na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike. Osim toga, krug i sektor uvijek se postavljaju na koordinatnu mrežu. Stoga, da biste naučili kako riješiti takve probleme, samo pogledajte sliku:

Neka izvorni krug ima površinu S = 80. Tada se može podijeliti na dva sektora s površinom S = 40 svaki (vidi korak 2). Slično, svaki od ovih "polovica" sektora može se ponovno podijeliti na pola - dobivamo četiri sektora površine S = 20 svaki (vidi korak 3). Na kraju, svaki od ovih sektora možemo podijeliti na još dva - dobit ćemo 8 sektora "otpadaka". Područje svakog od ovih "otpadaka" bit će S = 10.

Imajte na umu: nema finije podjele ni u jednom USE matematičkom problemu! Dakle, algoritam za rješavanje problema B-3 je sljedeći:

Izrežite izvorni krug u 8 sektora "ostatke". Površina svakog od njih je točno 1/8 površine cijelog kruga. Na primjer, ako prema uvjetu kružnica ima površinu S kruga = 240, tada “otpaci” imaju površinu S = 240: 8 = 30;
Saznajte koliko "ostatka" stane u izvorni sektor, čije područje treba pronaći. Na primjer, ako naš sektor sadrži 3 "ostatka" s površinom od 30, tada je površina željenog sektora S = 3 · 30 = 90. To će biti odgovor.

To je sve! Problem se rješava praktično usmeno. Ako još nešto nije jasno, kupite pizzu i izrežite je na 8 komada. Svaki takav komad bit će isti sektor - "otpadci" koji se mogu kombinirati u veće dijelove.

Sada pogledajmo primjere s probnog jedinstvenog državnog ispita:

Zadatak. Na kariranom papiru nacrtan je krug površine 40. Pronađite površinu osjenčane figure.

Dakle, površina kruga je 40. Podijelite ga na 8 sektora - svaki s površinom S = 40: 5 = 8. Dobivamo:

Očito, osjenčani sektor sastoji se od točno dva sektora "otpadaka". Stoga je njegova površina 2 · 5 = 10. To je cijelo rješenje!

Zadatak. Na kariranom papiru nacrtan je krug površine 64. Pronađite površinu osjenčane figure.

Ponovo podijelite cijeli krug na 8 jednakih sektora. Očito je područje jednog od njih upravo ono što treba pronaći. Prema tome, njegova površina je S = 64: 8 = 8.

Zadatak. Na kariranom papiru nacrtan je krug površine 48. Pronađite površinu osjenčane figure.

Ponovo podijelite krug na 8 jednakih sektora. Površina svakog od njih jednaka je S = 48: 8 = 6. Traženi sektor sadrži točno tri sektora - "ostatke" (vidi sliku). Dakle, površina traženog sektora je 3 6 = 18.

Kako pronaći područje kruga? Prvo pronađite radijus. Naučite rješavati jednostavne i složene probleme.

Krug je zatvorena krivulja. Bilo koja točka na kružnoj liniji bit će jednako udaljena od središnje točke. Krug je ravna figura, pa je rješavanje problema koji uključuju nalaženje površine jednostavno. U ovom ćemo članku pogledati kako pronaći područje kruga upisanog u trokut, trapez, kvadrat i opisanog oko tih figura.

Da biste pronašli površinu date figure, morate znati koji su radijus, promjer i broj π.

Radijus R je udaljenost ograničena središtem kruga. Duljine svih R-polumjera jedne kružnice bit će jednake.

Promjer D je linija između bilo koje dvije točke na kružnici koja prolazi kroz središnju točku. Duljina ovog segmenta jednaka je duljini R-radijusa pomnoženoj s 2.

Broj π je konstantna vrijednost koja je jednaka 3,1415926. U matematici se ovaj broj obično zaokružuje na 3,14.

Formula za pronalaženje površine kruga pomoću radijusa:

Primjeri rješavanja problema pronalaženja S-površine kruga pomoću R-radijusa:

Zadatak: Odredite površinu kruga ako je njegov polumjer 7 cm.

Riješenje: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 cm².

Odgovor: Površina kruga je 153,86 cm².

Formula za pronalaženje S-površine kruga kroz D-promjer:

Primjeri rješavanja problema za pronalaženje S ako je D poznato:

————————————————————————————————————————-

Zadatak: Odredi S kružnice ako je D 10 cm.

Riješenje: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 cm².

Odgovor: Površina ravnog kružnog lika je 78,5 cm².

Određivanje S kruga ako je poznat opseg:

Prvo pronalazimo čemu je jednak polumjer. Opseg kruga izračunava se formulom: L=2πR, odnosno radijus R će biti jednak L/2π. Sada pronalazimo područje kruga pomoću formule kroz R.

Pogledajmo rješenje pomoću primjera problema:

———————————————————————————————————————-

Zadatak: Odredite površinu kruga ako je poznat opseg L - 12 cm.

Riješenje: Prvo nalazimo radijus: R=L/2π=12/2*3.14=12/6.28=1.91.

Sada nalazimo površinu polumjera: S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 cm².

Odgovor: Površina kruga je 11,46 cm².

Lako je pronaći površinu kruga upisanog u kvadrat. Stranica kvadrata je promjer kruga. Da biste pronašli polumjer, morate stranicu podijeliti s 2.

Formula za pronalaženje površine kruga upisanog u kvadrat:

Primjeri rješavanja problema pronalaženja površine kruga upisanog u kvadrat:

———————————————————————————————————————

Zadatak #1: Poznata je stranica kvadratnog lika koja iznosi 6 centimetara. Pronađite S-površinu upisane kružnice.

Riješenje: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 cm².

Odgovor: Površina ravnog kružnog lika je 28,26 cm².

————————————————————————————————————————

Zadatak br. 2: Odredi S kružnice upisane u kvadrat i njen polumjer ako je jedna stranica a=4 cm.

Odlučite se ovako: Prvo nalazimo R=a/2=4/2=2 cm.

Nađimo sada površinu kruga S=3,14*2²=3,14*4=12,56 cm².

Odgovor: Površina ravnog kružnog lika je 12,56 cm².

Malo je teže pronaći površinu kružne figure opisane oko kvadrata. Ali, znajući formulu, možete brzo izračunati ovu vrijednost.

Formula za pronalaženje S kruga opisanog oko kvadrata:

Primjeri rješavanja problema nalaženja površine kruga opisanog oko kvadrata:

Zadatak

Kružnica koja je upisana u trokut je kružnica koja dodiruje sve tri stranice trokuta. Možete uklopiti krug u bilo koju trokutastu figuru, ali samo u jednu. Središte kružnice bit će sjecište simetrala kutova trokuta.

Formula za pronalaženje površine kruga upisanog u jednakokračni trokut:

Nakon što je polumjer poznat, površina se može izračunati pomoću formule: S=πR².

Formula za pronalaženje površine kruga upisanog u pravokutni trokut:

Primjeri rješavanja problema:

Zadatak br. 1

Ako u ovom zadatku također trebate pronaći površinu kruga polumjera 4 cm, tada se to može učiniti pomoću formule: S=πR²

Zadatak br. 2

Riješenje:

Sada kada je polumjer poznat, možemo pronaći površinu kruga pomoću polumjera. Vidi formulu iznad u tekstu.

Zadatak br. 3

Područje kruga opisanog oko pravokutnog i jednakokračnog trokuta: formula, primjeri rješavanja problema

Sve formule za pronalaženje površine kruga svode se na činjenicu da prvo morate pronaći njegov polumjer. Kada je radijus poznat, pronalaženje površine je jednostavno, kao što je gore opisano.

Površina kruga opisanog oko pravokutnog i jednakokračnog trokuta nalazi se sljedećom formulom:

Primjeri rješavanja problema:

Evo još jednog primjera rješavanja problema korištenjem Heronove formule.

Rješavanje takvih problema je teško, ali oni se mogu svladati ako znate sve formule. Takve zadatke učenici rješavaju u 9. razredu.

Područje kruga upisanog u pravokutni i jednakokračni trapez: formula, primjeri rješavanja problema

Jednakokračni trapez ima dvije jednake stranice. Pravokutni trapez ima jedan kut jednak 90º. Pogledajmo kako pronaći područje kruga upisanog u pravokutni i jednakokračni trapez na primjeru rješavanja problema.

Na primjer, u jednakokračni trapez upisana je kružnica koja u točki dodira dijeli jednu stranicu na segmente m i n.

Za rješavanje ovog problema potrebno je koristiti sljedeće formule:

Pronalaženje površine kruga upisanog u pravokutni trapez vrši se pomoću sljedeće formule:

Ako je bočna stranica poznata, polumjer se može pronaći pomoću ove vrijednosti. Visina stranice trapeza jednaka je promjeru kruga, a polumjer je polovici promjera. Prema tome, radijus je R=d/2.

Primjeri rješavanja problema:

Trapez se može upisati u krug ako je zbroj njegovih nasuprotnih kutova 180º. Prema tome, možete upisati samo jednakokračni trapez. Polumjer za izračunavanje površine kruga opisanog oko pravokutnog ili jednakokračnog trapeza izračunava se pomoću sljedećih formula:

Primjeri rješavanja problema:

Riješenje: Velika baza u ovom slučaju prolazi kroz središte, jer je jednakokračan trapez upisan u krug. Središte dijeli ovu bazu točno na pola. Ako je baza AB 12, tada se radijus R može pronaći na sljedeći način: R=12/2=6.

Odgovor: Polumjer je 6.

U geometriji je važno znati formule. Ali nemoguće ih je sve zapamtiti, pa je čak i na mnogim ispitima dopušteno koristiti poseban obrazac. Međutim, važno je znati pronaći pravu formulu za rješavanje određenog problema. Vježbajte rješavanje raznih problema kako biste pronašli polumjer i površinu kruga kako biste mogli ispravno zamijeniti formule i dobiti točne odgovore.

Video: Matematika | Izračunavanje površina kruga i njegovih dijelova

je ravna figura koja predstavlja skup točaka jednako udaljenih od središta. Svi su na istoj udaljenosti i tvore krug.

Isječak koji spaja središte kružnice s točkama na njenom obodu naziva se radius. U svakoj kružnici svi radijusi su međusobno jednaki. Pravac koji spaja dvije točke kružnice i prolazi središtem naziva se promjer. Formula za površinu kruga izračunava se pomoću matematičke konstante - broja π..

Ovo je zanimljivo : Broj π. predstavlja omjer opsega kruga i duljine njegovog promjera i konstantna je vrijednost. Vrijednost π = 3,1415926 korištena je nakon rada L. Eulera 1737. godine.

Površina kruga može se izračunati pomoću konstante π. a polumjer kruga. Formula za površinu kruga u smislu polumjera izgleda ovako:

Pogledajmo primjer izračuna površine kruga pomoću polumjera. Neka nam je dana kružnica polumjera R = 4 cm. Nađimo površinu figure.

Površina našeg kruga bit će 50,24 četvornih metara. cm.

Postoji formula površina kruga kroz promjer. Također se široko koristi za izračunavanje potrebnih parametara. Ove formule se mogu koristiti za pronalaženje.

Razmotrimo primjer izračuna površine kruga kroz njegov promjer, znajući njegov polumjer. Neka nam je dana kružnica polumjera R = 4 cm. Najprije ćemo pronaći promjer, koji je, kao što je poznato, dvostruko veći od polumjera.

Sada koristimo podatke za primjer izračuna površine kruga pomoću gornje formule:

Kao što vidite, rezultat je isti odgovor kao u prvim izračunima.

Poznavanje standardnih formula za izračunavanje površine kruga pomoći će vam da lakše odredite u budućnosti područje sektora i lako pronaći količine koje nedostaju.

Već znamo da se formula za površinu kruga izračunava množenjem konstantne vrijednosti π s kvadratom polumjera kruga. Polumjer se može izraziti u smislu opsega i zamijeniti izraz u formuli za područje kruga u smislu opsega:
Sada zamijenimo ovu jednakost u formulu za izračunavanje površine kruga i dobijemo formulu za pronalaženje površine kruga pomoću opsega

Razmotrimo primjer izračuna površine kruga pomoću opsega. Neka je dana kružnica duljine l = 8 cm. Zamijenite vrijednost u izvedenu formulu:

Ukupna površina kruga bit će 5 četvornih metara. cm.

Površina kruga opisanog oko kvadrata

Vrlo je lako pronaći površinu kruga opisanog oko kvadrata.

Da biste to učinili, potrebna vam je samo strana kvadrata i poznavanje jednostavnih formula. Dijagonala kvadrata bit će jednaka dijagonali opisane kružnice. Poznavajući stranu a, može se pronaći pomoću Pitagorinog teorema: odavde.
Nakon što nađemo dijagonalu, možemo izračunati polumjer: .
A onda ćemo sve zamijeniti u osnovnu formulu za površinu kruga opisanog oko kvadrata:

Kružni kalkulator je usluga posebno dizajnirana za izračunavanje geometrijskih dimenzija oblika na mreži. Zahvaljujući ovoj usluzi, možete jednostavno odrediti bilo koji parametar figure na temelju kruga. Na primjer: znate volumen lopte, ali trebate saznati njezinu površinu. Ništa lakše! Odaberite odgovarajuću opciju, unesite brojčanu vrijednost i kliknite gumb Izračunaj. Usluga ne samo da prikazuje rezultate izračuna, već također pruža formule prema kojima su napravljeni. Pomoću našeg servisa možete jednostavno izračunati polumjer, promjer, opseg (opseg kruga), površinu kruga i lopte te volumen lopte.

Izračunajte radijus

Problem izračuna vrijednosti radijusa jedan je od najčešćih. Razlog za to je vrlo jednostavan, jer znajući ovaj parametar, lako možete odrediti vrijednost bilo kojeg drugog parametra kruga ili lopte. Naša stranica je izgrađena upravo na ovoj shemi. Bez obzira koji ste početni parametar odabrali, prvo se izračunava vrijednost radijusa i na njoj se temelje svi sljedeći izračuni. Za veću točnost izračuna, stranica koristi Pi, zaokružen na 10. decimalu.

Izračunajte promjer

Izračun promjera je najjednostavniji način izračuna koji naš kalkulator može izvesti. Nije uopće teško ručno dobiti vrijednost promjera; za to uopće ne morate pribjegavati Internetu. Promjer je jednak vrijednosti polumjera pomnoženoj s 2. Promjer je najvažniji parametar kruga koji se iznimno često koristi u svakodnevnom životu. Apsolutno svatko bi ga trebao znati izračunati i pravilno koristiti. Koristeći mogućnosti naše web stranice, izračunat ćete promjer s velikom točnošću u djeliću sekunde.

Saznaj opseg

Ne možete ni zamisliti koliko okruglih predmeta ima oko nas i kakvu važnu ulogu imaju u našim životima. Sposobnost izračunavanja opsega potrebna je svima, od običnog vozača do vodećeg inženjera dizajna. Formula za izračunavanje opsega je vrlo jednostavna: D=2Pr. Izračun se može jednostavno napraviti ili na komadu papira ili pomoću ovog mrežnog pomoćnika. Prednost potonjeg je što sve izračune ilustrira slikama. A povrh svega, druga metoda je mnogo brža.

Izračunaj površinu kruga

Područje kruga - kao i svi parametri navedeni u ovom članku - osnova je moderne civilizacije. Biti u stanju izračunati i znati površinu kruga korisno je za sve segmente stanovništva bez iznimke. Teško je zamisliti područje znanosti i tehnologije u kojem ne bi bilo potrebno znati područje kruga. Formula za izračun opet nije teška: S=PR 2. Ova formula i naš online kalkulator pomoći će vam da saznate površinu bilo kojeg kruga bez dodatnog napora. Naša stranica jamči visoku točnost izračuna i njihovo munjevito izvršenje.

Izračunajte površinu kugle

Formula za izračunavanje površine lopte nije ništa kompliciranija od formula opisanih u prethodnim odlomcima. S=4Pr 2 . Ovaj jednostavan skup slova i brojki već mnogo godina omogućuje ljudima prilično precizno izračunavanje površine lopte. Gdje se to može primijeniti? Da posvuda! Na primjer, znate da je površina globusa 510.100.000 četvornih kilometara. Beskorisno je nabrajati gdje se poznavanje ove formule može primijeniti. Opseg formule za izračunavanje površine sfere je preširok.

Izračunaj obujam lopte

Za izračun volumena lopte upotrijebite formulu V = 4/3 (Pr 3). Korišten je za izradu naše online usluge. Web stranica omogućuje izračunavanje volumena lopte u nekoliko sekundi ako znate bilo koji od sljedećih parametara: radijus, promjer, opseg, površina kruga ili površina lopte. Možete ga koristiti i za obrnute izračune, na primjer, da biste saznali volumen lopte i dobili vrijednost njezina polumjera ili promjera. Hvala vam što ste brzo pogledali mogućnosti našeg kružnog kalkulatora. Nadamo se da vam se svidjela naša stranica i da ste je već označili.