Pronađite izvod nekoliko varijabli na internetu. Parcijalne derivacije funkcije triju varijabli

Opće načelo pronalaženja parcijalnih izvoda drugog reda funkcije triju varijabli slično je načelu pronalaženja parcijalnih izvoda drugog reda funkcije dviju varijabli.

Da biste pronašli parcijalne derivacije drugog reda, prvo morate pronaći parcijalne derivacije prvog reda ili, u drugom zapisu:

Postoji devet parcijalnih derivacija drugog reda.

Prva skupina su druge derivacije u odnosu na iste varijable:

Ili – drugi izvod u odnosu na “x”;

Ili – druga derivacija u odnosu na “Y”;

Ili – druga izvedenica u odnosu na “zet”.

Druga grupa je mješoviti Parcijalne derivacije 2. reda, ima ih šest:

Ili - mješoviti izvedenica “po x igrek”;

Ili - mješoviti izvedenica “po igri x”;

Ili - mješoviti izvod “u odnosu na x z”;

Ili - mješoviti izvedenica “po zt x”;

Ili - mješoviti izvedenica “s obzirom na igrek z”;

Ili - mješoviti izvedenica "po zt igrek".

Kao i u slučaju funkcije dviju varijabli, pri rješavanju problema možete se usredotočiti na sljedeće jednakosti mješovitih derivacija drugog reda:

Napomena: strogo govoreći, to nije uvijek slučaj. Da bi mješovite derivacije bile jednake, mora biti zadovoljen zahtjev njihove kontinuiteta.

Za svaki slučaj, evo nekoliko primjera kako ovu sramotu pravilno pročitati naglas:

- “dva udarca imaju dva puta igru”;

– “de dva y sa de z kvadrat”;

– “postoje dvije crte u X i Z”;

- “de two y po de zet po de igrek.”

Primjer 10

Pronađite sve parcijalne derivacije prvog i drugog reda za funkciju triju varijabli:

Riješenje: Prvo, pronađimo parcijalne derivacije prvog reda:

Uzimamo pronađenu derivaciju

i razlikovati ga s "Y":

Uzimamo pronađenu derivaciju

i razlikujemo ga s "x":

Jednakost je ispunjena. Fino.

Pozabavimo se drugim parom mješovitih izvedenica.

Uzimamo pronađenu derivaciju

i razlikujemo ga po "z":

Uzimamo pronađenu derivaciju

i razlikujemo ga s "x":

Jednakost je ispunjena. Fino.

S trećim parom mješovitih izvedenica postupamo na sličan način:

Jednakost je ispunjena. Fino.

Nakon obavljenog posla, možemo jamčiti da smo, prvo, ispravno pronašli sve parcijalne derivacije 1. reda, i drugo, također smo ispravno pronašli mješovite parcijalne derivacije 2. reda.

Ostaje pronaći još tri parcijalne derivacije drugog reda, kako biste izbjegli pogreške, trebali biste koncentrirati svoju pozornost što je više moguće:

Spreman. Ponavljam, zadatak nije toliko težak koliko je obiman. Rješenje se može skratiti i odnositi na jednakosti mješovitih parcijalnih derivacija, ali u tom slučaju neće biti provjere. Stoga je bolje potrošiti vrijeme i pronaći svi izvedenice (osim toga, nastavnik to može zahtijevati), ili, u krajnjem slučaju, provjerite nacrt.

Primjer 11

Nađite sve parcijalne derivacije prvog i drugog reda za funkciju triju varijabli

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti.

Rješenja i odgovori:

Primjer 2:Riješenje:

Primjer 4:Riješenje: Nađimo parcijalne derivacije prvog reda.

Kreirajmo potpuni diferencijal prvog reda:

Primjer 6:Riješenje: M(1, -1, 0):

Primjer 7:Riješenje: Izračunajmo parcijalne derivacije prvog reda u točkiM(1, 1, 1):

Primjer 9:Riješenje:

Primjer 11:Riješenje: Nađimo parcijalne derivacije prvog reda:

Nađimo parcijalne derivacije drugog reda:

Integrali

8.1. Neodređeni integral. Detaljna ogledna rješenja

Počnimo proučavati temu " Neodređeni integral", a također ćemo detaljno analizirati primjere rješenja najjednostavnijih (i ne tako jednostavnih) integrala. Kao i obično, ograničit ćemo se na minimum teorije, koja se nalazi u brojnim udžbenicima; naš zadatak je naučiti rješavati integrale.

Što je potrebno znati za uspješno svladavanje gradiva? Kako biste se nosili s integralnim računom, morate biti u mogućnosti pronaći derivacije na minimalnoj razini, na srednjoj razini. Neće biti gubitak iskustva ako iza sebe imate nekoliko desetaka, ili još bolje, stotina neovisno pronađenih derivata. U najmanju ruku, ne bi vas trebali zbuniti zadaci razlikovanja najjednostavnijih i najčešćih funkcija.

Čini se, kakve veze imaju izvodnice ako je članak o integralima?! Evo u čemu je stvar. Činjenica je da su nalaženje izvodnica i nalaženje neodređenih integrala (diferencijacija i integracija) dvije međusobno obrnute radnje, poput zbrajanja/oduzimanja ili množenja/dijeljenja. Dakle, bez vještine i bilo kakvog iskustva u pronalaženju derivata, nažalost, ne možete ići naprijed.

U tom smislu trebat će nam sljedeći nastavni materijali: Tablica izvedenica I Tablica integrala.

Koja je poteškoća u učenju neodređenih integrala? Ako u derivatima postoji strogo 5 pravila diferencijacije, tablica derivata i prilično jasan algoritam radnji, onda je u integralima sve drugačije. Postoje deseci integracijskih metoda i tehnika. A, ako je metoda integracije u početku pogrešno odabrana (tj. ne znate kako riješiti), tada možete "bockati" integral doslovno danima, poput prave slagalice, pokušavajući uočiti razne tehnike i trikove. Nekima se to čak i sviđa.

Inače, često smo od studenata (nehumanističkih smjerova) čuli mišljenje poput: “Nikada me nije zanimalo rješavanje limesa ili derivacije, ali integrali su sasvim druga stvar, to je fascinantno, uvijek postoji želju za “hakiranjem” složenog integrala.” . Stop. Dosta crnog humora, prijeđimo na ove same neodređene integrale.

Budući da postoji mnogo načina da se to riješi, gdje bi onda čajnik trebao početi proučavati neodređene integrale? U integralnom računu, po našem mišljenju, postoje tri stupa ili neka vrsta “osovine” oko koje se sve ostalo vrti. Prije svega, trebali biste dobro razumjeti najjednostavnije integrale (ovaj članak).

Zatim morate detaljno proraditi lekciju. OVO JE NAJVAŽNIJA TEHNIKA! Možda čak i najvažniji članak od svih članaka o integralima. I treće, svakako biste trebali pročitati metoda integracije po dijelovima, budući da integrira široku klasu funkcija. Ako svladaš barem ove tri lekcije, onda više nećeš imati dvije. Možda će vam biti oprošteno što niste znali integrali trigonometrijskih funkcija, integrali razlomaka, integrali razlomačko-racionalnih funkcija, integrali iracionalnih funkcija (korijeni), ali ako "upadnete u nevolje" s metodom zamjene ili metodom integracije po dijelovima, onda će biti vrlo, vrlo loše.

Dakle, počnimo jednostavno. Pogledajmo tablicu integrala. Kao i kod izvodnica, uočavamo nekoliko pravila integracije i tablicu integrala nekih elementarnih funkcija. Svaki tablični integral (i zapravo svaki neodređeni integral) ima oblik:

Odmah shvatimo oznake i pojmove:

– integralna ikona.

– funkcija integranda (piše se slovom “s”).

– ikona diferencijala. Vrlo brzo ćemo vidjeti što je to. Glavna stvar je da prilikom pisanja integrala i tijekom rješenja važno ne izgubiti ovu ikonu. Bit će primjetan nedostatak.

– integrand ili “ispuna” integrala.

– antiderivat funkcija.

– . Nema potrebe da se previše opterećujemo pojmovima; najvažnije je da se u svakom neodređenom integralu odgovoru doda konstanta.

Rješavanje neodređenog integrala znači pronalaženjemnoge primitivne funkcije iz zadanog integranda

Pogledajmo ponovno unos:

Pogledajmo tablicu integrala.

Što se događa? Imamo lijeve dijelove pretvoriti u na druge funkcije: .

Pojednostavimo našu definiciju:

Riješite neodređeni integral - to znači PRETVORITI ga u nedefiniranu (do konstante) funkciju , koristeći neka pravila, tehnike i tablicu.

Uzmimo, na primjer, integral tablice . Što se dogodilo? Simbolička notacija razvila se u mnoge primitivne funkcije.

Kao i u slučaju derivacija, da bi se naučilo pronaći integrale, nije potrebno biti svjestan što je integral ili antiderivativna funkcija s teorijske točke gledišta. Dovoljno je jednostavno provesti transformacije prema nekim formalnim pravilima. Dakle, u slučaju Uopće nije potrebno razumjeti zašto se integral pretvara u . Ovu i druge formule možete uzeti zdravo za gotovo. Svi koriste električnu energiju, ali malo ljudi razmišlja o tome kako elektroni putuju kroz žice.

Budući da su diferencijacija i integracija suprotne operacije, za svaku antiderivaciju koja je točno pronađena vrijedi sljedeće:

Drugim riječima, ako diferencirate točan odgovor, tada morate dobiti izvornu funkciju integranda.

Vratimo se istom tabličnom integralu .

Provjerimo valjanost ove formule. Uzimamo izvod desne strane:

je izvorna funkcija integranda.

Usput, postalo je jasnije zašto se konstanta uvijek dodjeljuje funkciji. Kada se diferencira, konstanta se uvijek okreće na nulu.

Riješite neodređeni integral- znači pronaći gomila svatko antiderivati, a ne samo jedna funkcija. U primjeru tablice koji razmatramo, , , itd. – sve ove funkcije su rješenja integrala. Rješenja je beskonačno mnogo, pa ćemo to ukratko zapisati:

Stoga je bilo koji neodređeni integral prilično lako provjeriti. Ovo je neka kompenzacija za veliki broj integrala različitih tipova.

Prijeđimo na konkretne primjere. Počnimo, kao u proučavanju derivata, s dva pravila integracije:

- konstantno C mogu (i trebaju) izbaciti iz integralnog predznaka.

– integral zbroja (razlike) dviju funkcija jednak je zbroju (razlici) dvaju integrala. Ovo pravilo vrijedi za bilo koji broj pojmova.

Kao što vidite, pravila su u osnovi ista kao i za izvedenice. Ponekad se zovu svojstva linearnosti sastavni.

Primjer 1

Nađi neodređeni integral.

Izvršite provjeru.

Riješenje: Pogodnije je pretvoriti ga kao.

(1) Primijenite pravilo . Zaboravljamo zapisati ikonu diferencijala dx ispod svakog integrala. Zašto ispod svake? dx– ovo je punopravni multiplikator. Ako ga detaljno opišemo, prvi korak bi trebao biti napisan ovako:

(2) Prema pravilu sve konstante premjestimo preko predznaka integrala. Napominjemo da je u prošlom terminu tg 5 je konstanta, također je izbacujemo.

Osim toga, u ovom koraku pripremamo korijene i moći za integraciju. Na isti način kao kod diferencijacije, korijeni moraju biti predstavljeni u obliku . Pomaknite korijene i potencije koji se nalaze u nazivniku prema gore.

Bilješka: Za razliku od izvoda, korijene u integralima ne treba uvijek svesti na oblik , i pomaknite stupnjeve prema gore.

Na primjer, - ovo je gotovi tablični integral, koji je već izračunat prije vas, i sve vrste kineskih trikova poput potpuno nepotrebno. Također: – ovo je također tablični integral; nema smisla predstavljati razlomak u obliku . Pažljivo proučite tablicu!

(3) Svi naši integrali su tablični. Transformaciju provodimo pomoću tablice pomoću formula: , I

za funkciju snage - .

Treba napomenuti da je tablični integral poseban slučaj formule za funkciju snage: .

Konstantno C dovoljno je jednom dodati na kraju izraza

(a ne stavljati ih iza svakog integrala).

(4) Dobiveni rezultat zapisujemo u kompaktnijem obliku, kada su sve potencije oblika

opet ih predstavljamo u obliku korijena, a potencije s negativnim eksponentom vraćamo u nazivnik.

Ispitivanje. Da biste izvršili provjeru potrebno je razlikovati primljeni odgovor:

Početno primljeno integrand, tj. integral je točno nađen. Ono iz čega su plesali, to su se vratili. Dobro je kad priča s integralom ovako završi.

S vremena na vrijeme postoji nešto drugačiji pristup provjeri neodređenog integrala, kada se iz odgovora ne uzima derivacija, već diferencijal:

Kao rezultat, ne dobivamo funkciju integranda, već izraz integranda.

Nemojte se bojati koncepta diferencijala.

Diferencijal je izvod pomnožen s dx.

Međutim, ono što nam je važno nisu teorijske suptilnosti, već što dalje učiniti s ovim diferencijalom. Razlika se otkriva na sljedeći način: ikona d uklonite ga, stavite glavni znak desno iznad zagrade, dodajte množitelj na kraj izraza dx :

Dobiven original integrand, odnosno integral je točno nađen.

Kao što vidite, diferencijal se svodi na pronalaženje derivacije. Druga metoda provjere mi se manje sviđa, jer moram dodatno nacrtati velike zagrade i povući ikonu diferencijala dx do kraja provjere. Iako je ispravnije, ili “uglednije” ili tako nešto.

Zapravo, o drugom načinu provjere moglo se šutjeti. Nije stvar u metodi, nego u tome što smo naučili otvoriti diferencijal. Opet.

Razlika se otkriva na sljedeći način:

1) ikona d ukloniti;

2) desno iznad zagrade stavljamo crtu (oznaka izvedenice);

3) na kraju izraza pridružujemo faktor dx .

Na primjer:

Zapamtite ovo. Ova tehnika će nam trebati vrlo brzo.

Primjer 2

Kada nađemo neodređeni integral, UVIJEK pokušavamo provjeritiŠtoviše, postoji velika prilika za to. Nisu sve vrste problema u višoj matematici dar s ove točke gledišta. Nema veze što provjeravanje često nije potrebno u kontrolnim zadacima; nitko i ništa vas ne sprječava da to učinite na nacrtu. Iznimka se može napraviti samo kada nema dovoljno vremena (npr. tijekom kolokvija ili ispita). Ja osobno uvijek provjeravam integrale, a izostanak provjere smatram hakerskim poslom i loše odrađenim zadatkom.

Primjer 3

Nađi neodređeni integral:

. Izvršite provjeru.

Rješenje: Analizirajući integral, vidimo da pod integralom imamo umnožak dviju funkcija, pa čak i stepenovanje cijelog izraza. Nažalost, na polju integralnog bitka Ne dobro i ugodno formule za integraciju umnoška i kvocijenta kao: ili .

Stoga, kada je dan umnožak ili kvocijent, uvijek ima smisla vidjeti je li moguće transformirati integrand u zbroj? Primjer koji razmatramo je slučaj kada je to moguće.

Prvo ćemo predstaviti cjelovito rješenje, komentari će biti ispod.

(1) Koristimo dobru staru formulu kvadrata zbroja za sve realne brojeve, oslobađajući se stupnja iznad zajedničke zagrade. izvan zagrade i primjenom skraćene formule množenja u suprotnom smjeru: .

Primjer 4

Nađi neodređeni integral

Izvršite provjeru.

Ovo je primjer za vas da sami riješite. Odgovor i potpuno rješenje nalaze se na kraju lekcije.

Primjer 5

Nađi neodređeni integral

. Izvršite provjeru.

U ovom primjeru, integrand je razlomak. Kada vidimo razlomak u integrandu, prva pomisao bi trebala biti pitanje: "Je li moguće nekako se riješiti ovog razlomka ili ga barem pojednostaviti?"

Primjećujemo da nazivnik sadrži jedan korijen od "X". Onaj koji je na terenu nije ratnik, što znači da možemo podijeliti brojnik s nazivnikom po pojam:

Ne komentiramo radnje s frakcijskim potencijama, jer su o njima više puta raspravljano u člancima o izvodu funkcije.

Ako ste još uvijek zbunjeni takvim primjerom kao što je

i ni u kom slučaju ne izlazi točan odgovor,

Također imajte na umu da rješenju nedostaje jedan korak, naime primjena pravila , . Obično, s određenim iskustvom u rješavanju integrala, ova se pravila smatraju očitom činjenicom i ne opisuju se detaljno.

Primjer 6

Nađi neodređeni integral. Izvršite provjeru.

Ovo je primjer za vas da sami riješite. Odgovor i potpuno rješenje nalaze se na kraju lekcije.

U općem slučaju, s razlomcima u integralima, nije sve tako jednostavno, dodatni materijal o integraciji razlomaka nekih vrsta može se naći u članku: Integriranje nekih razlomaka. No, prije nego prijeđete na gornji članak, morate se upoznati s lekcijom: Metoda supstitucije u neodređenom integralu. Poanta je da je podvođenje funkcije pod diferencijalnu ili varijabilnu metodu zamjene ključna stvar u proučavanju teme, jer se nalazi ne samo "u čistim zadacima na metodi zamjene", već iu mnogim drugim vrstama integrala.

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Rješenje:

Primjer 4: Rješenje:

U ovom smo primjeru koristili formulu skraćenog množenja

Primjer 6: Rješenje:

Metoda promjene varijable u neodređenom integralu. Primjeri rješenja

U ovoj lekciji ćemo se upoznati s jednom od najvažnijih i najčešćih tehnika koja se koristi pri rješavanju neodređenih integrala - metodom promjene varijable. Uspješno svladavanje gradiva zahtijeva početno znanje i integracijske vještine. Ako kod integralnog računanja imate osjećaj praznog, punog čajnika, tada se prvo trebate upoznati s gradivom Neodređeni integral. Primjeri rješenja, gdje se na pristupačan način objašnjava što je integral i detaljno se analiziraju osnovni primjeri za početnike.

Tehnički, metoda promjene varijable u neodređenom integralu provodi se na dva načina:

– Podvođenje funkcije pod diferencijalni predznak.

– Zapravo mijenjanje varijable.

U suštini, ovo je ista stvar, ali dizajn rješenja izgleda drugačije. Počnimo s jednostavnijim slučajem.

Pojam funkcije mnogih varijabli

Neka postoji n-varijabli i svakom x 1, x 2 ... x n iz određenog skupa x dodijeljena je definicija. broja Z, tada je funkcija Z = f (x 1, x 2 ... x n) mnogih varijabli dana na skupu x.

X – područje definiranja funkcije

x 1, x 2 ... x n – nezavisna varijabla (argumenti)

Z – funkcija Primjer: Z=P x 2 1 *x 2 (Zapremina cilindra)

Razmotrimo Z=f(x;y) – funkciju 2 varijable (x 1, x 2 zamijenjeno s x,y). Rezultati se analogno prenose na druge funkcije mnogih varijabli. Područje za određivanje funkcije 2 varijable je cijeli kabel (oh) ili njegov dio. Broj vrijednosti funkcije 2 varijable je površina u 3-dimenzionalnom prostoru.

Tehnike konstruiranja grafova: - Posmatrajmo presjek plohe u kvadratima || koordinatni kvadrati.

Primjer: x = x 0, zn. kvadrat X || 0uz y = y 0 0hz Tip funkcije: Z=f(x 0 ,y); Z=f(x,y 0)

Na primjer: Z=x 2 +y 2 -2y

Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1

Oko parabole (centar(0,1)

Limes i kontinuitet funkcija dviju varijabli

Neka je zadano Z=f(x;y), tada je A granica funkcije u t.(x 0 ,y 0), ako je za bilo koji proizvoljno mali skup. broj E>0 je pozitivan broj b>0, koji za sve x, y zadovoljava |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|

Z=f(x;y) je kontinuiran u t (x 0 ,y 0) ako: - je definiran u ovom t.; - ima kraj. ograničenje na x, teži prema x 0 i y prema y 0; - ova granica = vrijednost

funkcije u t (x 0 ,y 0), tj. limf(x;y)=f(x 0 ,y 0)

Ako je funkcija neprekidna u svakoj t. mn-va X, onda je na ovom području kontinuirano

Diferencijalna funkcija, njeno geomsko značenje. Primjena diferencijala u približnim vrijednostima.

dy=f’(x)∆x – diferencijalna funkcija

dy=dx, tj. dy=f ’(x)dx ako je y=x

S geološkog gledišta, diferencijal funkcije je priraštaj ordinate tangente povučene na graf funkcije u točki s apscisom x 0

Dif-l se koristi za izračunavanje pribl. vrijednosti funkcije prema formuli: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x

Što je ∆x bliže xu, rezultat je točniji

Parcijalne derivacije prvog i drugog reda

Izvod prvog reda (koji se naziva parcijalni)

A. Neka su x, y inkrementi nezavisnih varijabli x i y u nekoj točki iz područja X. Tada se vrijednost jednaka z = f(x+ x, y+ y) = f(x,y) naziva ukupnim prirast u točki x 0, y 0. Ako fiksiramo varijablu x i damo prirast y varijabli y, tada dobivamo zu = f(x,y,+ y) – f(x,y)

Slično se određuje i parcijalna derivacija varijable y, tj.

Parcijalna derivacija funkcije 2 varijable nalazi se prema istim pravilima kao i za funkcije jedne varijable.

Razlika je u tome što se kod diferenciranja funkcije s obzirom na varijablu x, y smatra konst, a kod diferenciranja s obzirom na y, x se smatra konst.

Izolirane const povezane su s funkcijom pomoću operacija zbrajanja/oduzimanja.

Vezane const povezane su s funkcijom operacijama množenja/dijeljenja.

Derivacija izolirane const = 0

1.4.Potpuni diferencijal funkcije 2 varijable i njegove primjene

Neka je z = f(x,y), tada

tz = - zove se puni prirast

Parcijalna derivacija 2. reda

Za kontinuirane funkcije 2 varijable, mješovite parcijalne derivacije 2. reda se podudaraju.

Primjena parcijalnih derivacija na određivanje parcijalnih derivacija max i min funkcija naziva se ekstremima.

A. Točke se nazivaju max ili min z = f(x,y) ako postoje neki segmenti takvi da za sve x i y iz ove okoline f(x,y)

T. Ako je zadana točka ekstrema funkcije 2 varijable, tada je vrijednost parcijalnih derivacija u toj točki jednaka 0, tj. ,

Točke u kojima su parcijalne derivacije prvog reda nazivaju se stacionarnim ili kritičnim.

Stoga se za pronalaženje točaka ekstrema funkcije 2 varijable koriste dovoljni uvjeti ekstremuma.

Neka je funkcija z = f(x,y) dvostruko diferencijabilna, a stacionarna točka,

1) i maxA<0, minA>0.

1.4.(*)Puni diferencijal. Geometrijsko značenje diferencijala. Primjena diferencijala u aproksimativnim proračunima

A. Neka je funkcija y = f(x) definirana u određenoj okolini u točkama. Kaže se da je funkcija f(x) diferencijabilna u točki ako je njezin prirast u toj točki , gdje je predstavljen u obliku (1)

Gdje je A konstantna vrijednost neovisna o , u fiksnoj točki x, i infinitezimalna je u . Relativno linearna funkcija A naziva se diferencijalom funkcije f(x) u točki i označava se df() ili dy.

Stoga se izraz (1) može napisati kao ().

Diferencijal funkcije u izrazu (1) ima oblik dy = A. Kao i svaka linearna funkcija, definirana je za bilo koju vrijednost dok se prirast funkcije mora uzeti u obzir samo za one kojima + pripada domeni definicije funkcije f(x).

Radi lakšeg pisanja diferencijala, inkrement se označava s dx i naziva se diferencijal nezavisne varijable x. Stoga se diferencijal piše kao dy = Adx.

Ako je funkcija f(x) diferencijabilna u svakoj točki određenog intervala, tada je njezin diferencijal funkcija dviju varijabli - točke x i varijable dx:

T. Da bi funkcija y = g(x) bila diferencijabilna u nekoj točki, potrebno je i dovoljno da ima derivaciju u toj točki, a

(*)Dokaz. Nužnost.

Neka je funkcija f(x) diferencijabilna u točki, tj. . Zatim

Dakle, derivacija f’() postoji i jednaka je A. Stoga je dy = f’()dx

Adekvatnost.

Neka postoji derivacija f’(), tj. = f'(). Tada je krivulja y = f(x) tangentni segment. Da biste izračunali vrijednost funkcije u točki x, uzmite točku u njenom susjedstvu, tako da nije teško pronaći f() i f’()/

Svaki parcijalni izvod (po x i po g) funkcije dviju varijabli je obična derivacija funkcije jedne varijable za fiksnu vrijednost druge varijable:

(Gdje g= konst),

(Gdje x= konst).

Stoga se parcijalne derivacije izračunavaju korištenjem formule i pravila za izračunavanje derivacija funkcija jedne varijable, uzimajući u obzir drugu varijablu konstantu.

Ako vam za to nije potrebna analiza primjera i minimum teorije, već samo rješenje vašeg problema, idite na online kalkulator parcijalnih derivata .

Ako vam je teško usredotočiti se na praćenje gdje je konstanta u funkciji, tada u nacrtu rješenja primjera, umjesto varijable s fiksnom vrijednošću, možete zamijeniti bilo koji broj - tada možete brzo izračunati djelomičnu derivaciju kao obična derivacija funkcije jedne varijable. Samo se trebate sjetiti vratiti konstantu (varijablu s fiksnom vrijednošću) na njezino mjesto kada završite konačni dizajn.

Gore opisano svojstvo parcijalnih derivacija proizlazi iz definicije parcijalnih derivacija, koja se može pojaviti u ispitnim pitanjima. Stoga, da biste se upoznali s donjom definicijom, možete otvoriti teoretsku referencu.

Pojam neprekidnosti funkcije z= f(x, g) u točki definira se slično ovom konceptu za funkciju jedne varijable.

Funkcija z = f(x, g) nazivamo kontinuiranim u točki ako

Razlika (2) naziva se ukupnim prirastom funkcije z(dobiva se kao rezultat povećanja obaju argumenata).

Neka je zadana funkcija z= f(x, g) i točka

Ako se funkcija promijeni z događa se kada se samo jedan od argumenata promijeni, na primjer, x, s fiksnom vrijednošću drugog argumenta g, tada će funkcija dobiti inkrement

naziva se djelomično povećanje funkcije f(x, g) Autor x.

S obzirom na promjenu funkcije z ovisno o promjeni samo jednog od argumenata, efektivno prelazimo na funkciju jedne varijable.

Ako postoji konačna granica

onda se naziva parcijalna derivacija funkcije f(x, g) argumentom x i označen je jednim od simbola

(4)

Slično se određuje i djelomični prirast z Po g:

i djelomična derivacija f(x, g) Autor g:

(6)

Primjer 1.

Riješenje. Nađi parcijalnu derivaciju u odnosu na varijablu "x":

(g fiksni);

Nalazimo parcijalnu derivaciju u odnosu na varijablu "y":

(x fiksni).

Kao što vidite, nije važno u kojoj je mjeri varijabla fiksna: u ovom slučaju to je jednostavno određeni broj koji je faktor (kao u slučaju obične derivacije) varijable s kojom nalazimo parcijalnu derivaciju . Ako se fiksna varijabla ne pomnoži s varijablom s kojom nalazimo parcijalnu derivaciju, tada ta usamljena konstanta, bez obzira u kojoj mjeri, kao u slučaju obične derivacije, nestaje.

Primjer 2. S obzirom na funkciju

Pronađite parcijalne derivacije

(po X) i (po Y) i izračunajte njihove vrijednosti u točki A (1; 2).

Riješenje. Na fiksnom g derivacija prvog člana nalazi se kao derivacija funkcije potencije ( tablica izvoda funkcija jedne varijable):

Na fiksnom x derivacija prvog člana nalazi se kao derivacija eksponencijalne funkcije, a drugi - kao derivacija konstante:

Sada izračunajmo vrijednosti ovih parcijalnih derivacija u točki A (1; 2):

Rješenje problema parcijalnih derivacija možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Primjer 3. Naći parcijalne derivacije funkcije

Riješenje. U jednom koraku nalazimo

(g x, kao da je argument sinusa 5 x: na isti način, 5 se pojavljuje ispred znaka funkcije);

(x je fiksna iu ovom slučaju je multiplikator na g).

Rješenje problema parcijalnih derivacija možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Slično se definiraju parcijalne derivacije funkcije triju ili više varijabli.

Ako svaki skup vrijednosti ( x; g; ...; t) nezavisne varijable iz skupa D odgovara jednoj specifičnoj vrijednosti u od mnogih E, To u naziva funkcija varijabli x, g, ..., t i označavaju u= f(x, g, ..., t).

Za funkcije od tri ili više varijabli ne postoji geometrijska interpretacija.

Parcijalne derivacije funkcije više varijabli također se određuju i izračunavaju pod pretpostavkom da se mijenja samo jedna od nezavisnih varijabli, dok su ostale fiksne.

Primjer 4. Naći parcijalne derivacije funkcije

Riješenje. g I z fiksno:

x I z fiksno:

x I g fiksno:

Parcijalne derivacije pronađite sami i zatim pogledajte rješenja

Primjer 5.

Primjer 6. Naći parcijalne derivacije funkcije.

Isti ima i parcijalni izvod funkcije više varijabli mehaničko značenje je isto što i derivacija funkcije jedne varijable, je brzina promjene funkcije u odnosu na promjenu jednog od argumenata.

Primjer 8. Kvantitativna vrijednost protoka Pželjeznički putnici mogu se izraziti funkcijom

Gdje P– broj putnika, N– broj stanovnika dopisnih mjesta, R– udaljenost između točaka.

Parcijalni izvod funkcije P Po R, jednak

pokazuje da je smanjenje protoka putnika obrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti između odgovarajućih točaka s istim brojem stanovnika u točkama.

Parcijalna derivacija P Po N, jednak

pokazuje da je povećanje protoka putnika proporcionalno dvostrukom broju stanovnika naselja na istoj udaljenosti između točaka.

Rješenje problema parcijalnih derivacija možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Puni diferencijal

Umnožak parcijalnog izvoda i prirasta odgovarajuće nezavisne varijable naziva se parcijalni diferencijal. Parcijalni diferencijali se označavaju na sljedeći način:

Zbroj parcijalnih diferencijala za sve nezavisne varijable daje ukupni diferencijal. Za funkciju dviju neovisnih varijabli ukupni diferencijal izražava se jednakošću

(7)

Primjer 9. Pronađite potpuni diferencijal funkcije

Riješenje. Rezultat korištenja formule (7):

Za funkciju koja ima totalni diferencijal u svakoj točki određene domene kaže se da je diferencijabilna u toj domeni.

Sami pronađite ukupni diferencijal i zatim pogledajte rješenje

Kao iu slučaju funkcije jedne varijable, diferencijabilnost funkcije u određenom području podrazumijeva njezin kontinuitet u tom području, ali ne i obrnuto.

Formulirajmo bez dokaza dovoljan uvjet diferencijabilnosti funkcije.

Teorema. Ako funkcija z= f(x, g) ima neprekidne parcijalne derivacije

u danom području, tada je on u tom području diferencijabilan i njegov se diferencijal izražava formulom (7).

Može se pokazati da, kao što je u slučaju funkcije jedne varijable diferencijal funkcije glavni linearni dio prirasta funkcije, tako je u slučaju funkcije više varijabli ukupni diferencijal jednak glavni, linearni u odnosu na prirast nezavisnih varijabli, dio ukupnog prirasta funkcije.

Za funkciju dviju varijabli ukupni prirast funkcije ima oblik

(8)

gdje su α i β infinitezimalni na i .

Parcijalne derivacije višeg reda

Parcijalne derivacije i funkcije f(x, g) same su neke funkcije istih varijabli i, zauzvrat, mogu imati derivacije u odnosu na različite varijable, koje se nazivaju parcijalne derivacije viših redova.

Parcijalne derivacije se koriste u problemima koji uključuju funkcije nekoliko varijabli. Pravila za pronalaženje potpuno su ista kao i za funkcije jedne varijable, s jedinom razlikom što se jedna od varijabli mora smatrati konstantom (konstantnim brojem) u trenutku diferenciranja.

Formula

Parcijalne derivacije za funkciju dviju varijabli $ z(x,y) $ zapisuju se u sljedećem obliku $ z"_x, z"_y $ i nalaze se pomoću formula:

Parcijalne derivacije prvog reda

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Parcijalne derivacije drugog reda

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

Mješovita izvedenica

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Parcijalni izvod složene funkcije

a) Neka je $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, tada je derivacija složene funkcije određena formulom:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt) $$

b) Neka $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, tada se parcijalne derivacije funkcije nalaze po formuli:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Parcijalne derivacije implicitne funkcije

a) Neka je $ F(x,y(x)) = 0 $, tada $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Neka $ F(x,y,z)=0 $, tada $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Primjeri rješenja

Primjer 1
Pronađite parcijalne derivacije prvog reda $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $
Riješenje
Da bismo pronašli parcijalnu derivaciju u odnosu na $ x $, smatrat ćemo da je $ y $ konstantna vrijednost (broj): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Da bismo pronašli parcijalni izvod funkcije u odnosu na $y$, definiramo $y$ konstantom: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo pružiti detaljno rješenje. Moći ćete vidjeti napredak izračuna i dobiti informacije. To će vam pomoći da na vrijeme dobijete ocjenu od svog učitelja!
Odgovor
$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Primjer 2
Nađite parcijalne derivacije funkcije drugog reda $ z = e^(xy) $
Riješenje
Najprije trebate pronaći izvode prvog reda, a onda znajući ih možete pronaći izvode drugog reda. Neka $y$ bude konstanta: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Postavimo sada $ x $ da bude konstantna vrijednost: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Poznavajući prve izvode, na sličan način nalazimo i drugi. Postavite $y$ na konstantu: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Postavljamo $ x $ na konstantu: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Sada preostaje samo pronaći mješovitu derivaciju. Možete razlikovati $ z"_x $ po $ y $, a možete razlikovati $ z"_y $ po $ x $, jer prema teoremu $ z""_(xy) = z""_(yx) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$
Odgovor
$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

Primjer 4
Neka $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ definira implicitnu funkciju $ F(x,y,z) = 0 $. Pronađite parcijalne derivacije prvog reda.
Riješenje
Zapisujemo funkciju u formatu: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ i pronalazimo derivacije: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$
Odgovor
$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Definicija. Parcijalne derivacije drugog reda funkcije su parcijalne derivacije njenih parcijalnih derivacija prvog reda.

Oznaka za parcijalne derivacije drugog reda:

Za praktične primjere vrijedi sljedeća jednakost:

Dakle, preko mješovite derivacije drugog reda vrlo je zgodno provjeriti ispravnost nalaženja parcijalnih derivacija prvog reda.

Primjeri.

A) Pronađite parcijalne derivacije drugog reda funkcije

Riješenje.

1. Brojimo varijablu g

2. Ponovno diferencirajmo dobivenu funkciju s obzirom na “x”, tj. Nađimo drugu derivaciju u odnosu na "x":

3. Brojimo varijablu x konstanta, primjenjujemo pravilo diferenciranja zbroja, pravilo stavljanja konstantnog faktora izvan predznaka derivacije i tabelarnu derivaciju potencije:

4. Razlučimo još jednom dobivenu funkciju s obzirom na “y”, tj. Nađimo drugu derivaciju u odnosu na "y":

5. Nađimo mješovitu derivaciju "x po y". Da bismo to učinili, diferenciramo prvu derivaciju u odnosu na "x" u odnosu na "y".

5. Nađimo mješovitu derivaciju "y u odnosu na x". Da bismo to učinili, diferenciramo prvu derivaciju u odnosu na "y" u odnosu na "x".

b) Nađite parcijalne derivacije prvog reda funkcije Provjerite to. Zapišite totalni diferencijal prvog reda dz.

Riješenje.

1. Nađimo parcijalne derivacije prvog reda korištenjem pravila za izračun derivacije umnoška, zbroja, stavljanja konstantnog faktora izvan predznaka derivacije i tabličnih integrala trigonometrijskih funkcija: