Rješavanje matrica– koncept koji generalizira operacije na matricama. Matematička matrica je tablica elemenata. Za sličnu tablicu s m redaka i n stupaca kaže se da je m puta n matrica.
Opći pogled na matricu

Glavni elementi matrice:
Glavna dijagonala. Sastoji se od elemenata a 11, a 22.....a mn
Bočna dijagonala. Sastavljen je od elemenata a 1n, i 2n-1.....a m1.
Prije nego prijeđemo na rješavanje matrica, razmotrimo glavne vrste matrica:
Kvadrat– u kojoj je broj redaka jednak broju stupaca (m=n)
Nula – svi elementi ove matrice su jednaki 0.
Transponirana matrica- matrica B dobivena iz izvorne matrice A zamjenom redaka stupcima.
Singl– svi elementi glavne dijagonale su jednaki 1, svi ostali su 0.
Inverzna matrica- matrica, kada se pomnoži s kojom originalna matrica rezultira matricom identiteta.
Matrica može biti simetrična u odnosu na glavnu i sporednu dijagonalu. To jest, ako je a 12 = a 21, a 13 = a 31,….a 23 = a 32…. a m-1n =a mn-1. tada je matrica simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu. Simetrične su samo kvadratne matrice.
Sada prijeđimo izravno na pitanje kako riješiti matrice.

Zbrajanje matrice.

Matrice se mogu algebarski zbrajati ako imaju istu dimenziju. Da biste zbrojili matricu A s matricom B, trebate dodati element prvog retka prvog stupca matrice A s prvim elementom prvog retka matrice B, elementom drugog stupca prvog retka matrice A s elementom druge kolone prvog reda matrice B itd.
Svojstva sabiranja
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)

Množenje matrice.

Matrice se mogu množiti ako su konzistentne. Matrice A i B se smatraju konzistentnima ako je broj stupaca matrice A jednak broju redaka matrice B.
Ako je A dimenzija m puta n, B je dimenzija n puta k, tada će matrica C=A*B biti dimenzija m puta k i bit će sastavljena od elemenata

Gdje je C 11 zbroj umnožaka parova elemenata retka matrice A i stupca matrice B, odnosno element je zbroj umnoška elementa prvog stupca prvog retka matrice A s elementom prvog stupca prvog retka matrice B, elementom drugog stupca prvog retka matrice A s elementom prvog stupca drugog reda matrice B itd.
Kod množenja bitan je redoslijed množenja. A*B nije jednako B*A.

Pronalaženje determinante.

Svaka kvadratna matrica može generirati determinantu ili determinantu. Piše det. Ili | elementi matrice |
Za matrice dimenzija 2 x 2. Odrediti postoji razlika između umnoška elemenata glavne i elemenata sporedne dijagonale.

Za matrice dimenzija 3 x 3 ili više. Operacija pronalaska determinante je kompliciranija.
Predstavimo pojmove:
Sporedni element– je determinanta matrice dobivena iz izvorne matrice precrtavanjem retka i stupca izvorne matrice u kojoj se taj element nalazio.
Algebarski komplement element matrice je umnožak minora ovog elementa za -1 na potenciju zbroja retka i stupca izvorne matrice u kojoj se taj element nalazio.
Determinanta bilo koje kvadratne matrice jednaka je zbroju umnoška elemenata bilo kojeg retka matrice i njihovih odgovarajućih algebarskih komplemenata.

Inverzija matrice

Inverzija matrice je proces pronalaženja inverza matrice, čiju smo definiciju dali na početku. Inverzna matrica je označena na isti način kao i originalna uz dodatak stupnja -1.
Pronađite inverznu matricu pomoću formule.
A -1 = A * T x (1/|A|)
Gdje je A * T transponirana matrica algebarskih komplemenata.

Napravili smo primjere rješavanja matrica u obliku video tutoriala

:

Ako želite shvatiti, svakako pogledajte.

Ovo su osnovne operacije za rješavanje matrica. Ako imate dodatnih pitanja o kako rješavati matrice, slobodno napišite u komentarima.

Ako i dalje ne možete shvatiti, pokušajte kontaktirati stručnjaka.

Matrice u matematici jedan su od najvažnijih objekata od praktičnog značaja. Često izlet u teoriju matrica počinje riječima: "Matrica je pravokutna tablica ...". Ovaj izlet ćemo započeti iz malo drugačijeg smjera.

Telefonski imenici bilo koje veličine i s bilo kojom količinom podataka o pretplatnicima nisu ništa više od matrica. Takve matrice izgledaju otprilike ovako:

Jasno je da takve matrice svi koristimo gotovo svakodnevno. Ove matrice dolaze s različitim brojem redaka (razlikuju se poput imenika koji izdaje telefonska kompanija, a koji može sadržavati tisuće, stotine tisuća pa čak i milijune redaka, i nove bilježnice koju ste upravo pokrenuli, a koji ima manje od deset redaka) i stupci (imenik neke vrste službenika u kojem mogu postojati stupci kao što su položaj i broj ureda i vaš isti adresar, gdje možda nema nikakvih podataka osim imena, pa stoga postoje samo dva stupca). u njemu - ime i broj telefona).

Svakakve matrice se mogu zbrajati i množiti, kao i druge operacije na njima, ali nema potrebe zbrajati i množiti telefonske imenike, od toga nema nikakve koristi, a osim toga, možete koristiti svoj um.

Ali mnoge se matrice mogu i trebaju zbrajati i množiti i tako rješavati razne goruće probleme. Ispod su primjeri takvih matrica.

Matrice u kojima su stupci proizvodnja jedinica pojedine vrste proizvoda, a reci godine u kojima je zabilježena proizvodnja tog proizvoda:

Možete dodati matrice ove vrste, koje uzimaju u obzir proizvodnju sličnih proizvoda različitih poduzeća, kako biste dobili sažete podatke za industriju.

Ili matrice koje se sastoje, na primjer, od jednog stupca, u kojem su reci prosječni trošak određene vrste proizvoda:

Zadnje dvije vrste matrica mogu se pomnožiti, a rezultat je matrica retka koja sadrži troškove svih vrsta proizvoda po godinama.

Matrice, osnovne definicije

Pravokutna tablica koja se sastoji od brojeva raspoređenih u m linije i n stupaca se zove mn-matrica (ili samo matrica ) i piše se ovako:

(1)

U matrici (1) brojevi se nazivaju its elementi (kao iu determinanti, prvi indeks označava broj retka, drugi – stupac na čijem sjecištu se element nalazi; ja = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Matrica se zove pravokutan , Ako .

Ako m = n, tada se poziva matrica kvadrat , a broj n je njegov u redu .

Determinanta kvadratne matrice A je determinanta čiji su elementi elementi matrice A. Označava se simbolom | A|.

Kvadratna matrica se zove nije posebno (ili nedegeneriran , nejedninski ), ako njegova determinanta nije nula, i poseban (ili degenerirati , jednina ) ako je njegova determinanta nula.

Matrice se nazivaju jednak , ako imaju isti broj redaka i stupaca i svi odgovarajući elementi se podudaraju.

Matrica se zove ništavan , ako su svi njegovi elementi jednaki nuli. Nultu matricu ćemo označiti simbolom 0 ili .

Na primjer,

Matrica-red (ili mala slova ) naziva se 1 n-matrica, i matrica-stupac (ili stupastog ) – m 1-matrica.

Matrica A“, koji se dobiva iz matrice A zamjena redaka i stupaca u njoj se zove transponirano u odnosu na matricu A. Dakle, za matricu (1) transponirana matrica je

Operacija prijelaza matrice A" transponirano u odnosu na matricu A, naziva se transpozicija matrice A. Za mn-matrica transponirana je nm-matrica.

Matrica transponirana u odnosu na matricu je A, odnosno

(A")" = A .

Primjer 1. Pronađite matricu A" , transponirano u odnosu na matricu

te utvrditi jesu li determinante izvorne i transponirane matrice jednake.

Glavna dijagonala Kvadratna matrica je zamišljena linija koja povezuje njezine elemente, za koje su oba indeksa ista. Ovi elementi se nazivaju dijagonala .

Naziva se kvadratna matrica u kojoj su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli dijagonala . Nisu svi dijagonalni elementi dijagonalne matrice nužno različiti od nule. Neki od njih mogu biti jednaki nuli.

Kvadratna matrica u kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jednaki istom broju, različiti od nule, a svi ostali jednaki nuli, naziva se skalarna matrica .

Matrica identiteta naziva se dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni elementi jednaki jedinici. Na primjer, matrica identiteta trećeg reda je matrica

Primjer 2. Zadane matrice:

Otopina. Izračunajmo determinante ovih matrica. Koristeći pravilo trokuta, nalazimo

Matrična determinanta B izračunajmo pomoću formule

To lako dobivamo

Prema tome, matrice A i su nesingularni (nedegenerirani, nesingularni), i matrica B– posebni (degenerirani, singularni).

Determinanta matrice identiteta bilo kojeg reda očito je jednaka jedinici.

Riješite sami problem matrice, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 3. Zadane matrice

,

,

Odredi koji su od njih nesingularni (nedegenerirani, nesingularni).

Primjena matrica u matematičkom i ekonomskom modeliranju

Strukturirani podaci o pojedinom objektu jednostavno se i praktično bilježe u obliku matrica. Matrični modeli stvoreni su ne samo za pohranu ovih strukturiranih podataka, već i za rješavanje raznih problema s tim podacima pomoću linearne algebre.

Tako je poznati matrični model ekonomije input-output model, koji je uveo američki ekonomist ruskog podrijetla Vasilij Leontjev. Ovaj model temelji se na pretpostavci da je cijeli proizvodni sektor gospodarstva podijeljen na nčiste industrije. Svaka industrija proizvodi samo jednu vrstu proizvoda, a različite industrije proizvode različite proizvode. Zbog takve podjele rada između grana dolazi do međuindustrijske povezanosti, čiji je smisao da se dio proizvodnje svake industrije prenosi na druge industrije kao proizvodni resurs.

Volumen proizvoda ja-ta industrijska grana (mjerena određenom mjernom jedinicom), koja je proizvedena u izvještajnom razdoblju, označava se sa i naziva se puna proizvodnja ja-ta industrija. Izdanja se mogu prikladno smjestiti u n-komponentni red matrice.

Broj jedinica ja-industrija koju treba potrošiti j-industrija za proizvodnju jedinice svog outputa označava se i naziva koeficijent izravnih troškova.

U ovoj temi ćemo razmotriti pojam matrice, kao i vrste matrica. Budući da u ovoj temi ima puno pojmova, dodat ću kratak sažetak kako bih lakše snalazio gradivo.

Definicija matrice i njezinog elementa. Notacija.

Matrica je tablica od $m$ redaka i $n$ stupaca. Elementi matrice mogu biti objekti potpuno različite prirode: brojevi, varijable ili, na primjer, druge matrice. Na primjer, matrica $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ sadrži 3 retka i 2 stupca; njegovi elementi su cijeli brojevi. Matrica $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ sadrži 2 retka i 4 stupca.

Različiti načini pisanja matrica: prikaži\sakrij

Matrica se može pisati ne samo u okruglim, već iu uglatim ili dvostrukim ravnim zagradama. Odnosno, unosi u nastavku znače istu matricu:

$$ \lijevo(\početak(niza) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \kraj(niza) \desno);\;\; \lijevo[ \begin(niz) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(niz) \desno]; \;\; \lijevo \Vert \begin(niz) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(niz) \right \Vert $$

Naziva se umnožak $m\puta n$ veličina matrice. Na primjer, ako matrica sadrži 5 redaka i 3 stupca, tada govorimo o matrici veličine $5\puta 3$. Matrica $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ ima veličinu $3 \times 2$.

Obično se matrice označavaju velikim slovima latinične abecede: $A$, $B$, $C$ i tako dalje. Na primjer, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Numeriranje redaka ide odozgo prema dolje; stupci - s lijeva na desno. Na primjer, prvi redak matrice $B$ sadrži elemente 5 i 3, a drugi stupac sadrži elemente 3, -87, 0.

Elementi matrice obično se označavaju malim slovima. Na primjer, elementi matrice $A$ označeni su s $a_(ij)$. Dvostruki indeks $ij$ sadrži informaciju o položaju elementa u matrici. Broj $i$ je broj retka, a broj $j$ je broj stupca u čijem sjecištu se nalazi element $a_(ij)$. Na primjer, na sjecištu drugog retka i petog stupca matrice $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ element $a_(25)= $59:

Na isti način, na sjecištu prvog reda i prvog stupca imamo element $a_(11)=51$; na sjecištu trećeg retka i drugog stupca - element $a_(32)=-15$ i tako dalje. Imajte na umu da unos $a_(32)$ glasi "a tri dva", ali ne i "a trideset dva".

Za skraćenje matrice $A$, veličine $m\times n$, koristi se oznaka $A_(m\times n)$. Možete to napisati malo detaljnije:

$$ A_(m\puta n)=(a_(ij)) $$

gdje oznaka $(a_(ij))$ označava elemente matrice $A$. U svom potpuno proširenom obliku, matrica $A_(m\times n)=(a_(ij))$ može se napisati na sljedeći način:

$$ A_(m\puta n)=\lijevo(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Uvedimo još jedan pojam - jednake matrice.

Dvije matrice iste veličine $A_(m\times n)=(a_(ij))$ i $B_(m\times n)=(b_(ij))$ nazivaju se jednak, ako su im odgovarajući elementi jednaki, tj. $a_(ij)=b_(ij)$ za sve $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1,n)$.

Objašnjenje za unos $i=\overline(1,m)$: show\hide

Oznaka "$i=\overline(1,m)$" znači da parametar $i$ varira od 1 do m. Na primjer, oznaka $i=\overline(1,5)$ označava da parametar $i$ ima vrijednosti 1, 2, 3, 4, 5.

Dakle, da bi matrice bile jednake, moraju biti ispunjena dva uvjeta: podudarnost veličina i jednakost odgovarajućih elemenata. Na primjer, matrica $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ nije jednaka matrici $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ jer matrica $A$ ima veličinu $3\puta 2$, a matrica $B$ ima veličinu $2\puta $2. Također, matrica $A$ nije jednaka matrici $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ , budući da je $a_( 21)\neq c_(21)$ (tj. $0\neq 98$). Ali za matricu $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ možemo sa sigurnošću napisati $A= F$ jer se i veličine i odgovarajući elementi matrica $A$ i $F$ podudaraju.

Primjer br. 1

Odredite veličinu matrice $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(niz) \desno)$. Označite čemu su jednaki elementi $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Ova matrica sadrži 5 redaka i 3 stupca, pa je njezina veličina $5\puta 3$. Također možete koristiti oznaku $A_(5\puta 3)$ za ovu matricu.

Element $a_(12)$ nalazi se na sjecištu prvog retka i drugog stupca, pa je $a_(12)=-2$. Element $a_(33)$ nalazi se na sjecištu trećeg retka i trećeg stupca, pa je $a_(33)=23$. Element $a_(43)$ nalazi se na sjecištu četvrtog retka i trećeg stupca, pa je $a_(43)=-5$.

Odgovor: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Vrste matrica ovisno o veličini. Glavna i sporedna dijagonala. Trag matrice.

Neka je dana određena matrica $A_(m\puta n)$. Ako je $m=1$ (matrica se sastoji od jednog reda), tada se data matrica naziva matrica-red. Ako je $n=1$ (matrica se sastoji od jednog stupca), tada se takva matrica naziva matrica-stupac. Na primjer, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ je matrica retka, a $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ je matrica stupca.

Ako matrica $A_(m\times n)$ zadovoljava uvjet $m\neq n$ (tj. broj redaka nije jednak broju stupaca), tada se često kaže da je $A$ pravokutnik matrica. Na primjer, matrica $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ ima veličinu $2\times 4 $, oni. sadrži 2 retka i 4 stupca. Budući da broj redaka nije jednak broju stupaca, ova matrica je pravokutna.

Ako matrica $A_(m\puta n)$ zadovoljava uvjet $m=n$ (tj. broj redaka je jednak broju stupaca), tada se kaže da je $A$ kvadratna matrica reda $ n$. Na primjer, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ je kvadratna matrica drugog reda; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ je kvadratna matrica trećeg reda. Općenito, kvadratna matrica $A_(n\puta n)$ može se napisati na sljedeći način:

$$ A_(n\puta n)=\lijevo(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Za elemente $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ kaže se da su na glavna dijagonala matrice $A_(n\puta n)$. Ovi elementi se nazivaju glavni dijagonalni elementi(ili samo dijagonalni elementi). Elementi $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ nalaze se na bočna (sporedna) dijagonala; zovu se bočni dijagonalni elementi. Na primjer, za matricu $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( niz) \right)$ imamo:

Elementi $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ su glavni dijagonalni elementi; elementi $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ su bočni dijagonalni elementi.

Zbroj glavnih dijagonalnih elemenata naziva se nakon čega slijedi matrica i označava se sa $\Tr A$ (ili $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Na primjer, za matricu $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ imamo:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Koncept dijagonalnih elemenata također se koristi za nekvadratne matrice. Na primjer, za matricu $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ glavni dijagonalni elementi će biti $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Vrste matrica ovisno o vrijednostima njihovih elemenata.

Ako su svi elementi matrice $A_(m\times n)$ jednaki nuli, tada se takva matrica naziva ništavan a obično se označava slovom $O$. Na primjer, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - nulte matrice.

Neka matrica $A_(m\puta n)$ ima sljedeći oblik:

Tada se ova matrica zove trapezoidan. Možda ne sadrži nula redaka, ali ako postoje, nalaze se na dnu matrice. U općenitijem obliku, trapezoidna matrica može se napisati na sljedeći način:

Opet, nulte linije na kraju nisu potrebne. one. Formalno, možemo razlikovati sljedeće uvjete za trapezoidnu matricu:

1. Svi elementi ispod glavne dijagonale su nula.
2. Svi elementi od $a_(11)$ do $a_(rr)$ koji leže na glavnoj dijagonali nisu jednaki nuli: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
3. Ili su svi elementi zadnjih $m-r$ redaka nula, ili $m=r$ (tj. uopće nema nula redaka).

Primjeri trapeznih matrica:

Prijeđimo na sljedeću definiciju. Poziva se matrica $A_(m\puta n)$ zakoračili, ako zadovoljava sljedeće uvjete:

Na primjer, matrice koraka bi bile:

Za usporedbu, matrica $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ nije ešalon jer treći red ima isti nulti dio kao drugi red. Odnosno, krši se načelo "što je niža linija, to je veći nulti dio". Dodat ću da je trapezoidna matrica poseban slučaj stepenaste matrice.

Prijeđimo na sljedeću definiciju. Ako su svi elementi kvadratne matrice koji se nalaze ispod glavne dijagonale jednaki nuli, tada se takva matrica naziva gornja trokutasta matrica. Na primjer, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ je gornja trokutasta matrica. Imajte na umu da definicija gornje trokutaste matrice ne govori ništa o vrijednostima elemenata koji se nalaze iznad glavne dijagonale ili na glavnoj dijagonali. Mogu biti nula ili ne - nije bitno. Na primjer, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ također je gornja trokutasta matrica.

Ako su svi elementi kvadratne matrice koji se nalaze iznad glavne dijagonale jednaki nuli, tada se takva matrica naziva donja trokutasta matrica. Na primjer, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - donja trokutasta matrica. Imajte na umu da definicija donje trokutaste matrice ne govori ništa o vrijednostima elemenata koji se nalaze ispod ili na glavnoj dijagonali. Mogu biti nula ili ne - nije važno. Na primjer, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ i $\left(\ begin (niz) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(niz) \right)$ također su niže trokutaste matrice.

Kvadratna matrica se zove dijagonala, ako su svi elementi ove matrice koji ne leže na glavnoj dijagonali jednaki nuli. Primjer: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ kraj(niz)\desno)$. Elementi na glavnoj dijagonali mogu biti bilo što (jednaki nuli ili ne) - nije bitno.

Dijagonalna matrica se zove singl, ako su svi elementi ove matrice koji se nalaze na glavnoj dijagonali jednaki 1. Na primjer, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - matrica identiteta četvrtog reda; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ je matrica identiteta drugog reda.

Ovaj priručnik pomoći će vam da naučite kako to izvesti operacije s matricama: zbrajanje (oduzimanje) matrica, transpozicija matrice, množenje matrica, pronalaženje inverzne matrice. Sav materijal predstavljen je u jednostavnom i pristupačnom obliku, dani su relevantni primjeri, tako da čak i nepripremljena osoba može naučiti kako izvoditi akcije s matricama.

Za samokontrolu i samotestiranje možete besplatno preuzeti matrični kalkulator >>>. Pokušat ću minimizirati teorijske izračune, ponegdje su moguća objašnjenja “na prste” i korištenje neznanstvenih termina. Ljubitelji čvrste teorije, molimo da se ne upuštate u kritiku, naša je zadaća.

naučiti izvoditi operacije s matricama Za SUPER BRZU pripremu na temu (tko je “gori”) postoji intenzivni pdf tečaj

Matrica, determinanta i test! Matrica je pravokutna tablica nekih elementi Matrica je pravokutna tablica nekih. Kao razmatrat ćemo brojeve, odnosno numeričke matrice. ELEMENT

je pojam. Poželjno je zapamtiti pojam, često će se pojavljivati, nije slučajnost da sam ga istaknuo podebljanim fontom. Oznaka:

matrice se obično označavaju velikim latiničnim slovima Primjer:

Razmotrite matricu dva puta tri: Matrica je pravokutna tablica nekih:

Ova se matrica sastoji od šest

Svi brojevi (elementi) unutar matrice postoje sami za sebe, odnosno nema govora ni o kakvom oduzimanju:

To je samo tablica (skup) brojeva! Također ćemo se složiti nemojte preuređivati

brojevima, osim ako nije drugačije navedeno u obrazloženjima. Svaki broj ima svoje mjesto i ne može se miješati!

Predmetna matrica ima dva reda:

i tri stupca: STANDARD : kada govorimo o veličinama matrica, onda isprva

navedite broj redaka, a tek onda broj stupaca. Upravo smo raščlanili matricu dva po tri. kvadrat Ako je broj redaka i stupaca matrice isti, tada se matrica naziva , Na primjer:

– matrica tri puta tri. Ako matrica ima jedan stupac ili jedan red, tada se i takve matrice nazivaju.

vektori

Zapravo, koncept matrice poznajemo još od škole; razmotrimo, na primjer, točku s koordinatama "x" i "y": . U biti, koordinate točke zapisuju se u matricu jedan po dva. Usput, evo primjera zašto je bitan redoslijed brojeva: i su dvije potpuno različite točke na ravnini. Sada prijeđimo na učenje:

operacije s matricama.

1) Prvi čin. Uklanjanje minusa iz matrice (uvođenje minusa u matricu) . Kao što ste vjerojatno primijetili, u ovoj matrici ima previše negativnih brojeva. Ovo je vrlo nezgodno sa stajališta izvođenja raznih radnji s matricom, nezgodno je pisati toliko minusa, a dizajnom jednostavno izgleda ružno.

Pomaknimo minus izvan matrice promjenom predznaka SVAKOM elementu matrice:

Na nuli, kao što razumijete, znak se ne mijenja; nula je također nula u Africi.

Obrnuti primjer: . Ružno izgleda.

Unesimo minus u matricu promjenom predznaka SVAKOM elementu matrice:

Pa ispalo je puno ljepše. I što je najvažnije, bit će LAKŠE izvoditi bilo kakve radnje s matricom. Jer postoji takav matematički narodni znak: što više minusa, to više zabune i grešaka.

2) Čin drugi. Množenje matrice brojem.

matrice se obično označavaju velikim latiničnim slovima

Jednostavno je, da biste pomnožili matricu s brojem, trebate svaki element matrice pomnožen zadanim brojem. U ovom slučaju - trojka.

Još jedan koristan primjer:

– množenje matrice razlomkom

Prvo pogledajmo što učiniti NEMA POTREBE:

NEMA POTREBE upisivati ​​razlomak u matricu, prvo, to samo komplicira daljnje radnje s matricom, a drugo, otežava učitelju provjeru rješenja (pogotovo ako – konačni odgovor zadatka).

I, štoviše, NEMA POTREBE svaki element matrice podijelite s minus sedam:

Iz članka Matematika za glupane ili odakle početi, sjećamo se da u višoj matematici na sve moguće načine pokušavaju izbjeći decimalne razlomke sa zarezima.

Jedina stvar je po mogućnostiŠto učiniti u ovom primjeru je dodati minus matrici:

Ali ako samo SVE elementi matrice su podijeljeni sa 7 bez traga, tada bi bilo moguće (i potrebno!) podijeliti.

matrice se obično označavaju velikim latiničnim slovima

U ovom slučaju možete TREBA pomnožite sve elemente matrice s jer su svi brojevi matrice djeljivi s 2 bez traga.

Napomena: u teoriji visokoškolske matematike ne postoji pojam “podjela”. Umjesto da kažete "ovo podijeljeno s tim", uvijek možete reći "ovo pomnoženo s razlomkom". Odnosno, dijeljenje je poseban slučaj množenja.

3) Čin treći. Transponiranje matrice.

Da biste transponirali matricu, morate upisati njezine retke u stupce transponirane matrice.

matrice se obično označavaju velikim latiničnim slovima

Transponirati matricu

Ovdje postoji samo jedan redak i prema pravilu ga treba napisati u stupcu:

– transponirana matrica.

Transponirana matrica obično je označena superskriptom ili primenom u gornjem desnom kutu.

Primjer korak po korak:

Transponirati matricu

Prvo prepisujemo prvi redak u prvi stupac:

Zatim prepisujemo drugi redak u drugi stupac:

I na kraju, prepisujemo treći redak u treći stupac:

Spreman. Grubo rečeno, transponiranje znači okretanje matrice na stranu.

4) Čin četvrti. Zbroj (razlika) matrica.

Zbroj matrica je jednostavna operacija.
NE MOGU SE SVE MATRICE SASVITI. Za zbrajanje (oduzimanje) matrica potrebno je da budu ISTE VELIČINE.

Na primjer, ako je dana matrica dva puta dva, tada se može dodati samo matricom dva puta dva i nijednom drugom!

matrice se obično označavaju velikim latiničnim slovima

Dodajte matrice I

Da biste dodali matrice, morate dodati njihove odgovarajuće elemente:

Za razliku matrica pravilo je slično, potrebno je pronaći razliku odgovarajućih elemenata.

matrice se obično označavaju velikim latiničnim slovima

Nađi razliku matrice ,

Kako lakše riješiti ovaj primjer, da se ne zabunite? Preporučljivo je da se riješite nepotrebnih minusa, dodajte minus u matricu:

Napomena: u teoriji visokoškolske matematike ne postoji koncept “oduzimanja”. Umjesto da kažete "oduzmi ovo od ovoga", uvijek možete reći "dodaj negativan broj ovome". Odnosno, oduzimanje je poseban slučaj zbrajanja.

5) Čin peti. Množenje matrice.

Koje se matrice mogu množiti?

Da bi se matrica pomnožila matricom potrebno je tako da broj stupaca matrice bude jednak broju redaka matrice.

matrice se obično označavaju velikim latiničnim slovima
Je li moguće pomnožiti matricu s matricom?

To znači da se podaci matrice mogu umnožiti.

Ali ako se matrice preslože, tada, u ovom slučaju, množenje više nije moguće!

Stoga množenje nije moguće:

Nije tako rijetko naići na zadatke s trikom, kada se od učenika traži množenje matrica čije je množenje očito nemoguće.

Treba napomenuti da je u nekim slučajevima moguće množenje matrica na oba načina.
Na primjer, za matrice, a moguće je i množenje i množenje

>> Matrice

4.1. Matrice. Operacije na matricama

Pravokutna matrica veličine mxn je zbirka od mxn brojeva raspoređenih u obliku pravokutne tablice koja sadrži m redaka i n stupaca. Zapisat ćemo to u obrazac

ili skraćeno A = (a i j) (i = ; j = ), brojevi a i j nazivaju se njegovim elementima; prvi indeks označava broj retka, drugi - broj stupca. A = (a i j) i B = (b i j) iste veličine nazivamo jednakima ako su im elementi koji stoje na istim mjestima po parovima jednaki, odnosno A = B ako je a i j = b i j.

Matrica koja se sastoji od jednog retka ili jednog stupca naziva se vektor retka ili vektor stupca. Vektori stupaca i vektori reda jednostavno se nazivaju vektori.

S tim se brojem poistovjećuje matrica koja se sastoji od jednog broja. A veličine mxn čiji su svi elementi jednaki nuli nazivamo nula i označavamo s 0. Elemente s istim indeksima nazivamo elementima glavne dijagonale. Ako je broj redaka jednak broju stupaca, odnosno m = n, tada se matrica naziva kvadratna matrica reda n. Kvadratne matrice u kojima su samo elementi glavne dijagonale različiti od nule nazivaju se dijagonalne i pišu se na sljedeći način:

.

Ako su svi elementi a i i dijagonale jednaki 1, tada se ona naziva jedinicom i označava se slovom E:

.

Kvadratna matrica naziva se trokutastom ako su svi elementi iznad (ili ispod) glavne dijagonale jednaki nuli. Transpozicija je transformacija u kojoj se retci i stupci mijenjaju uz zadržavanje svojih brojeva. Transpozicija je označena slovom T na vrhu.

Ako preuredimo retke i stupce u (4.1), dobivamo

,

koji će biti transponiran u odnosu na A. Konkretno, kod transponiranja vektora stupca dobiva se vektor reda i obrnuto.

Umnožak A i broja b je matrica čiji se elementi dobivaju iz odgovarajućih elemenata A množenjem s brojem b: b A = (b a i j).

Zbroj A = (a i j) i B = (b i j) iste veličine naziva se C = (c i j) iste veličine, čiji su elementi određeni formulom c i j = a i j + b i j.

Umnožak AB određen je pod pretpostavkom da je broj stupaca od A jednak broju redaka od B.

Umnožak AB, gdje je A = (a i j) i B = (b j k), gdje je i = , j= , k= , zadan određenim redom AB, naziva se C = (c i k), čiji su elementi određeni sljedeće pravilo:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Drugim riječima, element umnoška AB određuje se na sljedeći način: element i-tog retka i k-tog stupca C jednak je zbroju umnožaka elemenata i-tog retka A i odgovarajući elementi k-tog stupca B.

Primjer 2.1. Nađi umnožak od AB i .

Otopina. Imamo: A veličine 2x3, B veličine 3x3, tada produkt AB = C postoji i elementi iz C su jednaki.

Od 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, od 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, od 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3 × 2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

, a proizvod BA ne postoji.

Primjer 2.2. U tabeli je prikazan broj jedinica proizvoda koji se dnevno otprema iz mljekara 1 i 2 u trgovine M 1, M 2 i M 3, a dostava jedinice proizvoda iz svake mljekare u trgovinu M 1 košta 50 den. jedinica, za trgovinu M 2 - 70, a za M 3 - 130 den. jedinice Izračunajte dnevne troškove prijevoza svake biljke.

Tvornica mliječnih proizvoda

Otopina. Označimo s A matricu koja nam je dana u uvjetu, a s
B - matrica koja karakterizira trošak isporuke jedinice proizvoda u trgovine, tj.

,

Tada će matrica troškova prijevoza izgledati ovako:

.

Dakle, prva tvornica dnevno troši 4.750 deniera na prijevoz. jedinica, drugi - 3680 novčanih jedinica.

Primjer 2.3. Šivačka tvrtka proizvodi zimske kapute, demi-sezonske kapute i balonere. Planirani učinak za jedno desetljeće karakterizira vektor X = (10, 15, 23). Koriste se četiri vrste tkanina: T 1, T 2, T 3, T 4. Tablica prikazuje stope potrošnje tkanine (u metrima) za svaki proizvod. Vektor C = (40, 35, 24, 16) specificira cijenu metra tkanine svake vrste, a vektor P = (5, 3, 2, 2) specificira cijenu prijevoza metra tkanine svake vrste.

	Potrošnja tkanine
Zimski kaput
Demi-sezonski kaput

1. Koliko će metara svake vrste tkanine biti potrebno za dovršetak plana?

2. Pronađite cijenu tkanine utrošene na šivanje svake vrste proizvoda.

3. Odredite cijenu svih materijala potrebnih za dovršetak plana.

Otopina. Označimo s A matricu koja nam je dana u uvjetu, tj.

,

tada da biste pronašli broj metara tkanine potrebne za dovršetak plana, trebate pomnožiti vektor X s matricom A:

Trošak tkanine potrošen na šivanje proizvoda svake vrste nalazimo množenjem matrice A i vektora C T:

.

Trošak cjelokupne tkanine potrebne za dovršetak plana odredit će se formulom:

Konačno, uzimajući u obzir troškove transporta, cijeli iznos će biti jednak cijeni tkanine, tj. 9472 den. jedinice, plus vrijednost

X A P T =
.

Dakle, X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (novčane jedinice).