Opće informacije o jednadžbama. Sažetak lekcije iz matematike "Rješavanje jednadžbi" (3. razred) Jednadžba je nepoznati pojam

§ 1 Kako pronaći nepoznati pojam

Kako pronaći korijen jednadžbe ako je jedan od članova nepoznat? U ovoj lekciji ćemo pogledati metodu za rješavanje jednadžbi na temelju odnosa između članova i vrijednosti zbroja.

Riješimo ovaj problem.

U gredici je raslo 6 crvenih tulipana i 3 žuta. Koliko je tulipana bilo u gredici? Zapišimo rješenje. Dakle, raslo je 6 crvenih i 3 žuta tulipana, stoga možemo napisati izraz 6 + 3, nakon izvođenja zbrajanja dobivamo rezultat - 9 tulipana raslo je u gredici.

Zapišimo rješenje. Dakle, raslo je 6 crvenih i 3 žuta tulipana, stoga možemo napisati izraz 6 + 3, nakon izvođenja zbrajanja dobivamo rezultat - 9 tulipana raslo je u gredici. 6 + 3 = 9.

Promijenimo stanje problema. Na gredici je raslo 9 tulipana, 6 ih je ubrano. Koliko je tulipana ostalo?

Da biste saznali koliko je tulipana ostalo u gredici, potrebno je od ukupnog broja 9 tulipana oduzeti ubrano cvijeće, a ima ih 6.

Izračunajmo: 9-6 dobivamo rezultat 3. U gredici su ostala 3 tulipana.

Hajdemo ponovno transformirati ovaj problem. Raslo je 9 tulipana, 3 su ubrana. Koliko je tulipana ostalo?

Rješenje će izgledati ovako: od ukupnog broja tulipana 9 treba oduzeti ubrana cvijeća, ostalo ih je 6 tulipana.

Pogledajmo pobliže jednakosti i pokušajmo otkriti u kakvom su međusobnom odnosu.

Kao što vidite, ove jednakosti sadrže iste brojeve i obrnute radnje: zbrajanje i oduzimanje.

Vratimo se rješavanju prvog problema i razmotrimo izraz 6 + 3 = 9.

Prisjetimo se koji se brojevi nazivaju pri zbrajanju:

6 je prvi član

3 - drugi termin

9 - vrijednost iznosa

Sada razmislimo o tome kako smo dobili razlike 9 - 6 = 3 i 9 - 3 = 6?

U jednakosti 9 - 6 = 3 od vrijednosti zbroja9 oduzet je prvi član6 i dobiven je drugi član3.

U jednakosti 9 - 3 = 6 od vrijednosti zbroja9 oduzeli smo drugi član3 i dobili prvi član6.

Dakle, ako od vrijednosti zbroja oduzmete prvi član, dobit ćete drugi član, a ako od vrijednosti zbroja oduzmete drugi član, dobit ćete prvi član.

Formulirajmo opće pravilo:

Da biste pronašli nepoznati član, trebate poznati član oduzeti od vrijednosti zbroja.

§ 2 Primjeri rješavanja jednadžbi s nepoznatim članom

Pogledajmo jednadžbe s nepoznatim članovima i pokušajmo pronaći korijene pomoću ovog pravila.

Riješimo jednadžbu X + 5 = 7.

Prvi član u ovoj jednadžbi je nepoznat. Da bismo ga pronašli koristimo pravilo: da bismo pronašli nepoznati prvi član X, potrebno je od vrijednosti zbroja 7 oduzeti drugi član 5.

To znači X = 7 - 5,

nađimo razliku 7 - 5 = 2, X = 2.

Provjerimo jesmo li točno pronašli korijen jednadžbe. Da biste provjerili, trebate zamijeniti broj 2 umjesto X u jednadžbi:

7 = 7 - dobili smo točnu jednakost. Zaključujemo: broj 2 je korijen jednadžbe X+5=7.

Riješimo još jednu jednadžbu 8 + Y = 17.

Drugi član u ovoj jednadžbi je nepoznat.

Da biste ga pronašli, trebate oduzeti prvi član 8 od vrijednosti zbroja 17.

Provjerimo: zamijenimo Y brojem 9. Dobivamo:

17 = 17 - dobili smo točnu jednakost.

Dakle, broj 9 je korijen jednadžbe 8 + Y = 17.

Dakle, na lekciji smo se upoznali s načinom rješavanja jednadžbi na temelju povezanosti članova i vrijednosti zbroja. Da biste pronašli nepoznati član, trebate oduzeti poznati član od vrijednosti zbroja.

Popis korištene literature:

1. I.I. Arginskaya, E.I. Ivanovskaya, S.N. Kormishina. Matematika: Udžbenik za 2. razred: U 2 č. - Samara: Izdavačka kuća "Edukativna literatura": Izdavačka kuća "Fedorov", 2012.
2. Arginskaya I.I. Zbirka zadataka iz matematike za samostalan, provjerni i ocjenjivački rad u osnovnoj školi. - Samara: Fedorov Corporation, izdavačka kuća obrazovne literature, 2006.

Korištene slike:

Lekcija 80-81. Tema: “Rješavanje jednadžbi”

Ciljevi: naučiti rješavati jednadžbe s nepoznatim članovima; ponoviti omjer jedinica duljine; konsolidirati vještine izračuna u stupcu; razvijati vještine zaključivanja i logičkog mišljenja.

Planirani rezultati: učenici će naučiti rješavati jednadžbe kako bi pronašli nepoznati član; izvoditi pisane izračune koristeći naučene tehnike; razumjeti razloge uspjeha/neuspjeha obrazovnih aktivnosti.

Tijekom nastave

ja . Organiziranje vremena

II . Obnavljanje znanja

Matematički diktat

1. Koliko je 67 manje od 89? (U 22.)

2. Od 7 desetica oduzmi 4 desetice. (30.)

3. Povećajte 23 sa 32. (55.)

4. Koji sam broj smanjio za 27 i dobio 23? (50.)

5. Koliko biste trebali povećati 43 da biste dobili 70? (27.)

6. Od zbroja brojeva 9 i 6 oduzmite 10. (5.)

7. Koji broj treba oduzeti od 64 da bi se dobilo 37? (27.)

8. Kojem ste broju dodali 0 i dobili 44? (44.)

9. 21 dodaj razliku brojeva 14 i 6. (29.) 10. Zbir brojeva 33, 16,4 i 27. (80.)

(Provjera. Samoocjenjivanje.)

III . Samoodređenje za aktivnost

Napravite još tri primjera koristeći ovaj primjer. 6 + 4=10

(Učitelj zapisuje primjere na ploču.) 4 + 6=10 10-4 = 6 10-6 = 4

Koje ste pravilo primijenili prilikom izrade primjera sloja? (Zbroj se ne mijenja preuređivanjem članova.)

Koje ste pravilo koristili prilikom izrade primjera oduzimanja? (Ako od zbroja oduzmete jedan član, dobit ćete drugi član.)

- Kako biste saznali temu lekcije, riješite križaljku.

1. Oni su numerički i abecedni. (Izrazi.)

2. Brojevi koji se zbrajaju nazivaju se. (Dodaci.)

3. Broj od kojeg treba oduzeti. (Minuend.)

4. Matematički znak za oduzimanje. (Minus.)

5. Jednakost koja sadrži nepoznati broj. (Jednadžba.)

6. Zbroj duljina stranica lika. (Perimetar.)

7. Izraz sa znakom plus. (Iznos.)

8. Zapis koji sadrži znak jednakosti. (Jednakost.)

9. Najmanji dvoznamenkasti broj. (Deset.) 10. latinično slovo. (X.)

Što se dogodilo u označenom retku? (Rješavanje jednadžbi.)

Tema lekcije: “Rješavanje jednadžbi s nepoznatim članom.” Koje ćemo si zadatke postaviti?

IV . Rad na temi lekcije

1. Rad prema udžbeniku

Pogledaj domine na str. 7 udžbenika i primjera snimljenih jedan do drugoga. Kako se dobivaju primjeri oduzimanja? Koje ste pravilo koristili za njihovo sastavljanje? Dovršite zaključak. ( Da biste pronašli nepoznati član, morate poznati član oduzeti od zbroja.)

№ 1 (str. 7).(Usmeni nastup.)

№2 (str. 7).(Zbirno izvršenje s detaljnim obrazloženjem.)

2. Samostalno rješavanje jednadžbi

1. opcija 2. opcija

x + 45 = 92 75 + x = 81

26+x = 50 x + 22 = 70

(Dva učenika zapisuju rješenje na preklopnu ploču. Provjera. Samoprovjera.)

Riješenje:

x + 45 = 92 75 + x = 81

x = 92-45 x = 81-75

x = 47 x= 6

26+x=50 x + 22 = 70

x = 50 – 26 x = 70 - 22

3. Rad prema udžbeniku

№3 (str. 7).(Usmeni nastup.)

№4 (str. 7). (Samostalno dovršavanje. Kome je teško učiteljica daje pomoćnu karticu s programom rješenja.) 1) Koliko je čaša malina skupila sestra?

2) Koliko ste čaša malina sakupili zajedno (Provjera. Samoprocjena.)

V . Minute tjelesnog odgoja

Ja hodam, a ti hodaš - jedan, dva, tri. (Koraci na mjestu.)

Ja pjevam i ti pjevaš - jedan, dva, tri. (Pljesni rukama.)

Idemo i pjevamo – jedan, dva, tri. (Skakućući u mjestu.)

Živimo vrlo prijateljski - jedan, dva, tri. (Koraci na mjestu.)

VI . Učvršćivanje naučenog gradiva

Rad iz udžbenikabr. 1 (str. 14).

Koje jedinice za duljinu poznajete?

Koliko milimetara ima 1 cm? (Samostalna izvedba. Provjerite.) Riješenje:

5 cm 3 mm = 53 mm

3 cm 8 mm = 38 mmbr. 2 (str. 14).

(Samostalna izvedba. Provjerite.)

1) Riješenje:

AB= 3 cm 5 mm, CD= 5 cm 5 mm;

5 cm 5 mm - 3 cm 5 mm = 2 cm.

Odgovor: duljina segmenta CD 2 cm više od duljine isječka AB.

2) Rješenje: ECMO= 2 cm + 4 cm + 1 cm 5 mm = 7 cm 5 mm. br. 3 (str. 14).

(Samostalna provedba. Provjera. Samostalna provjera.)

Riješenje:

2 cm = 20 mm

4 cm 2 mm > 40 mm 30 mm = 3 cm

4 cm 5 mm < 5 cm

VII . Odraz

(„Iskušaj se“ (udžbenik, str. 7). Samostalna izvedba. Test.)

Riješenje: 15+x = 35 x = 35-15 x = 20

VIII . Sažimanje lekcije

Koje ste se vrste jednadžbi danas sjetili?

Kako pronaći nepoznati pojam?

Kome treba pomoć?

Domaća zadaća: Radna bilježnica: br. 10, 11 (str. 6).

Jednadžbe su jedna od najtežih tema za svladavanje, ali su također moćan alat za rješavanje većine problema.

Pomoću jednadžbi opisuju se različiti procesi koji se odvijaju u prirodi. Jednadžbe se široko koriste u drugim znanostima: ekonomiji, fizici, biologiji i kemiji.

U ovoj lekciji pokušat ćemo razumjeti bit najjednostavnijih jednadžbi, naučiti izraziti nepoznanice i riješiti nekoliko jednadžbi. Kako budete učili nove materijale, jednadžbe će postajati sve složenije, stoga je razumijevanje osnova vrlo važno.

Preliminarne vještine Sadržaj lekcije

Što je jednadžba?

Jednadžba je jednakost koja sadrži varijablu čiju vrijednost želite pronaći. Ova vrijednost mora biti takva da se, kada se zamijeni u izvornoj jednadžbi, dobije točna numerička jednakost.

Na primjer, izraz 3 + 2 = 5 je jednakost. Pri računanju lijeve strane dobiva se ispravna brojčana jednakost 5 = 5.

Ali jednakost je 3 + x= 5 je jednadžba jer sadrži varijablu x, čija se vrijednost može pronaći. Vrijednost mora biti takva da se pri zamjeni te vrijednosti u izvornu jednadžbu dobije točna numerička jednakost.

Drugim riječima, moramo pronaći vrijednost pri kojoj bi znak jednakosti opravdao svoje mjesto - lijeva strana mora biti jednaka desnoj strani.

Jednadžba 3 + x= 5 je elementarno. Varijabilna vrijednost x jednak je broju 2. Za bilo koju drugu vrijednost jednakost se neće poštivati

Kažu da je broj 2 korijen ili rješavanje jednadžbe 3 + x = 5

Korijen ili rješenje jednadžbe- to je vrijednost varijable pri kojoj se jednadžba pretvara u pravu numeričku jednakost.

Može postojati nekoliko korijena ili niti jedan. Riješite jednadžbu znači pronaći njegove korijene ili dokazati da ih nema.

Varijabla uključena u jednadžbu naziva se drugačije nepoznato. Imate pravo to zvati kako želite. Ovo su sinonimi.

Bilješka. Kolokacija "riješi jednadžbu" govori sama za sebe. Rješavanje jednadžbe znači "izjednačavanje" jednadžbe - čineći je uravnoteženom tako da lijeva strana bude jednaka desnoj strani.

Izrazite jednu stvar kroz drugu

Proučavanje jednadžbi tradicionalno počinje učenjem izražavanja jednog broja uključenog u jednakost kroz niz drugih. Ne prekidajmo ovu tradiciju i učinimo isto.

Razmotrite sljedeći izraz:

8 + 2

Ovaj izraz je zbroj brojeva 8 i 2. Vrijednost ovog izraza je 10

8 + 2 = 10

Dobili smo ravnopravnost. Sada možete izraziti bilo koji broj iz ove jednakosti kroz druge brojeve uključene u istu jednakost. Na primjer, izrazimo broj 2.

Za izražavanje broja 2 potrebno je postaviti pitanje: “Što treba učiniti s brojevima 10 i 8 da bi se dobio broj 2.” Jasno je da je za dobivanje broja 2 potrebno od broja 10 oduzeti broj 8.

To je ono što mi radimo. Zapišemo broj 2 i kroz znak jednakosti kažemo da smo za dobivanje tog broja 2 od broja 10 oduzeli broj 8:

2 = 10 − 8

Iz jednakosti 8 + 2 = 10 iskazali smo broj 2. Kao što se može vidjeti iz primjera, u tome nema ništa komplicirano.

Pri rješavanju jednadžbi, posebno pri izražavanju jednog broja preko drugih, zgodno je znak jednakosti zamijeniti riječju " Tamo je" . To se mora učiniti mentalno, a ne u samom izrazu.

Dakle, izrazivši broj 2 iz jednakosti 8 + 2 = 10, dobili smo jednakost 2 = 10 − 8. Ova se jednakost može čitati na sljedeći način:

2 Tamo je 10 − 8

To je znak = zamijenjena riječju "je". Štoviše, jednakost 2 = 10 − 8 može se prevesti s matematičkog jezika na punopravni ljudski jezik. Tada se može čitati na sljedeći način:

Broj 2 Tamo je razlika između broja 10 i broja 8

Broj 2 Tamo je razlika između broja 10 i broja 8.

Ali ograničit ćemo se samo na zamjenu znaka jednakosti riječju "jest", a to nećemo uvijek činiti. Elementarni izrazi mogu se razumjeti bez prevođenja matematičkog jezika na ljudski jezik.

Vratimo dobivenu jednakost 2 = 10 − 8 u prvobitno stanje:

8 + 2 = 10

Izrazimo ovaj put broj 8. Što treba učiniti s preostalim brojevima da dobijemo broj 8? Tako je, morate od broja 10 oduzeti 2

8 = 10 − 2

Vratimo dobivenu jednakost 8 = 10 − 2 u prvobitno stanje:

8 + 2 = 10

Ovaj put ćemo izraziti broj 10. Ali pokazalo se da deseticu nema potrebe izražavati, jer je ona već izražena. Dovoljno je zamijeniti lijevi i desni dio, tada dobivamo ono što nam treba:

10 = 8 + 2

Primjer 2. Razmotrimo jednakost 8 − 2 = 6

Izrazimo broj 8 iz ove jednakosti. Da bismo izrazili broj 8, potrebno je zbrojiti preostala dva broja:

8 = 6 + 2

Vratimo dobivenu jednakost 8 = 6 + 2 u prvobitno stanje:

8 − 2 = 6

Izrazimo broj 2 iz ove jednakosti. Da bismo izrazili broj 2, potrebno je oduzeti 6 od 8

2 = 8 − 6

Primjer 3. Razmotrimo jednakost 3 × 2 = 6

Izrazimo broj 3. Za izražavanje broja 3 potrebno je 6 podijeliti s 2

Vratimo dobivenu jednakost u prvobitno stanje:

3 × 2 = 6

Izrazimo broj 2 iz ove jednakosti Da bismo izrazili broj 2, potrebno je 6 podijeliti sa 3

Primjer 4. Razmotrite jednakost

Izrazimo broj 15 iz ove jednakosti Da bismo izrazili broj 15, potrebno je pomnožiti brojeve 3 i 5

15 = 3 × 5

Vratimo dobivenu jednakost 15 = 3 × 5 u prvobitno stanje:

Izrazimo broj 5 iz ove jednakosti Da bismo izrazili broj 5, trebamo 15 podijeliti sa 3

Pravila za pronalaženje nepoznanica

Razmotrimo nekoliko pravila za pronalaženje nepoznanica. Možda su vam poznati, ali neće škoditi ponoviti ih opet. U budućnosti ih se može zaboraviti, jer naučimo rješavati jednadžbe bez primjene ovih pravila.

Vratimo se na prvi primjer, koji smo pogledali u prethodnoj temi, gdje je u jednakosti 8 + 2 = 10 trebalo izraziti broj 2.

U jednakosti 8 + 2 = 10 brojevi 8 i 2 su članovi, a broj 10 je zbroj.

Da bismo izrazili broj 2, učinili smo sljedeće:

2 = 10 − 8

Odnosno, od zbroja 10 oduzeli smo član 8.

Sada zamislimo da u jednakosti 8 + 2 = 10 umjesto broja 2 stoji varijabla x

8 + x = 10

U ovom slučaju, jednakost 8 + 2 = 10 postaje jednadžba 8 + x= 10 i varijablu x nepoznat pojam

Naš zadatak je pronaći taj nepoznati član, odnosno riješiti jednadžbu 8 + x= 10. Za pronalaženje nepoznatog pojma potrebno je sljedeće pravilo:

Da biste pronašli nepoznati član, potrebno je poznati član oduzeti od zbroja.

Što smo u osnovi učinili kada smo dva izrazili u jednakosti 8 + 2 = 10. Da bismo izrazili član 2, od zbroja 10 oduzeli smo još jedan član 8

2 = 10 − 8

Sada, da pronađemo nepoznati izraz x, moramo poznati član 8 oduzeti od zbroja 10:

x = 10 − 8

Ako izračunate desnu stranu dobivene jednakosti, možete saznati čemu je varijabla jednaka x

x = 2

Riješili smo jednadžbu. Varijabilna vrijednost x jednako 2. Za provjeru vrijednosti varijable x poslana na izvornu jednadžbu 8 + x= 10 i zamjena x. Preporučljivo je to učiniti s bilo kojom riješenom jednadžbom jer ne možete biti potpuno sigurni da je jednadžba ispravno riješena:

Kao rezultat

Isto bi se pravilo primijenilo da je nepoznati član prvi broj 8.

x + 2 = 10

U ovoj jednadžbi x je nepoznati član, 2 je poznati član, 10 je zbroj. Pronaći nepoznati pojam x, trebate poznati član 2 oduzeti od zbroja 10

x = 10 − 2

x = 8

Vratimo se na drugi primjer iz prethodne teme, gdje je u jednakosti 8 − 2 = 6 trebalo izraziti broj 8.

U jednakosti 8 − 2 = 6 broj 8 je umanjenik, broj 2 je umanjenik, a broj 6 je razlika.

Da bismo izrazili broj 8, učinili smo sljedeće:

8 = 6 + 2

Odnosno, dodali smo razliku 6 i oduzeli 2.

Sada zamislimo da u jednakosti 8 − 2 = 6 umjesto broja 8 stoji varijabla x

x − 2 = 6

U ovom slučaju varijabla x preuzima ulogu tzv nepoznat minuend

Za pronalaženje nepoznatog umanjenika potrebno je sljedeće pravilo:

Da biste pronašli nepoznati umanjenik, potrebno je dodati umanjenik razlici.

To smo učinili kada smo broj 8 izrazili u jednakosti 8 − 2 = 6. Da bismo izrazili umanjenik od 8, dodali smo umanjenik od 2 razlici od 6.

Sada, da pronađemo nepoznati umanjenik x, moramo dodati subtrahend 2 razlici 6

x = 6 + 2

Ako izračunate desnu stranu, možete saznati čemu je varijabla jednaka x

x = 8

Sada zamislimo da u jednakosti 8 − 2 = 6 umjesto broja 2 postoji varijabla x

8 − x = 6

U ovom slučaju varijabla x preuzima ulogu nepoznati subtrahend

Da biste pronašli nepoznati subtrahend, potrebno je sljedeće pravilo:

Da biste pronašli nepoznati umanjenik, trebate oduzeti razliku od smanjenog.

To smo učinili kada smo broj 2 izrazili u jednakosti 8 − 2 = 6. Da bismo izrazili broj 2, od umanjenika 8 smo oduzeli razliku 6.

Sada, da pronađemo nepoznati subtrahend x, opet trebate oduzeti razliku 6 od umanjenika 8

x = 8 − 6

Izračunavamo desnu stranu i nalazimo vrijednost x

x = 2

Vratimo se na treći primjer iz prethodne teme, gdje smo u jednakosti 3 × 2 = 6 pokušali izraziti broj 3.

U jednakosti 3 × 2 = 6, broj 3 je množenik, broj 2 je množitelj, broj 6 je umnožak.

Da bismo izrazili broj 3 učinili smo sljedeće:

To jest, podijelili smo umnožak 6 s faktorom 2.

Sada zamislimo da u jednakosti 3 × 2 = 6 umjesto broja 3 stoji varijabla x

x× 2 = 6

U ovom slučaju varijabla x preuzima ulogu nepoznati množenik.

Da biste pronašli nepoznati množenik, potrebno je sljedeće pravilo:

Da biste pronašli nepoznati množenik, morate umnožak podijeliti s faktorom.

To smo učinili kada smo iz jednakosti 3 × 2 = 6 izrazili broj 3. Umnožak 6 podijelili smo s faktorom 2.

Sada da pronađemo nepoznati množenik x, morate umnožak 6 podijeliti s faktorom 2.

Izračunavanje desne strane omogućuje nam da pronađemo vrijednost varijable x

x = 3

Isto pravilo vrijedi ako varijabla x nalazi se umjesto množitelja, a ne množitelja. Zamislimo da u jednakosti 3 × 2 = 6 umjesto broja 2 stoji varijabla x.

U ovom slučaju varijabla x preuzima ulogu nepoznati množitelj. Za pronalaženje nepoznatog faktora, predviđen je isti postupak kao za pronalaženje nepoznatog množenika, naime, dijeljenje umnoška s poznatim faktorom:

Da biste pronašli nepoznati faktor, morate umnožak podijeliti s množiteljem.

To smo učinili kada smo iz jednakosti 3 × 2 = 6 izrazili broj 2. Da bismo dobili broj 2, podijelili smo umnožak broja 6 s njegovim množenikom 3.

Sada da pronađemo nepoznati faktor x Podijelili smo umnožak od 6 s množiteljem od 3.

Izračunavanje desne strane jednakosti omogućuje vam da saznate čemu je x jednako

x = 2

Množenik i množitelj zajedno se nazivaju faktori. Budući da su pravila za pronalaženje množenika i množitelja ista, možemo formulirati opće pravilo za pronalaženje nepoznatog faktora:

Da biste pronašli nepoznati faktor, morate umnožak podijeliti s poznatim faktorom.

Na primjer, riješimo jednadžbu 9 × x= 18. Varijabilna x je nepoznat faktor. Da biste pronašli ovaj nepoznati faktor, morate umnožak 18 podijeliti s poznatim faktorom 9

Riješimo jednadžbu x× 3 = 27. Varijabilna x je nepoznat faktor. Da biste pronašli ovaj nepoznati faktor, morate umnožak 27 podijeliti s poznatim faktorom 3

Vratimo se na četvrti primjer iz prethodne teme, gdje smo u jednakosti trebali izraziti broj 15. U ovoj jednakosti broj 15 je djelitelj, broj 5 je djelitelj, a broj 3 je kvocijent.

Da bismo izrazili broj 15 učinili smo sljedeće:

15 = 3 × 5

To jest, pomnožili smo količnik 3 s djeliteljem 5.

Sada zamislimo da u jednakosti umjesto broja 15 postoji varijabla x

U ovom slučaju varijabla x preuzima ulogu nepoznata dividenda.

Da biste pronašli nepoznatu dividendu, potrebno je sljedeće pravilo:

Da biste pronašli nepoznatu dividendu, morate kvocijent pomnožiti s djeliteljem.

To smo učinili kada smo iz jednakosti izrazili broj 15. Da bismo izrazili broj 15, pomnožimo kvocijent 3 s djeliteljem 5.

Sada, da pronađemo nepoznatu dividendu x, trebate kvocijent 3 pomnožiti s djeliteljem 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

Sada zamislimo da u jednakosti umjesto broja 5 postoji varijabla x .

U ovom slučaju varijabla x preuzima ulogu nepoznati djelitelj.

Da biste pronašli nepoznati djelitelj, potrebno je sljedeće pravilo:

To smo učinili kada smo iz jednakosti izrazili broj 5. Da bismo izrazili broj 5, podijelimo dividendu 15 s kvocijentom 3.

Sada da pronađemo nepoznati djelitelj x, trebate podijeliti dividendu 15 s kvocijentom 3

Izračunajmo desnu stranu dobivene jednakosti. Na taj način saznajemo čemu je varijabla jednaka x .

x = 5

Dakle, da bismo pronašli nepoznanice, proučavali smo sljedeća pravila:

• Da biste pronašli nepoznati član, trebate poznati član oduzeti od zbroja;
• Da biste pronašli nepoznati umanjenik, trebate dodati oduzetik razlici;
• Da biste pronašli nepoznati umanjenik, trebate oduzeti razliku od smanjenog;
• Da biste pronašli nepoznati množenik, morate umnožak podijeliti s faktorom;
• Da biste pronašli nepoznati faktor, morate umnožak podijeliti s množiteljem;
• Da biste pronašli nepoznatu dividendu, trebate pomnožiti kvocijent s djeliteljem;
• Da biste pronašli nepoznati djelitelj, trebate podijeliti dividendu s količnikom.

Komponente

Komponentama ćemo zvati brojeve i varijable uključene u jednakost

Dakle, komponente sabiranja su Pojmovi I iznos

Komponente oduzimanja su minuend, subtrahend I razlika

Komponente množenja su množenik, faktor I raditi

Sastavnice dijeljenja su dividenda, djelitelj i količnik.

Ovisno o tome s kojim komponentama imamo posla, primjenjivat će se odgovarajuća pravila za pronalaženje nepoznanica. Ova smo pravila proučavali u prethodnoj temi. Kod rješavanja jednadžbi poželjno je znati ova pravila napamet.

Primjer 1. Pronađite korijen jednadžbe 45 + x = 60

45 - termin, x- nepoznati pojam, 60 - zbroj. Bavimo se komponentama zbrajanja. Podsjećamo da da biste pronašli nepoznati član, potrebno je od zbroja oduzeti poznati član:

x = 60 − 45

Izračunajmo desnu stranu i dobijemo vrijednost x jednako 15

x = 15

Dakle, korijen jednadžbe je 45 + x= 60 je jednako 15.

Najčešće se nepoznati pojam mora svesti na oblik u kojem se može izraziti.

Primjer 2. Riješite jednadžbu

Ovdje se, za razliku od prethodnog primjera, nepoznati član ne može izraziti odmah, jer sadrži koeficijent 2. Naš zadatak je ovu jednadžbu dovesti u oblik u kojem bi se mogla izraziti x

U ovom primjeru imamo posla s komponentama zbrajanja — članovima i zbrojem. 2 x je prvi član, 4 je drugi član, 8 je zbroj.

U ovom slučaju termin 2 x sadrži varijablu x. Nakon pronalaženja vrijednosti varijable x termin 2 x poprimit će drugačiji izgled. Dakle, termin 2 x može se u potpunosti uzeti kao nepoznat pojam:

Sada primjenjujemo pravilo za pronalaženje nepoznatog člana. Od zbroja oduzmite poznati član:

Izračunajmo desnu stranu dobivene jednadžbe:

Imamo novu jednadžbu. Sada imamo posla s komponentama množenja: množenikom, množiteljem i umnoškom. 2 - množenik, x- množitelj, 4 - produkt

U ovom slučaju varijabla x nije samo množitelj, već nepoznati množitelj

Da biste pronašli ovaj nepoznati faktor, morate umnožak podijeliti s množenikom:

Izračunajmo desnu stranu i dobijemo vrijednost varijable x

Za provjeru pošaljite pronađeni korijen izvornoj jednadžbi i zamijenite je x

Primjer 3. Riješite jednadžbu 3x+ 9x+ 16x= 56

Odmah izrazite nepoznato x Zabranjeno je. Najprije ovu jednadžbu trebate dovesti u oblik u kojem bi se mogla izraziti.

Predstavljamo na lijevoj strani ove jednadžbe:

Bavimo se komponentama množenja. 28 - množenik, x- množitelj, 56 - produkt. pri čemu x je nepoznat faktor. Da biste pronašli nepoznati faktor, morate umnožak podijeliti s množiteljem:

Odavde x jednako 2

Ekvivalentne jednadžbe

U prethodnom primjeru pri rješavanju jednadžbe 3x + 9x + 16x = 56 , dali smo slične članove na lijevoj strani jednadžbe. Kao rezultat, dobili smo novu jednadžbu 28 x= 56. Stara jednadžba 3x + 9x + 16x = 56 i rezultirajuća nova jednadžba 28 x= 56 zove se ekvivalentne jednadžbe, budući da im se korijeni podudaraju.

Jednadžbe se nazivaju ekvivalentnim ako im se korijeni podudaraju.

Idemo to provjeriti. Za jednadžbu 3x+ 9x+ 16x= 56 našli smo korijen jednak 2. Prvo zamijenimo ovaj korijen u jednadžbi 3x+ 9x+ 16x= 56 , a zatim u jednadžbu 28 x= 56, što je dobiveno dovođenjem sličnih članova na lijevu stranu prethodne jednadžbe. Moramo dobiti točne numeričke jednakosti

Prema redoslijedu operacija prvo se vrši množenje:

Zamijenimo korijen 2 u drugu jednadžbu 28 x= 56

Vidimo da obje jednadžbe imaju iste korijene. Dakle, jednadžbe 3x+ 9x+ 16x= 56 i 28 x= 56 su doista ekvivalentni.

Za rješavanje jednadžbe 3x+ 9x+ 16x= 56 Koristili smo jedan od njih - smanjenje sličnih pojmova. Ispravna transformacija identiteta jednadžbe omogućila nam je da dobijemo ekvivalentnu jednadžbu 28 x= 56, što je lakše riješiti.

Od identičnih transformacija trenutno znamo samo reducirati razlomke, donijeti slične članove, izbaciti zajednički faktor iz zagrade, a također i otvoriti zagradu. Postoje i druge konverzije kojih biste trebali biti svjesni. Ali za opću ideju identičnih transformacija jednadžbi, teme koje smo proučavali sasvim su dovoljne.

Razmotrimo neke transformacije koje nam omogućuju dobivanje ekvivalentne jednadžbe

Dodate li isti broj objema stranama jednadžbe, dobit ćete jednadžbu koja je ekvivalentna danoj.

i slično:

Ako od obje strane jednadžbe oduzmete isti broj, dobit ćete jednadžbu koja je ekvivalentna danoj.

Drugim riječima, korijen jednadžbe neće se promijeniti ako se isti broj doda (ili oduzme s obje strane) istom broju.

Primjer 1. Riješite jednadžbu

Oduzmite 10 od obje strane jednadžbe

Dobili smo jednadžbu 5 x= 10. Bavimo se komponentama množenja. Za pronalaženje nepoznatog faktora x, morate umnožak 10 podijeliti s poznatim faktorom 5.

i zamjena x pronađena vrijednost 2

Dobili smo točnu numeričku jednakost. To znači da je jednadžba ispravno riješena.

Rješavanje jednadžbe oduzeli smo broj 10 s obje strane jednadžbe. Kao rezultat, dobili smo ekvivalentnu jednadžbu. Korijen ove jednadžbe, poput jednadžbe također je jednako 2

Primjer 2. Riješite jednadžbu 4( x+ 3) = 16

Oduzmite broj 12 od obje strane jednadžbe

Ostat će 4 na lijevoj strani x, a na desnoj strani broj 4

Dobili smo jednadžbu 4 x= 4. Bavimo se komponentama množenja. Za pronalaženje nepoznatog faktora x, morate umnožak 4 podijeliti s poznatim faktorom 4

Vratimo se na izvornu jednadžbu 4( x+ 3) = 16 i zamjena x pronađena vrijednost 1

Dobili smo točnu numeričku jednakost. To znači da je jednadžba ispravno riješena.

Rješavanje jednadžbe 4( x+ 3) = 16 oduzeli smo broj 12 s obje strane jednadžbe. Kao rezultat, dobili smo ekvivalentnu jednadžbu 4 x= 4. Korijen ove jednadžbe, poput jednadžbe 4( x+ 3) = 16 također je jednako 1

Primjer 3. Riješite jednadžbu

Proširimo zagrade na lijevoj strani jednakosti:

Dodajte broj 8 objema stranama jednadžbe

Predstavimo slične članove na obje strane jednadžbe:

Ostat će 2 na lijevoj strani x, a s desne strane broj 9

U dobivenoj jednadžbi 2 x= 9 izražavamo nepoznati član x

Vratimo se na izvornu jednadžbu i zamjena x pronađena vrijednost 4.5

Dobili smo točnu numeričku jednakost. To znači da je jednadžba ispravno riješena.

Rješavanje jednadžbe dodali smo broj 8 objema stranama jednadžbe. Kao rezultat, dobili smo ekvivalentnu jednadžbu. Korijen ove jednadžbe, poput jednadžbe također jednako 4,5

Sljedeće pravilo koje nam omogućuje dobivanje ekvivalentne jednadžbe je sljedeće

Premjestite li član u jednadžbi iz jednog dijela u drugi, mijenjajući mu predznak, dobit ćete jednadžbu koja je ekvivalentna zadanoj.

To jest, korijen jednadžbe se neće promijeniti ako član iz jednog dijela jednadžbe premjestimo u drugi, mijenjajući mu predznak. Ovo svojstvo je jedno od važnih i jedno od često korištenih pri rješavanju jednadžbi.

Razmotrite sljedeću jednadžbu:

Korijen ove jednadžbe jednak je 2. Zamijenimo x ovaj korijen i provjerite je li brojčana jednakost točna

Rezultat je točna jednakost. To znači da je broj 2 doista korijen jednadžbe.

Pokušajmo sada eksperimentirati s članovima ove jednadžbe, premještajući ih s jednog dijela na drugi, mijenjajući predznake.

Na primjer, termin 3 x nalazi se na lijevoj strani jednadžbe. Pomaknimo ga na desnu stranu, mijenjajući znak u suprotan:

Rezultat je jednadžba 12 = 9x − 3x . na desnoj strani ove jednadžbe:

x je nepoznat faktor. Pronađimo ovaj dobro poznati faktor:

Odavde x= 2. Kao što vidite, korijen jednadžbe se nije promijenio. Dakle, jednadžbe su 12 + 3 x = 9x I 12 = 9x − 3x su ekvivalentni.

Zapravo, ova transformacija je pojednostavljena metoda prethodne transformacije, gdje je isti broj dodan (ili oduzet) objema stranama jednadžbe.

To smo rekli u jednadžbi 12 + 3 x = 9x termin 3 x je pomaknut na desnu stranu, mijenjajući predznak. U stvarnosti se dogodilo sljedeće: član 3 je oduzet s obje strane jednadžbe x

Zatim su slični članovi dani na lijevoj strani i dobivena je jednadžba 12 = 9x − 3x. Zatim su opet zadani slični članovi, ali na desnoj strani, i dobivena je jednadžba 12 = 6 x.

Ali takozvani "prijenos" je prikladniji za takve jednadžbe, zbog čega je postao toliko raširen. Kod rješavanja jednadžbi često ćemo koristiti ovu konkretnu transformaciju.

Jednadžbe 12 + 3 su također ekvivalentne x= 9x I 3x− 9x= −12 . Ovaj put jednadžba je 12 + 3 x= 9x pojam 12 pomaknut je na desnu stranu, a pojam 9 x nalijevo. Ne treba zaboraviti da su znakovi ovih uvjeta promijenjeni tijekom prijenosa

Sljedeće pravilo koje nam omogućuje dobivanje ekvivalentne jednadžbe je sljedeće:

Ako obje strane jednadžbe pomnožimo ili podijelimo s istim brojem, koji nije jednak nuli, dobit ćete jednadžbu koja je ekvivalentna danoj.

Drugim riječima, korijeni jednadžbe neće se promijeniti ako se obje strane pomnože ili podijele istim brojem. Ova se radnja često koristi kada trebate riješiti jednadžbu koja sadrži frakcijske izraze.

Prvo, pogledajmo primjere u kojima će obje strane jednadžbe biti pomnožene s istim brojem.

Primjer 1. Riješite jednadžbu

Kod rješavanja jednadžbi koje sadrže frakcijske izraze, uobičajeno je da se jednadžba najprije pojednostavi.

U ovom slučaju imamo posla upravo s takvom jednadžbom. Kako bismo pojednostavili ovu jednadžbu, obje se strane mogu pomnožiti s 8:

Sjećamo se da za , trebamo pomnožiti brojnik danog razlomka s tim brojem. Imamo dva razlomka i svaki od njih je pomnožen s brojem 8. Naš je zadatak pomnožiti brojnike razlomaka s ovim brojem 8

Sada se događa zanimljiv dio. Brojnici i nazivnici oba razlomka sadrže faktor 8, koji se može smanjiti za 8. To će nam omogućiti da se riješimo frakcijskog izraza:

Kao rezultat, ostaje najjednostavnija jednadžba

Pa, nije teško pogoditi da je korijen ove jednadžbe 4

x pronađena vrijednost 4

Rezultat je točna numerička jednakost. To znači da je jednadžba ispravno riješena.

Prilikom rješavanja ove jednadžbe obje smo strane pomnožili s 8. Kao rezultat dobili smo jednadžbu. Korijen ove jednadžbe, kao i jednadžbe, je 4. To znači da su ove jednadžbe ekvivalentne.

Faktor kojim se množe obje strane jednadžbe obično se piše prije dijela jednadžbe, a ne iza njega. Dakle, rješavajući jednadžbu, pomnožili smo obje strane s faktorom 8 i dobili sljedeći unos:

To nije promijenilo korijen jednadžbe, ali da smo to učinili u školi, bili bismo ukoreni, jer je u algebri običaj da se faktor upiše ispred izraza s kojim se množi. Stoga je preporučljivo prepisati množenje obiju strana jednadžbe faktorom 8 na sljedeći način:

Primjer 2. Riješite jednadžbu

Na lijevoj strani faktori broja 15 mogu se smanjiti za 15, a na desnoj strani faktori broja 15 i 5 mogu se smanjiti za 5

Otvorimo zagrade na desnoj strani jednadžbe:

Pomaknimo termin x s lijeve strane jednadžbe na desnu stranu, mijenjajući predznak. I pomičemo član 15 s desne strane jednadžbe na lijevu stranu, ponovno mijenjajući predznak:

Predstavljamo slične uvjete na obje strane, dobivamo

Bavimo se komponentama množenja. Varijabilna x

Vratimo se na izvornu jednadžbu i zamjena x pronađena vrijednost 5

Rezultat je točna numerička jednakost. To znači da je jednadžba ispravno riješena. Prilikom rješavanja ove jednadžbe obje smo strane pomnožili s 15. Daljnjim izvođenjem identičnih transformacija dobili smo jednadžbu 10 = 2 x. Korijen ove jednadžbe, poput jednadžbe jednako 5. To znači da su ove jednadžbe ekvivalentne.

Primjer 3. Riješite jednadžbu

S lijeve strane možete smanjiti dvije trojke, a desna će biti jednaka 18

Ostaje najjednostavnija jednadžba. Bavimo se komponentama množenja. Varijabilna x je nepoznat faktor. Pronađimo ovaj dobro poznati faktor:

Vratimo se na izvornu jednadžbu i zamjenu x pronađena vrijednost 9

Rezultat je točna numerička jednakost. To znači da je jednadžba ispravno riješena.

Primjer 4. Riješite jednadžbu

Pomnožite obje strane jednadžbe sa 6

Otvorimo zagrade na lijevoj strani jednadžbe. Na desnoj strani faktor 6 može se podići na brojnik:

Smanjimo ono što se može reducirati na obje strane jednadžbi:

Prepišimo ono što nam je ostalo:

Poslužimo se prijenosom pojmova. Pojmovi koji sadrže nepoznato x, grupiramo na lijevoj strani jednadžbe, a članove bez nepoznanica - na desnoj:

Navedimo slične pojmove u oba dijela:

Pronađimo sada vrijednost varijable x. Da biste to učinili, podijelite proizvod 28 s poznatim faktorom 7

Odavde x= 4.

Vratimo se na izvornu jednadžbu i zamjena x pronađena vrijednost 4

Rezultat je ispravna numerička jednadžba. To znači da je jednadžba ispravno riješena.

Primjer 5. Riješite jednadžbu

Otvorimo zagrade s obje strane jednadžbe gdje je to moguće:

Pomnožite obje strane jednadžbe s 15

Otvorimo zagrade s obje strane jednadžbe:

Smanjimo ono što se može reducirati na obje strane jednadžbe:

Prepišimo ono što nam je ostalo:

Proširimo zagrade gdje je to moguće:

Poslužimo se prijenosom pojmova. Grupiramo članove koji sadrže nepoznanicu na lijevoj strani jednadžbe, a članove bez nepoznanica na desnoj strani. Ne zaboravite da tijekom prijenosa uvjeti mijenjaju svoje predznake u suprotne:

Predstavimo slične članove na obje strane jednadžbe:

Pronađimo vrijednost x

Rezultirajući odgovor može se podijeliti na cijeli dio:

Vratimo se na izvornu jednadžbu i zamjenu x pronađena vrijednost

Ispada da je to prilično glomazan izraz. Koristimo varijable. Stavimo lijevu stranu jednakosti u varijablu A, a desnu stranu jednakosti u varijablu B

Naš zadatak je provjeriti je li lijeva strana jednaka desnoj. Drugim riječima, dokažite jednakost A = B

Pronađimo vrijednost izraza u varijabli A.

Varijabilna vrijednost A jednako . Pronađimo sada vrijednost varijable B. Odnosno vrijednost desne strane naše jednakosti. Ako je i on jednak, jednadžba će biti točno riješena

Vidimo da je vrijednost varijable B, poput vrijednosti varijable A jednako . To znači da je lijeva strana jednaka desnoj strani. Iz ovoga zaključujemo da je jednadžba ispravno riješena.

Pokušajmo sada obje strane jednadžbe ne množiti istim brojem, nego dijeliti.

Razmotrimo jednadžbu 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Riješimo ga uobičajenom metodom: grupiramo članove koji sadrže nepoznanice na lijevoj strani jednadžbe, a članove bez nepoznanica - na desnoj. Zatim, izvodeći poznate transformacije identiteta, nalazimo vrijednost x

Umjesto toga zamijenimo pronađenu vrijednost 2 x u izvornu jednadžbu:

Pokušajmo sada razdvojiti sve članove jednadžbe 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 nekim brojem imajte na umu da svi članovi ove jednadžbe imaju zajednički faktor 2. Svaki član dijelimo s njim:

Izvršimo smanjenje u svakom članu:

Prepišimo ono što nam je ostalo:

Riješimo ovu jednadžbu koristeći dobro poznate transformacije identiteta:

Dobili smo root 2. Dakle, jednadžbe 15x+ 7x+ 7 = 35x− 20x+ 21 I 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 su ekvivalentni.

Dijeljenje obje strane jednadžbe s istim brojem omogućuje vam uklanjanje nepoznanice iz koeficijenta. U prethodnom primjeru kada smo dobili jednadžbu 7 x= 14, trebali smo umnožak 14 podijeliti s poznatim faktorom 7. Ali da smo oslobodili nepoznati faktor 7 na lijevoj strani, korijen bi bio odmah pronađen. Da biste to učinili, bilo je dovoljno obje strane podijeliti sa 7

Također ćemo često koristiti ovu metodu.

Množenje s minus jedan

Ako se obje strane jednadžbe pomnože s minus jedan, dobit ćete jednadžbu ekvivalentnu ovoj.

Ovo pravilo proizlazi iz činjenice da množenje (ili dijeljenje) obje strane jednadžbe s istim brojem ne mijenja korijen dane jednadžbe. To znači da se korijen neće promijeniti ako se oba njegova dijela pomnože s −1.

Ovo pravilo omogućuje promjenu predznaka svih komponenti uključenih u jednadžbu. Čemu služi? Opet, da dobijemo ekvivalentnu jednadžbu koju je lakše riješiti.

Razmotrimo jednadžbu. Koji je korijen ove jednadžbe?

Dodajte broj 5 objema stranama jednadžbe

Pogledajmo slične pojmove:

Sada se sjetimo o. Što je lijeva strana jednadžbe? Ovo je umnožak minus jedan i varijable x

Odnosno, znak minus ispred varijable x, ne odnosi se na samu varijablu x, ali na jedan, koji ne vidimo, jer se koeficijent 1 obično ne zapisuje. To znači da jednadžba zapravo izgleda ovako:

Bavimo se komponentama množenja. Pronaći x, morate umnožak −5 podijeliti s poznatim faktorom −1.

ili obje strane jednadžbe podijelite s −1, što je još jednostavnije

Dakle, korijen jednadžbe je 5. Da provjerimo, zamijenimo ga u izvornu jednadžbu. Ne zaboravite da je u izvornoj jednadžbi minus ispred varijable x odnosi se na nevidljivu jedinicu

Rezultat je ispravna numerička jednadžba. To znači da je jednadžba ispravno riješena.

Pokušajmo sada obje strane jednadžbe pomnožiti s minus jedan:

Nakon otvaranja zagrada, izraz se formira na lijevoj strani, a desna će biti jednaka 10

Korijen ove jednadžbe, kao i jednadžbe, je 5

To znači da su jednadžbe ekvivalentne.

Primjer 2. Riješite jednadžbu

U ovoj jednadžbi sve komponente su negativne. Pogodnije je raditi s pozitivnim komponentama nego s negativnim, pa promijenimo predznake svih komponenti uključenih u jednadžbu. Da biste to učinili, pomnožite obje strane ove jednadžbe s −1.

Jasno je da će svaki broj kada se pomnoži s −1 promijeniti predznak u suprotan. Stoga se postupak množenja s −1 i otvaranja zagrada ne opisuje detaljno, već se odmah zapisuju komponente jednadžbe suprotnih predznaka.

Stoga se množenje jednadžbe s −1 može detaljno napisati na sljedeći način:

ili možete jednostavno promijeniti predznake svih komponenti:

Rezultat će biti isti, ali razlika će biti u tome što ćemo sebi uštedjeti vrijeme.

Dakle, množenjem obje strane jednadžbe s −1, dobivamo jednadžbu. Riješimo ovu jednadžbu. Od obje strane oduzmite 4 i obje strane podijelite s 3

Kada se pronađe korijen, varijabla se obično ispisuje s lijeve strane, a njena vrijednost s desne, što smo i učinili.

Primjer 3. Riješite jednadžbu

Pomnožimo obje strane jednadžbe s −1. Tada će sve komponente promijeniti svoje predznake u suprotne:

Oduzmite 2 od obje strane dobivene jednadžbe x i dati slične uvjete:

Dodajmo jedan objema stranama jednadžbe i dajmo slične izraze:

Izjednačavanje s nulom

Nedavno smo naučili da ako član jednadžbe premjestimo iz jednog dijela u drugi, mijenjajući mu predznak, dobit ćemo jednadžbu koja je ekvivalentna zadanoj.

Što se događa ako prijeđete iz jednog dijela u drugi ne samo jedan pojam, već sve pojmove? Tako je, u dijelu gdje su oduzeti svi članovi ostat će nula. Drugim riječima, neće ostati ništa.

Kao primjer, razmotrite jednadžbu. Riješimo ovu jednadžbu kao i obično - grupirat ćemo članove koji sadrže nepoznanice u jednom dijelu, a ostaviti numeričke članove bez nepoznanica u drugom dijelu. Zatim, izvodeći poznate transformacije identiteta, nalazimo vrijednost varijable x

Pokušajmo sada riješiti istu jednadžbu izjednačavanjem svih njezinih komponenti s nulom. Da bismo to učinili, pomičemo sve pojmove s desne strane na lijevu, mijenjajući znakove:

Prikazimo slične pojmove na lijevoj strani:

Dodajte 77 objema stranama i obje strane podijelite sa 7

Alternativa pravilima za pronalaženje nepoznanica

Očito, znajući o identičnim transformacijama jednadžbi, ne morate pamtiti pravila za pronalaženje nepoznanica.

Na primjer, da bismo pronašli nepoznanicu u jednadžbi, podijelili smo umnožak 10 s poznatim faktorom 2

Ali ako obje strane jednadžbe podijelite s 2, korijen ćete pronaći odmah. Na lijevoj strani jednadžbe u brojniku faktor 2 i u nazivniku faktor 2 bit će smanjen za 2. A desna strana će biti jednaka 5

Rješavali smo jednadžbe oblika izražavajući nepoznati član:

Ali možete koristiti identične transformacije koje smo danas proučavali. U jednadžbi se član 4 može pomaknuti na desnu stranu promjenom predznaka:

Na lijevoj strani jednadžbe dvije dvojke će se poništiti. Desna strana će biti jednaka 2. Stoga .

Ili biste mogli oduzeti 4 od obje strane jednadžbe, tada biste dobili sljedeće:

U slučaju jednadžbi oblika prikladnije je umnožak podijeliti s poznatim faktorom. Usporedimo oba rješenja:

Prvo rješenje je puno kraće i urednije. Drugo rješenje možete znatno skratiti ako podjelu napravite u glavi.

No, potrebno je poznavati oba načina i tek onda koristiti onaj koji vam se više sviđa.

Kad ima više korijena

Jednadžba može imati više korijena. Na primjer jednadžba x(x+ 9) = 0 ima dva korijena: 0 i −9.

U jednadžbi x(x+ 9) = 0 bilo je potrebno pronaći takvu vrijednost x kod koje bi lijeva strana bila jednaka nuli. Lijeva strana ove jednadžbe sadrži izraze x I (x+9), koji su faktori. Iz zakona množenja znamo da je umnožak jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli (bilo prvi faktor ili drugi).

Odnosno u jednadžbi x(x+ 9) = 0 jednakost će se postići ako x bit će jednaka nuli ili (x+9) bit će jednaka nuli.

x= 0 ili x + 9 = 0

Postavljanjem oba ova izraza na nulu, možemo pronaći korijene jednadžbe x(x+ 9) = 0 . Prvi korijen, kao što se vidi iz primjera, pronađen je odmah. Da biste pronašli drugi korijen morate riješiti elementarnu jednadžbu x+ 9 = 0 . Lako je pogoditi da je korijen ove jednadžbe −9. Provjera pokazuje da je korijen točan:

−9 + 9 = 0

Primjer 2. Riješite jednadžbu

Ova jednadžba ima dva korijena: 1 i 2. Lijeva strana jednadžbe je produkt izraza ( x− 1) i ( x− 2) . A umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli (ili faktor ( x− 1) ili faktor ( x − 2) ).

Pronađimo ovako nešto x pod kojim su izrazi ( x− 1) ili ( x− 2) postaju nula:

Zamjenjujemo pronađene vrijednosti jednu po jednu u izvornu jednadžbu i osiguravamo da je za te vrijednosti lijeva strana jednaka nuli:

Kad ima beskonačno mnogo korijena

Jednadžba može imati beskonačno mnogo korijena. Odnosno, zamjenom bilo kojeg broja u takvu jednadžbu, dobivamo ispravnu numeričku jednakost.

Primjer 1. Riješite jednadžbu

Korijen ove jednadžbe je bilo koji broj. Ako otvorite zagrade na lijevoj strani jednadžbe i zbrojite slične članove, dobit ćete jednakost 14 = 14. Ova jednakost će se dobiti za bilo koji x

Primjer 2. Riješite jednadžbu

Korijen ove jednadžbe je bilo koji broj. Ako otvorite zagrade na lijevoj strani jednadžbe, dobit ćete jednakost 10x + 12 = 10x + 12. Ova jednakost će se dobiti za bilo koji x

Kad nema korijena

Također se događa da jednadžba uopće nema rješenja, odnosno nema korijena. Na primjer, jednadžba nema korijena, jer za bilo koju vrijednost x, lijeva strana jednadžbe neće biti jednaka desnoj strani. Na primjer, neka . Tada će jednadžba poprimiti sljedeći oblik

Primjer 2. Riješite jednadžbu

Proširimo zagrade na lijevoj strani jednakosti:

Pogledajmo slične pojmove:

Vidimo da lijeva strana nije jednaka desnoj strani. I to će biti slučaj za bilo koju vrijednost. g. Na primjer, neka g = 3 .

Jednadžbe slova

Jednadžba može sadržavati ne samo brojeve s varijablama, već i slova.

Na primjer, formula za pronalaženje brzine je doslovna jednadžba:

Ova jednadžba opisuje brzinu tijela tijekom jednoliko ubrzanog gibanja.

Korisna vještina je sposobnost izražavanja bilo koje komponente uključene u jednadžbu slova. Na primjer, da biste odredili udaljenost iz jednadžbe, morate izraziti varijablu s .

Pomnožimo obje strane jednadžbe s t

Varijable na desnoj strani t skratimo to t

U dobivenoj jednadžbi zamijenimo lijevu i desnu stranu:

Imamo formulu za pronalaženje udaljenosti koju smo ranije proučavali.

Pokušajmo odrediti vrijeme iz jednadžbe. Da biste to učinili, morate izraziti varijablu t .

Pomnožimo obje strane jednadžbe s t

Varijable na desnoj strani t skratimo to t i prepisati ono što nam je ostalo:

U dobivenoj jednadžbi v×t = s podijelite oba dijela na v

Varijable s lijeve strane v skratimo to v i prepisati ono što nam je ostalo:

Imamo formulu za određivanje vremena koju smo ranije proučavali.

Pretpostavimo da je brzina vlaka 50 km/h

v= 50 km/h

A udaljenost je 100 km

s= 100 km

Tada će doslovna jednadžba poprimiti sljedeći oblik

Vrijeme se može pronaći iz ove jednadžbe. Da biste to učinili, morate moći izraziti varijablu t. Možete koristiti pravilo za pronalaženje nepoznatog djelitelja dijeljenjem dividende s kvocijentom i tako odrediti vrijednost varijable t

ili možete koristiti identične transformacije. Prvo pomnožite obje strane jednadžbe s t

Zatim obje strane podijelite s 50

Primjer 2 x

Oduzmite s obje strane jednadžbe a

Podijelimo obje strane jednadžbe s b

a + bx = c, tada ćemo imati gotovo rješenje. Bit će dovoljno zamijeniti potrebne vrijednosti u njega. Te vrijednosti koje će biti zamijenjene slovima a, b, c obično se zove parametri. I jednadžbe oblika a + bx = c nazvao jednadžba s parametrima. Ovisno o parametrima, korijen će se promijeniti.

Riješimo jednadžbu 2 + 4 x= 10. Izgleda kao jednadžba slova a + bx = c. Umjesto izvođenja identičnih transformacija, možemo koristiti već gotovo rješenje. Usporedimo oba rješenja:

Vidimo da je drugo rješenje puno jednostavnije i kraće.

Za gotovo rješenje potrebno je napraviti malu napomenu. Parametar b ne smije biti jednaka nuli (b ≠ 0), jer je dozvoljeno dijeljenje s nulom s.

Primjer 3. Dana je doslovna jednadžba. Izrazite iz ove jednadžbe x

Otvorimo zagrade s obje strane jednadžbe

Poslužimo se prijenosom pojmova. Parametri koji sadrže varijablu x, grupiramo na lijevoj strani jednadžbe, a parametre bez ove varijable - na desnoj.

Na lijevoj strani uzimamo faktor iz zagrade x

Podijelimo obje strane izrazom a − b

S lijeve strane brojnik i nazivnik mogu se smanjiti za a − b. Ovako se varijabla konačno izražava x

Sada, ako naiđemo na jednadžbu oblika a(x − c) = b(x + d), tada ćemo imati gotovo rješenje. Bit će dovoljno zamijeniti potrebne vrijednosti u njega.

Recimo da nam je dana jednadžba 4(x− 3) = 2(x+ 4) . Izgleda kao jednadžba a(x − c) = b(x + d). Riješimo to na dva načina: korištenjem identičnih transformacija i korištenjem gotovog rješenja:

Radi praktičnosti, izbacimo ga iz jednadžbe 4(x− 3) = 2(x+ 4) vrijednosti parametara a, b, c, d . To će nam omogućiti da ne pogriješimo prilikom zamjene:

Kao u prethodnom primjeru, nazivnik ovdje ne bi trebao biti jednak nuli ( a − b ≠ 0) . Ako naiđemo na jednadžbu oblika a(x − c) = b(x + d) u kojoj su parametri a I bće biti isti, možemo reći bez rješavanja da ova jednadžba nema korijena, budući da je razlika između identičnih brojeva nula.

Na primjer, jednadžba 2(x − 3) = 2(x + 4) je jednadžba oblika a(x − c) = b(x + d). U jednadžbi 2(x − 3) = 2(x + 4) opcije a I b isto. Ako ga počnemo rješavati, doći ćemo do zaključka da lijeva strana neće biti jednaka desnoj strani:

Primjer 4. Dana je doslovna jednadžba. Izrazite iz ove jednadžbe x

Dovedimo lijevu stranu jednadžbe do zajedničkog nazivnika:

Pomnožimo obje strane s a

S lijeve strane x izbacimo to iz zagrade

Podijelimo obje strane izrazom (1 − a)

Linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom

Jednadžbe o kojima se govori u ovoj lekciji nazivaju se linearne jednadžbe prvog stupnja s jednom nepoznanicom.

Ako je jednadžba dana u prvom stupnju, ne sadrži dijeljenje s nepoznatom, a također ne sadrži korijene iz nepoznate, tada se može nazvati linearnom. Još nismo proučili moći i korijene, pa ćemo, da ne bismo komplicirali živote, riječ "linearno" shvatiti kao "jednostavno".

Većina jednadžbi riješenih u ovoj lekciji na kraju se svela na jednostavnu jednadžbu u kojoj ste morali podijeliti umnožak s poznatim faktorom. Na primjer, ovo je jednadžba 2( x+ 3) = 16 . Idemo to riješiti.

Otvorimo zagrade na lijevoj strani jednadžbe, dobit ćemo 2 x+ 6 = 16. Pomaknimo član 6 na desnu stranu, mijenjajući predznak. Onda dobijemo 2 x= 16 − 6. Izračunaj desnu stranu, dobivamo 2 x= 10. Pronaći x, podijelite proizvod 10 s poznatim faktorom 2. Dakle x = 5.

Jednadžba 2( x+ 3) = 16 je linearan. Svodi se na jednadžbu 2 x= 10, za pronalazak korijena kojeg je bilo potrebno umnožak podijeliti s poznatim faktorom. Ova najjednostavnija jednadžba zove se linearna jednadžba prvog stupnja s jednom nepoznanicom u kanonskom obliku. Riječ "kanonski" je sinonim za riječi "jednostavno" ili "normalno".

Linearna jednadžba prvog stupnja s jednom nepoznanicom u kanonskom obliku naziva se jednadžba oblika sjekira = b.

Naša rezultirajuća jednadžba 2 x= 10 je linearna jednadžba prvog stupnja s jednom nepoznanicom u kanonskom obliku. Ova jednadžba ima prvi stupanj, jednu nepoznanicu, ne sadrži dijeljenje s nepoznanicom i ne sadrži korijene iz nepoznanice, a prikazana je u kanonskom obliku, odnosno u najjednostavnijem obliku u kojem se lako može odrediti vrijednost x. Umjesto parametara a I b naša jednadžba sadrži brojeve 2 i 10. Ali takva jednadžba može sadržavati i druge brojeve: pozitivne, negativne ili jednake nuli.

Ako se u linearnoj jednadžbi a= 0 i b= 0, onda jednadžba ima beskonačno mnogo korijena. Doista, ako a jednaka nuli i b jednaka nuli, tada je linearna jednadžba sjekira= bće imati oblik 0 x= 0. Za bilo koju vrijednost x lijeva strana će biti jednaka desnoj strani.

Ako se u linearnoj jednadžbi a= 0 i b≠ 0, onda jednadžba nema korijena. Doista, ako a jednaka nuli i b jednak je nekom broju koji nije jednak nuli, recimo broju 5, zatim jednadžbi sjekira = bće imati oblik 0 x= 5. Lijeva strana će biti nula, a desna pet. A nula nije jednaka pet.

Ako se u linearnoj jednadžbi a≠ 0, i b jednako bilo kojem broju, onda jednadžba ima jedan korijen. Određuje se dijeljenjem parametra b po parametru a

Doista, ako a jednak nekom broju koji nije nula, recimo broju 3, i b jednak nekom broju, recimo broju 6, tada će jednadžba poprimiti oblik .
Odavde.

Postoji još jedan oblik pisanja linearne jednadžbe prvog stupnja s jednom nepoznanicom. Ovako izgleda: sjekira − b= 0. Ovo je ista jednadžba kao sjekira = b

Je li vam se svidjela lekcija?
Pridružite se našoj novoj grupi VKontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama